Trabajo Final Analisis Estructural de Cables

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CORDOBA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES

Trabajo Final

Analisis Estructural de Cables, HerramientaComputacional y Aplicaciones

Ingeniera Civil - Plan 88

Asesor: Dr. Ing. Jose A. Inaudi

Marcos P. Barberis

Octubre 2001

iii

Analisis Estructural de Cables,Herramienta Computacional y

Aplicaciones

Resumen

Se presentan los conceptos teoricos fundamentales para el analisis estructural de cables y sus apli-caciones. Se comparan metodos con distinto grado de aproximacion y generalidad disponibles paraesta clase de problemas.Se desarrolla una herramienta de calculo versatil y expandible, que permiteel estudio del comportamiento no lineal geometrico de cables y estructuras reales que incorporaneste tipo de elemento. Se realiza una breve descripcion del entorno de trabajo SAT-Lab, la he-rramienta de analisis estructural tomada como marco para la implementacion de la programaciondesarrollada. Se destacan las funciones que facilitan la generacion de modelos computacionales, loque permite mostrar a traves de ejemplos las principales caractersticas de la respuesta estatica ydinamica de estructuras como torres arriostradas, puentes atirantados y colgantes. Se describen losalgoritmos que permiten una solucion eficiente de los problemas planteados.

Agradecimientos

Quiero expresar mi mas sincero agradecimiento:

Al Dr. Jose A. Inaudi, docente asesor de este trabajo, por interesarme en el tema de estu-dio y su asistencia permanente en en el desarrollo de la programacion.

Al Dr. Fernando Flores por atender mis consultas sobre metodos numericos.

A mi hermano Franco Barberis, por su colaboracion en la preparacion del texto, y las ilus-traciones.

Indice General

Resumen iii

Indice de figuras vii

1 Introduccion 11.1 Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Organizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Conceptos Fundamentales 52.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 La Catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 La Catenaria como Solucion a un Problema Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Solucion Parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 El Cable Elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Respuesta a Cargas Puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Solucion de las Ecuaciones de Equilibrio Estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Estatica del Cable Suspendido 173.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 El Perfil Parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 El Perfil de un Cable Tenso Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Influencia de la Rigidez Flexional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Respuesta a una Carga Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Graficos para el Tiro Adicional h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.2 Solucion Linealizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.3 Cable Tirante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Respuesta a una Carga Uniformemente Distribuida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.6 Analisis va Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6.1 Elemento de barra equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6.2 Modelo de multiples elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6.3 Elemento finito derivado del metodo de los desplazamientos . . . . . . . . . . 303.6.4 Elemento derivado de la ecuacion exacta de la catenaria . . . . . . . . . . . . 32

4 Funciones para el Entorno de Trabajo SAT-Lab 354.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Breve Descripcion de SAT-Lab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Funciones para el Analisis de Estructuras con Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4 Ejemplo: Construccion de un modelo estructural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Aplicaciones 455.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Estatica de una Torre Arriostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.3 Puentes Atirantados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Puentes Colgantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.5 Metodos de Solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.5.1 Metodo de Solucion para Problemas Estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

v

vi INDICE GENERAL

5.5.2 Metodo de Relajacion y Problemas Dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6 Dinamica del Cable Suspendido 556.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2 Teora Lineal de Vibraciones Libres de un Cable Suspendido . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1 Movimiento Fuera del Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.2.2 Movimiento En el Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Vibraciones Libres de un Cable Inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4 Analisis por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4.1 Ejemplo de aplicacion: modos de vibrar de una torre arriostrada . . . . . . . 60

7 Conclusiones 67

Bibliografa 70

Indice de Figuras

1.1 Puente colgante en Simo, Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Antiguo puente colgante en Gran Bretana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 H/W vs. l/L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Relacion de aspecto l/L0 vs. d/l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Parametro de Irvine vs. d/l para distintos angulos de inclinacion . . . . . . . . . . 203.3 Influencia en la flecha de la rigidez flexional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Relacion h/P para cables horizontales con carga en el centro de la luz vs. 2 . . . . 253.5 Relacion h/P para cables horizontales con carga en el cuarto de la luz vs. 2 . . . . 263.6 Solucion linealizada para h/P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 h/P para un cable tenso con carga en el centro y en el cuarto . . . . . . . . . . . . . 283.8 Carga en el decimo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.9 Carga en los dos decimos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10 Carga en los cuatro decimos central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.11 Carga en los seis decimos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.12 Carga en los ocho decimos central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.13 Carga en toda la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1 Ploteo de la estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Ejemplo de solucion de problemas estaticos: deformada de la estructura . . . . . . . 44

5.1 Esquema muy simple de una torre arriostrada, con cables relativamente sueltos . . . 465.2 Torre bajo la accion de una carga horizontal en el extremo superior . . . . . . . . . . 465.3 Rigidizacion de la torre, L0/L = 1.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4 Idem anterior, L0/L = 1.001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.5 Puente atirantado Sunshine, Tampa Bay, Florida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.6 Esquema de un puente de atirantado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.7 Deformada exagerada de un puente de atirantado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.8 Puente colgante Akashi Kaiko, Japon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.9 Esquema simple de un puente colgante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.10 Modelo de torre multiplemente arriostrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.11 Solucion obtenida por el metodo de relajacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.1 Primeros 5 modos de vibracion antisimetricos en el plano. (w en lnea discontinua) . 616.2 Las 5 primeras formas antisimetricas de tension adicional h . . . . . . . . . . . . . . 626.3 Formas posibles para la componente vertical del primer modo simetrico en el plano. 636.4 Formas posibles para la componente vertical del segundo modo simetrico en el plano. 646.5 Los dos primeros modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos . . . 646.6 Tercer y cuarto modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos . . . . 656.7 Los dos primeros modos de un cable inclinado 45 calculados por elementos finitos . 656.8 Tercer y cuarto modos de un cable inclinado 45 calculados por elementos finitos . . 656.9 Los dos primeros modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas . . 666.10 Tercer y cuarto modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas . . 66

vii

viii INDICE DE FIGURAS

Captulo 1

Introduccion

1.1 Motivacion

La seleccion del tema surge como propuesta del docente asesor 1 de este trabajo, como una opor-tunidad para aprender sobre una materia no cubierta por los cursos regulares de estructuras de lacarrera de ingeniera civil.

Construir modelos computacionales simples de estructuras reales, como las que se muestran enlas figuras 1.1 y 1.2, para el analisis de su comportamiento representa un desafo interesante ymotivo la tarea de programacion realizada.

Figura 1.1: Puente colgante en Simo, Japon

1.2 Objetivos

Comprender los conceptos fundamentales relativos al comportamiento no lineal geometrico deun cable suspendido y estructuras que cuentasn con este tipo de elemento.

1Dr. Ing. Jose A. Inaudi

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Figura 1.2: Antiguo puente colgante en Gran Bretana

Presentar una comparacion entre metodos con distinto grado de aproximacion, generalidad ycosto computacional.

Desarrollar una herramienta de calculo versatil y expandible que permita una solucion eficien-te.

Estudiar algunos esquemas simplificados de estructuras reales como aplicacion practica deltrabajo de programacion realizado.

1.3 Organizacion

Siguiendo la secuencia teora implementacion computacional aplicaciones, el material de estetrabajo se ha organizado de la siguiente forma:

En el captulo 2 se exponen los conceptos fundamentales relativos tanto al cable inextensiblecomo al elastico. Se obtienen las expresiones para el cable suspendido bajo la accion del peso propio,y las que resultan de la aplicacion de fuerzas puntuales.

En el captulo 3 se tratan problemas de la estatica, comparando los resultados aproximados delcable parabolico [14], y metodos simplificados de solucion con los resultados del captulo anterior.Se estudian ademas una serie de modelos de elementos finitos derivados de la teoria expuesta [14],[15].

En el captulo 4 se presenta la caja de herramientas 2 SAT -Lab, 3 creada para analisis deestructuras.

El captulo 5 contiene el estudio del comportamiento no lineal de estructuras que cuentan concables entre sus elementos, como torres arriostradas , puentes atirantados y colgantes. En todos loscasos los modelos son extremadamente simples, para no distraer con detalles que no son motivo deesta trabajo.

El captulo 6 se dedica al estudio de la dinamica del cable suspendido, y como en el anterior, serealizan algunas simplificaciones en las ecuaciones generales para poder obtener soluciones analticas

2MatLab ToolBox, conjunto de funciones o subrutinas agrupadas por tema3Juan C. de la Llera y Jose A. Inaudi

1.3. ORGANIZACION 3

[14], las que se comparan con resultados del metodo de elementos finitos.En los captulos precedentes, al finalizar la presentacion de cada tema, se encuentra una breve

referencia a las funciones de Matlab empleadas, como una manera de introducir paulatinamente elconjunto de funciones desarrolladas.

Por ultimo, en el captulo 7 se escriben las conclusiones y algunas ideas para trabajos futuros.

4 CAPITULO 1. INTRODUCCION

Captulo 2

Conceptos Fundamentales

2.1 Introduccion

El proposito de este captulo es presentar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de uncable suspendido bajo la accion de su peso propio. Para la preparacion de este trabajo se ha tomadocomo referencia principal el libro de Irvine: Cable Structures. Para comenzar se apela al caso massecillo: el cable se asume inextensible y los soportes se encuentran al mismo nivel. Luego se considerael caso de extremos a distinta altura, y se obtienen ademas las expresiones parametricas para lascoordenadas cartesianas. En todos los casos, el tradicional ejemplo de problema isoperimetricodel calculo de variaciones se emplea como punto de partida para la obtencion de las ecuacionesde equilibrio. Dentro de este marco se incorpora la ley de Hooke para analizar el cable elastico.Finalmente, se considera la respuesta frente a la aplicacion de cargas concentradas. Siguiendo eldesarrollo del texto se presentaran las funciones de Matlab, el software elegido para implementaciondel material de este trabajo, con las que se obtienen los resultados de cada seccion. Por razones declaridad y espacio, el cable se estudia en el plano (x, z), la extension a tres dimensiones es directay de esta manera se encuentra en la programacion desarrollada.

2.2 La Catenaria

En esta seccion se presenta la formulacion clasica del cable inextensible, que puede encontrarse, conligeras variaciones, en los libros de Irvine, Rekach y Timoshenko mencionados en la bibliografa.

Se analiza en este punto la curva resultante y otras propiedades de un cable o cadena uniformeinextensible, que se encuentra suspendido entre dos puntos fijos ubicados al mismo nivel. Se des-precia la rigidez flexional del cable y se asume ademas que solo puede soportar fuerzas de traccion.Considerando el equilibrio vertical de un elemento de cable aislado ubicado en (x, z), se requiereque:

d

ds

(Tdz

ds

)= mg, (2.1)

donde T es la traccion en el cable, dz/ds es el seno del angulo subtendido por la tangente a la curvaformada por el mismo respecto a la horizontal, y mg es el peso propio por unidad de longitud. Elequilibrio horizontal del elemento conduce a:

d

ds

(Tdx

ds

)= 0. (2.2)

La ecuacion (2.2) puede ser integrada directamente resultando:

Tdx

ds= H, (2.3)

donde H es la componente horizontal de la traccion en el cable, que resulta una constante para todopunto, dado que no existen cargas longitudinales actuando. Por otro lado (2.1) puede expresarse:

Hd2z

dx2= mg

ds

dx, (2.4)

5

6 CAPITULO 2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

donde puede notarse que cuando mgds/dx, la intensidad de carga por unidad de longitud, esconstante, la curva resultante es una parabola. Para cables de baja flecha esta es una aproximacionrazonable y simplifica considerablemente la la solucion del problema, tal como se vera en el proximocaptulo.

Dado que debe satisfacerse la siguiente restriccion geometrica:(dxds

)2+(dzds

)2= 1, (2.5)

y la ecuacion diferencial de la catenaria resulta entonces:

Hd2z

dx2= mg

[1 +

(dzdx

)2] 12. (2.6)

Para la solucion de esta ecuacion resulta conveniente escribirla en la forma:

dz1 + z2

=mg

Hdx, (2.7)

donde z = dz/dx, y puede integrarse directamente resultando:

emgH (x+c1) = z +

1 + z2. (2.8)

Notando que:

emgH (x+c1) = z +

1 + z2, (2.9)

y restando (2.9) de (2.8) se obtiene:

z =12

(emgH (x+c1) emgH (x+c1)

)= sinh

mg

H(x+ c1). (2.10)

Finalmente, la expresion para z(x) se obtiene al integrar la ecuacion anterior:

z + c2 =H

mgcosh

(mgH

(x+ c1)), (2.11)

en la que incorporando las condiciones z(0) = z(l) = 0 (extremos el mismo nivel) resulta:

z =H

mg

[ cosh mgl

2H+ cosh

mg

H

(x l

2

)]. (2.12)

La expresion para la longitud del tramo de cable es:

s =

x0

[1 +

(dzdx

)2] 12dx =

H

mg

[sinh

(mgl2H

) sinh mg

H

( l2 x

)], (2.13)

resultando que, si un cable de longitud L0 es usado para cubrir la distancia entre soportes, lacomponente horizontal H de la traccion en el cable puede encontrarse resolviendo la ecuacion:

sinh(mgl2H

)=

mgL02H

, (2.14)

asumiendo conocidos los valores de mg y l. Mientras no se relaje la condicion de inextensibilidad,no existe solucion si L0 no es mayor que l. La traccion en cualquier punto es:

T = H coshmg

H

( l2 x

). (2.15)

Para concluir con este punto, cabe notar que cuando la longitud del cable es escasamente superior ala luz mgl/H es una cantidad pequena en comparacion con la unidad. Sustituyendo en la ecuacion(2.14) la funcion hiperbolica por su desarrollo en serie de potencias (y despreciando terminos deorden superior) se obtiene la ecuacion de una parabola, la que resulta una muy buena aproximacionen cables de flecha reducida. De acuerdo con lo anterior puede escirbirse:

mgl

2H+16

(mgl2H

)3=

mgL02H

, (2.16)

2.3. LA CATENARIA COMO SOLUCION A UN PROBLEMA VARIACIONAL 7

de donde, introduciendo la notacion = H/W , = l/L0 con W = mgL0 puede derivarse una so-lucion aproximada para la componente horizontal de la traccion:

=32

24(1 ) , (2.17)

la que produce buenos resultados en el rango 0.8 < 1. Resulta evidente en esta expresion que cuando 1. En la figura 2.1 se comparan los valores producidos por la aproximacion(2.17) y la solucion exacta de (2.14).

Figura 2.1: H/W vs. l/L0

2.3 La Catenaria como Solucion a un Problema Variacional

Se presenta en este apartado una forma alternativa de derivar las ecuaciones de la catenaria. Elcable se supone inextensible y de rigidez flexional nula, con apoyos a distinto nivel. Se trata deencontrar la curva que minimiza la energa potencial gravitacional Vg, sujeta a la restriccion demantener una longitud prefijada. En coordenadas cartesianas la expresion para la energa es:

Vg =

lbla

mgz1 + z2dx =

lbla

F (x, , z, z)dx. (2.18)

Por la condicion de inextensibilidad debe satisfacerse la restriccion:

G(x, z, z) =

lbla

1 + z2dx L0 = 0, (2.19)

donde la y lb son las proyecciones horizontales de las distancias del punto con tangente horizontal,en la curva del cable, a los extremos. Entonces puede escribirse el funcional extendido del problemaisoperimetrico como:

I(x, z, z) =

lbla

[mgz

1 + z2 +

(1 + z2 L0

lb + la

)]dx, (2.20)

donde es el multiplicador de Lagrange. La solucion de (2.20) se encuentra a partir de la ecuacionde Euler:

d

dx

(FEz

) FE

z= 0 (2.21)

donde FE = F + G. Desarrollando se obtiene:

(mgz + )z mg(1 z2) = 0. (2.22)


La forma del segundo termino sugiere la sustitucion:

z = sinh(ax), (2.23)

que implica adoptar como origen de abcisas (x = 0), un punto con tangente horizontal; mientrasque a es una constante a determinar. Incorporando la condicion z(0) = 0, puede escribirse:

z(x) =1a[cosh(ax) 1], (2.24)

z(x) = a cosh(ax), (2.25)

lo que permite obtener a = mg/. Para completar la solucion falta encontrar la expresion para elmultiplicador de Lagrange. este se deriva de la ecuacion de restriccion:

L0 =

lbla

1 + z2dx =

mg

[sinh

(mglb

)+ sinh

(mg(l lb)

)], (2.26)

donde se reemplazo la = l lb. Designando z(la) = fa y z(lb) = fb, valores en los extremos delcable y haciendo h = fa fb, pueden plantearse las ecuaciones para la determinacion de las dosincognitas restantes, lb y fb:

l =

mg

[cosh1

(mg(h+ fb)

+ 1)+ cosh1

(mgfb

+ 1)], (2.27)

h =

mg

[cosh

(mg(l lb)

) cosh

(mglb

)]. (2.28)

Entonces la solucion del problema de la catenaria inextensible con soportes a distinto nivel requiereresolver un sistema de tres ecuaciones no lineales. Por ultimo, corresponde aclarar que la ecuacionde la catenaria z(x) esta definida para la x lb y puede ser la > 0 y/o lb < 0, en los casosen que no existe en el cable un punto de tangente horizontal, como ocurre en la mayora de lasaplicaciones estructurales de cables inclinados.

2.3.1 Solucion Parametrica

Para muchas aplicaciones resulta conveniente expresar las coordenadas del cable en la forma (x(s), z(s)),donde s es la coordenada lagrangiana que barre la longitud del cable (0 s L0). Entonces, elfuncional a minimizar se expresa:

I(s, x, z, x, z) =

L00

{mgz +

(2

)[(dxds

)2+(dzds

)2 1

]}ds, (2.29)

donde el multiplicador de Lagrange se escribio /2 por conveniencia y las primas denotan derivadasrespecto a s. Las ecuaciones de Euler conducen directamente a las ecuaciones de equilibrio estatico:

d

ds

(dx

ds

)= 0, (2.30)

d

ds

(dz

ds

)= mg, (2.31)

las que pueden escribirse alternativamente:

dx

ds= H, (2.32)

2.3. LA CATENARIA COMO SOLUCION A UN PROBLEMA VARIACIONAL 9

dz

ds= V +mgs, (2.33)

de donde se deriva que:

(s) = T (s) =H2 + (V +mgs)2. (2.34)

Sustituyendo (2.34) en (2.32) y (2.33) se obtiene:

dx

ds=

HH2 + (V +mgs)2

, (2.35)

dz

ds=

V +mgsH2 + (V +mgs)2

. (2.36)

Para la integracion de estas ecuaciones diferenciales se emplean las formulas:dx

ax2 + bx+ c=

1aln(2aax2 + bx+ c+ 2ax+ b

), (2.37)

xdx

ax2 + bx+ c=ax2 + bx+ c

a b2a

dx

ax2 + bx+ c, (2.38)

y las expresiones para las coordenadas cartesianas de la curva descripta por el cable son:

x(s) =H

mg

[ln(T (s) +mgs+ V

) ln

(T (0) + V

)], (2.39)

z(s) =1mg

(T (s) T (0)

). (2.40)

Los valores desconocidos de H y V se obtienen de las ecuaciones (2.39) y (2.40) junto con lascondiciones de borde x(L0) = l y z(L0) = h. Si se desigan con los subndices i, j los valoresrelativos a los extremos s = 0, s = L0 respectivamente, el sistema de ecuaciones no lineales aresolver es:

l =H

mg

[ln(Tj +W + V )

) ln(Ti + V )], (2.41)

h =1mg

(Tj Ti

). (2.42)

La funcion para Matlab que resuelve este problema es cbf0i.m.

Matlab f0=cbf0i(xyzi, xyzj, props [, f0ap])xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.

props = [E A Lo mg eo so], propiedades materiales y geometricas del cable.

E, A, eo y so no son utilizadas por esta funcion.

f0ap = [Hxap Hyap Vap] aproximacion inicial (opcional).

fo = [Hx Hy V], acciones del cable en el nodo i.

Para obtener las coordenadas de la curva que forma el cable inextensible en su posicion de equilibriose desarrollo la funcion cbinext.m.


Matlab XYZ=cbinext(f0, s, xyzi, xyzj, props)fo = [Hx Hy V], acciones del cable en el nodo i.

s = [s0 s1 ... sN], puntos donde se valuara la funcion.

xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.


E, A, eo y so no son utilizadas por esta funcion.

XYZ = [x0 ... xN; y0 ... yN; z0 ... zN], coordenadas cartesianas de los puntos requeridos.

Nota: Los parametros de entrada y salida que figuran entre corchetes son opcionales.Cabe aclarar que en la programacion se resuelve el problema en tres dimensiones para abarcar

un mayor numero de aplicaciones. Como la ecuacion que falta para la coordenada horizontal y noaporta ninguna informacion adicional, se ha optado por omitirla, para no entorpecer la presentacionde la teora.

2.4 El Cable Elastico

En esta seccion se trata la respuesta estatica de un cable suspendido de dos soportes fijos que no seencuentran necesariamente al mismo nivel. El cable tiene una seccion transversal constante cuandose encuentra descargado y esta compuesto por un material homogeneo y linealmente elastico. Lascoordenadas cartesianas que describen el perfil deformado se obtienen como funcion de una unicavariable independiente convenientemente tomada como la coordenada lagrangiana asociada al perfilno deformado, la longitud de cable inextensible entre el soporte origen y un punto cualquiera, de lamisma forma que en 2.3.1. Estas expresiones contienen como incognitas las reacciones horizontaly vertical en el apoyo de partida (i, s = 0), valores que pueden ser determinados resolviendo unsistema no lineal de dos ecuaciones planteado a partir de las condiciones de borde. El cable cuelgade dos puntos fijos I y J (nodos extremos del elemento) de coordenadas cartesianas (0, 0) y (l, h),respectivamente. Entonces la luz cubierta por el cable es l, y la diferencia de nivel entre soporteses h. La longitud indeformada del cable es L0 y no es necesario que sea mayor que (l2 + h2)

12 ,

sin embargo, no puede ser mucho menor para no violar la ley de Hooke. Un punto cualquiera enel cable tiene coordenada lagrangiana s en la curva de equilibrio estatico para el cable inextensible(la longitud desde el origen hasta este punto cuando el cable se encuentra descargado). Bajo laaccion del peso propioW (= mgL0) este punto se desplaza a su nueva posicion en el perfil deformadodescrito por las coordenadas cartesianas x y z y la coordenada lagrangiana p.

Recurriendo nuevamente al enfoque variacional para la deduccion de las ecuaciones, la energapotencial V del sistema se compone ahora de dos terminos, energa de deformacion Ve y la variacionde la energa gravitacional Vg respecto al estado inextensible:

Ve =

L00

12EA

(dpds 1

)2ds, (2.43)

Vg =

L00

mg(z z)ds, (2.44)

donde z es la coordenada correspondiente del cable inextensible. La ecuacion de restriccion en estecaso es:

G(x, z, p) =

(dxds

)2+(dzds

)2 dpds

= 0. (2.45)

El funcional a minimizar resulta entonces:

I(s, x, y, p, x, y, p) =

L00

{12EA

(dpds 1

)2mg(z z) +

[((dxds

)2+(dyds

)2 dpds

]}ds,

(2.46)

2.4. EL CABLE ELASTICO 11

y la ecuacion de Euler correspondiente para la variable p es:

d

ds

(FEp

)=

d

ds

[EA

(dpds 1

)

]= 0, (2.47)

de donde surge que el multiplicador de Lagrange es igual a la traccion en el cable ( una constantearbitraria), ya que la ecuacion anterior no es otra cosa que la ley de Hooke:

(s) = T (s) = EA(dpds 1 0

). (2.48)

Escrita de esta forma, la constante representa una deformacion inicial, elongacion o contraccionuniforme a lo largo del cable. Esto permite incorporar al analisis el efecto de variaciones en latemperatura, haciendo 0 = T , donde es el coeficiente de expansion termica. Por otro lado:

d

ds

(

xx2 + z2

)= 0 (2.49)

conduce como antes a:

x

x2 + z2= H, (2.50)

y analogamente:

d

ds

(

zx2 + z2

)= mg (2.51)

expresa que

z

x2 + z2= V +mgs. (2.52)

Las ecuaciones (2.49) y (2.51) junto con (2.45) permiten eliminar el multiplicador de Lagrange a lavez que dan la expresion para la traccion en el cable:

2 = H2 + (V +mgs)2. (2.53)

Reemplazando (2.53) en (2.51) y (2.52) e incorporando la ley de Hooke resulta:

dx

ds=

H

EA+

HH2 + (V +mgs)2

(1 + 0), (2.54)

dz

ds=

V +mgsEA

+V +mgs

H2 + (V +mgs)2(1 + 0). (2.55)

Para la integracion de estas ecuaciones se procede como en el caso anterior y se obtienen las expre-siones para las coordenadas cartesianas de la curva descripta por un cable elastico bajo la accionde su peso propio:

x(s) =Hs

EA+

H

mg

[ln(T (s) +mgs+ V

) ln

(T (0) + V

)], (2.56)

z(s) =mgs

EA

( Vmg

s2

)+

1mg

(T (s) T (0)

). (2.57)

Como antes, los valores desconocidos de H y V se encuentran de las ecuaciones anteriores haciendouso de las condiciones de borde x(L0) = l y z(L0) = h. La funcion cbf0.m resuelve el sistema:

l =HL0EA

+H

mg

[ln(Tj +W + V

) ln(Ti + V )], (2.58)


h =LoEA

(V +

W

2

)+

1mg

(Tj Ti

). (2.59)

Matlab f0=cbf0(xyzi, xyzj, props [,f0ap])xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.


f0ap = [Hxap Hyap Vap], aproximacion inicial (opcional).


Para un conjunto discreto de valores de s se pueden obtener las coordenadas correspondientes dela curva con la funcion cbelast.m.

Matlab XYZ=cbelast(f0, s, xyzi, xyzj, props)fo = [Hx Hy V], acciones del cable en el nodo i.




XYZ = [x0 x1 ... xN; y0 y1 ... yN; z0 z1 ... zN], coordenadas cartesianas de los puntos reque-

ridos.

Si bien resulta de poco interes resolver problemas de cables aislados como los que se presentanaqu, estas funciones se emplean en la construccion del elemento de cable con el que se puedenanalizar modelos de estructuras reales mas complejas.

2.5 Respuesta a Cargas Puntuales

Se obtienen en este apartado las expresiones para las coordenadas de los puntos de un cable elasticosometido a la accion de fuerzas concentradas, tanto verticales como horizontales, y como en loscasos anteriores, el sistema de ecuaciones correspondiente al tiro horizontal y a la reaccion verticalen el soporte.

Las ecuaciones de equilibrio para un punto s en el interior del cable deformado son:

Tdx

dp= H

ki=0

Fxi, (2.60)

Tdz

dp= V +mgs

ki=0

Fzi, (2.61)

donde k se elige de manera que s se ubique entre sk y sk+1 para n = 0, 1, . . . , N + 1. Los extremosson s0 = 0 y sN+1 = L0. Las fuerzas externas Fi se descomponen segun las direcciones de losejes coordenados en Fxi y Fzi. Se aplican N cargas y se define F0 = 0, con lo que los resultadosgenerales incluiran el caso del cable bajo peso propio (cuando N = 0, se obtienen los resultados dela catenaria elastica). Por condiciones de borde se toman x = z = 0 para s = 0 y x = l y z = h paras = L0, iguales a las precedentes. Las condiciones de compatibilidadd en los puntos de aplicacionde las cargas concentradas son:

xn = x+n , z

n = z

+n , p

n = p

+n , para s = sn, (2.62)

para n = 1, 2, . . . , N . Donde xn = lim0 x(sn ), > 0, y as sucesivamente.Los detalles restantes de la deduccion de la solucion no requieren mayores comentarios dado

que se sigue un procedimiento identico al ya expuesto en este captulo. Solo cabe destacar larelacion de recurrencia que surge para las constantes de integracion como resultado de las condiciones

2.5. RESPUESTA A CARGAS PUNTUALES 13

de compatibilidad en cada punto de carga. Para poder presentar una solucion sintetica resultaconveniente introducir las siguientes funciones auxiliares:

Sxk = H k

i=0

Fxi, (2.63)

Syk = V k

i=0

Fxi, (2.64)

Tk(s) =[S2xk + (Szk +mgs)

2] 12, (2.65)

para k = 0, 1, . . . N , Rx0 = Rz0 = 0 y

Rxk =Sxk+1sk+1

EA

+ Sxk+1{ln[Tk+1(sk+1) +mgsk+1 + Szk+1

] ln[T0(0) + V ]} (1 + 0)mg

Sxksk+1EA

Sxk{ln[Tk(sk+1) +mgsk+1 + Szk

] ln[T0(0) + V ]} (1 + 0)mg

,

(2.66)

Rzk =(Szk+1 Szk)sk+1

EA+[Tk+1(sk+1) Tk(sk+1)

] (1 + 0)mg

, (2.67)

para k = 1, . . . N . Las ecuaciones de las coordenadas para sk s sk+1 resultan:

x(s) = Skx{ln[Tk(s) +mgs+ Szk

] ln[T0(0) + V ]} (1 + 0)mg

+Skxs

EARxk,

(2.68)

z(s) =2Szks+mgs2

2EA+[Tk(s) T0

] (1 + 0)mg

Rzk, (2.69)

Las ecuaciones (2.68) y (2.69) constituyen la solucion exacta para la respuesta estatica de uncable elastico bajo peso propio y N cargas concentradas en cada direccion cartesiana. Para N = 0,se obtienen los resultados anteriores, como era de esperar. Para este problema se desarrollo lafuncion cbelastcp.m.

Matlab XYZ=cbelastcp(f0, s, xyzi, xyzj, props, sp, Fx, Fy, Fz)fo = [Hx Hy V], acciones del cable en el nodo i.




sp = [sp0 sp1 ... spM], puntos donde se aplican cargas concentradas.

Fx, Fy, Fz, fuerzas aplicadas.

XYZ = [x0 x1 ... xN; y0 y1 ... yN; z0 z1 ... zN], coordenadas cartesianas de los puntos reque-

ridos.

Extender estos resultados al caso inelastico no presenta mayores dificultades, ya que como se vioanteriormente solo se diferencian por la presencia del termino que contiene EA y el factor (1 + 0).

Las incognitas H y V se determinan de la misma forma que en los casos ya presentados, fijan-do las condiciones de borde para L0: x(L0) = l y z(L0) = h. La funcion para esta tarea es cbf0cp.m.


Matlab f0=cbf0cp(xyzi, xyzj, props, Fx, Fy, Fz [,f0ap])xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.



f0ap = [Hxap Hyap Vap], aproximacion inicial (opcional).


En la siguiente seccion se presentan algunos comentarios sobre la implementacion computacionalde los metodos empleados para resolver las ecuaciones planteadas en este captulo.

2.6 Solucion de las Ecuaciones de Equilibrio Estatico

Antes de describir los metodos empleados para la solucion de ecuaciones no lineales simultaneas,conviene mencionar algunos aspectos del marco de trabajo en que estos se implementan, dado quejustifican el formato elegido para la programacion.

En primer lugar, las funciones cbf0.m, cbf0i.m y cbf0cp.m, que son las que calculan Hx, Hyy V permiten que se les pase como parametro una aproximacion inicial a estos valores, necesariapara dar arranque a los algoritmos. Cuando se omite, se llama a la funcion auxiliar cbf0ap.m enlos dos primeros casos y a cbf0apcp.m en el ultimo, para calcularla.

Matlab f0=cbf0ap(xyzi, xyzj, props)xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.


fo = [Hx Hy V], valores aproximados para las acciones del cable en el nodo i.

Matlab f0=cbf0apcp(xyzi, xyzj, props, Fx, Fy, Fz)xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.



fo = [Hx Hy V], valores aproximados para las acciones del cable en el nodo i.

De esta forma, se libera al usuario de la tarea fastidiosa de proveer un valor inicial adecuado, queno puede derivarse directamente y por otro lado, se permite pasarlo cuando este valor se dispone,como por ejemplo, cuando resulta de la iteracion anterior de un algoritmo de aproximaciones suce-sivas. Esto mejora considerablemente la eficiencia de los metodos de solucion que requieren evaluarla matriz de rigidez tangente en cada paso, evitando empezar de cero cada vez, con las funcionesantes mencionadas.

Para la solucion de las ecuaciones del cable elastico se emplea el metodo de Newton, utilizandola expresion exacta de la matriz jacobiana en cada paso, debido a que resulta bien condicionaday relativamente facil de evaluar. Como paso previo, en cada iteracion se realiza una busquedaen lnea 1 inexacta, para determinar tamano del paso, lo que asegura la convergencia del metodoindependientemente de la aproximacion inicial.

El problema se plantea de manera que la solucion resulta de minimizar la funcion escalarf = 12r

T r, donde el vector r (residuo) es la diferencia entre el valor de la funcion en L0 para elvector de fuerzas:

F =[Hx Hy V

]T (2.70)y el valor prefijado. El vector d = J1r es la direccion de descenso calculada por el metodo deNewton, y J = dr/dF es la matriz jacobiana.

Por busqueda en lnea se entiende el problema de minimizar el valor de f a lo largo del rayo{F+ td, 0 < t < 1}. En la practica este procedimiento puede resultar muy costoso, debido a querequiere un gran numero de evaluaciones de la funcion, por lo que en su lugar se utiliza una busqueda

1Traduccion directa del ingles line search

2.6. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO ESTATICO 15

inexacta, que determina un valor de t capaz de producir un descenso considerado suficiente en lafuncion. El procedimiento que se describe a continuacion depende de dos constantes y talesque 0 < < 0.5 y 0 < < 1.

t = 1;

mientrasf(F+ td) > tf(F)Tdt = t;

fin

El valor de comunmente se toma entre 0.1 y 0.3, lo que significa que se acepta un descenso enf dentro del 10% y el 30% de la prediccion basada en la extrapolacion lineal. Por otro lado, losvalores tpicos de se encuentran entre 0.1 y 0.5. En este trabajo se usaron = 0.25 y = 0.5.La incorporacion de estas lneas divide al algoritmo en dos etapas, la primera se denomina faseamortiguada, para la que t < 1, y la segunda, fase pura, con t = 1 coincide con la implementacionclasica del metodo de Newton y posee, por supuesto, convergencia cuadratica.

En el caso del cable inextensible, dado que el problema no esta definido cuando la longitud delcable es menor que la distancia entre apoyos, y la fuerza horizontal tiende a infinito cuando estevalor se aproxima al primero, la matriz jacobiana puede no resultar bien condicionada en todos loscasos, por lo que se emplea el metodo de Broyden [2] 2, en el que se elimina la necesidad de calcularen cada paso esta matriz, empleando una actualizacion que la mantiene definida positiva. Esto es:

J1k+1 = J1k +

qkqTkqTk pk

J1k pkp

Tk J

1k

pTk J1k pk

, (2.71)

donde:

pk = tdk = Fk+1 Fk, (2.72)qk = f(Fk+1)f(Fk). (2.73)

Este ultimo paso se realiza sobre la factorizacion de Cholesky de la matriz (J1 = LtL), paramejorar la eficiencia del algoritmo llamando dos veces a la funcion de Matlab cholupdate.m.

Para el cable con cargas puntuales aplicadas, no se tiene una expresion analtica facil de evaluarde la matriz jacobiana, por lo que se la obtiene numericamente, empleando un esquema de dife-renciacion de precision O(h5); elegido para lograr una buena aproximacion inicial a la matriz. Lafuncion jacobiana.m es la que realiza esta tarea.

Matlab J=jacobiana(@fun, X, args)@fun, puntero a la funcion.

X, Vector para el que se evaluara la matriz jacobiana.

args = {{P1}, {P2}, ...} parametros requeridos por la funcion.

J, matriz jacobiana.

Dado que solo se realiza una vez, no tiene un peso importante en el desempeno global de lafuncion. En lo demas el algoritmo es identico al del cable inextensible.

2Tambien conocido como BFGS, Broyden, Fletcher, Goldfarb y Shanno.

Captulo 3

Estatica del Cable Suspendido

3.1 Introduccion

Revisando los resultados obtenidos en el captulo anterior, resulta claro que la solucion de problemasrelativos a un simple cable suspendido, es laboriosa debido a la necesidad de recurrir a metodosnumericos. Esta circunstancia no parece a priori un gran obstaculo, debido a la difusion que estastecnicas tienen en el area de ingeniera en la actualidad, sin embargo, la etapa de diseno preliminarrequiere metodos mas expeditivos. Con estos no solo se logra agilizar el proceso, sino que ademasse obtiene un mayor conocimiento de las magnitudes fsicas que participan del problema, con unaperdida de precision inconsecuente en esta instancia. Con este fin, se exponen en el presente captulolas simplificaciones que pueden realizarse en cables de flecha reducida, que son los que comunmentese encuentran en aplicaciones estructurales.

En su gran mayora, el material que se presenta en este captulo puede encontrarse en el librode Irvine Cable Structures. Debido a la trascendencia del trabajo de este autor en la materia,se lo ha tomado como referencia principal. Se destaca la definicion de variables adimensionalesque permiten expresar la ecuaciones en forma compacta, y la derivacion del parametro 2, defundamental importancia en la descripcion del comportamiento estructural de cables suspendidos.

3.2 El Perfil Parabolico

Considerese la curva formada por un cable suspendido de dos apoyos ubicados al mismo nivel, bajola accion de su propio peso. Si el perfil es muy tendido, de manera que la relacion entre la flechay la luz sea 1 : 8 o menor, la ecuacion diferencial que aproxima la condicion de equilibrio verticalpuede escribirse como:

Hd2z

dx2= mg, (3.1)

la que resulta de tomar ds/dx = 1 y permite obtener por integracion una expresion para z en funcionde x. Si se incorporan las condiciones de borde z(0) = z(l) = 0, la solucion es:

z(x) =mgl2

2Hx

l

(xl 1

). (3.2)

Introduciendo las variables adimensionales x = x/l y z = z/(mgl2/H), la ecuacion anterior pue-de expresarse:

z =12x(x 1). (3.3)

designando la flecha por d = z(l/2) 1, la componente horizontal de la traccion en el cable es:

H =mgl2

8d, (3.4)

1Por conveniencia la flecha se define positiva.

17

18 CAPITULO 3. ESTATICA DEL CABLE SUSPENDIDO

donde resulta claro que para la aplicacion de las teoras de este captulo debe ser H mgl, envirtud del lmite impuesto a la relacion d/l.

La longitud del cable puede escribirse:

L =

l0

[1 +

(dzdx

)2]dx

= l[1 +

83

(dl

)2 32

5

(dl

)4+2567

(dl

)6. . .

] (3.5)la forma comunmente encontrada en la literatura, donde se usa el desarrollo en serie de potencias:

1 + u = 1 +

12u 1

8u2 +

116u3 . . . , (3.6)

con u = (dz/dx)2 = [4d/l(1 2x/l)]2, y se integra termino a termino. Otra forma de obtener lalongitud es, expresando dz/dx = mgx/H:

L = 2

l/20

1 +

(mgxH

)2dx =

l

2

1 +

(mgl2H

)2+

H

mgsinh1

(mgl2H

). (3.7)

Figura 3.1: Relacion de aspecto l/L0 vs. d/l

Para concluir con esta seccion se presenta la expresion obtenida por Irvine [14] para cables consoportes a distinto nivel.

3.2.1 El Perfil de un Cable Tenso Inclinado

Se presenta aqu una expresion para la curva descripta por un cable relativamente tenso, de ma-nera que permanece proximo a la cuerda, la que se encuentra inclinada un angulo respecto a lahorizontal, con 0 < pi/2.

3.2. EL PERFIL PARABOLICO 19

Si z se mide ahora desde la cuerda, la ecuacion de equilibrio vertical puede escribirse:

Hd2z

dx2= mg

[1 +

(tan +

dz

dx

)2]1/2, (3.8)

y si el valor dz/dx se considera suficientemente pequeno como para poder despreciar su cuadrado,se obtiene:

Hd2z

dx2= mg sec

(1 + 2

sin sec

dz

dx

)1/2, (3.9)

donde se uso la identidad 1 + tan2 = sec2 . Aproximando la raz por1 + x 1 + x/2 resulta:

1(mg sec /H)

d2z

dx2+

sin sec

dz

dx= 1. (3.10)

Despues de introducir las variables adimensionales z = z/(mgl2 sec /H), y = mgl sin /H se tiene:

d2zdx

+ dzdx

= 1. (3.11)

El parametro introducido es pequeno debido a que para los cables que se consideran en esteanalisis mgl debe ser una pequena fraccion de H. Para distintos angulos de inclinacion, puedeobtenerse de la figura 3.2, como funcion de d/l.

Para la solucion de la ecuacion (3.11), Irvine emplea el siguiente metodo de perturbacion, debidoa que se han despreciado las potencias de dz/dx superiores a la primera, no tiene sentido emplearlos metodos usuales para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. La solucionprosigue expresando:

z = z0 + z1 + . . . . (3.12)

Sustituyendo (3.12) en (3.11) y agrupando terminos semejantes se obtiene:

d2z0dx2

= 1, (3.13)

y

d2z1dx2

= dz0dx

, (3.14)

cuyas soluciones deben satisfacer la condicion de desplazamiento nulo en los soportes. Esas solu-ciones son:

z0 =12x(x 1), z1 = 112x(x 1)(1 2x), (3.15)

y la solucion completa resulta entonces:

z =12x(x 1)

[1 +

6(1 2x)

]. (3.16)

De una simple observacion de la ecuacion (3.15) resulta que existe la misma relacion entre H y dque en el caso de soportes horizontales. Por otro lado, no existe una expresion simple para la longituddel cable y debe recurrirse a metodos numericos. De todas formas, el procedimiento expuestoanteriormente no tiene aplicacion practica, sino un valor teorico importante, ya que muestra unmetodo de solucion consistente con las hipotesis simplificativas adoptadas y sera utilizado cuandose presenten otros resultados obtenidos por Irvine, considerados clasicos en esta materia.

20 CAPITULO 3. ESTATICA DEL CABLE SUSPENDIDO

Figura 3.2: Parametro de Irvine vs. d/l para distintos angulos de inclinacion

3.3 Influencia de la Rigidez Flexional

En virtud de las simplificaciones admitidas en este captulo, para investigar la influencia de la rigidezflexional del cable, se plantea la ecuacion de la fuerza de corte para una viga uniforme bajo pesopropio y traccion axial:

EI d3z

dx3+H

dz

dx= mg

(x l

2

), (3.17)

donde E es el modulo de Young e I el segundo momento de area de la seccion transversal. La solucionque se busca es la que satisface las condiciones de desplazamiento y momento (derivada segunda)nulos en los extremos. Puede escribirse z = zp + zh, donde zp representa la solucion particular y zhla homogenea. La solucion particular es, como antes:

zp =mgl2

H

x

l

(xl 1

), (3.18)

y la homogenea:

zh = C1 + C2 sinhx+ C3 coshx, (3.19)

donde =H/EI. Incorporando las condiciones de borde, y empleando nuevamente variables

adimensionales, resulta la solucion completa:

z =12x(x 1) + 1

2

[1 + tanh

2sinh x cosh x

], (3.20)

donde el parametro = l =Hl2/EI, indica la importancia relativa de las acciones de cable y

viga. En el centro la flecha es:

d =mgl2

8H

[1 8

2

(1 sech

2

)] 1RESTDATA = [RESTDATA; a1+1 Nnodes 1 0 1 0 1 1 1];

end

% Generacion de restricciones nodalesREST = gdgenrs(RESTDATA);

% Grados de libertad de la estructuraDOF01 = gdgendof(Nnodes, REST);

% Grados de libertad numeradosDOFS = gdnumdof(DOF01);

% Ploteo de grados de libertadf3 = gpdofs(full(XYZ), full(ELEM), DOFS, viewpoint, axdata);

% Matriz de rigidez de elementos linealesK = stkcm(XYZ, DOFS, ELEM, PROPS, EDICT, lk);

% Elementos no lineales

4.4. EJEMPLO: CONSTRUCCION DE UN MODELO ESTRUCTURAL 43

NLELEM = ELEM; % Estan definidos en la misma matriz

% Identificador de elementos no linealeseltype = ~nl;

% Calculo de la martiz de transformaciones cinematicas[L, enamelist, elprop, enlist, vptr] = nsnle(XYZ, DOFS, NLELEM, PROPS, ...

EDICT, GPROP, LKDICT, eltype);

% Grados de libertad de la estructuragdl = max(max(DOFS));

% Desplazamientos inicialesyo = sparse(gdl,1); % Vector nulo

% Matriz de rigidez tangente inicial de elementos no lineales[Kto, Fo, Zo] = nsktan2(L, enamelist, elprop, yo, Z, vptr);

% Matriz de rigidez tangente inicialKTo = K + Kto;

% Vector de fuerzas nodales (solo un ejemplo)F = sparse(gdl, 1);inif = 2*2+3*4+2;finf = inif-1 + (nv-3)*3;indf = inif:3:finf;F(indf, 1) = -50*ones(length(indf), 1);

% Solucion por incrementos sucesivos de carga% Definicion de parametros para el algoritmo de solucionNp = 10; % Cantidad de incrementos de cargatol = 1e-3; % Tolerancia para la solucionniter = 15; % Numero maximo de iteraciones para lograr convergenciaparam = [Np tol niter];

% Solucion del problema estatico no lineal[Y, R, P, v, Zf] = nsincf2(K, L, vptr, enamelist, elprop, Zo, F, param, yo);

% Y : historia de desplazamientos% R : historia de fuerzas resistentes% P : historia de cargas aplicadas% v : historia de deformaciones (desplazamientos, segun la cinematica)% Zf: Variables de estado finales

% Calculo de rotaciones y desplazamientos segun los ejes coordenados[dx, dy, dz, ax, ay, az] = sendisp(Y(:,Np+1), DOFS);

% Grafico de la estructura deformadagpdefst3(XYZ, dx, dy, dz, ax, ay, az, ELEM, PROPS, EDICT, viewpoint, axdata);axis(equal);

% Fin

El codigo anterior se encuentra en la funcion cbdemo12.m, que forma parte del conjunto de ejem-plos elaborados para facilitar el aprendizaje de la herramienta y la promocion de de sus capacidades.El resultado de las ultimas lneas del programa precedente se presenta en la figura 4.2.

44 CAPITULO 4. FUNCIONES PARA EL ENTORNO DE TRABAJO SAT-LAB

Figura 4.2: Ejemplo de solucion de problemas estaticos: deformada de la estructura

Captulo 5

Aplicaciones

5.1 Introduccion

En este captulo se presentan algunas aplicaciones directas de la teora presentada en los anteriores.Para esto las secciones incluyen modelos estructurales que ilustran aspectos de la respuesta de torresarriostradas y puentes atirantados 1 y colgantes. En todos los casos los esquemas empleados comomodelos de estructuras reales son extremadamente simples, para tratar exclusivamente de analizarsu comportamiento no lineal geometrico. Se describen ademas los algoritmos empleados para lasolucion de los problemas planteados y las funciones correspondientes de Matlab.

5.2 Estatica de una Torre Arriostrada

En esta seccion se analiza el comportamiento estructural estatico de torres arriostradas. Se trataademas la construccion de modelos de este tipo de estructuras usando SAT-Lab para mostrar lafacilidad con la que pueden generarse. Por simplicidad la torre se modela con elementos clasicosde barra o viga lineales. Para los cables se muestran diferentes alternativas, como modelos de unoy varios elementos. Se muestra que pueden analizarse de la misma forma problemas de equilibrioinestable, muy mal condicionados, como ocurre en casos de estructuras con cables inicialmentesueltos.

Uno de los esquemas mas simples que se puede construir de este tipo de estructuras es el quese muestra en la figura 5.1, donde el mastil es simplemente un elemento de viga, articulado en labase, y los cables se encuentran muy sueltos y tienen disposicion simetrica en planta. Debido aque la funcion para el ploteo de los elementos de la estructura dibuja una recta entre sus extremos,cada uno de los cables se ha modelado con 10 elementos. De esta forma es posible apreciar la curvaque forma cada uno de ellos. Para analisis estaticos no es necesario descomponer el cable en varioselementos porque tanto la fuerza resistente no lineal en los nodos como la matriz de rigidez tangentese calculan en forma exacta. Por esta razon en aplicaciones como la presente, donde no se aplicancargas dentro de los tramos de los cables, no se requiere emplear mas que un elemento. Por otrolado, en aplicaciones dinamicas como calculo de frecuencias y modos de vibracion es necesaria ladiscretizacion de los cables en una serie de elementos para distribuir la masa.

A modo de ejemplo se calcula la respuesta estatica para una carga arbitraria horizontal, aplicadaen el extremo superior, segun la direccion X. Como puede verse en el grafico de la estructuradeformada (5.2) uno de los cables, el que resiste la carga, se tensa, mientras que los otros se aflojan.Si bien se trata de un caso atpico, ya que la tension inicial de los cables es muy baja, y en lapractica ocurre lo contrario, es util como ejemplo dado que resulta muy marcado el comportamientode rigidizacion no lineal. Este fenomeno puede verse claramente en la figura 5.3, donde se muestraademas la respuesta que resulta si se mantiene el comportamiento lineal con la rigidez tangenteinicial. En este ejemplo la relacion entre la longitud de los cables y la distancia entre sus extremosinicialmente es L0/L = 1.01. Para comparar en la figura 5.4 se muestra la respuesta de la estructuraa la misma solicitacion cuando la relacion anterior es L0/L = 1.001.

1En ingles: Cable-Stayed Bridges. Puentes atirantados es la designacion en castellano que utilizan autores comoF. Leonhardt en Estructuras de Hormigon Arnmado, Bases para la Construccion de Puentes Monolticos; y G.Grattesat en Concepcion de Puentes. Las refencias detalladas [16] [12] pueden encontrarse en la bibliografa.

45

46 CAPITULO 5. APLICACIONES

Figura 5.1: Esquema muy simple de una torrearriostrada, con cables relativamente sueltos

Figura 5.2: Torre bajo la accion de una cargahorizontal en el extremo superior

5.3 Puentes Atirantados

En este apartado se realiza una breve descripcion de los puentes atirantados, sus diferentes tipos ysu diseno estructural. El proposito de esta seccion es mostrar con unos ejemplos los modelos com-putacionales de estas estructuras creados con la herramienta desarrollada y los metodos disponiblespara el analisis estatico de los mismos.

En esta clase de puentes el tablero cuelga de los pilones mediante cables oblicuos. Cuando elnumero de cables empleados es pequeno, el tablero puede tratarse como una viga sobre apoyoselasticos. En este caso, si bien es posible construir un modelo completo, es posible analizar el com-portamiento del tablero en forma independiente. La rigidez de los apoyos se obtiene por separadopara cada cable con la funcion cbf0.m. A esta clase de diseno pertenecen los primeros puentesde este tipo. La tendencia contemporanea en este tipo de estructuras se inclina hacia vigas maslivianas y esbeltas. De esta forma ha sido posible cubrir luces mayores, ampliando el campo de

Figura 5.3: Rigidizacion de la torre, L0/L = 1.01 Figura 5.4: Idem anterior, L0/L = 1.001

5.3. PUENTES ATIRANTADOS 47

Figura 5.5: Puente atirantado Sunshine, Tampa Bay, Florida

aplicacion de estos puentes. En estos casos se emplean un numero myor de cables y se reduce ladistancia entre puntos de suspension. Los cables inclinados pueden estar dispuestos en forma deabanico (figura 5.6) o de arpa (figura 5.5), o bien combinaciones de las dos anteriores. La forma enabanico es mas economica y tecnicamente mas eficiente. Por otro lado, la forma en arpa simplificalos anclajes al evitar la concurrencia de los cable a un mismo punto. Se han construido puentes deeste tipo con luces de hasta aproximadamente 700 m..

En la figura 5.6 de muestra un esquema de un puente atirantado, construido con SAT-Lab. Loscables se modelan con elementos de catenaria de dos nodos derivados de la teora exacta, de acuerdoa los desarrollos mas recintes en esta area [15]. La principal ventaja de estos elementos consiste enpoder analizar en forma preciza el comportamiento de la estructura bajo grandes desplazamientos.El elemento de de modulo equivalente solo considera el efecto de la flecha inicial lo produce unasubestimacion de la rigidez de los cables y resulta inadecuado para los esbeltos puentes atirantadosmodernos. El elemento de Broughton y Ndumbaro requiere que se empleen varios por cada cabley requiere de dos conversiones de coordenadas, lo que lo hace computacionalmente ineficiente. Porotro lado, para la fuerza resistente no lineal se obtiene una aproximacion que es satisfactoria solopara cables muy tensos, casi rectos. Esto ultimo afecta la convergencia de los algoritmos iterativosde solucion para problemas estaticos.

Figura 5.6: Esquema de un puente de atirantado

Para estudiar el comportamiento estatico bajo carga, se emplea la funcion nsincf2.m incorpo-rada a SAT-Lab o nsincf3.m si se utilizan cables inextensibles en el modelo. Un ejemplo de lasalida que se obtiene se encuentra en la figura 5.7.

Como se ha aclarado anteriormente, para problemas dinamicos, donde se quieren conocer fre-cuencias y modos de vibracion es necesario emplear varios, para capturar el movimiento mediante


Figura 5.7: Deformada exagerada de un puente de atirantado

un numero adecuado de grados de libertad. Esto puede hacerse con facilidad empleando la funcioncbgen.m, que divide un cable en un numero definido de elementos.

Matlab [XYZ, ELEM, PROPS, Z]=cbgen([CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, Z])Genera elementos de cable elastico de igual longitud.

CABDATA=[ni nj Ne etype eprop lktype lkprop; ...], parametros para la generacion de elementos.

XYZ=[...; xi yi zi; ...], matriz de coordenadas nodales.

ELEM=[...; ni nj etype eprop lktype, lkprop; ...], matriz de elementos.

PROPS=[...; E A Lo mg eo so; ...], propiedades de cables y otros elementos, si corresponde.

Z=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado de cables y otros elementos si corres-

ponde.

En todos los casos, las matrices anteriores se expanden para incorporar los elementos generados.

Con esta herramienta se generan automaticamente los nodos internos y actualiza todas los para-metros del modelo que se modifican con la incorporacion de nuevos elementos, liberando al usuario deun calculo laborioso. Para cables inextensibles se desarrollo una funcion analoga llamada cbgeni.m.

5.4 Puentes Colgantes

Otra clase de estructuras de cables (la mas antigua) son los puentes colgantes, en los que loscables tienen una flecha marcada, a diferencia de los anteriores. El tablero puede aportar, segun eldiseno, rigidez o no, y en general, se encuentra suspendido a traves de cables verticales regularmenteespaciados. En general se componen de tres tramos, siendo el central de una longitud del ordendel 60 70% del desarrollo total. En los primeros disenos de esta clase de puentes, el tablero erasimplemente un medio para transmitir las cargas a los cables y no aportaba ninguna rigidez. Paraestas aplicaciones se desarrollo originalmente la teora sintetizada por Irvine que fue presentada enla seccion 3.5. En este caso, debido a la proximidad de los puntos de suspension, el peso del tablerose considera como una carga uniforme en proyeccion horizontal. Debido a que en este modelo noexiste interaccion entre las fuerzas aplicadas y los desplazamientos es posible analizar el cable concargas concentradas empleando las expresiones del captulo 2.

En los puentes colgantes modernos, el tablero contribuye con su rigidez, y resulta de fundamen-tal importancia poder analizar la interaccion entre los distintos elementos de la estructura. Estorequiere la construccion de un modelo estructural completo. En la figura 5.9 se presenta un ejemplode los que se pueden generar con la herramienta desarrollada. En este caso, los cables no se sub-dividen en elementos de igual longitud, sino de identica proyeccion horizontal. Para generar estoselementos se emplea cbgenh.m, la que como cbgen.m realiza todas las actualizaciones necesarias almodelo.Matlab [XYZ, ELEM, PROPS, Z]=cbgenh([CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, Z])Genera elementos de cable elastico de igual proyeccion horizontal.






ponde.


5.4. PUENTES COLGANTES 49

Figura 5.8: Puente colgante Akashi Kaiko, Japon

Para cables inextensibles se dispone de la funcion cggenhi.m.

Matlab [XYZ, ELEM, PROPS, Z]=cbgenhi([CABDATA, XYZ, ELEM, PROPS, Z])Genera elementos de cable inextensible de igual proyeccion horizontal.






ponde.



Figura 5.9: Esquema simple de un puente colgante

5.5 Metodos de Solucion

5.5.1 Metodo de Solucion para Problemas Estaticos

Para resolver los problemas planteados anteriormente se emplea un metodo de incrementos sucesi-vos de carga implementado en la funcion la funcion nsincf2.m:

Matlab [Y,R,f,v,Z]=nsincf2(K,L,vptr,enamelist,elprop,Zo,F,param,yo)Resuelve problemas estaticos por metodo de incrementos sucesivos de carga.

K, matriz de rigidez de elementos lineales.

L, matriz de transformaciones cinematicas.

vptr, matriz de punteros a elementos, para usar con L y ensamblar la matriz de rigidez tangente.

enamelist, lista de elementos no lineales.

elprop, propiedades de elementos no lineales.

Zo=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado iniciales de cables y otros elementos.

F, vector de fuerzas externas aplicadas.

param=[Np tol niter], nro. de incrementos de carga, tolerancia y maximo de iteraciones internas,

respectivamente.

yo, desplazamiento inicial. (opcional si yo=0).

Y, matriz con el vector solucion valuado en cada incremento de carga.

R, matriz con el vector de fuerzas resistentes valuado en los pasos anteriores.

f, matriz con el vector de fuerzas en elementos no linales.

v, matriz con el vector de deformaciones nodales.

Z=[...; xi yi zi xj yj zj Hx Hy V; ...], variables de estado actuales de cables y otros elementos.

Para cada incremento se logra la convergencia a traves de un ciclo interno de iteraciones de New-ton. Se eligio este metodo debido a que no resultaba economico realizar un paso de busqueda enlnea para determinar el tamano de paso de la direccion de descenso y no es posible asegurar laconvergencia del algoritmo para la carga total. Si bien tampoco tiene convergencia asegurada, esmucho mas rubusto y funciona en la gran mayora de los casos practicos. Cuando no se logra laconvergencia a la solucion es posible modificar el numero de incrementos y el de iteraciones hastalograrla.

Para cables inextensibles, se emplea el mismo algoritmo con una ligera modificacion: el tamanodel paso se escala por una constante h < 1 para no producir desplazamientos inadmisibles (queviolen la condicion cinematica de inextensibilidad).

Matlab [Y,R,f,v,Z]=nsincf3(K,L,vptr,enamelist,elprop,Zo,F,param,yo)Resuelve problemas estaticos por metodo de incrementos sucesivos de carga con amortiguamiento en las

iteraciones internas, para poder usar con elementos de cable inextensible encablei.m. Tanto las variables

de entrada como las de salida son iguales a las de nsincf2.m.

Las funciones mencionadas anteriormente tienen el mismo formato que la original de SAT-Labnsincf.m, con ligeras modificaciones que permiten trabajar con matrices de rigidez muy mal con-dicionadas.

5.5.2 Metodo de Relajacion y Problemas Dinamicos

Una alternativa para resolver probemas estaticos sin la necesidad de invertir la matriz de rigidez, esemplear un metodo dinamico, mas precisamente, un metodo para integrar un sistema de ecuaciones

5.5. METODOS DE SOLUCION 51

diferenciales ordinarias equivalente al problema original. Esto es:

Cu+Ku+ F(u) = P, (5.1)

junto con la condicion inicial u(0) = u0, donde C es una matriz de amortiguamiento ficticia, quepor cuestiones de eficiencia computacional se toma generalmente diagonal. El vector F(u) contienelas fuerzas resistentes de los elementos no lineales.

El conjunto de metodos comunmente usados para resolver (5.1) emplea un promedio ponderadode la velocidad en dos pasos consecutivos aproximado por interpolacion lineal de los valores deldesplazamiento en esos pasos:

(1 )uk + uk+1 = uk+1 uktk+1 , para 0 1, (5.2)

con tiempo [0, tf ] se divide en partes iguales t, entonces tk = kt y la ecuacion (5.2) puedeescribirse:

uk+1 = uk +tuk+,uk+ = (1 )uk + uk+1, para 0 1,

(5.3)

y para diferentes valores de se obtienen los conocidos esquemas de integracion:

=

0, diferencias hacia adelante, condicionalmente estable; orden de precision: O(t)12 , Crank-Nicolson, estable; O(t

2)23 , Galerkin, estable; O(t

2)1, diferencias hacia atras, estable; O(t).

(5.4)

Para alcanzar la solucion planteando la ecuacion (5.1) en dos pasos consecutivos:

Cuk +Kuk + Fk = Pk,Cuk+1 +Kuk+1 + Fk+1 = Pk+1,

(5.5)

y se adopta para la fuerza resistente en el paso k+1 la aproximacion Fk+1 = Fk+Ktk(uk+1uk),donde Ktk es, como antes, la matriz de rigidez tangente del paso k. Para eliminar los terminos conu se multiplican ambos miembros de la ecuacion (5.2) por Ctk+1, y se obtiene:

tk+1Cuk+1 +tk+1(1 )Cuk = C(uk+1 uk), (5.6)en la que se introducen las ecuaciones (5.5):

tk+1(Pk+1 Kk+1uk+1 Fk Ktk(uk+1 uk)

)+tk+1(1 )

(Pk Kkuk Fk

)= C(uk+1 uk).

(5.7)

Finalmente, agrupando terminos conocidos y desconocidos resulta la expresion:

Kk+1uk+1 = Kkuk + Pk,k+1, (5.8)

donde:

Kk+1 = C + a1(Kk+1 +Ktk),Kk = C a2Kk + a1Ktk,

Pk,k+1 = tk+1[Pk+1 + (1 )Pk Fk],a1 = tk+1,a2 = (1 )tk+1.

(5.9)

Para el caso = 0 se tiene K = C de manera que resulta un esquema explcito. Sin embargo, paraasegurar la estabilidad del metodo, el tamano del paso de calculo debe satisfacer la restriccion:

t < tcr =2

(1 2), para 4pi2, la frecuencia del modo simetrico es mayor y aparecen dos nodos internos.

Continuando el analisis anterior, si 4pi2 < 2 < 16pi2, tanto el primero como el segundo modotienen dos nodos internos. Cuando 2 = 16pi2, la frecuencia del segundo modo simetrico es igual ala del antisimetrico correspondiente y se presenta el segundo cruce (Ver la figura 6.4). En general,para la n-esima frecuencia, los valores lmite son 2 = (2npi)2, y las frecuencias de cruce n = 2npi,tal como se observa en el cuadro 6.1

La componente modal longitudinal asociada dada por Irvine es:

u =h2

{22

LxLe 12(1 2x)

[1 tan

2sinx cosx

] 1

[x tan

2(1 cosx) sinx

]},

(6.21)

donde u = u/((mgl/H)(mgl2/H)) y Lx = l[x+ 38 (mgl/H)2(x 2x2 + 4x3/4)].

6.3 Vibraciones Libres de un Cable Inclinado

El objetivo de este apartado es extender los resultados del anterior para cubrir el caso de un cableinclinado suspendido bajo la accion de su propio peso, de manera analoga a 3.2.1. En esa seccionse presenta una solucion aproximada para la curva que forma un cable inclinado proximo a lacuerda. Sin embargo, esa no es una forma conveniente para el analisis dinamico, debido a que,con ejes dirigidos segun la horizontal y la vertical, la inercia horizontal adquiere cada vez mayorimportancia a medida que aumenta el desnivel entre soportes. Esta dificultad puede ser superadamediante una transformacion de coordenadas. Sea x mide la distancia desde la cuerda y z ladistancia entre el cable y la cuerda sobre la perpendicular a esta. Entonces, x = x sec + z sin ,z = z cos , l = l sec ,y H = H sec , con lo que resulta:

z =12x(1 x)

[1

3(1 2x)

], (6.22)

6.4. ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS 59

donde z = z/(mgl2 cos /H), x = x/l y = mgl sin /H(= ). Se asume que essuficientemente pequeno como para que la parabola describa bien la configuracion del cable. Estoocurre en casos relativamente comunes en la practica, como en torres o mastiles arriostrados, dondela tension no vara demasiado a lo largo de los cables.

Con esta eleccion de ejes el problema se simplifica significativamente, y no se requiere mucho masque expresar los resultados de la seccion anterior en las correspondientes nuevas variables. Retenien-do solo terminos de primer orden, el movimiento fuera del plano resulta como antes, desacopladodel movimiento en el plano. Las componentes sobre la cuerda de los modos en el plano se considerande importancia secundaria en comparacion con las asociadas a la direccion perpendicular.

Las frecuencias naturales de los modos fuera del plano son:

n = npi, n = 1, 2, 3, . . . , (6.23)

y las de los modos antisimetricos en el plano son:

n = 2npi, n = 1, 2, 3, . . . , (6.24)

mientras que la de los modo simetricos en el plano estan contenidas en las races no nulas de laecuacion trascendental:

tan2

=2 42

(2

)3, (6.25)

donde las nuevas variables son = l/(H/m)1/2 y 2 = (mgl cos /H)2l/(HLe/EA), en la

que Le = l[1 + (mgl cos /H)2/8].Estas ecuaciones son mas generales y tienen en consecuencia mayor aplicacion que las de la

seccion anterior, que no son mas que el caso particular = 0. Por esta razon se emplea en la pro-gramacion el valor de 2 dado aqu.

Matlab lambda2=cblambda(xyzi, xyzj, props)xyzi = [xi yi zi], xyzj = [xj yj zj], coordenadas cartesianas de los extremos.


lambda2, parametro 2 de Irvine.

El rango de aplicacion de las expresiones anteriores se limita a 60, lo que no reviste mayorimportancia dado que valores mayores no son frecuentes en la practica.

6.4 Analisis por Elementos Finitos

Para todos los elementos de cable de dos nodos descriptos en el captulo anterior se emplea unamatriz de masas concentradas, como es practica comun, para agilizar los calculos. Para problemasplanos es:

M =mL02

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

, (6.26)y para casos tridimensionales la extension es trivial, solo hay que reemplazar la matriz identidad4 4 por otra 6 6. Con este metodo es posible tratar de la misma forma tanto cable horizontalescomo inclinados. Por otro lado es independiente del grado de tension o de la flecha debido a queno se introduce ninguna hipotesis simplificativa al respecto. Los modos y las frecuencias naturalesde vibracion se obtienen como la solucion al problema de valores propios (2M + Kt)X = 0,y la precision se regula con el numero de elementos. En la tabla 6.2 se muestran los valores delas 10 primeras frecuencias de un cable horizontal con 2 = 13.0 contra el numero de elementosempleados para calcularlas. Debido a los errores propios del metodo numerico las componentes delos modos calculados de esta forma no estan, en general, perfectamente desacopladas. Esto quieredecir que los vectores modales contienen desplazamientos en el plano del cable y fuera de el. El

60 CAPITULO 6. DINAMICA DEL CABLE SUSPENDIDO

N 1/pi 2/pi 3/pi 4/pi 5/pi 6/pi 7/pi 8/pi 9/pi 10/pi6 0.989 1.646 1.907 1.910 2.701 2.732 3.307 3.308 3.688 3.6907 0.992 1.660 1.931 1.934 2.779 2.814 3.483 3.484 4.015 4.0188 0.994 1.670 1.946 1.949 2.830 2.867 3.600 3.601 4.235 4.2389 0.995 1.676 1.957 1.960 2.865 2.904 3.682 3.683 4.389 4.39410 0.996 1.681 1.964 1.967 2.890 2.931 3.741 3.742 4.502 4.50715 0.998 1.692 1.982 1.986 2.951 2.994 3.883 3.884 4.775 4.78120 0.999 1.696 1.989 1.992 2.972 3.017 3.933 3.935 4.873 4.88025 1.000 1.698 1.992 1.995 2.982 3.027 3.957 3.958 4.918 4.92630 1.000 1.699 1.993 1.997 2.988 3.033 3.969 3.971 4.943 4.95135 1.000 1.699 1.994 1.997 2.991 3.036 3.977 3.979 4.958 4.96640 1.000 1.700 1.995 1.998 2.993 3.038 3.982 3.984 4.968 4.97645 1.000 1.700 1.995 1.999 2.995 3.040 3.986 3.987 4.975 4.98250 1.000 1.700 1.996 1.999 2.996 3.041 3.988 3.990 4.980 4.987

Tabla 6.2: Frecuencias de los 10 primeros modos por elementos finitos

hecho de que las formas secundarias no resulten simetricas ni antisimetricas no tiene fundamentofsico alguno y por eso se atribuye al error de calculo. Por otro lado si se presta atencion a losfactores de escala de las figuras, se observa que resultan insignificantes respecto a la unidad por loque el error mencionado no le resta validez al metodo. Segun el modo, vara la importancia de lascomponentes no principales como puede verse en las figuras 6.5 y 6.6, y estos resultados muestranla razon de las simplificaciones anteriores (Irvine) como as tambien, la magnitud del error que secomete al adoptarlas.

Como se menciono anteriormente, se pueden tratar con la misma facilidad cables inclinados,y para estos casos es mayor la ventaja de este metodo numerico, debido a que la calidad de lasolucion no se degrada al aumentar el angulo de inclinacion. En las figuras 6.7 y 6.8 se muestran loscuatro primeros modos de un cable inclinado 45 donde es mucho mas marcada la diferencia conla solucion analtica. Por ultimo, como se ha desarrollado un elemento de cable inextensible, esposible resolver con este metodo esa clase de problemas de la misma forma. Solo se requiere elegirel tipo de elemento que se desea utilizar.

6.4.1 Ejemplo de aplicacion: modos de vibrar de una torre arriostrada

Para concluir con este captulo se analiza una de las aplicaciones mas comunes. Como es conocido,una de las principales ventajas del metodo de elementos finitos es su capacidad de tratar estructurascomplejas, con distintos tipos de elementos, que seran imposibles de tratar analticamente sinintroducir simplificaciones significativas.

Para el problema de la torre en particular, un enfoque de este tipo consiste en tratarla comouna viga sobre apoyos elasticos puntuales, a los que se asigna la rigidez del conjunto de riostrascorrespondientes, estimada analticamente. Se desprecia la influencia de la masa de los cables, porconsiderarse de menor importancia frente a la de la torre.

Por otro lado, empleando elementos finitos, se evitan esos calculos auxiliares laboriosos y seobtienen resultados mas realistas sobre el comportamiento de la estructura en su conjunto. No esnecesario que los cables esten tensos y tengan una flecha reducida. Pueden considerarse las vibra-ciones de los cables si se modelan con varios elementos. En las figuras 6.9 y 6.10 se muestran losprimeros modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas. Estos resultados seobtuvieron resolviendo el problema de valores propios con la matriz de rigidez tangente de la estruc-tura valuada en la posicion de equilibrio estatico. Puede estudiarse la influencia del movimiento dela torre sobre los modos de vibrar con la misma facilidad, simplemente evaluando la rigidez tangenteen la posicion que se desea analizar.


Figura 6.1: Primeros 5 modos de vibracion antisimetricos en el plano. (w en lnea discontinua)


Figura 6.2: Las 5 primeras formas antisimetricas de tension adicional h


1) 2 < 4pi2

2) 2 = 4pi2

3) 2 > 4pi2

Figura 6.3: Formas posibles para la componente vertical del primer modo simetrico en el plano.


1) 2 < 16pi2

2) 2 = 16pi2

3) 2 > 16pi2

Figura 6.4: Formas posibles para la componente vertical del segundo modo simetrico en el plano.

Figura 6.5: Los dos primeros modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos


Figura 6.6: Tercer y cuarto modos de un cable horizontal calculados por elementos finitos

Figura 6.7: Los dos primeros modos de un cable inclinado 45 calculados por elementos finitos

Figura 6.8: Tercer y cuarto modos de un cable inclinado 45 calculados por elementos finitos


a) Modo 1: Perodo = 0.95 seg. b) Modo 2: Perodo = 0.72 seg.

Figura 6.9: Los dos primeros modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas

c) Modo 3: Perodo = 0.46 seg. d) Modo 4: Perodo = 0.34 seg.

Figura 6.10: Tercer y cuarto modos de vibracion de una torre arriostrada a diferentes alturas

Captulo 7

Conclusiones

En el trabajo se desarrolla la teora exacta como as tambien algunos metodos aproximados deanalisis de estructuras de cables, que gracias a simplificaciones permiten un tratamiento mas simpley facilitan la comprension de las caractersticas fsicas del problema. Son, por otro lado, referenciaobligada en los trabajos sobre este tema.

La implementacion computacional desarrollada en este trabajo para el elemento de catenariade dos nodos tiene una programacion mas eficiente que la que presentan los autores [14] [15] queestudiaron anteriormente este tipo de elemento, ya que se mantiene la ventaja de tratar con sim-plicidad los efectos de la pretension, la flecha y el peso propio, como as tambien el fenomeno nolineal de rigidizacion y mejora la rapidez de convergencia de los algoritmos iterativos. La idea deincluir en la variable de estado del elemento el valor actual de la fuerza no lineal, permite agilizarla etapa de proceso, trasladando los calculos previos a la etapa de definicion del problema, dondese fija la geometra (preproceso) y, por otro lado, acelera la convergencia de los ciclos internos delos metodos de incrementos sucesivos de carga. Como curiosidad se escribe en el mismo formato elelemento de cable inextensible.

Para problemas dinamicos, se obtienen valores precisos tanto para las frecuencias como para losmodos de vibracion, empleando relativamente pocos elementos y a pesar de que se emplea la matrizde masas concentradas, debido a que se cuenta con la expresion exacta de la matriz de rigideztangente.

Las funciones escritas para ayudar a definir los elementos de cable de la estructura permitentratar cada cable como uno o varios elementos con la misma facilidad y la integracion de estos a unmodelo estructural completo.

Debido a que la matriz de rigidez tangente de la estructura puede resultar mal condicionadasegun la configuracion adoptada por los cables, no se puede emplear el procedimiento de incrementode carga usual seguido de la iteracion de Newton porque requiere la inversion de esta matriz.Para sortear este problema se escribio una funcion mas robusta y que mantiene a la vez buenaconvergencia. Otra alternativa para resolver este problema, es el metodo de relajacion dinamica,que de acuerdo a los resultados obtenidos, no se recomienda, por tener una convergencia muchomas lenta. Los algoritmos no estan disenados especficamente para cables, sino que son generales,y pueden emplearse con otros tipos de elementos no lineales de la misma forma.

Finalmente, como el principal objetivo fue desarrollar una herramienta de analisis quedo enel campo de las aplicaciones mucho por hacer. Entre otras, modelos de sistemas para control devibraciones en cables, y respuesta frente a fuerzas dinamicas como las originadas por el vientoo sismos. Sobre estos temas es creciente el numero de investigadores interesados y seguramenteseran motivo de los proximos trabajos. Otro tema interesante que no ha sido tratado aqu es elcomportamiento no lineal del material, que incluye por ejemplo, deformaciones permanentes bajocarga y descarga despues de incursion postelastica. Por otro lado, no hay que descartar otras areasde investigacion, como puede ser la experimental, para determinar por ejemplo, el coeficiente deamortiguamiento, propiedades mecanicas o estado de dano de cables mediante ensayos dinamicosin-situ.

67

68 CAPITULO 7. CONCLUSIONES

Bibliografa

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Resumenndice de figurasIntroduccinMotivacinObjetivosOrganizacin

Conceptos FundamentalesIntroduccinLa CatenariaLa Catenaria como Solucin a un Problema VariacionalSolucin Paramtrica

El Cable ElsticoRespuesta a Cargas PuntualesSolucin de las Ecuaciones de Equilibrio Esttico

Esttica del Cable SuspendidoIntroduccinEl Perfil ParablicoEl Perfil de un Cable Tenso Inclinado

Influencia de la Rigidez FlexionalRespuesta a una Carga PuntualGrficos para el Tiro Adicional hSolucin LinealizadaCable Tirante

Respuesta a una Carga Uniformemente DistribuidaAnlisis va Elementos FinitosElemento de barra equivalenteModelo de mltiples elementosElemento finito derivado del mtodo de los desplazamientosElemento derivado de la ecuacin exacta de la catenaria

Funciones para el Entorno de Trabajo SAT-LabIntroduccinBreve Descripcin de SAT-LabFunciones para el Anlisis de Estructuras con CablesEjemplo: Construccin de un modelo estructural

AplicacionesIntroduccinEsttica de una Torre ArriostradaPuentes AtirantadosPuentes ColgantesMtodos de SolucinMtodo de Solucin para Problemas EstticosMtodo de Relajacin y Problemas Dinmicos

Dinmica del Cable SuspendidoIntroduccinTeora Lineal de Vibraciones Libres de un Cable SuspendidoMovimiento Fuera del PlanoMovimiento En el Plano

Vibraciones Libres de un Cable InclinadoAnlisis por Elementos FinitosEjemplo de aplicacin: modos de vibrar de una torre arriostrada

ConclusionesBibliografa

Trabajo Final Analisis Estructural de Cables

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