TRABAJO DE GRADO · El Teorema de la unidad de Dirichlet determina el rango del grupo de unidades...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIADepartamento de Matematicas de la Facultad de Ciencias

TRABAJO DE GRADO

Trabajo de Investigacion presentadopor EDNA ROCIO FORERO DELGADO

ante la Universidad Nacional de Colombiapara optar al tıtulo de Matematica

A mis padres.

Introduccion

Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue un matematico aleman cuyos metodosproporcionan perspectivas alternativas y sus resultados han aportado una parte impor-tante de la matematica1. En Teorıa de numeros, una aproximacion diofantica (llamadaası en honor al antiguo matematico griego Diofanto) es una aproximacion a numerosreales por medio de numeros racionales. Una aproximacion diofantica de un numeroreal θ es un racional p/q tal que la distancia de θ a p/q sea muy pequea.Un resultadode Dirichlet afirma que hay una infinidad de racionales p/q tal que |θ − p/q| < 1/q2.En la practica, estos racionales se pueden encontrar usando fracciones continuas 2. Elprimer Teorema de convergencia de series de Fourier es debido al Teorema de Dirich-let: Dirichlet creo una parte nueva en las matematicas, la aplicacion de las series infini-tas de Fourier ha introducido en la teorıa del calor en la exploracion de las propiedadesde los numeros primos. El ha descubierto una variedad de teoremas que... son los pi-lares de las nuevas teorıas C. J. Jacobi escrito el 21 de Diciembre de 1846 en una carta aAlexander Von Humbolt.

El Teorema de la unidad de Dirichlet determina el rango del grupo de unidades de unanillo O de K-enteros de un campo K3. Para su demostracion Dirichlet usa el principiodel casillero que establece que si tengo dos conjuntos dinitos A y B con A¿B entoncesno existe ninguna funcion inyectiva de A en B4.

Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) fue un matematico y filosofo ingles que desar-rollo sus estudios y docencia en la Universidad de Cambridge. En su artıculo Sobre unproblema de Logica formal Ramsey prueba un Teorema que lleva su nombre suminis-trando la idea que dentro de un sistema suficientemente grande, a pesar del desorden,debe haber cierto orden: condiciones generales para la existencia de subestructurascon propiedades regulares 5.El Teorema de Ramsey podra proporcionarnos una formamas sofisticada de particionar que el Principio del casillero.

El matemtico Timothy Gendron, investigador de la Universidad Autonoma de Mexico(UNAM) es autor del artıculo llamado Real algebraic number theory I. Diophantine ap-proximation groups que introduce al tema de los grupos de aproximaciones diofanticasy su asociacion con las foliaciones de kronecker, y que sirven para caracterizar la de-pendencia K-lineal y geometrica. Basandose en estos conceptos, este autor reformulalos teoremas de Baker, Lindemann-Weirstrass, y la conjetura de Schamuel (general-

1[10]2[11]3[12]4[8]5[9]

i

izacin del teorema de Lindemann-Weirstrass). En el artıculo de Gendron podemosencontrar la reformulacion del Teorema de K-Dirichlet.

Sugen dos preguntas:

1. ¿Se podra generalizar en la demostracion del Teorema de K-Dirichlet el Principiodel Palomar por el Teorema de Ramsey?.

2. ¿Existe un espacio de Ramsey asociado a ”familias” de inecuaciones?

Esta monografıa es una introduccion a un proyecto de investigacion que piensodesarrollar en mas detalle en mis estudios de Maestrıa. Seguimos los primeros doscapıtulos del artıculo de Gendron los cuales se basan en las estructuras no estandar ylas aproximaciones diofanticas. Para esto debemos hacer introducciones a la teorıa deUltrafiltros, el Teorema de Los para ultrapotencias y lımites categoricos. En un proximotrabajo se desarrollara lo que falta del artıculo de Gendron: Foliaciones de Kroneckery los teoremas de aproximacion, para finalmente desarrollar la teorıa de espacios deRamsey y funciones de Cohen con el fin de resolver las preguntas planteadas.

ii

Contenido

1 Reales Re-equipados 21.1 Reales no standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Ultrapotencia de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Reales no estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Reales estandard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Los reales re-equipados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Grupos de aproximaciones diofanticas de numeros reales 62.1 Aproximaciones diofanticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Grupos de aproximaciones diofanticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 ∗Z(θ) como subanillo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Cardinalidad de ∗Z(θ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Grupo de terminos de errores diofantinos . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4 Grupos lımites de aproximaciones diofanticas . . . . . . . . . . . 11

2.3 Definicion intrınseca de grupos de aproximaciones diofanticas . . . . . . 12

A Ultrapotencias 13A.1 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13A.2 Productos Reducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A.2.1 Producto reducido de L -Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . 17A.3 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

B Lımites y Colımites 22B.1 Categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

B.1.1 Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22B.1.2 Categorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24B.1.3 Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

B.2 Lımites y colımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1

Capıtulo 1

Reales Re-equipados

Introduccion

En este capıtulo se pretende construir un conjunto, asociado con los numeros reales, alcual daremos el nombre de Reales re-equipados (segun el artıculo de Gendron) y quenos servira para desarrollar el concepto de aproximaciones diofanticas que se profun-dizara en el siguiente capıtulo.

Para realizar esta tarea es necesario llevar un proceso de tres partes: en primer lu-gar se tomara un ultrafiltro no principal con el que construiremos la ultrapotencia deun conjunto cualquiera que heredara, gracias al teorema de Los, las propiedades delconjunto.En segundo lugar, se hara por un lado la ultrapotencia del conjunto de losnumeros reales y por otro la ultrapotencia del conjunto de enteros para de esta formarelacionarlas. De la ultrapotencia de los reales tendremos en cuenta a dos subconjun-tos; uno asociado a las sucesiones acotadas de reales y el otro asociado a los infinites-imales: a los anteriores les daremos el nombre de ∗R f in y ∗Rε respectivamente. Porultimo, se considerara al conjunto de los reales como subconjunto de su ultrapotencia,que a su vez se apoyara de la funcion estandar para dara lugar al cociente R/∗Rε,conjunto con el cual concretaremos la construccion de los reales re-equipados.

1.1 Reales no standard

Este apartado se dedicara al desarrollo y a la explicacion del concepto de ultrapoten-cia(asociada al conjunto de los numeros naturales), para lo cual necesitaremos tenerclaras las nociones de filtros y ultrafiltros que se pueden encontrar en el apendice [A].Una vez estudiado el concepto de ultrapotencia (apendice [A]), de la ultrapotencia delos numeros reales tomaremos dos subconjuntos como se menciono anteriormente. Porun lado la clase de sucesiones acotadas y por otro la clase de sucesiones acotadas que

2

CAPITULO 1. REALES RE-EQUIPADOS 3

convergen a cero (los infinitesimales). Gracias al uso de estos dos conjuntos y al delos reales, lograremos la definicion de parte estandar que nos ayudara a comprender,mediante sus propiedades morfologicas, la naturaleza del conjunto ∗R f in/∗Rε.

1.1.1 Ultrapotencia de un grupo

Fijemos un ultrafiltro no principal U sobre N1: Maximo subconjunto de 2N que solocontiene subconjuntos infinitos y es cerrado por interrsecciones y por superconjuntos(Si X ∈ U y X ⊂ Y entonces Y ∈ U ).Sea G una estructura cerrada tal como un grupo, anillo o cuerpo. Entonces definimosuna relacion de equivalencia sobre el conjunto de sucesiones GN como

{gi} ∼U { fi} ⇔ {i|gi = fi} ∈ U

Veamos que esta relacion es, en efecto, de equivalencia:[Dem.]

• Reflexividad:{gi} ∼U {gi} ⇔ {i|gi = gi} ∈ U ⇔N ∈ U

• Simetrıa: {gi} ∼U { fi} ⇔ {i|gi = fi} ∈ U ⇔ {i| fi = gi} ∈ U ⇔ { fi} ∼U {gi}

• Transitividad: {gi} ∼U { fi} y { fi} ∼U {hi} ⇔ {i|gi = fi} ∈ U La transitividadse da gracias a que U es filtro.

�

La ultrapotencia es el cociente ∗G =∗ GU := GN/ ∼U= GN/U .Las operaciones de G se extienden a las correspondientes operaciones sobre ∗G. Existeun monomorfismo canonico G −→∗ G definido por las sucesiones constantes. Graciasal Teorema de Los, si G es un grupo, anillo o cuerpo, lo mismo se cumple para ∗G (Veren Apendice A, [A.3.2]).

Las ultrapotencias asociadas a distintos ultrafiltros no principales no necesariamenteson isomorfas; generalmente, el problema es de cardinalidad, el cual puede ser resueltosi se imponen los supuestos de la teorıa de conjuntos tal como la Hipotesis general-izada del continuo (GCH) (Pagina 384, Colorario 6.1.2 de [13])Nos interesaremos principalmente en dos casos: G = Z o G = R. A menudo nosreferiremos a ∗Z y a ∗R como enteros no estandar y reales no estandar respectiva-mente.

1para una definicion de ultrafiltros vea el apendice [A]


1.1.2 Reales no estandar∗Z no es un dominio de ideales principales y la cardinalidad de ∗Z es la del continuo:

2ℵ0 ≤∣∣ZN

∣∣ ≤ |Z||N| ≤ ℵ0ℵ0 ≤ 2ℵ02

El cuerpo ∗R no es arquimediano y contiene un subanillo local

∗R f in := {Clases de sucesiones acotadas}

cuyo ideal maximal consiste en los infinitesimales

∗Rε := {Clases de sucesiones que convergen a cero}

Escribiremos ∗r '∗ s si ∗r−∗ s ∈∗ Rε y diremos que son reales no estandar asintoticoso infinitesimales.

1.1.3 Reales estandard

Para todo ∗r ∈ ∗R f in existe un unico punto lımite r el cual es el lımite de la subsucesion{ri}i∈X con X ∈ U ; r es independiente de {ri} ∈ ∗r y es llamado la parte estandar de∗r, denotada como std(∗r):

std : ∗R f in −→ R

esta bien definida y es un epimorfismo de anillos con Kernel ∗Rε:

• Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass (que establece que toda sucesion acotadatiene una subsucesion convergente) esta bien definida:Sea {ri} ∈ ∗R f in y sean {ai} y {bi} dos subsucesiones de {ri} que convergen

a L y a M respectivamente, con L 6= M. Tomemos a ε = |L−M|3 luego A =

{i ∈N : |ai − L| < ε} ∈ U yB = {i ∈N : |bi −M| < ε} ∈ U . Pero esto implicarıa que A ∩ B que es finitoo vacıo perteneciera a U (U es filtro) contradiciendo que U sea un ultrafiltro noprincipal. Por lo cual, necesariamente L = M

• Ciertamente tenemos que ∗Rε ∈ Ker(std). Si {ri} ∈ ∗r ∈ Kern(std), entonces,por definicion, existe X ∈ U tal que {ri}i∈X → 0. Si completamos {ri}i∈X a unasubsucesion indexada con N,

{r′i}

que converja a cero, entonces{

r′i}∼U {ri} ası

∗r ∈ ∗Rε. Se sigue que std induce un isomorfismo entre el campo de residuos∗R f in/∗Rε y R.

2Para mas informacion vea el Teorema 2.2 de la pagina 98 de [2]


1.2 Los reales re-equipados

Para terminar este capıtulo se definira la extension de los numeros reales ∗R/∗Rε y seanalizaran los fenomenos que ocurren en los conjuntos ∗Z y ∗R (vistos como subcon-juntos de esta extension), para luego rescribir, de forma adecuada, dicha extension enterminos de estos dos subconjuntos. Este procedimiento finalizara con la definicion delos reales re-equipados.

1.2.1 [Definicion] Definimos la extension de los reales como el cociente del espacioR− vectorial •R = ∗R/∗Rε.

El producto en ∗R no preserva la relacion ' (producto indefinido entre sucesionesno convergentes y sucesiones que converjan a cero), entonces •R solo hereda la estruc-tura de espacio vectorial.

Las inclusiones ∗Z,R ↪→ ∗R sobreviven al conciente con ∗Rε y las inclusiones∗Z, R ↪→• R son un subanillo y un subcuerpo respectivamente, cuya interseccion esZ. En particular, •R ∼= R + ∗Z: considere el homomorfismo

ϕ : ∗R −→ R + ∗Z(xi) 7−→ std(xi − bxic) + (bxic)

en donde bxic es la parte entera de un numero. De la definicion de ϕ se sigue que ellaes un epimorfismo cuyo Kernel es ∗Rε. Ası ∗R/∗Rε

∼= R + ∗Z.

Denotaremos R = (•R, R,∗Z), los numeros reales re-equipados” con numeros en-teros desde afuera.

Capıtulo 2

Grupos de aproximaciones diofanticasde numeros reales

Introduccion

Este capıtulo se dedicara al analisis de los grupos de aproximaciones diofanticas deun numero real, este analisis es necesario para comprender la naturaleza de dichasaproximaciones en la ultrapotencia Z: procedimiento que se realizo en el capitulo an-terior.Para llevar a cabo esta tarea, comenzaremos definiendo el concepto de aproxi-maciones diofanticas en ∗Z de un nmero real. Una vez hecha esta definicion, se car-acterizara el conjunto de aproximaciones diofanticas de cualquier nmero real θ, anal-izando su estructura algebraica y tomando subconjuntos del mismo para establecerel tipo de condiciones debe cumplir θ para poder a los subconjuntos tomados con laspropiedades de Z y de esta forma establecer cuales son las propiedades que se conser-van. Finalmente, se volveran a definir los conceptos antes mencionados, de esta formase llegara a una definicion alternativa de cada uno de estos, para lo cual necesitaremoscrear relaciones con el concepto de lmite inductivo y lmite proyectivo: como se indicaen las definiciones del apendice [B].

2.1 Aproximaciones diofanticas

Haremos una breve untroduccion a las aproximaciones diofanticas para la ultrapoten-cia de los enteros mediante su definicion y propiedades y, con ayuda de la sucesion deFibonacci y la definicion de sucesiones linealmente recursivas, ejemplificaremos el con-cepto de mejor aproximacion [5] y su relacion con las aproximaciones diofanticas. El

6

CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES7

desarrollo anterior nos sera util para la comprension de la construccion de los Gruposde aproximaciones diofanticas que analizaremos en la proxima seccion.

Sea θ ∈ R. Una aproximacion diofantica de θ es un elemento ∗n ∈ ∗Z para el cualexiste ∗n⊥ = ∗n⊥θ ∈ ∗Z tal que

(1) θ∗n ' ∗n⊥

Lema 2.1.1 El conjunto de elementos ∗n ∈ ∗Z para los cuales existe ∗n⊥θ ∈ ∗Z tales queθ∗n ' ∗n⊥ es un subgrupo de ∗Z.El grupo de aproximaciones diofantidas de θ es notado por∗Z(θ).

[Dem.] Sean ∗n, ∗m ∈ ∗Z(θ), luego existen ∗n⊥, ∗m⊥ ∈ ∗Z tales que θ∗n ' ∗n⊥ yθ∗m ' ∗m⊥, es decir, existen δn y δm en R

ε tales que ∗n− ∗n⊥ = δn y ∗m− ∗m⊥ = δm.Entonces (∗n + ∗m)− (∗n⊥ + ∗m⊥) = δn + δm ∈ R

ε .1. Por lo cual ∗n + ∗m ∈ ∗Z(θ). Lasotras propiedades son heredadas directamente de la definicion de suma (componentea componente) y de las propiedades de Z. �

Si nos pasamos al espacio vectorial cociente •R entonces la ecuacion infinitesimal(1) se convierte en θ∗n = ∗n⊥ ∈ ∗Z y podemos identificar ∗Z(θ) en •R como el grupo∗Z(θ) = (θ∗Z) ∩ ∗Z. Entonces en •R

(2) θ = • − clase de∗n⊥∗n

En consecuencia, todo •r ∈• R puede ser representado como una •-clase de un co-ciente de elementos de ∗Z; sin embargo, a diferencia de la ecuacion diferencial (1), nopodemos manipular aritmeticamente la representacion (2).

2.1.2 [Definicion] Una sucesion {xn}n∈N ∈ RN se dice recursiva lineal de ordenmenor o igual a que k si existen numeros reales α0, ..., αk−1 tales que

xn+k = α0xn + ... + αk−1xn+k−1 para todo n ∈N

2.1.3 [Ejemplo]Si{(pi, qj)

}es una sucesion de la mejor aproximacion (Ver pagina 2

de [5]) de θ ∈ R−Q, entonces la sucesion de denominadores qi define una clase qθ ∈∗Z(θ). La sucesion de Fibonacci se construye como sigue:{

a0 = a1 = 1an+2 = an+1 + an

Si tomamos las raıces z0 = 1−√

52 , z1 = 1+

√5

2 del polinomio z2 − z− 1 y definimos:{a0 = a1 = 1

an = Az0n + Bz1

n n ≥ 2

1Vea pagina 30 de [3]


Con las condiciones iniciales tenemos que A = 5−√

510 y que B = 5+

√5

10 , ademas:

an+2 = Az0n+2 + Bz1

n+2 =z0

n Az02 + z1

nBz12 =

z0n A(z0 + 1) + z1

nB(z1 + 1) =Az0

n+1 + Bz1n+1 + Az0

n + Bz1n =

an+1 + an

Es decir, la sucesion de Fibonacci (una sucesion recursiva lineal de orden 2). Ahora,tomando el lımite:

limn→∞an+1

an= limn→∞

Az0n+1+Bz1

n+1

Az0n+Bz1n = z1

Luego en este caso pi = ai+1 y qi = ai y θ = 1+√

52 es decir, el numero de oro.

2.1.4 [Ejemplo]Basados en el ejemplo anterior, si tomamos ahora a z0 y a z1 como lasraıces del polinomio z2 − 2z− 1, es decir, z0 = 1−

√2 y z1 = 1 +

√2. Si definimos la

sucesion a0 = 0a1 = 1

an = Az0n + Bz1

n n ≥ 2

con A = −√

24 y B =

√2

4 observemos que

an+2 = Az0n+2 + Bz1

n+2 =z0

n Az02 + z1

nBz12 =

z0n A(2z0 + 1) + z1

nB(2z1 + 1) =2(Az0

n+1 + Bz1n+1) + (Az0

n + Bz1n) =

2an+1 + an

Lo que nos indica que tambien es una sucesion recursiva lineal de orden 2.De maneraanaloga, tomamos el lımite:

limn→∞an+1

an= limn→∞

Az0n+1+Bz1

n+1

Az0n+Bz1n = z1

Luego en este caso pi = ai+1 y qi = ai y θ = 1 +√

2. En general, si pensamos enun polinomio de grado 2 en el que las raıces pertenezcan a R y el valor absoluto deuna de ellas sea menor que 1 podremos construir sucesiones recursivas lineales cuyaaproximacion θ este en R.


2.2 Grupos de aproximaciones diofanticas

Esta parte se dedicara a explicar en detalle el concepto de grupo de aproximacionesdiofanticas, que servira para comprender el tipo de propiedades que conservan de losnumeros enteros los conjuntos construidos. De esta forma, se podra observar el com-portamiento de los subanillos ideales de ∗Z, como influye su cardinalidad en ∗Z(θ)y las condiciones Noetherianas de estabilidad de cadenas de subconjuntos de ∗Z(θ).Se comenzara analizando las condiciones que debe cumplir θ para que ∗Z(θ) sea unanillo ideal. Luego, definiremos algunos subgrupos de ∗Z(θ) para entender su com-portamiento y naturaleza. Por ultimo, se estudiaran las nociones de estabilidad. Sehara este procedimiento, con el fin de comparar las propiedades de Z con un subcon-junto de su ultrapotencia.

2.2.1 ∗Z(θ) como subanillo ideal

Considere ∗Z(θ)⊥ ={∗n⊥ : ∗n ∈ ∗Z(θ)

}= el grupo dual de aproximaciones diofani-

nas. Entoces si θ 6= 0, ∗Z(θ)⊥ = ∗Z(θ−1), el cual puede ser visto multiplicando am-bos lados de (1) por θ−1 (Multiplicando la ecuacion infinitesimal por un elemento deR ⊂ ∗R f in se obtiene otra ecuacion infinitesimal, desde que ∗Rε es un ideal de ∗R f in).Mas aun, el mapa dual ∗n 7→ ∗n⊥ define un isomorfismo ⊥=⊥θ : ∗Z(θ) → ∗Z(θ)⊥

para θ 6= 0.

Teorema 2.2.1 El subgrupo ∗Z(θ) es un ideal de ∗Z sı y solo si θ ∈ Q, y, en este caso, siθ = a

b con mcd(a, b) = 1 entonces

∗Z(θ) = ∗(b) ∼= ∗Z

[Dem.] Si θ ∈ R−Q entonces para cualquier entero N, la imagen en T = R/Z delconjunto de multiplos NZθ es densa:Si no, sean z, v, w ∈ Z tales que [Nzθ] = {NZθ + m : m ∈ Z} y [Nzθ] = [Nvθ] conv 6= w entonces existen n, myr ∈ Z tales que Nwθ + n − (Nvθ + m) = r de dondeθ ∈ Q �Ahora, ∗n ∈ ∗Z(θ)⇔ ∗n es representado por {ni} para el cual la imagen de {niθ} en T

converge a cero. Luego para cada i escoja Ni tal que la imagen de Niniθ es de distanciamayor que 1/4 a cero. Entonces la clase ∗N∗n de {Nini} no pertenece a ∗Z(θ).

Por otra parte, si θ = ab ∈ Q, escrito de manera reducida, entonces

∗n ∈ ∗Z(θ)⇔ab∗n = ∗n⊥ ∈ ∗Z⇔

ni = mib para algun mi ∈ ∗Z⇔∗n ∈ ∗ (b).


Siendo este ultimo un ideal en ∗Z.De esta manera, los ideales integrales de Z son recuperados como ultrapotencias delgrupo dual de aproximaciones diofanticas de numeros racionales. En particular, siθ = b ∈ Z entonces ∗Z(b)⊥ = ∗ (b). �

2.2.2 Cardinalidad de ∗Z(θ)

Proposicion 2.2.2 Para todo θ, ∗Z(θ) tiene el cardinal del continuo.

[Dem.] Desde que ∗Z tiene el cardinal del continuo sera suficiente identificar aX = (0, 1)−Q con un subconjunto de ∗Z(θ) (∗Z(θ) ⊆ ∗Z).

Para x = 0.d1d2... ∈ X defina Di = d110 + ... + di10i. Podemos encontrar para cadai, ni(x) ∈ Z con 10Di < ni(x) < 10Di+1 {ni} defina un elemento ∗n(x) ∈ ∗Z(θ). Lafuncion x 7→ ∗n(x) es inyectiva:Si y = 0.d′1d′2... y i0 es el primer ındice con di0 6= d′i0 entonces ni(x) 6= ni(y) para todoi ≥ i0:Supongamos que no. Sean i ≥ i0, Di = d110 + ... + di010i0 + ... + di10i y D′i = d′110 +

... + d′i010i0 + ... + d′i10i.Sin perdida de generalidad podemos suponer que di0 < d′i0 , luego:

10Di < ni(x) < 10Di+1

10D′i < ni(y) < 10D′i+1

10Di(

10D′i−Di)< 0 < 10Di+1

(10D′i−Di

)�

Ası ni(x) = ni(y)∀i ≥ i0.Desde que U no contiene conjuntos finitos, X = {i ≥ i0} ∈ U , es decir, ∗n(x) 6= ∗n(y).�

2.2.3 Grupo de terminos de errores diofantinos

Escribimos ε(θ)(∗n) := θ∗n − ∗n⊥. El grupo de terminos de errores diofantinos es∗Rε(θ) = {ε(θ)(∗n) : ∗n ∈ ∗Z(θ)} ⊂ ∗Rε.

Proposicion 2.2.3 Cuando θ ∈ Q, ∗Rε(θ) = 0, de otra manera el homomorfismo ε(θ) :∗Z(θ) −→ ∗Rε(θ), ∗n 7→ ε(θ)(∗n) es un isomorfismo.

[Dem.] Las unicas aproximaciones diofanticas de θ ∈ Q son aquellas para las cualesθ =

∗n⊥∗n (en ∗R), esto es porque la imagen de Zθ en T es discreta:


θ ∈ Q⇒ θ = ab con mcd(a, b) = 1

Luego ∗Z(θ) = ∗(b).

Si ∗n ∈ ∗Z(θ)⇒ ∗n = {ni} con ni = mib y mi ∈ Z para casi todo i⇒ ∗nθ = {mia}

⇒ θ =∗(a)∗(b) =

∗n⊥∗n ∈ ∗R.

Por otra parte, si θ ∈ R−Q entonces ε(θ)(∗m) = ε(θ)(∗m) implica que (∗m− ∗n) ∈∗Z(θ) satisface que (∗m− ∗n)θ ∈ ∗Z lo cual es imposible por la irracionalidad de θ.Las otras propiedades de isomorfismo se heredan directamente de la definicion. �

2.2.4 Grupos lımites de aproximaciones diofanticas

El resto de esta seccion sera dedicado al estudio de grupos lımites de aproximacionesdiofanticas.

Como nZ ⊂ Z es un ideal, escribimos

∗(nZ)(θ) = ∗(nZ) ∩ ∗Z(θ)

Para cualquier θ ∈ R y n ∈ Z tenemos que:

1. ∗Z(nθ) ⊃ ∗Z(θ)∗n ∈ ∗Z(θ)⇒ ∗ nθ = ∗n⊥

⇒ ∗n(nθ) = ∗n⊥n ∈ ∗Z⇒ ∗n ∈ ∗Z(nθ)

2. ∗Z(nθ)⊥ ⊂ ∗Z(θ)⊥∗n ∈ ∗Z(nθ)⊥ ⇒ ∃∗n ∈ ∗Z(nθ)tal que ∗n(nθ) = ∗n⊥ ⇒n∗n ∈ ∗Z(θ)⇒ ∗n⊥ ∈ ∗Z(θ)⊥.

Nota: Si θ = ab ∈ Q entonces ∗Z(bθ) = ∗Z; ası la familia {nθ}n∈Z produce cadenas

de ideales que son superiormente acotadas (un vestigio de la condicion Noetherianaen Z).

[Dem.] Sea θ = ab con mcd(a, b) = 1. La prueba se desarrollara por induccion:

• Paso base: Vimos anteriormente que ∗Z(θ) ⊂ ∗Z(nθ) para cualquier n ∈ N,luego ∗Z(θ) ⊂ ∗Z(2θ)

• ∗Z(2θ) ⊂ ∗Z(3θ)


∗n ∈ ∗Z(2θ)⇒ ∗n2θ = ∗n⊥ ∈ ∗Zcomo mcd(2, b) = 1 y mcd(a, b) = 1⇒ ∗n ∈ ∗(b)

⇒ ∗n3θ = 3∗n⊥ ∈ ∗Z⇒ ∗n ∈ ∗Z(3θ).

• Veamos que ∗Z(iθ) ⊂ ∗Z((i + 1)θ) para todo 3 ≤ i ≤ b− 1:

∗n ∈ ∗Z(iθ)⇒ ∗niθ = ∗n⊥ ∈ ∗Zcomo mcd(i, b) = 1 y mcd(a, b) = 1⇒ ∗n ∈ ∗(b)

⇒ ∗n(i + 1)θ = (i + 1)∗n⊥ ∈ ∗Z⇒ ∗n ∈ ∗Z((i + 1)θ) para todo 3 ≤ i ≤ b− 1

Ası ∗Z(θ) ⊂ ∗Z(2θ) ⊂ ... ⊂ ∗Z((b− 1)θ) ⊂ ∗Z(bθ) = ∗Z

• Si m > b:

m = qb + r con 0 ≤ r < b; q, r ∈ Z

Luego si ∗n ∈ ∗Z(mθ)⇒ ∗nmθ = ∗n⊥ ∈ ∗Z,⇒ ∗n(qb + r)θ = ∗n⊥

⇒ ∗nqa + ∗nrθ = ∗n⊥

⇒ ∗nrθ = ∗n⊥ − ∗nqa ∈ ∗Zde donde ∗n ∈ ∗Z(rθ) para algun 0 ≤ r < b y como

∗Z(rθ) ⊂ ∗Z(mθ)⇒ ∗Z(rθ) = ∗Z(mθ).

�

2.3 Definicion intrınseca de grupos de aproximaciones diofanticas

Para finalizar este capıtulo, se definiran nuevamente algunos de los subgrupos de-sarrollados en la seccion anterior. Nos enfocaremos en las definiciones de las cotassuperiores e inferiores de ∗Z(qθ) con q ∈ Q y θ ∈ R−Q: ası se permitira la mejorcomprension de las definiciones de dichas cotas, que aparecen en la subseccin [2.2.4].Ademas, nos ayudaremos del apendice [B] para el desarrollo de ejemplos de lımiteproyectivo y lımite inductivo de modulos abelianos, que iran dentro de las definicionesalternas de las cotas de ∗Z(qθ), mencionadas anteriormente. Por ultimo, se observaranalgunas distinciones entre los dos conjuntos que denominaremos como ∗Z(θ) y Zε(ε).

Apendice A

Ultrapotencias

Introduccion

En este apendice se pretende hacer una aclaracion de varios conceptos y resultadosusados en el capıtulo de Reales re-equipados [1]. Para llevar a cabo esta aclaracion,estudiaremos a grandes rasgos los conceptos de filtro, ultrafiltro, producto reducidode L -estructuras, estructura y ultrapotencia. Finalmente, se hara una demostracin delteorema de Los. Para lograr esto, es necesario aadir algunos conceptos de la teorıa deModelos, como lo son estructura, lenguaje, homomorfismo, terminos, formulas y susinterpretaciones en el producto reducido creado y que, presuntamente, complemen-taran dicha teorıa.

A.1 Filtros

En esta seccion se hara una definicion de filtro y ultrafiltro, y se analizaran algunas desus propiedades. Estos conceptos seran utiles para comprender la construccion de losproductos reducidos, que encontraremos en la proxima seccion. Ademas, analizare-mos el siguiente resultado: para cada filtro es posible encontrar un ultrafiltro (filtromaximal).

A.1.1 [Definicion] Sea I 6= ∅. Decimos que ∅ 6= S ⊆ P (I) es un filtro sı y solo si:

1. Si A, B ∈ S =⇒ A ∩ B ∈ S

2. Si A ∈ S y A ⊆ B entonces B ∈ S

A.1.2 [Ejemplo]

• I = ω, D = {X ⊆ ω : |X−ω| < ℵ0} es un filtro sobre I.

13

APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS 14

• Sea A un subconjunto no vacıo de un conjunto I. D = {F ⊂ I : A ⊂ F} es unfiltro sobre I.

• D = {F ⊂N : N− F es finito} es el filtro de Frechet.

Lema A.1.3 La interseccion de filtros sobre I es un filtro sobre I

[Dem.] Sea {Di}i∈J⊂N una coleccion de filtros sobre I. Sea D =⋂

i∈J Di. Veamos queD es un filtro sobre I:

• Por su definicion, ∅ /∈ D.

• D 6= ∅ pues I ∈ Di para todo i ∈ J

• Sean A y B en D, como A, B ∈ Di para todo i ∈ J, entonces A ∩ B ∈ Di para todoi ∈ J. De donde A ∩ B ∈ D.

• Sea D en D y D ⊆ G ⊆ I, como D ∈ Di para todo i ∈ J entonces G ∈ Di paratodo i ∈ J, ası G ∈ D.

�

A.1.4 [Definicion] Dados dos filtros D1 y D2 sobre el mismo conjunto I, se dice queD1 es mas no que D2 (o que D2 es menos no que D2) si D2 ⊂ D1.

A.1.5 [Definicion] Sea I 6= ∅ y ∅ 6= D ⊆ P (I). D tiene la Propiedad de interseccionesfinitas (PIF) sı y solo si dados A1, ..., Ak ∈ D, ∅ 6= ⋂k

i=1 Ai.

Lema A.1.6 Si I 6= ∅ y ∅ 6= D ⊆ P (I) que tiene PIF, existe D ⊆ D tal que D es un filtro(propio).

[Dem.] Sean D∗ :={⋂k

i=1 Ai : k < ω, Ai ∈ D}

y

D := {B ⊆ P (I) : B ⊇ A, A ∈ D∗}. Veamos que D ⊇ D y que D es filtro:

• Sea A ∈ D. Como A =⋂k=1

i=1 A entonces A ∈ D∗ y como A ⊇ A ∈ P (I) tenemosque A ∈ D.

• D es filtro:

1. Como D tiene la PIF entonces ∅ /∈ D.

2. ∅ 6= D pues D 6= ∅.


3. Sean B, C ∈ D, entonces existen AB y AC en D∗ tales que AB ⊆ B y AC ⊆C con AB =

⋂ji=1 AB,i y AC =

⋂ki=1 AC,i. Como D tiene la PIF entonces

AB ∩ AC 6= ∅ y AB ∩ AC ∈ D∗, ademas como AB ∩ AC ∈ B y AB ∩ AC ∈ Centonces AB ∩ AC ∈ B ∩ C. De donde B ∩ C ∈ D.

4. Si B ∈ D y existe C tal que B ⊆ C ⊆ I tenemos que existe A ∈ D∗ tal queA ⊆ B, luego A ⊆ C y ası C ∈ D.

Ademas,D es el mınimo filtro que contiene a D: Si existe D1 filtro tal que D ∈ D1entonces D∗ ⊆ D1 pues D1 es cerrado para intersecciones finitas, ademas como D1tambien es cerrado por superconjuntos se sigue, por la definicion de D, que D ⊆ D1.�

A D se le demonima el filtro generado por D.

A.1.7 [Definicion] Sea D un filtro (propio). Decimos que D es ultrafiltro sı y solo si∀A ∈ P(I), A ∈ D o AC ∈ D.

Lema A.1.8 Sea D un filtro sobre I. Son equivalentes:

1. D es ultrafiltro.

2. D es filtro maximal ( Si D′ ⊆ P(I) tal que D′ % D, entonces D′ no es filtro propio).

[Dem.] 1. ⇒ 2.: Sea D un filtro sobre I. Ya que dado A ⊆ I, A ∈ D o AC ∈ D,entonces ningun D′ ∈ P(I) puede ser estrictamente mas fijo que D. Por lo tanto D esmaximal.

2. ⇒ 1.: Dado D un filtro maximal, supongamos que existe A ⊆ I tal que A /∈ Dy AC /∈ D. Veamos que DA = D ∪ A o que DAC = D ∪ AC tiene la propiedad PIF,en cuyo caso generarıamos un filtro estrictamente mas fino que D: Razonemos porcontradiccion suponiendo que existen S, T ∈ D tales que

A ∩ T = ∅ y AC ∩ S = ∅

En tal caso T ⊆ AC y S ⊆ A, lo que implica que T ∩ S = ∅ contradiciendo el hecho queD tiene la PIF. Luego DA o DAC tiene la PIF, lo que contradice la maximalidad de D.Por lo tanto para todo A ⊆ I, se tiene que A ∈ D o AC ∈ D, es decir, D es ultrafiltro.

�

Lema A.1.9 Dado D filtro (propio) sobre I, existe U ⊇ D ultrafiltro sobre I.


[Dem.] Considere la coleccion

A = {G filtros sobre I : G ⊇ D}

ordenada por contenencia. A no es vacıa ya que D esta en A. Dada una candena C deA sea H =

⋃ C. Considere ahora una coleccion finita de conjuntos {B1, ..., Bn} ⊆ H.Como H es una cadena, podemos asumir, sin perdida de generalidad que {B1, ..., Bn} ⊆Ck, para algun k. Como Ck es un filtro sobre I, tiene la PIF. Luego

⋂ni=1 Bi 6= φ. Ası H

tiene la PIF y por lo tanto genera un filtro que contiene a toda la cadena. En particular,contiene a D, de donde H ∈ A. Aplicando el Lema de Zorn podemos concluir queexiste U filtro maximal (ultrafiltro) en A. �

A.2 Productos Reducidos

En este apartado se construira un producto reducido de L -estructuras, gracias a lasdefiniciones aportadas en la seccion anterior. Se comenzara definiendo los concep-tos de estructura, lenguaje, homomorfismo de estructura y subestructura, para termi-nar construyendo un producto reducido. El objetivo de este apartado es el crear unmodelo, para ello es necesario ahondar en los siguientes conceptos: terminos y for-dunas atomicas. Estos sirven para darle una interpretacion en el producto reducido∏i∈I Ai/ ∼D y de esta forma poder crear un producto reducido de L estructura. Es-tas aclaraciones serviran para comprender el Teorema de Los, que trabajaremos en laproxima seccion.

A.2.1 [Estructuras]1 Una estructura A es un objeto con las siguientes cuatro propiedades:

1. Un conjunto llamado dominio de A, notado por dom(A) o domA (tambien cono-cido como universo de A). Los elementos del dom(A) son llamados los elementosde la estructura A. El cardinal de A, en sımbolos |A|, es definido como el cardinaldel conjunto |dom(A)|.

2. Un conjunto de elementos de A llamado elementos constantes. Si c es una con-stante, escribimos cA para el elemento constante llamado por c.

3. Para cada entero positivo n, un conjunto de relaciones n-arias sobre dom(A) (sub-conjuntos de (dom(A))n). Si R es un sımbolo de relacion, escribimos RA para larelacion llamada por R.

4. Para cada entero positivo n, un conjunto de operaciones n-arias sobre dom(A)(funciones de (dom(A))n a dom(A)). Si F es un sımbolo de funcion, escribimosFA para la funcion llamada por F.

1Las definiciones que aparecen a continuacion son tomadas de [4]


A.2.2 [Ejemplo]Ordenes lineales: Sea X un conjunto totalmente ordenado por ≤.Entonces podemos ver a (X,≤) como una estructura A. El dominio de A es el conjuntoX. Exuste un sımbolo de relacion binaria R, y su interpretacion RA es el orden ≤.

A.2.3 [Lenguaje] El lenguaje de una estructura A es el conjunto de constantes de A, ypara cada n > 0, el conjunto de sımbolos de relaciones n-arias y el conjunto de sımbolosde funciones n-arias de A. Dicho conjunto lo notaremos por L . Si A tiene un lenguajeL , decimos que es una L -estructura.

A.2.4 [Homomorfismos] Sea L un lenguaje y sean A y B dos L -estructuras. Porhomomorfismo f de A a B, en sımbolos f : A → B, referenciamos una funcion f deldominio de A al dominio de B con las siguientes tres propiedades:

1. Para cada constante c de L , f (cA) = cB.

2. Para cada n > 0 y cada sımbolo de relacion n-ario R de L y n-tupla a de A, sia ∈ RA entonces f (a) ∈ RB.

3. Para cada n > 0, cada sımbolo de funcion n-ario F de L y n-tupla a de A,f (FA(a)) = FB( f (a)).

Por un embebimiento de A en B entenderemos un homomorfismo f : A → Bel cual es inyectivo y satisface una version mas fuerte que (2):

4. Para cada n > 0, cada sımbolo de relacion n-ario R de L y cada n-tupla a de A,a ∈ RA ⇔ f (a) ∈ RB.

Un isomorfismo es un embebimiento sobreyectivo. Homomorfismos f : A → Ason llamados endomorfismos de A. Isomorfismos f : A→ A son llamados auto-morfismos de A.

A.2.5 [Subestructuras] Si A y B son L -estructuras con dom(A) ⊆ dom(B) y la funcioninclusion i : dom(A) → dom(B) es un embebimiento, entonces decimos que B es unaextension de A, o que A es una subestructura de B, en sımbolos A ⊆ B.

A.2.1 Producto reducido de L -Estructuras

Lema A.2.6 Sea I 6= φ y D un filtro sobre I. Sea Ai : i ∈ I una familia de L -estructuras.Sean f , g ∈ ∏i∈I Ai.

{gi} ∼D { fi} ⇔ {i|gi = fi} ∈ D

∼D es de equivalencia.


[Dem.]

• Reflexividad:{gi} ∼D {gi} ⇔ {i|gi = gi} ∈ D ⇔N ∈ D

• Simetrıa: {gi} ∼D { fi} ⇔ {i|gi = fi} ∈ D ⇔ {i| fi = gi} ∈ D ⇔ { fi} ∼D {gi}

• Transitividad: {gi} ∼D { fi} y { fi} ∼D {hi} ⇔ {i|gi = fi} ∈ D y {i| fi = hi} ∈D ⇔ {i|gi = fi} ∩ {i| fi = hi} ∈ D ⇔ {i|gi = fi ∧ fi = hi} ∈ D ⇔ {i|gi = hi} ∈D ⇔ {gi} ∼D {hi}

La transitividad se da gracias a que D es filtro.

�

Producto reducido: ∏i∈I Ai/ ∼D.Notacion: [ f ] :=∼D clase de equivalencia de f .

Las siguientes definiciones seran utiles para comprender el Teorema de os:

A.2.7 [Terminos] Los terminos de un lenguaje L son cadenas de sımbolos definidoscomo sigue (donde los sımbolos ’(’,’)’ y ’,’ se asumen mudos (no ocurren en L . Deaquı en adelante, sımbolos como los anteriores no seran mencionados):

1. Cada variable es un termino de L .

2. Cada constante de L es un termino de L .

3. Sin > 0, F es un sımbolo de funcion n-aria de L y t1, ..., tn son terminos de Lentonces la expresion F(t1, ..., tn) es un termino de L .

4. Nada mas es un termino de L .

Un termino se dice cerrado si no tiene variables libres. La complejidad de un terminoes el numero de sımbolos que ocurren en el, contando cada ocurrencia por separado.Si introducimos un termino t como t(x), siempre significara que x es una sucesion(x0, x1, ...), posiblemente infinita, de variables distintas, y cada variable que ocurre ent esta entre las variables en x.

A.2.8 [Formulas Atomicas] Las formulas atomicas de L son cadenas de sımbolosdados por:

1. Si s y t son terminos de L entonces la cadena s = t es una formula atomica deL .

2. Si n > 0, R es un sımbolo de relacion n-aria de L y t1, ...tn son terminos de Lentonces la expresion R(t1, ..., tn) es una formula atomica de L .


Una sentencia atomica de L es una formula attomica en la cual no existen variableslibres.

Consideremos al producto reducido de L -estructuras definido por:

• Universo: ∏i∈I Ai/ ∼D.

• SeaRn ∈ L sımbolo de relacion:

([ f1], ..., [ fn]) ∈ RA ⇔{

i ∈ I : ( f1(i), ..., fn(i)) ∈ RAi}∈ D

• Sea Fk ∈ L un sımbolo de funcion.

FA([ f1], ..., [ fn]) := [(FAi( f1(i), ..., fn(i)))i∈I ]

• Sea c ∈ L sımbolo de constante.

cA := [(cAi)i∈I ]

La estructura A definida de esta manera se denomina el producto reducido de lasL -estructuras {Ai : i ∈ I} relativo al filtro D.

A.3 Ultrapotencias

Terminaremos este apendice explicando el concepto de ultrapotencia (ligado a la con-struccion de un producto reducido de L -estructuras de la seccion anterior) y demostraremosel teorema de Los, que servira para indicar la forma de evaluacion de la validez de unaformula en una determinada ultrapotencia.

A.3.1 [Definicion] Un ultraproducto es un producto reducido de L -estructuras definidorelativo a un ultrafiltro U sobre I.

Teorema A.3.2 (Teorema de os) Sea I 6= φ, D un ultrafiltro sobre I, f1, ..., fk ∈ ∏i∈I Ai yϕ(x1, ..., xk) una L -formula,

1. Si f1, ..., fk ∈ ∏i∈I Ai y τ es un L -termino,

τA([ f1], ..., [ fk]) = [(τAi( f1(i), ..., fk(i)))i∈I ]


2. Si D es ultrafiltro entonces:

∏i∈I Ai/D |= ϕ([ f1], ..., [ fk])⇔ {i ∈ I : Ai |= ϕ( f1(i), ..., fk(i))} ∈ D

[Dem.] La demostracion se hara por induccion sobre la complejidad de las formulas.Consideremos solamente los conectivos ¬ y ∧ y el cuantificador ∃, ya que los demasse pueden reducir a estos tres.

Formulas atomicas:

Para el caso de una relacion atomica el resultado se sigue directamente de la definicionde la interpretacion.

∏i∈I Ai/D |= R([ f1], ..., [ fk])⇔{

i ∈ I : RAi}∈ D

⇔ {i ∈ I : Ai |= R( f1(i), ..., fk(i))} ∈ D.

Negacion:

Suponga que el resultado es cierto para ψ. Entonces ∏i∈I Ai/D |= ¬ψ⇔ {i ∈ I : Ai |= ψ} /∈D. Por la caracterizacion de ultrafiltros, tenemos entonces que {i ∈ I : Ai |= ψ}C ∈ D.Ası {i ∈ I : Ai |= ¬ψ} ∈ D. Todo este argumento resulta ser reversible.

Conectivos:

Asumamos ahora el resultado para ψ0 y para ψ1. Entonces ∏i∈I Ai/D |= ψ0 ∧ψ1 ⇔ {i ∈ I : Ai |= ψ0} ∈ D y {i ∈ I : Ai |= ψ1} ∈ D. Como D es un filtro, entonces lainterseccion de estos dos conjuntos esta en D. Es decir,

{i ∈ I : Ai |= ψ0 y Ai |= ψ1} ∈ D

lo que es equivalente a decir que {i ∈ I : Ai |= ψ0 ∧ ψ1} ∈ D.

Cuantificadores:

Sea ahora ψ : ∃xϕ(x), con x variable libre en ϕ, y suponga que el resultado setiene para ϕ(x). Asumamos que ∏i∈I Ai/D |= ψ. En tal caso existe una clase [ f ] talque ∏i∈I Ai/D |= ψ([ f ]). Es decir, existe f tal que {i ∈ I : Ai |= ψ( f )} ∈ D. Luego{i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D.Ahora, supongamos que {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D. Invocando el Axioma de Eleccionpodemos elegir para cada i ∈ {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D un testigo mi tal que ∏i∈I Ai/D |=ψ(mi). Considere la funcion g : I −→ ∏i∈I Ai tal que g(i) = mi si Ai |= ψ y g(i) es un


elemento arbitrario de Mi en caso contrario.Observe que {i ∈ I : Ai |= ψ} = {i ∈ I : Ai |= ψ(g(i))}. Luego, por la hipotesis de in-duccion ∏i∈I Ai/D |= ψ. �

Apendice B

Lımites y Colımites

Introduccion

En este apendice se daran los fundamentos conceptuales mas pertinentes para com-prender el capıtulo de Grupos de aproximaciones diofanticas [2], partiendo de las no-ciones de lımite y colımite. Para lograr esto, se desarrollara, por medio de su definiciony de ejemplos (modulos), el concepto de categorıa. Ademas, se dara a conocer laherramienta (funtores) que permite ir de una categorıa a otra. Finalmente, se harauna definicion y ejemplos que utilizan modulos abelianos, de los conceptos de lımiteproyectivo y lımite inductivo.

B.1 Categorıas

En esta seccion se haran las definiciones de categorıa y funtor, que serviran para com-prender los conceptos de lımite proyectivo e inductivo presentes en la proxima seccion.Por un lado, definiremos la nocion de modulo desarrollando tambien algunos ejemp-los,y por el otro, se hara la definicion del concepto de categorıa. Ademas, se definira elconcepto subcategorıa, los tipos de morfismos de categorıa y las nociones asociadas alfuntor (covariantes y funtores contravariantes).

B.1.1 Modulos

B.1.1 [Definicion] Sea A un anillo; un conjunto M 6= ∅ es un modulo sobre A aderecha (A-modulo derecho), denotado por MA, si: .

1. (M,+) es un grupo abeliano.

2. Se tiene una aplicacion

22

APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES 23

M× A −→ M(m, a) 7−→ ma

que cumple las siguientes propiedades:

• (m1 + m2)a = m1a + m2a

• m(a + b) = ma + mb

• m(ab) = (ma)b

• m1 = m

AM denota un A-modulo izquierdo.

B.1.2 [Ejemplo]

1. Todo grupo abeliano M es un Z-modulo:

mk := m + ... + m (k- veces), k ≥ 1m0 := 0

m(−k) := −(mk), k ≥ 1

2. Sean K cuerpo y V un K- espacio vectorial. V es un K-modulo a izquierda.

3. Sean M un grupo abeliano yA := End(M) = { f : M→ M : f homomorfismo de anillos}.Entonces M es un A-modulo a izquierda:

f m := f (m); f g(m) := f (g(m)).

4. Sean A un anillo e I un ideal derecho de A; (A/I)A es un A-modulo derecho:

[a] x := [ax].

De manera similar se define A (A/I).

B.1.3 [Definicion] Sean M grupo abeliano; A, B anillos. M es un A-B-bimodulo si:

1. AM.

2. MB.

3. (am)b = a(mb).


B.1.2 Categorıas

B.1.4 [Definicion] Una categorıa C se define por:

1. En C existe una coleccion de objetos, Ob(C).

2. Dados dos objetos A, B ∈ Ob(C) existe el conjunto MorC(A, B), denominado losmorfismos de A en B. Si MorC(A, B) 6= ∅ un elemento f ∈ MorC(A, B) se puede

representar tambien en la forma Af→ B

La coleccion Mor(C) :=⋃

A,B∈Ob(C) MorC(A, B).

3. Si MorC(A, B) y MorC(B, C) son no vacıos, entonces existe una funcion

MorC(A, B)×MorC(B, C) ◦→ MorC(A, C)( f , g) 7−→ g ◦ f

y satisface las siguientes propiedades:

• Es asociativa: Af→ B, B

g→ C, C h→ D⇒ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f

• Existe iA ∈ MorC(A, A) y iB ∈ MorC(B, B) tales que iB ◦ f = f , f ◦ iA = fpara todo f ∈ MorC(A, B) 6= ∅

B.1.5 [Ejemplo]

1. Conjuntos (Conj), Grupos (Gr), Anillos, Espacios topologicos (Top), Modulos(ModA, AMod, BModA).

2. Naturales (Nat); Ob(Nat) := 0, Mor(Nat) = {MorNat(0, 0)}, con MorNat(0, 0) =N

0 n→ 0 m→ 0 = 0 nm→ 0;la composicion es asociativa y i0 := 1.

3. Pre-orden (Pre): Ob(Pre) := P Conjunto pre-ordenado; (P,≤).

• a, b ∈ P, MorPre(a, b) :=

{{(a, b)} si a ≤ b

∅ en caso contrario.

• a ≤ b, b ≤ c⇒ a ≤ c Transitiva.

• ia := (a, a), a ≤ a Reflexiva.

B.1.6 [Definicion] Sean C ′ y C dos categorıas. Decimos que C ′ ⊆ C si:

1. Ob(C ′) ⊆ Ob(C).


2. ∀A, B ∈ Ob(C ′) ;MorC ′(A, B) ⊆ MorC(A, B).

3. La composicion en C ′ es la misma que la composicion en C.

4. ∀A ∈ Ob(C ′), iA en C ′ es el morfismo iA en C.

B.1.7 [Tipos de morfismos]

• Epimorfismos: Af→ B si f es cancelable a derecha:

Si existen Bg→ C y B h→ C tales que g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h

• Monomorfismos:Af→ B si f es cancelable a izquierda:

Si existen Xg→ A y X h→ A tales que f ◦ g = f ◦ h⇒ g = h

• Bimorfismo: Es un morfismo epi y mono simultaneamente.

• Retracciones: Af→ B si f tiene inverso a derecha, es decir, existe B

g→ A tal quef ◦ g = iB.

• Corretracciones: Af→ B si f tiene inverso a izquierda, es decir, existe B

g→ A talque g ◦ f = iA.

• Isomorfismos: Af→ B si f es corretraccion y retraccion.

B.1.3 Funtores

B.1.8 [Definicion] Sean A, C categorıas. Un funtor covariante F : A −→ C se definepor:

1. Una funcion, denotada tambien por F : Ob(A) −→ Ob(C), que asigna a cadaobjeto A de A un objeto F(A) de C;

2. Para cada par de objetos A, B de A se define una funcion tambien denotada por

F : MorA(A, B) −→ MorC(F(A), F(B))f 7−→ F( f )

que cumple las siguientes condiciones:

3. F( f ◦ g) = F( f ) ◦ F(g)

4. F(iB) = iF(B)


para cualesquiera morfismos f , g de A compatibles para la composicion y para cadaobjeto B de A.

Un funtor contravariante deA en C se define como antes pero cambiando (2) y (3)de la siguiente manera:

F : MorA(A, B) −→ MorC(F(B), F(A))f 7−→ F( f )

F( f ◦ g) = F(g) ◦ F( f )

B.2 Lımites y colımites

En esta seccion, como su nombre lo indica, se definiran los conceptos de lımite ycolımite, partiendo de la definicion de familia compatible. Ademas, para hacer clar-idad en los conceptos antes mencionados, se ejemplificaran los conceptos de lımite ycolımite en los modulos abelianos: esto nos ayudara a comprender la ultima secciondel capıtulo [2].

B.2.1 [Definicion] Sea F : A −→ C un funtor, dondeA es una categorıa pequea (cuyosobjetos son conjuntos) y C una categorıa cualquiera.

Para X ∈ Ob(C) y cada i ∈ I := Ob(A) supongase dado un morfismo

fi : X −→ Fi,

con Fi := F(i).

La familia ( fi)i∈I se dice compatible si para cada morfismo g : i −→ j enA se tiene que

f j = F(g) ◦ fi

esto es:

ig→ j⇒ X

fi

��

f j

��Fi F(g)

// Fj

Un lımite (lımite proyectivo) de F es un objeto lim←− F de C junto con una familia com-patible de morfismos pi : lim←− F −→ Fi, tal que para cualquier otra familia compatiblefi : X −→ Fi existe un unico morfismo f : X −→ lim←− F para el cual pi ◦ f = fi:


ig→ j⇒ X

fi

f j

��

f��

lim←− F

pi}}

pj!!

Fi F(g)// Fj

Un colımite (lımite inductivo) de F es un objeto lim−→ F de C con una familia compatiblede morfismos qi : Fi −→ lim−→ F, tal que para cualquier otra familia compatible fi : Fi −→X existe un unico morfismo f : lim−→ F −→ X para el cual f ◦ qi = fi:

ig→ j⇒ X

lim−→ F

f

OO

Fi

fi

AA

qi

==

F(g)// Fj

f j

]]

qj

aa

B.2.2 [Ejemplo]

Colımites de modulos abelianos

B.2.3 [Definicion] Decimos que (P,≤) es un conjunto dirigido si para todo i, j ∈ Pexiste k tal que k ≤ i, k ≤ j.

Sea (P,≤) un conjunto dirigido, definimos la siguiente funcion:

F : (P,≤) −→M{i 7−→ µi

i ≤ j 7−→ µjρji→ µi

Siendo M el conjunto de Z-modulos abelianos y ρji una restriccion.

Dados x ∈ µi, y ∈ µj decimos:

x ∼ y⇔ ∃k ≤ i, j tal que ρik(x) = ρjk(y)


Veamos que la anterior relacion es de equivalencia:

• Reflexiva: i ≤ i y ρii = iµi , ρii(x) = x luego x ∼ x.

• Simetrica: Si x ∼ y existe k ≤ i, j tal que ρik(x) = ρjk(y) luego existe k ≤ i, j talque ρjk(y) = ρik(x) de donde y ∼ x.

• Transitiva: Sea z ∈ µn. Si x ∼ y y y ∼ z entonces existen k, l tales que k ≤ i, j,l ≤ j, n, ρik(x) = ρjk(y) y ρjl(y) = ρnl(z). Sea s ≤ k, l luego

ρjs(x) = ρks(ρik(x)) = ρks(ρjk(y)) = ρjs(y) = ρls(ρjl(y)) = ρls(ρnl(z)) = ρjs(z)

de donde x ∼ z.

Sea M =⋃

i∈P µi/ ∼, [x] = clase de x = ”germen de x bajo P”. Definimos

[x] + [y] = [x + y]λ ∈ Z, λ[x] = [λx]

Con estas operaciones M es un Z-modulo. Veamos que estan bien definidas:

• Supongamos que x ∼ x′ y y ∼ y′ con x, y ∈ µi y x′, y′ ∈ µj entonces existenk, l ∈ P tales que k ≤ i, j, l ≤ i, j, ρil(y) = ρjl(y′) y ρik(x) = ρjk(x′). Tomamosn ≤ k, l. Luego

ρkn(ρik(x)) = ρkn(ρjk(x′))ρin(x) = ρjn(x′) ∈ µn

ρln(ρil(y)) = ρln(ρjl(y′))ρin(y) = ρjn(y′) ∈ µn

⇒ ρin(x) + ρin(y) = ρjn(x′) + ρjn(y′)⇒ ρin(x + y) = ρjn(x′ + y′)

• Si x ∼ x′ existe k ≤ i, j tal que ρik(x) = ρjk(x′), entonces λρik(x) = λρjk(x′)y porlas propiedades de las funciones ρ necesariamente ρik(λx) = ρjk(λx′).

• Las demas propiedades de modulo las hereda de cada modulo que lo compone.

Ahora, veamos que M es colımite del funtor F:

• Propiedad universal: Sean i, j ∈ P tal que i ≤ j. Si qi : µi −→M tal que x 7−→ [x],por las definiciones y los resultados vistos anteriormente el siguiente diagramaconmuta:


M

µj

qj>>

ρij // µi

qi``

Por lo tanto podemos decir que la familia {qi}i∈P es una familia compatible.

• Supongamos que existe K Z-modulo y que { fi : µi −→ K}i∈P es una familiacompatible. Sea f : M −→ K tal que f ([x]) = fi(x) si x ∈ µi. Veamos que f estabien definida:six ∼ y x ∈ µi y y ∈ µj existe k ∈ P tal que k ≤ i, j y ρik(x) = ρjk(y). Luegofk(ρik(x)) = fk(ρjk(y)) de donde fi(x) = f j(y).De esta manera, podemos afirmar que el siguiente diagrama conmuta:

K

µi

pi??

qi //M

f``

Bibliografıa

[1] GENDRON, T. Real Algebraic Number Theory I. Diophantine AproximationsGroups. (12 de enero de 2012).

[2] HRBACEK, K. & JECH, T. Introduction to set theory, Third Edition Marcel Dekker,Inc. New York (1999).

[3] KEISLER, H. Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach, Second EditionUniversity of Wisconsin. Stanford, California (2010).

[4] HODGES, W. (1993) Model Theory Encyclopedia of Mathematics and its applica-tions Vol.42. Editorial Board. Cambridge University Press. New York.

[5] CASSELS, J.W.S. (1957) An introduction to Diophantine approxima-tion.Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45. CambridgeUniversity Press, New York.

[6] PADILLA, G. & VILLAVECES, A. (2013) Sheaves of G-structures and generic G-models. [Version electronica] arXiv:1304.2477 [math.LO].

[7] CAICEDO, X. (1995) Logica de los haces de estructura. Rev. Acad. Colomb.Cienc.19.

[8] Lewis H.R. & Papadimitriou C.H. (1997) Elements of the Theory of Computation,Second EditionPrentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[9] Monk, R. (2002) [1990] Ludwig Wittgenstein: el deber de un genio, primeraedicion Barcelona, Anagrama.

[10] Freeman, L. (2005) Fermat’s Last Theorem [Version electronica]http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/10/johann-dirichlet.html.

[11] Floriann, L. Aproximaciones Diofanticas [Version electronica]http://www.mat.uc.cl/ rmenares/AproximacionesDiofanticasChile%20(2).pdf.

30

BIBLIOGRAFIA 31

[12] Elstrodt, J. (2007) The Life and Work of Gustav Lejeune Dirichlet (18051859)[Version electronica] http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss-dirichlet/elstrodt-new.pdf.

[13] Chang, C. C. & Keisler, H. J. (1992) Model Theory, Third edition North-Holland,Amsterdam.

TRABAJO DE GRADO · El Teorema de la unidad de Dirichlet determina el rango del grupo de unidades...

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