Trabajo de Fin de MásterMáster en Física y Matemáticas

Teoría de Kaluza-Klein

Alumno: José Alberto Orejuela García

Tutor: Bert JanssenFacultad de CienciasUniversidad de Granada23 de enero de 2015

DECLARACIÓN

En cumplimiento de la normativa aprobada en Consejo de Gobierno de4 de marzo de 2013, sobre Directrices de la Universidad de Granada para eldesarrollo de la asignatura “Trabajo Fin de Máster” de sus títulos de máster(Art. 8,4), José Alberto Orejuela García asume la originalidad del trabajo finde máster, entendida en el sentido de que no ha utilizado fuentes sin citarlasdebidamente.

En Granada, a 9 de enero de 2015.

Fdo.: José Alberto Orejuela García.

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Índice

1. Objetivos 7

2. Antecedentes 9

3. Introducción teórica 11

3.1. Tétradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Los postulados de la tétrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3. Tensores de curvatura desde el espacio tangente . . . . . . . . 18

4. Desarrollo 21

4.1. Reducción dimensional y modos de Fourier . . . . . . . . . . . 21

4.2. Reducción de la métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3. Conexión de espín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4. Tensores de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5. De Einstein-Hilbert a Einstein-Maxwell-dilatón . . . . . . . . 27

5. Conclusiones 31

1. Objetivos

En este trabajo nos disponemos a discutir una cuestión planteada por elfísico y matemático Theodor Kaluza (1885-1954) en 1921 y más tarde mo-dificada por Oskar Klein (1894-1977), físico teórico, en 1926: la reducción

dimensional. Nuestro objetivo principal será reducir la acción de un espa-cio N -dimensional a su correspondiente acción efectiva en el espacio de unadimensión menos. En el camino nos encontraremos con métodos matemá-ticos que nos facilitarán estos cálculos, la visión puramente geométrica delas transformaciones gauge y, sobre todo, muchos conceptos nuevos y muyprofundos.

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2. Antecedentes

Pensar en un mundo de más dimensiones que las que percibimos no hasido fácil para la humanidad. Hasta el siglo XIX, pocos físicos se atrevíana manifestar que el mundo podría encerrar algunos de sus enigmas en unaquinta dimensión, y de hecho incluso muchos otros los tachaban de adeptosal espiritismo. No fue así para William Kingdon Clifford (1845-1879), el cualespeculaba sobre 1870 con la materia como la percepción por nuestros senti-dos de la curvatura de un mundo de cinco dimensiones. Este fue uno de lospensadores que empezó a abrir las puertas a la teoría de la relatividad y a lapercepción actual que tenemos del mundo.

Un poco más tarde, a principios del siglo XX, hizo su aportación el pioneroen teorías de unificación involucrando más dimensiones: Gunnar Nordström(1881-1923), el cual intentó unificar la gravedad y el electromagnetismo enun solo campo de fuerzas usando un espacio de cinco dimensiones. No tuvoningún éxito debido a que la teoría en la que enmarcó su estudio fue la dela relatividad especial, la cual se queda corta a la hora de intentar explicarla gravedad. Se desconoce por qué Einstein, que trabajó con él entre 1913y 1914, no le advirtió de este hecho y de las posibilidades que se le abríancuando, más tarde, publicó su teoría de la Relatividad General.

Sin embargo, el intento de Nordström fue bueno, pues, aunque ahora nospueda parecer extraño empezar unificando la teoría electromagnética y lagravitatoria, resulta que en esta época era la teoría del electromagnetismo laque estaba bien asentada y además Einstein publicaba su teoría de la Rela-tividad General. En contraposición, las teorías fuerte y débil no se entendíanmuy bien. Era natural, pues, que en busca de la unificación, se intentara unirel electromagnetismo con la gravedad.

Quien sí se tomó la molestia de usar la teoría de la Relatividad Generalen el primer intento de unificación que dio algunos frutos fue Kaluza, el cualcomenzó su teoría sobre el año 1919. Partió de gravedad pura en 5 dimen-siones, postulando la existencia de esta quinta coordenada, y, tras suponerque ningún campo dependía de ella, llegaba a la descomposición en 4 dimen-siones del campo gravitatorio, el electromagnético y otro campo escalar sinmasa, todos ellos acoplados. Así, se llegaba al electromagnetismo como unaconsecuencia de la gravedad, siempre que uno estuviera dispuesto a asumirla existencia de la coordenada extra.

Esta teoría, sin embargo, arrojaba varias preguntas aún sin responder. Enprimer lugar, parecía demasiado artificial la introducción de esta coordenada,ya que no se observaba ningún indicio de su existencia. Además, la suposición

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de que todos los campos eran independientes de ella era aún más extraña. Porotro lado, también resultaba fenomenológicamente inaceptable la apariciónde ese campo escalar que tampoco se había observado (y así sigue siendoactualmente).

Fue Klein el que, atraído por la idea de Kaluza, dio respuesta a todas lascuestiones relativas a la dimensión extra en su trabajo publicado en el año1926. En su teoría, trató con rigurosidad la existencia de esta coordenadaextra y la dependencia de los campos de ella, dando con la cuestión claveque lograba responder ambas preguntas de igual forma: la coordenada eraperiódica y tenía un radio muy pequeño (del orden de la longitud de Plank),con lo cual, por un lado, no logramos percibir esta dimensión y, por otro, dabauna sencilla explicación a que ninguno de los campos dependiera de ella (estoes el llamado límite de bajas energías, que explicaremos más adelante).

En la actualidad, nuestra mejor candidata para la unificación de todas lasfuerzas de la naturaleza es la teoría de cuerdas. Sin embargo, tiene el inconve-niente de que vive de manera natural en 10 dimensiones, con lo cual, aunquetodas las predicciones (incluidas las de dimensiones mayores) son relevantes,nos interesa extraer las consecuencias de esta teoría para el mundo tetradi-mensional que percibimos. Una forma de llevar a cabo esto es la reducción

dimensional de la teoría de Kaluza-Klein, en la que nos vamos a adentrar trasmontar todo el aparataje matemático necesario para facilitarnos el procesoposteriormente.

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3. Introducción teórica

Vamos a empezar por hacer una breve justificación de por qué nos embar-camos en este tipo de teorías multidimensionales y a defender la verosimilitudque pueden llegar a tener.

Consideremos que vivimos en un mundo bidimensional y que medimos lafuerza gravitatoria entre dos masas de nuestro mundo. Si obtuviéramos queel potencial gravitatorio va como el logaritmo de la distancia entre ellas, estoreforzaría nuestro pensamiento de que el mundo es tal y como lo conocemos,bidimensional. Ahora pensemos en otro caso, por ejemplo, si midiéramosque el potencial gravitatorio va como el inverso de la distancia, como ocurreal resolver la ecuación de Laplace en tres dimensiones. Esto nos llevaría apreguntarnos si la realidad es que el mundo que percibimos es parte de unomayor que lo contiene.

En nuestro caso, está bien probado que a grandes distancias el potencialgravitatorio va como el inverso de la distancia, pero, como podemos ver en lafigura 1, no está comprobado para distancias tan significativas como las déci-mas de milímetro. Así, podemos pensar que conforme nos fijamos en escalasmás pequeñas de nuestro universo, podemos percibir cambios estructuralesen las interacciones, los cuales pueden deberse a la propia estructura de nues-tra naturaleza. El ejemplo claro es que, si en realidad vivimos en un mundocon más dimensiones que las que en principio percibimos pero algunas soncompactas, cuando exploremos distancias del orden del tamaño de la direc-ción compacta, podremos percibir estas dimensiones al igual que las demás.El análisis de la forma del potencial gravitatorio es el que se expone en lafigura 1, donde se ajustan una serie de experimentos al potencial

V (r) = GNmM

r

(

1 + αe−r/λ)

, (1)

para así poder estudiar la magnitud de la desviación del potencial medido, α,y su alcance, λ. Como podemos ver, para α del orden de la unidad, la cota queofrecen los experimentos de la distancia a partir de la cual las correccionesson irrelevantes es, como ya hemos mencionado, del orden de la decena demilímetro, lo cual es bastante significativo y puede indicarnos que hay másfenomenología que la que estamos acostumbrados a observar a gran escala.

3.1. Tétradas

De la teoría de la relatividad general, hemos aprendido a manejar varie-dades diferenciables de dimensión N , MN , como un espacio que tiene local-mente la estructura del espacio de Minkowski y en cada punto un espacio

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Figura 1: Cotas arrojadas por distintos experimentos de la desviación delpotencial gravitatorio (ref. [3]).

vectorial independiente asociado, Tp(MN), que llamamos espacio tangente

a MN en el punto p. En él, construíamos la base de coordenadas como losvectores tangentes a las líneas de coordenadas en cada punto xµ ∈ MN , esdecir, |eµ〉 = ∂µ ∈ Tp(M

N).

Después de construir esta base, podemos plantearnos cambiar de coorde-nadas en el espacio tangente a otra base arbitraria |ea〉:

|eµ〉 = eaµ |ea〉 , |ea〉 = eµa |eµ〉 , (2)

siendo los coeficientes eaµ las componentes del vector |eµ〉 en la nueva base|ea〉, los cuales determinan el cambio de base. Mediante estos, podemostransformar las componentes de los vectores y tensores entre las distintasbases:

V a = eaµVµ, V µ = eµaV

a, (3)

de forma que así, en un espacio tangente concreto, podemos obtener la ex-presión de la métrica en nuestra nueva base a partir de la métrica curvilíneade la variedad,

gab = eµaeνbgµν , gµν = eaµe

bνgab. (4)

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Además, podemos tomar el cambio de coordenadas en el que la nueva métricatoma la forma de la métrica de Minkowski en coordenadas cartesianas, esdecir, gab = ηab, con lo cual, se simplifican las relaciones anteriores:

ηab = eµaeνbgµν , gµν = eaµe

bνηab. (5)

En este caso, en el cual la base de la métrica en el espacio tangente duales escogida para hacerla igual a la de Minkowski, estos elementos (1-formas)reciben el nombre de tétradas, siendo las coordenadas de estas en la base decoordenadas de la variedad lo que hemos llamado eaµ:

|eµ〉 = eaµ |ea〉 ⇐⇒ 〈eµ| = eµa 〈ea| ⇐⇒ 〈ea| = eaµ 〈e

µ| . (6)

Podemos hacer este procedimiento en todos los puntos de la variedad,es decir, en el haz tangente T (MN) al completo, con lo cual obtendríamostétradas diferentes en cada punto. Esto nos lleva a decir que las tétradas sonfunción del punto de la variedad que se considere y no podemos encontrar unsistema global de coordenadas cuyos vectores tangentes sean los dados porlas tétradas. Este hecho tiene su fundamento en la misma curvatura de lavariedad, ya que hemos cambiado de una métrica curva global gµν a un con-junto de métricas planas ηab. Precisamente esta dependencia, eaµ = eaµ(x),es la que ahora portará la información sobre las propiedades geométricas dela variedad.

Pero esto también nos provoca algunos problemas, por ejemplo, la noconmutatividad de las derivadas parciales:

[∂a, ∂b]φ = −Ωabc∂cφ, (7)

siendo φ un escalar y Ωabc, los coeficientes de anholonomía,

Ωabc = eµae

νb(∂µe

cν − ∂νe

cµ). (8)

Resulta que esta base no es la única base ortonormal que podemos escogeren Tp(M

N); podemos considerar otra base |e′a〉, que estará relacionada conla base de coordenadas de la variedad a través de las tétradas

|eµ〉 = e′aµ |e′a〉 , |e′a〉 = e′µa |eµ〉 , (9)

pero, al ser la relación entre las dos bases, |ea〉 y |e′a〉, una transformaciónde Lorentz (Λ−1)ab, las tétradas quedan relacionadas de la siguiente forma:

e′aµ = Λabe

bµ, e′µb = (Λ−1)abe

µa. (10)

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De la misma forma ocurre con el resto de vectores:

V ′a = e′aµVµ = Λa

bebµV

µ = ΛabV

b,

V ′a = e′µaVµ = (Λ−1)bae

µbVµ = (Λ−1)baVb. (11)

En cada espacio tangente la transformación de Lorentz será distinta,con lo cual la matriz Λa

b dependerá de las coordenadas de la variedad,Λa

b = Λab(x). Así, decimos que estas transformaciones son transformaciones

locales de Lorentz, en el sentido de que son globales en cada Tp(MN) pero

la transformación varía de punto a punto en la variedad. En otras palabras,son globales en cada espacio tangente, pero locales en el haz tangente.

De nuevo, esto nos causa problemas con las derivadas parciales, ya que laderivada parcial ∂µV

a no transforma como un vector,

∂µV′a = ∂µ(Λ

abV

b) = Λab∂µV

b + V b∂µΛab, (12)

sino que hay un término más, como decimos, debido a la dependencia deΛa

b de las coordenadas xµ. Para solventar esto, de la misma forma que enla geometría riemanniana, construimos un nuevo tipo de derivada que sítransforma bien bajo estas transformaciones locales de Lorentz (10):

Dµφ = ∂µφ,

DµVb = ∂µV

b + ωµabV a,

DµVa = ∂µVa − ωµabVb, (13)

siendo φ un escalar y V b y Va vectores contravariante y covariante respecti-vamente. La generalización a tensores de rango (m,n) es la obvia:

DµTb1...bm

a1...an = ∂µTb1...bm

a1...an

+ ωµcb1T cb2...bm

a1...an + · · ·+ ωµcbmT b1...bm−1c

a1...an

− ωµa1cT b1...bm

ca2...an − · · · − ωµancT b1...bm

a1...an−1c. (14)

Así pues, estas derivadas así construidas se comportan como tensores (delrango correspondiente) bajo las transformaciones de Lorentz, asumiendo quela conexión ωµa

b transforma como

ω′µa

b = (Λ−1)caΛbdωµc

d + Λbc∂µ(Λ

−1)ca. (15)

Esta conexión recibe el nombre de conexión de espín y, al igual que ocurríacon la conexión afín, la conexión de espín no transforma como un tensor

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debido al último sumando de la regla de transformación, pero la diferenciaentre dos conexiones de espín, sí.

Como ocurre con las derivadas covariantes ∇µ de la geometría riemannia-na, las derivadas covariantes Dµ no conmutan, sino que resulta

[Dµ, Dν ]φ = 0,

[Dµ, Dν ]Vb = Rµνa

bV a,

[Dµ, Dν ]Va = −RµνabVb, (16)

donde el tensor de curvatura Rµνab está definido como

Rµνab = ∂µωνa

b − ∂νωµab − ωµa

cωνcb + ωνa

cωµcb. (17)

En este punto, cabe destacar que Rµνab transforma como tensor (1, 1) frente

a transformaciones locales de Lorentz (10) pero como tensor (0, 2) frente acambios generales de coordenadas en MN ,

Rµνab =

∂yα

∂xµ

∂yβ

∂xνRαβa

b, R′µνa

b = (Λ−1)caΛbdRµνc

d. (18)

Otra nota que debemos hacer es la ausencia de términos análogos a los detorsión en la ecuación 16. Esto no implica nada sobre la torsión de la variedad,ya que esta veremos que se obtiene de otra relación (28).

Llegados a este punto, tenemos dos descripciones de la variedad: una entérminos de la métrica gµν y la conexión afín Γρ

µν , y otra en términos delas tétradas eaµ y la conexión de espín ωµa

b; entre las tétradas y la métricatenemos la relación 5, pero la conexión afín y la de espín son independientesentre ellas y además de la métrica. Sin embargo, vamos a establecer la relacióna través de los postulados de la tétrada.

3.2. Los postulados de la tétrada

Un problema que no hemos abordado todavía es que las derivadas Dµ

no son covariantes frente a cambios generales de coordenadas. Por ejemplo,DµT

aν no transforma como un tensor (0, 2) bajo estos cambios. Es por esto

que, para ser capaces de trabajar con objetos que tienen tanto índices curvoscomo índices planos, es preciso definir una derivada completamente covarian-te, esto es, covariante frente a ambos tipos de transformaciones. Por ejemplo(fácilmente extensible a tensores de rango cualquiera), definimos la derivadacovariante de un tensor T a

µ como

DµTbν = ∂µT

bν − Γρ

µνTbρ + ωµa

bT aν . (19)

15

Podemos ver que la construcción es bastante sencilla, ya que la hacemos apartir de cualquiera de las derivadas que conocemos, añadiéndole el términode conexión que sea necesario para comportarse bien frente a ambos tipos detransformaciones,

DµTbν = ∇µT

bν + ωµa

bT aν = DµT

bν − Γρ

µνTbρ. (20)

Así, vemos que transforma bien frente a cambios generales de coordenadas,

∂xµ

∂yα∂xν

∂yβDµT

bν =

∂xµ

∂yα∂xν

∂yβ(∇µT

bν + ωµa

bT aν)

= ∇αTbβ +

∂xµ

∂yαωµa

bT aβ = ∇αT

bβ + ωαa

bT aβ

= DαTbβ, (21)

y frente a transformaciones locales de Lorentz,

ΛbaDµT

aν = Λb

a(DµTaν − Γρ

µνTaρ)

= DµT′bν − Γρ

µνΛbaT

aρ = DµT

′bν − Γρ

µνT′bρ

= DµT′bν . (22)

Una vez definida esta derivada, podemos formular el primer postulado de

la tétrada, el cual impone que la derivada covariante completa de la tétradaes nula,

Dµebν = 0. (23)

Gracias a este postulado tenemos la ventaja de poder cambiar los índices dela variedad por índices planos dentro de derivadas covariantes completas,

eaρDµVρ = Dµ(e

aρV

ρ) = DµVa, (24)

al igual que la condición de la conexión afín compatible con la métrica nospermitía cambiar el carácter covariante o contravariante de los tensores den-tro de una derivada covariante. En este caso, esta condición no implica lacompatibilidad con la métrica, sino que su gran ventaja es que hace posiblerelacionar la conexión afín y la de espín,

Dµebν = 0 ⇔ 0 = ∂µe

bν + ωµc

becν − Γρµνe

bρ

⇔ ωµcbecν = Γρ

µνebρ − ∂µe

bν

⇔ ωµcb = Γρ

µνebρe

νc − eνc∂µe

bν , (25)

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lo cual permite establecer la relación entre los tensores Rµνρλ y Rµνa

b,

Rµνρλ = Rµνa

beaρeλb, (26)

y calcular la torsión usando la relación siguiente:

Dµeaν = Γρ

µνeaρ

= Γρµνe

aρ − Γρ

νµeaρ + Γρ

νµeaρ = T ρ

µνeaρ + Γρ

νµeaρ

= T ρµνe

aρ +Dνe

aµ (27)

⇓

T ρµνe

aρ = 2D[µe

aν], (28)

donde hemos llamado

2A[µBν] = AµBν −AνBµ, 2A(µBν) = AµBν + AνBµ, (29)

lo cual nos ahorrará escritura a lo largo del trabajo.

Esto nos permite afirmar que los dos formalismos, que antes presentába-mos como independientes, en realidad son equivalentes puesto que la infor-mación que portan ambos tensores sobre las propiedades geométricas de lavariedad es la misma.

Destacamos aquí que el tensor Rµνab transforma como un tensor (0, 2)

frente a cambios generales de coordenadas:

∂xµ

∂yα∂xν

∂yβRµνa

b =∂xµ

∂yα∂µ

(

∂xν

∂yβωνa

b

)

− ωνab ∂2xν

∂yα∂yβ

−∂xν

∂yβ∂ν

(

∂xµ

∂yαωµa

b

)

+ ωµab ∂2xµ

∂yβ∂yα

− ωαacωβc

b + ωαcbωβa

c

= Rαβab. (30)

El segundo postulado de la tétrada es en realidad la condición de compa-tibilidad de la conexión con la métrica, ∇µgνρ = 0, o, escrito con tétradas,

∇µ(eaνe

bρηab) = 0. (31)

Como ya hemos mencionado, este postulado es independiente del primero,y la unión de ambos (junto con el de que la conexión sea simétrica paratrabajar con la de Levi-Civita), implican, a través de la ec. 5, no solo la

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compatibilidad de la conexión afín con la métrica gµν , sino también la de laconexión de espín con la métrica plana, ηab,

Dµηab = 0. (32)

Una vez que tenemos asumido todo esto, se tienen una serie de conse-cuencias. En primer lugar, podemos ver fácilmente que

2D[µeaν] = 0, (33)

debido a que la conexión es simétrica y, por tanto, se anula el tensor de torsión(28); por otro lado, también podemos ver la antisimetría en los índices deltensor de curvatura Rµν

ab,

0 = [Dµ, Dν ]ηab = Rµνc

aηcb +Rµνcbηac

⇒ Rµνab = −Rµν

ba, (34)

donde la primera igualdad nos la asegura la expresión 32 y la siguiente, la16; y, por último,

0 = Dµηab = ∂µηab − ωµacηbc − ωµb

cηac

⇒ ωµab = −ωµba, (35)

siendo ωµab = ωµacηcb. También, al trabajar con la conexión de Levi-Civita,

sabemos que la conexión afín está determinada por la métrica, y entonces sepuede escribir la fórmula 25 de una manera mucho más elegante,

ωabc =

1

2

(

Ωadeηcdηbe + Ωbd

eηcdηae − Ωabc)

, (36)

donde la conexión de espín con tres índices planos la definimos intuitivamentecomo ωab

c = eµaωµbc. Esta conexión además tiene la siguiente propiedad:

ωabc − ωba

c = −Ωabc, (37)

la cual nos será útil más tarde para calcular algunas conexiones de espín.

3.3. Tensores de curvatura desde el espacio tangente

Al igual que hemos visto que el tensor de curvatura de la conexión deespín se relaciona con el tensor de Riemann (26) gracias al primer postulado

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de la tétrada, podemos relacionar las contracciones de Rµνab con las del tensor

de Riemann. Para verlo, vamos a empezar construyendo

Rµa = eνbRµνab = ∂µωba

b − ∂bωµab − ωµa

cωbcb + Γρ

µνeνbωρa

b, (38)

que se comporta como un vector tanto bajo cambios generales de coordenadascomo transformaciones locales de Lorentz, o su versión con dos índices planos,

Rab = eµaRµb = ∂aωcbc − ∂cωab

c − ωabcωdc

d + ωcadωdb

c, (39)

la cual se comporta como un escalar frente a cambios generales de coorde-nadas aunque como un tensor de rango 2 bajo transformaciones locales deLorentz. En realidad, lo que ocurre es que Rab es la versión con dos índicesplanos del tensor de Ricci, con lo cual se cumple:

Rab = eµaeνbRµν ,

Rac = Rabcb = ηbdRabcd,

R = ηabRab = gµνRµν . (40)

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4. Desarrollo

Una vez que hemos establecido estas bases, podemos proceder al cálculode Kaluza y Klein. De aquí en adelante, notaremos objetos N -dimensionalescon un acento circunflejo:

xµ, gµν(x), ξµ(x), . . . (41)

mientras que los objetos (N − 1)-dimensionales carecerán de él,

xµ, gµν(x), ξµ(x), . . . (42)

Por lo tanto, µ ∈ 0, . . . , N − 1, mientras que µ ∈ 0, . . . , N − 2. Llamare-mos x = xN−1 a la dimensión compacta,

xµ = (xµ, x). (43)

4.1. Reducción dimensional y modos de Fourier

Consideramos, entonces, el espacio de Minkowski N -dimensional, dondeuna dirección espacial es compacta y periódica con radio R0,

ds2 = ηµνdxµdxν − R2

0dθ2, (44)

con θ = θ + 2π. Es conveniente parametrizar la coordenada compacta paraque tenga dimensiones de longitud, de forma que si introducimos una escalade longitud ℓ y escribimos x = ℓθ, la métrica quedaría como

ds2 = ηµνdxµdxν −

(

R0

ℓ

)2

dx2. (45)

De esta forma, aunque la periodicidad de la coordenada compacta viene dadapor ℓ, x = x + 2πℓ, la elección del valor de ℓ no afecta a la física de nuestromodelo, sino que corresponde a diferentes parametrizaciones de la coordenadacompacta, pues el radio sigue siendo el mismo, R0.

Consideramos también un campo escalar Φ(xµ) en este espacio, que sa-tisface la ecuación de Klein-Gordon sin masa:

0 = ∂µ∂µΦ(xν) = ηµν∂µ∂νΦ(x

ρ)−

(

ℓ

R0

)2

∂2xΦ(x

ρ). (46)

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Dado que la dirección x es periódica, podemos expandir la dependencia deΦ en x en una serie de Fourier:

Φ(xµ) =∑

n

Φn(xµ)einx/ℓ, (47)

donde los Φn(xµ) son los coeficientes de Fourier, únicamente dependientes de

las coordenadas no compactas xµ. De esta forma, podemos introducir estoen la ecuación de Klein-Gordon y obtener

∑

n

[

∂µ∂µΦn(x

ν) +

(

ℓ

R0

)2(n

ℓ

)2

Φn(xν)

]

einxℓ = 0

⇒ ∂µ∂µΦn(x

ν) +

(

n

R0

)2

Φn(xν) = 0 ∀n ∈ Z, (48)

lo cual, al compararlo con la ecuación de Klein-Gordon con masa,

∂µ∂µΦn +

m2n

~2Φn = 0, (49)

nos indica que la ecuación de este campo escalar sin masa se descomponeen un sistema infinito de ecuaciones masivas desacopladas. Así, los modosdel campo Φ se manifiestan en dimensiones inferiores como una torre infinitade estados con masas proporcionales al inverso del radio de la dimensióncompacta, mn = |n|~

R0

. Estos modos son los llamados modos de Kaluza-Klein

de Φ. Al hacer tender R0 a infinito, los estados tienden a perder su masa yformar un espectro continuo. Sin embargo, para un R0 pequeño (comparablecon la longitud de Plank), los estados de índice n 6= 0 son muy masivos (conmasas del orden de la masa de Plank). A energías bajas o, equivalentemente, aescalas de longitud mucho mayores que el tamaño de la dimensión compacta,el modo no masivo es el único que tiene relevancia, esto es, podemos quitar ladependencia respecto de x en todos los campos N -dimensionales. Así pues,de aquí en adelante trabajaremos en el límite de bajas energías, es decir,asumiremos ∂x = 0.

Resulta que las transformaciones generales de coordenadas en el espacioN -dimensional se van a manifestar, tras hacer la reducción dimensional, comootro cambio general de coordenadas más una transformación gauge. Para veresto, vamos a empezar por ver la variación de la métrica N -dimensional bajocambios infinitesimales de coordenadas:

δgµν = ξ ρ∂ρgµν + gρν∂µξρ + gµρ∂ν ξ

ρ. (50)

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En base a esta expresión, podemos ver que la componente gxx transformabajo cambios de coordenadas N -dimensionales como un escalar (N − 1)-di-mensional, con parámetro ξµ = ξµ:

δgxx = ξ ρ∂ρgxx = ξρ∂ρgxx, (51)

pero que las componentes gµx y gµν no transforman como un vector y untensor (N − 1)-dimensional respectivamente:

δgµx = ξ ρ∂ρgµx + gρx∂µξρ = ξρ∂ρgµx + gρx∂µξ

ρ + gxx∂µξx,

δgµν = ξ ρ∂ρgµν + gρν∂µξρ + gµρ∂ν ξ

ρ

= ξρ∂ρgµν + gρν∂µξρ + gxν∂µξ

x + gµρ∂νξρ + gµx∂ν ξ

x, (52)

ya que sobran los sumandos con ξx. Sin embargo, podemos construir lascantidades

Aµ =gµxgxx

, gµν = gµν −gµxgνxgxx

, (53)

que resultan transformar como vector y tensor (N−1)-dimensionales respec-tivamente,

δAµ =δgµxgxx − gµxδgxx

(gxx)2= ξρ

gxx∂ρgµx − gµx∂ρgxx(gxx)2

= ξρ∂ρAµ + Aρ∂µξρ + ∂µξ

x,

δgµν = ξρ∂ρgµν + gµρ∂νξρ + gρν∂µξ

ρ, (54)

y además podemos ver también que bajo cambios de coordenadas con pará-metro ξ = ξx, Aµ transforma como el potencial gauge U(1), pero k = gxx ygµν permanecen invariantes.

Esto nos lleva a una de las conclusiones más importantes de nuestro tra-bajo, ya que vemos que el efecto geométrico de compactificar una de lasdimensiones se manifiesta en una transformación gauge U(1), es decir, co-mo interacción electromagnética. El simple hecho de relacionar una trans-formación geométrica con una fuerza física, que físicamente son conceptoscompletamente diferentes, es lo que manifiesta la potencia de este cálculo.

Así pues, a partir de este momento consideraremos gµν como la métricaefectiva (N −1)-dimensional, Aµ como el potencial electromagnético efectivoy k como un escalar, y llamaremos a estos dos últimos el vector y el escalar

de Kaluza-Klein, respectivamente.

23

4.2. Reducción de la métrica

A partir de ahora, para simplificar los cálculos, en vez de trabajar sim-plemente con la forma de la métrica descrita en la expresión 53, lo haremoscon una versión con factores correspondientes a transformaciones localmenteconformes. En concreto:

ds2 = e2αφ+2Ω0gµνdxµdxν − e2βφ(dx+ γAµdx

µ)2, (55)

donde los parámetros α, β, γ y Ω0 los elegiremos convenientemente más tarde.Con esto, las componentes de la métrica quedan como

gµν = e2αφ+2Ω0gµν − γ2e2βφAµAν , gµx = −γe2βφAµ, gxx = −e2βφ. (56)

De nuevo, destacamos que la presencia de los factores (relacionados con elmódulo del escalar de Kaluza-Klein, k = −e2βφ) delante de la métrica (N−1)-dimensional y del vector de Kaluza-Klein, será clara más tarde, cuando demosvalores concretos a estos parámetros.

En este momento conviene aclarar que, al encontrarnos en una variedadarbitraria, resulta que el radio de la dimensión compacta es una variabledinámica, que cambia en cada punto y que se puede calcular como

R0(xµ) =

1

2π

∫ 2πℓ

0

√

|gxx| dx =1

2π

∫ 2πℓ

0

eβφ(xµ) dx = eβφℓ. (57)

Entonces, a partir de esta relación, podemos ver que el escalar de Kaluza-Klein está íntimamente relacionado con el radio de la dimensión compacta,lo cual tendrá consecuencias importantes en nuestra teoría.

Vamos a llamar eaµ a la tétrada correspondiente a esta métrica. Si hace-mos la misma división con los índices planos que con los índices curvos, esdecir, xa = (xa, X), podemos ver que la tétrada eaµ y su inversa eµa,

eaµ = eαφ+Ω0eaµ, eax = 0, eXµ = γeβφAµ, eXx = eβφ,

eµa = e−αφ−Ω0eµa, eµX = 0, exa = −γe−αφ−Ω0Aa, exX = e−βφ, (58)

dan lugar a la métrica anterior a través de la relación 5,

gµν = eaµebν ηab = e2αφ+2Ω0eaµe

aνηab − γ2e2βφAµAν

= e2αφ+2Ω0gµν − γ2e2βφAµAν ,

gµx = eaµebxηab − eXµe

Xx = −γe2βφAµ,

gxx = eaxebxηab − eXxe

Xx = −2e2βφ, (59)

24

y a su inversa,

gµν = eµaeνbη

ab − eµX eνX = e−2αφ−2Ω0gµν ,

gµx = −γe−αφ−Ω0eµae−αφ−Ω0Abη

ab = −γe−2αφ−2Ω0Aµ,

gxx = γ2e−2αφ−2Ω0AaAbηab − e−2βφ = γ2e−2αφ−2Ω0AµA

µ − e−2βφ. (60)

Debemos aclarar que estos valores de la tétrada (58) no se obtienen sim-plemente de imponer la condición 5 (que sería un sistema de tres ecuacionescon cuatro incógnitas), sino que además hemos impuesto que las componen-tes eax se anulen, lo que sería equivalente a escoger una entre todas las basesortonormales en el espacio tangente.

En este punto, una comprobación conveniente sería multiplicar la métricacon su inversa para ver que se obtiene la identidad.

4.3. Conexión de espín

De forma análoga a anteriormente, definimos las derivadas con respectoa índices planos como

∂a = eµa∂µ, (61)

con lo que podemos ver que

∂X = eµX∂µ + exX∂x = 0,

∂a = eµa∂µ = e−αφ−Ω0eµa∂µ = e−αφ−Ω0∂a, (62)

es decir, la independencia de los campos de la coordenada compacta x derivaen el mismo suceso para su análoga plana X gracias a la tétrada (58) (enrealidad, juega un papel crucial la imposición de anular eax). También hemosde destacar que la derivada (N − 1)-dimensional es proporcional a la N -di-mensional.

Podemos calcular ahora los coeficientes de anholonomía. Teniendo encuenta que Ωab

c = −Ωbac y que muchos se anulan al ser todos sus sumandos

proporcionales a ∂x, ecx o eµX , los únicos relevantes son

Ωabc = e−αφ−Ω0

[

Ωabc + 2α∂[aφδ

cb]

]

,

ΩabX = γe(β−2α)φ−2Ω0Fab,

ΩaXX = βe−αφ−Ω0∂aφ, (63)

25

donde Fab = eµaeνbFµν = eµae

νb(∂µAν − ∂νAµ) es la versión plana del tensor

electromagnético. También podemos calcular las conexiones de espín hacien-do uso de la ecuación 36, siendo las no triviales las siguientes:

ωabc = e−αφ−Ω0 [ωab

c + α∂bφδca − α∂cφηab] ,

ωabX = −

1

2γe(β−2α)φ−2Ω0Fab,

ωaXc = −

1

2γe(β−2α)φ−2Ω0Fa

c,

ωXbc = ωbX

c,

ωXbX = βe−αφ−Ω0∂bφ,

ωXXc = βe−αφ−Ω0∂cφ, (64)

Una vez que las tenemos calculadas, se puede comprobar que, efectivamente,son compatibles con la métrica plana.

4.4. Tensores de curvatura

Ahora que tenemos todas estas herramientas, podemos construir el tensory el escalar de Ricci. Tras usar el equivalente N -dimensional de la ecuación 39,

Rab = ∂aωcbc − ∂cωab

c + ωcadωdb

c − ωabcωdc

d, (65)

y operar, obtenemos

Rab = e−2αφ−2Ω0

[

Rab + [(N − 3)α+ β]DaDbφ+ αD2φηab

Rab − [(N − 3)α2 + 2αβ − β2]∂aφ∂bφ+ α[(N − 3)α+ β](∂φ)2ηab

Rab −1

2γ2e2(β−α)φ−2Ω0FacFb

c]

,

RaX =1

2γe(β−3α)φ−3Ω0

[

DbFab + [(N − 5)α + 3β]∂bφFab

]

,

RXX = −e−2αφ−2Ω0

[

βD2φ+ β[(N − 3)α + β](∂φ)2

RXX +1

4γ2e2(β−α)φ−2Ω0FabF

ab]

,

R = e−2αφ−2Ω0

[

R + 2[(N − 2)α+ β]D2φ

R + [(N − 2)(N − 3)α2 + 2(N − 3)αβ + 2β2](∂φ)2

R −1

4γ2e2(β−α)φ−2Ω0FabF

ab]

. (66)

26

Así, ahora podemos construir la acción en este espacio N -dimensional y vercómo reduce a dimensiones inferiores. Esto nos llevará a descubrir los efectosdinámicos que tendrá la reducción dimensional sobre nuestro espacio efectivode N − 1 dimensiones.

4.5. De Einstein-Hilbert a Einstein-Maxwell-dilatón

Nuestra intención es partir de la acción de Einstein-Hilbert en nuestroespacio N -dimensional para luego integrar en la coordenada compacta y vera qué acción se reduce en dimensiones inferiores para entender qué repercu-siones dinámicas tiene nuestro modelo. Así, partimos de que

S =1

2κ

∫

dNx√

|g|R, (67)

siendo κ la constante de Newton N -dimensional. Ahora tenemos en cuentala sencilla reducción de la métrica gracias al formalismo de las tétradas,

√

|g| = |e| = eβφ|eαφ+Ω0eaµ| = eβφe(N−1)(αφ+Ω0)|e|

= e[(N−1)α+β]φ+(N−1)Ω0

√

|g|. (68)

Integramos en la coordenada compacta y obtenemos (teniendo en cuenta queD2φ = ∇2φ):

S =2πℓ

2κ

∫

dN−1x√

|g|e[(N−3)α+β]φ+(N−3)Ω0

[

R + 2[(N − 2)α + β]∇2φ

+ [(N − 2)(N − 3)α2 + 2(N − 3)αβ + 2β2](∂φ)2

−1

4γ2e2(β−α)φ−2Ω0FµνF

µν]

. (69)

Aquí nos encontramos con el primer problema de esta acción: tenemos untérmino de segundo orden en φ, el cual nos daría lugar a ecuaciones de mo-vimiento de tercer orden. Por suerte, podemos resolver esto integrando porpartes (omitimos la parte de la derivada total por no ser físicamente relevan-te),

∫

dN−1x√

|g|e[(N−3)α+β]φ∇2φ

= −

∫

dN−1x√

|g|∂µ(e[(N−3)α+β]φ)∂µφ

= −[(N − 3)α+ β]

∫

dN−1x√

|g|e[(N−3)α+β]φ(∂φ)2, (70)

27

obteniendo así la acción sin términos de segundo orden:

S =2πℓe(N−3)Ω0

2κ

∫

dN−1x√

|g|e[(N−3)α+β]φ[

R

− (N − 2)α[(N − 3)α + 2β](∂φ)2 −1

4γ2e2(β−α)φ−2Ω0FµνF

µν]

. (71)

Pero ahora nos encontramos con la peculiaridad de que esta acción no estáescrita en su forma usual, L =

√

|g|R + . . . , llamada la forma de Einstein

(en inglés Einstein frame), sino que además tenemos otro factor. Resulta queuna acción del tipo

L =√

|g|e2Ω(x)[

R + . . .]

, (72)

con Ω(x) una función escalar, se dice que está escrita en la forma de Jordan

y la solución para pasar de una a la otra radica en realizar una transforma-

ción de Weyl sobre la métrica, gµν = e2Ω(x)gµν . Como cada una de estas dosmétricas desemboca en una geometría diferente, debemos escribir esta acciónen la forma de Einstein, que es la físicamente aceptada. Para ello, basta conescoger α = −β/(N−3). Esta era la razón por la que introdujimos estos fac-tores en la métrica, para ahorrarnos hacer explícitamente una transformaciónde Weyl. Tras esta elección, la acción queda escrita como

S =2πℓe(N−3)Ω0

2κ

∫

dN−1x√

|g|

[

R +N − 2

N − 3β2(∂φ)2

S =2πℓe(N−3)Ω0

2κ

∫

dN−1x√

|g|

[

−1

4γ2e2

N−2

N−3βφ−2Ω0FµνF

µν

]

. (73)

El siguiente aspecto que debemos tener en cuenta es que nuestra métricadebe ser asintóticamente plana, es decir, debe tender a la métrica del vacío(45) para distancias grandes,

gµν = ηµν , gµx = 0, gxx = −

(

R0

ℓ

)2

, (74)

y, sin embargo, lo que nosotros tenemos es

gµν = e−2βN−3

φ0+2Ω0gµν , gµx = −γe2βφ0Aµ, gxx = −e2βφ0 , (75)

siendo φ0 el valor asintótico de φ. Para que cuadren entonces los resultados,debe ser

gµν = e2β

N−3φ0−2Ω0ηµν , Aµ = 0, eβφ0 =

R0

ℓ. (76)

28

Observamos que la tercera condición la podemos obtener equivalentemente dela ecuación 57 teniendo en cuenta que R0 = R0(∞). Aquí nos damos cuentade que la planitud N -dimensional no implica la igualdad de la métrica delespacio de una dimensión menos a la de Minkowski tras la compactificación,pues hay un factor constante delante de ella. Para arreglar esto, escogemos

eβ

N−3φ0 = eΩ0 =

(

R0

ℓ

)1

N−3

. (77)

También definimos κ = κ/2πR0 (hablaremos de ello más adelante) y escoge-mos apropiadamente β y γ,

β2 =N − 3

N − 2κ, γ2 = 2κe2Ω0 , (78)

para que los términos cinéticos del escalar y el vector de Kaluza-Klein tenganla normalización canónica,

S =

∫

dN−1x√

|g|

[

1

2κR +

1

2(∂φ)2 −

1

4e2√

N−2

N−3κφFµνF

µν

]

. (79)

Así escrita, suele llamarse la acción de Einstein-Maxwell-dilatón, puesto quedescribe una acción acoplada tanto al campo electromagnético como al esca-lar de Kaluza-Klein. La palabra dilatón viene del hecho de que este campoescalar es parte de la transformación de Weyl que, implícitamente, hemoshecho en nuestra acción, con lo cual φ está relacionado con las dilatacioneslocales de la métrica al pasar de una forma de la acción a otra.

Cabe destacar que hemos visto que la constante de Newton (N−1)-dimen-sional está relacionada con la del espacio mayor a través del radio asintótico,κ = κ/2πR0, lo cual podría explicar la reducción del efecto de la gravedadcon respecto al de otras fuerzas fundamentales.

Una vez llegados a este punto, debemos darnos cuenta de que el acopla-miento del dilatón con el campo electromagnético no es en absoluto trivial.De hecho, vamos a ver que no podemos hacer el truncamiento φ = 0 y obteneruna teoría consistente sin presencia del dilatón. Efectivamente, si hacemosφ = 0, nuestra acción se reduce a la de Einstein-Maxwell, pero si nos fijamosen las ecuaciones obtenidas antes de hacer el truncamiento,

gµν −→ Rµν −1

2gµνR = −κTµν(φ)− κe

2√

N−2

N−3κφTµν(A),

Aµ −→ ∇µ

(

e2√

N−2

N−3κφF µν

)

= 0,

29

φ −→ ∇2φ+1

2

√

N − 2

N − 3κe

2√

N−2

N−3κφFµνF

µν = 0, (80)

y posteriormente truncamos φ = 0, precisamente la ecuación proveniente dela variación del escalar de Kaluza-Klein es la que da problemas, añadiendouna ligadura a la dinámica de nuestro sistema, FµνF

µν = 0, que no tiene porqué cumplirse para una solución arbitraria de la acción de Einstein-Maxwell(un ejemplo de ello es el agujero negro de Reissner-Nordström).

A pesar de los inconvenientes que obtenemos al intentar truncar el escalarde Kaluza-Klein, sí que es posible truncar de forma consistente el vector,Aµ = 0, pero esto no nos ayuda ya que seguimos teniendo la presencia de esecampo escalar que fenomenológicamente no observamos.

El hecho de no poder hacer desaparecer este campo escalar ha sido preci-samente lo que desterró esta teoría al cajón del olvido durante más de mediosiglo, a pesar de su elegancia.

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5. Conclusiones

En nuestro trabajo hemos reobtenido el desarrollo de Kaluza-Klein. Paraello, hemos comenzado por estudiar métodos matemáticos que nos han si-do de ayuda a lo largo de nuestro desarrollo: introducción a la tétrada, suspostulados y, en general, todas las herramientas de trabajo necesarias pa-ra describir la variedad a través de sus espacios tangentes. También hemosjustificado la mejora de Klein a la teoría inicial de Kaluza al mostrar el lími-te de bajas energías. Por último, hemos aplicado todos estos conocimientosal cálculo de la acción de Einstein-Hilbert y su posterior reducción a la deEinstein-Maxwell-dilatón.

En el camino nos hemos encontrado con la conclusión más fuerte de es-te trabajo: a partir de un modelo puramente geométrico, podemos obtenerinvariancia gauge, esto es, hemos obtenido la visión de las transformacionesgauge como desplazamientos en la coordenada compacta de nuestro espaciode dimensión mayor, lo cual parece francamente sorprendente, pues observa-mos efectos físicos, de hecho como una interacción, derivados de la geometríadel espacio de dimensión mayor en el que nos encontramos sumidos.

Algo importante que también se deriva en este trabajo es el posible origendel problema de la jerarquía, es decir, la diferencia de la constante de Newtoncon las constantes de las otras fuerzas de la naturaleza, en concreto, con elelectromagnetismo, pues la constante de Newton se atenúa al compactificar,como ya hemos visto, con un factor dependiente del radio de la coordenadacompacta, 2πR0. Sin embargo, un problema que también sale a relucir es quela diferencia entre las constantes de la gravitación y el electromagnetismo esdemasiado grande, lo cual requeriría un radio R0 muy grande para cuadrarla atenuación. Esto, por contra, entra en conflicto con una de nuestras bases:el límite de bajas energías, el cual estaba justificado para un R0 pequeño.Evidentemente, el problema se disipa si compactificamos en más dimensio-nes, pero está claro que, en principio, nuestra teoría no da una resoluciónsatisfactoria a este conflicto, pues es una primera aproximación al abordajedel problema, un llamado toy model.

Por último, la conclusión final es que, aunque obtenemos campos electro-magnéticos en nuestra teoría como consecuencia de la gravedad en el espaciode dimensión mayor, las diferencias de nuestra acción con la de Einstein-Maxwell son notables y, al no poder hacer un truncamiento consistente delcampo φ, no podemos concluir que nuestro modelo sea fenomenológicamen-te válido. A pesar de todo esto, las propiedades que exhibe son bastanteprometedoras, pues la elegancia de la unificación y la visión geométrica de

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las transformaciones gauge es indiscutible. Simplemente, hay que verlo comoun primer paso hacia modelos más serios que puedan adaptarse mejor a lafenomenología.

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Referencias

[1] Chris Pope, “Kaluza-Klein theory”,http://people.physics.tamu.edu/pope/ihplec.pdf.

[2] M.J. Duff, “Kaluza-Klein Theory in Perspective”, talk at the Oskar KleinCentenary Nobel Symposium, Stockholm, Sept. 1994; hep-th/9410046.

[3] D. J. Kapner, T. S. Cook, E. G. Adelberger, J. H. Gundlach, B. R.Heckel, C. D. Hoyle, and H. E. Swanson, “Tests of the GravitationalInverse-Square Law below the Dark-Energy Length Scale”, Phys. Rev.

Lett., 98, 021101 (2007).

[4] Bert Janssen, “Teoría de la Relatividad General”,http://www.ugr.es/~bjanssen/text/BertJanssen-

RelatividadGeneral.pdf.

[5] Theodor Kaluza, “Wikipedia, the free encyclopedia”,https://en.wikipedia.org/wiki/Theodor_Kaluza .

[6] Oskar Klein, “Wikipedia, the free encyclopedia”,https://en.wikipedia.org/wiki/Oskar_Klein.

[7] Kaluza-Klein theory, “Wikipedia, the free encyclopedia”,https://en.wikipedia.org/wiki/Kaluza-Klein_theory.

[8] R. A. Alemañ Berenguer, “El desafío de Einstein I. En busca de la uni-ficación”, URSS (2011).

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