TALLER 3POSICIÓN DEL COMETA HARRINGTON

Astronomía Fundamental

FABIÁN EDUARDO CASTAÑEDA H.fecastanedah@unal.edu.co

Maestría en FísicaUniversidad Nacional de Colombia

15 de Mayo de 2013

_________________________________________________________________________________EJERCICIO: El cometa Harrington tiene los siguientes elementos orbitales (Circular Nº 1713 de la UAI)

T = 1960, junio 28.8327 ω = 232.8391º

= 0.559273 Ω = 119.1327º

a = 3.590373 i = 8.6838º

Con coordenadas cartesianas ecuatoriales:

X Y ZJulio 5.0 -0.2257 +0.9095 +0.3944

Calcular las coordenadas ecuatoriales geocéntricas del objeto y la distancia geocéntricaα, δ, ρ

_______________________________________________________________________________

SOLUCIÓN

Debido a las unidades utilizadas μ queda simplificada a:

μ = k2

Con K en unidades de Gauss:

μ = (0.01720209895)2

μ = 0.0002959122082

⎛ μ ⎞ n = √⎜ ⎟⎯⎯ ⎜ 3 ⎟ ⎝ a ⎠

n = 0.002528553154 rad

Ahora obtenemos M:

Δt = t - t

Δt = 6.1673 d. s. m.

Μ = n(t - Τ)

Μ = 0.015594345 rad = 0.8934901528°

Hallamos en valor de E

Εn = Μ + ·SIN(Μ)

Εo = 1.391172198°

Buscamos el valor que converja con la ecuación:

⎡ M - Εn + ·SIN(Εn) ⎤ Εn + 1 = Εo + ⎢ ⎥⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎣ 1 - ·COS(Εn) ⎦

Ε1 = 2.026898639° Ε2 = 2.026773535° Ε3 = 2.026773535°

Como converge en este punto, tenemos nuestro E:

Ε = 2.026773535° = 0.035373871 rad

Con este valor podemos encontrar f:

⎛ f ⎞ ⎛ 1 + ⎞ ⎛ Ε ⎞ TAN⎜⎟ = √⎜ ⎟·TAN⎜⎟⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 - ⎠ ⎝ 2 ⎠

⎛ f ⎞ TAN⎜⎟ = 0.033271634°⎯ ⎝ 2 ⎠

f = 3.111242539°

También podemos hallar el valor de r:

r = a(1 - ·COS(Ε))

r = 1.583630505

Ahora realizamos las rotaciones correspondientes:

⎡ COS(-ω) SIN(-ω) 0 ⎤ ⎢ ⎥R(-ω) = ⎢ - SIN(-ω) COS(-ω) 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 1 ⎦

⎡ 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥R(-i) = ⎢ 0 COS(-i) SIN(-i) ⎥ ⎢ ⎥

⎣ 0 - SIN(-i) COS(-i) ⎦

⎡ COS(-Ω) SIN(-Ω) 0 ⎤ ⎢ ⎥R(-Ω) = ⎢ - SIN(-Ω) COS(-Ω) 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 1 ⎦

⎡ X ⎤ ⎢ ⎥ R = ⎢ Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Z ⎦

De forma general:

⎡ COS(-Ω) SIN(-Ω) 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ COS(-ω) SIN(-ω) 0 ⎤ ⎡ X ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥rH = ⎢ - SIN(-Ω) COS(-Ω) 0 ⎥·⎢ 0 COS(-i) SIN(-i) ⎥·⎢ -SIN(-ω) COS(-ω) 0 ⎥·⎢ Y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 - SIN(-i) COS(-i) ⎦ ⎣ 0 0 1 ⎦ ⎣ Z ⎦

Teniendo en cuenta que los elementos se van a trabajar en radianes:

Ω = 2.07925786 radi = 0.1515609 radω = 4.0638089 rad

Además las coordenadas X Y Z conforman el vector R: ⎡ -0.2257 ⎤ ⎢ ⎥ R = ⎢ 0.9095 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.3944 ⎦

Como resultado nos da:

⎡ -0.0481528462 ⎤ ⎢ ⎥ rH = ⎢ 0.9590350953 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.3340884454 ⎦

Ahora hacemos la última rotación alrededor del eje x un ángulo -ε

⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ -0.0481528462 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ r = ⎢ 0 COS(-ε) SIN(-ε) ⎥·⎢ 0.9590350953 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 - SIN(-ε) COS(-ε) ⎦ ⎣ 0.3340884454 ⎦

⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ -0.0481528462 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ r = ⎢ 0 COS(-0.409279709) SIN(-0.409279709) ⎥·⎢ 0.9590350953 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ 0 - SIN(-0.409279709) COS(-0.409279709) ⎦ ⎣ 0.3340884454 ⎦

⎡ -0.04815284619 ⎤ ⎢ ⎥ r = ⎢ 0.7468761412 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.6881420151 ⎦

Como sabemos:

R = [X, Y, Z] = [-0.2257, 0.9095, 0.3944]

Podemos encontrar ahora ρ:

ρ = r + R

ρ = [-0.273852846, 1.656376141, 1.082542015]

Finalmente con los datos de r y de R podemos encontrar α y δ:

y + Y TAN(α) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

x + X

α = - 80.61208169º = 9.38791831º = 0h 37min 33seg

Para encontrar δ: Z TAN(δ) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ √((x + Χ)2 + (y + Y)2 )

δ = 13.22026429º = 13º 13` 12”