La matemática, a partir del siglo XIX, estudia los entes abstractos, como los números y las

figuras de la geometría; respecto de sus propiedades, y las relaciones existentes entre

ellos. A través de ello, la matemática busca reglas o patrones que se repiten en los entes

abstractos y que ayudan al análisis de los mismos.

Matemática IIÁrea Delimitada o limitada por curvas del plano

La matemática es una ciencia, hallada dentro de las ciencias exactas, que se basa en principios de la lógica, y es de utilidad para una gran diversidad de campos de conocimiento como la economía, la psicología y la física. Además, la matemática es una ciencia objetiva, pues los temas tratados por ella, no son abiertos a discusión, o modificables por simples opiniones; solo se cambian si se descubre que en ellos hay errores matemáticos comprobables.

Actualmente el concepto de matemática excede en su objeto de estudio la cantidad y el espacio tal como era concebida en la antigüedad, pues han aparecido nuevas ramas de esta ciencia que no poseen ese objeto de estudio, como la geometría abstracta y la teoría de conjuntos.

Presentación

Ya hemos comentado algunos de los problemas que dieron el origen de las matemáticas, ahora hablaremos de alguno más, tal como el problema de calcular la longitud de una curva o del área y volumen de una figura acotada por curvas y superficies. Dándose a realizar operaciones con integrales y métodos representativos para un mayor entendimiento para el estudiante.

ÍndiceFundamento teórico………………………………………………………………1

Ejemplos…………………………………………………………………………..2

Ejercicios a desarrollar…………………………………………………………..3

Bibliografía………………………………………………………………………...5

reas de regiones delimitadas por curvas suaves

Para f1: [a ,b]→R y f2: [a ,b]→R, dos funciones continuas tales que f1(x )≤ f2(x ) para x∈[a ,b ], consideremos el problema del calculo del área de la región A del plano delimitada por las graficas de f1 y f2 y definida mediante el conjuntoA={(x , y ) tales que a≤ x≤b, f1(x )≤ y ≤ f 2(x )}

Este problema es equivalente al calculo del área de la región delimitada por la grafica de la función no-negativa gdada por g(x )=f 2( x)−f 1(x) , x∈[a ,b], y el eje de las abscisas. Con base en las propiedades de la integral definida, vemos que el área de la región A se calcula con la formula:

Áreade A=∫a

b

g (x )dx=∫a

b

(f 2(x )−f 1(x))dx

Ejemplo 1: Calculemos el área de la región A del plano delimitada por la curvay=3−x2 y la recta y=− x+1.

Área delimitada por las funcionesf1 y f2 y las rectas x=a y x=b

La región A, como se muestra en la figura, esta delimitada por las funcionesf 1(x)=−x+1 y f 2(x )=3−x

2 Sobre el

intervalo [−1 ,2], y por lo tanto, su área es:

Áreade A=∫−1

2

(−x2+x+x )dx=92

Ejemplo 2: El área de la región Bdelimitada por el eje de las ordenadas y las

curvas y=sen x y y=cos x,B={( x , y ) con x∈[0 , π4 ] , senx ≤ y≤cosx}se puede expresar como la suma del área de la región bajo la grafica de la función

h1( y )=arcseny sobre el intervalo [0 , √22 ] del eje de las ordenadas y el área de la

región bajo la gráfica de la función h1( y )=arccosy sobre el intervalo [√22 ,1] del eje

de las ordenadas.

Utilizando esta descomposición, se obtiene:

Areade B=∫0

√22

arcsenydy+∫√22

1

arccosydy=√2−1

Por otro lado, esa misma región Bse puede ver como delimitada por las graficas

de las funciones f 1(x)=cos x y f 2(x )=sen x sobre el intervalo [0 , π4 ] y para su área

se tiene:

Areade B=∫0

π4

(cosx−senx )dx=( senx+cosx )│0π4= √2−1

Ejercicios:

1. Hallar el área limitada por la recta x+ y=10, el eje OX y las ordenadas de x=2 y x=8.

A=∫2

8

(10−x )dx=[10 x− x22 ]=30u22. Calcular el área del recinto limitado por la curva y=9−x2 y el eje OX .

A=∫−3

3

(9−x2 )dx=2∫0

3

(9−x2 )dx=2 [9 x− x33 ]=36u2

0=9−x2 x=3 x=−3

Como la parábola es simétrica respecto al eje OY , el área será igual al doble del área comprendida entre x=0 y x=3.

3. Calcular el área del triángulo de vértices A(3 ,0) ,B(6 ,3) ,C(8 ,0) .Ecuación de la recta que pasa por AB :

x−36−3

= y−03−0

y=x−3

Ecuación de la recta que pasa por BC:

A=∫3

6

( x−3 )dx+∫6

8

[−32 ( x−8 )]dx=¿¿

¿ [ x22 −3 x ]3

6

+[−34 x2+12 x ]6

8

=¿

¿(18−18−92+9)+(−48+96+27−72 )=152u2

Bibliografía:

www.ematematicas.net

www.cmat.edu.uy/

www.ejerciciosyexamenes.com/areas.pdf

www.ieszaframagon.com