“Año de la Integración Nacional y el Reconocimiento de Nuestra Diversidad”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

CURSO : MECANICA TECNICA .

TEMA : PENDULO DE TORSION.

DOCENTE : LIC. JULIO TIRAVANTI CONSTANTINO.

INTEGRANTES : - CHAVEZ FURLONG ISABEL- HERRERA LOPEZ JESUS IVAN- MATIAS SANDOVAL JUNIOR - MAURIOLA CARHUAPOMA WILIAN- MECHATO ELIAS IRVIN- MONTERO FLOREZ JUAN JOSE- SILVA PAZO EDUARDO - PEÑA MANCHAY ALVARO- VELASQUEZ CARRASCO ORLANDO- YARLEQUE LITANO DANIEL

.

PIURA- PERU 2012

INDICE

INTRODUCCION………………………………………………………….

OBJETIVOS……………………………………………………………....

RESEÑA HISTORICA……………………………………………………

FUNDAMENTO TEORICO………………………………………………

PROCEDIMIENTOS………………………………………………………

DATOS……………………………………………………………………..

ANALISIS DE DATOS…………………………………………………….

CONCLUSIONES………………………………………………………….

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS……………………………………...

INTRODUCCION

El presente manual de laboratorio tiene como finalidad ofrecer una nueva forma de afianzar el aspecto conceptual de una parte de la mecánica que es de vital importancia para que los estudiantes comprendan de una manera óptima la forma de calcular la constante de elasticidad y rigidez de algunos metales tales como el cobre, el fierro, alambre, etc.

El presente trabajo también tiene como propósito llevar a cabo explicar el movimiento periódico que presenta el péndulo de torsión, para esto se usaron conceptos como constante de torsión, momento de inercia, periodo.

Lo que abarca este experimento es: el marco teórico y experimental, objetivos, conclusión, etc. Que es de vital importancia ya que permite a los estudiantes e interesados desarrollar su capacidad en el cálculo de datos experimentales, criterio para solucionar problemas propios que se plantean en la ingeniería.

1. OBJETIVOS

1.1. Reconocimiento de los materiales y sus funciones usados en este experimento.

1.2. Estudiar el movimiento armónico simple con desplazamiento angular.1.3. Medir la constante elástica de torsión y el modulo de rigidez de un alambre

metálico.1.4. Aprender a ensamblar el equipo experimental.1.5. Determinar el momento de inercia de un disco.1.6. Analizar por medio de esta práctica, el movimiento de un péndulo de torsión.1.7. Tener claro cada uno de los componentes de un péndulo de torsión.1.8. Determinar el momento de inercia del péndulo de torsión.

2. RESEÑA HISTORICA

El principio del péndulo fue descubierto por el físico y astrónomo italiano Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella).

Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la altitud.

Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

3. FUNDAMENTO TEORICO

En este trabajo vamos a explicar el movimiento pendular, que es una forma de desplazamiento que presentan algunos sistemas físicos.

Debemos tener en cuenta algunos conceptos teóricos relativos a la oscilación (que implica deformación del sólido), como la Ley de Hooke, el movimiento armónico simple (M.A.S.) y la elasticidad por deslizamiento de muelles (cizalla y torsión).

3.1. LEY DE HOOKE Y MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Ley de hooke

Como modelo para un movimiento armónico simple, considérese un boque de masa “m” unido al extremo de un resorte, con el bloque libre de moverse en una superficie horizontal sin fricción. Cuando el resorte no está estirado ni comprimido el bloque, esa en la posición llamada “posición de equilibrio del sistema”, que identificamos como x=0, sabemos por experiencia que este sistema oscila en un sentido y en otro si se saca de su posición de equilibrio.

Cuando el bloque se desplaza a una posición X1 el resorte ejerce sobre el boque una fuerza que es proporcional a la posición dada y por la ley de hooke.

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente

formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento

unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la

fuerza aplicada :

Siendo,  el alargamiento,   la longitud original, : módulo de Young,   la

sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos

hasta un límite denominado límite elástico.

Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo

de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su

descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, revelando su

contenido un par de años más tarde.

Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es

mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza   ejercida

sobre el resorte con la elongación o alargamiento   producido:

Donde   se llama constante elástica del resorte y   es su elongación o variación

que experimenta su longitud.

La energía de deformación o energía potencial elástica   asociada al

estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

Es importante notar que la   antes definida depende de la longitud del muelle y de

su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte

independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial

constitutiva de un muelle. Multiplicando   por la longitud total, y llamando al

producto   o   intrínseca, se tiene:

Llamaremos   a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de

uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas,   a la

constante de un pequeño trozo de muelle de longitud   a la misma distancia

y   al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza

. Por la ley del muelle completo:

Tomando el límite:

que por el principio de superposición resulta:

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo  , se obtiene

como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios

(Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un

resorte se calcula como:

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

El movimiento de una partícula en un sistema complejo, es más fácil de analizar si consideramos que el movimiento es una superposición de oscilaciones armónicas, las cuales pueden describirse en términos de “seno y coseno”.

Consideremos un sistema oscilatorio consistente en una partícula sometida a una fuerza.

Donde es una constante y es el desplazamiento de la partícula a partir de su

posición de equilibrio. Tal sistema oscilatorio recibe el nombre de oscilador armónico simple, y su movimiento se llama movimiento armónico simple.

3.2. Movimiento Oscilatorio

El movimiento oscilatorio es un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecánico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que actúa sobre la partícula es cero. Si el equilibrio es estable, un desplazamiento de la partícula con respecto a la posición de equilibrio (elongación) da lugar a la aparición de una fuerza restauradora que devolverá la partícula hacia el punto de equilibrio.

En términos de la energía potencial, los puntos de equilibrio estable se corresponden con los mínimos de la misma.

Ejemplo

El movimiento armónico simple constituye un ejemplo de movimiento oscilatorio. Se llama así al movimiento descrito por la ecuación:

Dónde:

: es la elongación

: es el tiempo

: es la amplitud o elongación máxima.

: es la frecuencia angular

: es la fase inicial

Es un movimiento de vaivén. ¿Podemos hacer una descripción científica? Si estudiamos el movimiento de un número de objetos podemos quizás contestar a la pregunta.

Si una masa se suspende a

partir de un resorte, se tira hacia

abajo y después se suelta, se

producen las oscilaciones.

El balanceo de una bolita en una pista curvada, la bolita oscila hacia

delante y atrás de su posición de reposo.

Una masa suspendida del extremo de una cuerda (un péndulo simple),

cuando la masa se desplaza de su posición de reposo y se la suelta se

producen las oscilaciones.

Un carrito atado entre dos soportes en un plano horizontal por medio de

resortes oscilará cuando el carrito se desplaza de su posición de reposo y

después se suelta.

Una regla afianzada con abrazadera en un extremo a un banco oscilará

cuando se presiona y después se suelta el extremo libre.

3.3. Elasticidad por deslizamiento de muelles.

Medida de la constante de un muelle

En esta página, se va a simular dos prácticas que son habituales en un laboratorio de Física. La medida de la constante elástica de un muelle por dos procedimientos

Estático

Dinámico

a) Estático:

Ya hemos estudiado el comportamiento de los muelles elásticos. La fuerza F que aplicamos es proporcional a la deformación del muelle, x.

F=kx

k se denomina constante elástica del muelle y se mide en N/m.

Para los muelles helicoidales existe una ley similar, la diferencia es que se aplica un momento en vez de una fuerza, y la deformación es un desplazamiento angular.

F·r=Kθ

K se denomina constante de torsión y se mide en N·m.

En el experimento real, se gira la varilla soporte un cierto ángulo θ, se mide con un

dinamómetro la fuerza F que hay que aplicar a una distancia r del eje para que la

varilla soporte se mantenga en equilibrio para dicho desplazamiento angular. Se

ha de tener cuidado de que el eje del dinamómetro forme 90º con la varilla. Se

desvía la varilla un ángulo mayor, se mide la fuerza F, situando el dinamómetro a

la misma distancia r del eje, y así sucesivamente.

b) Dinámico:

En el procedimiento dinámico se separa la varilla soporte un cierto ángulo de

suposición de equilibrio, se suelta, y la varilla comienza a oscilar.

A partir de la medida del periodo de las oscilaciones se obtiene la constante elástica del muelle.

Cuando la varilla soporte se ha desviado un ángulo θ y se suelta el muelle ejerce sobre la varilla soporte un momento -Kθ. El momento es de sentido contrario al desplazamiento angular.

Tenemos un sólido en rotación alrededor de un eje fijo bajo la acción de un momento. La ecuación de la dinámica de rotación se escribe

Ia = - Kq

En forma de ecuación diferencial

Esta es la ecuación diferencial de un MAS de frecuencia angular ω 2=K/I y periodo

Deducción de las formulas del péndulo de torsión

Para empezar denotaremos esta definición (constante elástica de torsión).

Considérese un alambre fijo en su extremo superior sometido a la acción de un

torque deformador τ, paralelo al eje vertical que hace girar al extremo inferior un

ángulo BAC = ɸ ó BOC = Ɵ. Si consideramos una porción angular cilíndrica

interior del alambre, vemos que el par aplicado le produce una deformación

constante σ = tan ɸ ≈ ɸrad, que depende de la rigidez del material con que está

hecho el alambre.

En la figura se muestra una porción del alambre que tiene un radio “r” tomando un ángulo elemental sometido al esfuerzo de corte tal que, sus lados verticales se desplazan un ángulo ɸ, este comportamiento se repite en todos los cubos elementales situados por encima y por debajo del cubo de referencia, dando como resultado un giro de la línea AB a la posición AC bajo la acción del par de fuerzas f como se muestran en la figura. El arco descrito es:

…(1)

…(2)

De donde Ɵ y ɸ se mide en radianes.

Si la fuerza actuante en las caras superior e inferior al anillo es df y el área dS=2ᴨ.r dr, la definición de esfuerzo o tensión cortante nos da:

Y el modulo de rigidez (corte o cizalladora) es:

Que usando la Ec. (2)

De donde la fuerza sobre la superficie del anillo es:

Y el torque elemental que ejerce esa fuerza es:

Integrando para r desde 0 hasta R obtenemos el torque total sobre la sección:

Que también puede escribirse en la forma:

En el experimento, R y L (radio y longitud del alambre) se mantendrán constantes, de modo que la cantidad entre paréntesis en la ecuación (5) es una constante que lo denotaremos con:

…(3)

…(4)

Por l tanto, en la Ec. (5) se puede escribir en la forma.

Esta ecuación no es sino la expresión matemática de la ley de Hooke cuando la deformación es angular. En consecuencia, µ es la constante elástica de torsión del alambre.

La reacción correspondiente al torque deformador de la Ec. (6) es el torque recuperador.

Generado por las fuerzas de cohesión intermolecular del alambre.

Una forma experimental de medir µ y G consiste en sujetar una masa m en el extremo inferior de un alambre como el de la fig.2 y aplicarle un torque deformador girando la masa un ángulo Ɵ. Al dejarlo libre, el torque recuperador produce una masa un movimiento oscilatorio rotante. La ecuación dinámica de estas oscilaciones se obtiene aplicando la segunda Ley de Newton para la rotación:

Donde I es el momento de inercia del cuerpo oscilante respecto al eje de rotación paralelo al alambre. Esta ecuación puede escribirse en la forma:

Que es similar a la ecuación dinámica del MAS (Movimiento Armónico Simple) lineal.

Por similitud entonces deducimos que la frecuencia angular del movimiento oscilatorio rotante del disco es:

…(5)

…(6)

…(7)

…(8)

…(9)

Y el periodo es:

Usando la Ec.(11) podemos hallar la constante elástica de torsión µ y luego usando la Ec.(5) el modulo de rigidez G del material del cual está hecho el alambre. Para lograr esto debemos medir las dimensiones del alambre, el periodo T y el momento de inercia I de péndulo de torsión de la fig.2.

En el experimento usaremos un sistema oscilante compuesto de un tornillo soporte y discos, acoplados como se muestra en la fig. 3. Por lo tanto el momento de inercia I del sistema oscilante será la suma del momento de inercia del tornillo (It) y de los discos que vayamos usando (Id)

Según esto, el periodo de oscilación estará dada por:

Ecuación que puede linealizarse escribiendola en la forma:

…(10)

…(11)

…(12)

…(13)

4. MATERIALES E INSTRUMENTOS

Materiales Instrumentos Precisión

Alambre de cobre Cronometro 0.01 s

Varillas de fierro Regla metálica 0.05 cm

Base de fierro Balanza digital 0.1 g

Tornilio de ½ Pie de rey 0.05mm

Discos de fierro de aprox. 310 g

Abrazadera de aluminio

Pernos de ajuste

5. PROCEDIMIENTOS Y DATOS EXPERIMENTALES

1.1. Por medición directa obtener:

a) Longitud del alambre entre los puntos de sujeción

L = 1.50 m

b) El diámetro del alambre es: d = calibre 27

c) Los Díametros interior D1 y exterior D2 de cada disco y anotar los resultados en la tabla 1

1.2. Calcular el momento de inercia de cada disco usando la fórmula

……………………………… (14)

Y anotar los resultados en la tabla 1.

DISCO Diámetro interior de cada Disco D1 (m)

Diámetro exterior de cada Disco D2 (m)

Masa de cada Disco m (kg)

Momento de Inercia de cada Disco Id

(Kg.m2)

A 0.0125 0.074 0.304 2.14025 x 10-4

B 0.013 0.075 0.306 2.21621 x 10-4

C 0.013 0.0745 0.308 2.20191 x 10-4

D 0.0135 0.075 0.306 2.22127 x 10-4

E 0.012 0.075 0.308 2.22106 x 10-4

5.3) Verificar que el alambre esté firmemente sostenido a la varilla horizontal y que el tornillo lo esté al extremo del alambre. Luego, insertar el disco A en el tornillo y ajustarlo firmemente en el centro del mismo.

5.4) Con el péndulo (alambre + tornillo + disco) en posición vertical, aplicar un torque externo al

disco girándolo un ángulo de aproximadamente 90º= . Dejarlo libre y medir el tiempo de 10

oscilaciones, calcular el periodo de oscilaciones y anotar su valor en la tabla 2. Repetir la medida anterior 3 veces más.

5.5) Agregar el disco B, ajustarlo firmemente con el disco A en el centro del tornillo y girar el

conjunto en ángulo de aproximadamente 90º= . Dejar libre el conjunto, medir el tiempo de 10

oscilaciones y calcular el periodo de oscilación, anotar su valor en la tabla 2. Repetir esta medida 3 veces más.

5.6) Continuar estas mediciones agregado, de uno en uno, los otros discos.

Tabla 2

Discos Momento de inercia discos I (Kg.m^2)Dispersión del periodo en segundos Periodo

Medio T(Hz)T1 T2 T3 T4A A+B 4.35699 x 10-4 0.6049 0.5780 0.5800 0.5668 0.5824A+B+C 6.55691 x 10-4 0.6910 0.6901 0.6882 0.6752 0.6861A+B+C+D 8.77326 x 10-4 0.7861 0.7752 0.7722 0.7739 0.7769A+B+C+D+E 10.99962 x 10-4 0.8703 0.8771 0.8673 0.8517 0.8668

6. PROCESAMIENTO Y ANALISIS DE DATOS

Análisis gráfico

6.1. Usando los datos de la tabla 2, construir en papel milimetrado el gráfico T vs I y escribir:

El tipo de curva obtenida: ……………………………………………

6.2. Usando los datos de la tabla 2, construir en papel milimetrado el gráfico T2 vs I y escribir:

El tipo de curva obtenida: …………………………………………...

El valor de la pendiente B: …………………………………………..

El valor del intercepto A: ………………………………………………

La ecuación empírica: ………………………………………………..

6.3. Identificar los valores numéricos de las constantes obtenidas anteriormente con las constantes de la ecuación (13)

= …………………………………..

= …………………………………….

6.4. Calcular el valor de las siguientes cantidades:

La constante elástica de torsión: 𝜇 =……………………..

El módulo de rigidez del alambre G =……………………..

El momento de inercia del tornillo =……………………..

Análisis estadístico

6.5. Completar la tabla 3

N Xj = I (kg.m2) Yj = T2 (s2) XjYj (kg.m2.s2) Xj2 (kg2.m4) Yj2 (s4)1 2 3 4 ∑

6.6. Aplicar el método de los cuadrados mínimos o algún procesador de datos estadísticos tal como Excel o el Analizador gráfico Micro cal Origen, a los datos de la tabla 3 y escribir:

La pendiente con su incertidumbre: B = (……………… ± ………………… )

El intercepto con su incertidumbre : A = (……………… ± ………………… )

Ecuación empírica : …………………………………………………………….

6.7. Calcular el valor de las siguientes cantidades del péndulo de torsión:

La constante elástica de torsión con su incertidumbre: 𝜇 = (…………… ± ……… )

El módulo de rigidez del alambre con su incertidumbre: G = (………… ± ………… )

El momento de inercia del tornillo = (……………… ± ………………… )

7. RESULTADOS

CONSTANTE METODO GRAFICO

METODO ESTADISTICO

CONSTANTE ELASTICA DE TORSION µ MODULO ELASTICO DE RIGIDEZ G

Error porcentual e% = X 100 = X 100

GRAFICO ESTADISTICOe% = e% =

Donde Gt es el módulo de rigidez del material usado, que puede obtenerse en la bibliografía sugerida en el silabo y Ge es el valor del módulo de rigidez obtenido experimentalmente.

8. CONCLUSIONES:

8.1. Examine la deducción de la ecuación diferencial del movimiento del péndulo de torsión (ecuaciones 8 y 9) y los pasos análogos en el péndulo físico y diga cuál de los péndulos tiene estrictamente un movimiento armónico.

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8.2. Establezca una diferencia y una semejanza entre las constantes µ y G.

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8.3 Fundamente si en el fenómeno estudiado, existe alguna forma de energía potencial. Escriba su fórmula en el caso afirmativo.

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9. BIBLIOGRAFIA:

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10. CALIDAD Y PUNTUALIDAD:

Bibliografía

R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover, 1980.

Timoshenko, Stephen ; Godier J.N... McGraw-Hill. ed. Theory of elasticity.

Ortiz Berrocal, Luis. McGraw-Hill. ed. Elasticidad. Aravaca (Madrid). pp. 94-96. ISBN 84-481-

2046-9.

Olivella, X.; Agelet de Saracibar, C.. «3». En Edicions UPC. Mecánica de Medios

Continuos para Ingenieros. Barcelona. pp. 71-75. ISBN 978-84-8301-412-7.