1. Para la fabricación de un gran lote de artículos similares se utilizaron tres máquinas M1, M2 y M3. Supóngase que el 20% de los artículos fueron fabricados por la máquina M1, el 30% por la máquina M2 y el 50% por la máquina M3. Supóngase además que el 1% de los artículos fabricados por la máquina M1 son defectuosos y el 2% de los artículos fabricados por la máquina M2 son defectuosos y que el 3% de los artículos fabricados por la máquina M3 son defectuosos. Por último, supóngase que se selecciona al azar uno de los artículos del lote y que resulta ser defectuoso. Calcular la probabilidad de que este artículo haya sido fabricado por la máquina M2.

0,01 D = Defectuoso

0,2 No = No Defectuoso

0,99

0,02

P (M 2D )=(0,3 ) (0,02 )

(0,2 ) (0,01 )+( 0,3 ) ( 0,02 )+ (0,5 ) (0,03 )

0,3

0,98 P (M 2D )=0,0060,023

0,03

0,5

0,97 ∴ El 0,2608 es la probabilidad de que el articulo escogido al azar sea defectuoso y de M2.

2. Una urna contiene dos bolas blancas y tres bolas rojas. Efectuadas dos extracciones sucesivas, calcular la probabilidad de extraer una bola blanca y, a continuación, una bola roja:

a) Cuando habiendo extraído la primera bola esta es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción. b) Cuando habiendo extraído la primera bola esta no es devuelta a la urna para realizar la segunda extracción.

a¿P (B luego R )=( 25 )( 3

5 )=0,24

b¿P (B luego R )=( 25 )( 3

4 )=0,3

M1

M2

M3

D

NO

D

NO

D

NO

3. El problema de Galileo. Un príncipe italiano preguntó en una ocasión al

famoso físico Galileo, porque cuando se lanzan tres dados, se obtiene

con más frecuencia la suma 10 que la suma 9, aunque se puedan

obtener de seis maneras distintas cada una?

Desarrollo:

La afirmación del príncipe de Toscana contiene un error.

El error radica en creer que la suma 9 (o la suma 10) se obtiene sólo de seis maneras, ya que eso supone asimilar este problema a la descomposición del número 9 (o 10) en tres sumandos. Desde ese punto de vista, nueve sólo se puede descomponer en tres sumandos de seis maneras.

1 + 2 + 6     1 + 3 + 5     1 + 4 + 42 + 2 + 5     2 + 3 + 4     3 + 3 + 3

Y lo mismo ocurre con la suma 10:

1 + 3 + 6      1 + 4 + 5      2 + 2 + 62 + 3 + 5      2 + 4 + 4      3 + 3 + 4

Pero, no se trata de descomponer en sumandos, sino de obtener mediante dados y, según eso, no es lo mismo la posibilidad 1 - 4 – 5 Que la posibilidad 1 - 5 - 4

Si queremos saber por qué sale más veces la suma "10", debemos hacer todos los casos posibles en los que se obtiene 9 y en los que se consigue 10.

Dado 1 Dado 2 Dado 3 + Dado 1 Dado 2 Dado 3 +

1 2 6 9 1 3 6 101 3 5 9 1 4 5 101 4 4 9 1 5 4 101 5 3 9 1 6 3 101 6 2 9 2 2 6 102 1 6 9 2 3 5 102 2 5 9 2 4 4 102 3 4 9 2 5 3 102 4 3 9 2 6 2 102 5 2 9 3 1 6 102 6 1 9 3 2 5 103 1 5 9 3 3 4 103 2 4 9 3 4 3 103 3 3 9 3 5 2 103 4 2 9 3 6 1 103 5 1 9 4 1 5 10

4 1 4 9 4 2 4 104 2 3 9 4 3 3 104 3 2 9 4 4 2 104 4 1 9 4 5 1 105 1 3 9 5 1 4 105 2 2 9 5 2 3 105 3 1 9 5 3 2 106 1 2 9 5 4 1 106 2 1 9 6 1 3 10

25 posibilidades6 2 2 10

6 3 1 10

   27 posibilidades

4. La probabilidad de que un hombre casado vea los Simpsons es 0.4 y la probabilidad de que una mujer casada vea los Simpsons es 0.5. La probabilidad de que un hombre vea los Simpsons, dado que su esposa lo hace, es 0.7. Calcular la probabilidad de que a) un matrimonio vea los Simpsons. b) una esposa vea los Simpsons dado que su esposo los ve. c) al menos una persona de un matrimonio vea los Simpsons.

HC = Hombre casado vea los simpsons

MC = Mujer casada vea los simpsons

P (HC )=0,4

P (MC )=0,5

P (HCMC )=P ¿¿

a) P (HC∩MC )=P(HC MC) ∙P (MC)

P (HC∩MC )=(0,7 ) (0,5 )

P (HC∩MC )=0,35

La probabilidad de que un matrimonio vea los simpsons es 0,35

b) P (MCHC )=P (MC∩HC )P (HC )

P (MCHC )=0,350,4

P (MCHC )=0,875

La probabilidad que una esposa vea los simpsons dado que su esposo lo

ve es 0,875.

c) P (HC )+P (MC )−P (HC∩MC )=0,4+0,5−0,35=0,55

La probabilidad de que al menos una persona vea los simpsons es 0,55.

5. La probabilidad de que un médico diagnostique de manera correcta una enfermedad particular es 0.7. Dado que el médico hace un diagnostico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es 0.9. Cuál es la probabilidad de que el medico haga un diagnostico incorrecto y el paciente lo demande?

DB = Diagnostico Bien

DM = Diagnostico Mal

D = Demande

P (D )=0,9

0,7

0,3

a) P (DM D )=P (DM ) ∙P (D ) Cuentos independientes.

∴ La probabilidad que el médico haga un diagnostico mal y demande es

0,27.

6. Dos profesores de la Universidad comparten una oficina con un solo teléfono. Han comprobado que el 45 % de las llamadas recibidas son para el profesor A y el resto para el profesor B. Dos de cada cinco llamadas que recibe el profesor A son externas y las otras tres son llamadas realizadas desde la misma Universidad. El profesor B recibe cuatro de cada seis llamadas desde la Universidad y el resto externas. a) Calcular la probabilidad de que se reciba en la oficina una llamada externa. b) Sabiendo que se ha recibido una llamada realizada desde la Universidad en la oficina, que probabilidad hay de que fuera dirigida al profesor A?

0,4 E = externo

0,45 I = interno

0,6 a) P (E )=P ( A ) P (E )+P (B )P (E )

DB

DM

A

Ext

e

r

Inte

r

0,33 P (E )= (0,45 ) ( 0,4 )+(0,55 ) ∙ (0,33 )

0,55 P (E )=0,18+0,1815

0,67 P (E )=0,3615

∴ La probabilidad que se reciba en la oficina una llamada externa es 0,3615.

b) P (A I )=P ( A∩ I )P (I )

Como son cuentos independientes

podemos escribir de la siguiente forma.

P (A I )=P ( A ) ∙P ( I )P ( I )

P (A I )= (O ,45 ) ∙ (0,6 )(0,45 ) (0,6 )+(0,55 ) ∙ (0,67 )

P (A I )= 0,270,6385

P (A I )=0,423 ∴ La probabilidad de que sea una llamada interna dirigida para A es 0,423.

7. En cierta región del país se sabe por experiencia del pasado que la probabilidad de seleccionar un adulto mayor de 40 años de edad con cáncer es 0.05. Si la probabilidad de que un médico diagnostique de forma correcta que una persona con cáncer tiene la enfermedad es 0.78 y la probabilidad de que diagnostique de forma incorrecta que una persona sin cáncer como si tuviera la enfermedad es 0.06. a) Cual es la probabilidad de que a una persona se le diagnostique cáncer? b) Cual es la probabilidad de que una persona a la que se le diagnostica cáncer realmente tenga la enfermedad?

0,78 C = Con cáncer

0,05 SC = Sin cáncer

0,22 DC = Diagnostico correcto

0,94 DI = Diagnostico incorrecto

0,95

0,06

B Ext

e

r

Inte

r

C

SC

DC

DI

DC

DI

a) P (C )=P (C ) ∙P (DC )+P (SC )P (DI )

P (C )=(0,05 ) (0,78 )+(0.95 ) (0,06 )

P (C )=0,039+0,057

P (C )=0,096

∴ La probabilidad que se diagnostique cáncer es 0,096.

b) P (DCC )= P (DC ) ∙ P (C )P (C )

P (DCC )= (0,05 ) ∙ (0.78 )(0,05 ) (0,78 )+ (0,95 ) (0,06 )

P (DCC )=0,0390,096

P (DCC )=0,406

∴ La probabilidad que una persona a la que se le diagnostique cáncer realmente tenga la enfermedad es 0,406.

8. Una entidad bancaria, partiendo de la información que posee sobre el comportamiento de sus cuentacorrentistas, referente a los errores cometidos en los cheques extendidos por ellos, ha llegado a los siguientes resultados: de 850 clientes con fondos, ha habido 25 que pusieron algún error. El 98 % de los clientes tienen fondos. De 50 cheques sin fondos, 45 tenían errores. Partiendo de esta información se desea hallar la probabilidad de que un cheque con errores resulte sin fondos.

Clientes con Fondos = A Cheques con error = B

Clientes sin Fondos = A’ Cheques sin error = B’

P (B A )=(25/850 )=0,0294

P (B ' A )=(825/850 )=0,97

P (A )=0,98

P (A ' )=0,02

P (B A ' )=(45 /50 )=0,9

P (B ' A ' )=(5/50 )=0,1

P (A ' B )= P (A ' )P (B A ' )P ( A ' )P (B A ' )+P ( A )P (B A )

P (A ' B )= (0,02 ) (0,9 )(0,02 ) (0,9 )+ (0,98 ) (0,0294 )

P (A ' B )=0,38

9. Los ciudadanos expresan sus intenciones de votos en encuestas electorales. Supongamos que en el pasado, 95 % de los candidatos con destacada actuación política recibieron buenas evaluaciones de parte del electorado; el 60 % de los candidatos con razonable actuación política recibieron buenas evaluaciones y el 10 % de los candidatos con mala actuación política recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40 % de los candidatos tuvieron destacada actuación política, el 35 % una actuación política razonable, y el 25 % una mala actuación política. a) Cual es la probabilidad de que un candidato tenga una buena evaluación? b) Si el candidato tiene una buena evaluación, >Cuál es la probabilidad de que tenga una destacada actuación política?

D = Destacable actuación P = Positivo

R = Regular actuación N = Negativo

M = Mala actuación

0,95 a)

P (P )=P (D )P (P )+P (R ) ∙P (P )+P (M )P (P )

0,4

P (P )=(0,4 ) ∙ (0.95 )+ (0,35 ) (0,6 )+(0,25 ) ∙ (0,1 )

0,05 P (P )=0,38+0,21+0,025

0,6 P (P )=0,615

0,35 b) P (DP )=P (D ) P (P )P (P )

0,4 P (DP )= (0,4 ) (0,95 )0,615

0,1 P (DP )= 0,380,615

D

R

M

P

N

P

N

P

0,25 P (DP )=0,618

0,9

10. Un determinado producto químico puede contener 3 elementos tóxicos, A, B y C, que son motivo de sanción por el Ministerio de Medio Ambiente. Por la experiencia, se sabe que de cada 1000 unidades producidas aproximadamente 15 tienen el elemento A, 17 el B, 21 el C, 10 el A y el B, 9 el B y el C, 7 el A y el C y 970 no contienen ninguno de los tres elementos. Un inspector selecciona una unidad al azar. Obtener:

a) La probabilidad de que la empresa sea sancionada.

b) La probabilidad de que solo se encuentre el elemento A.

c) La probabilidad de que se detecten los elementos A y B.

d) La probabilidad de que se detecte a lo más uno de los tres elementos.

e) La probabilidad de que se detecte más de un elemento.

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

S = sancionados x = 1 p = 6

Y = 7 z = 1

w = 4 q = 8

o = 3

a) P (S )= casos favorablescasos posibles

P (s )= 31000

N

A B

C

x y z

wo

p

q

x + y + w + o = 15

+ y + 0 + p + z = 17

+ w + o + p + q = 21

+ y + o = 10

+ o + p = 9

+ w + o = 7

x + y + w + o + p + z + q = 30

P (s )=0,003 ∴ La probabilidad que la empresa se sancionada es 0,003.

b) P (A )= casos favorablescasos posibles

P (A )= 11000

P (A )=0,001 ∴ La probabilidad de que se encuentra solo el elemento A es 0,001.

c) P (A ∩B )= casos favorablescasos posibles

P (A ∩B )= 71000

P (A ∩B )=0,007 ∴ La probabilidad de que se encuentre los elementos A

Y B es 0,007.

S = probabilidad a lo más uno de los tres elementos.

d) Probabilidad de O elementos + la probabilidad a lo más de un elemento.

P (s )= 9701000

+ 11000

+ 11000

+ 81000

= 9801000

=0,98

∴ La probabilidad de que se detecte a lo más uno de los tres elementos es 0,98.

e) K = más de un elemento.

P (k )=1−P (s )

P (k )=1−o ,98

P (k )=0,02

∴ La probabilidad que se detecte más de un elemento es 0,02.