ALUMNO= FERMÍN CHAVEZ REYES

Permutaciones, diagrama de árbol combinación y método de conteo

INTRODUCCIÓN

En esta presentación se mostrara detalladamente los pasos a seguir

Para poder llegar así a una explicación breve de los temas que se están impartiendo en el esta presentación .

Método de conteo

Como se vio, para calcular la probabilidad de un evento A, es necesario contar

el número de elementos del espacio muestral S y el número de elementos de

evento A. Cuando el conjunto es pequeño no hay problema,

pero cuando los conjuntos contienen muchos elementos toca acudir a unas

técnicas de conteo especiales llamadas métodos de conteo.

La primera de estas técnicas de conteo o métodos de conteo es la regla de la

multiplicación la cual dice que si una operación se puede llevar a cabo en

1nformas y si para cada una de estas se puede realizar

una segunda operación en

2n y para cada una de dos primeras se puede realizar una tercera operación

3n formas, y así sucesivamente, entonces la serie

de k operaciones se puede realizar en k n n ,..., n1 2formas

EJEMPLO

¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre

y una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3 tipos de

emparedados, 5 postres y 4 bebidas?

Como n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 y n4 = 4 hay en total n1 X n2 X n3 X n4 = 4 X 3 X 5 X 4 = 240 almuerzos

diferentes para elegir

PERMUTACIONES

Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para permutaciones es P(n ,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

Ejemplo

¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solución: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, y una vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, así sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 = 40320

COMBINACIONES

Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para las combinaciones es C(n , r) que es la cantidad de combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados “r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n , r)/r! en notación matemática.

EJEMPLO Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:

"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.  "La combinación de la

cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:

Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden sí importa es una permutación.

DIAGRAMA DE ÁRBOL

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

EJEMPLO

¿Cuántas combinaciones se pueden crear si tenemos 2 playeras y dos pantalones y dos pares de tenis ?

Bueno con este concluimos una simple explicación de estos temas

Gracias por su atención

Un cordial saludo.