Trabajo FinalAnalisis Funcional

El lema de Cotlar y sus aplicaciones

Ghiglioni Eduardo y Vescovo Nicolas

Departamento de MatematicaFacultad de Ciencias Exactas

Universidad Nacional de La Plata

Septiembre de 2012

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Indice

1. Introduccion 3

2. Biografıa 3

3. Preliminares 4

4. Orıgenes del Lema 64.1. Acotacion de sumas casi-ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5. El Lema de Cotlar 8

6. Una demostracion alternativa al lema de Cotlar 106.1. Transformada de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.2. C∗-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.3. Demostracion alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7. Generalizacion del Lema de Cotlar 15

8. Primeras Aplicaciones 188.1. Transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.2. Operadores debiles y operadores fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3. Una aplicacion a la transformada de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4. Operadores singulares integrales en grupos de Lie nilpotentes . . . . . . . . . 268.5. Operadores pseudo-diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.6. Teorema T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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1. Introduccion

Zygmund, quien dirigio la tesis doctoral de Cotlar y habıa logrado probar que la transfor-mada de Hilbert esta acotada en L2(R) usando la transformada de Fourier, estaba interesadoen encontrar una manera diferente de probar este resultado. Ası es como surge el lema deCotlar cuya primera aplicacion fue esta. Una vez publicado en la Revista Matematica Cu-yana surgieron aplicaciones importantes a varias ramas de la matematica.

El trabajo esta dividido en varias secciones. La primera de ellas contiene la biografıa delmatematico detras de este Lema. La segunda es una seccion de preliminares, resultados quenombramos a lo largo del trabajo (ya sea porque son utilizados en otros teoremas o referen-ciados a traves de la historia del Lema) pero que no demostraremos. En la tercer seccion nosempezamos a acercar al Lema. En ella encontraremos la nocion de casi-ortogonalidad porprimera vez nombrada en [1]. Esta seccion fue extraıda de las notas de los cursos dictadospor el mismo Cotlar en el IAM en el ano 2005 [14]. En las siguientes secciones encontrare-mos la demostracion original del Lema extraıda de [1], luego una demostracion alternativarealizada por Bela Szokefalvi-Nagy para la cual necesitaremos desarrollar la tranformadade Gelfand. Dedicamos una subscecion a su definicion y la importancia de la transformadade Gelfand y otra a C∗-algebras, con lo cual tendremos lo necesario para la demostracionde Bela Szokefalvi-Nagy. Mas adelante encontramos una generalizacion del Lema al caso noconmutativo con su demostracion. Finalmente, la ultima seccion esta dedicada a las aplica-ciones del Lema. Ya que la idea era demostrar que la transformada de Hilbert esta acotada enL2(R) sin usar transformada de Fourier dedicamos gran parte a la transformada de Hilberty la aplicacion del Lema a la misma. Siguiendo el orden cronologico de su aparicion, luegose encuentra la aplicacion a operadores singulares integrales en grupos de Lie nilpotentes,operadores pseudo-diferenciales y hasta el importantısimo teorema T1.

2. Biografıa

Mischa Cotlar nacio en Kiev, Ucrania, en Agosto de 1913. Su padre, Ovsey Cotlar, ensu paıs administraba un molino harinero, era aficionado al ajedrez, las matematicas y lamusica. Dado que su hijo no pudo tener educacion formal en Ucrania, el le habıa ensenadomatematica y musica. En 1928, Mischa Cotlar emigro con sus padres y hermano a Monte-video, Uruguay. Una vez allı, Ovsey se dedico a vender diarios pero nunca perdio su pasiony ası gano un concurso de la Sociedad Uruguaya de Ajedrez. Esto lo puso en contacto conun ajedrecista y gran matematico uruguayo, Rafael Laguardia, quien descubrio que MischaCotlar, a pesar de no haber tenido mas de un ano de educacion formal, habıa estudiadoalgunos libros de matematica y resuelto algunos problemas de teorıa de numeros, por lo quelo invito a participar en su seminario y ası entro al mundo academico, gracias tambien almatematico uruguayo Jose Luis Massera. El Instituto de Matematica y Estadıstica de laFacultad de Ingenierıa de Uruguay fue su primer contacto formal con la matematica. Paraayudar economicamente a su familia, Mischa, que era ya un buen pianista, toco el piano enalgunos bares del puerto de Montevideo hasta 1931, cuando comenzo a tocar en un trıo decamara en Punta del Este.

En 1939 Mischa emigro a Buenos Aires, que se convirtio en su ciudad natal, tras los pasosde Julio Rey Pastor. En 1938 se casa con Yanny Frenkel, una joven estudiante de matematicade origen ruso, con la cual compartio toda su vida. La falta de estudios academicos regularesy por ende la de un tıtulo dificulto la incorporacion de Cotlar como profesor en el sistemaoficial, tanto universitario como secundario. Solo podıa dar clases particulares y trabajar eninstitutos de ensenanza privada. No obstante entre 1946 y 1950 fue designado investigadoren la Universidad Nacional de La Plata y en la Universidad de Buenos Aires.

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En 1951 obtuvo una beca de la Fundacion Guggenheim que le permitio viajar a EstadosUnidos y doctorarse en la Universidad de Chicago en 1953, bajo la direccion de A. Zyg-mund, cuando tenıa 40 anos y ya habıa publicado alrededor de 30 trabajos de Matematica.El tıtulo de su tesis doctoral fue ((Una teorıa unificada sobre transformaciones de Hilberty sobre Teoremas ergodicos)) en donde combina su interes particular en la teorıa ergodicacon el tema de las integrales singulares. Inmediatamente despues de obtener su doctorado,Mischa regreso a la Argentina para dirigir el nuevo Instituto de Investigaciones Matematicasde Cuyo, en parte financiada por la UNESCO. Mischa se reunio en este Instituto con un gru-po de personas con talento extraordinario: Antonio Monteiro, Eduardo Zarantonello, OscarVarsavsky, Carlos Domingo y algunos otros jovenes. Mischa comenzo una revista interna-cional, la revista Matematica Cuyana, donde publico su trilogıa fundamental, incluyendo elLema de casi-ortogonalidad. En 1955 un gobierno militar cerro el Instituto de InvestigacionesMatematicas de Cuyo.

Desde 1957 fue profesor en la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de BuenosAires, hasta 1966 cuando un golpe militar y ataques a la Universidad produjeron su renun-cia. De 1967 a 1971 fue profesor de Rutgers University (Nueva Jersey, Estados Unidos). En1971 enseno en la Universidad Central de Venezuela y regreso a Argentina en 1972, a laUniversidad Nacional de La Plata. En 1974 regreso a Caracas y fue profesor de la Facultadde Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. Fue profesor tambien de las siguientesuniversidades: Washington University, University of Chicago, Dartmouth College, Universi-dad de la Republica en Montevideo, Universidad de Ingenierıa en Lima, Universite de Nice,McGill University y Howard University.

Entre sus colaboradores mas estrechos puede citarse a: su esposa Yanny Frenkel, Ro-dolfo Ricabarra (su gran amigo y colega intelectual), Beppo Levi, Eduardo Zarantonello,Rafael Panzone, Rodrigo Arocena, Cora Sadosky. Colaboro en la formacion de muchos ma-tematicos, entre los cuales cabe destacar, en Argentina, a Rafael Panzone, Cora Ratto deSadosky, Eduardo Ortiz y Concepcion Ballester a quienes dirigio las tesis doctorales. Entresus discıpulos en Caracas estan: Rodrigo Arocena, Pedro Alegrıa, Ramon Bruzual, CarmenCasas, Stefania Marcantognini, Cristina Pereira, Jose Abreu, Maria Dolores Moran, MariselaDomınguez, Alexis Quevedo y Wilfredo Urbina.

Recibio los siguientes premios y distinciones cientıficas: Premio Waissman del ConsejoNacional de Investigaciones Cientıficas y Tecnicas de Argentina, Premio Nacional de Cienciasde Venezuela y Premio de la Academia de Ciencias de Madrid. Fue miembro de la Academiade Ciencias Exactas, Fısicas y Naturales de Argentina y profesor honorario de la Universidadde Buenos Aires y de la Universidad Nacional de La Plata.

Fallecio el 16 de Enero de 2007 en la ciudad de Buenos Aires, a los 93 anos de edad.

3. Preliminares

Teorema 3.1. (Von Neumann) Sean A un operador autoadjunto y antilineal sobre H, ε > 0y 1 < p <∞. Entonces existe un operador diagonalizable antilineal y autoadjunto D tal queA−D es compacto y ‖A−D‖p < ε.

Teorema 3.2. (Carleson) Sea f ∈ Lp una funcion periodica para algun p ∈ (0,∞) con

coeficientes de Fourier f(n). Entonces

lımN→∞

∑|n|≤N

f(n)einx = f(x)

en casi todo punto.

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Teorema 3.3. (Teorema espectral de Von Neumann) Si A es un operador autoadjunto deB(H) y K = R[A]ξ, entonces A define un operador autoadjunto en K y existe una medidafinita en Sp(A) tal que K y L2(Sp(A), µ) son isomorfos como espacios de Hilbert y el operadorA se corresponde con el operador “multiplicacion por la funcion identidad”.

Teorema 3.4. (Stone-Weierstrass). Sea (X, τ) un espacio topologico compacto Hausdorff.Si tenemos una subalgebra A ⊆ C(X) que cumple las siguientes condiciones:

(1) Es cerrada por tomar conjugacion (f ∈ A ⇒ f ∈ A.

(2) Las funciones constantes viven en A.

(3) Separa puntos de X (si x 6= y ambos en X, existe f ∈ A tal que f(x) 6= f(y)).

Entonces A es ‖.‖∞-densa en C(X).

Teorema 3.5. La transformada de Fourier es una isometrıa en L2, es decir, f ∈ L2 y‖f‖2 = ‖f‖2. Mas aun,

f(ξ) = lımR→∞

∫|x|<R

f(x)e−2πix.ξdx

y

f(x) = lımR→∞

∫|ξ|<R

f(ξ)e2πix.ξdξ

donde los lımites estan en L2. La identidad ‖f‖2 = ‖f‖2 se conoce como el Teorema dePlancherel.

Lema 3.6. (Lema clasico de Schur) Supongamos que una funcion localmente integrableK(x, y) satisface

supx∈X

∫Y

|K(x, y)| dν(y) = A <∞,

supy∈Y

∫X

|K(x, y)| dµ(x) = B <∞,

entonces el operador lineal

T (f)(x) =

∫Y

K(x, y)f(y)dν(y),

cuando f esta acotado y tiene soporte compacto, se extiende a un operador acotado de Lp(Y )

a Lp(X) con norma A1− 1pB

1p para 1 ≤ p ≤ ∞.

Proposicion 3.7. (El caso de no cancelacion) Sean a, b ∈ Rn, µ, ν ∈ R, y M,N > n. Sea

I(a, µ,M, b, ν,N) =

∫Rn

2µn

(1 + 2µ |x− a|)M2νn

(1 + 2ν |x− b|)Ndx.

Entonces tenemos que

I(a, µ,M, b, ν,N) ≤ C02min(µ,ν)n

(1 + 2min(µ,ν) |a− b|)min(M,N)

donde

C0 = νn

(M4N

M − n+

N4M

N − n

)y νn es el volumen de la bola unitaria en Rn.

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4. Orıgenes del Lema

Un problema basico del analisis es estimar el valor de la norma de un operador. Sabemosque este problema se podra resolver cada vez que se encuentre el operador diagonal D1 quepor el Teorema de Von Neumann 3.1 debe existir, y para conocer D1 hay que conocer a susvectores propios en (y casi se podrıa dar con la norma de ‖D1‖ ∼ ‖A‖). Pero hay muy pocasbases ortonormales (en) que conocemos explıcitamente y entre ellas, lo mas probable, es queno estara la base buscada. O sea, en la practica hay muy pocos operadores A cuya normapuede estimarse mediante el Teorema de Von Neumann. Ahora bien, los D1 diagonales nosinteresan porque su norma esta dada explıcitamente y esto ultimo se debe a que un D1

diagonal es una suma∑D′n de operadores ortogonales: D

′nD

′m = 0 si n 6= m, esto sugiere

buscar una nocion generalizada de ortogonalidad tal que la suma de una serie ortogonalgeneralizada tenga norma explıcitamente estimada. Como las diagonales son parte de talessumas ortogonales generalizada habra muchos mas operadores A que podran aproximarsepor sumas ortogonales generalizadas y por lo tanto las normas de tales A podran estimarse.Se presentan ası dos problemas:

(a) Generalizar la nocion de ortogonalidad de operadores de modo que toda suma ortogonalgeneralizada tenga una buena estimacion explıcita de su norma.

(b) Mostrar que hay muchos operadores A que pueden aproximarse por tales sumas pe-ro donde aparentemente es muy difıcil hayar al diagonal de Von Neumann. Esto sepodra considerar como un perfeccionamiento del Teorema de Von Neumann de muchautilidad para el analisis.

Comenzando por el problema (a), observemos que todo vector ξ ∈ H se identifica conel operador ξ ⊗ ξ : h 7→ 〈h, ξ〉 ξ, toda sucesion de vectores (en) define un nucleo K(m,n) =|〈em, en〉| y (en) es una sucesion ortogonal si y solo si K(m,n) = 0 para m 6= n. Toda sucesionde operadores An define un par de nucleos

K1(m,n) := ‖A∗mAn‖1/2 y K2(m,n) := ‖AmA∗n‖

1/2

y (An) se dice ortogonal si K1(m,n) = K2(m,n) = 0 si m 6= n.Si (en) es ortogonal entonces su nucleo asociado K(m,n) define un operador acotado en

l2, es decir

∣∣∣∣∣∑m,n

K(m,n)anbn

∣∣∣∣∣ ≤ c

(∑m

|am|2)1/2(∑

n

|bn|2)1/2

Para todo (am) = a ∈ l2 y (bn) = b ∈ l2. Analogamente, si los operadores An son ortogonalesentre si entonces cada uno de los nucleos asociados K1(m,n) y K2(m,n) definen un operadoracotado en l2 con normas c1, c2. Esto sugiere la siguiente:

Definicion. Una sucesion de operadores (An ∈ L(H)) se dira casi-ortogonal si sus nucleosasociados K1(m,n) y K2(m,n) definen dos operadores acotados en l2 de normas c1, c2 quese llamaran las constantes asociadas.

Se tiene entonces:

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4.1. Acotacion de sumas casi-ortogonales

Toda suma finita de operadores casi-ortogonales tiene norma menor o igual que (c1c2)1/2

donde c1, c2 son las constantes asociadas. Todas las sumas parciales de una serie infinitade operadores casi-ortogonales son uniformemente acotadas por (c1c2)1/2 y convergen en latopologıa fuerte de operadores a un operador acotado de norma menor o igual que (c1c2)1/2

(la cuenta es similar a la que utilizaremos para demostrar el lema de Cotlar-Stein 7.1). Esteoperador lımite se llamara casi-diagonal. Lo cual da una solucion al problema (a).

Resulta que la transformada de Hilbert y sus versiones en varias dimensiones dan unasolucion al problema (b). Esta transformada es un operador casi-diagonal pero aparente-mente no puede aproximarse por un operador diagonal explıcitamente definido por una baseortonormal descrita explıcitamente. Tambien los operadores ergodicos y muchos operadorespseudo-diferenciales de Calderon-Zygmund dan ejemplos analogos. Con esto se da una solu-cion a los dos problemas (a) y (b) y la suma de operadores casi-ortogonales o casi-diagonalesproporcionaron un metodo con muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo C. Feffermanmostro que este metodo proporciona una demostracion simplificada al gran Teorema de Car-leson 3.2 de la convergencia de las series de Fourier en L2, y este metodo fue usado en elcelebre Teorema de David-Journe (David-Journe probaron un teorema que inmediatamentese volvio famoso bajo el nombre del teorema T1 del cual hablaremos mas adelante).

El Teorema de acotacion de operadores casi-ortogonales es util no solo porque permitedar una estimacion de las normas de todas las sumas parciales de la serie casi-ortogonal, sinotambien porque asegura la convergencia fuerte de la misma. Vamos a dar una demostracionsencilla de un caso particular del Teorema que es cuando los operadores conmutan.

Proposicion 4.1. Sea A = An una algebra C∗ conmutativa de operadores de H tal que

los nucleos K(m,n) = ‖AmAn‖1/2 verifiquen

supm

(∑n

K(m,n)

)= c <∞ (1)

Entonces para todo p = 1, 2, . . . tenemos∥∥∥∥∥p∑

n=1

An

∥∥∥∥∥ ≤ c. (2)

Demostracion. Por el Teorema espectral de Von Neumann 3.3 existe un espacio compactoΩ, una medida finita µ ≥ 0 en Ω y para cada w ∈ Ω un subespacio Hw ⊂ H tal que lafuncion w 7→ dim(Hw) es medible y un operador unitario F de H sobre L2

µ(Ω, Hw) tal

que bajo el isomorfismo F cada operador A ∈ A pasa en el operador f(w) 7→ A(w)f(w)

donde A ∈ C(Ω) es una funcion continua en Ω con ‖A‖H = ‖A‖∞ = supw|A(w)|. Aquı los

elementos de L2µ(Ω, Hw) son funciones f que asignan a cada w ∈ Ω un vector f(w) ∈ Hw

tal que

∫Ω

∥∥∥f(w)∥∥∥2

Hwdσ := ‖f‖2 < ∞. Luego ∀f ∈ H es Ff ∈ L2

µ(Ω, Hw) con ‖f‖H =

‖Ff‖L2µ(Ω,Hw), y ∀A ∈ A es ‖A‖H = ‖A‖∞. Luego la proposicion 4.1 se reduce a la siguiente:

Proposicion 4.2. Si Ω es un espacio compacto, An ∈ C(Ω) una sucesion de funciones

continuas tales que los nucleos K(m,n) := supw|Am(w)An(w)|1/2 verifican (1) entonces ∀p =

1, 2, . . . es

supw

p∑n=1

|An(w)| ≤ c (3)

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Demostracion. Hay que probar que para un w0 fijo

p∑n=1

|An(w0)| ≤ c. (4)

Sea M = supn|An(w0)|. Supongamos que existe un m0 con |Am0(w0)| = M (si no existe tal

m0 se pueden hacer las cuentas con un M−ε, ε > 0), y sean a∗(λ) = card n : |An(w0)| ≥ λ,K∗(λ) = card n : K(n) > λ donde a∗(λ) y K∗(λ) son las distribuciones de las sucesiones

numericas |An(w0)| y K(n) := K(m0, n). Como la suma

p∑n=1

|An(w0)| se expresa mediante

a∗(λ) y la suma∑K(m0, n) mediante K∗(λ), para probar (4) basta, en vista de la hipotesis

(1), probar quea∗(λ) ≤ K∗(λ), para 0 < λ < M. (5)

Pero si un n verifica: |An(w0)| > λ entonces, si 0 < λ < M , se tiene (puesto que |Am0(w0)| =M) λ2 < |Am0(w0)| |An(w0)| ≤ K(m0, n)2 = K(n)2. Entonces K(n) > λ. O sea, |An(w0)| > λimplicaKn > λ. Luego el numero de n-es para los cuales |An(w0)| > λ es menor que el numerode n-es para los cuales K(n) > λ, que es la desigualdad deseada (5).

Si el algebra A tiene un elemento generador (cıclico) entonces el espacio L2µ(Ω, Hw),

del Teorema de Von Neumann, coincide con el L2u(Ω) comun cuyos elementos son funciones

f(w) escalares, y en este caso la proposicion 4.1 da ‖∑|An(w)|‖∞ ≤ c, lo que ahora por

el Teorema de Lebesgue de la convergencia mayorada, implica que ∀f ∈ L2u(Ω) converge la

serie∑An(w)f(w). Lo que significa que la serie de operadores

∑An de la proposicion 4.1

converge en la topologıa fuerte a un operador A de norma menor o igual que c.Este resultado se extiende tambien al caso general no cıclico. Con razonamientos analogos

se prueba que la proposicion 4.1 vale si la hipotesis (1) se cambia por: K(m,n) es un nucleode un operador acotado en l2, o sea, si An es una sucesion casi-ortogonal de operadores.1

En aplicaciones suele definirse tambien la casi-ortogonalidad por la condicion (1) o porotras variantes similares, y tambien el Teorema espectral de Von Neumann, tiene versionesmas debiles que convienen mas en algunas aplicaciones.

5. El Lema de Cotlar

El artıculo [1] contiene uno de los mas conocidos resultados de Cotlar y es el origendel concepto de casi-ortogonalidad. Elias M. Stein consagra a este artıculo gran parte delcapıtulo siete de su libro [2].

Dado que la prueba original esta basada en un argumento combinatorio y en las siguien-tes secciones veremos una demostracion alternativa utilizando transformada de Gelfand, unaherramienta importante del analisis funcional, y una generalizacion del lema al caso no con-mutativo, dejaremos los resultados previos necesarios sin demostrar. Los mismos se podranencontrar enunciados y demostrados en las referencias que daremos.

Definicion. Sea E = 1, 2, . . . n un conjunto finito de n elementos, y µ una funcion queasigna a cada H ⊆ E un numero no negativo µ(H) ≥ 0, µ(H) no se asume que sea aditiva,solo requerimos que si H ⊂ H

′entonces µ(H) ≤ µ(H

′). Vamos a notar ϕH(i) a la funcion

caracterıstica del conjunto H.

1La extension de la proposicion 4.2 a algebras C∗ no conmutativas no esta aun aclarada. Ası como elTeorema de perturbacion de Von Neumann dice que todo autoadjunto es suma de dos operadores diagonalesespeciales, tambien todo autoadjunto es suma de 5 casi-ortogonales especiales que permite estimar su norma.Tambien este hecho esta sin explorar en mas detalle.

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Sea f(i) ≥ 0 una funcion definida en E que toma valores enteros no negativos: f(1) =α1, f(2) = α2, . . . , f(n) = αn.

La funcion f(i) admite un numero finito de representaciones de la forma f(i) = λ1ϕH1(i)+. . .+ λnϕHn(i), donde λi son enteros no negativos, mientras que los conjuntos Hi puede su-perponerse. Para cada representacion de esa forma tomamos s = λ1µ(H1) + . . .+ λnµ(Hn),y definimos la integral, o suma, de f(i) con respecto a µ(H) por

Σf∆µ =max s= max λ1µ(H1) + . . .+ λnµ(Hn).

Definicion. Si f(i) esta definida en E = 1, 2, . . . , n y f(i) = αi, vamos a escribir:

f(i) =

(α1 α2 . . . αn1 2 . . . n

), Σf∆µ = Σ

(α1 α2 . . . αn1 2 . . . n

)∆µ

Definicion. Vamos a considerar la medida particular µ(H) definida como:

Si H = h1, h2, . . . , hm y h1 < h2 < . . . < hm. Entonces

µ(H) = 5 |(hm − h1) + (hm−1 − h2) + (hm−2 − h3) + . . .|,

y si H0 = h0, entonces

µ(H0) = 0.

Lema 5.1. Consideremos todas las funciones fα(i) definidas sobre E tal que fα(1)+fα(2)+. . . + fα(n) = k (fα(i) = numero entero no negativo), y para tales fα(i) formar el numeroλ−Σfα∆µ. Sea S =

∑λ−Σfα∆µ

Sea µ(H) la medida definida anteriormente, E = 1, 2, . . . , n, n y k enteros fijos, yλ > 1 un numero real tal que log λ > 24k−λλ. Entonces

S =∑

α1+...+αn=k

k!

α1! . . . αn!λ

Σ

α1 α2 . . . αn1 2 . . . n

∆µ

≤ λ2k.k.kk3/4.n

(λ5 − 1)2k(λ− 1)k

Demostracion. Sin demostracion. La misma se puede encontrar en [1].

Lema 5.2. (Lema de Cotlar) Sea A un anillo conmutativo normado, sean Tk, 1 ≤ k ≤ n,

elementos de A, y sea T =n∑k=1

Tk. Si para 1 ≤ i, j ≤ n tenemos la condicion de casi-

ortogonalidad

‖TiTj‖ ≤ 2−|i−j| (6)

y mas aun, ‖Ti‖ ≤ 1, entonces∥∥T k∥∥ ≤ 32kkkk

3/4n.

Demostracion. Como la norma cumple que ‖S1 + S2‖ ≤ ‖S1‖+ ‖S2‖, tenemos

∥∥T k∥∥ ≤ ∑α1+...+αn=k

k!

α1! . . . αn!‖Tα1

1 . . . Tαnn ‖.

Para cualquier termino de la forma Tα11 . . . Tαnn asignamos la funcion

f(i) =

(α1 α2 . . . αn1 2 . . . n

).

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En particular, si h1 < . . . < hm para Th1 . . . Thm corresponde la funcion caracterıstica ϕH delconjunto H = h1, . . . , hn. Por la hipotesis (6) tenemos que

‖Th1 . . . Thm‖ ≤ ‖Th1Thm‖∥∥Th2Thm−1

∥∥ . . . ≤ 2−(hm−h1)−(hm−1−h2)... = (5√

2)−µ(H), (7)

donde µ(H) es la definida en las preliminares.Por otro lado, para cualquier representacion de f(i) de la forma

f(i) = γ1ϕH1(i) + γ2ϕH2(i) + . . . (γj son enteros no negativos)

hacemos corresponder la descomposicion de Tα11 . . . Tαnn en los factores

Tα11 . . . Tαnn = (T

′

h1T′

h2. . .)(T

′′

h1T′′

h2. . .) . . .,

donde

H1 = (T′

h1T′

h2. . .), H2 = (T

′′

h1T′′

h2. . .), . . .

usando (7) obtenemos

‖Tα11 . . . Tαnn ‖ ≤

∥∥∥T ′h1T ′h2 . . .∥∥∥ . ∥∥∥T ′′h1T ′′h2 . . .∥∥∥ . . .≤ (

5√

2)−(µ(H1)+µ(H2)+...)

≤ (5√

2)−Σf(∆µ) = (5√

2)−Σ

α1 α2 . . . αn1 2 . . . n

∆µ

.

Aplicando el lema 5.1 obtenemos ∥∥T k∥∥ ≤ ∑α1+...+αn=k

k!

α1! . . . αn!‖Tα1

1 . . . Tαnn ‖

≤∑

α1+...+αn

k!

α1! . . . αn!(

5√

2)−Σ

α1 α2 . . . αn1 2 . . . n

∆µ

≤ ( 5√

2)2k.k.kk3/4.n

(( 5√

2)5 − 1)2k(( 5√

2)− 1)k

=

(( 5√

2)2

5√

2− 1

)k

.k.kk3/4

.n ≤ 32kkkk3/4

n.

Queda ası probado el lema.

6. Una demostracion alternativa al lema de Cotlar

Un poco despues, Bela Szokefalvi-Nagy encontro una prueba usando otras herramientasdel analisis [3]. Para ello necesitaremos desarrollar algunos conceptos previos.

6.1. Transformada de Gelfand

Definicion. Si A es un algebra de Banach abeliana (es decir, el producto es conmutativo),se llamara espectro de A al siguiente subconjunto de A∗

χA = h : A→ C es un morfismo de algebras; h(1) = 1.

A sus elementos los denominaremos caracteres.

10

Definicion. Se define la transformada de Gelfand de x ∈ A como la funcion∧x: χA → C

definida por∧x (h) = h(x).

Observacion. La funcion∧x es continua (tomando a χA con la topologıa σ(A∗, A) de A∗)

pues es la restriccion de χA de la vieja funcional Jx de A∗∗.

Definicion. Se define la transformada de Gelfand de A como la funcion ∧ : A→ C(χA)

definida por ∧(x) =∧x.

Observacion. La funcion ∧ es un homomorfismo de algebras continuo, ya que∣∣∣∧x (h)

∣∣∣ =

|h(x)| ≤ ‖h‖ ‖x‖, entonces∥∥∥∧x∥∥∥

∞≤ ‖x‖ con lo cual ‖∧‖ ≤ 1. Como ademas

∧1 (h) = h(1) = 1

resulta que ‖∧‖ = 1.

Observacion. Sabemos para un algebra cualquiera A que si h es un caracter de A y x es unelemento cualquiera de A, entonces x − h(x) resulta no inversible pues pertenece al nucleode h y entonces h(x) ∈ σ(x). Recıprocamente, si λ ∈ σ(x), entonces λ− x no es inversible ypor lo tanto pertenece al nucleo de algun h, de ahı se sigue que λ = h(x). Entonces tenemosque la transformada de Gelfand de x es una funcion suryectiva de χA en σ(x).

Podemos encontrar exactamente quien es∥∥∥∧x∥∥∥

∞:

∥∥∥∧x∥∥∥∞

= sup∧x (h) : h ∈ χA

= sup h(x) : h ∈ χA = sup |λ| : λ ∈ σ(x) .

Si A = L(E), esta cantidad se conoce como radio espectral del operador de x.

Observacion. Todo caracter h ∈ χA tiene ‖h‖ = 1 porque |h(x)| ≤ ρ(x) ≤ ‖x‖.

Veamos una observacion mas y un ejemplo sin detalles a modo de divulgacion de laimportancia de la transformada de Gelfand.

Observacion. La transformada de Gelfand es la herramienta natural para extender elcalculo funcional continuo del caso de operadores autoadjuntos a operadores normales.

Ejemplo. Consideremos el espacio L1(R) con la medida de Lebesgue. Es un algebra deBanach sin uno, si lo dotamos del producto convolucion

f ∗ g(t) =

∫Rf(t− s)g(s)ds para f, g ∈ L1(R) y t ∈ R.

Sea A = C.1 + L1(R). Nos queda un algebra de Banach conmutativa con uno. Se puede verque χA es la compactacion de Alexandrov (un punto) de R, donde el ∞ es el caracter quetiene nucleo L1(R) y los demas se veran en la siguiente formula. El hecho notable es que conestas identificaciones, la restriccion de la transformada de Gelfand Γ : A → C(XA) al idealL1(R) toma valores en el algebra C0(R)

Γ : L1(R)→ C0(R) esta dada por Γf (s) =∧f (s) =

∫Rf(t)e−istds,

para cada f ∈ L1(R) y s ∈ R. Es decir, que en este ejemplo, la transformada de Gelfandes la de Fourier.

11

6.2. C∗-algebras

Definicion. Una C∗-algebra es un algebra de Banach dotada de una nueva operacion,llamada involucion y denotada por ∗ : A→ A que cumple las siguientes condiciones:

(a) (λa+ b)∗ = λa∗ + b∗

(b) (a∗)∗ = a

(c) (ab)∗ = b∗a∗

(d) ‖a∗a‖ = ‖a‖2

(e) 1∗ = 1

Observacion. Debemos tener en cuenta que esta estructura es una simple generalizacionde L(H): ahora tenemos casi todos los elementos para hacer la analogıa; podremos definir,a semejanza de L(H), los terminos autoadjunto, unitario, positivo, normal.

Teorema 6.1. (Gelfand-Neimark conmutativo)Si A es una C∗-algebra conmutativa, la transformada de Gelfand es un isomorfismo de

C∗-algebras (es decir, un isomorfismo de algebras que preserva la involucion ∗, tambien sellama ∗-isomorfismo). Este resultado nos dice que las C∗-algebras conmutativas son isometri-camente ∗-isomorfas a algun C(K) con K compacto de C.

Demostracion. La demostracion consiste de cuatro partes. Primero probaremos que parax∗ = x, σ(x) ⊂ R. Segundo, que un elemento a cualquiera de A tiene una descomposcionen “parte real y parte imaginaria”, es decir que a = x + iy, con x∗ = x e y∗ = y. Teniendoesto probaremos que ∧ conserva la ∗. Por ultimo probaremos que es una isometrıa y que essuryectiva en C(χA).

Sea x un elemento autoadjunto. Definimos ut(x) = eitx =∑n∈N

(itx)n

n!. Dado que A es

conmutativa, podemos probar que es unitario cualquiera sea t real, pues ut(x)ut(x)∗ =

ut(x)∑n∈N

(−itx)n

n!= ut(x)ut(−x); y ahora el producto formal de las series (para A con-

mutativa) nos dice que exey = ex+y. Entonces, teniendo que ‖ut‖ = 1 se sigue que, dadoh ∈ χA, etRe(ih(x)) =

∣∣eith(x)∣∣ = |h(ut)| ≤ 1 para todo t real. Entonces, Re(ih(x)) tiene que

ser cero, con lo cual h(x) ∈ R.Sea a ∈ A. Como en los numeros complejos y como en L(H), podemos definir Re(a) =

a+ a∗

2y Im(a) =

a− a∗

2i. Se puede verificar que a = Re(a) + iIm(a) y que Re(a) y Im(a)

son ambos autoadjuntos.Ahora, si h ∈ χA, h(a∗) = h(Re(a∗)) + ih(Im(a∗)) = h(Re(a)) + ih(−Im(a)) = h(a).a∗a es autoadjunto, y entonces

‖a‖2 = ‖a∗a‖ = r(a∗a) = suph∈χA|h(a∗a)| = sup

h∈χA

∣∣∣(a∗a)(h)∣∣∣ =

∥∥∥(a∗a)∥∥∥∞

=∥∥a∗a∥∥∞ =∥∥∥aa∥∥∥

∞= ‖a‖2

∞.

En otras palabras la transformada de Gelfand es isometrica.Por fin, Im(∧) = a : a ∈ A ⊂ C(χA) es una subalgebra que separa puntos (si h 6= g,

existe b tal que h(b) 6= g(b), b separara h de g); por el teorema de Stone Weierstrass 3.4 esdensa, y por ser ∧ isometrica, resulta cerrada.

12

6.3. Demostracion alternativa

Lema 6.2. Sea T1 + T2 + ... + Tn una suma permutable de operadores Hermitianos en unespacio de Hilbert, satisfaciendo las condiciones:

‖Ti‖ ≤ 1,

‖TiTj‖ ≤ ε|j−i| (8)

para 1 ≤ i, j ≤ n y donde 0 ≤ ε < 1. Entonces tenemos

‖T1 + T2 + ...+ Tn‖ ≤ c(ε) (9)

donde c(ε) es una constante finita que no depende de n y la eleccion particular del Ti

Demostracion. En el caso ε = 0 tenemos que TiTj = 0 para i 6= j, es decir, los terminosde la suma son ((ortogonales)). En el caso ε > 0 podemos decir que los terminos son ((casi-ortogonales)), la cantidad ε mide la discrepancia de la ortogonalidad estricta. Poniendo S =T1 + T2 + ...+ Tn tenemos, en el caso ε = 0; Sk = T k1 + T k2 + ...+ T kn para k = 1, 2, ..., ası∥∥Sk∥∥ ≤ n,

lımk→∞

∥∥Sk∥∥ 1k ≤ lım

k→∞n

1k = 1.

Dado que S es Hermitiana, tenemos que∥∥Sk∥∥ = ‖S‖k, ası ‖S‖ ≤ 1, es decir para ε = 0 vale

el Lema con c(0) = 1 y esta es obviamente la mejor constante.La idea del caso ε > 0 en la prueba original se basa en un problema de combinatoria

bastante complicado. Aquı daremos una prueba mas sencilla, reduciendo el problema al casounidimensional, es decir, a un problema en escalares. Esta reduccion es posible gracias alsiguiente Teorema de representacion para algebras de operadores conmutativos: Cualquieralgebra conmutativa A, con escalares reales, sobre operadores Hermitianos acotados T enun espacio de Hilbert, puede ser mapeada isomorficamente e isometricamente del algebrade todas las funciones reales continuas u(M) en algun espacio compacto Hausdorff M, demanera que si T, T ′ ∈ A y

T → u(M), T ′ → u′(M),

entonces cT → cu(M) para cualquier escalar c, T +T ′ → u(M)+u′(M),TT ′ → u(M)u′(M),y

‖T‖ = supM∈M |u(M)| .Elegimos en particular A como el algebra (conmutativa) con escalares reales, generada porlos operadores T1, ..., Tn. Si Ti → ui(M) (i = 1, ..., n), entonces la hipotesis (8) significa que

|ui(M)| ≤ 1, |ui(M)uj(M)| ≤ ε|j−i|

para toda M ∈M, y la idea es demostrar que esto implica que

|u1(M) + ...+ un(M)| ≤ c(ε)

para toda M ∈M.Vamos a demostrar mas aun, para cualquier suma

s = v1 + . . .+ vn

de numeros reales con |vi| ≤ 1, |vivj| ≤ ε|j−i| tenemos que |s| ≤ c(ε).Para cualquier numero real λ ≥ 0 notamos por n(λ) el numero de los terminos vi que

aparecen en la suma para los cuales |vi| ≥ λ. Entonces

13

n∑i=1

|vi| = −∫ 1+0

0

λdn(λ) = −[λn(λ)]1+00 +

∫ 1

0

n(λ)dλ =

∫ 1

0

n(λ)dλ,

porque n(λ) = 0 para λ > 1. Si, para λ fijo, n(λ) ≥ 1, notemos por i1 y i2 el primer y ultimoındice i para el cual |vi| ≥ λ; tenemos que

n(λ) ≤ 1 + i2 − i1.

Por otro lado tenemos

λ2 ≤ |vi1vi2| ≤ εi2−i1 ,

por lo tanto

i2 − i1 ≤ 2logλ/logε, es decir, i2 − i1 ≤ a(λ) ≤ [2logλ/logε],

donde [α] denota la parte entera de α.Obtenemos la desigualdad

n(λ) ≤ 1 + a(λ)

y esto es valido para 0 ≤ λ ≤ 1, obviamente tambien si n(λ) = 0. Por lo tanto tenemos

|s| ≤n∑i=1

|vi| ≤∫ 1

0

(1 + a(λ))dλ = 1 +∞∑1

m

εm2 − εm+ 1

2

,

ya que a(λ) toma el valor m en el intervalo ε

m+ 1

2 < λ ≤ ε

m

2 . Alcanzamos ası probar elresultado, consiguiendo el siguiente valor para la constante:

c(ε) = 1 + (1−√ε)∞∑1

m(√ε)m = 1 +

(1−√ε)√ε

(1−√ε)2

=1

1−√ε

=1 +√ε

1−√ε

.

Considerando la suma

S2n+1 =n∑

ν=−n

ε|ν| =1 + ε

1− ε− 2

εn

1− ε

se puede ver, que la mejor constante c∗(ε), debe satisfacer la desigualdad

1 + ε

1− ε≤ c∗(ε) ≤ 1 +

√ε

1− ε,

en particular

3 ≤ c∗(

1

2

)≤ 2 +

√2 < 3, 5.

c∗(

12

)mejora la cota encontrada por M. Cotlar.

14

7. Generalizacion del Lema de Cotlar

Ambos, Cotlar y Stein generalizaron independientemente el resultado al caso donde losoperadores no son conmutativos.

Lema 7.1. (Cotlar-Stein) Sea H un espacio de Hilbert, Tj una sucesion de operadoreslineales de H en H acotados con adjuntos

T ∗j

, y a(j)j∈Z una sucesion de numeros nonegativos tales que ∥∥TiT ∗j ∥∥L(H)

+ ‖T ∗i Tj‖L(H) ≤ a(i− j). (10)

para todo i, j ∈ Z. Supongamos que

A =∞∑

i=−∞

a(i)1/2 <∞.

Entonces las siguientes conclusiones son validas:

(i) Para todo subconjunto finito Λ de Z tenemos

∥∥∥∥∥∑i∈Λ

Ti

∥∥∥∥∥L(H)

≤ A.

(ii) Para todo x ∈ H tenemos

∑i∈Λ

‖Ti(x)‖2H ≤ A2 ‖x‖2

H.

(iii) Para todo x ∈ H,∑|i|≤N

Ti(x) converge a algun T (x) cuando N → ∞ en la norma de

H. El operador lineal T de H en H definido de esta forma esta acotado con norma

‖T‖L(H) ≤ A.

Demostracion. Sabemos que

‖S‖2L(H) = ‖SS∗‖L(H) . (11)

Tomando i = j en (10) y usando (11) obtenemos

‖Ti‖L(H) ≤ a(0)1/2 (12)

para todo i ∈ Z. En el caso particular que S es autoadjunto (11) implica ‖S‖2L(H) = ‖S2‖L(H),

y mas general

‖S‖mL(H) = ‖Sm‖L(H) (13)

para m potencia de 2. Observar que el operador lineal(∑i∈Λ

Ti

)(∑i∈Λ

T ∗i

)

15

es autoadjunto. Aplicando (11) y (13) a este operador obtenemos∥∥∥∥∥∑i∈Λ

Ti

∥∥∥∥∥2

L(H)

=

∥∥∥∥∥[(∑

i∈Λ

Ti

)(∑i∈Λ

T ∗i

)]m∥∥∥∥∥1/m

L(H)

(14)

donde m es una potencia de 2. Ahora expandimos la m-esima potencia de la expresion en(14). Entonces escribimos el lado derecho de la igualdad en (14) como∥∥∥∥∥ ∑

i1,...,i2m∈Λ

Ti1T∗i2. . . Ti2m−1T

∗i2m

∥∥∥∥∥1/m

L(H)

(15)

que esta acotado por ( ∑i1,...,i2m∈Λ

∥∥Ti1T ∗i2 . . . Ti2m−1T∗i2m

∥∥L(H)

)1/m

. (16)

Podemos estimar las expresiones dentro de la suma en (16) de dos maneras diferentes:∥∥Ti1T ∗i2 . . . Ti2m−1T∗i2m

∥∥ ≤ ∥∥Ti1T ∗i2∥∥ . . . ∥∥Ti2m−1T∗i2m

∥∥ ≤ a(i1 − i2) . . . a(i2m−1 − i2m),

y ∥∥Ti1T ∗i2 . . . Ti2m−1T∗i2m

∥∥ ≤ ‖Ti1‖∥∥T ∗i2Ti3∥∥ . . . ∥∥T ∗i2m−2Ti2m−1

∥∥∥∥T ∗i2m∥∥≤ a(0)1/2a(i2 − i3) . . . a(i2m−2 − i2m−1)a(0)1/2.

Usando ambas cotas, obtenemos la siguiente cota para (16)( ∑i1,...,i2m∈Λ

a(0)1/2a(i1 − i2)1/2a(i2 − i3)1/2 . . . a(i2m−1 − i2m)1/2

)1/m

.

Sumando primero sobre i1, luego sobre i2, y finalmente sobre i2m−1, obtenemos

a(0)1

2mA2m−1m

(∑i2m∈Λ

1

)1/m

cota de (16). Usando (14), concluımos que∥∥∥∥∥∑i∈Λ

Ti

∥∥∥∥∥2

L(H)

≤ a(0)1

2mA2m−1m

(∑i2m∈Λ

1

)1/m

,

y tomando lımite m→∞, obtenemos (I).Para probar (II) vamos a usar las funciones de Rademacher ri, las cuales se definen como

ri(t) = signo[sen(2itπ)], i = 0, 1, 2, . . .

Estas funciones estan definidas para enteros no negativos i, pero podemos re-indexarlospara que los i tomen valores enteros. La propiedad fundamental de estas funciones es suortogonalidad, es decir,

∫ 1

0ri(ω)rj(ω)dω = 0 cuando i 6= j. Usando el hecho de que la norma

16

‖.‖H esta asociada a un producto interno, para todo subconjunto finito Λ de Z y x ∈ Htenemos∫ 1

0

∥∥∥∥∥∑i∈Λ

ri(ω)Ti(x)

∥∥∥∥∥2

H

dω =∑i∈Λ

‖Ti(x)‖2H +

∫ 1

0

∑i,j∈Λi 6=j

ri(ω)rj(ω) 〈Ti(x), Tj(x)〉H dω (17)

=∑i∈Λ

‖Ti(x)‖2H .

Para cualquier ω ∈ [0, 1] fijo usamos la conclusion (I) del lema para los operadores ri(ω)Ti,los cuales tambien satisfacen la suposicion (10), pues ri(ω) = ±1. Tenemos que∥∥∥∥∥∑

i∈Λ

ri(ω)Ti(x)

∥∥∥∥∥2

H

≤ A2 ‖x‖2H,

lo cual, combinado con (17) nos implica (II).Probaremos ahora (III). Primero veremos que dado x ∈ H la sucesion

N∑i=−N

Ti(x)

N

es de Cauchy en H. Supongamos que no lo es. Esto significa que hay algun ε > 0 y unasubsucesion de enteros 1 ≤ N1 < N2 < N3 < . . . tal que∥∥∥Tj(x)

∥∥∥H≥ ε, (18)

donde

Tj(x) =∑

Nj≤|i|<Nj+1

Ti(x).

Para cualquier ω ∈ [0, 1] fijo, aplicamos la conclusion (I) al operador Si = rj(ω)Ti siempre queNj ≤ |i| < Nj+1, ya que este operador satisface la hipotesis (10). Tomando N1 ≤ |i| < Nj+1,obtenemos ∥∥∥∥∥∥

J∑j=1

rj(ω)∑

Nj≤|i|<Nj+1

Ti(x)

∥∥∥∥∥∥H

=

∥∥∥∥∥J∑j=1

rj(ω)Tj(x)

∥∥∥∥∥H

≤ A ‖x‖H.

Elevando al cuadrado e integrando la desigualdad con respecto a ω ∈ [0, 1], y usando (17)

con Tj(x) en lugar de Tj y 1, 2, . . . , J en lugar de Λ, obtenemos

J∑j=1

∥∥∥Tj(x)∥∥∥2

H≤ A2 ‖x‖2

H.

Pero esto contradice (18) cuando J →∞.

Concluımos que toda sucesion

N∑

i=−N

Ti(x)

N

es de Cauchy en H y ası, esta converge

a Tx para algun operador lineal T . En vista de la conclusion (I), se concluye que T es unoperador acotado en H con norma como mucho A.

Observacion. El conjunto de ındice Z en el lema 7.1 puede ser reemplazado por cualquiergrupo numerable.

17

8. Primeras Aplicaciones

8.1. Transformada de Hilbert

A. Zygmund se preguntaba frecuentemente si era posible probar que la transformada deHilbert esta acotada en L2(R) sin usar la transformada de Fourier. La transformada de Hil-bert H esta definida como la convolucion con la distribucion S = 1

πp.v.

(1x

). La transformada

de Fourier de S es S(ξ) = −i sign(ξ). Entonces H es unitario. Este enfoque es estrictamentelimitado a operadores convolucion T los cuales, en algun sentido, son “diagonales” en la“base de Fourier”. A. Zygmund estaba buscando herramientas mas generales que pudieranfuncionar bien en operadores de la forma

Tf(x) = p.v.

∫K(x, y)f(y)dy (19)

donde K(x, y) pertenece a alguna clase mas general de “nucleos singulares”.En terminos generales, un operador integral singular esta definido por su representacion

(19) la cual tiene la propiedad que el correspondiente operador no negativo∫|K(x, y)| |f(y)| dy

no esta acotado. En el caso de la transformada de Hilbert, el correspondiente operador nonegativo no esta definido porque la integral diverge en el soporte de f .

A. Calderon estaba interesado en nucleos que satisfagan las siguientes tres propiedades:

|K(x, y)| ≤ C0 |x− y|−1 (20)∣∣∣∣ ∂∂xK(x, y)

∣∣∣∣ ≤ C1 |x− y|2 (21)

K(x, y) = −K(y, x) (22)

Si ademas pedimos K(x, y) = S(x − y), lo que significa que T es un operador convolucion,estas propiedades implican que T esta acotado en L2(R).

¿Que sucede en el caso general?¿Como debemos estudiar estos operadores?M. Cotlar nos proporciono un acercamiento interesante a tales problemas.

Definicion. Una funcion f esta en la clase de Schwartz, S(Rn), si es infinitamentediferenciable y para todo α, β ∈ Nn

supx

∣∣xαDβf(x)∣∣ <∞

Definicion. Dada f ∈ S, definimos su transformada de Hilbert como alguna de lassiguientes expresiones que son equivalentes:

Hf = lımt→0

Qt ∗ f(donde Qt(x) =

1

π

x

t2 + x2

)Hf =

1

πp.v.

1

x∗ f

(donde p.v.

1

x(φ) = lım

ε→0

∫|x|>ε

φ(x)

xdx

)(Hf)(ξ) = −isgn(ξ)f(ξ)

La tercera expresion nos deja definir la transformada de Hilbert de funciones en L2(R); estasatisface:

‖Hf‖2 = ‖f‖2 , (23)

H(Hf) = −f, (24)∫Hf.g = −

∫f.Hg. (25)

18

8.2. Operadores debiles y operadores fuertes

Definicion. Sean (X,µ) y (Y, ν) espacios medibles, y sea T un operador de Lp(X,µ) en elespacio de funciones medibles de Y en C.

Decimos que el operador T es debil (p, q), q <∞ si

ν(y ∈ Y : |Tf(y)| > λ) ≤(c ‖f‖pλ

)qy es debil (p,∞) si es un operador acotado de Lp(X,µ) en L∞(Y, ν).

T es fuerte (p, q) si es un operador acotado de Lp(X,µ) en Lq(Y, ν).

Definicion. Sea (X,µ) un espacio medible y sea f : X → C una funcion medible. Llamamosa la funcion af : (0,∞)→ [0,∞], dada por

af (λ) = µ(x ∈ X : |f(x)| > λ),

la funcion de distribucion de f (asociada a µ).

Teorema 8.1. (Interpolacion de Marcinkiewicz). Sea (X,µ) y (Y, ν) espacios medibles, 1 ≤p0 < p1 ≤ ∞, y sea T un operador sublineal de Lp0(X,µ)+Lp1(Y, µ) a las funciones mediblesde Y ,es decir, debil (p0, p0) y fuerte (p1, p1). Entonces T es fuerte (p, p) para p0 < p < p1.

Demostracion. dada f ∈ Lp, para cada λ > 0 descomponemos a f como f0 + f1, donde

f0 = fχx:|f(x)|>cλ ,f1 = fχx:|f(x)|≤cλ ;

la constante c la fijaremos posteriormente. Entonces f0 ∈ Lp0(µ) y f1 ∈ Lp1(µ). Mas aun,

|Tf(x)| ≤ |Tf0(x)|+ |Tf1(x)|,

entonces

aTf (λ) ≤ aTf0(λ/2) + aTf1(λ/2).

Consideremos dos casos.Caso 1: p1 =∞. Elegimos c = 1/(2A1), donde A1 es tal que ‖Tg‖∞ ≤ A1 ‖g‖∞. Entonces

aTf1(λ/2) = 0. Por la desigualdad debil (p0, p0),

aTf0(λ/2) ≤(

2A0

λ‖f0‖p0

)p0;

por lo tanto,

‖Tf‖pp ≤ p

∫ ∞0

λp−1−p0(2A0)p0∫x:|f(x)|>cλ

|f(x)|p0 dµdλ

= p(2A0)p0∫X

|f(x)|p0∫ |f(x)|/c

0

λp−1−p0dλdµ

=p

p− p0

(2A0)p0(2A1)p−p0 ‖f‖pp .

Caso 2: p1 <∞. Ahora tenemos el par de desigualdades

aTfi(λ/2) ≤(

2Aiλ‖fi‖pi

)pi, para i = 0, 1.

19

De allı obtenemos (argumentado como antes) que

‖Tf‖pp ≤ p

∫ ∞0

λp−1−p0(2A0)p0∫x:|f(x)|>cλ

|f(x)|p0 dµdλ

+ p

∫ ∞0

λp−1−p1(2A1)p1∫x:|f(x)|≤cλ

|f(x)|p1 dµdλ

=

(p2p0

p− p0

Ap00

cp−p0+

p2p1

p1 − pAp11

cp−p1

)‖f‖pp .

Definicion. (La funcion maximal diadica). En Rn definimos el cubo unitario, abierto aderecha, como el conjunto [0, 1)n, y tomamos Q0 como la coleecion de cubo en Rn que soncongruentes a [0, 1)n y cuyos vertices yacen en el retıculo Zn. Si dilatamos esta familia decubos por un factor de 2−k obtenemos la coleccion Qk, k ∈ Z; es decir, Qk es la familiade cubos, abiertos a derecha, cuyos vertices son puntos adyacente del retıculo (2−kZ)n. Loscubos en

⋃kQk se llaman cubos diadicos.

De su construccion obtenemos inmediatamente las siguientes propiedades:

(1) Dado x ∈ Rn hay un unico cubo en cada familia Qk tal que lo contiene;

(2) Dos cubos diadicos son disjuntos o uno esta completamente contenido en el otro;

(3) Un cubo diadico en Qk esta contenido en un unico cubo de cada familia Qj, j < k, ycontiene 2k cubos diadicos de Qk+1.

Dada una funcion f ∈ L1loc(Rn), definimos

Ekf(x) =∑Q∈Qk

(1

|Q|

∫Q

f

)χQ(x);

Ekf(x) es la expectativa condicional de f con respecto a la σ-algebra generada por Qk.Satisface la siguiente identidad fundamental: si Ω es la union de cubos en Qk, entonces∫

Ω

Ekf =

∫Ω

f .

Ekf(x) es un analogo discreto de una aproximacion de la identidad.Definimos la funcion diadica maximal por

Mdf(x) = supx|Ekf(x)| . (26)

Teorema 8.2.

(i) La funcion maximal diadica es debil (1,1).

(ii) Si f ∈ L1loc, lım

k→∞Ekf(x) = f(x) en casi todo punto.

Demostracion. (I) Sea f ∈ L1 fija, podemos asumir que f es no negativa; si f es real,puede descomponerse en su parte positiva y parte negativa, y si es compleja, en su parte reale imaginaria.

Sea

20

x ∈ Rn : Mdf(x) > λ =⋃k

Ωk

donde

Ωk = x ∈ Rn : Ekf(x) > λ y Ejf(x) ≤ λ si j < k;

es decir, x ∈ Ωk si Ekf(x) es la primera expectativa condicional de f tal que es mayor que λ.(Como f ∈ L1, Ekf(x) → 0 cuando k → −∞, por lo que tal k debe existir). Los conjuntosΩk son claramente disjuntos, y cada uno puede ser escrito como union de cubos en Qk. Porlo tanto,

|x ∈ Rn : Mdf(x) > λ| =∑k

|Ωk|

≤∑k

1

λ

∫Ωk

Ekf

=1

λ

∑k

∫Ωk

f

≤ 1

λ‖f‖1 .

(II) Este lımite es claramente verdad si f es continua, y se mantiene para f ∈ L1. Paracompletar la prueba, notar que si f ∈ L1

loc entonces fχQ ∈ L1 para todo Q ∈ Q0. Por lotanto, (II) es verdadero para casi todo x ∈ Q, y entonces es verdadero para casi todo x ∈ Rn.

Esta demostracion usa una descomposicion de Rn que resulta extremadamente util. Sellama la descomposicion de Calderon-Zygmund y se enuncia ası.

Teorema 8.3. Dada una funcion f integrable y no negativa, y dado un numero positivo λ,existe una sucesion Qj de cubos diadicos disjuntos tales que

(i) f(x) ≤ λ para casi todo x /∈⋃j

Qj;

(ii)

∣∣∣∣∣⋃j

Qj

∣∣∣∣∣ ≤ 1

λ‖f‖1;

(iii) λ <1

|Qj|

∫Qj

f ≤ 2nλ.

Demostracion. Como en la prueba del teorema 8.2, formamos los conjuntos Ωk y y des-componemos cada uno en cubos diadicos disjuntos de Qk; juntos, todos estos cubos formanuna familia Qj.

La parte (II) del teorema es solo la desigualdad debil del teorema 8.2.Si x /∈

⋃j Qj entonces para todo k, Ekf(x) ≤ λ, y entonces por la parte (II) del teorema

8.2, f(x) ≤ λ en casi todo punto de esos puntos.Finalmente, por la definicion de los conjunto Ωk, el promedio de f sobre Qj es mayor que

λ; lo cual es la primera desigualdad en (III). Mas aun, si Qj es el cubo diadico que contiene

a Qj cuyos lados son el doble de largo, entonces el promedio de f sobre Qj es como muchoλ. Por lo tanto,

21

1

|Qj|

∫Qj

f ≤

∣∣∣Qj

∣∣∣|Qj|

1∣∣∣Qj

∣∣∣∫Qj

f ≤ 2nλ.

Teorema 8.4. Sea f ∈ S(R) entonces

(i) (Kolmogorov) H es debil (1, 1):

|x ∈ R : |Hf(x) > λ|| ≤ C

λ‖f‖1.

(ii) (M. Riesz) H es fuerte (p, p), 1 < p <∞:

‖Hf‖p ≤ Cp ‖f‖p.

Demostracion. (I) Sea λ > 0 fijo y f no negativa. Formemos la descomposicion de Cal-deron-Zygmund de f de altura λ (ver teorema 8.3); esto produce una sucesion de intervalosdisjuntos Ij tales que

f(x) ≤ λ para casi todo punto x /∈ Ω =⋃j

Ij,

|Ω| ≤ 1

λ‖f‖1 ,

λ ≤ 1

|Ij|

∫Ij

f ≤ 2λ.

Dada esta descomposicion de R, descomponemos ahora a f como suma de dos funciones, gy b, definidas por

g(x) =

f(x) si x /∈ Ω,1Ij

∫Ijf si x ∈ Ij ,

y

b(x) =∑j

bj(x),

donde

bj(x) =

(f(x)− 1

|Ij|

∫Ij

f

)χIj(x).

Entonces g(x) ≤ 2λ en casi todo punto, y bj tiene soporte en Ij y tiene integral zero. ComoHf = Hg +Hb,

|x ∈ R : |Hf(x)| > λ| ≤ |x ∈ R : |Hg(x)| > λ/2|+ |x ∈ R : |Hb(x)| > λ/2|

22

Estimamos el primer termino usando (23):

|x ∈ R : |Hg(x)| > λ/2| ≤(

2

λ

)2 ∫R|Hg(x)|2 dx

=4

λ2

∫Rg(x)2dx

≤ 8

λ

∫Rg(x)dx

=8

λ

∫Rf(x)dx

Sea 2Ij el intervalo con el mismo centro que Ij y doble longitud, y sea Ω∗ =⋃j 2Ij. Entonces

|Ω∗| ≤ 2 |Ω| y

|x ∈ R : |Hb(x)| > λ/2| ≤ |Ω∗|+ |x /∈ Ω∗ : |Hb(x)| > λ/2|

≤ 2

λ‖f‖1 +

2

λ

∫R\Ω∗|Hb(x)| dx.

Ahora |Hb(x)| ≤∑

j |Hbj(x)| en casi todo punto: esto se deduce inmediatamente si la sumaes finita, y en caso contrario, se deduce del hecho que

∑bj y

∑Hbj convergen a b y Hb en

L2. Por lo tanto, para completar la prueba de la desigualdad debil (1,1) es suficiente probarque ∑

j

∫R\2Ij

|Hbj(x)| dx ≤ C ‖f‖1.

Aunque bj /∈ S cuando x /∈ 2Ij, la formula

Hbj(x) =

∫Ij

bj(x)

x− ydy

sigue siendo valida. Denotemos por cj al centro de Ij; entonces como bj tiene integral cero,

∫R\2Ij

|Hbj(x)| dx =

∫R\2Ij

∣∣∣∣∣∫Ij

bj(x)

x− ydy

∣∣∣∣∣ dx=

∫R\2Ij

∣∣∣∣∣∫Ij

bj(y)

(1

x− y− 1

x− cj

)dy

∣∣∣∣∣ dx≤∫Ij

|bj(y)|

(∫R\2Ij

|y − cj||x− y| |x− cj|

dx

)dy

≤∫Ij

|bj(y)|

(∫R\2Ij

|Ij||x− cj|2

dx

)dy.

La ultima desigualdad se deduce de |y − cj| ≤ |Ij| /2 y |x− y| > |x− cj| /2. La integral delinterior es igual a 2, luego∑

j

∫R\2Ij

|Hbj(x)| dx ≤ 2∑j

∫Ij

|bj(y)| dy ≤ 4 ‖f‖1.

23

Nuestra prueba de la desigualdad debil (1,1) es para f no negativa, pero esto es suficientepues una funcion real cualquiera se puede descomponer en su parte positiva y parte negativa,y una funcion compleja en su parte real e imaginaria.

(II) como H es debil (1,1) y fuerte (2,2), por el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz8.1 tenemos la desigualdad fuerte (p, p) para 1 < p < 2. si p > 2 aplicamos (25) y el resultadopara p < 2:

‖Hf‖p = sup

∣∣∣∣∫RHf.g

∣∣∣∣ : ‖g‖p′ ≤ 1

= sup

∣∣∣∣∫Rf.Hg

∣∣∣∣ : ‖g‖p′ ≤ 1

≤ ‖f‖p sup

‖Hg‖p′ : ‖g‖p′ ≤ 1

≤ Cp′ ‖f‖p .

Observacion. Usando la desigualdad en el teorema 8.4 podemos extender la transfor-mada de Hilbert a funciones en Lp, 1 ≤ p < ∞. Si f ∈ L1 y fn es una sucesion enS que converge a f en L1, entonces por la desigualdad debil (1, 1) la sucesion Hfn es deCauchy en medida, es decir, para todo ε > 0,

lımm,n→∞

|x ∈ R : |(Hfn −Hfm)(x))| > ε| = 0.

Por lo tanto, converge en medida a una funcion medible la cual definimos como la trans-formada de Hilbert de f .

Si f ∈ Lp, 1 < p < ∞, y fn es una sucesion en S que converge a f en Lp, por ladesigualdad fuerte (p, p), Hfn es de Cauchy en Lp, entonces converge a una funcion en Lp

la cual definimos como la transformada de Hilbert de f .

8.3. Una aplicacion a la transformada de Hilbert

Definicion. (operador de Hardy-Littlewood) Sea Br = B(0, r) la bola Euclidea de radior centrada en el origen. La funcion maximal de Hardy-Littlewood de una funcionlocalmente integrable f en Rn esta definida por

Mf(x) = supr>0

1

|Br|

∫Br

|f(x− y)| dy.

Ejemplo. (Una aplicacion a la transformada de Hilbert). Sea H = L2(R) y para f ∈ L2(R)definimos

Tjf(x) =

∫2j<|t|≤2j+1

f(x− t)t

dt.

Sea B2j+1 = t : |t| ≤ 2j+1, luego |B2j+1| = 2j+2. Entonces para todo j entero

|Tjf(x)| =∣∣∣∣∫

2j<|t|≤2j+1

f(x− t)t

dt

∣∣∣∣ ≤∫

2j<|t|≤2j+1

|f(x− t)||t|

dt

≤ 1

2j

∫2j<|t|≤2j+1

|f(x− t)| dt ≤ 1

2j

∫B

2j+1

|f(x− t)| dt ≤ 4

2j+2

∫B

2j+1

|f(x− t)| dt

=4

|B2j+1|

∫B

2j+1

|f(x− t)| dt ≤ 4Mf(x)

24

⇒ |Tjf(x)| ≤ 4Mf(x) donde M es el operador maximal de Hardy-Littlewood, entoncesTj esta acotado en L2(R). Vamos a usar el lema de Cotlar para probar que toda sumafinita de los T ′js esta uniformemente acotada, lo cual prueba que las integrales truncadasde la transformada de Hilbert estan uniformemente acotadas. (En realidad vamos a ver quesolamente aquellas integrales truncadas de numero diadico 2j estan acotadas, pero es facilpasar a cualquier otra truncacion).

Calculemos T ∗j :

〈Tjf(x), g(x)〉L2(R) =

∫RTjf(x)g(x)dx =

=

∫R

(∫2j<|t|≤2j+1

f(x− t)t

dt

)g(x)dx =

∫R

∫2j<|t|≤2j+1

f(x− t)t

g(x)dtdx =

=

∫R

∫2j<|t|≤2j+1

f(y)

tg(y + t)dtdy =

∫R

∫2j<t≤2j+1

f(y)

tg(y + t)dtdy

+

∫R

∫−2j+1<t≤−2j

f(y)

tg(y + t)dtdy = −

∫R

∫−2j+1<s≤−2j

f(y)

sg(y − s)dsdy

−∫R

∫2j<s≤2j+1

f(y)

sg(y − s)dtdy = −

∫R

∫2j<|s|≤2j+1

f(y)

sg(y − s)dsdy =

= −∫Rf(y)

∫2j<|s|≤2j+1

g(y − s)s

dsdy = −∫Rf(y)Tjg(y)dy =

= 〈f(y),−Tjg(y)〉L2(R)

donde el primer cambio de variables es y = x− t y el segundo es t = −s.Como T ∗j = −Tj solo necesitamos estimar ‖TiTj‖ para usar el lema de Cotlar. SeaKj(x) =

x−1χ∆j(x) donde ∆j = x ∈ R : 2j < |x| < 2j+1, entonces Tjf(x) = Kj ∗ f(x) y TiTjf(x) =

Ki ∗Kj ∗ f(x). Por lo tanto,

‖TiTj‖ ≤ ‖Ki ∗Kj‖1.

Mas aun,

Ki ∗Kj(x) =

∫R

1

tχ∆i

(t)1

x− tχ∆j

(x− t)dt.

Sin perder generalidad podemos suponer que i < j, y x > 0. Entonces Ki ∗ Kj(x) = 0 six /∈ (2j − 2i+1, 2j+1 + 2i+1), y en este intervalo, |Ki ∗Kj(x)| ≤ 2.2−j. Vamos a usar estaestimacion en los intervalos (2j − 2i+1, 2j + 2i+1) y (2j+1 − 2i+1, 2j+1 + 2i+1).

En el resto de los intervalos, si t ∈ ∆i entonces x− t ∈ ∆j, entonces

Ki ∗Kj(x) =

∫R

1

tχ∆i

(t)

(1

x− t− 1

x

)χ∆j

(x− t)dt.

Por lo tanto, |Ki ∗Kj(x)| ≤ 2.2i−2j. Entonces,

‖Ki ∗Kj‖1 ≤ C2−|i−j|,

y esta estimacion nos permite aplicar el lema de Cotlar.

25

8.4. Operadores singulares integrales en grupos de Lie nilpotentes

Una segunda aplicacion surgio en [4], cuando Knapp y Stein estaban estudiando operado-res singulares integrales en grupos de Lie nilpotentes. El metodo de Fourier no funciono peroel lema de Cotlar fue una historia exitosa.

Definicion. Sea X un grupo de Lie nilpotente conexo y simplemente conexo. Un grupocontinuo de un parametro δr, 0 < r <∞ de automorfismos de X se llama un grupo deuno-parametro de dilatacion si el diferencial (δr)∗ en la identidad 1 de X satisface (δr)∗= rD para una transformacion diagonalizable D con todos sus autovalores positivos. Estacondicion implica que (δr)∗ tiene todos los autovalores > 1 si r > 1 y que limr→0δrx = 1para todo x ∈ X.

Si δr es un grupo de uno-parametro de dilatacion, una funcion norma en X es unafuncion C∞, |x|, de X − 1 en los numeros reales positivos, cumpliendo:

(i) |x|−1 = |x|

(ii) |δrx| = rq |x| para un numero q > 0 fijo

(iii) La medida |x|−1 dx es invariante bajo dilataciones.

Los siguientes teoremas se enunciaran pero no se demostraran ya que son necesariospara la demostracion de la aplicacion del lema de Cotlar pero no esencialmente de analisisfuncional. Se pueden encontrar completos en [4].

Proposicion 8.5. Las siguientes condiciones en |x| son equivalentes:

(i) |x|−1 dx es invariante bajo dilataciones (y por lo tanto |x| es una funcion norma).

(ii)

∫1≤|x|≤r

|x|−1 dx = Clog r para un C fijo y todos los r ≥ 1.

(iii)

∫2k≤|x|≤2k+1

|x|−1 dx es independiente de k.

(iv) Si q es el numero en (II) de la definicion anterior, entonces d(δrx) = rqdx.

Lema 8.6. Existe una constante c0 y d > 0 tal que∣∣∣∣ |yx||x| − 1

∣∣∣∣ ≤ c0

(|y||x|

)dcuando |y| ≤ |x| y x 6= 1.

Lema 8.7. Sea ‖x‖ una norma Euclidea en X obtenida de los autovectores Xi usando δrcomo una base ortonormal. Entonces existe d > 0 tal que, para cualquier M > 0,

‖x‖ ≤ c(M) |x|d

para todo x ∈ X con ‖x‖ ≤M .

Lema 8.8. Sea X un grupo de Lie nilpotente conexo y simplemente conexo, δr un grupode uno-parametro de dilatacion, |x| una funcion norma en X. Sea H un espacio de Hilbertseparable, y Ω(x) una funcion C∞ en X − 1 cuyos valores son operadores acotados en Htal que Ω(δrx) = Ω(x) para todos los r y x. Supongamos que Ω tiene valor medio 0. Fijadaf ∈ C∞c (X,H). Entonces el lımite cuando ε→ 0 y M →∞ de

26

Tε,Mf(x) =

∫ε≤|y|≤M

|y|−1 Ω(y)f(yx)dy

existen ambos uniformemente y en L2(X,H).

Lema 8.9. Sea Ω como en el lema anterior 8.8. Si t 6= 0 entonces el numero real R = e2π/|t|

tiene la propiedad que ∫Rk≤|y|≤Rk+1

Ω(y)

|y|1−itdy = 0

para todo entero k.

Ahora si estamos listos para enunciar y demostrar la aplicacion.

Teorema 8.10. Sea X un grupo de Lie nilpotente conexo y simplemente conexo, δr ungrupo de uno-parametro de dilatacion, |x| una funcion norma en X, H un espacio de Hilbertseparable, y Ω(x) una funcion C∞ en X − 1 el espacio de operadores acotados en H (conla topologıa de la norma). Supongamos que Ω(δrx) = Ω(x) para todos los r y x. Sea t unnumero real fijo, y supongamos que una o dos de las siguientes condiciones se satisfacen:

(i)

∫c≤|x|≤d

Ω(x)dx = 0 para algun (equivalentemente todos) c y d con 0 < c < d.

(ii) t 6= 0

Sea f ∈ L2(X,H). Si (I) se satisface, entonces el lımite

Tf(x) = lımε→0,M→∞

∫ε≤|y|≤M

|y|−1+it Ω(y)f(yx)dy

existe en f ∈ L2(X,H), y f → Tf es un operador acotado en f ∈ L2(X,H). Si (I) nose satisface y (II) si, entonces la misma conclusion es valida, considerando que el lımite setoma sobre apropiadas sucesiones de ε’s y M ’s tendiendo a 0 y ∞ respectivamente.

Demostracion. Primero consideramos el caso t = 0. Al final de la demostracion vamos aindicar los cambios necesarios en el argumento para el caso t 6= 0. La idea de la demostraciones aplicar el lema de Cotlar-Stein 7.1 a una sucesion de operadores Tk cuya suma convergea T . Sea

Ωk(x) =

Ω(x) para 2k ≤ |x| < 2k+1

0 en caso contrario

Vamos a tomar como nuestros operadores

Tkf(x) =

∫X

|y|−1 Ωk(y)f(yx)dy. (27)

Primero observamos que los Tk estan uniformemente acotados en norma porque‖Tkf‖2 ≤

∥∥|y|−1 Ωk(y)∥∥

1‖f‖2 y∥∥|y|−1 Ωk(y)

∥∥1≤ sup

x(|Ω(x)|)

∫2k≤|y|<2k+1

|y|−1 dy,

con el lado derecho independiente de k por la proposicion 8.5 (se cumple (I) por ser |x|funcion norma). En vista del lema de Cotlar-Stein solo necesitamos una estimacion de ‖TjT ∗k ‖y∥∥T ∗j Tk∥∥ cuando |j − k| es grande.

Cambios directos de variables nos llevan a las formulas

27

T ∗k f(x) =

∫|y|−1 Ωk(y

−1)∗f(yx)dy

y

TjT∗k f(x) =

∫Gjk(y)f(yx)dy,

donde

Gjk(y) =

∫|zy|−1 |z|−1 Ωj(zy)Ωk(z)∗dz.

Por la desigualdad de Minkowski, ‖TjT ∗k ‖ ≤ ‖Gjk‖1. Tambien T ∗j Tk tiene la forma de TjT∗k ,

excepto que el nucleo Ω(y) se reemplaza por un nuevo nucleo Ω(y−1)∗ que satisface lashipotesis del teorema. Por lo tanto, solo necesitamos estimar ‖Gjk‖1 para |j − k| grande.Mas aun,

Gjk(y−1)∗ = Gkj(y),

lo que implica que ‖Gjk‖1 = ‖Gkj‖1. Por lo tanto solo necesitamos estimar ‖Gjk‖1 para j−kpositivo grande.

Ahora, como Ωj tiene valor medio 0 y |Ωk(j)| ≤ sup |Ω|,

|Gjk(x)| ≤∫X

∣∣∣∣Ωj(yx)

|yx|− Ωj(x)

|x|

∣∣∣∣ ∣∣∣∣Ωk(y)

|y|

∣∣∣∣ dy≤ (sup |Ω|)2

∫2k≤|y|≤2k+1

∣∣∣∣ 1

|yx|− 1

|x|

∣∣∣∣ |y|−1 dy

+ (sup |Ω|) |x|−1

∫2k≤|y|≤2k+1

|Ωj(yx)− Ωj(x)| |y|−1 dy.

En consecuencia, si E es el conjunto

(x, y) : 2k ≤ |y| ≤ 2k+1, 2j ≤ |yx| ≤ 2j+1

, entonces

‖Gjk‖1 ≤ (sup |Ω|)2

∫E

∣∣∣∣ 1

|yx|− 1

|x|

∣∣∣∣ 1

|y|dydx

+ sup |Ω|∫E

|Ωj(yx)− Ωj(x)||x|

1

|y|dydx

= (sup |Ω|)2I1 + (sup |Ω|)I2.

Antes de estimar I1 y I2, vamos a especificar un tamano mınimo para j−k en las estimaciones.Existe una constante c1 tal que |xy| ≤ c1(|x| + |y|) para todos los x e y. En nuestrasestimaciones vamos a requerir que 2j−k ≥ 8c1. Bajo esta condicion, sea (x, y) el conjunto Ede antes. Entonces

|x| ≤ c1(|y−1|+ |yx|) = c1(|y|+ |yx|) ≤ c1(2k+1 + 2j+1) ≤ 4c12j

y

|x| ≥ c−11 |yx| − |y| ≥ 2jc−1

1 − 2k+1 = 2jc−11 − 2j−22−(j−k−3) ≥ 1

2c−1

1 2j.

Luego1

2c−1

1 2j ≤ |x| ≤ 4c12j. (28)

Tambien

|y| ≤ 2k+1 = 2−22−(j−k−3)2j ≤ 2−2c−11 2j ≤ 1

2|x| . (29)

28

Consideremos I1. Si (x, y) esta en E y 2j−k ≥ 4c1, entonces (28), (29) y el lema 8.6 muestranque ∣∣∣∣ 1

|yx|− 1

|x|

∣∣∣∣ =1

|yx|

∣∣∣∣1− |yx||x|∣∣∣∣ ≤ c0

(|y||x|

)d1

|yx|≤ c02d(k+1)cd12−d(j−1)2−j4c12j |x|−1

= const2−d(j−k) |x|−1 .

Por lo tanto

I1 ≤(∫

2k≤|y|≤2k+1

|y|−1 dy

)(∫12c−11 2j≤|x|≤4c12j

|x|−1 dx

)const2−d(j−k) ≤ const2−d(j−k) (30)

por la proposicion 8.5Para I2, notar que Ωj(yx) = Ω(yx) en E y por lo tanto

I2 ≤∫E

|Ω(yx)− Ω(x)||x|

1

|y|dydx+

∫E

|Ω(x)− Ωj(x)||x|

1

|y|dydx

= I2A + I2B.

En I2A, agrandamos E al conjunto2k ≤ |y| ≤ 2k+1, 1

2c−1

1 2j ≤ |x| ≤ 4c12j

(es posible por (28)). En este conjunto tenemos |y| ≤ |x| /2 por (29). Afirmamos que para|y| ≤ |x| /2,

|Ω(yx)− Ω(x)| ≤ const(|y| / |x|)d, (31)

donde d es la constante del lema 8.7.De (31) obtenemos

|Ω(yx)− Ω(x)| ≤ const

(|y||x|

)d≤ const2d(k+1)−d(j−1)cd1

= const2−d(j−k)

en el conjunto agrandado de integracion. Por la proposicion 8.5

I2A ≤ const2−d(j−k). (32)

Consideramos ahora

I2B =

∫E

|Ω(x)− Ωj(x)||x|

1

|y|dydx.

El integrando es 0 a menos que |x| ≤ 2j o |x| ≥ 2j+1, y examinamos el conjunto de x para loscuales esto puede pasar. En cualquier caso, (x, y) ∈ E implica |y| ≤ |x| /2 y 2−1c−1

1 2j ≤ |x| ≤4c12j por (28) y (29). Supongamos que |x| ≥ 2j+1 y (x, y) esta en E. Entonces |yx| / |x| ≤ 1y el lema 8.6 implican∣∣1− 2j+1 |x|−1

∣∣ ≤ |1− |yx| / |x|| ≤ c0(|y| / |x|)d ≤ c02−d(j−k).

Por lo tanto

||x| − 2j+1| ≤ c02−d(j−k) |x| ≤ 2c0c12j+12−d(j−k),

29

y la contribucion de I2B para los puntos x con |x| ≥ 2j+1 es como mucho

2 sup |Ω|(∫

2k≤|y|≤2k+1

|y|−1 dy

)(∫2j+1≤|x|≤2j+1(1+2c0c12−d(j−k))

|x|−1 dx

)= constlog(1+2c0c12−d(j−k))

(33)por la proposicion 8.5. Analogamente si |x| ≤ 2j, entonces |yx| / |x| ≥ 1 y∣∣1− 2j |x|−1

∣∣ ≤ |1− |yx| / |x|| ≤ c0(|y| / |x|)d ≤ c02d(k+1) |x|−d.

Por lo tanto

||x| − 2j| ≤ c02d(k+1) |x|1−d ≤ c02d2j2−d(j−k),

y la contribucion de I2B para los puntos x con |x| ≤ 2j es como mucho

constlog(1− c02d2−d(j−k))−1. (34)

(Aquı se impone una cota mas baja sobre j − k para que (34) este acotada). Combinando(33) y (34) vemos que

I2B ≤ const2−d(j−k). (35)

Usando las estimaciones (30), (32), (35) y aplicando el lema de Cotlar-Stein 7.1 vemos que lassumas parciales Tj+Tj+1+. . .+Tk estan acotadas en norma independientemente de j y k. Enconsecuencia, con las notaciones del lema 8.8, el operador Tε,M tiene norma uniformementeacotada. Como el lema 8.8 da la convergencia de Tε,Mf para un conjunto denso de funcionesf , Tε,M converge fuertemente y el lımite es un operador acotado. Esto completa la pruebapara el caso t = 0.

Para el caso t 6= 0, elegimos R como en el lema 8.9. Sea

Ωk(x) =

Ω(x) para Rk ≤ |x| < Rk+1

0 en caso contrario

y definamos Tk como en (27). El lema 8.9 y el mismo argumento que usamos con Gjk en elcaso anterior muestran que es suficiente estimar∫ ∫ ∣∣∣∣Ωj(yx)

|yx|1−it− Ωj(x)

|x|1−it

∣∣∣∣ ∣∣∣∣Ωk(y)

|y|1−it

∣∣∣∣ dydx.

Los argumentos posteriores en el caso anterior, no hacen un mayor uso del valor de la media,y es suficiente estimar

I1 =

∫E

∣∣∣∣ 1

|yx|1−it− 1

|x|1−it

∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1

|y|1−it

∣∣∣∣ dydx.

donde E =

(x, y) : Rk ≤ |y| ≤ Rk+1, Rj ≤ |yx| ≤ Rj+1

. En la estimacion podemos suponerque Rj−k ≥ 4Rc1. Entonces para (x, y) ∈ E, cuentas similares a las de (28) y (29) nos llevana la desigualdad

1

2c−1

1 Rj ≤ |x| ≤ 2Rc1Rj

|y| ≤ 1

2|x| .

(36)

De la desigualdad del lema 8.6 obtenemos∣∣∣∣∣1− |yx|1−it|x|1−it

∣∣∣∣∣ ≤ const

(|y||x|

)d(37)

para |y| ≤ |x|. De (36) y (37) obtenemos una desigualdad analoga a la de (30), llamemosla

30

I1 ≤ constR−d(j−k).

Con estos resultados y aplicando el lema de Cotlar-Stein 7.1 vemos nuevamente que lassumas parciales Tj + Tj+1 + . . .+ Tk estan acotadas en norma independientemente de j y k.El lema 8.8 muestra que Tjkf converge cuando j → −∞, k → ∞, donde f ∈ C∞c (X,H).Como Tjk estan uniformemente acotados en norma, Tjk converge fuertemente, y el lımite esun operador acotado. Esto completa la prueba del teorema para el caso t 6= 0.

8.5. Operadores pseudo-diferenciales

Una tercera aplicacion la obtuvo A. Calderon y R. Vaillancourt [5]. Ellos estaban intere-sados en operadores pseudo-diferenciales.

Definicion. (operadores pseudo-diferenciales o de Calderon Zygmund) Sea m ∈ R y 0 <ρ, δ ≤ 1. Una funcion C∞ en RnXRn se llama un sımbolo de clase Smρ,δ si para todos losmultiındices α y β hay una constante Bα,β tal que∣∣∣∂αx∂βξ σ(x, ξ)

∣∣∣ ≤ Bα,β(1 + |ξ|)m−ρ|β|+δ|α|.

Para σ ∈ Smρ,δ, el operador lineal

Tσ(f)(x) =

∫Rnσ(x, ξ)f(ξ)e2πix.ξdξ

inicialmente definido para f ∈ S(Rn) (donde S es la clase de Schwartz) se llama el operadorpseudo-diferencial con sımbolo σ(x, ξ).

Teorema 8.11. Supongamos que un sımbolo σ pertenece a la clase S00,0. Entonces el operador

pseudo-diferencial Tσ con sımbolo σ, inicialmente definido en S(Rn), tiene una extensionacotada en L2(Rn).

Demostracion. En vista del teorema de Plancherel 3.5, es suficiente obtener la cota en L2

del operador lineal

Tσ(f)(x) =

∫Rnσ(x, ξ)f(ξ)e2πix.ξdξ. (38)

Fijamos una funcion suave no negativa ϕ(ξ) con soporte en un multiplo chiquito del cubounitario Q0 = [0, 1]n (digamos en [−1

9, 10

9]n) que satisface∑

j∈Znϕ(x− j) = 1, x ∈ Rn. (39)

Para j, k ∈ Zn definimos el sımbolo

σj,k(x, ξ) = ϕ(x− j)σ(x, ξ)ϕ(ξ − k)

y el operador correspondiente Tj,k dado por (38) en el cual σ(x, ξ) se reemplaza por σj,k(x, ξ).Usando (39), obtenemos que

Tσ =∑j,k∈Zn

Tj,k,

donde la doble suma converge en la topologıa de S(Rn). Nuestra meta es probar que paratodo N ∈ Z+ tenemos∥∥T ∗j,kTj′ ,k′∥∥L2→L2 ≤ CN

(1 +

∣∣∣j − j ′∣∣∣+∣∣∣k − k′∣∣∣)−2N

, (40)∥∥∥Tj,kT ∗j′ ,k′∥∥∥L2→L2

≤ CN

(1 +

∣∣∣j − j ′∣∣∣+∣∣∣k − k′∣∣∣)−2N

, (41)

donde CN depende solo de N y n pero es independiente de j, j′, k, k

′.

Notar que

31

T ∗j,kTj′ ,k′ (f)(x) =

∫RnKj,k,j′ ,k′ (x, y)f(y)dy,

donde

Kj,k,j′ ,k′ (x, y) =

∫Rnσj,k(z, x)σj′ ,k′ (z, y)e2πi(y−x).zdz. (42)

Integramos por partes en (42) usando la identidad

e2πi(y−x).z =(1−∆z)

N(e2πiz(y−x))

(1 + 4π2 |x− y|2)N,

y obtenemos la estimacion puntual

ϕ(x− k)ϕ(y − k′)(1 + 4π2 |x− y|2)N

∣∣∣(1−∆z)N(ϕ(z − j)σ(z, x)σ(z, y)ϕ(z − j ′))

∣∣∣para el integrando en (42). La propiedad del soporte de ϕ fuerza a que

∣∣j − j ′∣∣ ≤ cn paraalguna constante dimensional cn; en efecto, cn = 2

√n es suficiente. Por otra parte, todas

las derivadas de σ y ϕ estan controladas por constantes, y ϕ tiene soporte en un cubo demedida finita. Ademas tenemos 1 + |x− y| ≈ 1 +

∣∣k − k′∣∣. Se sigue que

∣∣Kj,k,j′ ,k′ (x, y)∣∣ ≤

CNϕ(x− k)ϕ(y − k′)

(1 + |k − k′|)2Ncuando

∣∣j − j ′∣∣ ≤ cn,

0 en caso contrario

Podemos reescribir la anterior estimacion en una forma mas compacta (y simetrica) como

∣∣Kj,k,j′ ,k′ (x, y)∣∣ ≤ Cn,Nϕ(x− k)ϕ(y − k′)

(1 + |j − j ′ |+ |k − k′ |)2N.

Del cual obtenemos que

supx∈Rn

∫Rn

∣∣Kj,k,j′ ,k′ (x, y)∣∣ dy ≤ Cn,N

(1 + |j − j ′|+ |k − k′ |)2N, (43)

supy∈Rn

∫Rn

∣∣Kj,k,j′ ,k′ (x, y)∣∣ dx ≤ Cn,N

(1 + |j − j ′|+ |k − k′ |)2N. (44)

Usando el lema clasico de Schur 3.6, obtenemos que

∥∥T ∗j,kTj′ ,k′∥∥L2→L2 ≤Cn,N

(1 + |j − j ′|+ |k − k′|)2N,

lo que prueba (40). Como ρ = δ = 0, los roles de las variables x y ξ son simetricas, y (41)puede ser probado en la misma forma que (40). El lema de Cotlar-Stein 7.1 se puede aplicarahora, como

∑j,k∈Zn

√1

(1 + |j|+ |k|)2N≤∑j∈Zn

∑k∈Zn

1

(1 + |j|)N21

(1 + |k|)N2<∞

para N ≥ 2n+ 2, y la acotacion de Tσ en L2 se concluye de ahı.

32

8.6. Teorema T1

Ahora trataremos una aplicacion del Lema de casi-ortogonalidad sobre sumas de opera-dores no convolucion en L2(Rn). Comenzamos con la siguiente version del Teorema T1, enel que asumimos que T (1) = T t(1) = 0.

Proposicion 8.12. Supongamos que Kj(x, y) son funciones en RnXRn indexadas por j ∈ Zque satisfacen

|Kj(x, y)| ≤ A2nj(1 + 2j |x− y|n+δ

) (45)

|Kj(x, y)−Kj(x, y′)| ≤ A2γj2nj |y − y′|γ (46)

|Kj(x, y)−Kj(x′, y)| ≤ A2γj2nj |x− x′|γ (47)

para algunos 0 < A, γ, δ <∞ y para todas x, y, x′, y′ ∈ Rn. Supongamos tambien que∫RnKj(z, y)dz = 0 =

∫RnKj(x, z)dz, (48)

para todas x, y ∈ Rn y toda j ∈ Z. Para j ∈ Z definimos el operador integral

Tj(f)(x) =

∫RnKj(x, y)f(y)dy

para f ∈ L2(Rn). Entonces la serie ∑j∈Z

Tj(f)

converge en L2 a algun T (f) para toda f ∈ L2(Rn) y el operador lineal T definido de estamanera es acotado en L2.

Demostracion. Es una consecuencia de (45) que los nucleos Kj pertenecen a L1(dy) uni-formemente en x ∈ Rn y j ∈ Z y por lo tanto los operadores Tj mapean L2(Rn) en L2(Rn)uniformemente en j. Nuestro objetivo es mostrar que la suma de los Tj esta tambien acotadaen L2(Rn). Podemos lograr esto usando la ortogonalidad considerada en el lema de Cotlar-Stein 7.1. Para poder usar el lema 7.1, debemos probar (10) del lema. En efecto, veamos quepara toda k, j ∈ Z tenemos que

‖TjT ∗k ‖L2→L2 ≤ CA22−14

δn+δ

min(γ,δ)|j−k| (49)∥∥T ∗j Tk∥∥L2→L2 ≤ CA22−14

δn+δ

min(γ,δ)|j−k| (50)

para algun 0 < C = Cn,γ,δ < ∞. Probaremos solamente (50) pues la demostracion de (49)es similar. De hecho, ya que los nucleos de Tj y T ∗j tienen similitudes, regularidad y lasestimaciones de cancelacion, (50) se obtiene directamente de (49), donde Tj se reemplazapor T ∗j .Para probar (50) es suficiente hacer la suposicion extra que k ≤ j. Una vez que se establece(50) con esta suposicion, tomando j ≤ k obtenemos∥∥T ∗j Tk∥∥L2→L2 = ‖(T ∗kTj)

∗‖L2→L2 = ‖T ∗kTj‖L2→L2 ≤ CA22−12min(γ,δ)|j−k|,

esto prueba (50) bajo la suposicion j ≤ k.Por lo tanto tomemos k ≤ j en la demostracion de (50). Notemos que el nucleo de T ∗j Tk es

Ljk(x, y) =

∫RnKj(z, x)Kk(z, y)dz.

33

Probaremos que

supx∈Rn

∫Rn|Lkj(x, y)| dy ≤ CA22−

14

δn+δ

min(γ,δ)|k−j| (51)

supy∈Rn

∫Rn|Lkj(x, y)| dx ≤ CA22−

14

δn+δ

min(γ,δ)|k−j| (52)

Una vez que se establecieron (51) y (52), (50) se sigue directamente de la clasificacion dellema clasico de Schur 3.6.

Necesitaremos la siguiente estimacion, valida para k ≤ j:∫Rn

2njmin(1,(2k |u|

)γ)(1 + 2j |u|)n+δ

du ≤ Cn,δ2− 1

2min(γ,δ)(j−k). (53)

En efecto, para probar (53), observemos que por un cambio de variables podemos suponerque j = 0 y k ≤ 0. Tomando r = k − j ≤ 0, establecemos (53) ası:

∫Rn

min (1, (2r |u|)γ)(1 + |u|)n+δ

du ≤∫Rn

min(

1, (2r |u|)12min(γ,δ)

)(1 + |u|)n+δ

du

≤∫|u|≤2−r

(2r |u|)12min(γ,δ)

(1 + |u|)n+δdu+

∫|u|≥2−r

1

(1 + |u|)n+δdu

≤ 212min(γ,δ)r

∫Rn

1

(1 + |u|)n+ δ2

du+

∫|u|≥2−r

1

|u|n+δdu

≤ Cn,δ

[2

12min(γ,δ)r + 2δr

]≤ Cn,δ2

− 12min(γ,δ)|r|.

Ahora obtengamos estimaciones para Ljk en el caso k ≤ j. Usando (48), escribimos

|Ljk(x, y)| =∣∣∣∣∫RnKk(z, y)Kk(z, x)dz

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∫Rn

[Kk(z, y)−Kk(x, y)]Kj(z, x)dz

∣∣∣∣≤ A2

∫Rn

2nkmin(1, (2k |x− z|)γ

) 2nj

(1 + 2j |z − x|)n+δdz

≤ CA22kn2−12min(γ,δ)(j−k)

usando la estimacion (53). Combinando esta estimacion con

|Ljk(x, y)| ≤∫Rn|Kj(z, x)| |Kk(z, y)| dz ≤ CA22kn

(1 + 2k |x− y|)n+δ,

que se sigue de (45) y la proposicion 3.7. (donde k ≤ j),

|Ljk(x, y)| ≤ Cn,γ,δA22−

12

δ2

n+δmin(γ,δ)(j−k) 2kn

(1 + 2k |x− y|)n+δ,

esto implica (51) y (52). Esto concluye la demostracion de la Proposicion.

A continuacion daremos algunas definiciones sobre operadores que utilizaremos.

34

Definicion. Decimos que K : RnXRn \ ∆ → C es un nucleo estandar (SK) si existeδ > 0 tal que

|K(x, y)| ≤ C

|x− y|n, (54)

|K(x, y)−K(x, z)| ≤ C|y − z|δ

|x− y|n+δsi |x− y| ≥ 2 |y − z| , (55)

|K(x, y)−K(w, y)| ≤ C|x− w|δ

|x− y|n+δsi |x− y| ≥ 2 |x− w| . (56)

Definicion. Dada una funcion g ∈ Rn, definimos el operador paraproducto Pg como:

Pg(f) =∑j∈Z

∆j(g)Sj−3(f) =∑j∈Z

∑k≤j−3

∆j(g)∆k(f),

para f ∈ L1loc(Rn).

Aquı ∆j(f) = f ∗ Ψ2−j donde Ψt(x) = t−nΨ(t−1x). Ψ es una funcion Schwartz radial

cuya transformada de Fourier tiene soporte en 1/2 ≤ |ξ| ≤ 2 y∑

j∈Z Ψ(2−jξ) = 1 cuandoξ ∈ Rn − 0

Sj =∑

k≤j ∆k.

Las siguientes definiciones son sobre normas que se relacionan con el teorema T1.

Definicion. Dada una funcion localmente integrable f en Rn y un conjunto medible Q deRn, denotamos por

AvgQf =1

|Q|

∫Q

f(x)dx

la media de f sobre Q.Definimos

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

∫Q

|f(x)− AvgQf | dx,

donde el supremo se toma sobre todos los cubos Q de Rn. La funcion f se llama de osci-lacion media acotada (BMO) si ‖f‖BMO < ∞ y BMO(Rn) es el conjunto de todas lasfunciones localmente integrables f de Rn con ‖f‖BMO <∞.

Definicion. Decimos que el operador lineal continuo

T : S(Rn)→ S ′(Rn)

satisface la propiedad de acotacion debil (WBP) si existe una constante C tal que paratodo par de funciones f , g ∈ C∞c (Rn) normalizadas y todo x0 ∈ Rn y R > 0 tenemos

|〈T (τx0(fR)), τx0(gR)〉| ≤ CR−n.

La menor constante C se denota por ‖T‖WB.

Proposicion 8.13. Dada b ∈ BMO(Rn), sea Pb el operador paraproducto, entonces lasdistribuciones Pb(1) y P t

b (1) coinciden con elementos de BMO. Es decir,

Pb(1) = b y P tb (1) = 0.

35

Demostracion. Sin demostracion. La misma se encuentra en [8].

Teorema 8.14. Sea K ∈ SK(δ, A) (nucleo estandar) y sea T un operador lineal continuode S(Rn) en S ′(Rn) asociado con K. Supongamos que

‖T (1)‖BM0 +∥∥T t(1)

∥∥BM0

+ ‖T‖WB = B4 <∞.

Entonces T se extiende a un operador lineal acotado en L2(Rn) con norma a lo sumo unaconstante multiplicativa de A+B4

Demostracion. Consideremos los operadores paraproductos PT (1) y PT t(1). Entonces, envista de la proposicion 8.13, tenemos:

PT (1)(1) = T (1), (PT (1))t(1) = 0,

PT t(1)(1) = T (1), (PT t(1))t(1) = 0.

Definamos ahora un operador L de la siguiente manera:

L = T − PT (1) − (PT t(1))t.

Usando la proposicion 8.13, obtenemos que

L(1) = Lt(1) = 0.

En vista de ∣∣∂αx∂βyLb(x, y)∣∣ ≤ C

′

n,α,β ‖b‖BMO

|x− y|n+|α|+|β|

(lejos de la diagonal x = y), tenemos que L es un operador cuyo nucleo satisface las estimacio-nes (54), (55) y (56) con constantes controladas por una constante dimensional multiplicativa

A+ ‖T (1)‖BMO +∥∥T t(1)

∥∥BMO

.

Ambos numeros son controlados por A+B4. Tenemos tambien

‖L‖WB ≤ Cn

(‖T‖WB +

∥∥PT (1)

∥∥L2→L2 +

∥∥∥(PT t(1)

)t∥∥∥L2→L2

)≤ Cn

(‖T‖WB + ‖T (1)‖BMO +

∥∥T t(1)∥∥BMO

)≤ Cn (A+B4)

que es un resultado muy util.Ahora introducimos operadores ∆j y Sj; debemos tener cuidado ya que estos operadores noson los operadores ∆j y Sj introducidos en las preliminares del teorema T1. Elegimos unafuncion radial suave con valores reales Φ con soporte compacto contenida en la bola unitaria

B(0, 12) que satisface

∫Rn

Φ(x)dx = 1 y definimos

Ψ(x) = Φ(x)− 2−nΦ(x

2

). (57)

Notemos que Ψ tiene valor medio cero. Definimos

Φ2−j(x) = 2njΦ(2jx) y Ψ2−j(x) = 2njΨ(2jx)

36

y observemos que ambas funciones, Φ y Ψ tienen soporte en B(0, 1) y son multiplos defunciones C∞c (Rn) normalizadas. Definimos entonces ∆j como el operador dado por la con-volucion con la funcion Ψ2−j y Sj el operador dado por la convolucion con la funcion Φ2−j .Por la igualdad (57) tenemos que ∆j = Sj − Sj−1. Teniendo en cuenta que

SjLSj = Sj−1LSj−1 + ∆jLSj + Sj−1L∆j,

para todo entero N < M , tenemos:

SMLSM − SN−1LSN−1 =M∑j=N

(SjLSj − Sj−1LSj−1) =M∑j=N

∆jLSj −M∑j=N

Sj−1L∆j. (58)

Hasta el final de la demostracion, fijaremos una funcion de Schwartz f cuya transformada deFourier tienda a cero en un entorno del orıgen; tales funciones son densas en L2. Quisieramosusar la proposicion 8.12, para concluir que

supM∈Z

supN<M

‖SMLSM(f)− SN−1LSN−1(f)‖L2 ≤ Cn(A2 +B4) ‖f‖L2 (59)

y que SMLSM(f) − SN−1LSN−1(f) → L(f) en L2 si M → ∞ y N → −∞. Una vez que

esto se haya probado, deducimos que L(f) = L(f). Para ver esto, es suficiente probar queSMLSM(f)−SN−1LSN−1(f) converge a L(f) debilmente en L2. En efecto, sea g otra funcionde Schwartz, entonces

〈SMLSM(f)− SN−1LSN−1(f), g〉 − 〈L(f), g〉 =

= 〈SMLSM(f)− L(f), g〉 − 〈SN−1LSN−1(f), g〉 . (60)

Primero probemos que el primer termino en (60) tiende a cero si M →∞. En efecto,

〈SMLSM(f)− L(f), g〉 = 〈LSM(f), SMg〉 − 〈L(f), g〉= 〈L(SM(f)− f), SM(g)〉+ 〈L(f), SM(g)− g〉 ,

y ambos terminos convergen a cero, donde SM(f)−f → 0 y SM(g)−g tiende a cero en S, Les continua de S en S ′ y toda seminorma de Schwartz de SM(g) esta acotada uniformementeen M .El segundo termino en (60) es 〈SN−1LSN−1(f), g〉 = 〈LSN−1(f), SN−1(g)〉. Como f tienesoporte lejos del origen, SN(f)→ 0 en S si N → −∞. Para la continuidad de L, LSN−1(f)→0 en S ′ y toda seminorma de Schwartz de SN−1(g) son acotadas uniformemente en N ,concluımos que el termino 〈LSN−1(f), SN−1(g)〉 tiende a cero si N → −∞. Por lo tanto

concluımos que L(f) = L(f).Queda por probar (59). Definimos ahora

Lj = ∆jLSj y L′j = Sj−1L∆j

para j ∈ Z. Por la convergencia de las sumas de Riemann a la integral definida por f ∗Φ2−j

en la topologıa de S, tenemos

(L(f ∗ Φ2−j) ∗Ψ2−j)(x) =

∫Rn〈L(τ y(Φ2−j)), τ

x(Ψ2−j)〉 f(y)dy,

donde τ y(g)(u) = g(u− y). Ası, el nucleo Kj de Lj es

Kj(x, y) = 〈L(τ y(Φ2−j)), τx(Ψ2−j)〉

37

y el nucleo K ′j de L′j es

K ′j(x, y) = 〈L(τ y(Ψ2−j)), τx(Φ2−(j−1))〉 .

El plan es probar que

|Kj(x, y)|+ 2−j |∇Kj(x, y)| ≤ Cn(A+B4)2nj(1 + 2j |x− y|)−n−δ (61)

indicando que es valida una estimacion analoga para K ′j(x, y). Una vez establecida (61),junto con las condiciones

Lj(1) = ∆jLSj(1) = ∆j(1) = 0, L′j(1) = Sj−1L∆j(1) = 0,

nos proporcionan la hipotesis de la proposicion 8.12. Rellamando (58), la conclusion es laecuacion (59).Para probar (61) consideremos los siguientes dos casos: Si |x− y| ≤ 5.2−j, entonces la pro-piedad de acotacion debil nos da

|〈L(τ y(Φ2−j)), τx(Ψ2−j)〉| =

∣∣∣⟨L(τx(τ 2j(y−x)(Φ)2−j)), τx(Ψ2−j)

⟩∣∣∣ ≤ Cn ‖L‖WB 2jn,

donde Ψ y τ 2j(y−x)(Φ) tienen soporte contenido en B(0, 12)+B(0, 5) ⊆ B(0, 10), son multiplos

de funciones C∞c (Rn) normalizadas. Esto prueba la primera de las dos estimaciones en (61)cuando |x− y| ≤ 5.2−j.Ahora es el turno para el caso |x− y| ≥ 5.2−j. Entonces las funciones τ y(Φ2−j) y τx(Ψ2−j)tienen soportes disjuntos, y por eso tenemos la representacion integral

Kj(x, y) =

∫Rn

∫Rn

Φ2−j(v − y)K(u, v)Ψ2−j(u− x)dudv.

Usando que Ψ tiene valor medio cero, podemos escribir la expresion previa como∫Rn

∫Rn

Φ2−j(v − y)(K(u, v)−K(x, v))Ψ2−j(u− x)dudv.

Observemos que |u− x| ≤ 2−j y |v − y| ≤ 2−j en la integral anterior. De |x− y| ≥ 5.2−j,tenemos que |u− v| ≥ |x− y| − 2.2−j, esto implica que |u− x| ≤ 1

2|u− v|. Luego

|K(u, v)−K(x, v)| ≤ A|x− u|δ

|u− v|n+δ≤ Cn,δA

2−jδ

|x− y|n+δ.

Insertando esta estimacion en la doble integral anterior, obtenemos la primer estimacion en(61). La segunda estimacion en (61) se prueba similarmente.

Observacion. Un operador T es un operador de Calderon-Zygmund (generalizado) si

(i) T es acotado en L2(Rn),

(ii) Existe un nucleo estandar K tal que para f ∈ L2 con soporte compacto,

Tf(x) =

∫RnK(x, y)f(y)dy, x /∈ sop(f)

Consideremos el siguiente teorema:Sea T un operador acotado en L2(Rn), y sea K una funcion en RnXRn∆ tal que si

f ∈ L2(Rn) tiene soporte compacto entonces

38

Tf(x) =

∫RnK(x, y)f(y)dy, x /∈ sop(f).

Mas aun, supongamos que K tambien satisface∫|x−y|>2|y−z|

|K(x, y)−K(x, z)| dx ≤ C,

∫|x−y|>2|x−w|

|K(x, y)−K(w, y)| dy ≤ C.

Entonces T es debil (1, 1) y fuerte (p, p), 1 < p <∞.Este implica que el operador de Calderon-Zygmund es acotado en Lp, 1 < p < ∞, y es

debil (1, 1). Por lo tanto, dado un operador con nucleo estandar, el problema se reduce ademostrar que es acotado en L2.

La importancia del teorema T1 es que si T1 ∈ BMO, T t1 ∈ BMO y T es WBPentonces es acotado en L2 por lo que es acotado en Lp, 1 < p <∞, y es debil (1, 1).

39

Referencias

[1] M. Cotlar, A combinatorial inequality and its applications. Rev. Mat. Cuyana1 (1955), 41–55.

[2] E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real Variable Methods, Orthogonality andOscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993.

[3] B. Szokefalvi-Nagy, Note on sums of almost orthogonal operators. Acta Sci.Math. Szeged 18 (1957), 189–191.

[4] E. M. Stein and A. W. Knapp, Intertwining operators for semi-simple groups.Ann. of Math. 93 (1971), 489–578.

[5] A. P. Calderon and R. Vaillancourt, A class of bounded pseudodifferentialoperators. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 69 (1972), 1185–1187.

[6] R. R. Coifman and Y. Meyer, Au dela des operateurs pseudodifferentiels.Asterisque 57, (1978).

[7] J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis. Translated by David Curz-Uribe, SFO.

[8] L. Grafakos, Modern Fourier Analysis.

[9] I. Daubechies, Different Perspectives on Wavelets. American MathematicalSociety Short, (1993).

[10] Alberto Torchinsky, Real-Variable Methods in Harmonic Analysis. AcademicPress, (1986).

[11] , rev. de la Union Matematica Argentina. Volumen 34 (1988), 1 - 5.

[12] John Horvath, Encounter with Mischa Cotlar. Volumen 56, number 5, 616 -620.

[13] Eduardo Lima de Sa y Lazaro Recht, Mischa Cotlar, Notas biograficas y bi-bliografia. Asociacion Matematica Venezolana, Boletın, Vol 1, nro. 1 (1994),75 - 81.

[14] M. Cotlar, Notas de los cursos dictados en el IAM. En el ano 2005.

[15] G. Corach y E. Andruchov, Notas de analisis funcional (1997).

[16] J. Conway, A course in functional analysis. Springer (1985).

[17] D. Stojanoff, Un curso de analisis funcional. Preprint.

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