1 UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS MATEMATICAS APLICADA III CALCULO INTEGRAL AUTOR ANDRES PAUL ANDINO OCHOA AULA 09 Cuenca, 25 de Noviembre del 2011 2 INDICE INDICE ......................................................................................................................................... 2 INTRODUCCION ........................................................................................................................ 3 PRESENTACION ....................................................................................................................... 5 JUSTIFICACION ......................................................................................................................... 6 DESARROLLO ........................................................................................................................... 7 EVALUACION ........................................................................................................................... 16 Resolver la siguiente integral: ................................................................................ 16 Resolver la siguiente integral: ................................................................................ 17 OBJETIVOS .............................................................................................................................. 19 CONCLUSION .......................................................................................................................... 20 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................... 21 3 INTRODUCCION Historia del Clculo Integral La palabra clculo proviene del latn calculus, que significa contar con piedras. Precisamentedesdeque elhombre velanecesidaddecontar,comienzala historia del clculo, o de las matemticas. Lasmatemticassonunadelascienciasmsantiguas,ymstiles. El concepto de matemticas, se comenz a formar, desde que el hombre vio la necesidaddecontarobjetos,estanecesidadlollevalacreacin de sistemas de numeracin que inicialmente se componan con la utilizacin de losdedos,piernas,opiedras.Denuevo,porlanecesidad,sehizoforzosala implementacindesistemasmsavanzadosyquepudieranresolverla mayora de los problemas que se presentaban con continuidad. Laintegracinsepuedetrazarenelpasadohastael antiguo Egipto, circa 1800 a. C.,conel papirodeMosc,dondesedemuestraqueya seconocaunafrmulaparacalcularelvolumendeuntronco piramidal.La primeratcnicasistemticadocumentadacapazdedeterminarintegraleses el mtodo de exhauscin de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar reas y volmenes a base de partirlos en un nmero infinito de formas para las cualesseconocieranelreaoelvolumen.Estemtodofuedesarrolladoy usadomsadelantepor Arqumedes,queloempleparacalcularreasde parbolasyunaaproximacinalreadelcrculo.Mtodossimilaresfueron desarrolladosdeformaindependienteen China alrededordel sigloIII por Liu Hui, que los us para encontrar el rea del crculo. Ms tarde, Zu Chongzhi us estemtodoparaencontrarelvolumendeuna esfera.Enel Siddhanta Shiromani,unlibrodeastronomadel sigloXII delmatemtico indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de clculo integral. Hastael sigloXVI noempezaronaapareceradelantossignificativossobreel mtododeexhauscin.Enestapoca,porunlado,coneltrabajo de Cavalieri con su mtodo de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat,seempezadesarrollarlosfundamentosdelclculomoderno.A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow yTorricelli,quepresentaronlosprimerosindiciosdeunaconexin entre la integracin y la derivacin. LosprincipalesadelantosenintegracinvinieronenelsigloXVIIconla formulacindel teoremafundamentaldelclculo,realizadodemanera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexin entre laintegracinyladerivacin.Estaconexin,combinadaconlafacilidad, comparativamentehablando,delclculodederivadas,sepuedeusarpara calcularintegrales.Enparticular,elteoremafundamentaldelclculopermite 4 resolverunaclasemsampliadeproblemas.Tambincabedestacartodoel marcoestructuralalrededordelasmatemticasquedesarrollarontambin NewtonyLeibniz.Elllamadoclculoinfinitesimalpermitianalizar,deforma precisa,funcionescondominioscontinuos.Posteriormente,estemarcoha evolucionadohaciaelclculo moderno,cuyanotacinparalasintegrales procede directamente del trabajo de Leibniz. AunqueNewtonyLeibnizsuministraronunenfoquesistemticoala integracin,sutrabajocarecadeunciertonivelderigor.Esmemorableel ataquedel obispoBerkeley calificandolosinfinitesimales comolos"fantasmas delascantidadesquesedesvanecen".Elclculoadquiriunaposicinms firme con el desarrollo de los lmites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibi unafundamentacinadecuadaporpartede Cauchy.Laintegracinfue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando lmites. A pesardequetodaslasfuncionescontinuasfragmentadasyacotadasson integrables en un intervalo acotado, ms tarde se consideraron funciones ms generalesparalascualesnoseaplicaladefinicindeRiemann, y Lebesgue formulunadefinicindiferentedelaintegral basadaenla teora delamedida.Tambinsepropusieronotrasdefinicionesdeintegral,que amplan las definiciones de Riemann y Lebesgue. IsaacNewton usabaunapequeabarraverticalencimadeunavariablepara indicar integracin, o pona la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundafcilmentecono ,queNewtonusabaparaindicarla derivacin,yademslanotacin"caja"eradifcildereproducirporlos impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La notacin moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.Paraindicar summa (en latn,"suma"o"total"),adaptel smbolo integral, "", a partir de una letra S alargada. La notacin moderna de la integraldefinida,conloslmitesarribayabajodelsignointegral,lauspor primeravez JosephFourier en Mmoires delaAcademiaFrancesa,alrededor de181920,reimpresaensulibrode1822.Enla notacinmatemticaen rabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido. 5 PRESENTACION La presentacin de este trabajo no puede ser mejor citando frases importantes para saber acerca de matemticas. LasmatemticassonelalfabetoconelcualDioshaescritoel Universo. (Galileo Galilei) Lamatemticaeslacienciadelordenylamedida,debellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fciles. (Ren Descartes) Lasmatemticasnomienten,loquehaysonmuchos matemticos mentirosos. (Henry David Thoreau) Cuando las leyes de la matemtica se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad. (Albert Einstein) Las proposiciones matemticas, en cuanto tienen que ver con la realidad,nosonciertas;yencuantoquesonciertas,notienen nada que ver con la realidad. (Albert Einstein) Las matemticas pueden ser definidas como aquel tema del cual nosabemosnuncaloquedecimosnisiloquedecimoses verdadero. (Bertrand Russell) Lasmatemticasposeennoslolaverdad,sinociertabelleza suprema. Una belleza fra y austera, como la de una escultura. (Bertrand Russell) 6 JUSTIFICACION Una integral es la operacin contraria de la derivada. Una integral definida eslamaneradecalcularelreaquequedarepresentadaentrelacurva quedescribeunafuncinyelejecartesiano.Tambinsepuedeintegrar entre dos funciones pero aplicando el teorema de Barrow, es la integral de lafuncinmspositivamenoslaotra. 7 DESARROLLO CALCULO INTEGRAL DefinicinLa integral es la antiderivada de una funcin, cuando derivas una funcin te da otrafuncin,llamadafuncinderivadaycuandoseintegraladerivadase obtiene la funcin original. Teora Dada una funcin f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al rea de la regin del plano xy limitada entre la grfica de f, el eje x, y las lneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las reas por debajo del eje x. Lapalabra"integral"tambinpuedehacerreferenciaalanocinde primitiva: unafuncin F,cuya derivada eslafuncindada f.Enestecasose denomina integralindefinida,mientrasquelasintegralestratadaseneste artculosonlas integralesdefinidas.Algunosautoresmantienenuna distincin entre integrales primitivas e indefinidas. Newton y Leibniz a finales del siglo XVII. A travs del teorema fundamental del clculo,quedesarrollaronlosdosdeformaindependiente,laintegracinse conectaconla derivacin,ylaintegraldefinidadeunafuncinsepuede calcularfcilmenteunavezseconoceunaantiderivada.Lasintegralesylas derivadaspasaronaserherramientasbsicasdel clculo,connumerosas aplicaciones en ciencia e ingeniera. BernhardRiemann diounadefinicinrigurosadelaintegral.Sebasaen un lmite queaproximaelreadeunaregincurvilneaabasedepartirlaen pequeostrozosverticales.Acomienzosdel sigloXIX,empezarona aparecer nocionesmssofisticadasdelaintegral,dondesehangeneralizadolostipos delasfuncionesylosdominiossobreloscualessehacelaintegracin. La integralcurvilneasedefineparafuncionesdedosotresvariables,yel 8 intervalo de integracin [a,b] se sustituye por una cierta curva que conecta dos puntosdelplanoodelespacio.Enuna integraldesuperficie,lacurvase sustituye por un trozo de una superficie en el espacio tridimensional. Lasintegralesdelas formasdiferenciales desempeanunpapelfundamental enla geometradiferencial moderna.Estasgeneralizacionesdelaintegral surgieronprimeroapartirdelasnecesidadesdela fsica,ytienenunpapel importanteenlaformulacindemuchasleyesfsicascmo,porejemplo,las del electromagnetismo. Los conceptos modernos de integracin se basan en la teoramatemticaabstractaconocidacomo integraldeLebesgue,quefue desarrollada por Henri Lebesgue. Aplicaciones Lasintegralesaparecenenmuchassituacionesprcticas.Consideremosuna piscina.Siesrectangular,entonces,apartirdesulongitud,anchuray profundidad,sepuededeterminarfcilmenteelvolumendeaguaquepuede contener (para llenarla), el rea de la superficie (para cubrirla), y la longitud de suborde(paraatarla).Perosiesovaladaconunfondoredondeado,todas estascantidadespidenintegrales.Alcomienzopuedesersuficientecon aproximacionesprcticas,peroalfinalharnfaltarespuestasexactasy rigurosas a este tipo de problemas. Paraempezar,seconsiderarlacurva entre y, suponiendo que. La pregunta es: Cul es el rea bajo la funcin, al intervalo desde hasta ? Estarea(todavadesconocida)serla integral de.Lanotacinparaesta integral ser . Comoprimeraaproximacin,semiraalcuadradounidaddadoporlos lados x=0 hasta x=1 y y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su rea es exactamente 1. Tal como sepuedever,elverdaderovalordelaintegraltienequeserdealgunaforma ms pequeo. Reduciendo el ancho de los rectngulos empleados para hacer laaproximacinseobtendrunmejorresultado;as,separteelintervaloen cinco pasos, empleando para la aproximacin los puntos 0, 15, 25, as hasta 1. Seajustaunacajacadapasoempleandolaalturadelladoderechodecada pedazodelacurva,as ,,yashasta.Sumando 9 lasreasdeestosrectngulos,seobtieneunamejoraproximacindela integral que se est buscando, Ntesequeseestsumandounacantidadfinitadevaloresdelafuncin f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximacin sucesivos. Se puede ver fcilmente que la aproximacin contina dando un valor ms grande que el de la integral. Empleando ms pasos se obtiene una aproximacin ms ajustada, pero no ser nunca exacta: si en vez de 5 subntralos se toman doce y se coge el valor de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un valor aproximado para el rea, de 0,6203, que en este caso es demasiado pequeo. La idea clave es la transicin desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximacin multiplicados por los respectivos valores delafuncin,hastausarpasosinfinitamentefinos,o infinitesimales.La notacin concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la funcin (como las alzadas, y = f(x)) multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx). Conrespectoal clculorealdeintegrales,el teoremafundamentaldel clculo,debidoaNewtonyLeibniz,eselvnculofundamentalentrelas operacionesde derivacin eintegracin.Aplicndolo alacurvarazcuadrada, setienequemirarlafuncinrelacionada ysimplemente coger,donde y sonlasfronterasdel intervalo [0,1].(stees unejemplodeunareglageneral,quedicequepara f(x) = xq,con q 1,la funcin relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (xq+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del rea bajo la curva se calcula formalmente como Histricamente,despusdequelosprimerosesfuerzosdedefinir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann defini formalmente las integrales como el lmite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere ellmitedeunadiferencia(laanchuradelintervalo).Ladependenciadela definicin de Riemann de los intervalos y la continuidad motiv la aparicin de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la 10 habilidaddeextenderlaideade"medida"demanerasmuchomsflexibles. As, la notacin hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la funcin, donde mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aqu A indica la regin de integracin.) La geometra diferencial, con su "clculo de variedades", proporciona otra interpretacin a esta notacin familiar. Ahora f(x) y dx pasan a seruna formadiferencial, = f(x)dx,apareceunnuevo operadordiferenciald, conocidocomola derivadaexterior,yelteoremafundamentalpasaaserel (ms general) teorema de Stokes, a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del clculo. Recientemente,losinfinitesimaleshanreaparecidoconrigor,atravsde innovacionesmodernascomoel anlisisnoestndar.Estosmtodosnoslo reivindicanlaintuicindelospioneros,tambinllevanhacialasnuevas matemticas,yhacenmsintuitivoycomprensibleeltrabajoconclculo infinitesimal. A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hayunsolapamientoconsiderable.As,elreadelapiscinaovalsepuede hallarcomounaelipsegeomtrica,comounasumadeinfinitesimales,como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el clculo ser el mismo en todos los casos. 11 ANTIDERIVADA Se llama antiderivada de una funcinf definida en un conjunto D de nmeros reales a otra funcin g derivable en D tal que se cumpla que: Teorema: Si dos funcioneshygson antiderivadas de una misma funcinfen un conjunto D de nmeros reales, Entonces esas dos funciones hygsolo difieren en una constante.

Conclusin: Sig(x) es una antiderivada defen un conjunto D de nmeros reales, entonces cualquier antiderivada de fes en ese conjunto D se puede escribir como,c constante real. EjemplosPues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4.Pues la derivada de x2+30 es 2x tambin, una otra antiderivada de 2x es x2+30.En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49.En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)In fact:Cada antiderivada de 2x tiene la forma x2 + C, donde C es constante. P Pues la derivada de x4+C es 4x3. INTEGRAL INDEFINIDA

Integrar es el proceso recproco del de derivar, es decir, dada una funcin f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F'(x) = f(x). Si una funcin f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferencindose todas ellas en una constante. [F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x) = g x f x x D ( ) ( ) h x g x c x D ( ) ( ) = h(x)=g(x)+c x D g x c ( ) + x D 12 Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una funcin. Se representa por f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x. es el signo de integracin. f(x) es el integrando o funcin a integrar. dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra. C es la constante de integracin y puede tomar cualquier valor numrico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitiva de una funcin es correcta basta con derivar. Propiedades de la integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx2. La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integral de la funcin. k f(x) dx = k f(x) dx 13 INTEGRAL POR PARTES 14 ECUACION DIFERENCIAL Llamaremos ecuacindiferencial a una ecuacin del tipo(n) F (x, y, y , y , . . . , y ) = 0que liga una variable independiente x y una funcin y = y(x) junto con una o ms de sus derivadas.Alafuncinyselellamafuncinincgnita.Sellamaordendelaecuacindiferencialaldela derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuacin. Se llama solucin de la ecuacin diferenciala una funcin y = f (x) que verifica la ecuacin.Ecuacionesdiferencialesdeprimerorden.-Vamos,enestaseccin,aestudiarlasolucindealgunasecuacionesdiferencialesdeprimerorden.Una ecuacin diferencial de primer orden es una ecuacin en la que solo aparecen derivadas de primer orden y es del tipo: dy y== F (x, y) dxuna condicin inicial se puede expresar de la forma y(x) = y y una funcin y = f (x) es solucin si o0

Se cumple f(x) = F (x, f (x)). Ecuacindevariablesseparables.- Se trata de una ecuacin del tipo: dy ?(x) + ?(y)y= 0 o bien ?(x) + ?(y) = 0,dx 15 bienquesepuedenreducirauncasocomoesteenelquepodemosagruparporseparadolasdos variables. Entonces podemos proceder como:?(x)dx + ?(y)dy = 0, luego ?(x)dx +?(y)dy = Cde donde se obtiene la solucin. Ecuacioneshomogneas.- Una funcin de dos variablesf (x, y) se llama homognea de grado n si verifica, para todo nmero real ? que: f (?x, ?y) = ?nf (x, y) Una ecuacin diferencial es homognea si se puede escribir de la forma: f (x, y)dx + g(x, y)dyn = 0 dondefygsonfuncioneshomogneasdelmismogrado.Entonceshaciendoelcambiodevariabley=xvdondevesunafuncindexv =v(x)derivable;entoncesdy=vdx + xdvylaecuacinhomognea se reduce a una ecuacin de variables separables. Ecuaciones lineales de primer orden.- Una ecuacin diferencial de primer orden es una ecuacin diferencial que s e puede escribir de la forma: dyy + p (x)y = q(x), o bien + p (x)y = q(x)dx Donde py q son dos funciones continuas. 16 EVALUACION Resolver la siguiente integral: Solucin Mtodo a emplear: Integracin por Tablas.Regla de integracin: Frmula # 27 de la Tabla de integrales dada.Desarrollo: Al comparar la integral dada con las integrales de la Tabla de Integrales, se establece que la forma que ms se adapta a la situacin planteada, es la Frmula # 27, la cual viene dada por la siguiente expresin matemtica: (1) Para aplicar (1), basta con construir las siguientes igualdades: = (2) Donde: (3) Ahora, se debe reemplazar en (2) lo establecido en (3), para obtener: Comoseobtieneotraintegralquetienelamismaestructura,se aplica nuevamente la misma frmula # 27, obtenindose: = Enlaltimaigualdad,apareceotraintegral,lacualpuede resolverseporpartesoaplicandolafrmula#23-delatabla dada -generndose as, la respuesta final: ( ) dx x3lndxx||

\|+ 421( ) ( ) ( ) du u n u u du unnn 1ln ln ln =( ) dx x3ln( ) ( ) ( ) du u n u u du unnn 1ln ln ln =3 ; = = n x u( ) dx x3ln( ) ( ) dx x x x23ln 3 ln =( ) dx x3ln( ) ( ) dx x x x23ln 3 ln =( ) ( ) ( ) dx x x x x x

= ]1 2ln 22ln 33ln( ) dx x3ln 17 Resolver la siguiente integral: Solucin Mtodo a emplear: Integracin por Tablas.Regla de integracin: Frmula #16.bde la Tabla de integrales dada.Desarrollo: Al comparar la integral dada con las integrales de la Tabla de Integrales, se establece que la forma que ms se adapta a la situacin planteada, es la Frmula #16.b, la cual viene dada por la siguiente expresin matemtica: (1) Para aplicar (1), basta con construir las siguientes igualdades: = (2) Donde:(3) Ahora, se debe reemplazar en (2) lo establecido en (3), para obtener:= = dxx||

\|+ 421||

\|=+auaa udu1tan12 2dxx||

\|+ 421||

\|=+auaa udu1tan12 22 42;2 2= = = = a a x u x udxx||

\|+ 421dxx||

\|+2221||

\|21tan21 x 18 Por lo tanto, la respuesta final, viene dada por: = dxx||

\|+ 421||

\|21tan21 x 19 OBJETIVOS Conocer y manejar los conceptos de integral indefinida. Interpretar geomtricamente la integral e indefinida Utilizar la integral en las aplicaciones geomtricas elementales de clculo de areas 20 CONCLUSION La historia del clculo, comienza desde que comenz la historia del hombre, cuando este vio la necesidad de contar Han sido muchos los grandes matemticos que han influido en el desarrollo que actualmente posee el clculo, igualmente que han sido muchas las culturas que han influido en sus avances Las matemticas, actualmente son la base de todas las ciencias que maneja el hombre, debido a que su campo de accin cubre la totalidad de los conocimientos cientficos. 21 BIBLIOGRAFIA TEXTO THOMAS (CALCULO DE UNA VARIABLE) BUDNICK HOWAR ANTON TAN DRAPPER WEBER HOFFMAN PAGINA WED http://davinci.tach.ula.ve/vermig/integral/paginas/metodos/pag35.htm http://www.iesadpereda.net/envios/images/Mates2/Tablas%20de%20integrales.pdf http://usuarios.multimania.es/calculoint21/id31.htm http://www.inetor.com/metodos/integracion_partes.html http://es.wikipedia.org/wiki/Integraci%C3%B3n_indefinida http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutorials4/unit6_1.html