1. En un mapa conceptual desarrolle la complementariedad entre el razonamiento lógico y las matemáticas. Señale ejemplos.

EJEMPLOS:

1.- Un enfermo debe tomar una pastilla cada media hora. ¿En cuánto tiempo se tomará 10 pastillas?Respuesta: En la primera hora el enfermo se toma 3 pastillas y a partir de ahí 2 en cada hora. Por lo tanto solo demorará cuatro horas y medias en tomar las 10 pastillas.

2.- La suma de dos números pares es igual a un número par.Respuesta: 8 + 10 =18 que es también par.

Bibliografía1- Copi Irving M. Introducción a la lógica, EUDEBA, Argentina, 19732- Eduardo Espinoza R. Matemática Básica, Lima, Peru, 2005

2. Desarrolle el concepto de número y su clasificación, detalle notaciones y ejemplos.

a. Numero: Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Los números se usan con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como

CIENCIAS FORMALES

Razonamiento Lógico Matemáticas

“…cualquier grupo de proposiciones tal que de una de ellas se afirma, que deriva de las otras, las cuales son consideradas como evidencia de la verdad de la primera.”

La ciencia, parte de axiomas, para estudiar las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos.

Las relaciones cuantitativas se representan con notaciones matemáticas

Hace uso de

Hace uso del

eses

números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos. 

b. Clasificación: Los números más conocidos son los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos y el cero (0) obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos, hiperreales y transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son (Pi) y el número e (base de losπ logaritmos naturales) los cuales están relacionados entre sí por la identidad de Euler. 

Existe toda una teoría de los números, que clasifica a los números en:  Números naturales.  Número primo.  Números compuestos.  Números perfectos.  Números enteros.  Números pares.  Números impares.  Números racionales.  Metanúmero ( X)[1]ΑΩ   Números reales.  Números irracionales.  Números algebraicos. Números trascendentes.  Números hiperreales.  Números complejos.  Números infinitos.  Números transfinitos.  Números negativos.  Números fundamentales: y e.π

c. notaciones y ejemplos: Por ejemplo, hay aproximadamente 6,000,000,000 habitantes en la tierra. Este número se podría escribir en

notación científica como 6x109. El número 6,000,000,000 es equivalente a 6*1,000,000,000. El número 1,000,000,000 es equivalente a 109 o 10*10*10*10*10*10*10*10*10.

3. Resuelva explicando procedimientos, los siguientes ejercicios:a) El promedio de un conjunto de 77 números impares consecutivos es 97.

Hallar la suma de las cifras del menor de ellos. Desarrollar planteamiento y sustentar solución.

Solución:

Sean los números impares: a1, a2 , a3….an

Por lo cual el promedio de los números impares es:

p=a1+a2+a3+…+an

77=97

a1+a2+a3+…+an=7469

Haciendo uso de las fórmulas de progresión aritmética tenemos:

an=a1+(n−1 )∗r……….. (1)

an=a1+(n−1 )∗2

an=a1+2∗n−2

a77=a1+2∗77−2

sn=(a1+an )∗n

2…………………….. (2)

s77=(a1+a77 )∗77

2

7469=(a1+a1+2∗77−2 )∗77

2

7469∗2=2a1∗77+2∗77∗77−2∗77

14938=154a1+11704

a1=14938−11704

154

a1=21

Por lo tanto la suma de las cifras del menor es: 2+1 =3

Respuesta: 3

b) Hallar el promedio ponderado de atención, durante cierto periodo anual, de consultas del publico efectuadas en los siguientes tres (03) juzgados. Asigne y sustente según su criterio el factor de ponderación o importancia relativa más apropiada para cada juzgado:

a. Juzgado A: 2,800 Atencionesb. Juzgado B: 1,665 Atencionesc. Juzgado C: 2,985 Atenciones

Solución: primeramente asignemos los factores de ponderación según las atenciones:

Número de Atenciones

Ponderación

3000-2500 152500-2000 102000-1500 5

~x=2800∗15+1665∗5+2985∗1515+15+5

~x=9510035

~x=2717.14

Por lo cual el factor de ponderación es 2717.15 para los factores asignados. Respuesta :~x=2717.14

c) Hallar el promedio de los siguientes crecimientos anuales de la carga procesal observados en determinado juzgado: 3%, 5.5%, 7%, 9%, 12%, 6%, 8.7%, 4.3%, 9% y 15%.

Solución:

~x=3%+5.5%+7%+9%+12%+6%+8.7%+4.3%+9% y+15%10

~x=79.5010

~x=7.95%

Respuesta :~x=7.95%

4. Un juzgado cuenta con tres especialistas: A, B, C. Por cada 7 expedientes que resuelve A, B resuelve5; Por cada 3 expedientes que resuelve B, C resuelve 2. Si A resolvió 440 expedientes más que C, ¿Cuantos Expedientes Resolvió B? (2 puntos)

Solución:

"Por cada 7 Expedientes que resuelve A, B resuelve 5”

AB

=75=k

A=7k

B=5k

"Por cada 3 expedientes que resuelve B, C resuelve 2"

BC

=32=p

B=3 p

C=2 p

"Si A resolvió 440 expedientes más que C"

A=440+C

7k=440+2 p

Como B=3 p=5 k entonces:k=35∗p

Remplazamos en:7k=440+2 p

7∗35

∗p=440+2 p

( 215

−2)∗p=440

115

∗p=440

p= 440∗511

p=200

Por lo tanto B resolvió:

B=3 p

B=3∗200

B=600

Respuesta :Bresolvio=600expediente

5. Defina las leyes de propiedades de operaciones con conjuntos: asociativa, conmutativa, distributiva, absorción, idempotencia, identidad, complemento, involutiva y de ley de Morgan. Señale dos ejemplos por cada una de ellas. (2 puntos)

Los conjuntos satisfacen varias leyes o identidades. Observaremos que existe una dualidad entre las leyes que utilizan la intersección y las que utilizan la unión.

Para entenderlo mejor se tiene el siguiente ejemplo, se aplicara para cada ley o propiedad de conjunto.

Leyes Asociativas

Dados tres conjuntos A, B y C de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A (B C) = (A B) C∪ ∪ ∪ ∪

2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Leyes Conmutativas

Dados dos conjuntos A y B de un universal arbitrario U, se verifica: 1. A B = B A ∪ ∪2. A ∩ B = B ∩ A

Leyes Distributivas

Dados tres conjuntos A, B y C de un conjunto universal arbitrario U, se verifica:

1. A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) ∪ ∪ ∪

2. A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C)∪ ∪

Leyes Idempotentes Dado cualquier conjunto A en un universal arbitrario U, se verifica: 1. A A = A ∪2. A ∩ A = A

Leyes de Identidad

Dado un conjunto cualquiera de un universal arbitrario U, se verifica:

1. A = A ∪ ∅

2. A U = U ∪

3. A ∩ = ∅ ∅

4. A ∩ U = A

Leyes de De Morgan

Dados dos conjuntos A y B en un universal U, se verifica:

1. (A B)∪ c = A c ∩ B c

2. (A ∩ B) c = A c B∪ c

6. Utilizando el diagrama de Venn, grafique y resuelva sustentando procedimientos. (3 puntos)

a. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?i. ∅{0}

ii. {∅}={0}iii. 0{ }∅iv. ∅ { }∅v. ∅{{ }}∅

b. El conjunto A contiene 10 elementos y el conjunto B tres elementos. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdades?

i. A ∩ B contiene exactamente cinco elementos.Respuesta: falso, porque A ∩ B tiene 3 elementos.

ii. A B∪ contiene al menos un elemento.

Respuesta: verdad, porque A ∪ B tiene 10 elementos.

iii. A B∪ contiene exactamente cuatro elementos.

Respuesta: falso, porque A ∪ B tiene 5 elementos y no 4 como dice el enunciado.

iv. A B∪ no puede contener más de ocho elementos.

Respuesta: falso, porque A ∪ B contiene 10 elementos y es más que 8 elementos.

v. Si A ∩ B contiene 3 elementos, entonces B A.

Respuesta: verdad, porque A ∩ B contiene 3 elementos y B es un subconjunto de A.

c. Halar los valores de verdad para cada una de las siguientes proposiciones siguientes:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

Z =   {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Q  = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....}

i. Para cada a I y para cada b N, (a-b) (I-N)

Para cualquier número que pertenece a los racionales y el otro número que pertenece a los números naturales, la

diferencia de ellos también pertenece a la diferencia de los conjuntos (I-N).

Respuesta: verdadero

ii. Existe a (I-{0}) tal que a4∄N

No existe ningún número, además I no es sub conjunto de N, lo contario N es sub conjunto de I.

Respuesta: falso.

iii. Para cada n N, existe eI tal que (n + e) N

La suma de un número natural con otro número racional es otro número racional, por lo cual la suma no pertenece a los número naturales.

Respuesta: falso.

7. Detalle 10 ejemplos de sofismas y falacias (1 punto)

Antes de dar los ejemplos debemos definir los conceptos de sofismas y falacias.

- Sofisma es cualquier argumentación adulterada que se usa para defender una falacia.

- Una falacia es una declaración, noción, creencia, razonamiento o argumento basado en una deducción falsa, errónea o inválida.

Ejemplos:

1) El rápido crecimiento de la fauna marina se debe al intenso viento que reciben, por eso es conveniente que exista mucho viento.

2) Todo los accionista de la nueva corporación gastronómica y hotelera son personas honestas y pagan siempre sus deudas. Por eso; podemos confiar en que la nueva corporación pagara cualquier deuda en la que puede incurrir.

3) Los perros son bonitos, Dogg y es un perro, Dogg y es bonito.

4)  Los perros son bonitos, El Everest es bonito,El Everest es un perro. 

5) Una hamburguesa es mejor que nada, nada es mejor que la felicidad eterna, por tanto, una hamburguesa es mejor que la felicidad eterna.

6)  Si hay más queso entonces habrá más agujeros, si hay más agujeros entonces habrá menos queso, si hay más queso entonces habrá menos queso. 

7) El chango tiene dos patas, el hombre también, el hombre es un chango.

8) El rápido crecimiento de la fauna marina se debe al intenso viento que reciben, por eso es conveniente que exista mucho viento.

9) Si agregamos café y azúcar tendremos café con leche. (Se llega a la conclusión sin tomar en cuenta la leche)

10)La gente honrada está en libertad, Yo estoy en libertad, Por lo tanto, soy honrado. La primera premisa solo nos da información de qué pasará si se es honrado, pero no dice nada sobre qué sucede si se está en libertad. Uno puede no ser honrado pero estar en libertad por no haber sido descubierto y juzgado.

8. Desarrolle un ejemplo de proposición lógica con tres variables. Identifique conectores lógicos, elabore la correspondiente tabla de verdad y determine la valides del argumento. (2 puntos)

Ejemplo:

Es falso que las clases se suspendan o la universidad cierra, si se inician las vacaciones. Nos han comunicado falsamente que ni las clases se suspenden mi la universidad cierra. Luego:

Resolución:

p: las clases se suspenden.q: la universidad se cierra.r: se inicia los vacaciones.Formalizando: [r→ ( p vq ) ]∧ ( p∧ q)

Por la condicional y Morgan:

[ r v ( pv q ) ]∧(p v q)

Por absorción: [ ( pv q ) ]∧ r

Entonces:

rPor lo tanto no se inicia las vacaciones