Trabajo fin de master

PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA DE MATEMÁTICAS

TRABAJO FIN DE MASTER

Maria Teresa Prieto Hernández

Máster Universitario en Formación del Profesorado de Enseñanza Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formación Profesional y Enseñanzas de Idiomas

TFM: 2011-2012 ÍNDICE

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INDICE

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 4

1.2. Contextualización. .................................................................................... 6

1.1. Justificación de la programación. ............................................................. 5

2. OBJETIVOS

2.1. Objetivos generales de la etapa ............................................................... 9

2.2. Objetivos generales del área o matéria. ................................................... 9

3. COMPETENCIAS BÁSICAS. ...................................................................... 12

3.1. Relación entre las competencias básicas y los objetivos del área o

matéria. ...................................................................................................... 12

4. CONTENIDOS. ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN.

4.1 Contenidos Generales. ........................................................................... 14

4.2. Contenidos Transversales. .................................................................... 17

5. UNIDADES DIDÁCTICAS. ORGANICACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE LAS

UNIDADES ................................................................................................... 20

6. METODOLOGÍA. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

6.1. Metodología general del área o materia. ................................................ 36

6.2. Actividades y estrategias de enseñanza y aprendizaje. ......................... 37

7. EVALUACIÓN .............................................................................................. 39

7.1. Criterios de evaluación. .......................................................................... 39

7.2. Instrumentos de evaluación. .................................................................. 40

7.3. Tipos de evaluación. .............................................................................. 42

7.4. Cirterios de calificación. ......................................................................... 42

7.5. Actividades de refuerzo y ampliación. .................................................... 42

7.6. Evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje. .............................. 43

TFM: 2011-2012 ÍNDICE

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8. MEDIDAS DE ATENCIÓN AL ALUMNADO CON NECESIDADES

ESPECÍFICAS DE APOYO EDUCATIVO O CON NECESIDADES DE

COMPENSACIÓN EDUCATIVA. .................................................................. 44

9. FOMENTO DE LA LECTURA. ..................................................................... 47

10. UTILIZACIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA

COMUNICACIÓN. ........................................................................................ 48

11. RECURSOS DIDÁCTICOS Y ORGANIZATIVOS

11.1. Bibliografía. .......................................................................................... 49

11.2. Material específico en el aula, taller o laboratorio. ............................... 49

12. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES. .............. 50

TFM: 2011-2012 INTRODUCCIÓN

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1. INTRODUCCIÓN

Para realizar la siguiente programación debemos describir los aspectos

generales de nuestro centro de estudios. Esto es muy importante ya que

debemos tener presente el contexto en el cual se mueven nuestros

alumnos.

Esta programación está destinada a los alumnos del I.E.S. Carrús del cuarto

curso de la E.S.O. de la Opción B. El Centro está situado en Elche, dentro

de la zona urbana del municipio, concretamente en la Avenida de la

Libertad. A este instituto están adscritos tres centros de primaria.

Al tratarse de un centro urbano podemos decir que está bien comunicado,

junto a esto añadir que la variedad de familias que acceden al centro es

muy amplia ya que. En los últimos años el número de familias extranjeras

ha ido creciendo, debido a los fenómenos migratorios, por ello podemos

encontrar nacionalidades de todo tipo en cualquiera de las clases.

Hay que destacar que en nuestra clase los alumnos que antes formaban

clases de primaria ahora la forman en secundaria, es decir, las clases no

presentan a penas variaciones en cuanto al alumnado lo que facilita las

cosas como grupo y evita muchos problemas de convivencia, así durante

los primeros años de instituto los alumnos pueden acomodarse al centro sin

notar un cambio radical en sus vidas.

En cuanto a los equipamientos de los que dispone el centro debemos

destacar los siguientes:

• Aulas de clase con pizarras digitales y proyectores.

• Laboratorios de ciencias.

• Aula de dibujo.


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• Aulas de informática.

• PCPI

• Módulos de FP

• Gimnasio.

• Cantina

• Pistas de Futbol y Baloncesto en el patio.

1.1. Justificación de la programación.

La programación es un soporte de la acción docente que estructura el

desarrollo de un área, dándole base y siendo también flexible y

adaptable a los avatares no previstos que surjan a lo largo del curso. Si

algo de esto ocurriese se haría constar en la programación o en la

memoria de fin de curso.

Para desarrollar la programación debemos tener en cuenta la

autonomía de nuestro centro, la cual esta regulada en los artículos 121

a 125 de la LOE, para ello no perderemos de vista el Proyecto

Educativo de Centro (PEC) y la Programación General Anual (PGA).

En esta programación observaremos el conjunto de decisiones

adoptadas por el grupo de profesorado del departamento de

matemáticas para la asignatura de matemáticas de cuarto de la E.S.O.

En general decir que la intención educativa básica de esta

programación es la de desarrollar las capacidades necesarias para que

el alumnado pueda desenvolverse en el futuro como ciudadanos con

plenos derechos y deberes, con un juicio crítico que le permita adoptar

actitudes y comportamientos basados en valores racional y libremente


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asumidos. De esta manera se destaca la importancia de las

matemáticas en la vida cotidiana siendo nuestro deber formar

individuos totalmente capaces de enfrentarse a los problemas de la

sociedad.

1.2. Contextualización.

Para desarrollar esta programación debemos decir que nos encontramos

en un Instituto urbano. Como hemos comentado anteriormente la

variedad de las familias que acceden es bastante grande, por lo que

podemos encontrar una gran variedad de alumnos, ya que cada uno

proviene de ambientes familiares diferentes. Esto influye en el perfil del

alumnado, es decir, la variedad de alumnos es muy amplia por lo que

podemos encontrar alumnos desde los más aplicados que buscan

continuar sus estudios hasta los que están deseando acabar el

graduado para comenzar su labor profesional.

Centrándonos en el grupo para el cual esta destinada esta programación

debemos decir que se trata de un grupo bastante consolidado ya que

estan juntos desde la infancia. En él no observamos grandes problemas

de convivencia, por lo que no será necesario tomar ninguna medida

especial a este respecto.

En cuanto a los intereses y motivaciones de los alumnos decir que como

norma general todos quieren sacar buenas notas y pasar de curso. Al

encontrarnos a las puertas del graduado observamos una mayor

motivación por su parte incluso en alumnos que anteriormente no

mostraban interés. Esto quiere decir que las expectativas del grupo son


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buenas, ya sea para continuar con sus estudios como para comenzar a

formarse profesionalmente en los PCPI.

Para alcanzar el nivel educativo de cuarto curso de la E.S.O. y estar en

condiciones de obtener el graduado deben llegar a este curso con los

siguientes conocimientos base:

• Distinguir los diferentes tipos de números y saber operar

directamente con ellos.

• Saber operar con fluidez expresiones algebraicas sencillas.

• Resolver sistemas de ecuaciones por el método que consideren

más adecuado.

• Entender el concepto de función y la representación gráfica de

rectas.

• Conocer las distintas figuras planas, los cuerpos sencillos así

como las fórmulas de sus áreas y volúmenes.

TFM: 2011-2012 OBJETIVOS

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2. OBJETIVOS.

La educación secundaria obligatoria contribuirá a desarrollar en los alumnos

las capacidades que les permitan:

1. Conocer, asumir responsablemente sus deberes y ejercer sus

derechos.

2. Adquirir, desarrollar y consolidar hábitos de disciplina.

3. Fomentar actitudes que favorezcan la convivencia en los ámbitos

escolar, familiar y social.

4. Valorar y respetar, como un principio esencial de nuestra

Constitución, la igualdad de derechos y oportunidades.

5. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la

personalidad.

6. Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de

información para adquirir nuevos conocimientos.

7. Concebir los conocimientos científicos como un saber integrado que

se estructura en diferentes disciplinas.

8. Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo.

9. Comprender y expresar con corrección textos y mensajes complejos,

oralmente y escritos, en valenciano y castellano.

10. Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras.

11. Conocer los aspectos fundamentales de la cultura, la geografía y la

historia de la Comunidad Valenciana, de España y del Mundo.

12. Conocer y aceptar el funcionamiento del cuerpo humano y respetar

las diferencias.


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13. Analizar los mecanismos y valores que rigen el funcionamiento de

las sociedades.

14. Valorar críticamente los hábitos sociales relacionados con la salud,

el consumo responsable, el cuidado de los seres vivos y el medio

ambiente, contribuyendo a su conservación y mejora.

15. Analizar y valorar, de forma crítica, los medios de comunicación

estricta y audiovisual.

2.1. Objetivos generales de la etapa

En nuestro caso los objetivos de etapa que pretendemos motivar son

los siguientes:

1. Conocer, asumir responsablemente sus deberes y ejercer sus

derechos.

2. Adquirir, desarrollar y consolidar hábitos de disciplina.

3. Fomentar actitudes que favorezcan la convivencia en los ámbitos

escolar, familiar y social.

4. Valorar y respetar, como un principio esencial de nuestra

Constitución, la igualdad de derechos y oportunidades.

6. Fortalecer sus capacidades afectivas en todos los ámbitos de la

personalidad.

8. Concebir los conocimientos científicos como un saber integrado

que se estructura en diferentes disciplinas.

9. Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo.

11. Comprender y expresarse en una o más lenguas extranjeras.


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2.2. Objetivos generales del área o materia.

Las matemáticas tienen como objetivo principal el desarrollo de las

siguientes capacidades:

1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al

lenguaje y modos de argumentación las formas de expresión y

razonamiento matemático con el fin de comunicarse de manera

clara, concisa y precisa.

2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas

matemáticas.

3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas

en términos matemáticos.

4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificable y que

permitan interpretarla mejor según la situación planteada.

5. Identificar, analizar y valorar los elementos matemáticos

presentes en los medios de comunicación.

6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la

vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas

entre ellas, adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza

que generan.

7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos.

8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de

acuerdo con modos propios de la actividad matemática.

9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones

concretas y la identificación y resolución de problemas.


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10. Manifestar una actitud positiva ante la resolución de problemas y

mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos.

11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes

que se van adquiriendo desde las distintas materias de modo que

pueden emplearse de forma creativa, analítica y crítica.

12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura.

TFM: 2011-2012 COMPTENCIAS BÁSICAS

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3. COMPETENCIAS BÁSICAS.

3.1. Relación entre las competencias básicas y los objetivos del área o

materia.

Matemática: A través de todo el currículo, puesto que la capacidad para

utilizar distintas formas de pensamiento matemático, con objeto de

interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del

propio objeto de aprendizaje.

Conocimiento e interacción con el mundo físico: Mediante la

discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas,

especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad

para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio. La

modelización constituye otro referente en la misma dirección.

Tratamiento de la información y la competencia digital: Con la

incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico en

la automatización de algoritmos y en la resolución de problemas, así

como la utilización de los leguajes gráfico y estadístico ayuda a

interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación.

Comunicación lingüística: Al ser un área de expresión que utiliza

continuamente la expresión oral y escrita en la formulación y expresión

de las ideas.

Cultural y artística: Porque el conocimiento matemático es expresión

universal de la cultura, siendo, en particular, la geometría parte integral

de la expresión artística al ofrecer medios para escribir y comprender el

mundo y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado.

TFM: 2011-2012 COMPTENCIAS BÁSICAS

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Autonomía e iniciativa personal: Es fomentada mediante los procesos

de resolución de problemas porque se utilizan para planificar y

estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre

controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones.

Aprender a aprender: Con el uso de técnicas heurísticas que

constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de

razonamiento y consolidan la adquisición de destrezas como la

autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la

habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo.

Social y ciudadana: Parte de la consideración del uso de las

matemáticas para describir fenómenos sociales. A través del análisis

funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y

tomar decisiones.

TFM: 2011-2012 CONTENIDOS

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4. CONTENIDOS. ESTRUCTURA Y CLASIFICACIÓN

4.1. Contenidos Generales.

La siguiente tabla es una relación de los contenidos de cuatro de la E.S.O.

de la Opción B dividida en los 6 bloques que diferencia el Real Decreto de

Currículo. En la tabla podemos observar los contenidos que son de

profundización del curos anterior en verde y los que son nuevos en azul.

Todo está comparado con el curso anterior para poder observar mejor estas

relaciones.

BLOQUE 1: CONTENIDOS COMUNES 3º ESO 4º ESO

PROCEDIMENTALES

Estrategias en la resolución de problemas.

Expresión verbal de los procedimientos.

Utilización de herramientas tecnológicas.

ACTITUDINALES

Confianza en las propias capacidades

Perseverancia y flexibilidad para buscar soluciones

Interpretación de mensajes. BLOQUE 2: NÚMEROS

3º ESO 4º ESO

CONCEPTUALES

Jerarquía de operaciones. Números racionales. Números irracionales Iniciación al número real. Potencias de exponente fraccionario.

Cálculo de porcentajes. Interés compuesto.

BLOQUE 3: ÁLGEBRA 3º ESO 4º ESO

PROCEDIMENTALES Traducción de expresiones del leguaje cotidiano al algebraico y viceversa.


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PROCEDIMENTALES

Obtención de valores numéricos en fórmulas.

Utilización de las ecuaciones para la resolución de

problemas.

Resolución de ecuaciones de primer grado y sistemas.

Resolución de ecuaciones de segundo grado.

Resolución de otros tipos de ecuaciones.

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

CONCEPTUALES

Planteamiento y resolución de problemas en diferentes contextos.

Raíces de un polinomio. Factorización de polinomios.

Regla de Ruffini. Uso de la descomposición factorial.

BLOQUE 4: GEOMETRÍA 3º ESO 4º ESO

PROCEDIMENTALES

Resolución de problemas Uso de la calculadora para la obtención de ángulos y razones trigonométricas.

CONTEPTUALES

Teorema de Tales. Aplicación de los teoremas de Tales y Pitágoras.

Estudio de formas, configuraciones y relaciones geométricas,

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Relaciones métricas en los triángulos.

Iniciación a la geometría analítica plana.

BLOQUE 5: FUNCIONES Y GRÁFICAS 3º ESO 4º ESO

PROCEDIMENTALES Interpretación y lectura de gráficas relacionadas con el mundo físico.

CONCEPTUALES Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una


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situación. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.

CONCEPTUALES

Uso de las tics para el análisis y reconocimiento de propiedades de las funciones.

Estudio y representación gráfica de las funciones polinómicas de primer o segundo grado

Funciones definidas a trozos. La tasa de variación mediana. Análisis de resultados.

BLOQUE 6: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 3º ESO 4º ESO

CONTEPTUALES

Cálculo e interpretación de la media aritmética, la mediana, la moda,…

Estadística descriptiva unidimensional. Variables discretas y continuas.

Interpretación conjunta de la media y la desviación típica.

Experimentos aleatorios. Sucesos y espacio muestral.

Estadística descriptiva unidimensional.

Probabilidad condicionada. Técnicas de recuento. Introducción a la combinatoria.

Experiencias compuestas. Utilización de tablas de contingencia y diagramas de árbol.

PROCEDIMENTALES

Análisis crítico de tablas y gráficas estadísticas en los medios de comunicación.

Utilización del vocabulario adecuado para describir y cuantificar situaciones relacionadas con el azar.


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En la siguiente tabla observamos la relación de unidades didácticas que

impartiremos por evaluación, se ha decidido dividirlas en bloques de cinco

unidades, siendo esto variable en función el transcurso del curso.

Evaluación Unidades didácticas

1ª Evaluación

1. Números reales. 2. Logaritmos. 3. Ecuaciones exponenciales. 4. Inecuaciones. 5. Triángulos en el plano.

2ª Evaluación

6. Relaciones Trigonométricas. (8/12 al 7. Vectores en el plano. 8. Ecuaciones de la recta y la circunferencia. 9. Sucesiones. Límites de sucesiones. 10. Funciones

3ª Evaluación

11. Iniciación a la derivada. 12. Combinatoria. 13. Cálculo de probabilidades. 14. Estadística unidimensional. 15. Estadística bidimensional.

La temporalidad de las sesiones esta especificada en cada una de las

unidades didácticas que se especifican en el punto siguiente.

4.2. Contenidos Transversales.

Las Matemáticas, además de su carácter instrumental, tienen sobre

todo un carácter formativo. Pueden y deben entenderse como auxiliares

de otras disciplinas para facilitar su comprensión y comunicación; sin

embargo, el currículo de Secundaria señala que deben contribuir a la

formación de los alumnos y alumnas como ciudadanos consumidores,

sensible al medio ambiente, preocupados por mantener buena salud

física y mental, educados para la paz, la igualdad de oportunidades

entre los dos sexos, etc. Como es bien sabido, se trata de temas que no

constituyen por sí solos materias específicas ni deben ser tratados


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como algo “aparte” del programa de cada materia, sino que deben

abordarse desde cada una de las disciplinas del currículo ordinario,

según posibilidades.

Sin ánimo de ser exhaustivos, se pueden señalar algunas ideas sobre

cómo pueden tratarse los temas transversales desde las Matemáticas

de este curso, insistiendo una vez más en que no se trata de dar algo

más, sino de que siendo sensibles a los mencionados temas, se aborde

la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas teniéndolos muy

presentes.

Educación moral y cívica: Actuar en situaciones cotidianas de acuerdo

con modos propios de la actividad matemática, como la exploración

sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad

para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de

soluciones. Reconocer y valorar el trabajo en equipo como la manera

más eficaz para realizar determinadas actividades (toma de datos,

estudios estadísticos,…)

Educación para la paz: Reconocer la realidad como diversa y

susceptible de ser interpretada desde puntos de vista contrapuestos y

complementarios. Identificar los elementos matemáticos presentes en

argumentaciones sociales, políticas y económicas, analizando

críticamente las funciones que desempeñan.

Educación del consumidor y usuario: Utilizar las formas del

pensamiento lógico para organizar informaciones diversas relativas a la

vida cotidiana. Interpretar y analizar críticamente los elementos

matemáticos presentes en las noticias y la vida cotidiana.


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La coeducación: Fomentar el reconocimiento de la capacidad de cada

uno de los compañeros para desempeñar tareas comunes en

actividades matemáticas, así como el respeto y la valoración de las

soluciones ajenas. Propiciar el trabajo colaborativo en la resolución de

actividades matemáticas.

Educación para la salud y educación sexual: consolidar actitudes de

naturalidad en el tratamiento y resolución de problemas que traten

temas relacionados con la sexualidad. Desarrollo de hábitos de higiene,

limpieza y orden en el aula.

Educación vial: Interpretar representaciones planas de espacios y

obtener información sobre posiciones y orientaciones. Utilizar con

soltura las escalas numéricas.

Educación ambiental: Desarrollo de habilidades matemáticas que

permitan relacionarse con el medio sin contribuir a su deterioro, así

como hábitos individuales de protección del medio.

Uso de las tecnologías de la información y de la comunicación: Sentir

interés y curiosidad por la ciencia y los avances tecnológicos que

contribuyen a facilitar el trabajo matemático. Familiarizarse con el

ordenador, la calculadora y las tecnologías de la información y la

comunicación como medios de relación con el entorno. Valorar los

avances de la técnica como bien para la sociedad.

Uso del tiempo de ocio: Desarrollo de estadísticas relativas al tiempo

dedicado a cada actividad: deporte, estudio,… que permitan desarrollar

un sentido crítico en el empleo de su tiempo.

TFM: 2011-2012 UNIDADES DIDÁCTICAS

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5. UNIDADES DIDÁCTICAS. ORGANICACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE LAS

UNIDADES

AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 1 NÚMEROS REALES

Temporalización: Nº de sesiones previstas: 4

1.- INTRODUCCION Estudio de los números reales bajo dos aspectos; los radicales y los logaritmos.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Entender los conceptos de potencias de exponente fraccionario y entero; conocer sus propiedades y operar con ellos, tanto de manera exacta como utilizando aproximaciones con números decimales.

Saber expresar números en notación científica.

Saber pasar un radical a potencia de exponente fraccionario.

Realizar operaciones básicas (producto y cociente con igualdad de índices, potencias de una raíz y raíz de una raíz.)

Hallar la expresión decimal de los números racionales. Utilizar y representar los números reales. Interpretar y operar con potencias de exponente entero. Interpretar y operar con potencias de exponente fraccionario. Pasar los números de notación ordinal a científica y viceversa. Pasar un radical a potencia de exponente fraccionario y viceversa.

4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES APTITUDINALES

Potencias de exponente racional. Los números reales. Notificación científica. Radicales.

Expresión decimal de los números racionales Operar con radicales.

Curiosidad por la necesidad de utilizar otros números. Interés por el manejo de la calculadora.

5.- ACTIVIDADES Y TAREAS PROPUESTAS

Competencias Básicas trabajadas C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8

Resolver de manera precisa y exacta, utilizando radicales, problemas cercanos a nosotros.

X X

Utilizar calculadora para operar y obtener expresiones decimales cuando queramos trabajar con números decimales y una gran precisión.

X X


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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 2 LOGARITMOS


1.- INTRODUCCION En este tema vamos a estudiar los números reales bajo el concepto de logaritmo. Nuestro interés se centrará en el correcto manejo de los logaritmos y sus operaciones. También nos extenderemos a conocer las distintas variantes de operaciones con logaritmos, como son las ecuaciones logarítmicas y la resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Definición de logaritmo.

Propiedades

Cambio de base.

Expresiones algebraicas y logarítmicas.

Ecuaciones logarítmicas.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas.

Saber desarrollar correctamente la definición de logaritmo a partir de su definición. Conocimiento y uso de las propiedades (9). Aplicar el cambio de base en aquellos casos de logaritmos que así lo precisen, cumpliéndose una determinada característica. Resolver ecuaciones logarítmicas, de menor a mayor dificultad. Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas aplicando correctamente las propiedades de los logaritmos para llegar a la expresión LgA= LgB A=B.


Definición de Logaritmo. Propiedades de los logaritmos.

Aplicar el cambio de base. Pasar de algebraica a logarítmica y viceversa. Resolver ecuaciones logarítmicas. Resolver sistemas de ecuaciones

Interés por la búsqueda de estrategias para resolver problemas. Interés por el uso de la calculadora.



Seleccionar la información relevante de un problema, así como la técnica más apropiada para su resolución.

X X X

Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con los logaritmos, sus ecuaciones y sus sistemas.

X X


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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO

MATEMÁTICAS 3 ECUACIONES EXPONENCIALES


1.- INTRODUCCION En este tema los alumnos deberán madurar y consolidar las técnicas de resolución de ecuaciones de primer y segundo grado, para una correcta resolución de las ecuaciones y sistemas exponenciales vistas en este tema.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Definición de Ecuación Exponencial.

Tipos de ecuación exponencial.

Sistema de ecuaciones exponenciales.

Saber plantear una ecuación exponencial a partir de la definición. Saber poner dichas exponenciales en la base de la potencia necesaria. Saber realizar el cambio de variable en aquellas exponenciales que lo necesiten. Realizar el sistema de exponenciales realizando el cambio de variable, resolviendo la ecuación resultante ya sea de primer o segundo grado.


Definición de ecuación exponencial. Cambio de variable. Saber aplicar esta variante cuando sea preciso. Sistemas de ecuaciones

Resolver ecuaciones exponenciales de los tres tipos. Resolución algebraica y gráfica de un sistema de ecuaciones.

Valoración positiva de la precisión, simplicidad y utilidad de las ecuaciones y sistemas para resolver situaciones de la vida cotidiana.



Seleccionar la información relevante de un problema, así como la técnica más apropiada para su resolución

X X

Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con las ecuaciones y sistemas

X X X

Reconocer , con espíritu constructivo, los errores cometidos al plantear o resolver problemas de ecuaciones o sistemas

X X


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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 4 INECUACIONES


1.- INTRODUCCION Todos los conceptos son nuevos para ellos; sin embargo, las técnicas utilizadas son prácticamente conocidas. El concepto de desigualdad, así como el de intervalo, se amplía al principio de la unidad para refrescar términos. Los procedimientos para resolver inecuaciones son muy similares a los estudiados para resolver ecuaciones. Hay que aprovechar estos conocimientos, como son eliminar denominadores, paréntesis, el método de factorización y la resolución gráfica de sistemas, para explicar la resolución de las inecuaciones y de los sistemas de inecuaciones. Sin embargo, también se debe insistir en la diferencia existente entre ambos métodos, como puede ser a la hora de multiplicar o dividir por un número negativo.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Resolver las inecuaciones, los conceptos relacionados (primer miembro, segundo miembro, conjunto de soluciones, ecuaciones equivalentes…) y resolver sistemas de inecuaciones.

Traducir enunciados de situaciones cotidianas que puedan resolverse con inecuaciones o sistemas de inecuaciones, y buscar su solución.

Reconocer y resolver inecuaciones y sistemas con una incógnita. Aplicar el método de factorización de polinomios para resolver inecuaciones de grado superior a dos y racionales. Importancia del cuadro de signos. Plantear y resolver problemas mediante el planteamiento y la resolución de inecuaciones y de sistemas de inecuaciones.

4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PRODECIMENTALES APTITUDINALES

Desigualdades. Cuestiones de orden. Definición de Inecuación. Inecuaciones de Primer y Segundo Grado. Inecuaciones de grado “n” Sistemas.

Identificar las desigualdades numéricas. Calcular inecuaciones equivalentes. Resolver inecuaciones. Resolver gráficamente sistemas.

Utilización adecuada del vocabulario y del lenguaje. Interés y cuidado por resolver inecuaciones. Hábito por comprobar las soluciones de un problema.



Analizar contextos de la vida cotidiana que puedan ser expresados mediante inecuaciones o sistemas de inecuaciones.

X X X

Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y problemas relacionados con las ecuaciones y sistemas

X X X


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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 5 TRIANGULOS EN EL PLANO


1.- INTRODUCCION La semejanza entre triángulos rectángulos y la proporcionalidad entre sus lados será la chispa que encienda la mecha de las razones trigonométricas que se verán en la unidad siguiente.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Entender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo; catetos e hipotenusa.

Representar gráficamente de manera clara y precisa las situaciones que surgen en los problemas de geometría.

Conocer y aplicar convenientemente el teorema de Pitágoras, y su aplicación en problemas de la vida cotidiana. Aplicar correctamente los teoremas del Cateto y de la Altura, en la resolución de triángulos. Combinar los tres teoremas para resolver incógnitas que se presentan en los ejercicios de triángulos rectángulos.

4.- CONTENIDOS CONCEPTUALES PRODECIMENTALES APTITUDINALES

Teorema de Pitágoras Teorema de la Altura Teorema del Cateto

Generalización del teorema de Pitágoras(Ampliación)

Apreciación de la importancia de la semejanza. Interés por la búsqueda de estrategias para la aplicación de la semejanza para la resolución de problemas.



Expresar e interpretar gráficamente figuras de nuestro entorno y expresar la relación trigonométrica que existe entre ellos.

X X X

Analizar mediante una relación matemática una situación para poder determinar magnitudes desconocidas.

X X X


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MATEMÁTICAS 6 RELACIONES TRIGONOMETRICAS


1.- INTRODUCCION El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Está compuesta por las palabras trigonon (triángulo) y metron (medida); trigonometría: medida de ángulos. Se comienza la trigonometría estudiando la resolución numérica de los triángulos rectángulos.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Entender las distintas formas de medir ángulos y cómo se transforman de unos sistemas a otros utilizando, cuando sea precisa, la calculadora científica.

Comprender las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos, expresar estas relaciones mediante las razones trigonométricas de un ángulo y hacer uso de ellas para resolver problemas de geometría.

Hallar los lados de un triángulo rectángulo. Conocer los sistemas de medida de ángulos. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras. Conocer y utilizar adecuadamente las relaciones trigonométricas. Generalizar la definición de las razones trigonométricas.


Medida de ángulos: el grado sexagesimal y el radián. Razones trigonométricas. Relación entre las razones trigonométricas de un ángulo. Ecuación fundamental. Ángulos opuestos Ecuaciones trigonométricas

Transformar la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal a radianes y viceversa. Establecer las razones trigonométricas. Relacionar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera con las del un ángulo del primer cuadrante.

Reconocimiento de la utilidad de los distintos sistemas de medida de ángulos. Valoración positiva de la gran utilidad que tiene el conocimiento de las razones trigonométricas. Interés por utilizar la calculadora adecuadamente.



Expresar la medida de los ángulos y efectuar operaciones con ellos, con o sin calculadora.

X X X X

Analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos y expresarlas mediante razones trigonométricas.

X X X X


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AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 7 VECTORES EN EL PLANO


1.- INTRODUCCION Para completar el bloque de Geometría es preciso introducir el concepto de vector. Podemos calcular ángulos haciendo uso del producto escalar y de la trigonometría, ya vista en unidades anteriores. El conocimiento y manejo de las ecuaciones de la recta, que ha han utilizado en cursos anteriores, nos permitirá resolver problemas.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Introducir el concepto de vector, en primer lugar, de una forma concreta y tangible (vectores fijos), y posteriormente, de una forma más abstracta (vectores libres). Manejar adecuadamente las operaciones con vectores para, posteriormente, a través de las operaciones, y sus propiedades, expresar vectores como combinación lineal de otros y determinar ángulos.

Distinguir y saber relacionar los vectores fijos con los vectores libres, así como operar con vectores libres. Comprender y utilizar los conceptos de dependencia lineal y combinación lineal de vectores. Efectuar el producto escalar de dos vectores y conocer sus aplicaciones.


Vector fijo. Vector libre. Operaciones con vectores libres. Combinación lineal de vectores. Módulo de un vector. Ángulo que forman dos vectores.

Representar puntos y vectores fijos. Hallar las coordenadas de un vector fijo. Determinar vectores equipolentes. Expresar un vector como combinación de dos vectores.

Gusto por la representación ordenada y clara de vectores fijos y puntos. Reconocimiento de la utilidad de los vectores. Valoración positiva de la geometría analítica.



Utilizar los vectores para expresar cantidades de magnitudes físicas vectoriales del mundo que nos rodea, como las fuerzas, velocidades,…

X X X

Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de nuestra vida cotidiana

X X X X X


27


MATEMÁTICAS 8 ECUACIONES DE LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA


1.- INTRODUCCION Las ecuaciones de las rectas nos van a permitir resolver problemas de posición y medida.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Aprender a expresar de distintas formas la relación que existe entre las coordenadas de los puntos de una recta, parar que podamos después determinar ecuaciones de lugares geométricos.

Saber interpretar los coeficientes en las ecuaciones de la recta y relacionarlos con su posición relativa a los ejes de coordenadas.

Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos, el vector director y la pendiente. Utilizar las ecuaciones de las rectas de manera conveniente para resolver con ellas distintos tipos de problemas de paralelismo, perpendicularidad…


Ecuación vectorial de la recta. Ecuación paramétrica de la recta. Ecuación continúa de la recta. Ecuación general de la recta. Ecuación explícita de la recta. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Ecuaciones de la recta en forma punto-pendiente. Ecuación de la circunferencia.

Determinar las ecuaciones de la recta y transformar unas en otras. Determinar la pendiente, ordenada en el origen, vector director y puntos de una recta cuando se conoce una cualquiera de sus ecuaciones. Discutir la posición relativa de dos rectas.

Curiosidad por las múltiples formas de expresar la ecuación de una recta. Valoración positiva de la geometría analítica como herramienta eficaz en la resolución de problemas de tipo geométrico y, en particular, de lugares geométricos.



Analizar y expresar mediante una relación matemática la condición que cumplen los puntos de una recta y solamente ellos.

X X X

Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de las rectas y apreciar sus posiciones relativas

X X X


28


MATEMÁTICAS 9 SUCESIONES.LÍMITES DE SUCESIONES.


1.- INTRODUCCION Ya en el curso pasado los alumnos estudiaron las sucesiones. A diferencia del curso anterior, en el que nos centrábamos en el manejo de las sucesiones, en esta unidad nos centraremos en la idea de límite de una sucesión.

Las sucesiones sirven para estudiar, representar y predecir fenómenos. Debe tener claro el concepto de límite, para más tarde calcular el límite de distintas sucesiones, incluso cuando se presente alguna indeterminación. Trabajaremos con sucesiones concretas como la que tiende al número e.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Comprender el concepto de límite de una sucesión y averiguar su valor.

Reconocer la importancia de la

sucesión n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11

Caracterizar una sucesión mediante su término general. Calcular el límite de una sucesión. Identificar límites indeterminados y resolverlos.

Utilizar la sucesión n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11 para

resolver la indeterminación 1∞. Resolver problemas de la vida cotidiana.


Sucesión de números naturales. Término general. Limite de una sucesión. Límites en el infinito. Más infinito y menos infinito. Operaciones con sucesiones. Relaciones entre sus límites. Límites indeterminados.

La sucesión n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11

Construcción de una sucesión a partir de su término general. Cálculo de límites. Reconocimiento de límites indeterminados. Estudio de la sucesión

n

n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

11como aquella

que su límites es el nº e.

Reconocimiento de la utilidad de las sucesiones para el estudio de la vida real. Comprensión del término infinito como un concepto matemático. Valoración del número e.



Saber construir una sucesión de naturales a partir de su término general.

X X

Distinguir si una función tiene por límite un número natural o, en cambio, su límite es infinito.

X


29

AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 10 FUNCIONES


1.- INTRODUCCION El concepto de función es el mejor instrumento que los matemáticos han inventado para expresar el cambio que se produce en la variable dependiente cuando la dependiente varía.

Trataremos de estudiar aspectos fundamentales de las funciones: cómo se traduce en términos matemáticos lo deprisa o despacio que crece o decrece, dónde alcanza sus máximos y sus mínimos

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Interpretar y realizar gráficas de funciones que aparezcan situaciones sociales, económicas, etc., y obtener informaciones prácticas.

Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica. Dadas dos funciones, ser capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen. Estudiar y representar funciones definidas en varios trozos.


Concepto de función. Dominio de una función. Restricciones del dominio. Discontinuidad y continuidad de una función. Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos. Funciones definidas a trozos. Función inversa.

Visualización del grafo de una función. Relación entre la expresión analítica de una función y su gráfica. Representación de funciones. Reconocimiento de discontinuidades, de máximos y mínimos, de intervalos de crecimiento y de periodicidades.

Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica para un estudio de rápido de una función. Apreciar ventajas e inconvenientes que tiene la representación gráfica.Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías a la hora de estudiar funciones.



Interpretar una función a través de su gráfica. X X

Reconocer cual es la gráfica de una función a partir de su expresión analítica.

X


30


MATEMÁTICAS 11 INICIACIÓN A LA DERIVADA


1.- INTRODUCCION En este tema se va a presentar a los alumnos un de los conceptos más importantes de la matemática aplicada, la derivada, que nos sirve para explicar, por ejemplo, cual es la velocidad con que varía una función a lo largo de su dominio. Dicho concepto, alrededor del cual gira una parte tan importante de las matemáticas como es el cálculo diferencial, se estudiará en profundidad en Bachillerato. La idea de límite vista en el tema anterior es clave en la definición de derivada, por lo que no les costará mucho calcular derivadas a partir de la definición.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Comprender el concepto de derivada.

Manejar con soltura las reglas de derivación y calcular con ellas la derivada de suma, diferencia, cociente o producto de funciones.

Análisis de la variación de una función. Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.


Derivada de un punto. Derivadas de funciones fundamentales.

Cálculo de la derivada de una función en un punto mediante la definición. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

Interés por la relación entre los conceptos de límite en un punto, continuidad y derivabilidad. Diferenciación entre derivada en un punto y función derivada. Gusto por el trabajo ordenado a la hora de derivar. Reconocimiento de la utilidad del cálculo diferencial a la hora de resolver problemas.



Cuantificar la variabilidad de una situación y relacionarla con la derivada de su función asociada.

X X


31

AREA O MATERIA UNIDAD DIDACTICA TITULO MATEMÁTICAS 12 12 COMBINATORIA


1.- INTRODUCCION En esta unidad se introducen las técnicas de recuento (permutaciones, variaciones y combinaciones) y los conceptos relacionados con ellas (diagrama de árbol, principio general de recuento y números combinatorios). Todos estos conceptos les resultarán nuevos a los alumnos, y probablemente difíciles. Por este motivo, el desarrollo de la unidad debe tener un carácter eminentemente práctico.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Reconocer el principio general de recuento y el diagrama de árbol como técnicas de recuento.

Diferenciar entre permutaciones , variaciones con y sin repetición y combinaciones

Utilizar el principio general de recuento y el diagrama de árbol como métodos de conteo. Distinguir entre variaciones con y sin repetición, permutaciones y variaciones.


Factorial de un número. Permutaciones de n elementos. Variaciones con y sin repetición de m elementos tomados de n en n (n≤m). Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n (n≤m)

Representación con un diagrama en árbol los posibles resultados de una situación de recuento y utilizar el principio general de recuento. Identificar la técnica de recuento a utilizar. Resolver ecuaciones algebraicas en las que aparezcan números combinatorios.

Valoración positiva de los métodos de recuento para resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana. Tenacidad y perseverancia en la búsqueda de soluciones a los problemas de conteo. Curiosidad e interés por aprender nuevos conocimientos.



Conocer y manejar correctamente el lenguaje de la combinatoria, distinguiendo entre variaciones, combinaciones y permutaciones.

X X

Adquirir un método autónomo de análisis ordenado y sistemático para resolver problemas de contar.

X X X


32


MATEMÁTICAS 13 CÁLCULO DE PROBABILIDADES


1.- INTRODUCCION La idea sobre el azar y la probabilidad se ha ido introduciendo paulatinamente desde el primer curso de la ESO. Todos los alumnos tienen ideas previas sobre el azar y la probabilidad.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Distinguir los experimentos aleatorios de los que no lo son.

Asignar probabilidades a sucesos utilizando la regla de Laplace y las tablas de contingencia.

Resolver problemas de probabilidad condicionada.

Obtener la probabilidad de un suceso mediante la probabilidad total y la regla del producto.

Diferenciar entre experimentos aleatorios y deterministas, deducir el espacio muestral y los distintos tipos de sucesos vinculados a un experimento al azar. Calcular la probabilidad de un suceso. Realizar operaciones con sucesos y calcular sus probabilidades. Identificar sucesos dependientes e independientes, y aplicar el concepto de probabilidad condicionada. Utilizar la regla de producto y la probabilidad total para calcular probabilidades en experimentos compuestos.


Experimentos aleatorios. Sucesos de un experimento. Operaciones con sucesos. Sucesos compatibles e incompatibles. Probabilidad de la unión de dos sucesos Tablas de contingencia.

Analizar la aleatoriedad de un experimento. Obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio. Diferenciar sucesos.

Disposición favorable para el uso de la probabilidad. Sentido crítico ante los resultados obtenidos.



Utilizar el vocabulario adecuado para describir situaciones y experiencias de azar.

X X

Reconocer situaciones y fenómenos aleatorios en la vida cotidiana y en el conocimiento científico

X X X

Calcular el resultado de las probabilidades, aplicando la técnica más adecuada, y decir si es necesaria una respuesta exacta o

X X X


33


MATEMÁTICAS 14 ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL


1.- INTRODUCCION La estadística es una de las ramas de las matemáticas que más aparecen en la vida cotidiana. Por ejemplo, en la prensa, en internet o en otros medio de comunicación es frecuente su utilización.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Representar gráficamente los datos de una variable aleatoria mediante los diversos gráficos

Calcular los parámetros estadísticos de centralización y de dispersión.

Saber comparar la dispersión existente entre distintas distribuciones mediante el coeficiente de variación.

Interpretar en un estudio estadístico la diferente terminología. Calcular e interpretar los distintos parámetros estadísticos. Representar los datos de un estudio estadístico mediante un gráfico y extraer información de este. Comparar la dispersión de distintas distribuciones.


Población y muestra. Caracteres estadísticos cualitativos y cuantitativos. Variable discreta y variable continúa. Diagramas de sectores y de barras, historiogramas. Rango, varianza y desviación típica. Coeficiente de variación.

Reconocimiento del tipo de caracteres de una población. Representación gráfica de un estudio estadístico. Obtención de los parámetros de centralización y de dispersión de una variable.

Valoración del uso de la estadística como instrumento para el estudio de diferentes aspectos de la realidad. Actitud crítica ante la interpretación de los datos presentados mediante métodos estadísticos.



Representación gráfica de un estudio estadístico X X X

Calcular los parámetros estadísticos. X X


34


MATEMÁTICAS 15 ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL


1.- INTRODUCCION El presente tema, igual que el anterior, es quizá la parte de las matemáticas que tiene una relación más evidente con la sociedad de la información. No es difícil encontrar estudios estadísticos en prensa, en internet o en otros medios de comunicación. Utilizaremos esto para intentar fomentar entre los alumnos el interés por el teme y el gusto por encontrar matemáticas fuera de sus lugares tradicionales; el aula o los libros.

2.- OBJETIVOS DIDACTICOS 3.- CRITERIOS EVALUACION Comprender la necesidad de las variables bidimensionales y representarlas mediante la nube de puntos.

Calcular el centro de gravedad, la covarianza, el coeficiente de correlación y la recta de regresión.

Utilizar y representar las variables aleatorias bidimensionales. Calcular parámetros estadísticos de las variables aleatorias bidimensionales. Comprender el concepto de recta de regresión y conocer su cálculo. Resolver problemas utilizando las propiedades de las variables bidimensionales.


Variable estadística bidimensional. Distribución marginal. Diagrama de dispersión (nube de puntos) Dependencia aleatoria o funcional. Correlación lineal. Recta de regresión.

Cálculo de las distribuciones marginales a partir de una distribución bidimensional. Representaciones gráficas de una variable bidimensional mediante el diagrama de dispersión.

Comprensión de la necesidad de las variables bidimensionales Interés por el significado de los parámetros estadísticos. Gusto por el trabajo limpio y ordenado.



Conocer las variables aleatorias bidimensionales que aparecen en los distintos medios y reconocer su utilidad para modelizar problemas de la vida real.

X X

Desarrollar estrategias mediante las que interpretar gráficos correspondientes a variables bidimensionales y saber deducir la información que los datos nos aportan.

X X

TFM: 2011-2012 METODOLOGÍA

35

6. METODOLOGÍA. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

La metodología deberá adaptarse a cada grupo de alumno y situación,

rentabilizando al máximo los recursos disponibles. Por ello, al comienzo de

cada unidad el profesor hará alguna actividad para saber los conocimientos

que los alumnos tienen sobre los contenidos a explicar. En base a lo

percibido, la unidad se irá adaptando, dando siempre los contenidos

mínimos que marca la Ley e intentando profundizar y ampliar lo máximo

posible. Todos estos principios metodológicos giran en torno a una regla

básica: la necesidad de que los alumnos realicen aprendizajes significativos

y funcionales.

Las dos primeras unidades servirán, junto con el control o controles

correspondientes, de evaluación inicial, pues en estas dos unidades se tiene

todos los contenidos básicos que servirán como herramientas de trabajo

para las sucesivas unidades.

6.1. Metodología general del área o materia.

Los principios metodológicos en los cuales se fundamenta el área son:

• Se potenciará el aprendizaje inductivo y se fomentará la

adquisición de hábitos de trabajo propios de las matemáticas,

• La introducción de los conceptos se debe hacer de forma intuitiva

y buscar poco a poco el rigor matemático.

• Se debe procurar la adquisición de destrezas matemáticas

básicas.

• Se debe motivar el esfuerzo y superación personal, premiando la

actitud positiva.


36

• Partir de las ideas previas que siempre hay en la mente de quien

aprende.

• Favorecer el ambiente de aprendizaje en clase para la

construcción del conocimiento.

• Emplear también el error como motor de aprendizaje.

• Para el tratamiento de la diversidad hacer las adaptaciones

correspondientes.

• Hacer uso de la calculadora cuando el tema y la situación lo

requiera.

6.2. Actividades y estrategias de enseñanza y aprendizaje.

Las estrategias de actuación son las siguientes:

• Al comienzo de cada unidad el profesor hará una presentación

de la misma, evaluará los conocimientos previos de los alumnos

y dictará el índice.

• El profesor tomará nota diaria del trabajo de cada alumno,

deberes de casa, atención, participación en clase,…

• Es necesario relacionar los contenidos matemáticos con la

experiencia de los alumnos, así como potenciar su aplicación en

otras áreas y fuera del ámbito escolar.

• Realización de ejercicios que repasen lo visto en clase.

• Análisis, valoración y corrección del trabajo práctico.

• Consolidación y puesta en común de las destrezas básicas

desarrolladas en el tema.

• Utilización, siempre que sea posible, de las NNTT como método

innovador y motivador.


37

• Se debe crear un ambiente que favorezca la interacción profesor-

alumno en el aula, tanto una relación informativa-formal como

socio-afectiva. El diálogo, el debate y la confrontación de ideas

es uno de los ejes de este planteamiento metodológico.

Estrategias de agrupación en el aula:

Dentro del aula, según el tipo de agrupamiento con el que estemos

trabajando se reorganizarán los alumnos de la forma más conveniente

en cada caso. Los distintos tipos de agrupamientos que haremos

dependerán del tipo de actividades que estemos trabajando y lo que

pretendamos con ellas:

• Se trabajará individualmente cuando queramos favorecer la

reflexión y la práctica sobre los diversos contenidos de

aprendizaje de manera personalizada.

• En pequeños grupos de 3 a 6 miembros, cuando queramos

favorecer la cooperación y confrontación de ideas.

• En grupo medio o grupo de clase para la exposición de

contenidos, debates,…

TFM: 2011-2012 EVALUACIÓN

38

7. EVALUACIÓN

7.1. Criterios de evaluación.

1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de

resolución de problemas tales como emisión y justificación de

hipótesis o la generalización.

2. Expresar verbalmente con precisión y rigor, razonamientos,

relaciones cuantitativas e informaciones que incorporen elementos

matemáticos.

3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones para resolver

problemas de la vida cotidiana.

4. Calcular el valor de expresiones numéricas irracionales sencillas,

aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer un uso

adecuado de signos y paréntesis.

5. Simplificar expresiones numéricas sencillas y utilizar

convenientemente la calculadora científica.

6. Dividir polinomios y utilizar la regla de Ruffini.

7. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado

con una incógnita e interpretar gráficamente los resultados.

8. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el

planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado

o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

9. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener

medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales.


39

10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las

relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver

problemas reales.

11. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la

geometría analítica plana.

12. Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo

de función que puede representarlas y aproximar e interpretar la tasa

de variación a partir de una gráfica.

13. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes,

lineales, afines o cuadráticas por medio de sus elementos

característicos.

14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos.

15. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados

a un experimento aleatorio. Utilizar la Lay de Laplace, los diagrama

de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias

para calcular probabilidades simples o compuestas.

16. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para

resolver diferentes situaciones y problemas de la vida cotidiana.

7.2. Instrumentos de evaluación.

Los instrumentos de evaluación son los siguientes:

• El número de evaluaciones será de tres realizándose una prueba

inicial para conocer la situación del alumno. Cada 2 ó 3 unidades

habrá una prueba individual. Estas pruebas supondrán el 40% de

la nota de la evaluación. Para poder aprobar la evaluación es


40

imprescindible obtener al menos un 4 de media en esas pruebas

individuales.

• Cumplido ese requisito, la nota de los controles podrá aumentar

hasta un punto por la resolución de ejercicios de los propuestos

en el libro y resueltos en casa. Las actividades complementarias

como uso de programas informáticos, resolución de problemas,

relatos matemáticos, etc. contarán para este punto adicional.

Para el redondeo de la calificación se valorará el

comportamiento, trabajo en clase, asistencia y la participación en

olimpíadas matemáticas.

• El examen final de evaluación contará un 60% de la nota total de

la evaluación.

• La calificación de la evaluación será la media de las notas

obtenidas y el aprobado será a partir de 5.

• La 1ª y 2ª evaluación se podrán recuperar mediante un examen a

realizar unos días después de la evaluación. Se recuperará sólo

si la nota de la prueba es al menos un 5. La calificación podrá

aumentar al valorar los resultados obtenidos en las actividades

de la evaluación. Las recuperaciones son obligatorias y la nota

obtenida anula la anterior.

• Para aprobar la asignatura se deberá alcanzar un 5 como media

de las 3 evaluaciones, pudiéndose no superar una de ellas y

siempre que su calificación sea superior a 4. El examen final

servirá para que cada alumno recupere las evaluaciones

suspendidas.


41

• El 20% de faltas no justificadas, sobre el total de clases

correspondientes a un período de evaluación, es motivo de

pérdida de la evaluación positiva en la asignatura.

7.3. Tipos de evaluación.

Evaluación inicial: Para conocer la situación del alumnado y detectar las

posibles actuaciones que fueran necesarias.

Evaluación formativa: Controles individuales por escrito

correspondientes a unidades didácticas completas, procurando hacer

un control cada 2 ó 3 temas.

Evaluación sumativa: Se harán tres evaluaciones que incluyan los

temas dados en ese período siendo la nota final la media de estas tres

pruebas.

7.4. Criterios de calificación.

Los criterios de calificación son los siguientes:

• Los controles de 2 ó 3 temas contarán un 40%

• El examen final de cada evaluación contará un 60%

o La recuperación del examen final de evaluación se realizará

en las dos primeras evaluaciones a través de un examen de

recuperación y en la tercera evaluación mediante un trabajo

final. Estos exámenes y trabajos harán media a partir de 4,5.

7.5. Actividades de refuerzo y ampliación.

Siempre que el profesor lo estime oportuno tendrá a su disposición una

página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido, junto

con otra con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada

unidad del libro.


42

7.6. Evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje.

Llevaremos a cabo una evaluación continua y formativa que nos permita

conocer en todo momento el grado de evolución de nuestros alumnos y

aplicar las modificaciones necesarias en cada caso.

Junto a esto el profesor podrá realizar durante el tercer trimestre, con

carácter opcional, una encuesta de satisfacción a los alumnos, en la

que, de manera anonimia, puedan expresar su opinión.

TFM: 2011-2012 MEDIDAS DE ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD

43

8. MEDIDAS DE ATENCIÓN AL ALUMNADO CON NECESIDADES

ESPECÍFICAS DE APOYO EDUCATIVO O CON NECESIDADES DE

COMPENSACIÓN EDUCATIVA.

Se aplicarán los ACI ó ACIS correspondientes. Para ello existen unos

documentos individualizados donde se recogen las deficiencias y los

progresos para tres niveles diferentes, son las llamadas plantillas de

adaptaciones curriculares.

En el caso de alumnado con deficiencias auditivas, se les dará la hora de

refuerzo pertinente y se seguirá el protocolo de actuación ante alumnos de

estas características.

Como medidas de atención a la diversidad llegaremos en todas las

unidades a un mínimo exigible, a continuación observamos para cada

unidad cual es su mínimo.

UNIDAD MÍNIMO EXIGIBLE

1. Números naturales Operar con fracciones de exponente fraccionario y entero. Saber escribir un número ordinal en notación científica.

2. Logaritmos

Saber aplicar la definición de logaritmo. Conocer y desarrollar sus propiedades. Resolver ecuaciones logarítmicas que den como resultado la resolución de una ecuación de primer grado.

3. Ecuaciones Exponenciales

Saber plantear una ecuación exponencial a partir de la definición. Saber poner dichas exponenciales en la base de la potencia necesaria. Saber realizar el cambio de variable en aquellas exponenciales que lo necesiten. Realizar ecuaciones exponenciales que den como resultado una de primer grado

4. Inecuaciones

Reconocer y resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita. Aplicar el método de factorización de polinomios para resolver inecuaciones de grado superior a dos y racionales. Importancia del cuadro de signos.


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5. Triángulos en el plano

Conocer el teorema de Pitágoras y reconocer en un triángulo rectángulo catetos e hipotenusa.

6. Relaciones Trigonométricas

Hallar los lados de un triángulo rectángulo aplicando los teoremas o mediante la utilización de las razones trigonométricas Conocer los sistemas de medida de ángulos y el manejo de la calculadora científica para operar con ellos. Relacionar los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos mediante las razones trigonométricas y el Teorema de Pitágoras.

7. Vectores en el plano

Realizar operaciones con vectores. Calcular el producto escalar de vectores. Calcular el producto escalar de vectores.

8. Ecuaciones de la recta y la circunferencia.

Conocer y saber hallar las distintas ecuaciones de una recta, pasar de unas a otras y determinar con ellas puntos, el vector director y la pendiente

9. Sucesiones. Límites de sucesiones

Caracterizar una sucesión mediante su término general. Calcular el límite de una sucesión.

10. Funciones Estudiar las características principales de una función a través de su expresión algebraica o su representación gráfica

11. Iniciación a la derivada

Calcular la derivada de una función utilizando las reglas de derivación.

12. Combinatoria Distinguir entre variaciones con y sin repetición, permutaciones y variaciones.

13. Cálculo de Probabilidades

Distinguir los experimentos aleatorios de los que no lo son.

14. Estadística Unidimensional

Interpretar un estudio estadístico. Representar los datos de un estudio estadístico.

15. Estadística Bidimensional

Comprender la necesidad de las variables bidimensionales. Comprender el concepto de recta de regresión.

Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de

textos están clasificados por un código de colores según su dificultad: verde

(nivel básico), naranja (nivel medio) y rojo (alguna dificultad)


45

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a

las características particulares de la clase, bien a las específicas de cada

grupo de alumnos dentro de la misma.

Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que

complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo: Una página fotocopiable con ejercicios para

consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación: Una página fotocopiable con ejercicios

para completar y ampliar lo tratado en cada unida del libro.

• Propuesta de evaluación: Una prueba que cubre los contenidos de la

unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión

de los conceptos y procedimientos tratados

• Cuadernos de evaluación de competencias: en él se propone una

prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la

adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los

contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales,

en conjunción con el resto de competencias básicas.

TFM: 2011-2012 FOMENTO DE LA LECTURA

46

9. FOMENTO DE LA LECTURA.

Para favorecer la comprensión lectora y la mejora de la expresión oral y

escrita, realizaremos las siguientes acciones en clase:

• Lectura periódica de relatos matemáticos con un cuestionario referido

al mismo que deberán contestar.

• Lectura opcional de algún libro o artículo relacionado con la materia

de estudio que se especificará durante el curso.

• Exposición oral y escrita de la resolución de algún problema

matemático.

• En los exámenes, valorar las “explicaciones” sobre los

procedimientos empleados.

• En ortografía, aplicar la normativa sobre faltas cometidas en los

exámenes.

Además de todo lo anterior en su cuaderno de trabajo utilizará un léxico

oportuno para la materia que se está impartiendo, haciendo especial

hincapié en la correcta construcción de frases, la utilización de las normas

gramaticales y la omisión de coloquialismos, del lenguaje telegráfico y

abreviado.

Junto a ello se fomentará una buena presentación del cuaderno, utilizando

márgenes, títulos e índices adecuados.

Los siguientes criterios de corrección ortográfica son de obligado

cumplimiento:

• Sanción a partir de la tercera falta de -0’5 puntos por falta.

• Cuatro tildes cuentan como una falta.

• Se podrá restar hasta un máximo de 2 puntos.

TFM: 2011-2012 USO DE LAS TIC´S

47

10. UTILIZACIÓN DE LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LA

COMUNICACIÓN.

El uso de las TIC´s en el aula nos ayuda a crear un entorno más cercano,

tanto entre alumnos como entre el profesor y los alumnos. Para favorecer

esta comunicación con los alumnos se ha creado un grupo en gmail, donde

cada alumno tendrá su espacio individualizado en que podrá contractar con

todos los miembros de la clase y el profesor, pudiendo realizar trabajos

colaborativos en red.

Para favorecer el uso de las TIC´s en el centro se han planificado las

siguientes actividades a lo largo del curso:

• Crear un blog: como se deduce del título el objetivo es crear una

bitácora, donde se lleve un diario de clase y los alumnos puedan

compartir problemas, soluciones o artículos que ellos crean de

interés sobre las matemáticas.

• Crear un Flickr: esta aplicación sirve para subir fotos, la actividad

propuesta se basa en la elaboración de un trabajo de campo, es

decir, se les pide a los alumnos que cámara en manos recorran la

ciudad y busquen los edificios históricos donde encuentren algo

relacionado con las matemáticas, una vez encontrado lo retraten y

los suban a esta plataforma.

• Utilizar google maps para crear mapas de google públicos que

podrás compartir, con itinerarios calculados matemáticamente por los

alumnos siguiendo las pautas establecidas en el ejercicio.

• Utilizar programas como Geogebra para la explicación de contenidos

del aula.

TFM: 2011-2012 USO DE LAS TIC´S

48

• Elaboración de Hojas de cálculo con problemas de probabilidad

donde puedan cambiar la variable y observar como varían los

resultados.

TFM: 2011-2012 RECURSOS DIDÁCTICOS

49

11. RECURSOS DIDÁCTICOS Y ORGANIZATIVOS.

11.1. Bibliografía.

Bibliografía del profesor: Libro Esfera 4º de E.S.O. (Opción B) e la

editorial SM en la versión castellana. Materiales de apoyo y refuerzo del

libro correspondiente.

Bibliografía del alumno: Esfera 4º de E.S.O. (Opción B) de la editorial

SM en la versión castellana.

Otros materiales escritos: Hojas de ejercicios escritos o insertados en la

plataforma de gmail creada para el grupo. Cuaderno del alumno.

Otros materiales no escritos: Visionado de algún video relacionado con

las matemáticas. Periódicos y revistas. Mapas y planos.

Materiales del aula: pizarra, pizarra digital, calculadora.

Materiales de dibujo: escuadra, cartabón, compas, etc.

Recursos disponibles en red: La web de la editorial ( www.e-sm.net ), la

web de matemáticas ( www.ematematicas.net ).

Materiales informáticos: Procesador de textos, hojas de cálculos,

geogebra,…

11.2. Material específico en el aula, taller o laboratorio.

En el aula contaremos con una pizarra normal y otra digital para realizar

nuestras explicaciones. Junto a esto contaremos también con un

proyector para el visionado de los videos programados para clase.

TFM: 2011-2012 RECURSOS DIDÁCTICOS

50

Finalmente añadir la presencia en clase de un armario en el cual

disponemos de juegos de lógica y estrategia para la clase.

Además de estos recursos cuando sea necesario nos trasladáramos a

la biblioteca para la realizar las actividades de lectura y al aula TIC

cuando sea necesario apoyar el tema en programas informáticos.

En casi la totalidad del tiempo utilizaremos el aula habitual y en

determinadas ocasiones el aula TIC. También haremos uso de la

biblioteca del centro cuando realicemos algunas de las actividades de

lectura.

TFM: 2011-2012 ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS

51

12. ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Y EXTRAESCOLARES.

Actividades complementarias a desarrollar durante el curso:

• Concurso de fotografía matemática para alumnos y profesorado del

centro.

• Visitas culturales relacionadas con las matemáticas, así como un

taller de matemágia.

• Elaboración de carteles de hombre y mujeres matemáticos

importantes en la historia durante la semana de la ciencia.

• Realización del Puzle de la Paz en colaboración con el Departamento

de Plástica para el día de la Paz.

• Elaboración de carteles de contenido matemático sobre un país

francófono elegido para la semana de la Francofonía en colaboración

con los departamentos de la Sección Bilingüe del Instituto.

Actividades extraescolares:

• Celebración de la Liga Matemática: concurso de resolución de

problemas matemáticos para la ESO, habrán dos categorías primer

ciclo y segundo ciclo.

• El instituto participará en la Olimpiada Matemática desarrollada por la

universidad.

TFM: 2011-2012 ANEXOS

52

13. ANEXOS.

13.1. Anexo1: Ejemplo examen Unidad Sucesiones.

TEMA 9: SUCESIONES. LÍMITE DE SUCESIONES.

1. Sucesión. Hacia la idea de límite.

2. Definición de límite.

3. Sucesiones que tienden a infinito.

4. Operar con los símbolos +∞ y -∞.

5. Límites de operaciones con sucesiones.

6. Límites indeterminados.

1. SUCESIÓN. HACIA LA IDEA DE LÍMITE.

Una sucesión es cualquier relación entre los números naturales y

un conjunto de números reales tal que a cada número natural “n”,

llamado índice, le coresponde un número real , llamado término.

Las cadenas ilimitadas de número reales se llaman sucesiones. Se

representan por: , , , , …

Ejemplo: 2 5. Calcula los 5 primeros términos.

2 1 5 7

2 2 5 9

2 3 5 11

2 4 5 13

2 5 5 15


53

El término general de una sucesión, si existe, es la expresión

algebraica que permite calcular cualquier término en funcion del

índice.

Una sucesión tiene por límite el número real L cuando, a medida

que “n” toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión

se aproximan cada vez más al número L.

lim∞

Ejemplos: Investiga que valor podría tener el límite de la siguiente

sucesión.

1

0,5

0,1 Luego ∞ ∞0

1100 0,01

11000 0,001

En el infinito esta función tiende a 0, aunque nunca llegue a alcanzar

ese valor.

Si una sucesión tiene por límite un número real se llama Convergente.

2. DEFINICIÓN DE LÍMITE.

Matemáticamente se define límite como:

“Se dice que un número L es límite de una sucesión, de término

general , si la diferencia en valor absoluto entre y L es menor

que un número cualquiera, , previamente elegido”


54

Expresado matemáticamente (definición de Cauchy):

| |

Ejemplo: Calcula a partir de qué término la sucesión y su

límite, se diferencian en menos de una centésima.

1. Investigo si tiene límite.

2 1 31 1 2,5

2 2 32 1 2,09

2,09 ∞ 2

2 100 3100 1 2,009

2 1000 31000 1 2,0009

2. Aplico la definición de Cauchy para calcular “n” | | .

2 31 2 0,01

2 3 2 21 0,01

11 0,01

11 0,01

1 0,01 1


55

0,990,01

99

A partir de se cumple la definición de Cauchy.

Ejercicio para casa: Dada la sucesión , calcula a partir de

qué término su diferencia con el límite es de una milésima.

3. SUCESIONES QUE TIENDEN A INFINITO.

Consideramos la siguiente sucesión 2 1. Calculamos sus

términos.

3, 5, 7, 9, … 21, … 201

Sus términos se hacen cada vez mayores, de manera que por más

alto que pongamos el listón, más grande es dicho valor. Diremos por

tanto que la sucesión tiende a +∞.

lim∞

∞

Supongamos ahora la sucesión de término general ,

Calculamos algunos términos:

1, 8, 27, … 1000, … 10000

Sus términos se van haciendo cada vez menores, de modo que por

bajo que pongamos el listón, existen términos menores que él.

Diremos por tanto que la sucesión tiende a -∞.

lim∞

∞

Las sucesiones que tienen por límite +∞ ó -∞ se llaman Divergentes.


56

4. OPERAR CON LOS SÍMBOLOS +∞ Y -∞

Veamos un cuadro resumen para realizar operaciones aritméticas

entre ∞ y un número real cualquiera “a”.

SUMAS Y RESTASº PRODUCTOS ∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

0 ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

COCIENTES POTENCIAS

0∞

∞

0∞

∞

0 ∞

∞0

1 ∞ ∞, ∞ 0 0 1 ∞ 0,

∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ 0

5. LÍMITES DE OPERACIONES CON SUCESIONES.

• El límite de una suma es igual a la suma de sus límites.

lim∞

lim∞

lim∞

• El límite de un producto es igual al producto de sus límites.

lim∞

lim∞

lim∞

• El límite de un cociente es igual al cociente de sus límites.

lim∞

lim∞

lim∞

• El límite del producto de un número por una sucesión es igual al

número por el límite de la sucesión.

lim∞

lim∞

• El límite de una sucesión elevada a otra es igual al límite de dicha

sucesión elevada al límite de la otra sucesión.


57

lim∞

lim∞

∞

Ejercicio: Dadas las sucesiones y . Calcula:

a) ∞ y ∞

∞2

∞

15

b) ∞ 5 y ∞ 7

∞5 5 2 10

∞7 7

15

75

c) ∞ y ∞

∞2

15

25

∞2 √2

6. LÍMITES INDETERMINADOS.

Hemos visto que existen sucesiones convergentes (que tienden a un

número real), sucesiones divergentes (que tienden a infinito) y

también hay otras sucesiones en las que el límite es indeterminado.

Un límite es indeterminado cuando no se puede calcular directamente

su valor. Estos límites surgen siempre que aparece alguna de las

siguientes expresiones:

∞∞

; ∞ ∞ ; ∞ 0 ; 00 ; 1∞; ∞ ; 0

Racionales Exponenciales


58

Límite de un cociente de Polinomios ∞∞

Para resolver una indeterminación del tipo ∞∞

, se dividen el

numerador y el denominador por la máxima potencia de “n” de entre

los que aparecen en la división.

Ejemplo: Calcula el límite de la sucesión:

∞

2 5 7 21

∞∞ ∞

2 5 7 2

1

∞

0 0 0 01 0

01 0

Ejercicios: Calcula los límites propuestos en la página de recursos.

Límite de la indeterminación (∞-∞)

Para solucionar una indeterminación del tipo (∞-∞) se multiplica y

divide por el conjugado.

Ejemplo:

∞1 2 ∞ ∞

∞

√ 1 √ 2 √ 1 √ 2√ 1 √ 2

∞

1 2√ 1 √ 2

∞

1 2√ 1 √ 2

∞∞

Ahora hay que resolverlo como la primera indeterminación.


59

∞

1 2

1 2 ∞

0 21 1 1

Ejercicios: Calcula los límites propuestos en la página de recursos.

Límites con Indeterminación ∞

Tenemos la sucesión de término general 1 . Vamos a estudiar

como se comporta dicha sucesión

111 2

112 2,25

113 2,3703

11

10 2,59

11

100 2,704

11

1000 2,7169

Vemos que cada término es mayor que el anterior, por eso se dice

que es una sucesión Creciente.

Si calculamos el término de un “n” muy grande;

. . =2,718281…


60

Podemos notar que esta sucesión va a estar acotada, es decir, no va

a tender a infinito. Por tanto decimos que:

lim∞

11

Toda sucesión que cumpla las dos condiciones anteriores, ser

creciente y estar acotada superiormente, tiene límite.

Los límites de las sucesiones que tienden a 1∞están asociadas al

número e.

• El número e es irracional, e i, tiene infinitas cifras decimales.

• Además es trascendente, e i, no es solución de ninguna

ecuación algebraica, es la base de los logaritmos naturales o

neperianos.

Por lo tanto, para resolver las indeterminaciones de este tipo

procederemos partiendo de:

lim∞

11

Tomaremos como:

• 1

• " "

Entonces tendremos la siguiente resolución:

∞

Ejemplo: Calcula


61

lim∞

11

lim∞

11

lim∞

14

3∞ ∞

Junto a este método podemos incluir otro procedimiento para realizar

estos límites. Por ejemplo utilicemos la sucesión:

2 32 2

1. Arreglamos el cociente para lograr tener la fórmula del número e.

lim∞

2 2 52 2 lim

∞1

52 2

2. Para conseguir el uno en el numerador de la fracción pasamos el 5

dividiendo el denominador:

lim∞

11

2 25

3. Para conseguir que el exponente sea el mismo que el denominador

de la fracción debemos multiplicar el exponente existente por el

denominador de esta manera:

lim∞

11

2 25

lim∞

11

2 25

4. Resolver el límite como un fracción


62

lim∞

2 32 2

13.2. Anexo 2: Ejemplo Problemas de Repaso.

EJERCICIOS REPASO TEMA 9: SUCESIONES

1º.Halla términos de la siguiente sucesión y estudia si tiende a algún

valor.(2ptos)

2º. La sucesión de término general tiene por límite

L=1/2. Calcula a partir de qué término la diferencia entre la sucesión y

su límite es menor que una milésima. (2ptos)

3º.Dadas las sucesiones y realiza

las siguientes operaciones.(2ptos)

a) Calcula hallando términos lim ∞ y lim ∞

b) lim ∞

c) lim ∞

d) lim ∞

4º. Calcula los siguientes límites.(4ptos)

a) lim ∞ ,

b) lim ∞

c) lim ∞ 1 √ 1


63

13.3. Anexo 3: Ejemplo Examen.

EXAMEN TEMA 9: SUCESIONES

1º.Halla términos de la siguiente sucesión y estudia si tiende a algún

valor.(2ptos)

63 1

2º. La sucesión de término general tiene por límite L=3.

Calcula a partir de qué término la diferencia entre la sucesión y su

límite es menor que una centésima. (2ptos)

3º.Dadas las sucesiones y realiza

las siguientes operaciones.(2ptos)

a) Calcula hallando términos lim ∞ y lim ∞

b) lim ∞

c) lim ∞

d) lim ∞

4º. Calcula los siguientes límites.(4ptos)

a) lim ∞ 1

b) lim ∞

c) lim ∞ 2 √ 3

d) lim ∞


64

13.4. Anexo 4: Fomento de la lectura.

LA PIRÁMIDE DE KEOPS

La pirámide de mayor dimensión de todo el mundo, Keops – o la gran

pirámide – es la primera y la mayor de las tres grandes pirámides de la

Necrópolis de Giza, en las afueras de El Cairo, en Egipto. Fue el edificio

más alto (tiene una altura de 145 metros) hasta el siglo XIX, cuando se

construyó el primer rascacielos moderno. Lo que la convirtió en una de las

Siete Maravillas del Mundo Antiguo fue su constitución: cada una de las

piedras usadas para construirla pesa más de dos toneladas. Más de dos

millones de esas piedras fueron necesarias para conformar la pirámide.

El Faraón Keops perteneció a la Cuarta Dinastía, alrededor del año 2560

a.C., lo que da como resultado que la pirámide data de hace 4500 años

aproximadamente. Se cree que fue construida, según las costumbres

egipcias, para albergar los restos del faraón una vez que éste iniciara su

viaje a la nueva vida.

Ejercicios:

1. Teniendo en cuenta el monumento que te planteamos como cuerpo

geométrico. Contesta a las siguientes preguntas:

¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene la pirámide?

La pirámide de Keops es de base cuadrangular. Completa la tabla con

el número de caras, vértices y aristas de las diferentes pirámides, según

sea el polígono de su base:


65

Nº de lados de la base Caras Vértices Aristas

3 (Triángulo)

4 (Cuadrado)

5 (Pentágono)

6 (Hexágono)

7 (Heptágono)

8 (Octógono)

¿ Cuál sería el número de caras, vértices y aristas de una pirámide cuyo

polígono de la base tiene 100 lados?

2. Generaliza el resultado para cualquier tipo de pirámide (cuya base es

un polígono de n lados). Asocia mediante flechas algunas de las

siguientes frases con caras, vértices y aristas:

El número de lados del polígono de la base más uno (n+1).

El número de lados del polígono de la base (n). Número de caras.

El doble del número de lados de la base (2n). Número de vértices.

El triple del número de lados de la base (3n). Número de aristas.

El número de lados de la base más dos (n+2).

Utiliza lo descubierto para comprobar que en cualquier pirámide se

cumple la ley de Eules para los poliedros:

nº de caras + nº de vértices = nº de aristas +2

La gran pirámide es la mayor de las tres que se extienden en la llanura de

Giza, cerca del actual El Cairo. Tuvo una altura de 280 codos en su origen.


66

El lado del cuadrado de la base mide 440 codos, eso es casi un cuarto de

kilómetro.

En su construcción, se calcula que se emplearon entre 2,3 y 2,5 millones

de bloques de piedra, los cuales están tallados con precisión óptica, y

oscilan de media entre las 2 y 2,5 toneladas de peso, lo que no quita que

también los haya de 60 toneladas. Las juntas entre los bloques son tan

exactas que no es posible introducir una hoja de cuchillo entre dos de ellos.

En su mayoría se empleó la piedra caliza, pero también el duro granito.

Toda esta mole se asienta sobre una plataforma nivelada artificialmente,

con errores mínimos, lo que no deja de constituir un auténtico logro incluso

para nuestra época.

3. Completa la siente tabla rellenado los huecos. Expresa los resultados

redondeando a número enteros:

Unidades Egipcias Longitudes (codos)

Lados Arista Altura Apotema

Diagonal Perímetro Superficie (codos cuadrados)

Área de la Base Área de un cara Volumen (codos cúbicos)

4. Haz la conversión de la tabla anterior al sistema métrico decimal

rellenando los huecos teniendo en cuenta que 1 codo real = 0,523

metros. Expresa los resultados a números enteros:

Sistema Métrico Decimal Longitudes (codos)

Lados Arista Altura Apotema

Diagonal Perímetro Superficie (codos cuadrados)

Área de la Base Área de un cara Volumen (codos cúbicos)


67

Con respecto a sus peculiaridades matemáticas, ya en el siglo V a. C.,

Herodoto afirma en uno de sus textos que los sacerdotes egipcios le

habían mostrado que el cuadrado de la altura total de la pirámide de

Keops era igual al área de una cara. Rellena los huecos:

Cuadrado de la Altura Área de una cara ¿Tenían razón los sacerdotes egipcios?

Para definir las dimensiones de una pirámide, normalmente nos fijamos

en el lado y la altura, pues con estas dos magnitudes podemos calcular

todas las demás, como has podido comprobar en la actividad anterior.

Una de las principales medidas que usaban los egipcios era el ángulo

de inclinación de las caras de la pirámide, que se obtiene de la relación

que hay entre el lado de la base y la altura. La inclinación de las caras

era medida en Seked (un dato que es el doble de la cotangente del

ángulo).

Veamos: usaban el triángulo meridiano, triángulo isósceles que se

produce al seccionar la pirámide en dos mitades iguales desde el

vértice y pasando por la mitad de las caras. Los dos ángulos iguales de

este triángulo nos dan la inclinación de las caras.

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