TRABAJO DE NIVELACIN DE MATEMTICAS PRESENTADO COMO PLAN DE MEJORAMIENTO

Presentado por:

RICARDO MANUEL ZAPATEIRO GUERRERO

Presentado al docente:

LIC. MNICA FONTALVO

INSTITUCIN EDUCATIVA JOS AGUSTN BLANCO BARROSREA: Matemticas CURSO: 1004

SABANALARGA, 22 de Junio del 2015.

TRABAJO DE NIVELACIN PARA MATEMTICAS

1. VERIFICAR LAS SIGUIENTES IDENTIDADES:

a)

Solucin.

Teniendo en cuenta algunas operaciones algebraicas y las principales identidades bsicas, especialmente que , por lo cual tenemos que:

Dado que

Y como , entonces:

b)

Solucin.

Tenemos que:

c)

Solucin.

Para este ejemplo, tenemos entonces que:

Puesto que

Puesto que , entonces , y por tanto:

d)

Solucin.

Para este ejemplo, tenemos entonces que:

Pero del producto notable , obtenemos que:

Entonces: Puesto que

Puesto que

2. DEFINICIN DE LAS CNICAS: CIRCUNFERENCIA, HIPRBOLA, PARBOLA Y ELIPSE:

En geometra, una Seccin Cnica es cualquier curva producida por la interseccin de un plano y un cono recto triangular. Dependiendo del ngulo del plano relativo al cono, la interseccin puede ser: un crculo, una elipse, una hiprbola o una parbola.

Apolonio de Perga (262190 a. C.) fue el primero que escribi un tratado sobre estas curvas y les dio el nombre por el que se las conoce. Las Cnicas se pueden describir como curvas planas que son los caminos de un punto en movimiento para que el radio de su distancia forme un punto arreglado (foco) a la distancia de la lnea determinada (directriz) que es constante. Es interesante notar que:

As la seccin producida por un plano perpendicular al eje es una circunferencia.

La seccin producida por un plano que interseca a todas las generatrices pero no en un mismo lado del vrtice es una hiprbola.

La seccin producida por un plano paralelo a una de las generatrices es una parbola.

La seccin producida por un plano que interseca a todas las generatrices de un mismo lado del vrtice es una elipse.

3. FRMULAS Y CONSTRUCCIN DE UNA CIRCUNFERENCIA, UNA HIPRBOLA, UNA PARBOLA Y UNA ELIPSE:

Desde un punto de vista analtico se puede definir cnica como la curva que responde a una ecuacin del tipo:

Losvaloresquetoman A, B, C, D, E y F, determinan el tipo de la cnica y su posicin en el plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores cualesquiera, adems de los cuatro tipos de cnicas, se obtienen cnicas degeneradas e incluso cnicas imaginarias.

As se define lugar Geomtrico, es un conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad. Por lo cual, la circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto ubicado en el mismo plano denominado centro. La distancia del centro a cualquier punto se denomina radio.

Centro: Radio:

Las ecuaciones de la circunferencia son:

Y para la circunferencia con centro en el punto, la ecuacin ser:

Para el caso de la hiprbola, tomando una hiprbola cuyo centro es el origen de coordenadas, sus focos estn situados en los puntos y . Se cumple que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hiprbola, a los focos es .

Al eliminar el valor absoluto consideramos la posibilidad del doble signo:

Esto genera dos ecuaciones distintas que, al pasar una de las races al otro miembro, elevar al cuadrado y simplificar, se reducen a una ecuacin:

Como ; sustituyendo obtenemos:

Al dividir entre , obtenemos la ecuacin reducida de la hiprbola:

Y para la hiprbola con centro en cualquier otro punto del plano cartesiano, entonces la ecuacin ser.

Para el caso de la parbola, tomando un punto de una parbola cuyo vrtice es el origen de coordenadas, , y su eje se sita sobre el eje , tenemos:

Y como as , entonces:

As la ecuacin reducida de la parbola es:

Y para la parbola con centro en cualquier otro punto del plano cartesiano, entonces la ecuacin es:

Para la construccin de la parbola, el procedimiento sera el siguiente:

1. Se sitan los datos con los que contamos, y se determina el punto P, simtrico de P respecto del eje. Por el vrtice A de la curva se traza una perpendicular al eje, y por P y P se trazan las paralelas al eje; donde estas cortan a la perpendicular se obtienen los puntos M y N.

2. Se dividen MP y AM en un nmero de partes iguales, por ejemplo seis. Por las divisiones obtenidas sobre AM se trazan paralelas al eje. Se unen con el vrtice A los puntos de la divisin MP, y donde estas rectas cortan a las paralelas se obtienen los puntos 1, 2, 3, etc. Los puntos 1, 2,3, etc., se hallan por simetra.

3. Uniendo los puntos as determinados con una lnea continua, se obtiene la parbola pedida.

En el caso de la elipse, la deduccin de la frmula se hace de la siguiente manera:

Tomamos una elipse cuyo centro es el origen de coordenadas, y cuyos focos estn situados en los puntos y . Como se cumple que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse, P(x, y), a los focos es :

Resolvemos la ecuacin:

Elevando de nuevo al cuadrado, y simplificando:

Como ; sustituyendo obtenemos:

As, al dividir entre , nos queda la ecuacin reducida de la parbola:

Y para la parbola con centro en cualquier otro punto del plano cartesiano, entonces la ecuacin ser.

4. EJERCICIOS O PROBLEMAS DE APLICACIN: