Trabajo encargado de analisis estructural

“Año de la consolidación del Mar de Grau”

UNIVERSIDAD NACIONAL

DE PIURA

FACULTAD:

Ingeniería Civil.

CURSO:

Análisis Estructural 1.

TRABAJO:

Ejercicios propuestos y resueltos del libro Análisis Estructural 2da Edición Kenneth M. - chia-Ming U.

TEMA:

Capítulo 10 y capitulo 11.

ALUMNO:

Guerrero Ramirez Luis Stefano.

DOCENTE:

ING. CARLOS SILVA CASTILLO.

Piura-Perú

2016

11.1 Calcular las reacciones, dibuje los diagramas cortantes y de momentos, localice el punto de deflexión máxima en la viga de la figura. EI es constante.

SOLUCION:

Primero aplicamos lo que es superposición y la separamos en dos partes. Para luego poder hallar la pendiente y desplazamiento en el empotramiento.

De esta viga hallamos las reacciones:

∑M c ´=0

RAy ´∗15=36∗6

RAy ´=14.4 klb↑

Por sumatoria de fuerzas:

∑ F y=0

RAy ´+RCy ´=36 klb

RCy ´=21.6 klb↑

A partir de ello pasamos a hallar la pendiente y la ecuación de la deformada con el método de doble integración y teorema de Macaulay:

M=14.4X-36 X-9˂ ˃Integrando tenemos la ecuación de la pendiente:

Θ=(7.2 X2−18˂ X−9¿2+C1)/EI

Integramos de nuevo y obtenemos la ecuación de la deformada:

Y = ( 7.23x3−6<x−9¿3+C1 x+C2)/EI

Condiciones de frontera en la ecuación de la deformada:

Para X=0 ; y=0 ; C2=0

Para X=15 ; y=0 ; 0=8100-1296+15C1

C1=-453.6

Calculamos la pendiente en “A”

θA=-453.6/EI

Ahora pasamos a hallar la segunda viga aplicando un momento unitario positivo en “A”:

Hallamos las reacciones:

∑M A ´´=1klb∗pie

RCy ´ ´∗15=1

RCy ´ ´=1/15 klb ↓

Por sumatoria de fuerzas en y:

∑ F y=0

RAy ´ ´+RCy ´ ´=0

RCy ´ ´=1/15klb ↑

Hallando la ecuación del momento flector:

M=(1/15)X-1

Integrando para la ecuación de la pendiente:

α = ((1/30) X2−X+C3)/EI

Integrando de nuevo para la ecuación de la deformada:

Δ= ((1/90)X3− X2

2+C3X+C4)/EI

Aplicando condiciones de frontera para hallar las constantes en la ecuación de la deformada:

Para X=0 ; y=0 ; C4=0

Para X=15 ; y=0 ; C3=5

Entonces la pendiente el punto “A” sería:

α A=5/EI

Entonces sumando ambas pendientes y a α A le multiplicamos por un M A nos tiene que dar el valor nulo ya que éste pertenecería a la viga real, osea:

θA+M A αA=0

-453.6/EI+M A*5/EI=0

Tenemos que: M A=90.72klb*pie↺Con este valor hallando las reacciones originales:

∑M A=90.72klb∗pie

−RCy∗15+36∗9=90.72

RCy=15.552klb ↑


RAy+RCy=36klb

RAy=20.448 klb↑

Con los valores reales entonces hacemos la ecuación de momento flector y fuerza cortante con su respectiva gráfica:

ECUACION DE MOMENTO FLECTOR:

M(X)=20.448X-90.72-36˂X-9˃GRAFICA:

ECUACION DE FUERZA CORTANTE:

V(X)=20.448-36˂X-9¿0

Ahora hallamos la ecuación de la deformada y hallamos el punto de máxima deflexión ; a cuanto se ubica y a que longitud con respecto al punto “A”.

Integrando la ecuación del momento flector obtenemos el giro:

Θ=(10.224 X2−90.72 X+18˂X−9¿2+C1)/EI

Condición de apoyo en X=0 , θ=0 entonces C1=0

Entonces la ecuación es igual:Θ=(10.224 X2−90.72 X+18˂X−9¿2)/EI

Para hallar a que distancia se encuentra la máxima deflexión hacemos “θ=0”

Para 0≤X≤90=10.224 X2−90.72 X

X=8.87324pies

Para 9≤X≤150=10.224 X2−90.72 X+18¿X=5.824pies (este valor no se encuentra dentro del rango establecido por lo tanto no es)Integrando la ecuación del giro, obtenemos la ecuación de la deformada:

Y = ( 3.408 x3−45.36 X 2−6<x−9¿3+C2)/EI

Condiciones de apoyo:

X=0 , Y=0 entonces C2=0

La ecuación queda asi:

Y = ( 3.408 x3−45.36 X 2−6<x−9¿3)/EI

Reemplazando X=8.87324pies

Y= -1190.463797/EI

Para comprobar con el programa:

X=9 entonces Y=-1189.728/EI

Haciendo valores a E=2000klb/pie2 y el valor de I=0.083333pies4

Y=-7.138396554

11.2. Calcule las reacciones y dibuje los diagramas de cortante y de momento para la figura. EI es constante.

SOLUCION

Separamos la viga en dos de manera que al sumarlas cumpla con la viga real.

Primero para esta viga calculamos las reacciones:

∑M A ´=0

RDy´∗15−20∗10−20∗5=0

RDy´=20KN ↑


∑ F y=0

RAy ´+RDy´=40KN

RAy ´=20KN ↑


M=20X-20 X-5 -20 X-10˂ ˃ ˂ ˃Integrando tenemos la ecuación de la pendiente:

Θ=(10 X2−10˂ X−5¿2−10˂ X−10¿2+C1)/EI


Y = ( 103x3−10

3<x−5¿3−10

3<x−10¿3+C1 x+C2)/EI


Para X=0 ; y=0 ; C2=0

Para X=15 ; y=0 ; 0=11250-10000/3-1250/3+15C1

C1=-500


θA=-500/EI

Ahora pasamos a hallar la segunda viga aplicando un momento unitario positivo en “A”:


∑M A ´´=0

RDy´ ´∗15=1

RDy´ ´=1/15KN↓


∑ F y=0

RAy ´ ´+RDy ´ ´=0

RAy ´ ´=1/15KN↑


M=(1/15)X-1


α = ((1/30) X2−X+C3)/EI


Δ= ((1/90)X3− X2

2+C3X+C4)/EI


Para X=0 ; y=0; C4=0

Para X=15 ; y=0 ; C3=5

Entonces la pendiente el punto “A” sería:

α A=5/EI

Entonces sumando ambas pendientes y a α A le multiplicamos por un M A nos tiene que dar el valor nulo ya que éste pertenecería a la viga real, ósea:

θA+M A αA=0

-500/EI+M A*5/EI=0

Tenemos que: M A=100kN*m↺Con este valor hallando las reacciones originales:

∑M A=100KN∗m

−RDy∗15+20∗10+20∗5=100

RDy=40 /3KN ↑


RAy+RDy=40KN

RAy=80/3KN↑



M(X)=(803

)X-100-20˂X-5 -˃ 20˂X-10˃

GRAFICA:


V(X)=20.448-36˂X-9¿0

11.3. Calcule las reacciones, dibuje los diagramas de cortantes y de momentos y localice el punto de máxima deflexión. Repita el cálculo si I es constante a lo largo de toda la longitud. E es constante. Exprese la respuesta en términos de E, I, y L.

Primero resolvemos cuando la Long AB tiene 2I y la Long. BC tiene I

Primero hallaremos el momento en el punto A y para ellos necesitamos la pendiente en ese punto, utilizando el método de trabajo virtual; y separando la viga en dos tramos utilizando superposición y asi hallar la ecuación del momento en cada una.

Entonces con la primera figura tenemos:

Hallando las reacciones del punto A aplicando sumatoria de momentos en el punto C:

∑M c=¿60 klb . pie ¿

RAy ´∗L−M A=60

RAy ´=(60+M A)/ L

Ahora hallando la ecuación del momento tenemos que:

M p=60+M A

L∗X−M A

Ahora procedemos a la segunda figura donde aplicamos un momento unitario en A al sentido contrario de las manecillas del reloj:

Aplicando sumatoria de momentos en el punto C:

∑M c=¿0¿

RAy ´ ´∗L−1=0

RAy ´ ´=1/L

Ahora hallando la ecuación del momento:

M q=XL

−1

Aplicando la ecuación de trabajo virtual:θ=∫ M q∗M pdxEI

Para la viga tenemos que:

θA=∫0

L/2 (60+M A

L∗X−M A)(

XL

−1)∗dx

2 EI+∫L/ 2

L (60+M A

L∗X−M A)(

XL

−1)∗dx

EI

θA=∫0

L/2 (60+M A

L2∗X2−

60+M A

L∗X−

M A∗XL

+M A)∗dx

2 EI+∫L/2

L (60+M A

L2∗X2−

60+M A

L∗X−

M A∗XL

+M A)dx

EI

θA=(60+M A

3 L2∗X3−

60+M A

2 L∗X 2−

M A∗X2

2 L+M A X )

2EI {L/20

+(60+M A

3L2∗X3−

60+M A

2 L∗X2−

M A∗X2

2L+MA X)

EI { LL/2

Pero bien sabemos que la pendiente aquí la podemos igualar a “0” ya que en el empotramiento la pendiente es recta, entonces θA=0, y reemplazando valores:

0=(60+M A

48∗L−

60+M A

16∗L−

M A∗L16

+M A L/ 4)

EI+(60+M A

3∗L−

60+M A

2∗L−

M A∗L2

+M A L)

EI−

(60+M A

24∗L−

60+M A

8∗L−

M A∗L8

+M A L/2)

EI

Reduciendo valores:

0=−60+M A

8∗L+

5M A

16∗L

M A=40klb . pie↺De una vez hallado el momento con esto hallamos las reacciones, haciendo sumatoria de momentos en “C”:


RAy∗L−M A=60

RAy=60+40L

Entonces tenemos que:

RAy=100L

↑

Y por sumatoria de fuerzas en “y”, tenemos que:

∑ F y=¿0¿

RAy+RCy=0

RCy=100L

↓



M(X)=(100/L) X-40

Hacemos L=4pies

GRAFICA:


V(X)=100/L

Hacemos L=4pies

Ahora hallamos lo mismo para cuando I es constante:

Aplicamos los mismos pasos hechos anteriormente, pero cambia por que I es constante en toda la barra, entonces con la primera figura tenemos:

Hallando las reacciones del punto A aplicando sumatoria de momentos en el punto C:


RAy ´∗L−M A=60

RAy ´=(60+M A)/ L

Ahora hallando la ecuación del momento tenemos que:

M p=60+M A

L∗X−M A

Ahora procedemos a la segunda figura donde aplicamos un momento unitario en A al sentido contrario de las manecillas del reloj:

Aplicando sumatoria de momentos en el punto C:

∑M c=¿0¿

RAy ´ ´∗L−1=0

RAy ´ ´=1/L

Ahora hallando la ecuación del momento:

M q=XL

−1

Aplicando la ecuación de trabajo virtual:θ=∫ M q∗M pdxEI

Para la viga tenemos que:

θA=∫0

L (60+M A

L∗X−M A)(

XL

−1)∗dx

EI

θA=∫0

L (60+M A

L2∗X2−

60+M A

L∗X−

M A∗XL

+M A)dx

EI

θA=(60+M A

3 L2∗X3−

60+M A

2 L∗X 2−

M A∗X2

2 L+M A X )

EI {L0Pero bien sabemos que la pendiente aquí la podemos igualar a “0” ya que en el empotramiento la pendiente es recta, entonces θA=0, y reemplazando valores:

0=(60+M A

3∗L−

60+M A

2∗L−

M A∗L2

+M A L)

EI

Reduciendo valores:

0=−60+M A

6∗L+

M A

2∗L

M A=30klb . pie↺De una vez hallado el momento con esto hallamos las reacciones, haciendo sumatoria de momentos en “C”:


RAy∗L−M A=60

RAy=60+30L

Entonces tenemos que:

RAy=90L↑

Y por sumatoria de fuerzas en “y”, tenemos que:

∑ F y=¿0¿

RAy+RCy=0

RCy=90L↓



M(X)=(90/L) X-30

Hacemos L=4pies

GRAFICA:


V(X)=-6+13.875 ˂X-3¿0-18˂X-9¿0

Hacemos L=4pies

11.4. Calcular las reacciones y dibuje los diagramas de cortante y de momento para la viga de la figura. EI es constante.

SOLUCION

Separamos la viga en dos de manera que al sumarlas cumpla con la viga real.

Primero para esta viga calculamos las reacciones:

∑M D´=0

RBy´∗12−6∗15−18∗6=0

RBy´=16.5KN ↑


∑ F y=0

RBy´+RDy´=24 KN

RDy´=7.5KN ↑


M=7.5X-18 X-6 +16.5 X-12˂ ˃ ˂ ˃Integrando tenemos la ecuación de la pendiente:

Θ=(7.52X2−9˂X−6¿2−16.5

2˂ X−12¿2+C1)/EI


Y = ( 7.56x3−3<x−6¿3−16.5

6<x−12¿3+C1 x+C2)/EI


Para X=0 ; y=0; C2=0

Para X=12 ; y=0; 0=2160-648+12C1

C1=-126


θD=-126/EI

Ahora pasamos a hallar la segunda viga aplicando un momento unitario positivo en “D”:


∑M D´ ´=0

RBy´ ´∗12=1

RBy´ ´=1/12KN ↑


∑ F y=0

RBy´ ´+RDy ´ ´=0

RDy´ ´=1/12KN↓


M=(-1/12)X+1+ (1/12)* X-12˂ ˃


α =( −124

X2+X+ 124

˂X−12¿2+C3)/EI


Δ= (( −172

X3+ X2

2+ 172˂ X−12¿3+C3 X+C4)/EI


Para X=0 ; y=0 ; C4=0

Para X=12 ; y=0 ; C3=-4

Entonces la pendiente el punto “A” sería :

αD=-4/EI

Entonces sumando ambas pendientes y a α A le multiplicamos por un M A nos tiene que dar el valor nulo ya que éste pertenecería a la viga real, osea:

θD+M DαD=0

-126/EI-MD*4/EI=0

Tenemos que: MD=-31.5kN*m

Con este valor hallando las reacciones originales:

∑M D=−31.5KN∗m

−RBy∗12+6∗15+18∗6=31.5

RBy=13.875KN ↑


RBy+RDy=24KN

RDy=10.125KN ↑



M(X)=-6X+13.875 X-3˂ ˃-18˂X-9˃GRAFICA:


V(X)=-6+13.875 ˂X-3¿0-18˂X-9¿0

10.41. Utilizando una suma finita, calcule la deflexión en C para la viga de peralte variable mostrada en la fig. E=3500klb/pulg2. Base su análisis en las propiedades de 0.5Ig.

Primero con la viga real hallamos las reacciones:

∑M A=0

RBy´∗7−180∗11=0

RBy´=1980 /7KN ↑


∑ F y=0

RBy´+RAy ´=180KN

RAy ´=720 /7KN ↓

A esta viga la separamos en partes de 1m para aplicar la suma finita y hallamos su momento desde el punto de referencia de C, llamando a este momento “Mp”

(Estos valores de representaran en el cuadro más adelante)

Ahora a la misma viga le aplicamos una fuerza unitaria de 1kN en el punto C y hallando sus reacciones:

∑M A=0

RBy´∗7−1∗11=0

RBy´=11 /7KN ↑


∑ F y=0

RBy´+RAy ´=1KN

RAy ´=4 /7KN ↓

Luego a ésta le hallamos su momento de la misma manera anterior, llamándola “Mq”

Luego hallamos su peralte del centroide de cada parte y de acuerdo a ello hallamos la inercia de cada parte, donde todos los valores hallados se muestra a continuación en el siguiente cuadro:

SEGMENTO PERALTE (m)

In (m4) Mq (KN*m) Mp (KN*m) MqMp/I (KN/m3)

1 0.35 1.1433*10−3 0.5 90 150/38112 0.45 2.43*10−3 1.5 270 500000/33 0.55 4.436667*10−3 2.5 450 253568.72634 0.6 5.76*10−3 3.5 630 382812.55 0.6 5.76*10−3 26/7 4680/7 431122.4496 0.575 5.0696*10−3 22/7 3960/7 350709.95427 0.525 3.85875*10−3 18/7 3240/7 308442.91078 0.475 2.858*10−3 2 360 251924.42279 0.425 2.0471*10−3 10/7 1800/7 179447.481210 0.375 1.40625*10−3 6/7 1080/7 94040.8163311 0.325 9.154167*10−4 2/7 51.42857143 16051.57253

∑M qM p/ I (KN/m3) 2434787.539Luego teniendo todos estos valores aplicamos la siguiente formula.

δ c=Δxn0.5E∑

n=1

11 M qM p

I

Donde:

Δx n=1.

∑ M qM p

I=2434787.539.

E=3500klb/pulg2 , tranformando a KN/m2 ; E=24659140.23KN/m2

Entonces reemplazando valores tenemos:

δ c=1

0.5∗24659140.23∗2434787.539

δ c=0.1975m

En pulgadas:

δ c=7.78 pulg

Trabajo encargado de analisis estructural

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