ESTABILIDAD E HIPERASTICIDAD

1. Introducción. El Diseño Estructural es un proceso creativo basado en el conocimiento de los principios de estática, dinámica, mecánica de sólidos y análisis estructural.Producto es una estructura segura y económica que cumple su propósito (requisitos de diseño).

• Cargas muertas.• Cargas vivas estáticas.• Cargas vivas móviles.• Impacto.• Nieve.• Viento.• Sismos.• Lluvia.• Empuje de suelos.• Inundación.• Otros.

Principios del diseño estructural:

Análisis Estructural: Consiste en determinar las fuerzas y deformaciones de los elementos estructurales debido a la aplicación de cargas a la estructura.

Explicación.Las fuerzas pueden ser externas (Reacciones), e internas (Momentos flexionantes, Cortantes, Axiales)Deformaciones, Para calcular las deformaciones se debe conocer las siguientes propiedades:Geométricas. Área y momentos de Inercia.

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Propiedades Físicas. Modulo de elasticidad, esfuerzo permisible.

El módulo de elasticidad o módulo de Young es un parámetro que caracteriza el comportamiento de un material elástico.

DondeLo= Longitud InicialLf= Longitud FinalL= Lf-Lo

Esfuerzos actualmente.

Por carga Axial =

Por Momento Flexionante =

Componentes estructurales.Tirantes: son miembros sometidos solo a fuerzas axiales de tensión por lo tanto no esta cargado a lo largo de su longitud y no puede resistir fuerzas generadas de flexión.

Puntales: Son miembros sometidos a fuerzas de compresión.

Vigas y trabes: Son miembros sometidos a fuerzas de flexión casi siempre están ubicados de forma horizontal

Columnas. Son miembros sometidos principalmente a fuerza de compresión axial también fuerzas de flexión.

Diafragmas: Son componentes formados por placas planas, tienen una alta rigidez en su plano.

Los componentes estructurales se ensamblan para formar sistemas estructurales: Vigas, Marcos estructurales (Vigas y Columnas), Armaduras (Tirantes y Puntales)

Vigas Marcos Cerchas

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1.1 Estructuras indeterminadas o Hiperestática.

Es cuando una estructura tiene mas reacciones externas o fuerzas internas que las que se pueden determinar con las ecuaciones de Estática. En la práctica es más común, encontrarse con este tipo de estructura.

Ventajas.Ahorro de materiales.

Los menores momentos flexionantes desarrollados en las estructuras hiperestáticas permiten la utilización de elementos más pequeños.Mayor rigidez y menores deflexiones.Estructuras más atractivas.

Desventajas.Asentamiento de los apoyos. En estructuras hiperestatica el asentamiento de un apoyo puede causar cambios en los apoyos.

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Aparición de Otros Esfuerzo.

Dificultad de análisis y diseño.

2. Idealización de la estructura.

Es el proceso de reemplazar la estructura real por un sistema simple de líneas que representen los ejes centrales de cada elemento estructural.

3.

Reglamentación de cargas a utilizar en el análisis.

ReglamentosEl objetivo de todo reglamento o normas es proporcionarle al ingeniero proyectista especificaciones que le permitan diseñar y construir obras que satisfagan la necesidad social con un costo mínimo y seguro.

En el caso del Reglamento Nacional de la Construcción (RNC), su fin es establecer los requerimientos aplicables al diseño y construcción de edificaciones.

A continuación se mencionan otras normas que se aplican en Nicaragua en el área de construcción.

Manual de Procedimiento para el Mantenimiento Físico del Catastro Nacional (MPMFCN) Normas mínimas de dimensionamiento para Desarrollo Habitacionales (NTON-11013-04) NNormas técnicas de abastecimiento de agua potable en el medio rural (NTON) Especificaciones generales para la construcción de caminos calles y puentes (NIC2000)

Cargas. Las cargas estructurales son clasificadas atendiendo a su carácter y a su duración:Carga Muerta (CM) (Art. 9, Anexo A): Son aquellas de magnitud constante las cuales permanecen en una sola posición. Peso propio.Techos. (Zinc, teja, estructura de soporte del techo, cielo rasos, accesorios) Paredes: Bloques, ladrillos, adobes, Covintec, Playcen.Pisos, Losas, cascotes de mortero, Ladrillos.Marcos estructurales.

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Material (kg/m3)

Material (kg/m3)

Concreto 2,400.00 Cedro 481.00Acero 7850.00 Roble 745.00Suelo 1,600.00Agua 1000.00Pino 660.00

Cargas Vivas (CV) (Art. 10). Son aquellas que pueden variar en magnitud y posición con el tiempo. Estas son causadas por el uso y ocupación de las edificaciones y que no tienen carácter permanente. Debido a solicitaciones sísmica la carga viva se reduce (Carga viva reducida CVR) la que la probabilidad de que el edificio este cargado totalmente y ocurra un sismo es poco.

Cargas Viento (P) (Art. 20). Es la producida por el efecto del Viento.

Cargas Sísmica (S) (Art. 24).Aquella ocasionada por efecto del sismo en forma de aceleración. ( ), Donde la masa sería el peso de la estructura (CM), mas la carga viva reducida. La aceleración depende donde esta ubicada (Zona A, Zona B, Zona C)

Donde Por lo tanto

Área Tributaria: Es el área cargada de una estructura que contribuye en forma directa a la carga aplicada a un miembro particular de la estructura.

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1) Ejemplo.

Calcular la carga por metro lineal que produce el peso propio de una viga de Roble de 4”x6” de Sección Transversal y 4.5 metros de Longitud.

Datos.

Peso Especifico del Roble= 745.00Kg/m3

Área = 4”*6”= 24plg2= 24*2.542=154.84cm2

Wm = (745.00Kg/m3 )*( 154.84cm2 )/10,000

Wm = 11.54kg/m

2) Una viga de sección transversal circular de Diámetro igual a 20cm, se corta un trozo de 30cm el cual pesó 4.53 kg. Calcular el Peso por metro lineal.Solución 1 Solución 2Solución.Datos.L(Longitud)=0.3m

A(Area)=

V(Volumen) =A*L =0.03142m2*0.3m =.0094248m3

Peso Especifico =

Wm = (480.64/m3 )*( 0.03142m2 )=15.1kg/m

Datos.Datos.L(Longitud)=0.3mP=4.53kg

Wm= 15.10kg/m

Nota: El peso por metro lineal de una viga es igual al peso específico por el área transversal

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3-Calcular el peso propio por metro lineal de una cercha de Acero A36 y Distribuirlos en sus nodos de forma puntual conociendo los siguientes datos.Cuerda Superior e inferior = 2L de 2.5x2.5x1/8Diagonales = L2x2x1/8(Acero)=7,860.00Kg/m3Solución. El Peso por metro lineal de la cercha equivale al peso total de la cercha entre la longitud (4mts)

DescripciónÁrea en Plg2 y En Cm2 Longitud

(mts)Peso =*A*L

Calculo Area (Plg2) Área (Cm2) Calculo Peso en Kg2L (Cuerda Inferior) 2*2.5*(2.5-1/8)*1/8 1.4844 9.5766 4mt =7860*9.5766*4/10000 30.102L (Cuerda Superior) 2*2.5*(2.5-1/8)*1/8 1.4844 9.5766 4mt =7860*9.5766*4/10000 30.10L (Cuerdas Ver) 2*(2-1/8)*1/8 0.4688 3.0242 5mt =7860*3.0242*5/10000 11.89L (Diagonales Ver) 2*(2-1/8)*1/8 0.4688 3.0242 5.66mts =7860*3.0242*5.66/10000 13.45

PESO TOTAL DE LA CERCHA 85.56

El Peso total de la cercha es de 85.56 Kg.El peso por unidad de longitud es de =

, la cual debe

concentrarse en los nodos de la cuerda superior.Nodos de los extremos P=21.39*0.5 =10.70KgNodos centrales P=21.39*1.0 =21.39Kg

3-Se construirá un puente peatonal (El cual se Muestra en la Figura) de 1.2mts de Ancho sobre un cauce revestido. Se utilizaran dos vigas de madera de Roble con sección transversal 2”x6” las cuales soportaran una losa de concreto de 10cm de Espesor, y un barandal de madera de Cedro con sección de 2”x2”. Nota. Asuma una Carga Viva de 200kg/m2

CALCULO DE LA CARGA MUERTA.

Peso propio de la viga. (Roble) =745kg/m3

Area = 4”x6” = 24Plg2 = 154.54cm2

W(Viga) = *A = 11.54kg/m

Peso de la Losa. (Concreto) =2400kg/m3

Espesor (t) = 0.1mts Peso por metro cuadrado = *t = 2400*0.1 = 240kg/m2 W (Peso por metro) = 240kg/m2*Ancho Tributario. W(Losa)= 240*0.6 =144kg/m.

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Peso del Barandal.

W(Barandal) = =4.55Kg/mts

W(Total) = W(Viga) + W( Losa) + W(Barandal)W (Total) = 11.54+144+4.55 =160Kg/m

CALCULO DE LA CARGA VIVA.

W(Viva)= 200Kg/m2*0.6mts= 120Kg/m

CARGA TOTAL = CARGA MUERTA + CARGA VIVAWtotal =160+120 = 280Kg/m

Diseño de la viga.

Esfuerzo Actuante.

Mx= 56,000.00kg-cm.

2,996.87cm4

142.39Kg/cm2

Esfuerzo Permisible del Roble =F(Permisible)=180Kg/cm2 (Tabla #18 RNC)

Condición.

<1

0.79<1 Ok

Control de Deflexión.

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Área en Plg2 y En Cm2 Longitud Peso =*A*LDescripción Calculo Area (Plg2) Área (Cm2) mts Calculo PesoCuerda Superior 2”*2” 4.00 25.81 4mts =481*25.81*4/10000 4.97Cuerdas Verticales 2”*2” 4.00 25.81 5mts =481*25.81*5/10000 6.21Cuerdas Diagonales 2”*2” 4.00 25.81 5.66mts =481*25.81*5.66/10000 7.03

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Deflexión Actuante.

W= 2.8kg/cmL= 400cmE=150,000.00Kg/cm2I= 2,996.87 cm4

2.08cm

Deflexión Permisible =

2.16 >2.08 Ok

4. Se construirá una Pila de Almacenamiento de Agua Potable de Concreto con las Siguientes Dimensiones:

Determine la presión trasmitida al suelo, Sabiendo que la capacidad admisible, según el análisis de laboratorio es de 0.6kg/cm2 . El factor de Seguridad debe ser mayor a 1.5Base = 3mtsLongitud = 4.5mtsAltura Total= 3mtsAltura de Agua = 2.5mtsEspesor tanto de Paredes como de Losa Inferior y Superior = 0.15mtsDescripción. Volumen m3 (kg/

m3)kg

Losa Superior 3*4.5*.15 2.025 2400 4,860.00Losa Inferior 3*4.5*.15 2.025 2400 4,860.00Paredes 2*(3+4.5)*(2.5-

2*.15)*0.154.95 2400 11,880.00

Agua (3-0.3)*(4.5-.03)*2.5 28.35 1000 28,350.00Peso Total. 49,950.00

PR= = 0.37kg/cm2

F.S =0.6/0.37=1.62>1.5Ok

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4. Se construirá una Biblioteca de dos niveles en la Ciudad de Estelí la cual se describe a continuación.

Cubierta de techoPara la cubierta de techo se utilizará Zinc Corrugado Calibre 26, el cual estará soportado por perlines de acero de 2”x4”x1/8” separados cada 1.12mts. Se colocará cielo raso de

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madera de cedro con espesor 5mm fijado al esqueleteado de 0.5mx 0.5ms de madera de cedro de sección 2”x2”

Paredes.En el segundo nivel se utilizará paredes de Covinted (Paneles de doble electromalla de acero con núcleo de poroplast (2.5cm de repello ambas caras),

En el primer nivel las paredes serán de bloques de cemento de 15x20x40 con repello de 1 cm. ambas caras

PisosSe utilizará ladrillo cerámica el cual se colocará sobre una losa de concreto de 12.5cm de Espesor

Marcos.Se utilizaran vigas de concreto reforzado de 0.25x0.35 cm. y Columnas de 35x35s. Los marcos interiores llevaran una cercha de angulares de 0.5m de peralte, la cuerda inferior y superior estarán formada por doble angulares de 2L 2.5x2.5x1/8 y las diagonales y verticales de L2.5x2.5x1/8Pesos utilizados.Descripción Pesos.Zinc Corrugado Calibre 26 5.4kg/m2

Covinted 150kg/m2

Cedro real = 481kg/m3

Bloques de cemento de 15x20x40 200 kg/cm2

Repello de 1 cm. ambas caras 20kg/cm2

Ladrillo cerámica 30 kg/cm2

Concreto. 2,400kg/m3

Acero Estructural 4,860/m3

CARGAS SOBRE EL PERLIN.Carga Muerta (CM). Peso del Perlin.Area = 4*1/8+2*(2-1/8)*1/8= 0.969plg2 = 0.969*2.542=6.25cm2

W(Kg/m) =*A = 4.91kg/mts

W(Kg/m2) = Al peso por unidad de longitud entre la separación de los perlines.

W(Kg/m2) = 4.38Kg/m 2

Cubierta de techo.Zinc Corrugado Calibre 26 =5.4kg/m 2

Cielo Razo.

Esqueleteado de Madera de Cedro Macho. De 0.5x0.5m con Sección de 2”x2”Longitud = 0.5*4= 2mtsÁrea= 2”*2”*2.542= 25.81cm2

Peso total = *A*L = 2.48kg

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W(Kg/m2) = 9.92kg/m 2

Tabla de 0.5cm de Espesor.

W(Kg/m2) =*t = 2.41kg/m 2

Accesorios (Lámparas, Cables, Abanicos etc)Accesorio asumir =4.00Kg/m 2

Carga Muerta total = 4.38+5.4+9.92+2.41+4.00=26.11Kg/m2

Carga Viva. (Art.11)

W(Kg/m2) =10kg/m 2 P (kg) = 100Kg en el Centro del Perlin

Carga Total Distribuida = CM+CV = 26.11+10= 36.11kg/m2

Carga total lineal = 36.11kg/m2*1.12mts =40.44Kg/mMARCO A Y D.TECHO.CARGA MUERTADescripción. Kg/m2

Zinc Corrugado Calibre 26 5.4Perlin 2x4x1/8” 4.38Esqueleteado de Madera 9.92Lamina de madera 2.41Accesorios 4.00TOTAL 26.11

Ancho tributario (At= 5/2 = 2.5mts)W(Kg/m) = 26.11kg/m2*2.5 =65.28Kg/m

CARGA VIVA. (Art.11)

W(Kg/m2) =10kg/m 2 P (kg) = 200Kg en el Centro del Marco

ENTREPISO.Pared de Covinted.Descripción. Kg/m2 Tramo de 1-2 Tramo de 2-3 Tramo de 3-4 Tramo de 4-5

H1 Kg/m H2 Kg/m H2 Kg/m H3 Kg/m H3 Kg/m H4 Kg/m H4 Kg/m H2 Kg/m

Covinted 150.00 3.5 525 4.2 630 4.2 630 4.9 735 4.9 735 4.2 630 4.2 630 3.5 525

Nota: como la carga varía de forma lineal y es proporcional a la altura del muro esta se puede derminar por la siguiente ecuación.W(Kg/m)= (hi+P*L) W (Covinted)W(kg/m)= (3.5+0.2*L)*150 validad para L desde (0 a 7mts)Ejemplo:L=0 Entonces W = (3.5+0.2*0)*150 = 525Kg/m

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L=7m Entonces W = (3.5+0.2*7)*150 = 735Kg/m

Losa de Entrepiso.Losa = 2400*0.125 = 300kg/m2

Ladrillo cerámica =30 kg/m2

Accesorios = 4 kg/m2

Total de la Lasa =334 kg/m2

W(Kg/m) =334*1.75 =584.50Kg/mDe forma triangular.

Se tiene que sumar la carga Trapezoidal del Covinted más la carga de la losa. Usted puede observar que la carga de la losa en cada columna es igual a cero y en el centro de cada tramo es máxima. Entonces se calculará de la siguiente manera.

SUMA DE CARGA MUERTA.Punto 1D = 525 +0 = 525 kg/mPunto (Mitad de tramo 12) =(3.5+0.2*1.75)*150+584.50=1,162kg/mPunto 2D = 630 +0 = 630 kg/mPunto (Mitad de tramo 23) =(3.5+0.2*5.25)*150+584.50=1,267kg/mPunto 3D = 735 +0 = 735 kg/mPunto (Mitad de tramo 34=23) =1,267kg/mPunto 4D =3D= 630 +0 = 630 kg/mPunto (Mitad de tramo 45= 12) =(3.5+0.2*1.75)*150+584.50=1,162kg/mPunto 1D=5D = 525 +0 = 525 kg/m

Viga Sísmica.Bloques de cemento de 15x20x40 200 kg/cm2

Repello de 1 cm. ambas caras 20kg/cm2

W= 220Kg/m2

W(Kg/m)= 220*3.5 = 770 Kg/m.

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ESTABILIDAD E HIPERASTICIDAD

Durante los primeros cursos de estática, se aplican los principios elementales del equilibrio de sistemas de fuerza [1,2]. Desde entonces se plantea que la resultante de dichos sistemas debe ser cero. Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero.Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan las reacciones o apoyos necesarios para que sean estables. Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos y dispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considérese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1) :

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El apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del extremo derecho ofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2 respectivamente. Las reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2.De acuerdo a un sistema coplanar general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣMz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se dice isostática. Es decir, el número de reacciones debidas a los apoyos es igual al número de ecuaciones disponibles para establecer su equilibrio.

Si a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por ejemplo si se elimina el apoyo derecho, entonces es inestable (Fig. 3). Por otro lado, el número de reacciones es igual a dos, mientras que el número de ecuaciones sigue siendo tres. En este caso, la estructura se dice hipostática.La estructura presenta un movimiento de cuerpo rígido. Esto significa que aunque haya desplazamientos no nulos en alguno de sus nudos, los esfuerzos internos son nulos. Es importante remarcar que los desplazamientos así obtenidos son indeterminados. Para el ejemplo mostrado tanto el giro en el nudo 1 como el giro y el desplazamiento del nudo 2 son no nulos.

De igual forma, si se elimina la reacción horizontal del apoyo izquierdo (esto se puede lograr transformando el apoyo de pasador fijo por el de otro rodillo como el del nudo 2), la viga presenta también un número menor de incógnitas que el de ecuaciones (Fig. 4). La estructura sigue siendo hipostática y el desplazamiento indeterminado se da en ambos nudos en la dirección horizontal. Esto también representa un movimiento de cuerpo rígido. Nuevamente, los esfuerzos internos son nulos y los desplazamientos no se pueden evaluar.

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Por último, considérese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (Fig. 5).

El empotramiento en el extremo izquierdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen ahora cuatro reacciones incógnitas contra tres ecuaciones de equilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que se planteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con el de las incógnitas por determinar.

Se puede seguir incrementando el número de restricciones a los desplazamientos de los nudos. Por ejemplo, si se cambia el rodillo por otro empotramiento en el nudo 2 (Fig. 7), se impedirá tanto el desplazamiento horizontal como el giro en ese extremo. El número de incógnitas aumenta ahora a 6 y el gie = 3 ya que para todos los casos se trata de un problema plano en el que se disponen de tres ecuaciones de equilibrio.

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Las reacciones para estas condiciones de apoyo se muestran en la figura 8.

El mismo concepto puede aplicarse a estructuras espaciales. En este caso se dispone de seis ecuaciones de equilibrio las cuales implican tres sumas de fuerzas y tres de momentos: ΣFx, ΣFy, ΣFz, ΣMx, ΣMy, ΣMz. Para ilustrar el caso espacial puede revisarse el marco mostrado en la figura 9. Ya que se consideran empotradas todas las columnas, existen 6 reacciones a la base de cada una de ellas.

Esto hace un total de 24 reacciones por determinar, lo que implica un grado de indeterminación estática muy elevado (gie = 18). Puede verse también que la estructura mostrada en la figura 9 se asemeja a estructuras frecuentes. Esta es de hecho una de las estructuras espaciales más simples. Lo que indica que con mucha frecuencia, se requiere analizar estructuras altamente indeterminadas. Sin embargo, el alto grado de

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indeterminación de las estructuras no representa ninguna limitación para el análisis estructural, si no por el contrario, es donde se encuentra su mayor interés.En resumen, para estructuras planas y espaciales la indeterminación estática se define por:

Grado de indeterminación interna en armaduras

Por otro lado, sólo se ha revisado la indeterminación externa mientras que, la composición propia de la estructura puede representar otro grado de indeterminación adicional. A esto se le denomina grado de indeterminación estática interna. Para ilustrar como se determina la misma, se considerará como caso simple, una armadura (Fig. 10) en la que se requiere conocer la fuerza que se desarrolla en cada una de sus barras.

En cada uno de los nudos debe satisfacerse el equilibrio. Ya que es una estructura plana, a cada nudo se le asocia un sistema coplanar concurrente, por lo que se cuenta con dos ecuaciones por nudo (ΣFx y ΣFy). Esto

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significa que para qua la estructura sea estáticamente determinada, el número de barras (incógnitas) no debe exceder de dos veces el número de nudos. Para una armadura espacial, el sistema que aparece en cada nudo es concurrente no coplanar, por lo que se dispone de tres ecuaciones por nudo. Deben entonces satisfacerse las siguientes ecuaciones :

Armadura plana m + 3 - 2j = 0 1.3)Armadura espacialm + 6 - 3 j = 0 1.4)

Donde, m es el número de barras y j es el número de nudos. Además, 3 y 6 representan el número de reacciones externas requeridas para que la estructura se isostática externamente.De estas relaciones puede verse que una armadura como la mostrada en la figura 11a) será inestable, ya que : m+3 - 2(4) ⇒ 4+3 < 8.

Para corregir la inestabilidad interna, se requiere agregar una barra como se muestra en la figura 11b. Es importante observar que si se agrega un apoyo lateral al nudo dos, se cumple aparentemente la condición de estabilidad ya que : m + 4 - 2(4) ⇒ 4+4 = 8, sin embargo, aun así, sigue siendo inestable, ya que el desplazamiento lateral de los nudos 3 y 4 no tiene ninguna restricción (Fig. 12). Esto indica, que si se agregan apoyos externos en lugar de barras para cumplir con las relaciones 1.3) y 1.4) sólo puede garantizarse el equilibrio si el apoyo en cuestión cumple con la función que cumpliría la barra interna (Fig. 13). En este caso se trata de restringir el desplazamiento horizontal de los nudos 3 y 4. Aun así, es necesario remarcar que siguiendo un análisis riguroso, los resultados de ambas estructuras no serán iguales. En efecto, en la figura 11b, el desplazamiento lateral depende de la rigidez de la barra 5, mientras que en la estructura de la figura 13, el desplazamiento del nudo 4 sera cero. Sólo si se desprecia la rigidez axial de las barras (como en la mayoría de los análisis por equlibrio estático), ambos resultados coincidirán.

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Estabilidad y grado de indeterminación de porticos planos

Un pórtico o marco, se compone de vigas y columnas unidas rígidamente [3-6]. La estabilidad y grado de indeterminación puede investigarse comparando el número de incógnitas (de reacción e internas) con el número de ecuaciones disponibles por estática. Como en el caso de las armaduras, el marco puede separarse en un número de sólidos aislados, igual al de nudos, lo que requiere separar todos los elementos (vigas y columnas) mediante dos secciones (Fig. 14).Por cada sección existen tres incógnitas internas (N, V, M), sin embargo, si se conocen estas cantidades en una sección, se pueden determinar las correspondientes a otra sección cualquiera. Por lo tanto sólo hay tres incógnitas internas e independientes en cada elemento.

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Si m representa el número total de elementos y r el número de reacciones, el número total de incógnitas independientes en un marco rígido será 3m + r. Para el equilibrio de un nudo, se deben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio, ΣFx=0, ΣFy=0 y ΣMz=0 (marco plano). Si además el número total de nudos rígidos es j, entonces podrán escribirse 3j ecuaciones independientes de equilibrio para el sistema completo.Si se introducen articulaciones u otros dispositivos de construcción con el fin de proveer ecuaciones adicionales a las de la estática, el número total de ecuaciones estáticas disponibles será 3j + c, donde c son los dispositivos añadidos. Entonces, los criterios para la estabilidad y grado de indeterminación para un marco plano serán:

1. Si 3m + r < 3j + c intestable2. Si 3m + r = 3j + c estáticamente determinado, siempre y cuando sea estable1. Si 3m + r > 3j + c estáticamente indeterminado

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