Trabajo Final de Graduación Código 03255 - uned.ac.cr · como el uso de historia de la...
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1 UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA VICERRECTORÍA ACADÉMICA ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA TRABAJO FINAL DE GRADUACIÓN (CÓDIGO 03255) PROYECTO TRABAJO ELABORADO POR YORLENY ROJAS JIMÉNEZ DIRIGIDO POR Mag. MARIANELA ZUMBADO CASTRO ENERO 2015
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1
UNIVERSIDAD ESTATAL A DISTANCIA VICERRECTORÍA ACADÉMICA
ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
LICENCIATURA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA TRABAJO FINAL DE GRADUACIÓN (CÓDIGO 03255)
PROYECTO
TRABAJO ELABORADO POR
YORLENY ROJAS JIMÉNEZ
DIRIGIDO POR
Mag. MARIANELA ZUMBADO CASTRO
ENERO 2015
2
Resumen
El presente informe escrito corresponde a un proyecto final de graduación
desarrollado con la participación de docentes de matemática que imparten III
Ciclo en el Colegio Técnico Profesional de Venecia, Dirección Regional
Educativa de San Carlos, en siglas, CTP de Venecia.
Dicho proyecto consiste de dos etapas. La primera de ellas vinculada con la
aplicación de instrumentos técnicamente elaborados en la observación de
lecciones de matemática ubicadas entre el primer y segundo periodo del año
2015, entrevistas a los docentes observados y análisis de sus planeamientos de
clase, con el fin de recolectar datos sobre la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas en las lecciones, de acuerdo con los
Programas de Matemática del Ministerio de Educación Pública. Como parte
final de esta etapa, se interpreta la información de acuerdo con el marco teórico
de referencia.
Con lo anterior y en la segunda etapa, se generarán recursos didácticos para el
docente, que serán utilizados en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
matemática en la institución participante.
Con la ejecución de ambas etapas se evaluarán los recursos didácticos
diseñados para los docentes con el fin de apoyar la implementación de la
estrategia metodológica.
Las conclusiones y recomendaciones ofrecerán mejoras a los recursos
didácticos propuestos, los que pueden convertirse en aliados para los docentes
de la institución y la Región Educativa, con esto se pretende beneficiar a los
estudiantes en el rendimiento académico de la asignatura, en el futuro cercano.
3
Título
La resolución de problemas como estrategia metodológica en una clase de
matemática de secundaria en el CTP de Venecia, Región Educativa de San
Carlos, 2015.
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Nombres y firmas de los integrantes del tribunal examinador
El tribunal examinador está conformado por los siguientes integrantes: ________________________________________________________________
Dr. Ronald Sequeira Salazar
Encargado de la Carrera Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática
________________________________________________________________
Mag. Marianela Zumbado Castro
Directora del Trabajo Final de Graduación
________________________________________________________________
Licda. Ana María González Calvo
Asesora del Trabajo Final de Graduación
________________________________________________________________
MSc. Jorge Luis Chinchilla Valverde
Asesor del Trabajo Final de Graduación
________________________________________________________________
Dr. Eugenio Rojas Mora
Miembro de la Comisión del Trabajo Final de Graduación
5
CONTENIDO
RESUMEN .......................................................................................................... 2
TÍTULO .............................................................................................................. 3
NOMBRES Y FIRMAS DE LOS INTEGRANTES DEL TRIBUNAL EXAMINADOR ................... 4
CAPÍTULO 1 ....................................................................................................... 9
TEMA ................................................................................................................ 9
1.1- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ................................................................ 9
1.2- JUSTIFICACIÓN ....................................................................................... 10
1.2.1- Resultados de la primera inmersión al centro educativo .................. 12
1.2.2- Participantes .................................................................................... 14
1.2.3- Características sociodemográficas y educativas de los destinatarios
................................................................................................................... 15
1.3- OBJETIVOS ............................................................................................... 19
1.3.1. Objetivo general ............................................................................... 19
1.3.2. Objetivos específicos ........................................................................ 19
1.4- ANTECEDENTES ........................................................................................ 20
1.4.1- Resolución de Problemas en Costa Rica ......................................... 20
1.4.2- Resolución de Problemas en el MEP ............................................... 25
1.4.3- Antecedentes sobre el cambio curricular ......................................... 30
1.4.4- Antecedentes sobre la propuesta de currículo en el área de
matemática, año 2011: ............................................................................... 33
1.4.5 Aprobación del Currículo vigente, año 2012: ..................................... 34
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA ..................................... 35
2.1- FUNDAMENTO DEL PROGRAMA VIGENTE, 2012 ............................................. 35
2.2- EL ESTILO PARA ORGANIZAR LAS LECCIONES DE MATEMÁTICA ....................... 41
2.3- EL PAPEL DEL DOCENTE COMO MEDIADOR AL IMPLEMENTAR LA ESTRATEGIA DE
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ............................................................................. 44
2.4- LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y LOS PROCESOS MATEMÁTICOS .................. 47
2.5- CARACTERIZACIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS ....................................... 51
6
2.6- INTEGRACIÓN DE HABILIDADES MATEMÁTICAS PARA LA ACCIÓN DE AULA ......... 55
2.6.1 Planeamiento didáctico integrando habilidades matemáticas ........... 55
2.7 - LOS EJES DISCIPLINARES EN LAS LECCIONES DE MATEMÁTICA ....................... 57
2.8- NIVELES DE COMPLEJIDAD EN LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS ...................... 61
2.9- CONSIDERACIONES PARA EL PLANEAMIENTO DIDÁCTICO ............................... 63
CAPÍTULO 3: MARCO METODOLÓGICO ...................................................... 65
3.1- PARADIGMA Y METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN ...................................... 65
3.2- SUJETOS O PARTICIPANTES ........................................................................ 66
3.3- FUENTES DE INFORMACIÓN ........................................................................ 67
3.4- TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN ............................................. 68
La observación ........................................................................................... 68
La entrevista ............................................................................................... 69
Información proveniente de documentos.................................................... 69
Categorías de análisis ................................................................................ 70
Análisis proveniente del empleo simultáneo de diferentes técnicas de
recolección de información ......................................................................... 72
3.5- DESCRIPCIÓN Y VALIDACIÓN DE INSTRUMENTOS ........................................... 72
3.5.1- Descripción de los instrumentos....................................................... 73
3.5.2- Descripción de la validación ............................................................. 75
3.6- PROCEDIMIENTOS PARA LA EJECUCIÓN DEL PROYECTO DE INVESTIGACIÓN ..... 77
3.6.1- Descripción de procedimientos metodológicos generales ................ 77
3.6.2- Descripción de procedimientos metodológicos para recolectar e
interpretar la información (Primera Etapa).................................................. 77
3.6.3- Descripción de procedimientos metodológicos para desarrollar los
recursos para apoyo docente (Segunda Etapa) ......................................... 78
3.7- ALCANCES Y LIMITACIONES ........................................................................ 80
3.8- CRONOGRAMA .......................................................................................... 81
CAPÍTULO 4: RESULTADOS DEL PROYECTO ............................................. 82
4.1- SISTEMATIZACIÓN DE RESULTADOS PRELIMINARES ....................................... 83
7
Categoría 1: El problema y sus características .......................................... 83
Categoría 2: El estudiante y su trabajo....................................................... 88
Categoría 3: Acciones del docente: desarrollo de la lección- cierre o
clausura ...................................................................................................... 92
Categoría 4: Procesos y situaciones favorables ......................................... 96
4.2- INTERPRETACIÓN DE LA SISTEMATIZACIÓN DE RESULTADOS PRELIMINARES ..... 99
Interpretación de la Categoría 1: El problema y sus características ........... 99
Interpretación de la Categoría 2: El estudiante y su trabajo ..................... 101
Interpretación de la Categoría 3: Acción docente: desarrollo de la lección-
cierre y clausura ....................................................................................... 103
Interpretación de la Categoría 4: Procesos y situaciones favorables ....... 104
4.3- DISEÑO DE RECURSOS DIDÁCTICOS PARA APOYAR LA ESTRATEGIA
METODOLÓGICA DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS .............................................. 107
4.3.1- Manual para el docente de matemática: ........................................ 110
4.3.2- Plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico ................ 112
4.3.3- Lección modelo .............................................................................. 113
4.4- EVALUACIÓN DE LOS RECURSOS DIDÁCTICOS ............................................. 118
4.4.1- Evaluación del manual para docentes de matemática ................... 119
4.4.2- Evaluación de la plantilla para la elaboración del planeamiento
didáctico. .................................................................................................. 126
4.4.3- Evaluación de la lección modelo .................................................... 127
CAPÍTULO 5: INTERPRETACIÓN Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS ......... 133
5.1- ANÁLISIS COMPARATIVO PROVENIENTE DE LAS INMERSIONES AL CTP DE
VENECIA ........................................................................................................ 133
5.2- DISCUSIÓN ANALÍTICA DE RESULTADOS ..................................................... 139
Manual para docentes de matemática...................................................... 139
Plantilla para el planeamiento didáctico ................................................... 142
La lección modelo .................................................................................... 143
CAPÍTULO 6: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .......................... 146
8
6.1- CONCLUSIONES ...................................................................................... 146
6.2- RECOMENDACIONES ................................................................................ 149
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................. 151
ANEXOS ......................................................................................................... 155
ANEXO # 1: INSTRUMENTO PARA LA OBSERVACIÓN DE LECCIONES DE MATEMÁTICA:
..................................................................................................................... 155
ANEXO # 2: INSTRUMENTO PARA ENTREVISTA AL DOCENTE ................................ 157
ANEXO # 3: AUTORIZACIÓN DE LA DIRECTORA DEL CTP DE VENECIA: ................. 158
ANEXO # 4: INSTRUMENTO PARA EL REGISTRO DE VISITAS AL CENTRO EDUCATIVO 159
ANEXO # 5: EVIDENCIAS DE LA PRIMERA INMERSIÓN AL CTP DE VENECIA ........... 160
ANEXO # 6: EVIDENCIAS DE LA SEGUNDA INMERSIÓN AL CTP DE VENECIA .......... 167
ANEXO # 7: EJEMPLO DE PLANEAMIENTO DIDÁCTICO ......................................... 169
9
CAPÍTULO 1
Tema
Implementación en secundaria de la resolución de problemas como estrategia
metodológica en la clase de matemática en el CTP de Venecia en la Región
Educativa de San Carlos, 2015.
1.1- Planteamiento del problema
En el Informe Técnico sobre la implementación de los Programas oficiales de
Matemáticas (2014) se indica que los profesores tienen dificultades en la
organización de la lección propuesta por el MEP, se afirma que “ los
docentes todavía no han podido organizar sus lecciones utilizando los cuatro
momentos señalados” (p.59). Además, que no han utilizado problemas del
contexto (p.60), que se les dificulta lograr la integración del trabajo realizado en
el aula con el planeamiento y que existe desconocimiento de los procesos y
ejes disciplinares. Finalmente, se recomienda concientizar al docente para que
realice una lectura integral del programa, debido a la estrecha relación entre la
fundamentación teórica de los programas y la malla curricular (p. 309). Los
docentes de matemática de La Región de San Carlos no son la excepción en
cuando a lo descrito en dicho Informe Técnico Nacional, lo cual se justifica en el
siguiente apartado de este proyecto, es por ello que se plantea el siguiente
problema de investigación:
¿Cómo apoyar a los docentes para enfrentar la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas en las lecciones de matemática de
acuerdo con los Programas oficiales del Ministerio de Educación Pública en el
III Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de San Carlos?
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1.2- Justificación
El programa de Estudios de Matemática del MEP, explica en su fundamentación
teórica la importancia de apoyar al proceso de enseñanza y aprendizaje de la
matemática mediante diferentes componentes pedagógicos. Entre ellos: la
resolución de problemas como estrategia metodológica, los ejes disciplinares
como el uso de historia de la matemática y uso de tecnología para su
enseñanza y aprendizaje, la contextualización activa del currículo y la
promoción de actitudes y creencias positivas ante esta disciplina. Además, se
proponen acciones que activen los procesos matemáticos como: plantear y
resolver problemas, representar, razonar y argumentar, comunicar y conectar.
La implantación del programa, con estos componentes utilizados de manera
conjunta pueden propiciar el desarrollo de mayores capacidades cognitivas en
los estudiantes (MEP, 2012, p.26).
La estrategia metodológica, los ejes disciplinares y los procesos son una
alternativa novedosa para enfrentar la crítica nacional sobre los procesos de
enseñanza y aprendizaje de la disciplina. Al respecto de la problemática el Dr.
Leonardo Garnier Rímolo, Ministro de Educación Pública en la Administración
Chinchilla Miranda (2010 – 2014), en la introducción del Programa de
Matemática (2012), indica que a través de la historia, la enseñanza de la
matemática ha sido problemática en nuestro país y que a pesar de muchos
esfuerzos, tenemos fracaso escolar especialmente en esa asignatura:
en los cursos, en las pruebas diagnósticas de sexto y noveno, en
bachillerato... pero también es donde salimos más débiles en pruebas
internacionales como las de SERCE o PISA.
No es un problema solamente costarricense, es – al menos – un
problema iberoamericano: nuestros países parecen arrastrar problemas
importantes en la enseñanza de las Matemáticas. Son problemas serios,
pero no insuperables, como lo han demostrado países que, en períodos
relativamente cortos, pasaron de una situación similar a una
completamente distinta en la que sus estudiantes logran desarrollar una
11
elevada comprensión, conocimientos y destrezas matemáticas (MEP,
p.10).
También, el Informe del Estado de la Educación (2013), con respecto al bajo
desempeño estudiantil sobre las capacidades cognitivas clave, indica lo
siguiente:
Actualmente, los sistemas educativos de calidad en el mundo centran
sus esfuerzos en promover en los estudiantes un conjunto de
capacidades cognitivas que les permitan comprender las ideas de
manera profunda y operar con ellas de un modo efectivo. Esto implica
estimular el desarrollo de destrezas como la exploración, la comprensión
lectora, la resolución de problemas, la síntesis, la construcción de
argumentos y el trabajo colaborativo, entre otras (p.148).
Desde estas perspectivas, el desempeño docente será de gran importancia
ante la necesidad de minimizar las barreras que enfrenta la Educación
Matemática en Costa Rica, de manera que en las lecciones que se imparten en
el área, se fortalezcan procesos que estimulen en los estudiantes las
habilidades y destrezas necesarias para el progreso individual y colectivo.
Cada docente de matemática que se encuentra laborando actualmente en las
aulas, desde su experiencia, contexto personal y preparación académica, tiene
una percepción de la enseñanza de la asignatura, sin embargo, actualmente
esa percepción debe responder al Currículo oficial; para esto se debe pasar por
el proceso de comprensión, apropiación e incorporación de los lineamientos
incluidos en la malla curricular, para desarrollar sus lecciones en el contexto
real en que se desenvuelven.
El empleo de un Currículo cuyo enfoque principal se basa en la resolución de
problemas, exige del docente un cambio cognitivo tanto en la concepción que
se tiene de la propia asignatura como de la forma en la que se enseña; además,
demanda el estudio minucioso de su fundamentación teórica y dedicación al
planeamiento de las lecciones.
12
A través de este trabajo, se interpretará la forma en que algunos docentes de
secundaria de la Región Educativa de San Carlos han realizado la
implementación de la estrategia de resolución de problemas de los Programas
aprobados en el año 2012 y mediante el desarrollo de este proyecto apoyar su
labor, a través de la formulación de recursos didácticos que permitan a su vez,
mejorar la Educación Matemática en la zona.
1.2.1- Resultados de la primera inmersión al centro educativo
En el planteamiento del problema se indicó que existen deficiencias en la
implementación del Currículo de Matemática oficial: organización de la lección,
uso de problemas del contexto, logro de la integración del trabajo realizado en
el aula con el planeamiento y desconocimiento de los procesos y ejes
disciplinares. Con la primera inmersión en el campo se pretendía poder
interpretar la forma en que los docentes sujetos de información habían logrado
este cometido y establecer cuáles de estas deficiencias estaban presentes en
las acciones de los docentes seleccionados.
1.2.1.1- Formación sobre el nuevo Currículo de Matemática
Es importante indicar que los cuatro docentes participantes en este proyecto de
investigación han recibido capacitaciones sobre los programas oficiales del
MEP, esto consta en los registros de la Asesora de Matemática de la Región de
San Carlos. Estos docentes asistieron y aprobaron el curso del 2011
denominado Metodología basada en la resolución de problemas en las
diferentes áreas de la matemática, III Ciclo de la EGB. Además, en los cursos
de aprovechamiento certificado, modalidad bimodal (presencial y virtual),
impartidos en el 2012 y 2013, denominados: Metodología basada en la
resolución de problemas en las diferentes áreas de la matemática, ciclo
diversificado y Uso de historia de la matemática y tecnología para la enseñanza
de la matemática.
También, en el año 2014, recibieron el asesoramiento sobre el tema de
integración de habilidades para la acción de aula en secundaria.
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Cabe destacar, que uno de los docentes participantes de este proyecto de
investigación, ha sido facilitador de los procesos de capacitación en la Región
de San Carlos, lo cual significa que recibe los cursos que imparte directamente
el Proyecto Reforma de la Matemática en Costa Rica y participa de los
procesos de réplica o reproducción de los cursos a nivel regional.
Respecto a la inmersión al campo, se realizó una observación a cada docente,
se conversó con ellos y se analizó el planeamiento de clase. Esta experiencia
reveló información importante para esta investigación. Seguidamente se plantea
una breve descripción.
1.2.1.2- Visita al centro educativo, a los docentes y la realidad en el aula
Con el objetivo de solicitar a la Directora del CTP de Venecia, la autorización
para desarrollar el proyecto de investigación, se programa una entrevista para
comunicar los objetivos del proyecto. La respuesta fue positiva y la Directora
expresó que la experiencia podría ser muy buena para establecer la forma en
que trabajan los docentes de matemática y determinar el tipo de apoyo que se
requería para fortalecer la enseñanza y aprendizaje de la asignatura.
Posteriormente, la investigadora se comunica con los docentes participantes y
les explica en qué consiste el Proyecto de graduación, los objetivos, las
actividades planificadas: observaciones de clase, entrevistas, revisión de sus
planes didácticos y otras acciones como reuniones o grupos focales si se
requieren. Recibe respuesta afirmativa también de los profesores.
Al comenzar con las visitas a las aulas de los docentes participantes, conversar
con ellos, observar sus clases y analizar sus planeamientos didácticos, queda
en evidencia que, a pesar de los cursos impartidos, como parte de la formación
continua de los docentes, sobre temáticas vinculadas a los Programas de
Matemática vigentes, la situación reportada en el Informe del MEP sobre la
problemática de la implementación que forma parte del planteamiento del
14
problema de este proyecto, también estaba presente entre los docentes del
CTP de Venecia.
Cabe destacar algunos aspectos importantes que se notaron como carentes en
la primera inmersión al CTP de Venecia, como por ejemplo, no se explicita en
los planes didácticos de los docentes una sistematización adecuada del
fundamento del Programa de Matemática vigente, en especial, aspectos
relacionados con las etapas de la organización de la lección, procesos
cognitivos y ejes transversales. Así mismo, se evidencia un atraso en el
cumplimiento del Programa en relación al calendario escolar, lo que permite
prestar atención a la integración de habilidades para la acción de aula como
estrategia viable y el tipo de problema (contextualizados o no) que emplean los
docentes al iniciar con el abordaje de conocimientos nuevos.
Por tanto, se determina que son necesarios recursos didácticos para apoyar a
los profesores participantes sobre la temática.
1.2.2- Participantes
En cuanto a la elección de los sujetos de información, dada la extensión
territorial y diversidad de localidades que conforman la Región Educativa de
San Carlos, se ha elegido por conveniencia la población de docentes de
matemática que imparten sétimo, octavo y noveno año del III Ciclo, en el CTP
de Venecia, circuito educativo 01, por dos razones: cercanía con la cabecera
del cantón (Ciudad Quesada) y diversidad de población estudiantil debido a que
atiende adolescentes de la zona central y zonas alejadas del cantón.
El grupo de sujetos de información, estará conformado por los cuatro profesores
que participaron en la primera inmersión al campo, cuyos resultados subrayan
la importancia de reforzar con ellos y en su labor diaria, las temáticas incluidas
en el Programa de Matemática vigente, relacionadas con su implementación.
Con ellos se realizará el trabajo de la observación de lecciones de matemática,
entrevistas, revisión de planeamientos y sesiones de trabajo.
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El grupo mencionado forma parte del conjunto de educadores de secundaria en
el área de matemática de la Región Educativa de San Carlos, a la que se
considerará la población meta, dado que pueden verse beneficiados de los
productos de este proyecto final de graduación, a través de la Asesoría
Pedagógica, para colaborar en la implementación de la resolución de problemas
como estrategia metodológica.
Se adjuntan los datos de los docentes que serán sujetos de información en este
proyecto:
Tabla 1.1: Docentes participantes en el proyecto
Docente Lugar de residencia Grupo
profesional
Años de
servicio
Nivel que
imparte
Profesor 1 Venecia, San Carlos MT-5 14 años 7° año
Profesor 2 Venecia, San Carlos MT-5 12 años 7° año
Profesor 3 Santa Rosa de Pocosol MT-4 10 años 8° año
Profesor 4 Venecia, San Carlos MT-6 5 años 9° año
Fuente: Registro de datos CTP Venecia, Región Educativa de San Carlos
1.2.3- Características sociodemográficas y educativas de los destinatarios
La población atendida por la Dirección Regional de Educación de San Carlos
comprende geográficamente doce circuitos escolares, los que se enumeran
según el orden de la sede de cada supervisión escolar: Venecia, Florencia,
Ciudad Quesada, Aguas Zarcas, Pital, La Fortuna, Boca Arenal, Santa Rosa,
Los Chiles, Pavón, Monterrey y Coopevega (Elizondo, 2015).
La Región Educativa de San Carlos está conformada por trescientos ochenta y
dos centros educativos, sesenta y siete de ellos son de III Ciclo de la Educación
General Básica y Educación Diversificada. De toda la población docente que
labora en la región, ciento treinta trabajan en el área de matemática en
secundaria (Elizondo, 2015).
16
De acuerdo con el Plan Anual de Trabajo del CTP de Venecia (2015), como
parte de su diagnóstico institucional, Venecia es el distrito V del Cantón de San
Carlos, se encuentra a 27 km al sureste de Ciudad Quesada. Se ubica sobre la
carretera que va de Ciudad Quesada a San Miguel de Sarapiquí, se puede
llegar por la ruta que va de Heredia hacia Puerto Viejo de Sarapiquí,
desviándose en San Miguel o bien, por la tradicional ruta Naranjo - Ciudad
Quesada. Los límites de la comunidad son al Norte con el distrito VI (Pital) del
cantón de San Carlos. Al Oeste con el distrito IV (Aguas Zarcas) del cantón de
San Carlos. Al Sur con los cantones de Alfaro-Ruiz y Grecia. Al Este con el
cantón de Grecia.
Los orígenes del Colegio Técnico Profesional Industrial de Venecia se remontan
a 1974, cuando el Lic. Daniel Oduber Quirós visitó la comunidad. Al Señor
Presidente de la República, se le hizo ver la necesidad de crear en el distrito
una institución educativa de segunda enseñanza de modalidad técnica.
En 1975, se aprobó la creación del Colegio Técnico Profesional Industrial de
Venecia, iniciando con una oferta del III Ciclo académico y con las
exploraciones de: secretariado, industria de la madera, industria del vestido y
electricidad.
El curso lectivo inició, en marzo de 1976, en el local de la antigua Escuela de
Venecia, con una matrícula total de 117 alumnos. El objetivo de la institución
desde sus inicios, fue brindarles a los jóvenes del distrito y sus comunidades
vecinas, la posibilidad de cursar su educación general básica en un lugar
accesible y trabajar después de graduados. Desde 1976 y hasta 1981, se
mantuvo como Director el Sr. Francisco Molina González.
En 1978, se logró que el Ministerio de Educación Pública aprobara la apertura
del Cuarto Ciclo de Educación Diversificada, permitiendo a los estudiantes
avanzados cursar estudios con miras de bachillerato profesional y al peritazgo
(año adicional para el Técnico Medio).
17
El CTP de Venecia, atendiendo las necesidades del mercado, ha ido
modificando su oferta técnica, y se ofrecen en el año 2014 las especialidades
de: Secretariado Ejecutivo, Secretariado Bilingüe, Ejecutivo para Centros de
Servicios, Contabilidad General, Construcción de Muebles y Estructuras,
Turismo en Hotelería y Eventos Especiales y para el año 2015 se oferta la
especialidad de electromecánica.
En la actualidad se cuenta con una matrícula de 927 estudiantes, por lo que la
institución es una dirección 3 (matrícula menor a 1000 estudiantes), distribuidos
del siguiente modo: III Ciclo 599, Educación Diversificada 328, además se
cuenta con un departamento de educación especial (pre vocacional) con una
matrícula de 36 estudiantes. La matrícula del III Ciclo se muestra en la siguiente
tabla:
Tabla 1.2: Matrícula III Ciclo por nivel y sexo
Nivel Matrícula
Total Hombres Mujeres
Sétimo 117 130 247
Octavo 94 96 190
Noveno 76 86 162
Total 287 312 599
Fuente: CTP de Venecia, estadística de matrícula inicial 25 marzo 2014.
El Colegio Técnico Profesional de Venecia tiene un horario de lunes a viernes
de 7:00 de la mañana a 4:30 de la tarde para todos los estudiantes de la
institución.
El recurso humano de la administración educativa de la institución está
constituida por: 1 directora, 1 subdirector, 3 coordinadores (técnico, académico
y con la empresa), 4 orientadoras, 1 bibliotecaria, 33 docentes académicos, 38
18
docentes técnicos, 4 administrativos (secretarias, auxiliares), 3 agentes de
seguridad, 7 conserjes, 1 encargado de mantenimiento y 3 cocineras.
Además, la institución ofrece los siguientes talleres para estudiantes de III Ciclo:
confección de artículos en fibras naturales, ideando mi pequeño negocio,
preparemos alimentos agrícolas, metalistería básica, oficina moderna, inglés
conversacional, corte y confección, artesanía, archivar para el futuro,
construcción de pequeños muebles, técnicas manuales y de confección, guía
naturalista, gestión empresarial cooperativa, conociendo los negocios.
Entre las principales actividades de la comunidad de Venecia están las
actividades deportivas, el comité de deportes se encarga de promover y apoyar
diferentes disciplinas deportivas, también se cuenta con el apoyo del comité
cantonal de deportes, existen varias canchas sintéticas para la práctica del
fútbol, en el centro de la comunidad está en construcción una pista para la
práctica del ciclismo y el uso de patinetas, así como espacios para la práctica
del baloncesto y voleibol.
Dentro de las actividades culturales en la comunidad de Venecia se tiene un
grupo de jóvenes, en su mayoría estudiantes del Colegio Técnico Profesional
Industrial de Venecia, que participan en una agrupación llamada Herencia
Sancarleña la cual se encarga de preservar los bailes típicos de la zona norte y
del país, esta agrupación ha representado a la comunidad y al país en el
exterior, recientemente en el mes de octubre del año 2013 estuvieron en Perú.
A la vez existe en la comunidad una Banda Comunal que está integrada por
jóvenes de la comunidad.
Asimismo cuenta con un CINDEA, un EBAIS y en las cercanía se encuentra la
clínica de Aguas Zarcas.
19
En cuanto a proyectos ambientales en la comunidad se encuentran el de
reciclaje en varios supermercados, a la vez el ICE tiene con la mayoría de
escuelas y colegios de la comunidad, entre estos el CTP de Venecia, un
proyecto de siembra de árboles utilizando procesos de germinación adecuados,
los cuales son cuidados por los estudiantes de las instituciones hasta cierta
edad, luego de esto son llevados a diferentes lugares para ser sembrados y
reforestar distintas áreas de la comunidad o se donan a finqueros de la zona
que quieran reforestar.
Finalmente, después de establecer que existe la necesidad de recursos
didácticos para apoyar a los profesores participantes en la implementación de la
resolución de problemas como estrategia metodológica, conocer sus
características particulares y las características sociodemográficas y educativas
de los destinatarios se plantean en la siguiente sección los objetivos de este
proyecto de graduación.
1.3- Objetivos
Para la realización de este proyecto, se proponen los siguientes objetivos:
1.3.1. Objetivo general
Valorar recursos didácticos1 para apoyar la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas en las lecciones de matemática de
acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de Educación Pública en el III
Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de San Carlos.
1.3.2. Objetivos específicos
1. Reunir información sobre la implementación de la estrategia metodológica
de resolución de problemas en las lecciones de matemática de acuerdo con
1 Recursos didácticos para efectos de este proyecto de investigación se entenderá según el
Glosario de términos curriculares para la UNED como: Todos aquellos medios, objetos instrumentos o hechos que se utilizan para favorecer el aprendizaje del estudiantado. (PACE, 2013).
20
los programas oficiales del Ministerio de Educación Pública en el III Ciclo del
CTP de Venecia de la Región Educativa de San Carlos.
2. Interpretar la información sobre la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas en las lecciones de matemáticas
de acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de Educación Pública
en el III Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de San Carlos.
3. Diseñar recursos didácticos que pueden emplear los docentes para apoyar
la implementación de la estrategia metodológica de resolución de problemas
en las lecciones de matemáticas de acuerdo con los programas oficiales del
Ministerio de Educación Pública en III Ciclo del CTP de Venecia de la
Región Educativa de San Carlos.
4. Aplicar los recursos didácticos diseñados para apoyar la implementación de
la estrategia metodológica de resolución de problemas en las lecciones de
matemáticas de acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de
Educación Pública en III Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa
de San Carlos.
5. Evaluar los recursos didácticos aplicados para apoyar la implementación de
la estrategia metodológica de resolución de problemas en las lecciones de
matemáticas de acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de
Educación Pública en III Ciclo año del CTP de Venecia, de la Región de
Educación de San Carlos.
1.4- Antecedentes
1.4.1- Resolución de Problemas en Costa Rica
De acuerdo con Espinoza, J., González, M., Ramírez, I. & Zumbado, M. (2008),
nuestro país no ha estado ajeno a los cambios producidos en los procesos de
enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas mediante la resolución de
21
problemas, estos autores indican algunos eventos que evidencian esta
presencia:
Hace más de 30 años en la antigua Escuela Normal Superior, Moya
(1972) presenta su trabajo de investigación en Resolución de problemas
aritméticos en tercer año de secundaria, sin embargo, fue un intento
aislado para implementar esta estrategia metodológica y no tuvo mayor
proyección.
Buján (1983), en la Universidad de Costa Rica (UCR) con su trabajó
Resolución de Problemas de Matemáticas en la Educación Primaria,
propuso “problemas típicos de libros de texto” y “problemas proceso”
(como los definió el autor), con el objetivo de alcanzar diversos niveles
de conocimiento; ambos tipos de problemas son complementarios. Se
enfoca en la estrategia de resolución de problemas en Pólya 1957, 1980;
LeBlanc 1977, 1980.
En noviembre de 1991, se realizó el primer "Simposio Costarricense de
Matemáticas, Ciencias y Sociedad", abriendo un nuevo espacio para la
divulgación de experiencias e investigaciones relacionadas con las
Matemáticas y este evento se ha seguido realizando, el último en el
2012.
En 1997, surgió en la UCR el Centro de Investigaciones Matemáticas y
Meta-Matemáticas (CIMM), Después de esto, se conformaron
comunidades que se interesan en la Educación Matemática,
especialmente por una de sus estrategias, la resolución de problemas, y
comienzan a promover actividades que la fortalezcan.
En el 2001, se inició el proyecto de investigación titulado Apoyo a la
Investigación en la Escuela de Matemáticas, (AIEM) en la Universidad
Nacional (UNA).
En la UNA se ha producido investigaciones como: La Enseñanza de la
Estadística en la Educación Media Costarricense, Resolución de
problemas en la Enseñanza de las Matemáticas, Uso de la Tecnología
22
en la Carrera de Enseñanza de las Matemáticas en la Escuela de
Matemáticas de la UNA
En el 2006, el AIEM organizó un seminario de investigación titulado
Conceptos teóricos de la resolución de problemas y la escuela francesa
de Didáctica de las Matemáticas y el “Primer Encuentro de la Enseñanza
de las Matemáticas” promovido por la Universidad Estatal a Distancia
(UNED) que incluía la temática.
El Simposio Costarricense de Matemáticas, Ciencias y Sociedad, evento
nacional ha tratado esta temática:
o Resolución de problemas con el apoyo de tecnología digital
o La proporción de elementos teóricos sobre la resolución de
problemas, computación, lenguaje, poesía, arte.
o Resolución de Problemas en la Educación Matemática.
o Uso de tecnologías en la Educación Matemática.
o Enseñanza aprendizaje de la Estadística.
o Además ha incluido trabajos como: un taller sobre el planeamiento
de una clase mediante la resolución de problemas con material
digital que incluía al menos doce artículos sobre la resolución de
problemas.
En los años 2006 y 2007, el AIEM, apoyó un proyecto interinstitucional de
investigación en resolución de problemas en la Educación Matemática,
entre sus objetivos estaba producir material didáctico y de investigación
en el campo de la resolución de problemas en la enseñanza de las
Matemáticas.
Otras fuentes muestran la ruta que han seguido los investigadores
nacionales e internacionales después del 2010:
Fonseca y Alfaro (2010), de la Escuela de Matemática de la Universidad
Nacional, desarrollan la experiencia, Resolución de problemas como
estrategia metodológica en la formación de docentes de matemáticas:
23
una propuesta, tiene como objetivo señalar e integrar aquellos elementos
que deberían guiar la construcción e implementación de situaciones
didácticas para la resolución de problemas como estrategia metodológica
en la formación de docentes de matemática.
Actualmente se pueden encontrar diferentes artículos, fundamentados
algunos de ellos, en investigaciones nacionales e internacionales, a
cerca de la resolución de problemas en matemática en el Repositorio
Institucional de la Universidad de Costa Rica, como por ejemplo:
o De Faria (2013), Tecnología Digital , referida al uso de tecnologías
digitales en la resolución de problemas en los Programas de
Estudios del MEP Costa Rica y Resolución de Problemas en los
Programas de Estudios del Ministerio de Educación Pública de
Costa Rica en el que se analizan los lineamientos contenidos en el
Programa de Estudios del MEP en Costa Rica.
o Santos (2014), trabajó sobre El Papel de la Resolución de
Problemas en el Desarrollo del Conocimiento Matemático de los
Profesores para la Enseñanza, que trata sobre el conocimiento
matemático que se debe promover en los programas de formación
y desarrollo profesional de profesores de matemática, entre ellos,
la resolución de problemas.
El I Congreso de América Central de Educación Matemática y El Caribe
(CEMACYC), es una iniciativa de la Red de Educación Matemática de
América Central y El Caribe, que nació durante la realización de la
Escuela Seminario Internacional Construcción de Capacidades en
Matemáticas y Educación Matemática, celebrada en Costa Rica en
agosto del 2012, se celebró en noviembre del 2013. En dicho congreso
se trataron múltiples temas relacionados con la resolución de problemas
por medio de conferencias, minicursos, comunicaciones, talleres,
posters. Por ejemplo, De Faria (2013), en conferencia paralela, El
24
pensamiento funcional en los Programas de Estudio de Matemática para
la Educación Primaria y Secundaria: Una visión integral.
Además, Mora, Gutiérrez y Herrera (2013), trabajaron en la Resolución
de problemas como medio para la construcción de aprendizajes y el logro
de competencias: una experiencia en educación superior.
Por su parte, Meza, Suárez y Agüero (2015), investigadores del Instituto
Tecnológico de Costa Rica, realizan el proyecto de Investigación, Estudio
de la actitud de los y las estudiantes de educación media hacia la
resolución de problemas matemáticos, como uno de los estudios más
recientes sobre resolución de problemas desde la perspectiva de
estudiantes de educación secundaria.
En mayo del 2015, Chiapas, México, se llevó a cabo la XIV Conferencia
Interamericana de Educación Matemática (CIAEM), en la que se
abordaron temas como: La importancia de las estrategias de solución de
profesores de secundaria para resolver problemas, según el expositor
Mejía el objetivo era resaltar la importancia de dichas estrategias cuando
resuelven problemas un grupo de profesores que trabajan en el nivel
educativo de secundaria. Una conclusión del estudio es que existen
problemas que se pueden resolver prácticamente siguiendo el mismo
camino, con las mismas estrategias de solución; pero también hay
problemas que pueden ser resueltos por diferentes vías, y a su vez con
diferentes estrategias de solución. Asimismo, la comunicación de
Zumbado versaba sobre Formación inicial de profesores de enseñanza
secundaria en Educación Matemática: una experiencia en Educación
Superior a Distancia enfrentando una reforma curricular, que muestra las
acciones realizadas por la Cátedra de Didáctica de la Matemática de la
Universidad Estatal a Distancia (UNED) en la formación inicial de
profesores de secundaria para enfrentar el desafío de la implementación
de los programas oficiales de estudio aprobados en Costa Rica durante
el 2012.
25
Lo anterior pone de manifiesto que la resolución de problemas matemáticos se
encuentra presente en el currículo de la Educación Matemática costarricense,
esto reflejado en los Programas de Estudio de Matemática vigentes, en los
textos producidos, en las actividades académicas y en los proyectos de
investigación de las universidades.
1.4.2- Resolución de Problemas en el MEP
Según, Espinoza, J., González, M., Ramírez, I. & Zumbado, M. (2008),
expresan que el MEP sugería, en los programas anteriores que databan desde
2005, algunas estrategias fundamentadas en el enfoque constructivista y el
empirista, los cuales debía adecuarse a la edad del estudiante logrando no sólo
la transmisión de conocimientos, sino también que consideren la formación
humana y la capacidad de afrontar situaciones problema que se le presenten en
la vida. Además, considera dos aspectos importantes para su planteamiento: la
naturaleza de los problemas, esto es, qué tipo de problemas proponer a los
estudiantes de los diferentes niveles escolares y la manera en que se debe
organizar una clase o lección de solución de problemas.
Con respecto al primer aspecto, los problemas deben reunir algunas
características, tales como: implicar para los estudiantes un reto o una
verdadera situación problema, que la solución signifique una manera de
conocer su medio ambiente, referirse a situaciones propias de la vida cotidiana
tomando en cuenta características concretas del pensamiento de los alumnos,
además:
Referirse a una amplia gama de contextos, de este modo el o la
adolescente se verán enfrentados a situaciones que retan su capacidad
reflexiva y creativa.
Responder a diferentes esquemas de razonamiento, aunque el
concepto que se aplique en su solución, sea el mismo. Por ejemplo, en
el colegio, no limitarse a repetir procedimientos que enseña el profesor,
ya que esta práctica tiene el inconveniente de provocar en los alumnos
respuestas mecánicas, más o menos estereotipadas, para las que no
26
hay que razonar mucho. Con esto se pierde el objetivo tan importante
del significado, que todo ejercicio mental debe plantear a los jóvenes
estudiantes. (Espinoza et al, 2008).
En cuanto al segundo aspecto que refiere a la organización de la clase, los
autores mencionan al programa del MEP 2005, en el que se propone que el
educador promueva actividades en las que el estudiante realice sus propios
planteamientos y descubran las hipótesis en que basará su forma de resolver el
problema, tome en cuenta que los alumnos deben descubrir cómo resolver un
problema, en contacto con el material que apoye sus razonamientos, con sus
propios conocimientos sin usar símbolos o teoremas, y la función del profesor
en el proceso será permitir que los estudiantes resuelvan por si mismos la
situación, ayudándoles a organizarse y explicando aspectos de la actividad en
los que no exista claridad, además:
Es importante que, antes de realizar la actividad, el docente haga
pensar a los jóvenes en el resultado que creen que pueden obtener.
Esto favorece que comiencen a hacer cálculos mentales, los que
posteriormente les facilitarán los cálculos por escrito. Cuando los
estudiantes han intentado resolver un problema por sí solos, las
explicaciones del profesor o profesora sobre el contenido del tema tiene
mayor sentido para ellos. Esto les permite darse cuenta si acertaron, que
pueden existir soluciones diversas a un mismo problema o por qué se
equivocaron.
La manera en la que cada alumno resuelve los problemas
depende de su edad, de sus conocimientos y experiencias
En un segundo momento, el docente enseña algunos aspectos
del contenido del tema. Empieza por hacer preguntas sobre lo que los
estudiantes han realizado y los resultados que obtuvieron, cómo han
llegado a la solución o las razones por las que no han tenido éxito.
Termina mostrándoles otros procedimientos o diciéndoles cómo se
escribe con símbolos lo que han hecho. (Espinoza et al, 2008).
27
Respecto al desarrollo de la clase bajo la metodología de resolución de
problemas, Espinoza y otros (2008), mencionan que la propuesta del MEP
2005, coincide con los tipos de situaciones a-didácticas planteadas por
Brousseau (1986): de acción (que se refiere al enfrentamiento individual de
cada estudiante con el problema, donde es fundamental las habilidades y
conocimientos previos del mismo), de comunicación (momento en que discute
con sus compañeros y profesor sobre lo que se está haciendo, pero sin que
éste le diga la respuesta) y de validación (los estudiantes discuten acerca del
trabajo realizado para cerciorarse si realmente es correcto). En cuanto al papel
del docente al institucionalizar el saber, según lo plantea Brousseau (1986),
esto es ordenar formalmente y definir el conocimiento matemático adquirido por
el estudiante a través de la resolución de un problema.
Según Espinoza y otros (2008), las estrategias de solución que expone los
Programas de Estudio 2005, son las recomendaciones que aportan los
investigadores mexicanos Block, Martínez y Dávila (1990), bajo los supuestos
de que para resolver un problema no es necesario recibir previamente
información acerca de cómo se resuelve, pues, los alumnos tienen recursos
adquiridos en su experiencia previa para abordar un problema significativo para
ellos, el proceso de resolver un problema incluye ensayar un procedimiento,
rectificar errores, adaptar creativamente recursos conocidos. Si el maestro
indica previamente cómo se resuelve el problema, impide la realización de este
proceso, un problema puede ser resuelto con distintos procedimientos y no con
uno solo, un problema puede implicar la puesta en juego de varios
conocimientos matemáticos y no de uno solo en cualquier nivel escolar, se
deben considerar estrategias como: trabajo en grupos, revisión y discusión de
resultados y medidas de apoyo.
Estas características de los problemas, respaldan una vez más el papel activo
del estudiante y la responsabilidad del profesor tan importantes en esta
investigación.
28
En general, existe coherencia entre el perfil de Educación Matemática que
pretende el Ministerio de Educación Pública y esta propuesta de investigación.
Sin embargo, en los Programas de Estudios 2005, no queda clara la manera en
que se debe abordar la resolución de problemas, pues comúnmente se ha
incorporado como un apartado de aplicaciones al final de cada contenido
después que el profesor ha dado a conocer las definiciones y propiedades. Esto
da muy poco espacio al estudiante para descubrir y construir el conocimiento, lo
que podría provocar en algunos de los alumnos, dificultades para la
interiorización del mismo.
Por el contrario, esta propuesta utiliza la resolución de problemas como un
instrumento para enseñar Matemáticas, de manera opuesta al abordaje de tipo
conductista que se utiliza con frecuencia; con esto se persigue lograr una
verdadera apropiación del conocimiento matemático por parte de los
estudiantes.
Este trabajo pretende dar un aporte en este sentido, ya que se trata de
confeccionar buenas situaciones didácticas o problemas para ser expuestos al
inicio de un contenido programático, cuya necesidad, fortalecimiento o
construcción, emerge de los resultados de las inmersiones en el campo de
estudio, esto es, contrario a lo que generalmente se realiza en clase, de manera
que le permita al estudiante poner en práctica sus habilidades y conocimientos
previos y, a partir de ellos, construir o descubrir nuevos conocimientos
matemáticos que al final el profesor institucionalizará.
Es evidente la importancia que tiene en la actualidad la resolución de problemas
como estrategia pedagógica desde hace algunas décadas, donde los aportes
de las obras de Pólya fueron trascendentes. Además, autores como Kilpatrick,
Lester, Goulding, Glasier, Schoenfeld y otros, han contribuido a fortalecerla.
Así mismo, la sociedad ha expresado a través de diversos congresos,
simposios, reuniones entre educadores matemáticos organizados por el ICMI,
NCTM, CIAEM, ICME, CIBEM y las continuas publicaciones, la necesidad de un
29
cambio en las estrategias metodológicas para la enseñanza de las
Matemáticas. Dicho cambio ya se ha visto en países como España mediante las
investigaciones de Rico y Gascón, en México con el aporte del Dr. Santos de
Trigo, en Cuba con la Dra. Hernández y en Japón con su estrategia de lección
basada en el trabajo en grupo, colaborativo, estrechamente supervisado por el
profesor.
Al tratar esta temática en Costa Rica, cabe mencionar el trabajo de Moya en
1972 y Buján en 1983, pero no es hasta los años 90`s que surge un mayor
interés sobre las investigaciones en resolución de problemas. Se destacan el
CIMM de la UCR y el AIEM de la UNA, los cuales han producido
investigaciones respecto a esta temática y organizan eventos para la promoción
de sus resultados.
De esta forma, en el apartado 1.3 de este capítulo se expuso el objetivo general
de este proyecto de investigación que trata sobre valorar recursos didácticos
para apoyar la implementación de la estrategia metodológica de resolución de
problemas en las lecciones de matemática de acuerdo con los programas
oficiales del Ministerio de Educación Pública en el III Ciclo del CTP de Venecia
de la Región Educativa de San Carlos. Asimismo, los objetivos específicos del
presente trabajo están dirigidos a reunir e interpretar información sobre la
implementación de la estrategia de resolución de problemas con el fin de
diseñar, aplicar y evaluar dichos recursos pedagógicos para apoyar esta labor
de implementación.
Finalmente, se presentó un análisis de los Programas de Estudio del MEP,
2005 y se describieron los fundamentos teóricos que los orientan, los cuales
justifican su relación con este proyecto de investigación. También, quedó
manifiesta la relevancia que tiene la Educación Matemática como motor de
progreso nacional y la resolución de problemas, como una estrategia
metodológica coherente con el perfil buscado en dichos programas.
30
1.4.3- Antecedentes sobre el cambio curricular
La Educación Matemática dada a los estudiantes en Costa Rica ha sido muy
cuestionada históricamente (Ruiz, 2013). En esta materia se han obtenido los
más bajos rendimientos en pruebas nacionales de bachillerato. Esta variable no
es la única por considerar sobre Educación Matemática en Costa Rica, también
se toman en cuenta los resultados obtenidos en pruebas diagnósticas
nacionales e internacionales, problemas relacionados con los estudiantes, la
formación docente y el sistema educativo. Estos puntos han sido explicados
ampliamente por el Dr. Ángel Ruiz Zúñiga en los Cuadernos de Investigación y
Formación en Educación Matemática, en el artículo especial sobre la Reforma
de la Educación Matemática en Costa Rica.
Según Ruiz (2013) los estudiantes costarricenses poseen capacidades
cognitivas limitadas en matemáticas, esto debido a varias razones, entre ellas
que el aprendizaje carece de significado para los estudiantes.
Aprendizajes matemáticos no significativos, que no preparan
adecuadamente al ciudadano del actual escenario histórico y entre otras
cosas provocan fracaso en las universidades públicas.
Hay otras condiciones asociadas al estudiantado:
Contextos culturales y familiares que no promueven actitudes y
creencias positivas sobre las Matemáticas, como por ejemplo la
falta de persistencia en su quehacer escolar y de una valoración
positiva de las Matemáticas para su vida (se percibe solamente
como un requisito o un obstáculo),
La experiencia escolar negativa con las Matemáticas es una de
las razones de deserción estudiantil, algo muy grave en Costa
Rica (Ruiz, 2006),
La pasividad e indisciplina como expresión del estilo escolar
dominante (Ruiz, 2013, p.14).
Otras variables importantes a considerar sobre Educación Matemática en Costa
Rica son las que rodean al profesor de matemática de secundaria y a los
31
docentes de enseñanza en I y II Ciclos. Al respecto, Ruiz (2013) puntualiza
sobre graves problemas como la débil formación universitaria del docente de
primaria especialmente y una cantidad considerable de graduados de
universidades privadas con programas de formación cortos en tiempo y calidad,
aunado a esto menciona la falta de capacitación docente continua y de criterios
de selección de los docentes que se postulan para laborar en las universidades.
Menciona la falta de uso de recursos metodológicos importantes para la
enseñanza de la matemática como son la historia, modelos matemáticos y
tecnologías de la información y la comunicación; Además, de la gran debilidad
en el área de estadística y probabilidad. Asimismo, otras debilidades
mencionadas por Ruiz (2013, p.15) corresponde a:
La preparación docente en la Secundaria ha sido inapropiada, pues los
programas de formación inicial han dado poco lugar a la pedagogía
específica, han utilizado un enfoque abstracto y formal de las
Matemáticas para educadores y están poco sintonizados con los
hallazgos de la investigación y experiencia internacional, hay debilidades
en el conocimiento de las matemáticas aplicadas o mejor dicho de
aplicaciones apropiadas capaces de motivar una mejor valoración por
parte de los estudiantes (Ruiz, Chavarría y Mora, 2003).
El sistema educativo costarricense arrastra problemáticas que afectan la
Educación Matemática. Estos problemas también los enumera de manera
metódica este autor, entre ellos la existencia de una alta deserción en
educación secundaria, escaso aprovechamiento de los recursos tecnológicos
como computadoras y acceso a Internet que ofrecen los programas de
informática educativa como los de la Fundación Omar Dengo, débil estatus
profesional del docente consecuencia de la inexistencia obligatoria de
acreditación de programas de formación universitaria, ausencia de un sistema
de contratación docente en educación pública basado en calidad del
profesional, pruebas de incorporación o rendición de cuentas y más
relacionadas con la práctica docente, falta de apoyo curricular, presencia
32
desigual de recursos en las diferentes zonas del país y modalidades de las
instituciones, exceso de estudiantes con adecuaciones curriculares abordadas
de manera inadecuada en las aulas por falta de los medios necesarios, pérdida
de días lectivos por actividades no pedagógicas, todo esto dificulta el trabajo de
los docentes en el aula. Al respecto Ruiz (2013, p.16), agrega:
Otra de las debilidades de fondo, que se da no sólo en la Educación, es
la ausencia de políticas de Estado de mediano y largo plazos y el
dominio de ciclos políticos, lo que ocasiona incertidumbre en las
acciones educativas (cada cuatro años, el nuevo ministro de Educación
puede debilitar acciones buenas del anterior, o redirigirlas en una
dirección contradictoria).
A estas importantes anotaciones se podría añadir otras no menos importantes
mencionadas por Ruiz (2013, p.15) como la relacionada con la separación que
existe entre los programas de formación inicial para docentes y el Programa de
Estudios que se debe abordar en las aulas, del cual depende en gran medida el
aprendizaje de los estudiantes. Además, en cuanto a los programas de estudio
anteriores, Ruiz indica que:
Estos programas no ofrecían una estrategia para la acción de aula, ni
permitían sostener una orientación que potenciara la construcción de
capacidades cognitivas superiores en los estudiantes ni que promoviera
una formación escolar atractiva para éstos. Un cambio en los programas
de Matemáticas no era suficiente para responder adecuadamente a la
situación crítica de la enseñanza aprendizaje de las Matemáticas, pero
sí era necesario (2013, p. 19).
En resumen, existen graves problemas que, sin lugar a dudas, afectan
directamente la Educación Matemática del país, pero de manera categórica,
aquellos relacionados con la metodología empleada por el docente en las aulas
de la cual depende el aprendizaje, la motivación de miles de estudiantes y que
se encuentra íntimamente arraigada a la formación universitaria que han tenido
33
los docentes, tanto en conocimientos matemáticos como en los relacionados al
abordaje del Programa de Estudios propiamente.
1.4.4- Antecedentes sobre la propuesta de currículo en el área de
matemática, año 2011:
En el año 2011 se establece una propuesta de currículo para el área de
matemática. Algunos docentes, asesores nacionales y asesores pedagógicos
de las diferentes regiones del país fueron llamados a asistir a encuentros en los
que se comparte y analiza dicha propuesta. Se organizan grupos de docentes
de primaria y secundaria para iniciar un proceso de socialización de los
programas y posteriormente de capacitación. En los procesos de socialización y
capacitación se abordó el fundamento teórico y algunos contenidos de I y III
Ciclo de la Enseñanza General Básica.
Se generan paralelamente, grupos de docentes que asumirían un papel de
facilitadores (docentes líderes) en las regiones educativas del país, con el fin de
divulgar la propuesta y que ésta se extendiera por el país. Al respecto Ruiz
(2013) indica:
Trabajando a marcha forzada, en agosto del 2011 la comisión redactora
presentó una primera versión de la propuesta curricular, que fue
aprobada por el ministro Garnier y sometida al Consejo Superior de
Educación (CSE).
Con la propuesta inicial ya elaborada, se realizaron reuniones con los
asesores nacionales de diversas dependencias del MEP así como con
los asesores pedagógicos (regionales) de Matemáticas (p. 25).
A nivel regional se organizaron grupos de docentes que recibieron un curso
bimodal (presencial y virtual) de ochenta horas para que los docentes tuvieran
la oportunidad de conocer la propuesta, profundizar en ella a través del estudio
de material de apoyo y prácticas a través de plataforma virtual, e incluso realizar
34
recomendaciones y sugerencias. Este trabajo se efectúa a nivel nacional y se
continúa el siguiente año.
1.4.5 Aprobación del Currículo vigente, año 2012:
Desde la aprobación del Programa de Estudios, año 2012, se procura que los
docentes conozcan y dominen todos los aspectos que contiene el programa
relacionados con el mejoramiento de la Educación Matemática en las aulas y
así solventar, en la medida de lo posible, la problemática que rodea la
asignatura y que es causante del fracaso a nivel nacional de muchos
estudiantes. Al respecto, el Ministro Garnier, en la presentación del Programa
de Estudios de Matemática (2012), hace referencia:
Los nuevos programas buscan contribuir significativamente a que Costa
Rica supere los problemas que por muchos años han caracterizado –
como en otros países – la enseñanza de las Matemáticas. Esto
requerirá, por supuesto, un esfuerzo muy importante en capacitación de
nuestros docentes, la producción de recursos educativos, el uso de
recursos tecnológicos y, posteriormente, la adecuación de los programas
universitarios para responder a estos nuevos programas (p.10).
En síntesis, los antecedentes expuestos hacen referencia al proceso que se ha
vivido en Costa Rica sobre el cambio del currículo en el área de matemática, y
los cambios que el docente debe implementar en la ejecución de la estrategia
metodología para el desarrollo de una clase, en espera de superar la
problemática actual y avanzar significativamente en el fortalecimiento de la
enseñanza de la asignatura.
Seguidamente se desarrollará el marco teórico referencial que pretende ofrecer
información sobre la propuesta curricular costarricense y los fundamentos
teóricos que la sustentan.
35
CAPÍTULO 2: MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA
2.1- Fundamento del programa vigente, 2012
El Programa de Estudio de Matemática, vigente de manera oficial en Costa Rica
desde mayo del año 2012, en su fundamento teórico establece la necesidad de
modificar el currículum para ser adaptado a los requerimientos de la población
costarricense, teniendo un enfoque que permita al estudiante cambiar la visión
que tiene de la Matemática, haciéndola ver más fácil y con mayor aplicación
práctica. Se propone un cambio en el estilo metodológico del proceso de
enseñanza y aprendizaje con un enfoque basado en la resolución de
problemas.
Respecto al enfoque de los programas Ruíz (2013), indica:
el enfoque principal de este currículo se consigna como “Resolución
de problemas, con énfasis en contextos reales”. Se trata de una
estrategia pedagógica, no de un ajuste de contenidos (aumento o
disminución de contenidos). Su finalidad última es transformar la acción
de aula (p.29).
Este enfoque metodológico implica que la acción de aula se desarrolle a través
de lecciones de Matemática organizadas, tomando en cuenta ciertos momentos
tal y como lo expresa Ruiz (2013):
La resolución de problemas como estrategia para la construcción de
aprendizajes propone una acción de aula resumida en cuatro momentos:
presentación del problema, trabajo independiente de los estudiantes,
contrastación y comunicación de estrategias seguidas en la fase
independiente, y cierre o clausura de la lección. En cada momento el
docente debe realizar tareas específicas (p.29).
Las tareas que realice el docente en sus lecciones deben permitir el aprendizaje
de conocimientos que se aplican en la resolución de otros problemas y
36
ejercicios que sean familiares al contexto estudiantil, según Ruiz (2013) “ los
cuatro momentos deberán complementarse con sesiones de movilización de los
aprendizajes realizados, es decir, actividades que permitan la memorización y
automatización de los conocimientos aprendidos (objetos y métodos) y su
aplicación en diversas situaciones” (p. 29).
En el Programa de Estudios de Matemática vigente se expone claramente las
fuentes en que se sustenta este estilo de lección sugerido en el mismo currículo
y que será de suma importancia destacar. Estas fuentes son cinco, las que se
describen a continuación:
Experiencias investigativas en Costa Rica.
La OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico)
en el marco de las pruebas PISA.
Planteamientos teóricos de la corriente de Educación Matemática
Realista (EMR).
La teoría de las situaciones didácticas (TSD), elaborada por G.
Brousseau.
La lección japonesa.
Primeramente se basa en las experiencias investigativas que se han llevado a
cabo en Costa Rica y que hacen referencia a las lecciones de Matemática
tradicionales que no demandan del estudiante mayor trabajo intelectual para el
desarrollo de capacidades cognitivas necesarias, al respecto el MEP (2012) en
sus fundamentos indica:
Se trata de un estilo de lección que no motiva el interés estudiantil,
debilita condiciones centrales para que se potencie la construcción de
los aprendizajes. Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009) proponen
precisamente una formación docente en sintonía con características de
una lección distinta a la que se desarrolla mayoritariamente en las aulas
costarricenses (p. 499).
37
En segundo término, se sustenta en las ideas de la OCDE en el marco de las
pruebas PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos), para el
cual, en el marco teórico para las pruebas comparativas internacionales se
declara un enfoque de problemas en contextos reales con la intención de
promover dicho enfoque en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, tal
y como se explica en el siguiente párrafo:
procurando que dichos problemas adopten una forma apta para la
aplicación de métodos matemáticos, que se utilice el conocimiento de
las Matemáticas para resolverlos y que se evalúe su solución en el
contexto del problema original. Si los alumnos aprenden a hacerlo así,
estarán mejor preparados para utilizar sus conocimientos y habilidades
Matemáticas durante toda su vida; serán competentes en Matemáticas
(OECD, 2005, p. 38) (MEP, 2012, p.499).
Aunado a estos elementos, Ruíz (2013) establece una clara distinción entre
conceptos como competencia y competencia Matemática, enunciados por la
OCDE para la prueba PISA, definiendo la competencia como “ la capacidad
de los alumnos para aplicar conocimientos y habilidades, y para analizar,
razonar y comunicarse con eficacia cuando plantean, resuelven e interpretan
problemas relacionados con distintas situaciones” (p. 30). Además, el mismo
autor cita la definición de competencia Matemática emitida por la OCDE para la
prueba PISA de la siguiente forma:
una capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las
Matemáticas en una variedad de contextos. Incluye razonar
Matemáticamente y usar conceptos, procedimientos, hechos y
herramientas para describir, explicar y predecir fenómenos. Ayuda a los
individuos a reconocer el papel de las Matemáticas en el mundo y hacer
juicios bien fundados y decisiones necesarias para ciudadanos
constructivos, comprometidos y reflexivos (OECD, 2010a, p. 4).
Asimismo, como tercer fundamento, se sustenta en ideas expresadas en
planteamientos teóricos de la corriente de Educación Matemática Realista
38
(EMR) que fundamenta la acción educativa en Holanda, Japón y Francia. Esta
fuente indica que “ En EMR los problemas contextualizados son fuente para
el proceso de aprendizaje. Trabajando con esos problemas se desarrollan los
conceptos e instrumentos matemáticos y el entendimiento Los estudiantes
no se consideran receptores pasivos de Matemáticas ya hechas sino como
participantes activos del proceso educativo” (MEP, 2012, p.499-500).
Además se cita, en el Programa de Estudios de Matemática (2012), la cuarta
fuente del estilo de organización de las lecciones que corresponde a la teoría de
las situaciones didácticas (TSD), elaborada por G. Brousseau desde la década
de los sesenta del siglo pasado y extendida por varios investigadores
principalmente francófonos. A continuación se presenta un extracto:
Es una teoría que posee una gran influencia y aceptación en España,
Francia y en toda América Latina. En esa teoría se propone la noción de
situación, que en esencia es:
un sistema de relaciones entre algunos estudiantes, un docente y
algún conocimiento matemático. El aprendizaje de los estudiantes
resulta de interacciones que se dan dentro de estos sistemas y es
altamente dependiente de las características de ellos. La teoría busca
entender estas relaciones y determinar las condiciones para el
funcionamiento óptimo de ellos (Artigue & Houdement, 2007) (MEP,
2012, p.500).
La quinta y última fuente es la lección japonesa, según Mena (2007), la
estructura de la lección es la siguiente “ Una clase típica japonesa comienza
con la revisión de la sesión anterior; sigue con la presentación de los problemas
del día; luego viene trabajo individual o grupal de los alumnos; posteriormente,
se discute los métodos de resolución encontrados, y se termina con la puesta
en relieve y resumen del punto principal”. Como parte de la estrategia
pedagógica del profesor, realiza preguntas a sus alumnos para atraer su
pensamiento hacia un punto particular, instrucciones para el reconocimiento
39
previo de la resolución de los problemas que los alumnos realizan, obtener una
idea Matemática integrada a partir de la discusión generalizada de la clase y
comparar métodos de solución para tener una visión de conjunto (Mena, 2007,
p. 4).
De acuerdo con Mena (2007), desde el año 1943, los textos oficiales utilizados
en Japón se basan en procesos de matematización y resolución de problemas,
según este autor el “ tema ha evolucionado, desde los procesos abiertos –
varias maneras de resolución–, a finales abiertos –varias respuestas para un
problema de final abierto– y a problemas abiertos –que cambian y se
desarrollan desde un problema dado” (p.4).
Según Mena (2007) hay tres métodos en los que se basa frecuentemente una
clase japonesa de Matemáticas, el primero, "Método de resolución de
problemas" es el más usado en Estudios de Clases, comienza con la
comprensión del problema, sigue con el desarrollo de una solución de los
alumnos por sí mismos, se discuten luego las soluciones encontradas y se
termina con una conclusión. El segundo corresponde al "Método de descubrir
problemas" describe que los niños identifican por sí mismos un problema por
resolver que surge en el transcurso del aprendizaje. Con referencia al tercer
método el autor propone:
El "Método de discusión” considera que una idea se suele aclarar
durante el proceso de discusión del niño con sus compañeros o con el
profesor; que la discusión misma es un medio efectivo para mejorar la
capacidad de aprendizaje, y que realizar nuevos descubrimientos y
vislumbrar reglas mientras se comparte ideas es esencial para aprender
cómo relacionarse con otros en la vida social. Como se ve, este método
no sólo apunta a desarrollar las capacidades Matemáticas (p.5).
Entonces, la lección japonesa tiene un formato de lección estructurada en
etapas que permiten la resolución de problemas contextualizados por parte de
40
los estudiantes, contratación de estrategias de solución, presentación de
conclusiones y evaluación del proceso especialmente.
La conceptualización de la lección de Matemática propuesta en el Programa de
Estudios de Matemática costarricense, constituye un espacio para la
construcción de aprendizajes, pues al estudiante se le proponen retos que lo
colocan en una posición activa y propensa a establecer estrategias de
resolución a situaciones problemáticas diversas contextualizadas, y a su vez,
una posición del docente que implica intervenciones adecuadas y
enriquecedoras durante el proceso.
Una recapitulación de las ideas de este apartado se encuentra en el
fundamento del Programa de Estudios de Matemática (2012), en el que se
sugiere la organización de las lecciones con base en aportes de los y las
costarricenses, asume el enfoque de PISA y la experiencia japonesa
nutriéndose por EMR y TSD a su vez. De ahí que la organización de la lección
se explica de la siguiente forma:
1. Problema: se asume la relevancia de construir aprendizajes a través
de la resolución de problemas, se promueve aquellos en contextos
reales (EMR + PISA), se acepta que debe haber algún nivel de
“reinvención” de los tópicos matemáticos en juego (EMR) y se busca que
las Matemáticas que intervendrán respondan de manera óptima al
problema (TSD), pero hasta donde sea posible.
2. Trabajo estudiantil independiente: se subraya la importancia para el
desencadenamiento de acciones cognitivas y el aprendizaje del espacio
que debe darse al trabajo autónomo (EMR + TSD + lección japonesa),
se acepta que el docente no debe obstaculizar esa autonomía (TSD)
pero se acepta que en la práctica educativa real la acción del grupo y del
docente contribuyen al aprendizaje (no es inadecuado para aprender
que se debilite la autonomía en algunos casos).
3. Comunicación y contrastación: se propone como fase esencial para el
aprendizaje (EMR + lección japonesa).
41
4. Clausura o cierre: un momento importante para “institucionalizar” los
conocimientos (TSD + lección japonesa) y conectar con la cultura
Matemática. (MEP, 2012, p.502).
En este apartado se describieron las fuentes que respaldan los fundamentos del
Programa de Matemática vigente, 2012, y muestra el sustento teórico del
enfoque que sugiere la resolución de problemas contextualizados y una manera
para organizar la clase, así como algunas ideas del papel docente y la
mediación pedagógica.
De esta forma, surge la propuesta para la organización de la lección de
Matemática en la que debe implementarse la metodología de resolución de
problemas y que se amplía en el siguiente apartado.
2.2- El estilo para organizar las lecciones de Matemática
El Programa de Estudios de Matemática propone un estilo metodológico
diferente a las lecciones que tradicionalmente los docentes de Matemática
desarrollan: se plantea un tema y su definición, se dan uno o dos ejemplos y
varios ejercicios para que los estudiantes los realicen (Ruiz, 2013).
A partir del 2012 el MEP propone una organización de la lección en dos etapas,
la primera constituye el aprendizaje de conocimientos y la segunda la
aplicación y movilización de esos conocimientos, de manera que la participación
del docente y de los estudiantes sea activa. Se construyen de manera colectiva
los conocimientos y significados que activan procesos matemáticos y con esto
se hace progresar la competencia Matemática (p. 41).
La Etapa I: aprendizaje de conocimientos es aquella en la que se van a obtener
nuevos aprendizajes y es conveniente que se realice en una lección o
secuencia de ellas. Dentro de esta primera etapa, se contemplan las fases o
momentos que se describen a continuación:
42
Se propone aquí un estilo de organización de la lección donde se
promueve la introducción y el aprendizaje de los nuevos conocimientos
siguiendo cuatro pasos o momentos centrales:
1. Propuesta de un problema.
2. Trabajo estudiantil independiente.
3. Discusión interactiva y comunicativa.
4. Clausura o cierre. (MEP, 2012, p. 41).
La primera fase consiste en la propuesta de un problema apropiado en
contenido y nivel de dificultad acorde con las habilidades previas del estudiante.
El problema puede ser contextualizando o no, pero debe implicar un desafío
inicial, provocar la indagación o expectativa en el estudiante.
La segunda fase se trata del trabajo independiente del estudiante, sin
intervención docente sobre la solución directa del problema. Pero éste debe
supervisar el desarrollo del trabajo realizado, así como proponer preguntas
generadoras para impulsar el proceso de solución del problema en caso de que
los estudiantes se encuentren en una situación de estancamiento. En este
momento los estudiantes se apropian del problema, formulan estrategias y
resuelven el desafío inicial.
En el tercer momento se establecen las estrategias por parte del docente para
promover en los estudiantes la discusión y contrastación de ideas. En esta fase
se espera además, que el estudiante argumente las respuestas y estrategias
empleadas durante la búsqueda de la solución del problema e intercambie esas
ideas con sus compañeros mediante una discusión en la que prevalece la
comunicación de resultados sobre conocimientos matemáticos abordados.
Respecto a la cuarta fase, el MEP (2012) indica:
Esta clausura o cierre permite una actividad que “concluye”
pedagógicamente el tema o los contenidos trabajados. Se trata de una
síntesis cognoscitiva fundamental para el aprendizaje: por medio de esta
43
acción docente se ofrece un “vínculo” con el saber matemático que ha
construido la comunidad profesional de Matemáticas. Es importante que
esta clausura no sea artificial o alejada del proceso recién vivido (MEP,
2012, p.42).
En esta etapa de clausura o cierre de la lección, se trata de la construcción y
formalización de conceptos, conocimientos o contenidos. Además, de la
identificación de procedimientos matemáticos que se utilizaron en el proceso de
solución del problema.
El docente confronta la o las estrategias de solución del problema con el saber
matemático y propone actividades complementarias que fortalezcan la
comprensión de los conocimientos adquiridos.
La Etapa II, denominada movilización o aplicación de los conocimientos,
consiste en el conjunto de actividades que refuerzan los conocimientos
abordados en la Etapa I, se abordan de manera mecánica algunos de los
conocimientos y procedimientos aprendidos o también se evalúan algunos de
ellos en diversos problemas o ejercicios. Además, se indica que “ se amplíe
el dominio de las formas de expresión o representación de los conocimientos
como fórmulas, símbolos, gráficas y diagramas. Y también incluye la aplicación
de los nuevos conocimientos en contextos diferentes” (MEP, 2012, p. 42-43).
Pero lo más importante es la formulación de problemas o acciones novedosas
que complementen los conocimientos aprendidos y actividades motivadoras en
las que los estudiantes logren la aplicación de esos conocimientos.
En este apartado se indicaron las fases para la organización de las lecciones de
Matemática que el Programa de Estudio costarricense propone. De esta forma,
se vislumbra la aplicación de la resolución de problemas como estrategia
metodológica principal y sus diferentes momentos.
44
2.3- El papel del docente como mediador al implementar la estrategia
de resolución de problemas
Se ha mostrado hasta el momento del currículo de Matemática vigente en Costa
Rica: la estrategia metodológica con un enfoque basado en la resolución de
problemas y la organización de las lecciones de Matemática que contempla
dicho enfoque en dos etapas.
Ahora se presenta la información relacionada con el papel del docente, el cual
cobra importancia en este nuevo currículo. Su accionar en el aula será la forma
en que la propuesta tendrá un verdadero sentido e impacto para el desarrollo de
una mejor Educación Matemática.
Este rol protagónico también lo apunta Brousseau (1986) y lo explicita en sus
fundamentos y métodos sobre didáctica de la Matemática, de la siguiente
manera:
El trabajo del profesor está en cierta medida inmerso en el trabajo del
investigador, debe producir una recontextualización y una
repersonalización de los conocimientos. Ellas van a convertirse en el
conocimiento de un alumno, es decir en una respuesta bastante natural
a condiciones relativamente particulares, condiciones indispensables
para que tengan un sentido para él. Cada conocimiento debe nacer de la
adaptación a una situación específica, pues no se crean las
probabilidades en el mismo género de contexto y relaciones con el
medio, que aquellas que inventa o utiliza la aritmética o el álgebra (p.4).
Visto de esta manera, el docente de Matemática deberá apropiarse del currículo
que va a desarrollar por medio de las lecciones organizadas según la propuesta
del MEP. Debe lograrlo desde su papel de investigador y ejecutor, para
favorecer en sus estudiantes la adquisición de los conocimientos matemáticos y
propiciar capacidades cognitivas superiores.
El Programa de Matemática 2012, refuerza estas ideas y pone de manifiesto la
importancia de la mediación del docente:
45
Los conocimientos matemáticos o las habilidades específicas no
generan por sí mismos capacidades cognitivas más amplias que nutran
la competencia Matemática. Lo puede lograr la manera como se genera
el dominio de esas habilidades, es decir, la forma en que se realiza la
acción de aula, la mediación pedagógica. Es fundamental cómo se
organice la lección o secuencias de lecciones, la acción directa docente
en las actividades del aula y la calidad de las exigencias cognitivas que
se provoque (p. 26).
Las ideas expuestas indican que la mediación pedagógica del docente es un
medio para provocar en los estudiantes la acción cognitiva y con ella, la
competencia Matemática deseada a través de los conocimientos, habilidades y
procesos que se generan con aprendizajes significativos, estos procesos son
cinco: razonar y argumentar, plantear y resolver problemas, comunicar,
conectar y representar (se profundizará en el siguiente apartado).
En el fundamento teórico del Programa de Estudio de Matemática (2012) se
describen con detalle los procesos matemáticos como conjunto, y se indica que,
“ se entienden aquí como actividades cognitivas (o tipos de actividades) que
realizan las personas en las distintas áreas Matemáticas y que se asocian a
capacidades para la comprensión y uso de los conocimientos”. Ellos deben ser
propiciados por el docente mediante la planificación de la lección, el problema y
la mediación pedagógica. Por tanto, las lecciones deben fomentar de manera
sistemática estos procesos para apoyar el progreso de diversas dimensiones de
la competencia Matemática (MEP, 2012, p. 24).
La siguiente cita del Programa de Estudios de Matemática (2012), refuerza la
importancia de la mediación docente y su relación con los procesos cognitivos
mencionados, como instrumentos clave para el diseño cuidadoso de tareas
como la planificación docente y las lecciones de matemática.
46
Hay mejores tareas que otras para esta superposición de habilidades y
procesos. No sólo las investigaciones didácticas pueden aportar
ejemplos y resultados pedagógicos sobre cómo realizar estas acciones
en el aula sino también y sobre todo la investigación que realizan los
profesores en las distintas entidades educativas de manera sistemática y
continua permite proporcionar medios para seguir esta estrategia. De
una manera general: con una perspectiva adecuada, cierta experiencia y
preparación, se pueden activar procesos matemáticos en casi cualquier
tarea Matemática orientada a la generación de una habilidad específica
o un conjunto de ellas (MEP, 2012, p. 27).
Además, con referencia al papel docente, según el Programa de Matemática
(2012), es importante la comunicación entre los estudiantes y el profesor, pero
éste deberá mediar para que esta interacción se dé y buscar que el estudiante
aprenda de manera autónoma, “ Es relevante proporcionar la información
suficiente para que cada estudiante tenga a su disposición los antecedentes y la
indagación que plantea el problema, para luego clasificar, interpretar y
construir”. (MEP, 2012). Además enfatiza lo siguiente:
Es medular una intervención docente en términos de guía,
asesoramiento y formulación de preguntas apropiadas pero con plena
conciencia del momento en que debe actuar y en el que se debe dejar
confrontar el problema. No conviene ofrecer la respuesta o la ruta de
solución al problema, pues se quita la posibilidad de activar las acciones
cognitivas que son las que van a provocar aprendizaje y desarrollo de
capacidades Matemáticas (p.43).
Sintetizando, según los fundamentos del Programa de Estudios de Matemática
el reforzamiento de procesos matemáticos de manera transversal en las
lecciones de Matemática son responsabilidad de la mediación pedagógica del
docente y debe procurar construirlos y potenciar capacidades matemáticas
superiores. Esto implica que el docente se apropie del currículo que enseña y
que lo aplique de manera adecuada.
47
A continuación se ampliará sobre los procesos cognitivos y su vínculo con la
resolución de problemas.
2.4- La resolución de problemas y los procesos matemáticos
2.4.1 Procesos matemáticos
Como se indicó previamente el MEP (2012), propone cinco procesos cognitivos.
Es importante enfatizar la transversalidad de cada uno de ellos durante la
acción de aula por medio de la mediación pedagógica del docente. En sus
fundamentos se ofrece una definición para cada uno y se presentan a
continuación:
Plantear y Resolver problemas
El proceso de plantear y resolver problemas busca potenciar capacidades para
determinar las estrategias y métodos más adecuados al enfrentar un problema.
Además, pretende valorar la pertinencia, el adecuado uso de los métodos
disponibles, los resultados matemáticos obtenidos, evaluar y controlar el
desarrollo del trabajo estudiantil en la resolución de problemas. También, se
fomenta la capacidad para identificar, formular y resolver problemas en
contextos personales, comunitarios y científicos. “ El énfasis que se desea
dar a los contextos reales también impulsa una asociación con el desarrollo de
capacidades cognitivas para identificar, formular, diseñar, desarrollar y
contrastar modelos matemáticos del entorno con complejidad diversa” (MEP,
2012, p.25).
Razonar y argumentar
Con este proceso se espera desarrollar en los estudiantes capacidades para
comprender lo que significa justificar o realizar pruebas matemáticas y discutir
argumentaciones, formular y analizar conjeturas, usar fórmulas o métodos
48
matemáticos para comprender o desarrollar diferentes informaciones presentes
en el medio, se indica además que, “ se trata de actividades mentales
que desencadenan formas típicas del pensamiento matemático: deducción,
inducción, comparación analítica, generalización, justificaciones, pruebas, uso
de ejemplos y contraejemplos” (MEP, 2012, p.24).
Comunicar
El proceso de comunicar “ es la expresión y comunicación oral, visual o
escrita de ideas, resultados o argumentos matemáticos” (MEP, 2012, p.25). Con
este proceso se pretende desarrollar en los estudiantes la capacidad para
precisar ideas utilizando lenguaje matemático adecuado, las conclusiones
obtenidas en el proceso de resolución de problemas y la identificación,
interpretación y análisis de expresiones matemáticas escritas o verbales
realizadas por otras personas.
Conectar
Con el proceso de conectar se espera que los estudiantes logren construir
relaciones entre las diferentes áreas Matemáticas, producto de sus propias
características de integración y unificación. Al conectar, se comprende mejor el
significado de los objetos matemáticos:
Este proceso busca que se cultiven las relaciones entre las distintas
partes de las matemáticas escolares, además del desarrollo de acciones
para identificar dentro de situaciones no matemáticas aquellas en las
cuales es posible un tratamiento matemático. Y de igual manera
persigue motivar conexiones con otras asignaturas y con los distintos
contextos (MEP, 2012, p.25).
Representar
A través del proceso de representar, se promueve, “ el reconocimiento,
interpretación y manipulación de representaciones múltiples que poseen las
nociones Matemáticas (gráficas, numéricas, visuales, simbólicas, tabulares)”
(MEP, 2012, p.25). El proceso busca favorecer en los estudiantes la capacidad
49
para elaborar y utilizar representaciones matemáticas que sirvan como registro
y organización de objetos matemáticos, interpretar y modelar situaciones
matemáticas y manipular representaciones de objetos matemáticos, así como
poder traducir una representación en términos de otras, comprendiendo los
alcances de cada una, en situaciones determinadas.
Asimismo, los cinco procesos plantean una acción docente explícita dentro de
su labor de aula y poseen distintas interrelaciones entre ellos:
En circunstancias específicas de aula, una actividad que enfatice
Plantear y resolver problemas puede apelar a Razonar y argumentar,
Representar, Conectar y Comunicar en distintas maneras. Es difícil
plantear las Matemáticas separadas del razonamiento y la
argumentación matemática. La forma precisa en que se asocia un
proceso con otros no es la misma en cada circunstancia matemática. En
ocasiones, Plantear y resolver problemas se activará más ligado a
Conectar, en otras a Comunicar todo depende de la tarea matemática
(MEP, 2012, p.26).
En síntesis, los procesos cognitivos son elementos a considerar cuando se
implementa la metodología de resolución de problemas. Su presencia es
transversal y deben ser propiciados a través de la mediación pedagógica.
Hasta el momento se ha abordado la resolución de problemas como estrategia
metodológica y como proceso cognitivo, a continuación se profundiza en esas
ideas.
2.4.2 Resolución de problemas como estrategia metodológica y como
proceso cognitivo.
El Programa de Estudio de Matemática (2012), al referirse a la resolución de
problemas como enfoque principal del currículo, menciona que éste asume
como objetivo principal, la búsqueda del fortalecimiento de capacidades
50
cognitivas para abordar los retos de la sociedad, que demanda mayores
habilidades y capacidades mentales, cada estudiante asume el compromiso de
construir su propio aprendizaje y el docente debe generar esos aprendizajes
con la calidad y cantidad que exige la actualidad, de manera que “ usarlos –
al referirse a los programas – en la organización de las lecciones, se adopta
como la estrategia central para generar esas capacidades un nutriente para
una labor de aula inteligente y motivadora” (MEP, 2012, p.13).
Al ejecutar la estrategia metodológica los estudiantes tienen más posibilidades
de emplear sus capacidades para comprender el problema y emplear los
conocimientos matemáticos necesarios para llegar a su solución y aplicarlo a su
contexto. El enfoque de resolución de problemas se encuentra relacionado con
la organización de la lección, constituye la estrategia metodológica principal y
es una constante en la labor de docentes y estudiantes dentro del aula.
Pero Plantear y resolver problemas es un proceso cognitivo que se encuentra
enlazado a los demás procesos. Este conlleva el uso de los conocimientos
previos que le permite al estudiante aplicar esa información en otras situaciones
del contexto o generar nuevos problemas que involucren esos conocimientos y
otros nuevos, pero éstos últimos fueron obtenidos mediante una estrategia
metodológica empleada en el aula, cuyo nombre es también resolución
problema.
Asimismo, se ha determinado el proceso cognitivo de plantear y resolver
problemas (MEP, 2012), como una actividad que busca potenciar capacidades
para valorar los resultados matemáticos que se obtienen de la resolución de un
problema, dando énfasis a contextos reales para desarrollar capacidades
cognitivas en las que el estudiante contrasta modelos matemáticos con su
entorno.
51
Al respecto, Pólya (1965), argumenta que plantear problemas pone a prueba la
curiosidad y con ésta la inventiva de los estudiantes, al resolver estos
problemas por medios propios (el estudiante y sus conocimientos previos) se
experimenta el deseo de descubrir y disfrutar de tales momentos, y esto a
edades convenientes, determina apego por el trabajo intelectual dejando
huellas permanentes en la mente y el carácter.
Continúa el autor refiriéndose al trabajo del docente, “ un profesor de
matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica su tiempo a ejercitar a los
alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su
desarrollo intelectual” (Pólya, 1965, p.5). Entonces, si por el contrario, pone a
prueba la curiosidad de sus alumnos, planteándoles problemas adecuados a
sus conocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas
estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y
proporcionarles ciertos recursos para ello.
Se puede resumir que la resolución de problemas como estrategia
metodológica para este currículo es la organización de la lección en cuatro
momentos (MEP, 2012, p.41) y el proceso cognitivo de plantear y resolver
problemas es un conjuntos de habilidades que le permiten al sujeto
desenvolverse apropiadamente durante la ejecución de una clase que emplea
en particular esta estrategia metodológica de manera que el papel del docente
es crucial en este proceso.
2.5- Caracterización de problemas matemáticos
Según Rabino (2012), al referirse a la teoría de la Educación Matemática
Realista indica que ésta se caracteriza por los problemas utilizados para
enseñar Matemática, estos deben ser significativos para que los estudiantes
puedan relacionarlos con conocimientos y experiencias previas, deben ser
planteados en contextos realistas para que los alumnos sientan interés por
52
resolverlos, agrega que deben ser abiertos para que generen preguntas y
búsqueda de información por parte de los estudiantes, así como el uso de
diferentes estrategias de solución.
Amplía esta caracterización sobre cómo deben ser los problemas utilizados
para la enseñanza de la Matemática, de la siguiente forma:
Deben incentivar a los alumnos a comprometerse con la actividad
matemática promoviendo en ellos la construcción de conceptos y
herramientas de esquematización y formalización crecientes, de modo
que puedan identificarlos para ser generalizados, reutilizados,
resignificados, transferidos y adaptados en situaciones en otros
contextos (Rabino, 2012, p. 66).
De esta forma, la presencia de las ideas relacionadas con la resolución de
problemas matemáticos en contextos reales es relevante, y los caracteriza
como fuentes de aprendizajes significativos y generadores de herramientas
matemáticas dispuestas a ser utilizadas de diferentes formas y en distintas
situaciones relacionadas con el aprendizaje de los estudiantes y su
cotidianeidad, de manera constante.
Por su parte, Chavarría (2006), menciona el enfoque de la Teoría de las
Situaciones Didácticas planteado por Brosseau, en el cual se presenta una
interrelación entre el docente, el estudiante y el entorno, esto permite visualizar
algunas características para situaciones de aprendizaje vinculadas con el uso
de problemas, la autora indica “ proceso en el que el docente le plantea al
estudiante un problema que asemeje situaciones de la vida real que podrá
abordar a través de sus conocimientos previos, y que le permitirán generar
además, hipótesis y conjeturas que asemejan el trabajo que se realiza en una
comunidad científica” (Chavarría, 2006, p. 2). De esta forma el estudiante
resolverá situaciones sin la intervención directa del docente, aplicando los
conocimientos matemáticos adquiridos con anterioridad, luego, deberá
institucionalizar el saber obtenido por los alumnos.
53
Durante ese proceso, el estudiante logra aprendizajes matemáticos
significativos de una manera autónoma, haciendo uso del ambiente, contextos
cotidianos reales y situaciones problemáticas que se caracterizan por generar
en los estudiantes procesos importantes para el aprendizaje de la Matemática.
Además, Mena (2007, p.4), indica que en las lecciones de Matemáticas en
Japón se basan en procesos de matematización y resolución de problemas,
pero estos problemas han evolucionado desde esperar múltiples estrategias de
solución hasta múltiples respuestas.
De esta forma, las tres teorías mencionadas previamente, representa una
fuente importante para la propuesta de la estrategia de resolución de problemas
en el Programa de Estudios de Matemática 2012, vigente en Costa Rica, cuya
factibilidad e implementación exitosa, depende en gran medida de la
contextualización que se logre realizar en las aulas costarricenses, pero
además, proporciona un insumo que verifica que un problema puede tener
varias formas de resolverse y también respuestas variadas.
El Programa de Matemática (2012), por su parte, indica de manera explícita que
un problema que se emplee en la lección de Matemática, debe ser lo
suficientemente complejo y provocar en el estudiante acciones cognitivas no
rutinarias, “ una tarea Matemática constituye un problema si para resolverla,
el sujeto debe usar información de una manera novedosa” (MEP, 2012, p. 29).
Visto de esta forma, un problema es un planteamiento que busca generar la
interrogación y la acción estudiantil mediante el uso de conceptos y métodos
matemáticos que implica pensar en ideas Matemáticas sin que hayan sido
explicadas, que se enfrenten a los problemas sin haber mostrado soluciones y
que los conceptos matemáticos por enseñar estén asociados al contexto.
El Programa explica otros elementos que conforman y caracterizan los
problemas matemáticos que se deben emplear, por ejemplo, la escogencia de
54
problemas planteados en un entorno real que permiten potenciar la aplicación
de los conceptos y métodos matemáticos, que favorecen la competencia
matemática, que se ha definido como la capacidad para describir, comprender y
actuar en contextos o situaciones diversas usando Matemáticas. Al respecto se
cita:
También existen problemas que por su naturaleza no admiten una
solución en poco tiempo y otros que tal vez no tengan. Este tipo de
problemas ofrece oportunidades para mostrar algunas características de
la construcción Matemática: que las Matemáticas no son verdades
absolutas . Resulta conveniente subrayar la importancia de
problemas de final abierto, es decir aquellos que admiten varias
soluciones y aproximaciones, y que pueden ofrecer oportunidades muy
valiosas para introducir conceptos (MEP, 2012, p.29).
Al respecto, Camacho y Santos (2004), reconocen en la resolución de
problemas el centro de la actividad matemática y la importancia de que el
estudiante se plantee interrogantes durante su proceso de aprendizaje, formule
conjeturas, utilice distintas representaciones, desarrolle estrategias diferentes y
utilice un lenguaje con el que pueda expresar y comunicar sus resultados.
Desde esta perspectiva, es fundamental para la creación de un ambiente de
aprendizaje, situaciones que permitan al estudiante reconocer y valorar la
necesidad de problematizar el contexto, para ello el tipo de problemas o
actividades con las que debe enfrentarse en sus experiencias de aprendizaje
deben ser bien planificadas. Los autores destacan “ la importancia de
examinar el problema desde distintos ángulos y buscar varios caminos para su
solución. Así durante el proceso de búsqueda de resultados aparecen distintos
tipos de recursos, representaciones y estrategias matemáticas” (p. 46).
Se puede condensar que, el apartado establece una relación entre la
descripción que se realiza sobre los problemas matemáticos desde diferentes
perspectivas que forman parte del sustento teórico del Programa de Estudio de
55
Matemática 2012, el suyo propio, así como otros análisis importantes;
proporcionando de esta forma insumos importantes para seleccionar los
problemas que son parte esencial de la estrategia metodológica de resolución
de problemas por parte de los docentes de Matemática.
2.6- Integración de habilidades matemáticas para la acción de aula
En este apartado se presenta un concepto íntimamente relacionado con la
implementación de la estrategia metodológica de resolución de problemas, el
trabajo de los docentes en cuanto a la elaboración de sus planes didácticos y el
abordaje de los conocimientos y habilidades específicas en las diferentes áreas
matemáticas, a saber, la integración de habilidades matemáticas para la acción
de aula.
2.6.1 Planeamiento didáctico integrando habilidades matemáticas
De acuerdo con el Programa de Estudios de Matemática (2012), la integración
de habilidades es una indicación para la elaboración del planeamiento didáctico
y el desarrollo de las lecciones:
Una de las orientaciones relevantes para el desarrollo de la acción de
aula con este currículo refiere al manejo de los contenidos y las
habilidades específicas. Las habilidades no deben verse de manera
desagregada. No se trata de objetivos operativos que deben trabajarse
en el aula necesariamente por separado. Por el contrario, lo conveniente
es tratar de integrar las habilidades específicas en todas las actividades
de aprendizaje: planeamiento, desarrollo de la lección y evaluación. Por
medio de un solo problema es posible abordar varias habilidades (p.45).
De ahí que, el Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica
(2014), presentó una colección de recursos diseñados para que los docentes
utilicen la integración de habilidades como un medio para elaborar sus planes y,
por lo tanto, implementar esta forma de abordaje en sus lecciones.
56
En la introducción del documento “Integración de habilidades matemáticas” se
expresa el concepto y razón de ser de la integración de habilidades para la
acción de aula, realizando primeramente una comparación, entre los objetivos
de aprendizaje que anteriormente se utilizaban y las habilidades específicas
que actualmente se abordan; esto porque “ de algún modo, estas
habilidades sustituyen a los objetivos de programas anteriores. No obstante la
forma de trabajar con ellas, específicamente en lo que concierne a la mediación
pedagógica, no es la misma que con los objetivos. En general éstos se trabajan
individualmente avanzando de forma casi lineal de uno a otro” (p. 1).
Además, con respecto al trabajo con las habilidades específicas del programa
actual indica:
Las habilidades específicas de los nuevos programas, en cambio, y
dado lo que con ellas se propone, pueden y deben ser trabajadas varias
en conjunto a través de una o varias actividades de mediación. Esto es
tremendamente importante porque con ello se logra un mejor desarrollo
de cada una de las habilidades y, a la vez, se logran de mejor manera
las capacidades que se expresan mediante las habilidades generales
que se establecen por ciclo y área. La integración de habilidades, que es
esencial en el enfoque de Resolución de problemas, permite desarrollar
en el aula los contenidos curriculares en los tiempos de que disponen los
docentes (p.1).
Asimismo, El Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica,
(2014), ha creído importante proporcionar a los docentes de la mayor cantidad
de recursos posibles que permitan apoyarlos en la implementación del
Programa de Estudios y poder asumir el reto de llevar a cabo esta reforma de la
manera más apropiada, de ahí que se hayan confeccionado estos documentos
de integración de habilidades. Se expone la estructura de los mismos por años
escolares, y en cada año, por áreas, sobre la malla curricular, se inserta un
recuadro que indica que las habilidades que le anteceden pueden ser tratadas
57
en una misma actividad de mediación. Además, se estima el número de
lecciones que pueden ser utilizadas en cada etapa, etapa I, aprendizaje de
conocimientos y etapa II, aplicación y movilización de conocimientos.
Finalmente, se proporciona una justificación de por qué tales habilidades
pueden ser trabajadas en conjunto y se enuncia una posible actividad que
cumpla con el propósito de integración.
En resumen, en este apartado se explicita una importante opción de apoyo a los
docentes de matemática en su labor diaria, tanto para su planeamiento
didáctico e implementación en las lecciones de matemática, como para una
mejor comprensión y abordaje de los conocimientos matemáticos y habilidades
específicas que se deben desarrollar en el aula. Este apoyo se denomina,
integración de habilidades matemáticas para la acción de aula y se encuentra
materializado en distintos documentos a los que los profesores pueden acceder.
2.7 - Los ejes disciplinares en las lecciones de matemática
De acuerdo con el Programa de Estudios de Matemática (2012), los ejes
disciplinares son una forma de colaborar en el proceso del desarrollo del rigor y
la capacidad matemática para la resolución de problemas, la aplicación, la
modelización de situaciones diversas y argumentación matemática, al mismo
tiempo que favorece la intervención de contextos variados.
En MEP (2012), se proponen cinco ejes disciplinares que deben desarrollarse
de manera transversal a los que se les debe dar importancia especial al
implementar el Currículo en las aulas, “ estas prioridades se manifiestan en
la selección de tópicos, en las indicaciones generales de gestión y de método,
en las indicaciones y sugerencias que acompañan conceptos y habilidades, en
la propuesta de planeamiento aunque no todos estos ejes generan impacto
de la misma forma en cada área o en cada año escolar”. En el Programa de
estudios se explica además lo siguiente:
58
La acción de los cinco ejes en todos los años educativos contribuye a la
integración vertical del currículo, especialmente por medio de la
resolución de problemas y la contextualización activa que buscan
articular todo el plan de estudios. El efecto sinérgico de estos ejes
disciplinares busca favorecer una formación matemática de calidad que
ayude a generar personas competentes, racionales, responsables y
críticas para la construcción de una sociedad culta, justa y democrática
(MEP 2012. p. 35-36).
Se enfatiza en la transversalidad de cada uno de ellos durante la acción de aula
por medio de la mediación pedagógica del docente. En sus fundamentos (MEP,
2012), ofrece una definición para cada uno de estos ejes disciplinares, las que
presentan a continuación:
La resolución de problemas como estrategia metodológica principal y la
contextualización activa como un componente pedagógico especial.
Como se ha mencionado, la resolución de problemas en contextos reales
corresponde al enfoque principal del Programa de Estudios, por lo que resulta
conveniente al promover la implementación de este enfoque, el posicionar la
resolución de problemas y la contextualización activa como ejes disciplinares,
dándole a ambos un mayor relieve dentro del Currículo y el propósito que se
describe:
Aquí se propone que los dos propósitos centrales de la resolución de
problemas ocupen un lugar preponderante. Eso significa motivar la
organización de la acción de aula por medio de problemas y también
promover el aprendizaje de estrategias de resolución de problemas en
las distintas áreas matemáticas. Se plantea una contextualización activa
que estimule la acción estudiantil, lo que requiere el uso importante de
modelos sobre la realidad cercana (p. 36).
El uso inteligente y visionario de tecnologías digitales.
Según MEP (2012), las tecnologías han provocado un gran impacto en la
actualidad y desde luego, en la Educación Matemática, por lo que cada vez
59
más, su utilización es necesaria ante cambios en el futuro de los tópicos y
enfoques educativos, dejando claro que su utilización no necesariamente
conduce al mejoramiento de aprendizajes en matemática, por lo que debe
introducirse de manera pertinente y precisa, de acuerdo con cada contexto
educativo. El Programa indica además, lo siguiente:
Las tecnologías pueden ser un poderoso aliado para potenciar el
pensamiento matemático. Y es precisamente en la resolución de
problemas en entornos reales donde éstas pueden aportar sus
beneficios de la mejor manera, en contextos de aprendizajes que
fortalezcan las habilidades y capacidades matemáticas. En ese sentido
refuerzan la implementación de los ejes disciplinares articuladores y
añaden medios para conectar la Educación Matemática local con
tendencias educativas y culturales dominantes en el mundo. La dinámica
histórica actual pronostica una penetración más intensa de todas las
tecnologías en la vida social del país y del mundo. Los programas de
estudio deben preparar a la población para esta perspectiva (p. 37).
La potenciación de actitudes y creencias positivas en torno a las
Matemáticas.
En el Programa de Estudios de Matemática (2012), se adopta una visión
integral y humanista de la matemática destacando la motivación y el interés por
el aprendizaje, “ no se pueden generar actitudes y creencias positivas hacia
la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas sin que los programas las
incorporen de forma explícita y ofrezcan medios pedagógicos en esa dirección”
(p. 37).
Por este motivo, algunas de esas creencias que se deben combatir son: la
enseñanza de matemática con un bajo nivel de exigencia que enfatiza en
repeticiones mecánicas, separación del entorno estudiantil, lecciones que no
favorecen la actividad y participación de estudiantes, enseñanza que no toma
en cuenta la realidad cultural y medios tecnológicos y fracaso en ejercicios y
problemas que producen baja estima en los alumnos; “ conocer estas
60
creencias y revertirlas hacia otras de mayor positividad hacia las Matemáticas
debe ser un propósito a incorporar en todos los niveles educativos. Identificar y
transformar las percepciones negativas en positivas debe ser parte de los fines
de una educación anclada en los requerimientos de la sociedad en que vivimos”
(p.38).
Asimismo, las actitudes que se deben promover, de acuerdo con MEP (2012),
son: la perseverancia, pues, por medio del trabajo y la persistencia, se abordan
las matemáticas; la confianza en la utilidad de la matemática a través de la cual
se visualiza la utilidad del aprendizaje para la vida; la participación activa y
colaborativa es la actitud en la que los estudiantes construyen su propio
aprendizaje en tanto las lecciones ofrecen esta oportunidad de actividad e
interacción; autoestima en relación con el dominio de la matemática; respeto,
aprecio y disfrute de la matemática, al provocar en todos los estudiantes el
mismo manejo de la matemática y el respeto por el lugar que ocupa el
conocimiento de la disciplina para el desarrollo de la humanidad.
Además, se explicita lo siguiente: “ al igual que sucede con las capacidades
matemáticas, el progreso de las actitudes y creencias positivas hacia las
Matemáticas se debe promover en la acción de aula a través de la intervención
docente, se deben tener en mente estos propósitos en las diversas tareas
matemáticas” (MEP, 2012, p. 38).
El uso de la historia de las Matemáticas.
El Programa de Estudios de Matemática (2012), explicita que al trabajar con
problemas en contextos reales se busca los conceptos y procedimientos
matemáticos, se reconstruyan por lo que entrar en contacto con la historia de la
matemática al realizar esta construcción de objetos matemáticos, favorece su
aprendizaje y permite romper con el esquema de que las Matemáticas son una
colección de axiomas, teoremas, pruebas y donde lo esencial es la claridad
lógica de sus argumentos, además afirma lo siguiente:
61
La historia de la matemática apuntala una visión humanista de las
Matemáticas en cuanto subraya su carácter de construcción
sociocultural. Fortalecer esta aproximación contribuye a una formación
en concordancia con fines de la educación costarricense.
Se deben tener en cuenta muchas más dimensiones que aquellas
asociadas sólo a los resultados o desarrollos matemáticos abstractos,
también son relevantes las motivaciones individuales o colectivas, las
condiciones materiales y sociales de una realidad específica; en la
acción pedagógica se deben incluir las Matemáticas en su contexto, y
esto apela a la Historia (p. 39).
Entonces, los ejes disciplinares, se conceptualizan como propios de la
asignatura y juegan un papel relevante dentro de la acción docente, por tanto el
docente debe considerar en su acción de aula estrategias de mediación que
propicien, de la mejor manera, estos elementos para favorecer un aprendizaje
significativo y la adquisición de capacidades cognitivas superiores en los
estudiantes.
Además, estos ejes se relacionan directamente con la estrategia de resolución
de problemas contextualizados y colaboran con el desarrollo de lecciones de
matemática más dinámicas y organizadas.
2.8- Niveles de complejidad en los problemas matemáticos
El Programa de Estudios de Matemática (2012), propone que se confronte a los
estudiantes, durante la acción de aula, con problemas matemáticos de
diferentes niveles de complejidad, con el fin de abrir la oportunidad a realizar
procesos matemáticos y progresar hacia la adquisición de competencias
matemáticas, “ Una acción de aula encaminada a la confrontación progresiva
con complejidades mayores no es consistente con estilos educativos que
enfatizan las acciones simples, repetitivas o de poca exigencia mental. De esta
62
forma, la organización de la lección se debe repensar a la luz de esta visión”
(p.32).
Asimismo, el Programa de Estudio de Matemática (2012), describe tres distintos
niveles de complejidad de los problemas matemáticos:
Reproducción
Se refiere a problemas familiares al estudiante que demandan la reproducción
de conocimientos abordados o practicados en la lección, “ Apelan a
conocimiento de hechos y representación de problemas comunes,
reconocimiento de cosas equivalentes, recolección de objetos matemáticos o
propiedades, procedimientos rutinarios, aplicación de algoritmos estándar,
manipulación sencilla de expresiones que poseen símbolos, fórmulas y
cómputos sencillos” (p.32).
Conexión
En MEP (2012), se apoya en capacidades que intervienen el nivel de
reproducción, pero además, “ remite a la resolución de problemas que no
son rutinarios pero se desarrollan en ambientes familiares al estudiante, la
interpretación con exigencias mayores que en el grupo de representación, y
algo que lo define: la conexión entre los diversos elementos, en particular, entre
distintas representaciones de la situación” (p. 33).
Reflexión
En cuanto al nivel de reflexión, en MEP (2012), se indica que se exige, en este
tipo de problemas para su resolución, la participación de varios métodos
complejos y la reflexión realizada en ambientes novedosos que contienen más
elementos que los que aparecen en los otros niveles, pero además, “ Se
plantea aquí la formulación y resolución de problemas complejos, la necesidad
de argumentación y justificación, la generalización, el chequeo de si los
63
resultados corresponden a las condiciones iniciales del problema y la
comunicación de esos resultados”(p.33).
De esta forma, existe claridad sobre los distintos niveles de complejidad que los
problemas pueden tener para ser incluidos en la organización de la clase y
para potenciar procesos y capacidades matemáticas de mayor complejidad en
los estudiantes.
2.9- Consideraciones para el planeamiento didáctico
En este apartado solamente se indicarán algunos elementos esenciales para
que un planeamiento didáctico se ajuste a los requerimientos del MEP y de los
Programas de Matemáticas.
Según Zumbado (2014) se deben considerar al menos los siguientes
elementos:
El plan de lección debe ser diferente al planeamiento tradicional
basado en el esquema de clase magistral-contenido-práctica-revisión en
pizarra.
Se debe considerar en el planeamiento didáctico la integración
de habilidades.
Se debe planificar un problema y realizar la solución para
verificar que propicie, favorece y desarrolle el conjunto de habilidades
seleccionadas.
Se debe incluir en el plan de lección el cierre o clausura (los
elementos teóricos a formalizar en concordancia con las habilidades
específicas seleccionadas).
Además, se deben considerar las dos etapas indicadas por el
programa de Matemáticas.
Finalmente, en la selección de los ejercicios y problemas, se
deben incluir diferentes niveles de complejidad: Reproducción, Conexión
y Reflexión.
64
Finalmente, el proyecto de Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica
presentó el siguiente documento: Modelos de planeamiento didáctico y plan de
lección empleando la Integración de habilidades Matemáticas para la Educación
Secundaria, en el Cuaderno 13 de Investigación y formación en Educación
Matemática, se brinda un modelo que incluye algunos de los elementos
indicados a través de este marco teórico de referencia, se emplearán como
referentes para la producción de los recursos que permitirán apoyar la labor
docente.
65
CAPÍTULO 3: MARCO METODOLÓGICO
En este apartado se describen las estrategias metodológicas con las cuales se
efectuará la intervención investigativa para atender el problema y los objetivos
planteados.
Se desarrollan los apartados que concretarán el procedimiento a seguir,
fundamentados y relacionados con el marco teórico de referencia.
Además, se representan los objetivos del proyecto y las técnicas e instrumentos
a utilizar en dos momentos distintos: los procedimientos metodológicos para la
recolección de la información e interpretación de la misma y procedimientos
metodológicos para desarrollar el producto de acuerdo con el análisis de dicha
interpretación.
3.1- Paradigma y metodología de la investigación
El trabajo de investigación se ubica en el paradigma interpretativo, debido a que
se interesa en el estudio de los significados de las acciones humanas y de la
vida social, su finalidad es comprender e interpretar la realidad. Con base en
sus características se utilizará un enfoque cualitativo dado que pretende
comprender la conducta humana desde su propio marco de referencia,
mediante técnicas descriptivas: la observación , la entrevista, donde su
fuente principal y directa son las situaciones naturales. Además, para la
triangulación de datos se empleará el análisis bibliográfico y el material
aportado por el docente. Asimismo, el análisis de datos es inductivo, mediante
categorías y patrones emergentes (Albert, 2007).
De este modo, cada uno de los apartados que a continuación se desarrollan,
describen claramente los aspectos referidos a la metodología cualitativa
utilizada en este proyecto de investigación.
66
3.2- Sujetos o participantes
De acuerdo con las características del proyecto de investigación, en la que se
desea determinar cómo apoyar a los docentes para enfrentar la implementación
de la estrategia metodológica de resolución de problemas en las lecciones de
matemática de acuerdo con los Programas oficiales del Ministerio de Educación
Pública en el III Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de San
Carlos, los sujetos participantes serán docentes en el área de Matemática en
educación secundaria.
Hernández, Fernández y Baptista (2010) apuntan que “ en ciertos estudios
es necesaria la opinión de individuos expertos en un tema. Estas muestras son
frecuentes en estudios cualitativos y exploratorios para generar hipótesis más
precisas ” (p.397). De ahí que los sujetos participantes de este proyecto son
profesores especialistas en el área de matemática con experiencia laboral
considerable.
Por su parte, Miles y Huberman (1994), Creswell (2009) y Henderson (2009),
citados por Hernández, Fernández y Baptista, (2010), exponen diferentes
opciones de muestras no probabilísticas que pueden utilizarse en estudios
cualitativos, entre ellas, la muestra teórica o conceptual, “ cuando el
investigador necesita entender un concepto o teoría, puede muestrear casos
que le ayuden a tal comprensión. Es decir, se eligen las unidades porque
poseen uno o varios atributos que contribuyen a desarrollar la teoría” (p.399).
En este proyecto de investigación los participantes son docentes en el área de
Matemática y laboran en una institución pública, CTP de Venecia, Región
Educativa de San Carlos, en la que se utiliza el Programa oficial de
Matemáticas 2012. Estos docentes emplean en sus lecciones la metodología de
resolución de problemas propuesta por el MEP.
67
El proyecto contempla dentro de los objetivos de investigación recolectar
información sobre la implementación de la estrategia metodológica para diseñar
y aplicar recursos didácticos que contribuyan con la labor de todos los docentes
de la Región Educativa de San Carlos.
De esta forma, los sujetos participantes son los sujetos de información, se trata
de los cuatro docentes con los que se realizarán observaciones de lecciones,
entrevistas y retroalimentaciones en su trabajo como docentes de Matemática,
los cuales laboran en el CTP de Venecia, Región Educativa de San Carlos e
imparten III Ciclo de la Educación General Básica. Es importante insistir en que,
para el desarrollo del proyecto, se cuenta con el respectivo aval de estos
docentes, así como de la administración del CTP de Venecia.
Cabe reiterar que la población meta está conformada por los restantes docentes
de Matemáticas de educación secundaria que laboran en la Región de
Educación de San Carlos, a quienes también se dirigen los resultados del
proyecto, dado que el producto final, concretizado en recursos didácticos,
puede contribuir con la labor de todos a través de la Asesoría de Matemática de
la Región.
3.3- Fuentes de información
De acuerdo con Bonilla (2015, p.14), las fuentes primarias consisten
principalmente en los autores de las teorías que fundamentan la investigación y
los métodos a utilizar. Autores citados, examinados o interpretados por otro
autor son fuentes secundarias.
Este proyecto de investigación utiliza cuatro fuentes primarias, el Programa de
Estudios de Matemática (2012), los sujetos de información del proyecto y sus
documentos de trabajo, el libro Metodología de la Investigación de Hernández
Sampieri y la Plataforma Virtual Recursos Didácticos de la UNED.
68
Las fuentes secundarias corresponden a autores de obras citadas que se
encuentran en las referencias bibliográficas.
3.4- Técnicas de recolección de información
Según las características, objetivos y el problema de este proyecto de
investigación, las técnicas más apropiadas para la recolección de información o
datos que se requieran en el desarrollo del mismo, corresponde a la
observación, la entrevista y análisis de información proveniente de documentos.
La observación
De acuerdo con Hernández, Fernández y Baptista, (2010), “ la observación
implica adentrarnos en profundidad a situaciones sociales y mantener un
papel activo así como una reflexión permanente. Estar atento a los detalles,
sucesos, eventos e interacciones”. Además los actores se refieren a la
exploración y descripción de ambientes y contextos, las actividades que se
desarrollan, comprensión de procesos, eventos, circunstancias o patrones,
identificación de problemas y generar hipótesis para futuros resultados, como
los propósitos de la observación (p. 411-412).
La observación no debe implicar la participación del investigador, según Grinnell
y Unrau (2007), citado por Hernández, Fernández y Baptista, (2010), éste debe
superar la dificultad de crear lazos de amistad con los participantes y mantener
al mismo tiempo una perspectiva interna y otra externa. En cada observación
debe considerar qué papel adopta, en qué condiciones lo hace e ir acoplándose
a las circunstancias. “ utiliza una postura reflexiva y procura, lo mejor posible,
minimizar la influencia que sobre los participantes y el ambiente pudieran
ejercer sus creencias, fundamentos o experiencias de vida asociadas con el
problema de estudio” (p. 410-411).
Por esta razón, en el presente proyecto de investigación se realizarán
observaciones en las lecciones de los docentes de Matemática, su contexto y
69
actividades, de manera que se puedan recolectar la información relacionada
con la implementación de la estrategia de resolución de problemas. Para tal
efecto se utilizará el instrumento para la observación de lecciones de
matemática que se detalla en el anexo # 1.
La entrevista
Según Janesick (1998, p. 417), citado por Hernández, Fernández y Baptista
(2010), se refiere a esta técnica en estudios cualitativos, “ en la entrevista, a
través de las preguntas y respuestas, se logra una comunicación y construcción
conjunta de significados respecto a un tema” (p. 418).
Hernández, Fernández y Baptista, (2010), definen la entrevista en una
metodología cualitativa, como una reunión para conversar e intercambiar
información entre una persona y otra, o entre una persona y varias, se puede
entrevistar a cada miembro del grupo, o al conjunto (p. 418).
De este modo, posterior a la realización de la observación de clase del docente,
se llevará a cabo una entrevista para conversar sobre lo ocurrido en la lección,
donde se pueda proporcionar datos importantes para los propósitos de este
proyecto. Con el objetivo de mantener una estrecha relación con los objetivos
de este trabajo, se confeccionó una guía para la realización de dicha entrevista,
se encuentra en el anexo # 2.
Información proveniente de documentos
Existen documentos relacionados con la mediación docente tales como planes,
minutas, actividades didácticas impresas o digitales que él mismo confecciona
para apoyar su proceso de mediación.
Sobre el abordaje e implementación de la estrategia metodológica de resolución
de problemas, la revisión y análisis de estos documentos comparados con el
marco teórico de referencia y su relación con la clase impartida por el docente,
puede arrojar insumos importantes para los propósitos de esta investigación.
70
Por tal motivo, utilizar los documentos relacionados con la planificación de la
clase será pertinente para efectos del desarrollo de este proyecto de
investigación, tal y como lo expresan los autores, Hernández, Fernández y
Baptista (2010), el uso de diferentes tipos de documentos constituye una fuente
muy valiosa para entender fenómenos del estudio y le sirve al investigador para
conocer los antecedentes del ambiente, las experiencias, vivencias o
situaciones y su funcionamiento cotidiano. A su vez, citan varios tipos de
documentos, entre ellos, documentos o registros preparados por razones
oficiales, personales o profesionales, materiales audiovisuales, artefactos
individuales o archivos personales (p. 433).
Cabe señalar que se cuenta con la aprobación de los docentes para llevar a
cabo la exploración correspondiente de sus documentos como técnica de
recolección de información al implementar la estrategia de resolución de
problemas, de acuerdo con los objetivos propuestos en este proyecto. Con base
en los resultados de la primera inmersión al CTP de Venecia, dicha autorización
se menciona en el anexo # 3, en el que se muestra la autorización de la
directora de la institución.
Categorías de análisis
Con el objetivo de facilitar el proceso de análisis de resultados, se elaboraron
cuatro categorías de análisis relacionadas con: el problema, la participación de
los estudiantes, la acción docente durante el desarrollo de la clase y la
presencia de los procesos en el desarrollo de la clase.
El problema y sus características
Esta categoría trata sobre la obtención y análisis de datos con referencia a la
forma en que los docentes construyen o seleccionan un problema para
implementar la estrategia metodológica de resolución de problemas.
En la práctica, los docentes de matemática toman decisiones importantes con
respecto a las actividades y problemas que desarrollan, de acuerdo con la
reacción o resultados que muestran los estudiantes en los diferentes grupos.
71
De ahí que, se pretende realizar interpretaciones de la acción docente basadas
en el marco teórico de referencia de este proyecto con el fin de proponer
recursos didácticos para el mejoramiento de dicha implementación.
El estudiante y su trabajo
En esta categoría de análisis, se agrupará la información relacionada con el
estudiante y su trabajo, datos provenientes de las acciones de éstos durante los
cuatro momentos de la clase ante la implementación de la estrategia de
resolución de problemas.
Se consignarán aspectos como: reacción que presentan los estudiantes ante a
propuesta de problemas, las respuestas dadas ante preguntas generadoras del
docente o comentarios de sus compañeros, el desenvolvimiento y accionar en
la ejecución del problema, el trabajo colaborativo en subgrupos,
comportamiento en tareas individuales o preguntas dirigidas a un estudiante
especialmente, expresiones y conductas en las distintas fases de la lección y
ante la técnica elegida por el docente para realizar la discusión de resultados.
Acción docente: desarrollo de la lección - cierre o clausura
La información que conformará esta categoría corresponde a: las acciones del
docente durante el desarrollo de la lección y el cierre de la misma, su
interacción con los estudiantes, las intervenciones que realiza ante consultas o
participaciones de los alumnos y la formalización de conocimientos
matemáticos que proporciona en la clausura de la lección, la verificación del
aprendizaje de sus estudiantes y su accionar ante situaciones inesperadas o
comportamientos en sus estudiantes.
72
Procesos y situaciones favorables
La información consignada en esta categoría de análisis corresponde a: todas
aquellas acciones realizadas por los estudiantes y el docente que se vinculan
con el proceso de plantear y resolver problemas, razonar y argumentar,
conectar, representar y comunicar. Además, consignar las acciones que
potencien los procesos cognitivos ligados a la matemática, que el docente
trabaja en sus clases.
Análisis proveniente del empleo simultáneo de diferentes técnicas de
recolección de información
Triangulación de datos
De acuerdo con Hernández, Fernández y Baptista (2010), se denomina
triangulación de datos “ al hecho de utilizar diferentes fuentes y métodos de
recolección de información”. Además, enfatizan lo conveniente de tener varias
fuentes de información y métodos para recolectar datos, debido a que con la
riqueza, amplitud y profundidad de datos se consiguen mejores interpretaciones
en una investigación cualitativa (p. 439).
Para efectos de este proceso de investigación se realizará la triangulación
entre: la observación, la entrevista, el material aportado por los docentes y el
marco teórico referencial (Se expondrá con detalle el resumen o síntesis de
este proceso de triangulación en la Tabla 6).
3.5- Descripción y validación de instrumentos
En este apartado se describen los distintos instrumentos y los procedimientos
de registro de la información durante la ejecución del proyecto de investigación.
Asimismo, se explicitan los procedimientos a utilizar para validar los
instrumentos mencionados.
73
3.5.1- Descripción de los instrumentos
Instrumento para recopilación de información a través de la técnica de
observación:
Se partirá de una guía de preguntas elaboradas por la investigadora, que
orientarán los elementos principales a tomar en cuenta para la observación de
las lecciones de Matemática impartidas por los docentes participantes. Dichas
preguntas están relacionadas con el marco teórico de este proyecto en cuanto a
la estrategia de resolución de problemas, sin embargo, lo importante será
realizar anotaciones o notas de campo para el registro de la información.
Según Hernández, Fernández y Baptista, (2010), parte de la observación
consistirá en tomar notas para ir conociendo el contexto, sus unidades,
participantes y las relaciones y eventos que ocurren. Agregan los autores
“… conforme avanza la inducción, debemos ir generando listados de
elementos que no podemos dejar fuera y unidades que deben analizarse (p.
414).
Por tanto, se utilizarán anotaciones de campo, en las que se escriben los datos
e información que surgen de la observación.
Tal y como lo recomiendan Hernández, Fernández y Baptista, (2010),
“ resulta conveniente que tales registros o notas se guarden o archiven de
manera separada por evento, tema o periodo. , son como páginas
separadas que se refieren a los diferentes sucesos” (p. 376).
Estos autores mencionan diferentes clases de anotaciones como las de
observación directa, descripciones de lo que se observa, con énfasis
interpretativo, temáticos, personales, de aprendizaje, sentimientos o
sensaciones del observador y de la reactividad de los participantes, problemas,
o cambios en el campo, situaciones inesperadas (Hernández, Fernández y
Baptista, 2010, p. 376-379). De esta forma, estos diferentes tipos de
74
anotaciones serán tomados en cuenta durante el trabajo de campo de este
proyecto de investigación.
Asimismo, Hernández, Fernández y Baptista, (2010), proponen distintas formas
de resumir o registrar la información, como lo son cuadros de anotaciones
resumidas, la bitácora de campo que puede contener, descripciones, mapas,
diagramas, cuadros, esquemas o listados de objetos (p. 380). De esta forma,
las anotaciones de las observaciones de este proyecto de investigación, podrán
ser registradas o resumidas utilizando algunas de estas formas para el proceso
de análisis de los datos. Ver anexo # 1.
Instrumento para recopilación de información por medio de la entrevista
Hernández, Fernández y Baptista, (2010), expresan lo siguiente sobre las
entrevistas, “ se basan en una guía de asuntos o preguntas y el entrevistador
tiene la libertad de introducir preguntas adicionales para precisar conceptos u
obtener mayor información sobre los temas deseados (es decir, no todas las
preguntas están predeterminadas)” (p. 418).
En este proyecto de investigación se ha optado por este tipo de entrevista dado
que los docentes de Matemática, que son los sujetos participantes, imparten
diferentes niveles del III Ciclo, por lo que ellos desarrollan lecciones abordando
diferentes áreas, habilidades y conocimientos matemáticos, a distintos grupos y
diferentes horarios, por lo que será importante abordar cualquier evento o
elemento del contexto que sea de interés para los objetivos de este trabajo, que
se presenten en el momento de la entrevista sin haber sido anotados con
anterioridad, esto por medio del planteamiento de otras preguntas que fluyen y
son importantes para la recolección de información relevante.
El procedimiento para registrar las entrevistas será, así mismo, las anotaciones
en el diario de campo siguiendo la guía de preguntas obtenidas del fundamento
teórico de este proyecto, relacionada con la estrategia de resolución de
75
problemas implementada por el docente entrevistado en cada caso. Ver anexo
# 2.
Instrumento para recopilación de información proveniente del análisis de
documentos:
De acuerdo con Hernández, Fernández y Baptista, (2010), la obtención de
datos provenientes de este tipo de fuente consiste en solicitar a los
participantes muestras de tales elementos. Para efectos de este proyecto de
investigación, los docentes portan planeamientos y otros documentos de uso
diario en su labor como profesores y que han sido elaborados por ellos mismos,
por tanto se les solicita sus documentos para analizarlos y registrar datos de su
procedencia (p. 434).
La recolección de datos de esta fuente implicará realizar una revisión de los
documentos, en contraste a la lección impartida por el docente y el marco
teórico referencial. Dicha información se registrará por medio de anotaciones de
campo que serán contrastadas asimismo, con el marco teórico de referencia de
este proyecto de investigación.
3.5.2- Descripción de la validación
De manera general, la validación de instrumentos para la recolección de
información por medio de las técnicas especificadas, se realizarán, en primera
instancia, por medio de la Directora y los dos Asesores de este proyecto
quienes son profesionales en el área de Matemática y poseen experiencia en
investigación.
Posteriormente, al efectuar la recolección de datos y el análisis de los mismos
de manera paralela, se realizará la validación de instrumentos por parte de los
mismos docentes participantes, quienes también son expertos en el área de
Matemática y con quienes se han compartido resultados del proceso por medio
76
de la inclusión de nuevos recursos didácticos y sugerencias al proceso de
implementación de la estrategia de resolución de problemas.
Por otra parte, de manera específica con respecto a cada técnica, el proceso de
validación de los instrumentos utilizados para la recolección de información por
medio de la observación y su registro será la propia observación conforme se
aplica de manera constante. Se espera que cada docente participante pueda
ser observado al menos dos veces.
Anastas (2005), citado por Hernández, Fernández y Baptista, (2010), hace
referencia a que los períodos de observación cualitativa son abiertos, “ la
observación es formativa y constituye el único medio que se utiliza siempre en
todo estudio cualitativo” (p.418).
Conforme el análisis paulatino que se obtiene de la información ordenada y
resumida, deberá determinarse la correlación existente entre dicho análisis y los
objetivos de la investigación.
La entrevista tendrá una validación igualmente progresiva, conforme se
desarrollan las entrevistas y los participantes proporcionan diferentes opiniones
y percepciones hasta obtener la información que obedece a descubrir las
formas de implementación y procesos de avance y mejora de la estrategia de
resolución de problemas empleada por los docentes. El análisis se realizará
partiendo de los objetivos de la investigación.
Los datos provenientes de documentos elaborados por los docentes de
Matemática (plan de lección o planeamiento), serán anotados en el registro de
campo y su validación dependerá de la coherencia existente entre los
documentos, la mediación utilizada por los docentes al emplear en sus clases la
estrategia de resolución de problemas y el marco teórico referencial.
77
3.6- Procedimientos para la ejecución del proyecto de investigación
3.6.1- Descripción de procedimientos metodológicos generales
El procedimiento metodológico general consta de visitas al CTP de Venecia
con el fin de llevar a cabo las observaciones de clases y entrevistas.
Para iniciar, se realizará una visita a la institución con el fin de conseguir la
autorización para realizar el proyecto y obtener los datos relacionados con los
docentes participantes y el contexto institucional. La solicitud de autorización se
muestra en el anexo # 3.
En cada visita a la institución educativa, se completará un registro en el que
conste la visita y se registren datos administrativos. Estos registros se
realizarán por medio del formato del anexo # 4.
3.6.2- Descripción de procedimientos metodológicos para recolectar e
interpretar la información (Primera Etapa)
En este apartado se describe el procedimiento metodológico que se empleará
para reunir e interpretar la información, que corresponde al desarrollo de los dos
primeros objetivos propuestos:
Tabla 3.1: Procedimiento metodológico según objetivos de la investigación 1 y 2
Objetivos Técnica o instrumento Participantes
1-Reunir información sobre la
implementación de la estrategia
metodológica de resolución de
problemas en las lecciones de
Matemática de acuerdo con los
programas oficiales del
Ministerio de Educación Pública
en el III Ciclo del CTP de
Venecia de la Región Educativa
Se realizarán visitas a las aulas de los
docentes y se aplicará la técnica de
observación empleando una guía de
observación.
Se formalizará un registro de datos
por medio de anotaciones de campo.
Se analizan los documentos que
respaldan el desarrollo de las
lecciones y se complementarán las
Docentes de
Matemática
que imparten
III Ciclo en el
CTP de
Venecia.
78
de San Carlos.
anotaciones de campo.
Este procedimiento se ejecutará
utilizando el anexo # 1.
Se realizará una entrevista al docente
observado y se confeccionarán las
anotaciones de campo. Este
procedimiento se ejecutará utilizando
el anexo # 2.
2- Interpretar la implementación
de la estrategia metodológica de
resolución de problemas en las
lecciones de Matemáticas de
acuerdo con los programas
oficiales del Ministerio de
Educación Pública en el III Ciclo
del CTP de Venecia de la
Región Educativa de San
Carlos.
Se utilizarán la síntesis de las
observaciones, los registros de las
entrevistas y del material aportado por
el docente (planeamiento didáctico)
para interpretar las acciones de aula
versus el marco teórico referencial del
proyecto de investigación.
Docentes que
imparten III
Ciclo en el
CTP de
Venecia.
Fuente: elaboración propia
3.6.3- Descripción de procedimientos metodológicos para desarrollar los
recursos para apoyo docente (Segunda Etapa)
En este apartado se establecen los procedimientos metodológicos para la
puesta en práctica de los recursos elaborados como producto del análisis de la
información recolectada e interpretada durante la ejecución del objetivo 1 y 2.
Tabla 3.2: Procedimiento metodológico según objetivos de la investigación 3, 4 y 5.
Objetivos Técnica o instrumento Participantes
3- Diseñar recursos didácticos que
pueden emplear los docentes para apoyar
la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas
Con base en el análisis
realizado de la información
recolectada en la primera
etapa y el marco teórico, se
Docentes que
imparten III
Ciclo en el
CTP de
79
en las lecciones de matemáticas de
acuerdo con los programas oficiales del
Ministerio de Educación Pública en III
Ciclo del CTP de Venecia de la Región
Educativa de San Carlos.
diseñarán recursos didácticos
para el mejoramiento de la
implementación de la
estrategia metodológica de
resolución de problemas.
Venecia.
4- Aplicar los recursos didácticos
diseñados para apoyar la implementación
de la estrategia metodológica de
resolución de problemas en las lecciones
de matemáticas de acuerdo con los
programas oficiales del Ministerio de
Educación Pública en III Ciclo del CTP de
Venecia de la Región Educativa de San
Carlos.
Utilizando observaciones de
clases, grupo focal y
anotaciones de campo, se
establecerá los resultados de
la aplicación de recursos
didácticos diseñados para el
mejoramiento de la
implementación de la
estrategia metodológica de
resolución de problemas.
Docentes que
imparten III
Ciclo en el
CTP de
Venecia.
5- Evaluar los recursos didácticos
aplicados para apoyar la implementación
de la estrategia metodológica de
resolución de problemas en las lecciones
de matemáticas de acuerdo con los
programas oficiales del Ministerio de
Educación Pública en III Ciclo año del
CTP de Venecia, de la Región de
Educación de San Carlos.
Utilizando grupo focal,
anotaciones de campo y
entrevista a docentes se
sistematizará una evaluación
del trabajo de aplicación de
recursos didácticos realizado.
Se efectuará un análisis
comparativo con las
observaciones preliminares del
objetivo 1 y 2 y las nuevas
observaciones.
Se efectuará una valoración
integral de los recursos
didácticos con todos los
insumos.
Docentes que
imparten III
Ciclo en el
CTP de
Venecia
Fuente: elaboración propia
80
3.7- Alcances y limitaciones
El presente proyecto pretende desarrollar un proceso investigativo basado en la
observación de lecciones de Matemática de docentes que implementan la
estrategia metodológica de resolución de problemas, en la Región Educativa de
San Carlos, específicamente en el CTP de Venecia. Además durante esta
primera etapa el proceso implicará entrevistas, revisiones y análisis de
documentos relacionados con la labor de los docentes para completar la
recolección de información.
En una segunda etapa los recursos didácticos diseñados, producto de esa
información, serán aplicados con el fin de evaluarlos y valorar el apoyo al
docente en las lecciones de matemática y posteriormente esos resultados
puedan ser compartidos con los docentes de Matemática de la Región
Educativa de San Carlos y del país en general.
Por su parte, las limitaciones de la investigación están conformadas por los
elementos que puedan impedir que los datos generados al aplicar las técnicas
como la observación, no sean suficientes para organizar nuevos productos, por
ejemplo, que la lección observada sea interrumpida por actividades extra-
curriculares y el tiempo efectivo no sea el suficiente para proporcionar insumos
sobre la estrategia de resolución de problemas. Además, otra limitación sería,
que los nuevos recursos didácticos diseñados no tomen en cuenta aspectos
importantes como el contexto para que puedan ser trasladados a la cantidad de
docentes de la región.
Otro tipo de limitaciones corresponden a imprevistos o asuntos que no se
pueden evitar o establecer que vayan a ocurrir, como por ejemplo, actividades
extracurriculares que se incluyen durante el horario normal de la institución,
incapacidad o ausencia de los docentes participantes o el investigador, por
razones importantes.
81
3.8- Cronograma
El proceso metodológico descrito se llevará a cabo de acuerdo con el siguiente
cronograma:
Tabla 3.3: Cronograma para ejecución del marco metodológico
Fechas Actividad
Del 13 de abril al 1 de mayo Recolección, registro e interpretación de información
Del 2 al 11 de mayo Construcción de propuestas
Del 13 al 24 de mayo Aplicación y evaluación de propuestas
Del 25 de mayo al 1° de junio Observaciones de lectores y de la Comisión
encargada del Trabajo Final de Graduación.
Análisis de información
Del 1° de junio al 1° de julio Incorporación de ajustes y enmiendas.
Del 1° de julio al 22 de
diciembre
Conclusión del Proyecto de investigación, revisiones
y ajustes finales.
Fuente: elaboración propia
Con la ejecución de este cronograma, se espera concluir los siguientes
capítulos resultados del proyecto, interpretación y discusión de resultados y
conclusiones y recomendaciones.
82
CAPÍTULO 4: RESULTADOS DEL PROYECTO
En este capítulo se presenta la información recolectada mediante el registro
sistemático de anotaciones sobre: las observaciones de lecciones, revisión de
documentos de los profesores y entrevistas a los docentes.
En el primer apartado se mostrará de manera sistematizada la información a
través de las categorías de análisis: El problema y sus características, El
estudiante y su trabajo, Acción docente: desarrollo de la lección - cierre o
clausura y finalmente, Procesos y situaciones favorables.
Dicha sistematización responde al objetivo # 1 propuesto en este proyecto de
investigación: “Reunir información sobre la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas en las lecciones de matemática de
acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de Educación Pública en el III
Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de San Carlos”.
En un segundo apartado y atendiendo al objetivo # 2 de este proyecto:
“Interpretar la información sobre la implementación de la estrategia
metodológica de resolución de problemas en las lecciones de matemáticas de
acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de Educación Pública en el III
Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de San Carlos”, se presentan
los resultados del análisis de la sistematización y posteriormente se muestra en
forma tabular una síntesis de dichos resultados con el fin de exponer la
interpretación que inducirá a los tres recursos didácticos propuestos para
apoyar la implementación de la estrategia metodológica.
En el tercer apartado, producto del análisis de los datos expuestos en los
apartados anteriores, se desarrollará el objetivo # 3: “Diseñar recursos
didácticos que pueden emplear los docentes para apoyar la implementación de
la estrategia metodológica de resolución de problemas en las lecciones de
matemáticas de acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de
83
Educación Pública en III Ciclo del CTP de Venecia de la Región Educativa de
San Carlos.”, a través de la presentación de tres recursos didácticos completos.
Finalmente, en el cuarto apartado se presentan los resultados de aplicar y
evaluar los recursos didácticos diseñados, después de ser proporcionados a los
docentes para sus lecciones de matemática, de acuerdo con los objetivos # 4 y
# 5 del proyecto: Aplicar y evaluar los recursos didácticos diseñados para
apoyar la implementación de la estrategia metodológica de resolución de
problemas en las lecciones de matemáticas de acuerdo con los programas
oficiales del Ministerio de Educación Pública en III Ciclo del CTP de Venecia de
la Región Educativa de San Carlos.
4.1- Sistematización de resultados preliminares
En este apartado se presenta la sistematización de los datos provenientes de
tres diferentes técnicas utilizadas: la observación, la revisión de documentos
que utilizan los profesores y entrevistas a docentes, de acuerdo con las
categorías de análisis propuestas en esta investigación y su vínculo con el
marco teórico de referencia.
Inicialmente se codificarán los docentes, según el nivel que imparten en el III
Ciclo, de acuerdo con los códigos, profesor 1, profesor 2, profesor 3 y profesor
4. Posteriormente, se seguirán utilizando únicamente los códigos para una
mayor fluidez en la organización de la información.
Categoría 1: El problema y sus características
En este apartado se expone la sistematización de resultados derivados de las
diversas fuentes, de acuerdo con la categoría de análisis, el problema y sus
características, tomando en consideración su vínculo con el marco teórico de
referencia.
84
Información proveniente de la observación
Los problemas trabajados en sétimo año por parte del profesor 1, se refieren a
la aplicación de los conocimientos sobre mínimo común múltiplo y máximo
común divisor utilizando números naturales. Los seis problemas debían ser
resueltos por todos los subgrupos y algunos de los datos que contemplan se
refieren al contexto de la institución. Estos problemas fueron tomados y
adaptados de un libro de texto no oficial, disponible en el mercado.
El profesor 2 que imparte sétimo año, utiliza para introducir el concepto de
números enteros un problema que se encuentra en las indicaciones puntuales
del Programa, página 280, que se refiere a cálculo de una temperatura bajo
cero, el problema es el siguiente: “La temperatura promedio en la ciudad de San
José es de 25 °C durante la estación lluviosa. Ciudades como Nueva York
pueden experimentar hasta 30 °C menos. Describa a qué temperatura puede
estar dicha ciudad. Respuesta: podría experimentar temperaturas de hasta 5 °C
bajo cero”. El resto de ejercicios se refieren a situaciones de contexto que
utilizan números enteros y ejercicios sobre el tema.
El profesor 3, que imparte octavo año trabajó el problema contextualizado sobre
la aplicación del teorema de Thales que se encuentra en la página 313 del
Programa de Estudios vigente, esto después de haber utilizado algunos
ejercicios no contextualizados para introducir el tema. La restante práctica está
constituida por este tipo de ejercicios tomados de un libro de texto y se
observan ejercicios abundantes.
En la lección con estudiantes de noveno año, recibieron las instrucciones del
profesor 4 para ir a los alrededores de la institución, donde debían resolver uno
de cinco problemas según fue asignado en una guía que poseía
representaciones gráficas relacionadas con el encabezado de cada problema.
Los problemas se referían a la aplicación del teorema de Pitágoras para colocar
una lámpara en el centro del gimnasio; encontrar la longitud en metros de la
85
trayectoria de un balón; las longitudes del borde de graderías del gimnasio; las
longitudes de los catetos, midiendo una rampa con el fin de determinar si
cumple con la ley 7600 y la longitud de una escalera que se encuentra apoyada
en una pared. Además, los estudiantes tenían un reto, plantear un problema
utilizando el contexto, en el que se aplique el teorema de Pitágoras, para ser
intercambiado con otro subgrupo y ser igualmente resuelto.
Figura 4.1: Ejemplo de problema planteado a estudiantes de noveno año, CTP Venecia y el
lugar donde debían determinar medidas y resolverlo.
Fuente: Guía para el trabajo de campo elaborada por profesor 4.
Asimismo, fue asignada a los alumnos una práctica de aplicación del teorema
de Pitágoras que consta de treinta y ocho ejercicios. Debían avanzar hasta el
décimo o más y los otros, como práctica adicional o trabajos extra-clase.
Algunos de esos problemas tenían una representación gráfica con un triángulo
definido con los datos en la figura o en el encabezado o en ambos; en otros, los
estudiantes debían analizar la figura, e identificar y trazar el triángulo. Algunos
de los problemas requieren de conversiones de medidas de longitud.
86
Información proveniente de documentos de los docentes
En los documentos los profesores 1 y 2, existe una combinación entre
problemas y ejercicios, en la que los problemas contextualizados son menos y
los ejercicios que implican cálculo mecánico, sin contexto, son cuantiosos.
En las fichas de los docentes se coloca un problema para iniciar una habilidad
específica, pero únicamente se transcribe el número que corresponde con el
Programa de Estudios y se indica el conocimiento. No se muestra un abordaje
del problema donde se establezcan posibles estrategias de resolución para
apoyar el momento de la discusión y poseer insumos para el cierre de la
lección.
El profesor 3 trabaja con una plantilla trimestral en la que los problemas son
seleccionados y están clasificados en Etapa I y Etapa II, según la organización
de la lección, sin embargo, lo escrito en el plan no corresponde con el desarrollo
de la lección ni con el cuaderno de los estudiantes. Tiene como guía un libro de
texto de una editorial.
En cuanto a los documentos correspondientes a los planes del profesor 4, éste
utiliza una plantilla descriptiva en la que no aparecen los problemas, sino que se
indica la página del libro donde se encuentra el problema con el que se iniciará
la lección y las páginas del texto en las que aparecen los restantes problemas
para ejemplificar y practicar.
Información proveniente de las entrevistas a los docentes
El profesor 1, con respecto a la selección de los problemas, indica que busca
aquellos que permitan desarrollar el tema y que contengan aspectos familiares
para los estudiantes. Por lo general utiliza los problemas de las indicaciones
puntuales del Programa de Estudios. Éstos le han proporcionado buenos
resultados porque los estudiantes adquieren el conocimiento y en el proceso de
solución surgen elementos para realizar el cierre de la lección. El docente indica
87
que verifica que los estudiantes escriban la respuesta correcta al problema,
otros ejemplos y les proporciona práctica para complementar la idea inicial;
Además, se aplica la observación cuando están haciendo la práctica, de
manera que si cometen algún error, se les explica nuevamente.
En cuanto a los problemas de la etapa II, los selecciona tomando en cuenta el
nivel de dificultad, el entorno y contexto.
El profesor 2 expresa que busca problemas que cumplan con la habilidad y los
trata de contextualizar. Por lo general funcionan como se espera, los
estudiantes comprenden los conceptos y en cuanto al cierre de la lección cree
que debe tratar de hacerla, abarcando más habilidades.
Respecto a los problemas de la etapa II, se espera que los estudiantes
resuelvan más problemas, por lo que se dejaron para trabajo extra-clase los
que se incluyeron en el plan y en la clase se desarrollaron los del libro tratando
de contextualizarlos.
El profesor 3 selecciona los problemas de un libro de texto, indica que se le
dificulta incluir problemas de contexto y los estudiantes muestran deficiencias al
resolverlos. Utiliza más ejercicios que problemas de contexto. Expresa que aún
al desarrollar el proceso anterior, a los estudiantes no se les facilita resolver el
problema que propone el Programa.
El profesor 4, se basa en los conocimientos de las habilidades específicas que
el estudiante debe dominar para seleccionar el problema inicial de la clase y
refuerza con más práctica referente al tema estudiado. Por lo general, la
mayoría de problemas que utiliza los toma del libro de texto.
El docente expresa que para la etapa II, los ejercicios que desarrolla son
tomados de las actividades que están propuestas en el libro con el cual trabaja,
pero que necesita reforzar el tema proporcionando a sus estudiantes una lista
88
adicional para que trabajen y se familiaricen con más ejercicios y problemas
contextualizados. El docente agrega que algunos los eligen de Internet pero
primero los lee y desarrolla para determinar cuáles habilidades específicas
refuerza.
Síntesis de la sistematización de la categoría 1
La información proveniente de las tres técnicas de recolección de información,
con respecto a la categoría 1, el problema y sus características, proporciona
datos relacionados con la selección y uso de los problemas que los docentes
emplean en las lecciones, en sus planes didácticos y en las fichas que utilizan
para trabajar con sus estudiantes. Se evidencia que los cuatro docentes
obtienen los problemas de libros de texto o del Programa, procuran identificar
vínculos con el contexto y proporcionar para la etapa II, algunos problemas para
reforzar las habilidades pretendidas. Sin embargo, se muestran las limitaciones
que enfrentan al seleccionar los problemas según las habilidades que se van a
abordar en la clase.
Categoría 2: El estudiante y su trabajo
A continuación se expone la sistematización de resultados derivados de la
observación, información proveniente de la revisión de documentos de los
profesores y entrevistas a docentes, de acuerdo con la categoría de análisis, el
estudiante y su trabajo, tomando en consideración su vínculo con el marco
teórico de referencia.
Información proveniente de la observación
Se observó, en general, buena conducta y disciplina por parte de los
estudiantes.
En las secciones de sétimo año se observó a los estudiantes trabajando en
subgrupos, mostraban interés ante el aprendizaje y casi la totalidad de los
estudiantes se encontraban desempeñando su tarea sin pérdida de tiempo.
89
Ante preguntas sobre el trabajo pendiente o la adquisición de fichas en la
fotocopiadora, los estudiantes responden demostrando atención e interés,
algunos se ofrecen a colaborar.
Respecto al trabajo de resolución de problemas los mantiene ocupados y se
desenvuelven de manera natural. Aprovechan que el docente camina por los
subgrupos para preguntar y aclarar sus dudas.
Cuando el docente propicia la discusión, levantan la mano para participar. Se
observa un trabajo estudiantil espontáneo en el momento de exposición de
ideas o estrategias de resolución. Se discute en forma oral.
En su mayoría los estudiantes prestan atención a la lectura oral de la parte
teórica que el docente realiza para formalizar la respuesta al problema y el
conocimiento que está abordando.
Al iniciar la etapa II, los estudiantes exponen al docente sus dudas y
comentarios, por ejemplo, un alumno expresa su inquietud de la siguiente
manera: “¿Profesor, qué se hace aquí?, no hay contexto como en los otros
ejemplos”. El profesor le indica que utilice los signos, positivo o negativo. El
estudiante responde: “Me gustan más de los otros”, al referirse a los problemas
relacionadas con la temperatura por ejemplo.
Los alumnos del profesor 2, también muestran interés al resolver los problemas,
ellos están organizados en subgrupos de manera que saben que les
corresponde resolver todos los problemas, pero deben exponer al grupo
completo la solución de uno de ellos utilizando la pizarra.
Los integrantes del subgrupo pasan a la pizarra y en algunas oportunidades dos
de ellos toman la iniciativa, en otros casos participan todos apoyándose como
equipo, haciendo cada uno alguna tarea. El grupo completo debe decidir si el
problema está resuelto correctamente y por qué. En los momentos en que el
90
trabajo del subgrupo tenía algún error, se daba una discusión entre los
estudiantes, que el docente guiaba en forma oportuna.
Los estudiantes de octavo año se encuentran resolviendo el problema
contextualizado y además deben resolver otros ejercicios que están anotados
en la pizarra. Se les ha dado el espacio para que encuentren la solución y
algunos de ellos preguntan sobre el problema y expresan lo que no
comprenden, el docente aclara sus dudas sin dar la solución. Al cabo de un
rato, sin haber algún aporte estudiantil, el docente ofrece la solución del
problema en la pizarra. Los estudiantes se refieren a la solución como algo que
difícilmente hubieran logrado.
Los cuadernos de los estudiantes muestran más ejercicios que problemas y
trabajo en el área de geometría, como homotecias, sin uso de cuadrícula, regla
o lápiz.
Los alumnos de noveno año manifiestan especial interés en el trabajo de campo
que realizaron, resolviendo problemas y haciendo mediciones con cinta métrica
o cuerdas. Un estudiante expresa lo siguiente: “ojalá todas las lecciones fueran
de ese tipo, son más divertidas”. Algunos estudiantes dijeron que, lo que más
les costó fue el reto de plantear un problema nuevo y encontrar la forma de
medir los catetos en el triángulo que formaba la rampa, pues tuvieron que
utilizar la imaginación.
Durante el trabajo grupal, los estudiantes solicitaban al docente que aclarara
sus dudas y manifestaban dominio del tema.
Resolvieron bastantes problemas y externaron dudas en aquellos problemas de
aplicación en los que no aparece el triángulo rectángulo dibujado.
91
Información proveniente de documentos de los docentes
En los planes de los docentes no aparecen las posibles estrategias de solución
o dudas que pueden presentar los estudiantes ante los problemas. Lo
contemplado en los planeamientos no necesariamente corresponde al trabajo
que los estudiantes desarrollaron en el aula. Por este motivo, la clausura o
cierre de la lección que aparece en los planes, constituye la teoría
correspondiente a la habilidad sin tomar en cuenta las posibles estrategias de
solución del problema planteada por los estudiantes.
Información proveniente de las entrevistas a los docentes
El profesor 1 expresa que el rol de los estudiantes es muy diferente al utilizar la
metodología de resolución de problemas. Ellos manipulan y se relacionan con
distintos contextos, tratan de buscar una respuesta sin saber la materia, no se
limitan a desarrollar una fórmula, sino que buscan otras opciones. La tecnología
ofrece oportunidades, pero si usan la calculadora no piensan, deben aprender
las operaciones y los procedimientos primero.
El profesor 2, tiene una opinión similar y expresa además que los estudiantes
aún no han interiorizado el cambio y que ellos esperan que el docente sea el
protagonista en la lección, por eso en partes de ella, todavía hay que
conducirlos.
El profesor 3 expresa que los estudiantes esperan a que sea el docente quien
resuelva el problema y que aunque él los deja que trabajen y que descubran, la
mayoría no logra resolverlo.
El profesor 4 coincide con que el papel del estudiante es distinto al emplear la
metodología de resolución de problemas y destaca el cambio que han tenido los
estudiantes durante el proceso, pues, en un inicio les costó tomar la iniciativa de
resolver el problema asignado, pero aunque ahora en ocasiones dudan, son
estudiantes más animados para realizar este tipo de actividades.
92
Síntesis de la sistematización de la categoría 2
Con respecto a la categoría 2, el estudiante y su trabajo, las técnicas utilizadas
para recolectar la información proporcionan datos sobre el comportamiento y
reacciones estudiantiles, entre ellas la participación mediante preguntas y
dudas, buena conducta, interés ante el problema por resolver y por el trabajo
asignado. Asimismo, los docentes expresan que los estudiantes han avanzado
ante la estrategia de resolución de problemas pero que se encuentran en un
proceso de cambio que se manifiesta, pero aún no de manera continua.
Además, no hay evidencia en el plan de clase sobre la reflexión del docente
respecto al posible trabajo que los estudiantes deben realizar en la solución del
problema.
Categoría 3: Acciones del docente: desarrollo de la lección- cierre o
clausura
Se presenta la sistematización de resultados derivados de la observación,
información proveniente de la revisión de documentos de los profesores y
entrevistas a docentes, de acuerdo con la categoría de análisis, acciones del
docente: desarrollo de la lección- cierre o clausura, tomando en consideración
su vínculo con el marco teórico de referencia.
Información proveniente de la observación
En general, los docentes se aseguran de que la clase se encuentra organizada
y los estudiantes hayan comprendido las indicaciones sobre el trabajo asignado.
Además, los profesores se preocupan por estar atentos a las dudas de los
estudiantes y caminan por el aula para responder a sus inquietudes.
Las diferentes fases de la lección se evidencian en algunas oportunidades, sin
embargo, al contrastar con lo planificado, no existe una coincidencia exacta.
De manera particular se subrayan aspectos como los siguientes:
El profesor 1 parte del problema para iniciar la discusión al preguntar cómo
restaron a un número menor, uno mayor y explicar que ese resultado
93
corresponde a nuevos números que van a conocer y a usar. De esta forma el
docente guía de manera oral las fases de discusión interactiva y de la clausura
y se apoya en la ficha de trabajo.
El profesor 2 enfatiza en el uso de los conocimientos previos, por ejemplo
cuando advierte a los estudiantes que revisen si se debe hacer alguna
conversión entre medidas.
El profesor 3 utiliza ejercicios de libros de texto, lo cual se evidencia tanto en la
lección, como en su plan didáctico.
Información proveniente de documentos de los docentes
Los profesores 1 y 2 elaboran una ficha que presenta una estructura como la
siguiente: número de habilidad, conocimiento, problema o situación problema,
teoría sobre el conocimiento, ejemplos, abundantes ejercicios y algunos
problemas de aplicación y de contexto. Pero, este plan de clase, no tiene
correspondencia con el plan que entregan a la dirección del colegio.
El profesor 3 utiliza una plantilla que muestra las habilidades agrupadas y los
problemas que se plantean en el Programa. En los cuadernos de los
estudiantes no se visualiza la coincidencia en su totalidad. Desarrolla las
habilidades una a una, no integradas o agrupadas. En las estrategias de
evaluación, el docente indica páginas de libros de alguna editorial. Su minuta
diaria es sustituida por indicaciones del libro de texto, por lo que no se evidencia
una planificación sistemática de la misma.
El profesor 4 emplea una plantilla completamente descriptiva, en la que anota
los números de página de los libros y los instrumentos de trabajo para la
lección, éstos son prácticas con problemas de aplicación.
94
Información proveniente de las entrevistas a los docentes
El profesor 1, al referirse a la pregunta del anexo # 2: en el planeamiento de la
clase usted consideró las dificultades en los estudiantes en la fase del trabajo
estudiantil, expresa que algunas veces y en el transcurso de la lección, por
ejemplo, con respecto al problema planteado, a los estudiantes se les debe
orientar cuando piensan que a número menor no se le puede restar un número
mayor. Al indicarle que, en su plan no selecciona preguntas para la discusión
interactiva, el docente expone que las tiene en mente y que las mismas
interrogantes de los estudiantes generan otras que él les plantea, de ahí que
con el último grupo que se trabaja, la discusión posee muchos más elementos.
El profesor agrega que la teoría que se vincula con la clase que corresponde al
“cierre de la lección” se incluye en la misma ficha de trabajo de los estudiantes,
con esto ahorra tiempo.
En cuanto a su auto-calificación sobre el rol docente con respecto a la
metodología de resolución de problemas, expresa que no le gusta calificarse,
pues todos los días se aprende algo nuevo del proceso y de los estudiantes. La
resolución de problemas debe ponerse en práctica porque los estudiantes
evolucionan y funciona, por eso se debe continuar, aunque hay algunos temas
que se prestan más que otros.
El profesor 2 explica que en su planificación no considera posibles dudas,
estrategias o dificultades que pudieran presentar los estudiantes, tampoco
plantea preguntas generadoras para la fase de discusión interactiva; explica
que eso se da en el transcurso de la misma lección. Asimismo, planifica la parte
formal del cierre de la lección, pero otros cierres inesperados se dan igualmente
en las clases.
En cuanto a la estrategia de resolución de problemas este profesor se otorga
una calificación de ocho, pues existen dificultades que aún no logra superar, por
ejemplo que los estudiantes les falta comprensión de lo que pide el problema y
sobre lo que trata la pregunta, para que puedan dar la respuesta correcta. Se
95
evidencian efectos positivos en los estudiantes pero se debe continuar
trabajando para que mejoren los resultados incluso en las evaluaciones
escritas.
El profesor 3 realiza una breve descripción en su plan didáctico sobre las
distintas partes de la etapa I, aprendizaje de conocimientos, como son, el
trabajo estudiantil, la discusión interactiva y la clausura o cierre de la lección. En
esta descripción incluye algunas preguntas generadoras.
En cuanto a la metodología de resolución de problemas expresa que desea
tener más tiempo y soltura para inventar problemas y actividades, pero que
debe considerar que hay que avanzar, por esas razones su auto-calificación es
baja. El docente indica que las habilidades que se refieren a construir
representaciones gráficas en el área de geometría, las evaluó únicamente en
trabajo cotidiano y extra-clase.
El profesor 4 expresa que sí procura tomar en cuenta las dificultades que los
estudiantes puedan tener al resolver el problema, pues en años pasados ha
trabajado los temas y ya sabe cuáles dificultades se presentan. Además, indica
que se debe plantear problemas en los que los estudiantes tengan que analizar
y motivarlos para resolver cualquier problema que se les plantee. También,
puntualiza que en la discusión interactiva el docente debe hacer preguntas para
romper el hielo y lograr que los estudiantes expresen las estrategias de
resolución.
En cuanto al empleo de la estrategia de resolución de problemas, el docente
expresa que se asigna un ocho, no por considerarse mal docente, sino porque
se encuentra en un proceso de cambio y para ser mejores en la labor como
docentes de matemática, hay mucho trabajo por realizar. Agrega que cada día
trata de desempeñar una buena labor con el fin de que los estudiantes asimilen
los conocimientos y se sientan bien con respecto a su proceso de aprendizaje.
96
Síntesis de la sistematización de la categoría 3
Sobre la categoría 3, Acción docente: desarrollo de la lección - cierre o
clausura, las técnicas empleadas aportan información referida al
desenvolvimiento del docente respecto del desarrollo de la clase, existe
incoherencia entre lo escrito en el plan de clase, el plan entregado a la
administración y la ejecución de la misma. Además, no hay una reflexión escrita
sobre las posibles dificultades de los estudiantes durante el desarrollo de la
lección en ninguno de los cuatro momentos. También, el cierre o clausura está
planificado a nivel teórico únicamente, debido a que no se consideran posibles
estrategias de solución por parte de los estudiantes. Los docentes procuran
brindar atención de sus alumnos en cuanto a dudas y dificultades que por su
experiencia creen conocer. Finalmente, autocalifican su trabajo con ocho en
una escala de 1 a 10, debido a que debe mejorar sus habilidades en el
desarrollo de la estrategia metodológica.
Categoría 4: Procesos y situaciones favorables
En este apartado se expone la sistematización de resultados derivados de la
observación, información proveniente de la revisión de documentos de los
profesores y entrevistas a docentes, de acuerdo con la categoría de análisis,
procesos y situaciones favorables, tomando en consideración su vínculo con el
marco teórico de referencia.
Información proveniente de la observación
En general, durante el trabajo con los cuatro docentes, el ambiente que se vive
en las lecciones es de cordialidad y buen trato para con los estudiantes. Los
espacios físicos son suficientes para la atención de los estudiantes aunque
algunos grupos son numerosos.
Los profesores estimulan a los alumnos para que piensen y razonen sin ofrecer
una respuesta inmediata al problema propuesto. Dejan a los estudiantes
97
trabajar un lapso considerable en la resolución del problema. También, al llamar
la atención para el orden, lo hacen de buen modo, incluso los mismos
estudiantes solicitan silencio cuando creen que hay mucho ruido.
El abordaje de los conocimientos matemáticos es correcto por parte de los
docentes al ofrecer explicaciones.
Los estudiantes manifiestan interés por aclarar sus dudas y recibir supervisión
de los trabajos realizados en sus cuadernos.
Se observan y destacan en las lecciones la conexión con otras áreas cuando
los estudiantes resuelven el problema.
En particular el profesor 4 agrupa a los alumnos de manera tal que alguno de
sus integrantes ayuda a los demás y apoya el aprendizaje de todos. Él
considera relevante motivar a los estudiantes e instarlos a ser perseverantes,
en especial cuando los datos del problema se encuentran en el encabezado y
no hay representación gráfica. Además, cuando llevó a su grupo a realizar
mediciones y utilizar el contexto del colegio para que resolvieran problemas,
desarrolló una clase donde se evidencia la utilización de la matemática así
como el gusto y disfrute por la materia y sus aplicaciones, como lo muestran los
estudiantes. Los alumnos comunicaron haber tenido que pensar bastante y que
haber salido de la rutina de aula les agradó mucho.
Información proveniente de documentos de los docentes
En los documentos elaborados por los docentes los procesos cognitivos que se
estimulan en los estudiantes a través del logro de habilidades se muestra en
forma implícita, a través de la propuesta de problemas contextualizados y otras
actividades, pues no se visualiza una simbología o párrafo que permita
visualizar su descripción explícita.
98
Los planes de clase en general tienen la fortaleza de emplear la resolución de
problemas como estrategia principal y los mismos procuran tomar en cuenta el
contexto lo que permite una leve conexión entre áreas.
Información proveniente de las entrevistas a los docentes
El profesor 1 explica que desea que el proceso de razonar sea el que esté
presente en todas sus lecciones pero que debe trabajar con sus estudiantes la
comprensión de la pregunta del problema para que sepan qué responder y
hacerlo correctamente. Agrega que el proceso de comunicación siempre está
presente en la clase y el de conexión se encuentra presente en los problemas
por lo general.
El profesor 2 se refirió a que los estudiantes deben de valorar los
procedimientos necesarios para dar solución a un problema y lograr que en
ellos se establezca la conexión del uso de la matemática con la vida real.
El profesor 3 espera que los estudiantes siempre logren comunicar y
argumentar las ideas en la clase y que al transcurrir el tiempo, cuando se hayan
corregido algunos problemas de infraestructura, se pueda utilizar el recurso
tecnológico con mayor frecuencia.
El profesor 4 expresa que de manera especial con el empleo de la metodología
de resolución de problemas y sus fases, se logra que los estudiantes piensen,
razonen y analicen las situaciones que se les presenta. Un logro importante ha
sido que los estudiantes avancen y ya no teman resolver problemas.
Síntesis de la sistematización de la categoría 4
Las tres técnicas empleadas para recolectar la información proporcionan datos
con respecto a la categoría de análisis, procesos y situaciones favorables, se
puede verificar que existe en el desarrollo de la lección, actitudes favorables en
99
los estudiantes ante el aprendizaje y la presencia principalmente de los
procesos de razonar y argumentar y comunicar. Las acciones de los docentes
no representan un abordaje de los procesos cognitivos de manera rigurosa,
éstos se dan de manera natural en las actividades orales de la clase.
Los docentes permiten que los estudiantes perseveren en la resolución de los
problemas, aunque manifiestan la dificultad, de los que se puede inferir que el
proceso de resolución de problemas demanda de los estudiantes mayor
razonamiento y se espera que si los docentes también son persistentes, haya
mayor avance en el aprendizaje de alumnos.
4.2- Interpretación de la sistematización de resultados preliminares
En este apartado se presenta la interpretación de la información sistematizada
en el apartado anterior. Cada interpretación constituye un insumo para
desarrollar recursos didácticos que puedan apoyar al docente de matemática y
está respalda por el proceso de triangulación de las distintas técnicas
empleadas y su contrastación con el marco teórico de referencia. Se adjunta al
final del apartado una representación tabular que resume dichos resultados.
Interpretación de la Categoría 1: El problema y sus características
Se evidencia la necesidad de trabajar con los estudiantes más problemas de
aplicación de los conocimientos matemáticos o problemas con el fin de que
adquieran procesos cognitivos y vea la utilizada de la matemática para resolver
problemas de su vida cotidiana y el mundo real, esta indicación esta explícita en
el Programa de Estudios de Matemática (2012, p.32) y confirmada por Pólya
(1965) al indicar que ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, eliminará
en ellos el interés e impedirá su desarrollo intelectual.
Así pues, el problema con el que inicie la lección, debe proporcionar las
herramientas adecuadas e insumos necesarios para el desarrollo de las etapas
y fases de la lección, como se indica en MEP (2012, p.41).
100
Por ejemplo: con referencia a la clase en la que se abordó el teorema de
Pitágoras, existe en el Programa de Estudios otro conocimiento que se
encuentra relacionado con el tema y la habilidad siguiente, corresponde al
conocimiento matemático: distancia entre dos puntos. Esta relación y fortaleza
del Programa, no se aprovecha, pues se trabajó de manera insistente una sola
habilidad, empleando demasiado tiempo.
En el marco teórico de referencia de este trabajo, según el Proyecto Reforma
de la Educación Matemática en Costa Rica (2014), la integración de habilidades
matemáticas en el planeamiento didáctico es un recurso importante para
favorecer la estrategia metodológica, fortalecer procesos y optimizar tiempo.
Se puede deducir que los problemas que han sido seleccionados por los
docentes provenientes del Programa de Estudios, dan buenos resultados para
la adquisición de habilidades y proporcionan los insumos necesarios para
desarrollar las lecciones en las etapas propuestas para la organización de la
lección.
Por lo tanto, las situaciones problemáticas y problemas de aplicación, que
aparecen en el plan didáctico, pueden provenir del Programa oficial o ser
planificados y analizados por el docente de manera detallada para verificar que
satisface los requerimientos de las estrategia metodológica.
Los docentes también obtienen los problemas de libros de texto, con el fin de
reforzar el proceso de la primera etapa, específicamente para emplearlos en la
etapa II, sin embargo, esto puede ser una limitante al seleccionar los problemas
dependiendo de las habilidades que se van a abordar en la clase si no se
adecúan o condicionan de acuerdo con las indicaciones puntuales del
Programa de Estudios.
101
Tal y como lo expresan Camacho y Santos (2004), el tipo de problema que se
emplea en las lecciones proporciona a los estudiantes estrategias distintas de
solución y por lo tanto variadas formas de aprender y comprender el contexto,
de ahí que, la selección del problema es trascendental.
Se puede afirmar que la búsqueda de problemas adecuados depende del
docente y el uso de materiales ajustados al enfoque del Programa de Estudios,
es de suma importancia.
Según Ruiz (2013), el enfoque del Programa de Estudios de Matemática se
consigna como resolución de problemas en contextos reales y con ello, la
estrategia metodológica de resolución de problemas permite la lección de
matemática organizada de forma que, las tareas que realice el docente en sus
lecciones deben permitir el aprendizaje de conocimientos que se aplican en la
resolución de otros problemas y ejercicios que sean familiares al contexto
estudiantil.
Interpretación de la Categoría 2: El estudiante y su trabajo
Se puede afirmar que los estudiantes han asimilado el proceso de resolución de
problemas en la fase de la propuesta y obedecen a la guía del docente dada la
participación mediante preguntas y dudas, buena conducta, interés ante el
problema por resolver y las tareas asignadas. Sin embargo, se puede optimizar
la labor de los estudiantes con una planificación sistemática de la lección,
orientada a brindar protagonismo a los jóvenes en los momentos de la clase
denominados: trabajo estudiantil independiente y discusión interactiva y
comunicativa.
Es importante destacar en cuanto al trabajo estudiantil, según MEP (2012), la
búsqueda de la autonomía en el aprendizaje de los alumnos, permitiendo que la
misma acción de grupo y del docente, defina apropiadamente esos momentos.
Asimismo, Pólya (1965), habla de promover en los estudiantes el pensamiento
independiente a través de preguntas estimulantes que provoquen su curiosidad.
102
La participación del estudiante a la hora de discutir las soluciones es relevante
para que se establezca la comunicación con sus compañeros, compartan sus
estrategias y su trabajo. En este sentido será importante emplear diferentes
técnicas de exposición de ideas, que el docente podrá orientar.
Las distintas estrategias de solución de los problemas, empleadas por los
estudiantes, constituyen un insumo importante para retroalimentar el
planeamiento de la lección, esto permite hacer mejoras sustanciales a una
futura clase que emplee el mismo problema, para esto los planes didácticos
pueden contemplar algunos renglones para observaciones, donde se pueda
registrar los aspectos positivos y negativos de la ejecución.
En la fase de discusión, de acuerdo con MEP (2012), la intervención del
docente es indispensable para promover la contrastación de ideas en los
estudiantes, el docente debe planificar cuidadosamente las posibles
intervenciones para abordar los conocimientos matemáticos que pretende
propiciar mediante el problema seleccionado.
Además, respecto a la fase de discusión interactiva y comunicativa, el docente
debe enfatizar el empleo de lenguaje matemático apropiado por parte de los
estudiantes y debe favorecerlo especialmente durante esta fase.
Asimismo, los docentes deben favorecer el avance y asimilación de los
alumnos al resolver problemas, evidenciando y registrando la retroalimentación
de la clase, en sus planes, respecto al posible trabajo que los estudiantes
realizan cuando trabajan en la solución de los problemas.
Según esto, el papel de los docentes observados con respecto al trabajo de los
estudiantes en las lecciones de matemática, no fue el óptimo especialmente en
la fase de discusión interactiva y comunicativa, pues, la labor de mediador y
guía del proceso de aprendizaje de los alumnos, consiste en procurar mayor
contrastación de las ideas y estrategias en los estudiantes, empleando el
lenguaje matemático adecuado y un mayor análisis y sistematización de la
103
intervenciones y reacciones de sus alumnos. De ahí que, tal y como se subraya
en el marco teórico de referencia de este proyecto de investigación, las fases de
la estrategia metodológica de resolución de problemas deben ser planificadas
cuidadosamente por el docente y congruentes con las habilidades que se
desean desarrollar.
Interpretación de la Categoría 3: Acción docente: desarrollo de la lección-
cierre y clausura
Los documentos elaborados por los docentes no permiten visualizar en su
totalidad una estructura de lección organizada de acuerdo con los lineamientos
establecidos en el Programa de estudios. Sin embargo, Ruiz (2013), destaca la
importancia de que el docente utilice la organización de las lecciones
empleando la estrategia de resolución de problemas, enfatizando las etapas y
fases que permiten el logro de habilidades matemáticas.
Por tanto, los planes de lección deben ser más estructurados. Debe haber una
coherencia entre el desarrollo de las actividades vinculadas con el problema y
el cierre o clausura, pero esto debe ser planificado con anticipación, desde el
conjunto mismo de las habilidades que se desean propiciar. Al respecto indica
Chavarría (2006), citando a Brousseau, el estudiante resuelve situaciones
problemáticas sin la intervención directa del docente, aplicando especialmente
los conocimientos adquiridos con anterioridad, luego, será tarea del docente,
institucionalizar el saber adquirido por los estudiantes durante ese proceso.
El construir este tipo de planeamientos permitirá a su vez que exista coherencia
entre los mismos y la clase que se desarrolla, e implica considerar las
estrategias de solución que emplean los estudiantes y el registro de reflexiones
de los docentes sobre las posibles dificultades presentadas por ellos al resolver
los problemas asignados, de tal forma que el cierre o clausura de la clase parte
de resultados obtenidos en las fases anteriores que complementan la
formalización de los conocimientos. En forma especial, dicha planificación dará
al docente la oportunidad de mejoramiento en sus lecciones, lo que al mismo
104
tiempo le dará confianza y avance en cuanto a la implementación de la
estrategia metodológica de resolución de problemas.
Interpretación de la Categoría 4: Procesos y situaciones favorables
En los planes didácticos deben sistematizarse todos aquellos elementos que
parezcan favorables para el progreso de enseñanza y aprendizaje de la
matemática, tales como, los procesos cognitivos, que de acuerdo con el MEP
(2012), permiten potenciar las capacidades matemáticas en los estudiantes.
Sin embargo, en los planes confeccionados por los docentes participantes en
esta investigación, no se plantean ideas o formas de abordar los procesos
cognitivos de manera que se favorezca su potenciación, en el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Dicha sistematización puede elaborarse de varias formas, por ejemplo a través
de recuadros o viñetas que destaquen o señale el proceso que se potencia en
los estudiantes, de este modo el docente tiene presente en sus documentos y
lecciones el abordaje de los procesos cognitivos de manera eficaz.
De manera similar, con respecto a los ejes transversales que se destacan en el
marco teórico de este trabajo, de acuerdo con el Programa de Estudios de
Matemática (2012), el docente debe decidir en los documentos de trabajo y en
sus lecciones, cuál de ellos se potencia con un problema contextualizado, de
qué manera se pueden abordar, aprovechar en las clases y determinar con
cuáles habilidades específicas se pueden relacionar para aprovechar todos
aquellos elementos positivos que surgen del mismo proceso en el que los
estudiantes se muestran motivados, colaboradores y autónomos en su
aprendizaje.
Con respecto a las lecciones observadas en esta investigación, no se evidenció
que los ejes transversales se vieran favorecidos de la manera esperada, de
acuerdo con el marco teórico de referencia, esto porque dicha transversalidad
105
debe ser planificada y conforme con las habilidades que se desean desarrollar
en las clases.
Así lo afirma el marco teórico del presente proyecto, y que de acuerdo con MEP
(2012), el diseño de las tareas del docente y su mediación en el aula, son los
instrumentos claves para que los procesos se realicen, siempre a través de la
planificación y diseño riguroso de las lecciones. Además, los ejemplos y
resultados pedagógicos de estas tareas, las aporta especialmente el docente a
través de su propia investigación en el aula, cuya sistematización oportuna
constituye un medio importante para enriquecer la estrategia metodológica.
En resumen, las interpretaciones de las categorías de análisis que surgen de
las observaciones de clase realizadas, de las entrevistas a los docentes y de la
revisión de sus documentos, puestas en contraste con el marco teórico de
referencia, ponen de manifiesto que no se están llevando a cabo dentro de la
situación de clase y de la labor docente en general, acciones que determinen la
potenciación de procesos, ejes transversales y su relación con el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la matemática.
De acuerdo con el marco teórico de referencia del presente proyecto, la
sistematización de las categorías de análisis y del producto de la triangulación
de las fuentes, se obtiene la siguiente síntesis:
Tabla 4.1: Síntesis de la interpretación de la sistematización
Categoría 1: El problema y sus
características
Categoría 2: El estudiante y su trabajo
Los problemas que el docente
analice y seleccione para sus
planes y lecciones, deben generar
en los estudiantes interés,
curiosidad y trabajo intelectual, por
lo que no deben ser rutinarios ni
mecánicos.
Un plan de lección sistemático favorece
el protagonismo estudiantil en las fases
de trabajo estudiantil independiente y
discusión interactiva y comunicativa.
El docente puede anticipar en sus planes
el trabajo del estudiante y planificar su
intervención y posibles estrategias
106
Utilizar problemas que se
encuentran en materiales
diseñados para el desarrollo del
Programa de Estudios 2012 que
permitan abordar las etapas de la
lección y los distintos niveles de
dificultad puede ser un proceso
que permita al docente una mejor
organización de su trabajo y mayor
entendimiento de las habilidades y
conocimientos matemáticos por
parte de los estudiantes.
Los problemas que el docente
utiliza en las lecciones deben
aportar los insumos necesarios
para abordar una o varias
habilidades integradas y generar
recursos para realizar el cierre o
clausura de la lección, de manera
tal que el aprendizaje de las
habilidades se da en el tiempo
establecido para el abordaje del
Programa de Estudios.
empleadas para resolver problemas.
Las posibles estrategias empleadas por
los estudiantes para resolver problemas,
podrán ser utilizadas por el docente para
nutrir su intervención en la fase de
discusión interactiva y comunicativa y la
clausura o cierre de la lección.
Con una sistematización del rol
estudiantil en el plan de clase, el docente
propiciará una ambiente idóneo para un
aprendizaje autónomo y sólido de las
habilidades matemáticas en los
estudiantes,
El docente deberá retroalimentar el plan
de clase, sistematizando en renglones de
observación colocados en su plan, los
aspectos positivos y mejorables sobre el
trabajo de los estudiantes y el suyo.
Categoría 3: Acción docente: desarrollo
de la lección-cierre y clausura
Categoría 4: Procesos y situaciones
favorables
Los planes didácticos de los
docentes deben estar organizados
de manera sistemática.
Los planes deben considerar los
cuatro momentos de la organización
de la lección.
El análisis de las habilidades del
Programa que guardan una
El docente puede incluir en sus planes de
lección formatos como viñetas o recuadros
que destaquen el fortalecimiento de los
procesos cognitivos debido a que están
implícitos en las actividades, problemas y
fases de la lección, cuando las mismas se
encuentran asimismo, planificadas
sistemáticamente.
107
estrecha relación por los
conocimientos matemáticos que
abordan, pueden planificarse y
desarrollarse de manera integrada.
Si se considera en los planes
didácticos las posibles dificultades y
estrategias de solución que
emplean los estudiantes, se
planifica así mismo preguntas
generadoras de aprendizaje, esto se
puede lograr si él resuelve el
problema de forma anticipada, por
lo que también puede ser incluidas,
en su plan de lección, las posibles
soluciones de los problemas que
plantea en sus lecciones.
El cierre o clausura debe estar
planificado en estrecha relación con
el desarrollo de la lección.
Las tareas y acciones del docente, incluso
su mediación implican el diseño de
estrategias que incluyen los ejes
transversales. Esto permitirá una estrecha
relación entre su planificación y la ejecución
de sus lecciones, por lo que el docente
puede incluir estas estrategias en sus planes
didácticos para favorecer la implementación
de la estrategia de resolución de problemas.
Puesto que el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la matemática a través de
resolución de problemas y la organización de
la lección en dos etapas, establece una
interacción profunda entre docentes y
estudiantes, las intervenciones de los
estudiantes durante el transcurso, pueden
indicar la ejecución de ejes y activación de
los procesos cognitivos, lo que podrá el
docente sistematizar en los renglones de
observaciones para retroalimentar procesos
de enseñanza y planificación futuros.
Fuente: Elaboración propia
4.3- Diseño de recursos didácticos para apoyar la estrategia
metodológica de resolución de problemas
El apartado anterior proporciona los insumos necesarios para concretar los
recursos didácticos que puedan apoyar la implementación de la estrategia de
resolución de problemas desarrollada por los docentes de matemática que
laboran en el CTP de Venecia, Región Educativa de San Carlos. En el presente
apartado se especifica la propuesta enumerando y describiendo dichos
recursos didácticos.
108
Primeramente, de la interpretación de los datos sistematizados y la síntesis
expuesta en la tabla 6, se enumeran aspectos que pueden ser utilizados por el
docente para apoyar la implementación de la estrategia de resolución de
problemas a través de sus planes de lección y su mediación pedagógica,
independientemente del nivel o área matemática que imparta.
Por este motivo, será de utilidad para los docentes de matemática de
secundaria, poseer un manual que puntualice dichos aspectos, por tanto este
es el primer recurso didáctico que se propone.
El manual para docentes constituye una guía que contiene algunos
lineamientos técnicos importantes que fueron considerados como debilidades
en la implementación de la estrategia metodológica a raíz de la interpretación
de la información y la implementación de insumos del marco teórico que
sustenta la presente investigación.
Se validará proporcionando a los docentes dicho manual y efectuando una
sesión de análisis y reflexión mediante un grupo focal donde se registraran los
datos a través de anotaciones de campo.
En segundo lugar, por la interpretación y síntesis mostrada previamente, se
deduce la necesidad de planes didácticos con una estructura más dirigida y
sistemática, que contemplen la organización de la lección en dos etapas,
aprendizaje de conocimientos y aplicación y movilización de conocimientos, y la
integración de habilidades para la acción de aula, esto origina el segundo
recurso didáctico.
Se propondrá una plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico de
manera que el docente tendrá a su disposición elementos necesarios para una
planificación estructurada de la lección con fundamento en los Programas de
Estudio oficiales incluyendo: habilidades integradas, ejes disciplinares y
109
procesos cognitivos. La plantilla podrá asimismo, ser utilizada en los diferentes
niveles. Se validará al proporcionar la plantilla a los docentes participantes del
proyecto de investigación, mediante el grupo focal y anotaciones de campo.
Finalmente, el tercer recurso didáctico que se plantea consiste en una lección
modelo en la que se abordan las habilidades específicas consecutivas o parte
de ellas, correspondientes al nivel de sétimo año, observada durante la primera
inmersión al campo, de manera que este recurso didáctico constituye un
ejemplo práctico para apoyar a los docentes.
El proceso de validación consistirá en proporcionar anticipadamente a los
cuatro docentes participantes la lección modelo y el planeamiento didáctico del
que forma parte. Dos de los profesores que imparten sétimo año, ejecutaran la
lección y comunicaran su experiencia durante la sesión con el grupo focal.
Los cuatro docentes podrán comparar la plantilla con la lección modelo, lo que
permitirá asimismo, evaluar su uso y aplicación.
Además, la investigadora realizará la observación de la clase cuando uno de los
docentes que imparten sétimo año, desarrolle la lección modelo y además se
tomarán anotaciones de campo durante este proceso.
Posteriormente, se analizarán los resultados durante el trabajo en el grupo
focal.
El planeamiento didáctico del que se extrae esta lección modelo, aparecerá en
el anexo # 7 de este trabajo, con el fin de proporcionar al lector la información
de manera integral.
A continuación se muestran los tres recursos didácticos expuestos previamente:
110
4.3.1- Manual para el docente de matemática:
Lineamientos técnicos que pueden colaborar con la implementación de la
estrategia metodológica de resolución de problemas por parte de los docentes
de matemática de educación secundaria.
1. El planeamiento didáctico para las lecciones de matemáticas se debe
elaborar siguiendo una estructura acorde con la organización de la
lección en dos etapas, empleando la integración de habilidades para la
acción de aula y los procesos matemáticos.
2. La selección de problemas para el desarrollo de la primera fase de la
etapa I debe ser cuidadosa. Los problemas de distintos niveles de
complejidad serán utilizarlos para la aplicación y movilización de los
conocimientos adquiridos en la etapa I.
3. Los materiales diseñados para la implementación del Programa de
Estudios de Matemática (2012) y el Programa de estudios mismo,
constituyen el apoyo principal para la escogencia y análisis de problemas
y para el trabajo docente en general.
4. La estructura del planeamiento didáctico define el plan de lección del
docente, los materiales de trabajo de los estudiantes y la planificación
anticipada de las fases de la lección, en las que el estudiante tiene mayor
protagonismo y se propicia el aprendizaje autónomo y uso de lenguaje
matemático adecuado.
5. Los resultados del proceso de ejecución de las fases de la etapa I
propuestas por el MEP proporcionan los insumos que debe aprovechar el
docente para realizar la clausura o cierre de la lección, la formalización
del conocimiento que se les ofrece a los estudiantes debe ser planificado
desde la selección del problema con que inicia la lección.
111
6. Los resultados imprevistos, aspectos positivos y mejoras de las distintas
etapas de la lección, se registran en los renglones de observaciones con
el fin de enriquecer el plan de lección ejecutado, la sistematización de las
experiencias permiten mejorar los documentos elaborados y optimizarlos
para un uso posterior.
7. Para implementar de manera apropiada esta estrategia metodológica no
se debe explicar con anterioridad los conocimientos o resolver ejercicios
relacionados con las habilidades por abordar. Además, se debe contruir
la confianza en las Matemáticas desarrollando actividades para que en el
trabajo estudiantil independiente se favorezcan habilidades en las que se
empleen los ejes disciplinares y se propicien los procesos cognitivos.
8. El aprendizaje colaborativo es importante, de ahí que sea conveniente
que los estudiantes trabajen en subgrupos y que la distribución se realice
estratégicamente dependiendo de las capacidades, facilidad o trato de
algunos estudiantes para con sus compañeros.
9. Los planes didácticos del docente deben fortalecer los procesos
cognitivos en los estudiantes, se puede explicitar esa información a
través de viñetas o recuadros que indiquen el proceso que se potencia y
la herramienta por medio de la cual se logra.
10. Los ejes disciplinares guardan estrecha relación con la estrategia de
resolución de problemas y con las habilidades matemáticas que se están
desarrollando, por lo que deberán ser incluidos en el plan didáctico
destacando por medio de algún formato, el momento y herramientas con
que se relacionan.
112
4.3.2- Plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico
Parte administrativa
Conocimientos Habilidades específicas integradas Habilidades previas
Estrategias de mediación:
Etapa I: Aprendizaje de conocimientos
1. Propuesta del problema
2. Trabajo estudiantil independiente
3. Discusión interactiva y comunicativa
4. Clausura o cierre
(Las estrategias de mediación pueden iniciar con la etapa II, si se desea realizar alguna
actividad o problema que implique diagnóstico de aplicación de conocimientos previos).
Estrategias de evaluación:
Estrategias de evaluación constantes:
Por medio de la observación, escucha del proceso comunicativo generado, ( …)
Con base en las consultas, respuestas y argumentaciones, el docente redirecciona el
trabajo y registra lo más relevante: (…)
Se analiza el nivel de logro con base en las respuestas correctas, manejo del error,
argumentaciones y justificaciones de las mismas, planteamiento de problema
(estrategia): (…)
Estrategias de evaluación variables:
(varía de acuerdo con las habilidades que se estén abordando y constituyen la etapa II)
Etapa II: aplicación y movilización de conocimientos
Problemas de reproducción
Problemas de conexión
Problemas de reflexión
Cronograma:
Se especifica la cantidad de lecciones empleadas en la etapa I y etapa II
Observaciones: __________________________________________________
Referencias bibliográficas:
Los procesos y ejes disciplinares son transversales y se favorecen durante el proceso dependiendo de las habilidades y conocimientos por abordar y los problemas contextualizados por utilizar.
113
4.3.3- Lección modelo
Plan Didáctico en el área de Matemáticas, año 2015:
Institución: CTP de Venecia Profesor(a): ____________________
Nivel: VII año Fecha: ____/_____/____ Área: Números
Tabla 4.2: Conocimientos y habilidades específicas
Conocimientos Habilidades específicas integradas Habilidades previas
Operaciones,
cálculos y
estimaciones
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
14. Resolver problemas aplicando
sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones de números enteros.
15. Simplificar cálculos mediante el uso
de las propiedades de conmutatividad y
asociatividad de la adición y
multiplicación de números enteros.
10 lecciones: (Etapa I: 5, Etapa II: 5)
*Identificar números
enteros negativos en
contextos reales.
*Ubicar números
enteros en la recta
numérica
Fuente: elaboración propia
Estrategias de Mediación:
Etapa I: Aprendizaje del conocimiento
1- Propuesta de un problema
2- Trabajo estudiantil independiente
o Se organizan los subgrupos y darán las instrucciones.
o El docente estará atento a las dudas de los estudiantes y los guiará en la
utilización de estrategias de solución utilizando preguntas generadoras que
En una carrera de atletismo, los corredores se encuentran de manera simultánea, en
un trayecto recto de carretera que se orienta de Oeste a Este y en el cual hay un
puesto de hidratación. Jimena ya pasó por dicho puesto y en este momento se ubica a
200 m del mismo en dirección Este. José se encuentra a una distancia de 350 metros
de Jimena en el sentido opuesto. Laura se ubica 175 m al Este de José y finalmente,
Esteban está 75 metros atrás de José. Determine la posición dónde se ubica cada uno
de los competidores mencionados respecto al puesto de hidratación.
114
potencian en los estudiantes procesos como argumentación, comunicación y
representación, por ejemplo:
¿Cómo se puede emplear números negativos en las representaciones
realizadas por ustedes?
¿Cómo se pueden denotar si se avanza o se retrocede, en las direcciones este
u oeste, utilizando números negativos?
3- Discusión interactiva y comunicativa
o El docente abre el espacio para la exposición de estrategias y anotará los
aspectos más importantes con respecto a las respuestas de sus estudiantes.
o Empleará constantemente las siguientes estrategias de evaluación:
*Por medio de la observación, escucha del proceso comunicativo generado y de las
respuestas a las preguntas generadoras, la (el) docente valora el logro de la
habilidad y registra los aspectos más relevantes del proceso en los renglones de
observaciones del plan didáctico, destinados para tal fin.
*Con base en las consultas, respuestas y argumentaciones, el docente
redirecciona el trabajo y registra lo más relevante en el apartado de observaciones
de su planeamiento.
*Se ve el nivel de logro con base en las respuestas correctas, manejo del error,
argumentaciones y justificaciones de las mismas, planteamiento de problema
(estrategia) registrando los aspectos más relevantes del proceso en el apartado
de observaciones de su planeamiento.
4- Clausura o cierre
Solución del problema.
Se comparará la representación propuesta por el docente con las representaciones de
los estudiantes. Con el objetivo de exaltar similitudes y corregir algún error en las
representaciones.
115
Además, se puede reafirmar conocimientos y asegurarse de que todos los jóvenes
registren la solución correcta en sus cuadernos.
Partiendo de la gráfica, se enunciará la posición en la que se encuentran los
competidores con respecto al puesto de hidratación, utilizando la dirección de los
puntos cardinales y también los conocimientos previos de los estudiantes sobre
números enteros de la siguiente forma:
¿Cómo se pueden dar las respuestas sin utilizar los puntos cardinales? La posición de Jimena es 250 m al este del puesto de hidratación. La posición de José es 150 m al oeste del puesto de hidratación. (-150 m). La posición de Laura es 25 m al este del puesto de hidratación. Posición de Esteban es 225 m al oeste del puesto de hidratación. (-225 m). En la gráfica, ¿Qué número entero podemos ubicar en el puesto de hidratación? Nota: al utilizar este planeamiento, los docentes podrán establecer una
correspondencia entre el punto de hidratación en la situación problema propuesta y el cero. Esto facilita la comprensión de los números enteros representados en la recta numérica.
Formalización de la suma y resta de números enteros
Imagen 4.1: Elaboración propia
116
Con el fin de formalizar la suma de número enteros, se aprovechará el problema
resuelto para plantear situaciones que se resuelvan con suma de números enteros y
representaciones similares a la del problema:
Por ejemplo, Desde el punto donde se encuentra Laura, un cruzrojista se mueve para ayudar a un atleta que se cayó justo 100 metros al oeste del puesto de hidratación. ¿Cuántos metros recorrió el cruzrojista para ayudar al atleta?
2) La siguiente representación muestra las posiciones de algunos atletas con respecto al puesto de hidratación después de realizados ciertos recorridos en kilómetros, partiendo de dicho puesto, como se muestra en la figura:
Imagen 4.2: Elaboración propia
Imagen 4.3: Elaboración propia
117
a- ¿Cuántos kilómetros han recorrido Luisa y Jorge juntos?
Solución: Han recorrido entre ambos
b- Luisa, llega donde está Julio, quién había recorrido 7 km ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido Luisa en total, tomando en cuenta el primer recorrido? Y por tanto, ¿Cuántos kilómetros recorrió más que Julio?
Solución:
c- Si Jorge camina 20 km al oeste, en qué posición queda respecto al punto de hidratación.
Solución: queda a los 5 km este del punto de hidratación
d- Julio se había movido al oeste 7 km, ¿En qué posición queda si camina hacia el este 10 km?
Solución: -7 - queda a los 3 km este del punto de hidratación
2) Mini-cierre de la suma y resta: Después de efectuar todos los cálculos y representaciones necesarias se efectuará una síntesis sobre el uso de la suma y resta con enteros, mediante representaciones en la recta numérica y resolviendo otras operaciones, hasta contemplar todos los posibles casos del uso de los signos:
a) La operación 5 + -6 = -1 o 5 – 6 = -1, se puede representar:
b) La operación -6 - -5 = -6 + 5 = -1, se representa:
Imagen 4.4: Tomada del Programa de Estudios de Matemática, p. 296
118
El docente podrá continuar el proceso utilizando el planeamiento didáctico
completo que se le proporcionó y que corresponde con el anexo # 7 de este
trabajo de investigación.
4.4- Evaluación de los recursos didácticos
En este apartado se sistematizan los resultados de la evaluación de los tres
recursos didácticos proporcionados a los docentes, los que fueron elaborados
con el fin de apoyar la implementación de la estrategia metodológica de
resolución de problemas en las lecciones de matemática. La información se
obtiene de la segunda inmersión a la institución educativa, CTP de Venecia.
La lección modelo fue analizada previamente por los cuatro docentes
participantes y se les solicitó que compararan la misma, con la plantilla para la
elaboración del planeamiento didáctico con el fin de que analizaran su utilidad y
aplicación.
De acuerdo con el horario de los docentes que imparten sétimo año, la
investigadora realizó la observación de la lección modelo en el momento de su
ejecución.
La evaluación se efectuó mediante una sesión de análisis y reflexión a través de
un grupo focal conformado por los cuatro docentes participantes y la
investigadora de este proyecto, con la instrucción de que cada docente
analizara primeramente el material proporcionado:
Imagen 4.5: Tomada del Programa de Estudios de Matemática, p. 296
119
el manual para docentes de matemática
la plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico
la lección modelo
Posteriormente, se abre el espacio para comentarios de los tres recursos
didácticos. Se les solicitó expresar sus ideas de forma ordenada con el objetivo
de registrar sus intervenciones en las anotaciones de campo. A continuación el
registro de los eventos.
4.4.1- Evaluación del manual para docentes de matemática
Respecto a cada uno de los elementos del manual se presentan las
apreciaciones de los docentes:
i. El planeamiento didáctico para las lecciones de matemáticas se debe
elaborar siguiendo una estructura acorde con la organización de la
lección en dos etapas, empleando la integración de habilidades para la
acción de aula y los procesos matemáticos.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) No realizamos un planeamiento formal de todas las actividades
desarrolladas en el aula.
b) Nosotros los docentes no tenemos la costumbre de realizar
planeamientos como si fueran documentos que otras personas vayan a
leer o analizar. Mejor dicho, los hacemos para entregarlos pero no son
una guía exacta para desarrollar las lecciones.
c) Nos fijamos más en describir las estrategias de mediación y de
evaluación, en las columnas del planeamiento que en proponer ahí todo
lo que el Programa trae, que pueden funcionar como actividades para el
aula.
120
d) El tiempo necesario para analizar los documentos de integración de
habilidades, los materiales de las capacitaciones y los documentos de
apoyo al Programa de Matemática oficial, no lo hemos dispuesto. Los
tenemos pero no los usamos o quizá pocas veces. Nada más los hemos
ojeado.
e) No hemos incluido en los planeamientos lo que aprendimos en las
capacitaciones, hicimos prácticas de fundamentos de unas preguntas
que eran de aplicación. Uno no sabe cómo llevar la teoría a la práctica.
f) Eso nos falta, integrar las habilidades para avanzar con el programa y no
ir dando habilidad por habilidad, para hacer las relaciones unos con otras
y entender mejor de qué tratan. Para aprovechar los conocimientos de
unas para enseñar otras”.
ii. La selección de problemas para el desarrollo de la primera fase de la
etapa I debe ser cuidadosa. Los problemas de distintos niveles de
complejidad serán utilizarlos para la aplicación y movilización de los
conocimientos adquiridos en la etapa I.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) No hemos leído y analizado a profundidad los materiales disponibles que
se elaboraron para apoyar la implementación del Programa de Estudios y
obtener más problemas que nos ayuden a desarrollar las lecciones.
b) Los problemas propuestos en los materiales se pueden adaptar,
cambiarles la redacción o lo necesario para que al resolverlos se
acomoden a los estudiantes y a la institución. Además, para que el
problema sirva para abarcar las habilidades que vienen propuestas para
abordarlas de manera integrada.
c) Los problemas de la columna de indicaciones puntuales de la malla
curricular del Programa de Estudios si los hemos utilizado bastante, pero
también los que se encuentran en los libros de texto. En ellos hay más
121
ejercicios que problemas contextualizados y no contemplan los diferentes
niveles de complejidad como en el plan que usted nos dio. Aunque se
trabajen otros problemas, no escribimos el nivel de dificultad,
reproducción, conexión o reflexión.
iii. Los materiales diseñados para la implementación del Programa de
Estudios de Matemática (2012) y el Programa de estudios mismo,
constituyen el apoyo principal para la escogencia y análisis de problemas
y para el trabajo docente en general.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) Por falta de tiempo escogemos algunos ejercicios de libros de texto,
Internet u otros. No estamos acostumbrados a estudiar materiales de
apoyo.
b) Varias actividades de los libros de texto toman en cuenta algunas
características de la metodología, hasta tienen el subtítulo, como
planteamiento del problema, pero así como en el planeamiento del
ejemplo que analizamos, no. No se abordan los procesos ni problemas
de diferentes niveles de complejidad.
c) Los libros de texto ayudan para reforzar porque veo que algunos
estudiantes no entienden. Se utilizan algunos problemas
contextualizados y traen muchos ejercicios de los mismos.
d) Los libros de textos nos ayudan a dar las clases, pero su uso no fortalece
conocimientos, destrezas y habilidades necesarias para desarrollar el
Programa de Estudios y utilizar la metodología de resolución de
problemas.
iv. La estructura del planeamiento didáctico define el plan de lección del
docente, los materiales de trabajo de los estudiantes y la planificación
anticipada de las fases de la lección, en las que el estudiante tiene mayor
122
protagonismo y se propicia el aprendizaje autónomo y uso de lenguaje
matemático adecuado.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) Se trabaja el planeamiento por columnas pero no está desarrollado con
actividades o las hojas que van a trabajar los estudiantes. Si lo
hiciéramos así, no tendríamos que planear cada año, sino retroalimentar
ese plan.
b) Si se anticipa en el plan los aportes de los estudiantes y estrategias que
pueden emplear, se les puede apoyar mejor y reforzar los conocimientos.
Es difícil pero hay que lograr que los estudiantes aprendan solos y que
trabajen en grupos y se acostumbren, hay que moldearlos.
v. Los resultados del proceso de ejecución de las fases de la etapa I
propuestas por el MEP proporcionan los insumos que debe aprovechar el
docente para realizar la clausura o cierre de la lección, la formalización
del conocimiento que se les ofrece a los estudiantes debe ser planificado
desde la selección del problema con que inicia la lección.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) Aunque se trabaje el problema ya se sabe qué materia se les va a dar a
los estudiantes y uno no toma en cuenta los aportes de ellos, por
ejemplo, les di el problema y en la misma hoja iba la materia, luego lo
expliqué. Se puede escribir en la pizarra lo que los estudiantes van
diciendo.
b) Es importante para el aprendizaje y motivación de los estudiantes, que
se tome en cuenta sus aportes para hacer la clausura o cierre de la
lección, así ellos se sienten importantes, incluso cuando participan, yo
123
los dejo que sea el resto del grupo los que decidan si está bueno o está
malo, y después les explico.
c) Se trata de darles la materia después de ese proceso en que los
estudiantes participan. Lo que debemos aprender quizá, como docentes,
es que la riqueza de esas fases es grande y va cobrando validez, cuanto
más lo practiquemos, es como un aprendizaje mutuo.
vi. Los resultados imprevistos, aspectos positivos y mejoras de las distintas
etapas de la lección, se registran en los renglones de observaciones con
el fin de enriquecer el plan de lección ejecutado, la sistematización de las
experiencias permiten mejorar los documentos elaborados y optimizarlos
para un uso posterior.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) Eso si debemos tomarlo en cuanta. Cada año vamos mejorando los
planeamientos. Yo lo voy a hacer el mismo día, sino se nos olvida lo que
debemos anotar.
b) Aunque todos los grupos son diferentes y se dan conversaciones y
aportes distintos, cuando uno repite la lección, lo que ha ocurrido con el
grupo anterior trata de tomarlo en cuanta y se puede dirigir mejor la
siguiente clase.
c) La lección que se repite con el último grupo es la que queda mejor.
vii. Para implementar de manera apropiada esta estrategia metodológica no
se debe explicar con anterioridad los conocimientos o resolver ejercicios
relacionados con las habilidades por abordar. Además, se debe contruir
la confianza en las Matemáticas desarrollando actividades para que en el
trabajo estudiantil independiente se favorezcan habilidades en las que se
empleen los ejes disciplinares y se propicien los procesos cognitivos.
124
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) Algunas veces creemos que los estudiantes no traen las bases, porque
se les pregunta y no saben, entonces por miedo, se les explica la materia
con anterioridad.
b) A pesar de que en el nivel de sétimo año se logra con mayor facilidad
emplear la metodología, se tiene la dificultad de que algunos estudiantes
logran asimilar el aprendizaje, pero otros no.
c) Una estrategia que se pueden emplear es agruparlos para que se
ayuden entre sí y hablar más con ellos de lo que se está trabajando para
que conozcan y se familiaricen.
d) Como equipo de trabajo pueden trabajar juntos para solucionar las
dificultades, pues los estudiantes pasarán al siguiente nivel con las bases
necesarias y acostumbradas a la estrategia de resolución de problemas.
viii. El aprendizaje colaborativo es importante, de ahí que sea conveniente
que los estudiantes trabajen en subgrupos y que la distribución se realice
estratégicamente dependiendo de las capacidades, facilidad o trato de
algunos estudiantes para con sus compañeros.
Los docentes expresan estar en total acuerdo e incluso lo han expuesto
como una estrategia útil en la implementación de la metodología de
resolución de problemas. Además mencionan que lo han venido
practicando.
ix. Los planes didácticos del docente deben fortalecer los procesos
cognitivos en los estudiantes, se puede explicitar esa información a
través de viñetas o recuadros que indiquen el proceso que se potencia y
la herramienta por medio de la cual se logra.
125
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) En las indicaciones puntuales del Programa de Estudios se sugiere la
utilización de procesos y la transversalidad, pero no lo había puesto en
los planes.
b) Algunas veces hacemos un “copie - pegue” en el plan, pero aun así
creemos que los procesos se dan en la clase de todas maneras.
c) Si incluimos los procesos en el plan y los resaltamos, no se nos van a
olvidar y nos será de utilidad, así aprendemos a llevar la teoría a la
práctica y hacer la diferencia entre proceso de logro del aprendizaje y los
procesos cognitivos que vamos creando en los estudiantes.
x. Los ejes disciplinares guardan estrecha relación con la estrategia de
resolución de problemas y con las habilidades matemáticas que se están
desarrollando, por lo que deberán ser incluidos en el plan didáctico
destacando por medio de algún formato, el momento y herramientas con
que se relacionan.
Los docentes manifestaron que este punto del manual los hizo reflexionar sobre
las siguientes acciones:
a) No hemos aprovechado la historia de la matemática como lo hemos
hecho con algunos de los problemas contextualizados que se sugieren
en el Programa de Estudios.
b) A pesar de que algunas veces en las lecciones los estudiantes muestran
buenas actitudes y gusto por la matemática, no hemos sacado provecho.
c) En cuanto al uso de la tecnología, en este momento no podemos utilizar
equipo tecnológico en el aula por las remodelaciones, pero si tenemos
Internet y video-beam, así podremos utilizar GeoGebra y sitios web como
los sugeridos en el planeamiento didáctico.
126
En síntesis, los docentes no hicieron correcciones de formato o comentarios
sobre el manual, les pareció un buen recurso para la reflexión diaria y
optimización de su profesión.
Expresaron sus impresiones y reflexiones acerca de aspectos fundamentales
relacionados con la estrategia de resolución de problemas y la implementación
del programa de estudios de matemática abordados en el manual, elementos
que tomarán en cuanta con el fin de mejorar su práctica pedagógica y su labor
docente en general.
4.4.2- Evaluación de la plantilla para la elaboración del planeamiento
didáctico.
Respecto a la evaluación de la plantilla para la elaboración del planeamiento
didáctico, los resultados fueron los siguientes:
Se solicitó a los docentes relacionar la plantilla con el ejemplo de planeamiento
didáctico que se les había proporcionado con anterioridad, de ahí que se
enfatizan y sistematizan lo siguiente puntos que emergen de lo expresado por
los docentes:
a) El formato del planeamiento didáctico puede ser vertical, también puede
ser confeccionado por columnas. Lo que se subraya especialmente son
los elementos que contiene y pueden ser tomados en cuenta para la
planificación de las lecciones.
b) La plantilla enseña que el planeamiento es una herramienta que se utiliza
para anticipar lo que va a ocurrir en las lecciones y que las clases se
derivan de ese plan.
c) De cada lección que se imparte, se puede sistematizar lo ocurrido y
retroalimentar el planeamiento para que se utilice en otras ocasiones.
d) Las etapas de la metodología de resolución de problemas organizan la
lección, las fases funcionan, ayudan a desarrollar la clase, también a
enseñar a los estudiantes a resolver problemas y a trabajar en equipo.
127
e) La estrategia de resolución de problemas se complementa con los
elementos del planeamiento didáctico y viceversa.
f) Las estrategias de evaluación variables dependen de las habilidades que
se estén desarrollando en forma integrada y corresponden a problemas
de diferente nivel de dificultad. Las estrategias de evaluación constantes
se pueden emplear permanentemente.
g) Es importante tomar en cuenta los conocimientos previos de los
estudiantes para planear y desarrollar las lecciones y para la integración
de habilidades.
h) La bibliografía y recursos utilizados se pueden referenciar correctamente
y permite al docente utilizar gran variedad de materiales y opciones para
el apoyo de la labor docente.
En resumen, los docentes opinaron que la plantilla para la elaboración del
planeamiento didáctico, es un recurso valioso para incorporar acciones, ideas y
propuestas, necesarias para enriquecer su labor diaria. Coinciden en que una
planificación bien elaborada, colabora con la puesta en práctica de aspectos
importantes del fundamento del programa de estudios de matemática.
Asimismo, están de acuerdo con la flexibilidad de la plantilla en cuanto a su uso
y formato, pues podrá utilizarse un diseño, tanto vertical como horizontal.
4.4.3- Evaluación de la lección modelo
El plan de lección del planeamiento didáctico correspondiente a la lección
modelo, se había compartido con los docentes participantes en este proyecto
de investigación varios días antes de la segunda inmersión de la investigadora
al colegio, con el fin de que fuera analizada por los profesores participantes y
aplicada por los docentes de sétimo año en el momento oportuno.
Además, la investigadora realiza la observación de la lección modelo en el
momento de ser impartida por uno de los docentes de sétimo año, realizando
las anotaciones de campo respectivas.
128
De estos procesos se realizaron registros de anotaciones de campo durante el
grupo focal y la ejecución de la lección modelo.
Breve descripción de la ejecución de la lección modelo
a) El docente organizó la lección y proporcionó a los estudiantes las
instrucciones y materiales. El problema seleccionado funcionó tomando
en cuenta los resultados del proceso desde el planteamiento del
problema, hasta el cierre de la lección, pero en un inicio fue de difícil
comprensión para los estudiantes.
b) Los alumnos organizados en subgrupos, lograron asimilar
favorablemente la solución con la guía del docente, quien trató
insistentemente de que comprendieran y dieran respuestas o pistas
sobre el problema planteado.
c) El docente trató de guiar a los alumnos para que realizaran alguna
representación gráfica de la situación implicada en el problema,
orientándolos para que colocaran en un punto o lugar determinado el
puesto de hidratación y procuraran tomar en cuenta los puntos
cardinales, proceso que fue de difícil asimilación para los estudiantes.
Ninguno de los subgrupos utilizaron números negativos, lo más parecido
fue flechas en direcciones opuestas, y únicamente algunos estudiantes.
d) El docente decide modificar el lugar “punto de hidratación” por “salida”,
“meta” u otro que los estudiantes puedan asimilar mejor, en forma oral.
e) Debido a las dudas de los estudiantes, el proceso fue conducido por el
docente, quién prefirió plantear algunas preguntas generadoras como:
¿Vamos a dibujar los puntos cardinales, dónde queda el este? ¿Dónde
colocamos el punto de hidratación? hasta dar la respuesta al problema.
f) Hasta este punto el docente logra que los estudiantes visualicen una
recta numérica, por lo que los ejemplos de la formalización, son mejor
asimilados por los estudiantes, hasta llegar a representar, utilizando la
pizarra, todos los casos posibles de suma y resta de números enteros.
129
g) En el problema que se expone a continuación, parte (b), el docente
explica la solución debido a que la mayoría de los subgrupos dieron
como respuesta 17 km y estaba incorrecto, no contaron con el primer
recorrido que hizo Luisa, lo cual se corrigió detenidamente en la lección:
La siguiente representación muestra las posiciones de algunos atletas con respecto al puesto de hidratación después de realizados ciertos recorridos en kilómetros, partiendo de dicho puesto, como se muestra en la figura:
b- Luisa, llega donde está Julio, quién había recorrido 7 km ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido Luisa en total, tomando en cuenta el primer recorrido? Y por tanto, ¿Cuántos kilómetros recorrió más que Julio?
Solución:
h) En la etapa II, aplicación y movilización de los conocimientos, el docente
propone a los estudiantes algunos problemas en los que deben aplicar
suma y resta de números enteros para su solución, como se muestra en
las siguientes imágenes:
Imagen 4.6: Elaboración propia
130
Figura 4.2: Problemas propuestos en la etapa de aplicación y movilización de conocimientos.
Fuente: contexto del CTP de Venecia
i) Se pudo observar que los problemas corresponden con el ejemplo de
plan didáctico que se proporcionó a los docentes. Sin embargo, los
problemas que fueron propuestos en un nivel de reflexión, no se
encuentran en la hoja de trabajo de los estudiantes.
j) Durante el trabajo de los alumnos en subgrupos, ocasionalmente llaman
al docente para hacerle alguna consulta. El profesor acude y trata de
responder a los estudiantes sin darles las respuestas. Algunos de los
alumnos utilizan dibujos para resolver el problema. Los estudiantes
muestran interés en su tarea, orden y disciplina.
Reflexión en el grupo focal de la lección modelo y la experiencia de la ejecución
Con respeto a la lección modelo los docentes opinan que están de acuerdo con
la estructura y el detalle con que ha sido confeccionada. Les parece que por
falta de tiempo será difícil para ellos completar un planeamiento de este tipo,
pero que podrá ser un proceso en el que paso a paso lo vayan logrando, en
cuyo caso, construirían un texto ideal que retroalimentarían con el tiempo.
También expresan que para desarrollar esta lección, los estudiantes deben
estar muy bien preparados en cuanto a sus conocimientos previos y tener un
grado alto de asimilación de situaciones problemáticas en diversos contextos.
131
El docente que ejecutó la lección expresa que la experiencia fue muy
provechosa porque logró determinar que la dificultad presentada durante la
clase radica en la comprensión del problema, por tener un grado de dificultad
más alto que los problemas que ha venido utilizando con los estudiantes.
Reconoce que la rigurosidad debe estar presente en los planes de lección y en
la enseñanza de la matemática y debe ser una práctica diaria para que los
alumnos asimilen el proceso de resolución de problemas, incluso de esta
complejidad, cada vez mejor.
De la experiencia, se puede extraer que el aprendizaje de conocimientos
matemáticos significativos en los estudiantes deben ser proporcionados por el
docente de manera constante para que este conocimiento pueda ser aplicado
por los alumnos en el momento que sea requerido, pues el docente pudo notar
que a pesar de que él mismo abordó las habilidades previas necesarias para
asimilar las habilidades propuestas en la lección modelo, al desarrollar éstas
por medio de un problema de cierto grado de complejidad, se encontró con una
situación difícil en el aula en cuanto a la asimilación del problema por parte de
los estudiantes. Pero además, el docente realiza propuestas para enfrentar esta
realidad, por ejemplo, preguntas generadoras y explicaciones de los conceptos
implicados, con lo que demuestra capacidad para enfrentar situaciones y
conocimiento para conducir la clase de acuerdo con lo planificado.
En síntesis, sobre la evaluación de los tres recursos didácticos proporcionados
a los docentes con el fin de apoyar la implementación de la estrategia de
resolución de problemas en las lecciones de matemática, se puede establecer
las siguientes consideraciones:
El manual para docentes de matemática puede constituir una herramienta que
permite a los docentes reflexionar y tener mayor claridad sobre el fundamento
del Programa de Estudios vigente.
La plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico permite a los
docentes tener una herramienta que permita sistematizar sus planes tomando
132
en cuenta las etapas para organizar la lección y sus fases, los procesos
cognitivos y ejes transversales de conformidad con los componentes que rigen
el planeamiento didáctico de manera oficial.
Existe una estrecha relación entre la lección modelo y el trabajo diario de los
profesores. En este punto cabe destacar que el planeamiento que implique las
actividades y trabajo estudiantil, es un plan que pueda ser enriquecido cada
año, en vez de diseñar nuevos planes por columnas, que en algunas ocasiones
sirvan únicamente para cumplir con el requisito de entrega a nivel
administrativo.
Finalmente, la aplicación de la lección modelo permitió apreciar mediante una
experiencia real la posible utilidad de emplear la plantilla para el planeamiento
didáctico que involucraba los aspectos del manual para docentes de forma
implícita.
El capítulo siguiente tratará en detalle la interpretación de los resultados de la
sistematización expuesta aquí, así como la discusión que emerge de dicha
interpretación.
133
CAPÍTULO 5: INTERPRETACIÓN Y DISCUSIÓN DE
RESULTADOS
En este capítulo se realizará una interpretación de la evaluación efectuada en el
capítulo anterior a través de la comparación de resultados obtenidos en las
inmersiones realizadas al CTP de Venecia, así como la discusión de los
resultados que se obtienen de ella.
Primeramente, con el fin de considerar la sistematización expuesta en el
apartado anterior referida a la evaluación de los recursos didácticos propuestos
como apoyo a los docentes de matemática, se efectuará un análisis
comparativo entre los resultados obtenidos en la primera inmersión al CTP de
Venecia, con los resultados de la segunda inmersión, en congruencia con las
categorías de análisis utilizadas en este proyecto de investigación. Este proceso
se expondrá en la representación tabular del apartado 5.1.
Posteriormente, en el apartado 5.2 se efectuará una valoración integral de los
recursos didácticos propuestos para apoyar a los docentes, utilizando el análisis
comparativo del apartado 5.1 y examinando el marco teórico de referencia de
este proyecto de investigación. En este apartado dicha evaluación se efectuará
de acuerdo con los recursos didácticos diseñados para apoyar la estrategia de
resolución de problemas, completando con ello la discusión analítica de
resultados requerida.
5.1- Análisis comparativo proveniente de las inmersiones al CTP de
Venecia
La siguiente tabla muestra una interpretación comparativa de la sistematización
de los resultados obtenidos durante las dos inmersiones al CTP de Venecia de
134
acuerdo con las categorías de análisis utilizadas en este proyecto de
investigación.
En la primera inmersión a la institución educativa, se desarrollan los objetivos
referidos a reunir e interpretar información, sobre la implementación de la
estrategia metodológica de resolución de problemas en las lecciones de
matemáticas de acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de
Educación Pública, respectivamente. Los resultados de esta primera inmersión
se resumen en la primera columna de la tabla 7 adjunta.
La sistematización y análisis de dichos resultados da lugar al diseño y
aplicación de tres recursos didácticos para apoyar la implementación de la
estrategia metodológica de resolución de problemas en las lecciones de
matemáticas de acuerdo con los programas oficiales del Ministerio de
Educación Pública, a saber, manual para docentes de matemática, plantilla para
la elaboración de planeamiento didáctico y una lección modelo. Este proceso de
aplicación se logró durante la segunda inmersión al CTP de Venecia, en el cual
se trabajó en un grupo focal, obteniendo nuevos resultados.
Posteriormente, se sistematiza e interpreta esta última información para obtener
una evaluación de los tres recursos didácticos mencionados igualmente de
acuerdo con las categorías de análisis expuestas en este proyecto de
investigación. Esta información se resume en la tercera columna de la siguiente
tabla.
135
Tabla 5.1: Comparación de resultados de las inmersiones al CTP de Venecia
Categorías de
análisis
Situación evidenciada en la primera inmersión al CTP de
Venecia.
Fuentes: Observación, revisión de material y entrevista.
Situación evidenciada en la segunda inmersión al CTP de Venecia
Fuentes: Grupo Focal y observación de lección modelo.
El problema y
sus
características
Los problemas que el docente analice y seleccione para
sus planes y lecciones, deben generar en los estudiantes
interés, curiosidad y trabajo intelectual, por lo que no
deben ser rutinarios ni mecánicos.
Utilizar problemas que se encuentran en materiales
diseñados para el desarrollo del Programa de Estudios
2012 que permitan abordar las etapas de la lección y los
distintos niveles de dificultad puede ser un proceso que
permita al docente una mejor organización de su trabajo y
mayor entendimiento de las habilidades y conocimientos
matemáticos por parte de los estudiantes.
Los problemas que el docente utiliza en las lecciones
deben aportar los insumos necesarios para abordar una o
varias habilidades integradas y generar recursos para
realizar el cierre o clausura de la lección, de manera tal
que el aprendizaje de las habilidades se da en el tiempo
establecido para el abordaje del Programa de Estudios.
Los docentes indican que los problemas utilizados por ellos
provienen principalmente de libros de texto y corresponden en su
mayoría a ejercicios mecánicos y rutinarios en vez de problemas
contextualizados.
El uso de libros de texto no permite a los docentes permanecer
en un proceso de fortalecimiento y aprendizaje constante de los
fundamentos del Programa de Estudios.
Los docentes no tienen la apropiación requerida de los
materiales diseñados para la implementación del Programa de
Estudios.
Los docentes no están adaptando o diseñando problemas que se
puedan utilizar para la integración de habilidades, de hecho, no
están utilizando esa estrategia ni en sus planes ni en sus
lecciones.
Los problemas que trabajan los docentes no se someten a un
análisis sobre el nivel de complejidad al que corresponden y los
docentes no realizan esa clasificación en sus planes.
La organización sistemática del trabajo docente permite el
136
análisis, escogencia y resolución de los problemas, anticipar
posibles estrategias de resolución por parte de los estudiantes en
las distintas fases de la lección.
El estudiante y
su trabajo
Un plan de lección sistemático favorece el protagonismo
estudiantil en las fases de trabajo estudiantil
independiente y discusión interactiva y comunicativa.
El docente puede anticipar en sus planes el trabajo del
estudiante y planificar su intervención y posibles
estrategias empleadas para resolver problemas.
Las posibles estrategias empleadas por los estudiantes
para resolver problemas, podrán ser utilizadas por el
docente para nutrir su intervención en la fase de
discusión interactiva y comunicativa y la clausura o cierre
de la lección.
Con una sistematización del rol estudiantil en el plan de
clase, el docente propiciará un ambiente idóneo para un
aprendizaje autónomo y sólido de las habilidades
matemáticas en los estudiantes.
El docente deberá retroalimentar el plan de clase,
sistematizando en renglones de observación colocando en
su plan, los aspectos positivos y mejorables sobre el
trabajo de los estudiantes y el suyo.
Los docentes son conscientes de la importancia de las fases de
la lección en las que los estudiantes tienen mayor protagonismo
y de anticipar las posibles estrategias que los estudiantes puedan
emplear, sin embrago, no han explicitado estos aspectos en sus
planes y en las lecciones desarrollan este proceso de manera
conducida.
Los docentes demuestran la creencia de que los estudiantes no
tiene las destrezas ni traen los conocimientos previos necesarios
para resolver problemas y por esa razón utilizan los ejercicios del
libro de texto, o realizan un preámbulo sobre los conocimientos y
habilidades por abordar.
Los docentes están de acuerdo con la importancia del trabajo
colaborativo y en la organización de los estudiantes en sus
grupos. Asimismo, están anuentes a sistematizar las lecciones
aprendidas para el mejoramiento de los planes didácticos y de su
mediación pedagógica.
137
Acción
docente:
desarrollo de
la lección-
cierre y
clausura
Los planes didácticos de los docentes deben estar
organizados de manera sistemática.
Los planes deben considerar los cuatro momentos de
la organización de la lección: propuesta del problema,
trabajo estudiantil independiente, discusión interactiva y
comunicativa y clausura o cierre de la lección.
El análisis de las habilidades del Programa que
guardan una estrecha relación por los conocimientos
matemáticos que abordan, pueden planificarse y
desarrollarse de manera integrada.
Si se considera en los planes didácticos las posibles
dificultades y estrategias de solución que emplean los
estudiantes, se planifica así mismo preguntas generadoras
de aprendizaje, esto se puede lograr si él resuelve el
problema de forma anticipada, por lo que también puede
ser incluidas, en su plan de lección, las posibles
soluciones de los problemas que plantea en sus lecciones.
El cierre o clausura debe estar planificado en estrecha
relación con el desarrollo de la lección.
Los docentes son conscientes de que sus planes didácticos
deben tener una estructura sistemática y ser funcionales y
coherentes con el desarrollo de las clases, con la estrategia de
resolución de problemas y con la integración de habilidades.
Los profesores no han utilizado materiales distintos para elaborar
sus planes de lección porque no los han estudiado y son
consecuentes con el hecho de que deben emplear tiempo para
elaborar documentos de trabajo que contemplen todos los
elementos del Programa de Estudios y valorar cada uno de
acuerdo con sus propósitos.
Por falta de credibilidad en la capacidad de los estudiantes en
cuanto a la resolución de problemas, los docentes realizan una
explicación anticipada de los conocimientos por abordar, esto
implica que el desarrollo de la fase, clausura o cierre no se
realiza tomando en cuenta las intervenciones y estrategias de los
estudiantes acorde con el fundamento del Programa de Estudios.
Procesos y
situaciones
favorables
El docente puede incluir en sus planes de lección formatos
como viñetas o recuadros que destaquen el fortalecimiento
de los procesos cognitivos debido a que están implícitos en
Los docentes reflexionaron sobre la importancia de incluir en la
planificación los procesos y los ejes disciplinares, esto permitirá
su abordaje apropiado en las lecciones, de manera que no será
138
las actividades, problemas y fases de la lección, cuando las
mismas se encuentran asimismo, planificadas
sistemáticamente.
Las tareas y acciones del docente, incluso su mediación
implican el diseño de estrategias que incluyen los ejes
transversales. Esto permitirá una estrecha relación entre su
planificación y la ejecución de sus lecciones, por lo que el
docente puede incluir estas estrategias en sus planes
didácticos para favorecer la implementación de la
estrategia de resolución de problemas.
Puesto que el proceso de enseñanza y aprendizaje de la
matemática a través de resolución de problemas y la
organización de la lección en dos etapas, establece una
interacción profunda entre docentes y estudiantes, las
intervenciones de los estudiantes durante el transcurso,
pueden indicar la adquisición de ejes y procesos
cognitivos, lo que podrá el docente sistematizar en los
renglones de observaciones para retroalimentar procesos
de enseñanza y planificación futuros.
omitido, sino desarrollado prioritariamente.
La sistematización de resultados de las diferentes lecciones de
matemática será diario y permitirá el mejoramiento continuo.
El uso de diferentes recursos enriquece las lecciones de
matemática para lo cual se utilizará las referencias bibliográficas
correspondientes.
El aprendizaje de procesos y ejes transversales permitirá el
avance estudiantil y del docente en cuanto a resultados
favorables y en progreso, del empleo de la estrategia de
resolución de problemas y en cuanto a la retroalimentación en
sus planes didácticos. A su vez, se favorece la construcción de la
confianza hacia el aprendizaje de la matemática.
Fuente: elaboración propia
139
En resumen, la comparación expuesta pone de manifiesto que, en cuanto a las
categorías de análisis, el problema y sus características, el estudiante y su
trabajo, acción docente: desarrollo de la lección-cierre y clausura y procesos y
situaciones favorables, en la primera inmersión se determinan aspectos
relevantes que se suscitan del trabajo de los docentes en cuanto a demandas
requeridas para el progreso de la implementación de la estrategia de resolución
de problemas y en la segunda inmersión se efectúa a través de los tres
recursos didácticos propuestos una reflexión sobre la implementación de los
Programas oficiales .
Además, de la interpretación de resultados provenientes de la segunda
inmersión, se confirma la importancia y utilidad de los recursos didácticos
diseñados para satisfacer dichas demandas, por lo que se consolidan en un
apoyo para la implementación de la estrategia de resolución de problemas. Al
respecto se profundizará por medio de la discusión analítica del siguiente
apartado.
5.2- Discusión analítica de resultados
En este apartado se desarrolla una discusión analítica de los resultados
tomando como referencia, los recursos didácticos que se diseñaron, aplicaron y
evaluaron como productos de este proyecto de investigación, la tabla del
apartado anterior y el marco teórico de referencia.
Manual para docentes de matemática
El manual para docentes de matemática es un recurso didáctico en el que se
exponen aspectos clave que los profesores podrán considerar en el desarrollo
de las lecciones y que repercuten directamente con el mejoramiento de la
implementación de la estrategia de resolución de problemas por las siguientes
razones:
140
Un planeamiento didáctico sistemático permite a los docentes organizar
sus lecciones tomando en cuenta las etapas de la metodología basada
en resolución de problemas.
Para lograr dicho planeamiento los docentes deberán emplear más
tiempo y esfuerzo en estudiar e indagar los materiales y recursos
disponibles.
La planificación previa de las fases de la etapa I, aprendizaje de
conocimientos, permiten el aprendizaje autónomo y colaborativo de los
estudiantes.
El uso de materiales diseñados para la implementación del Programa de
Estudios de Matemática, prepara y apoya a los docentes para el empleo
de problemas contextualizados acordes con las habilidades y
conocimientos matemáticos, con la estrategia de integración de
habilidades y con el análisis de problemas para clasificarlos de acuerdo
con el nivel de complejidad y las habilidades matemáticas que se van a
desarrollar.
Los libros de texto no abordan el enfoque de resolución de problemas
de manera completa y sólida. Además, permiten el empleo de ejercicios
rutinarios y mecánicos en vez de problemas contextualizados.
El uso de libros de texto no permite a los docentes desarrollar la
creencia positiva de que los estudiantes pueden lograr el aprendizaje a
través de problemas, esto repercute en un aprendizaje poco
significativo.
Los problemas que planifique el docente deben tener diferentes niveles
de dificultad con el fin de favorecer en los estudiantes el razonamiento
lógico y distintas forma de pensamiento.
El fundamento del Programa de Estudios será tomado en cuanta por el
docente en sus planes y en sus lecciones.
141
Entonces, el manual para los docentes de matemática es un recurso didáctico
útil y apoya la implementación de la estrategia de resolución de problemas
porque:
Resume de manera sistemática elementos que los docentes deben tener
presentes durante el proceso de implementación de la estrategia de
resolución de problemas con el fin de mejorar su práctica diariamente.
Propicia en los profesores la reflexión sobre su propia labor lo cual
genera la auto-evaluación contante colaborando con el mejoramiento de
su trabajo docente.
Ayuda al docente a comprender el significado de lo que es un
planeamiento didáctico estructurado y lecciones organizadas, acordes
con el fundamento del Programa de Estudios que se encuentra
desarrollando.
Colabora con el rescate de la credibilidad de las capacidades del docente
y del estudiante al explicitar abiertamente las posibilidades para el
mejoramiento de la Educación Matemática, cuando se emplea la
estrategia de resolución de problemas y la integración de habilidades en
la acción de aula.
Crea conciencia en el docente sobre el papel de sus estudiantes y su
propio accionar al emplear la estrategia de resolución de problemas
consolidando el aprendizaje de conocimientos y habilidades matemáticas
en forma significativa.
Pone de manifiesto opciones distintas en cuanto a la búsqueda de
recursos de apoyo para desarrollar documentos propios y lecciones de
matemática de manera responsable y acordes con el Programa de
Matemática oficial.
Apoya el trabajo en equipo de los docentes al tomar la responsabilidad
de crear en los estudiantes bases matemáticas sólidas para pasar a
siguiente nivel.
142
Plantilla para el planeamiento didáctico
La plantilla para el planeamiento es un recurso didáctico que presenta
elementos que los profesores de matemática podrán utilizar para la confección
de sus planes y lograr el mejoramiento de la implementación de la estrategia de
resolución de problemas por las siguientes razones:
El planeamiento didáctico tendrá un formato sistemático y estructurado.
Existe coherencia entre lo planificado y lo desarrollado en las clases.
Las lecciones estarán organizadas utilizando habilidades integradas y
tomando en cuenta los conocimientos previos de los estudiantes.
Los componentes del planeamiento didáctico establecidos oficialmente
se complementan con las etapas de la lección y viceversa.
Se toman en cuenta procesos cognitivos, ejes transversales y los
elementos que enriquecen y colaboran con el empleo de la estrategia de
resolución de problemas y el aprendizaje significativo en los estudiantes.
Se planificarán problemas de distintos niveles de complejidad, relegando
el uso de ejercicios rutinarios y mecánicos únicamente.
Se sistematizarán las observaciones para enriquecer los planes que
podrán ser empleados a futuro de una manera mejorada.
En resumen, la plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico es
útil y apoya la implementación de la estrategia de resolución de problemas
porque:
Los fundamentos del Programa de Estudios están implícitos en el
diseño de los documentos elaborados por los docentes y en sus
lecciones, lo que permite aplicar de manera efectiva en el aula,
procesos matemáticos que propician el mejoramiento de la
Educación Matemática.
Se estructura un plan didáctico que permite el perfeccionamiento y
retroalimentación contantes de documentos propios de los docentes,
143
mismos que podrán ser compartidos por otros profesores y fortalecer
el trabajo en equipo.
Permite el progreso continuo en el aprendizaje del empleo de la
estrategia de resolución de problemas y la integración de habilidades
para la acción de aula.
El modelo permite la construcción del plan de lección que realmente
se va a efectuar, la planificación anticipada de estrategias de
resolución de los problemas por parte de los estudiantes y las hojas
de trabajo y tareas de los alumnos.
La lección modelo
De la implementación de la lección modelo como recurso didáctico, se extraen
elementos que los profesores de matemática podrán utilizar para lograr el
mejoramiento de la implementación de la estrategia de resolución de problemas
por las siguientes razones:
Los docentes deberán abordar las habilidades y los conocimientos
matemáticos con tal rigor que los estudiantes adquieran los
conocimientos necesarios a un nivel de profundidad óptimo para que
logren la aplicación de esos conocimientos en la resolución de otros
problemas de distintos niveles de dificultad y así sucesivamente de
acuerdo con las habilidades logradas.
Para el alcance y verificación del propósito anterior, las fases de la
lección planificadas no deben ser conducidas, sino se debe vivenciar la
perseverancia cuando se resuelven los problemas.
El docente deberá tener credibilidad en la capacidad de los estudiantes
cuando enfrentan problemas de distintos niveles de dificultad.
Al propiciar esta actitud, se solidifica, de manera que los estudiantes
adquieran autonomía en su aprendizaje.
Los docentes deberán trabajar en equipo para el mejoramiento de la
estrategia de resolución de problemas, de manera tal que proporcionen
144
a los estudiantes los conocimientos y preparación necesarios para el
siguiente nivel y para resolver problemas de su vida cotidiana.
Además, la lección modelo es útil y apoya la implementación de la
estrategia de resolución de problemas porque:
Al aplicar la lección modelo en la realidad de aula, los docentes
trabajaron con un patrón que les permitió abarcar a profundidad los
fundamentos del Programa de Estudios.
Los docentes establecieron un punto de comparación entre la
estructura y funcionamiento de la lección modelo y el logro
estudiantil, los planes y lecciones elaborados por ellos.
Los docentes establecen criterios enriquecedores para la
implementación de la estrategia de resolución de problemas desde la
perspectiva de la profundidad requerida en la adquisición de
conocimientos y habilidades matemáticas significativas en los
estudiantes y sobre el dominio propio de esos conocimientos cuando
practican su enseñanza en especial integrando habilidades
específicas.
Los docentes pudieron verificar de manera exhaustiva y detallada el
vínculo entre la planificación realizada y la ejecución, lo que permite
una realimentación de la lección modelo en este caso, para ser
optimizada.
Recapitulando, se realizó un análisis comparativo entre los datos obtenidos de
las dos inmersiones al CTP de Venecia teniendo como referencia las categorías
de análisis de este proyecto de investigación.
Posteriormente, se realizó una discusión analítica que justifica la utilización de
los tres recursos didácticos diseñados para que los profesores de matemática
apoyen su labor en la implementación de la estrategia de resolución de
145
problemas en sus lecciones debido a que se proporcionó información sobre: la
necesidad existente (razones) y la utilidad de los mismos (resultados).
A continuación las conclusiones y recomendaciones.
146
CAPÍTULO 6: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
En este capítulo se proporcionarán las conclusiones y recomendaciones que
emergen del presente proyecto de investigación.
6.1- Conclusiones
1- Los recursos didácticos lección modelo y plantilla para la elaboración del
planeamiento didáctico propuestos, facilitan la implementación de la
estrategia de resolución de problemas pues implican que la planificación
docente sea estructurada y permite a su vez, sistematizar elementos del
Programa de Estudios de Matemática, como la organización de la lección
en dos etapas y los procesos matemáticos.
2- Como consecuencia de este proyecto de investigación, el manual para
docentes constituye un recurso que favorece en los docentes el empleo
sistemático de la estrategia de resolución de problemas y la creencia de
que la enseñanza debe ser rigurosa si se desea lograr aprendizajes
significativos en los estudiantes, por lo que es conveniente el seguir su
utilización y cada vez de una mejor forma, que permita el aprendizaje
autónomo en los alumnos y la potenciación de capacidades cognitivas
superiores que favorezcan su éxito en las escuelas, colegios y en sus
vidas.
3- Los recursos propuestos como producto de este proyecto de
investigación explican que, los problemas formulados a los estudiantes
deben ser significativos, relacionados con sus conocimientos y
experiencias previas, acordes con el contexto real y deben generar
preguntas así como la búsqueda de información por parte de los
147
alumnos, por lo que su selección debe ser cuidadosa y resultado de una
exploración previa de materiales y recursos.
4- La lección modelo propuesta en este trabajo, ejemplifica la integración
de habilidades como un recurso importante dentro de la estrategia
metodológica de resolución de problemas que se desarrolla a través del
análisis de las habilidades previas, de las habilidades específicas que se
van a integrar y el problema que requieren para su abordaje, además de
los problemas de diferente nivel de complejidad que se van a utilizar
dentro la organización de la lección.
5- El manual del docente propuesto, sugiere la relevancia de una gestión
del aula, planes didácticos y el trabajo docente dentro de una perspectiva
de construcción de conocimientos, por lo que esta labor no debe ser
sustituida por libros de texto que no contemplan el enfoque y elementos
importantes del Programa de Estudio de Matemática y que propician el
uso de ejercicios mecánicos y rutinarios.
6- Los recursos propuestos como resultados de este proyecto, proponen
que la estrategia metodológica con enfoque basado en resolución de
problemas contextualizados es relevante y desde el punto de vista del
Programa de Estudios de Matemática oficial, implica un análisis de las
habilidades específicas y los conocimientos que permita la construcción
de problemas adecuados, por lo que es conveniente que los docentes la
dominen, apliquen en la enseñanza y propicien el aprendizaje de la
matemática requerido por las generaciones actuales.
7- Los recursos plantilla para la elaboración del planeamiento didáctico y el
modelo de lección, muestran como aspectos relevantes el abordaje de
los procesos y la inclusión de ejes transversales con la profundidad y el
rigor necesarios que requieren las habilidades específicas y los
148
conocimientos matemáticos, dentro de la planificación anticipada y
sistemática de las lecciones.
8- El manejo del enfoque de resolución de problemas no es dominado por
los docentes y debe existir una apropiación de la estrategia de resolución
de problemas que permita en los estudiantes el aprendizaje significativo
de la matemática.
9- La práctica de la enseñanza de la matemática no ha utilizado un enfoque
de resolución de problemas sistemático tal y como el programa de
estudios actual lo propone, por cuanto el problema contextualizado y
adecuado se plantea para que los estudiantes construyan el
conocimiento empleando estrategias propias de resolución y además, las
capacidades adquiridas para movilizar y aplicar los conocimientos en
nuevas situaciones problemáticas. Esto se deduce a partir del contexto
en que se llevó a cabo la investigación.
10- Según el manual para docentes propuesto, la exitosa implementación de
la estrategia de resolución de problemas, requiere que los docentes
utilicen variedad de recursos didácticos escritos, tecnológicos y virtuales
que les permita construir los materiales que mejor se ajusten a las
habilidades o conocimientos matemáticos por abordar.
11- Con el nuevo enfoque metodológico, el docente debe emplear tiempo y
ejercicio cognitivo para construir nuevas tareas, materiales, planes,
evaluaciones y preparación en el empleo de recursos útiles para
interactuar con estudiantes.
149
6.2- Recomendaciones
1- Se recomienda a los docentes analizar los recursos propuestos en este
proyecto de investigación para apoyar la implementación de la estrategia
de resolución de problemas.
2- El docente deberá confeccionar los planeamientos didácticos
contemplando los elementos desarrollados en el Programa de Estudios
de Matemática oficial y la integración de habilidades matemáticas, de
manera sistemática.
3- Se recomienda a los docentes elaborar su propio material para el
desarrollo de las lecciones y relegar los libros de texto como un recurso
de apoyo de tercer orden.
4- Se recomienda al docente proponer trabajos complementarios para
reforzar el aprendizaje adquirido en clases que consisten de problemas
de distintos niveles de dificultad y que estén estrechamente relacionados
con el desarrollo de las lecciones.
5- Se recomienda el uso de recursos didácticos diseñados para la
implementación de la propuesta metodológica de resolución de
problemas del Programa de Estudios vigente, por medio de los cuales,
los docentes puedan diseñar, a través de la investigación, auto formación
u otros medios, nuevos materiales de apoyo para la enseñanza.
6- Se recomienda a la asesora de matemática de la Región de San Carlos,
realizar foros o reuniones con los docentes de matemática de la Región
de San Carlos, para dar a conocer los recursos didácticos, producto de
150
esta investigación, para el mejoramiento continuo de la implementación
de la estrategia de resolución de problemas.
7- Se recomienda a las universidades que forman docentes de matemática
tomar en cuenta la estrategia de resolución de problemas y los
elementos del Programa de Estudios de Matemática vigente para la
preparación inicial de futuros docentes de matemática.
151
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153
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Zumbado, M. (2014) Elementos a considerar en el planeamiento didáctico al implementar la Resolución de Problemas. Memoria del IX Festival de Matemáticas.
155
ANEXOS
Anexo # 1: Instrumento para la observación de lecciones de
Matemática:
Implementación de la Estrategia de Resolución de Problemas en las Lecciones
de Matemática en III Ciclo de la Educación General Básica
Institución CTP de Venecia Profesor (a) _________________________________
Sección: ________________ Fecha: ____/_____/____ Hora: ______________
Objetivo:
Reunir información sobre la implementación de la estrategia metodológica de
resolución de problemas en las lecciones de Matemática de acuerdo con los
programas oficiales del Ministerio de Educación Pública en el III ciclo del CTP
de Venecia de la Región Educativa de San Carlos.
Habilidad (es) Matemáticas específicas a desarrollar por el docente:
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Área a la que corresponden las habilidades
( ) Números ( ) Geometría ( ) Relaciones y álgebra ( ) Estadística y probabilidad
Conocimientos matemáticos implicados: __________________________________
_____________________________________________________________________
Elementos para la observación de lecciones de Matemática y revisión de
documentos del docente:
Etapa I : aprendizaje de conocimientos: el problema propuesto, fase del trabajo
estudiantil, discusión interactiva y comunicativa, clausura o cierre
Etapa II: Aplicación y movilización de los conocimientos
156
Rol del docente y de los estudiantes
Procesos matemáticos
Contexto de aula y Ambiente de la lección
Anotaciones generales sobre la observación:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
Síntesis de la observación:
Tabla A.1.1: Resumen de observaciones
Resumen Anotación de la observación directa
Resumen Anotaciones interpretativas
Resumen Anotaciones temáticas
Resumen Anotaciones personales
Resumen Anotaciones de la reactividad de los participantes
Fuente: Hernández, R; Fernández, C; Baptista, P. (2010).
157
Anexo # 2: Instrumento para entrevista al docente
Docente de Matemática entrevistado: _________________________________
Fecha y hora de la entrevista: _______________________________________
Elementos para generar preguntas al docente de acuerdo con la (s) lección (es)
impartida (s):
Etapa I: aprendizaje de conocimientos:
¿Cómo seleccionó el problema? ¿Por qué lo seleccionó?
¿En el planeamiento de la clase usted consideró las dificultades en los estudiantes
en la fase del trabajo estudiantil?
¿Seleccionó usted algunas preguntas para la discusión interactiva y comunicativa?
¿Cómo planificó la clausura o cierre?
¿El problema funcionó como esperaba?
El problema ofreció todos los recursos para hacer un cierre o clausura apropiado.
Etapa II: Aplicación y movilización de los conocimientos
¿Cómo selecciona los ejercicios y problemas para esta etapa?
¿Qué opina sobre su rol docente? Si tiene que autocalificar su desempeño en esta
estrategia metodológica de 1 a 10, qué nota se asigna y por qué?
¿Qué opina sobre el rol de estudiante es igual o diferente? ¿Por qué?
¿Cree usted que en su lección se propició algún proceso matemático, cuál y por
qué?
Considera que algún factor externo pudo afectar el desarrollo de la clase.
Anotaciones generales de la entrevista:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
158
Anexo # 3: Autorización de la directora del CTP de Venecia:
159
Anexo # 4: Instrumento para el registro de visitas al centro educativo
Nombre de la estudiante de la UNED Cédula Yorleny Rojas Jiménez 204660672
Institución donde realiza el Proyecto de Investigación
CTP de Venecia, Región de San Carlos
Docente de Matemática consultado
_______________________________________________________________
Fecha y hora de la visita
_______________________________________________________________
Nombre de la Directora Cédula Ana Daisy Esquivel Vargas 204970718 __________________________ _____________________ Firma Sello
160
Anexo # 5: Evidencias de la primera inmersión al CTP de Venecia
161
162
163
164
165
166
167
Anexo # 6: Evidencias de la segunda inmersión al CTP de Venecia
168
169
Anexo # 7: Ejemplo de planeamiento didáctico
Plan Didáctico en el área de Matemáticas, año 2015:
Institución: CTP de Venecia Profesor(a): ____________________
Nivel: VII año Fecha: ____/_____/____ Área: Números
Tabla A.7.1: Conocimientos y habilidades específicas
Conocimientos Habilidades específicas integradas Habilidades previas
Operaciones,
cálculos y
estimaciones
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• División
14. Resolver problemas aplicando
sumas, restas, multiplicaciones y
divisiones de números enteros.
15. Simplificar cálculos mediante el
uso de las propiedades de
conmutatividad y asociatividad de la
adición y multiplicación.
*Identificar números
enteros negativos en
contextos reales.
*Ubicar números enteros
en la recta numérica
Fuente: elaboración propia
Estrategias de Mediación:
Etapa I: Aprendizaje del conocimiento
1- Propuesta de un problema
En una carrera de atletismo, los corredores se encuentran de manera simultánea, en
un trayecto recto de carretera que se orienta de Oeste a Este y en el cual hay un
puesto de hidratación. Jimena ya pasó por dicho puesto y en este momento se ubica a
200 m del mismo en dirección Este. José se encuentra a una distancia de 350 metros
de Jimena en el sentido opuesto. Laura se ubica 175 m al Este de José y finalmente,
Esteban está 75 metros atrás de José. Determine la posición dónde se ubica cada uno
de los competidores mencionados respecto al puesto de hidratación.
170
2- Trabajo estudiantil independiente
Los estudiantes resolverán el problema en subgrupos de tres estudiantes. Es de
esperar que ellos realicen algunos cálculos y representaciones gráficas para encontrar
la ubicación de los competidores.
Además, algunos alumnos podrían aplicar las habilidades previas aprendidas,
utilizando números negativos como parte de la estrategia de resolución del problema.
El docente indicará también que deben preparar una exposición para la plenaria.
3- Discusión interactiva y comunicativa
En esta etapa de la lección, una vez que el docente determine que los estudiantes han
finalizado el trabajo, por medio de la plenaria, cada subgrupo expondrá al grupo
completo sus respuestas, compartirán las representaciones y cálculos realizados y
corregirán errores, si los hubiera.
El docente podrá plantear preguntas generadoras como las siguientes:
¿Cómo se puede emplear números negativos en las representaciones realizadas por
ustedes?
¿Cómo se pueden denotar si se avanza o se retrocede utilizando números negativos?
4- Clausura o cierre
Esta fase de la lección consta de tres partes
Solución del problema.
Se comparará la representación propuesta por el docente con las representaciones de
los estudiantes. Con el objetivo de exaltar similitudes y corregir algún error en las
De esta forma se activarán los procesos de
comunicar y razonar y argumentar Se potencia en los estudiantes el proceso
de representar
171
representaciones. Además, se puede reafirmar conocimientos y asegurarse de que
todos los jóvenes registren la solución correcta en sus cuadernos.
Partiendo de la gráfica, se enunciará la posición en la que se encuentran los
competidores con respecto al puesto de hidratación, utilizando la dirección de los
puntos cardinales y también los conocimientos previos de los estudiantes sobre
números enteros de la siguiente forma:
¿Cómo se pueden dar las respuestas sin utilizar los puntos cardinales?
La posición de Jimena es 250 m al este del puesto de hidratación.
La posición de José es 150 m al oeste del puesto de hidratación. (-150 m).
La posición de Laura es 25 m al este del puesto de hidratación.
Posición de Esteban es 225 m al oeste del puesto de hidratación. (-225 m).
En la gráfica, ¿Qué número entero podemos ubicar en el puesto de hidratación?
Imagen A.7.1: Elaboración propia
172
Formalización de la suma de números enteros
Con el fin de formalizar la suma de número enteros, se aprovechará el problema
resuelto para plantear situaciones que se resuelvan con suma de números enteros y
representaciones similares a la del problema:
Por ejemplo,
1-Desde el punto donde se encuentra Laura, un cruzrojista se mueve para ayudar a un
atleta que se cayó justo 100 metros al oeste del puesto de hidratación. ¿Cuántos
metros recorrió el cruzrojista para ayudar al atleta?
2-La siguiente representación muestra las posiciones de algunos atletas con respecto
al puesto de hidratación después de realizados ciertos recorridos en kilómetros,
partiendo de dicho puesto, como se muestra en la figura:
Imagen A.7.2: Elaboración propia
173
a- ¿Cuántos kilómetros han recorrido Luisa y Jorge juntos?
Solución: Han recorrido entre ambos
b- Luisa, llega donde está Julio, quién había recorrido 7 km ¿Cuántos kilómetros habrá
recorrido Luisa en total, tomando en cuenta el primer recorrido? Y por tanto, ¿Cuántos
kilómetros recorrió más que Julio?
Solución:
á
c- Si Jorge camina 20 km al oeste, en qué posición queda respecto al punto de
hidratación.
Solución: queda a los 5 km este del punto de hidratación
d- Julio se había movido al oeste 7 km, ¿En qué posición queda si camina hacia el este
10 km?
Solución: -7 - queda a los 3 km este del punto de hidratación
Mini-cierre de la suma y resta: Después de efectuar todos los cálculos y
representaciones necesarias se efectuará una síntesis sobre el uso de la suma y resta
Imagen A.7.3: Elaboración propia
174
Se fortalece en los estudiantes actitudes de respeto, disfrute hacia
la matemática y la perseverancia al resolver problemas. Se diluye
la creencia de que los estudiantes no son capaces de resolver
problemas importantes en su formación.
con enteros, mediante representaciones en la recta numérica y resolviendo otras
operaciones, hasta contemplar todos los posibles casos del uso de los signos:
a) La operación 5 + -6 = -1 o 5 – 6 = -1, se puede representar:
b) La operación -6 - -5 = -6 + 5 = -1, se representa:
Estrategias de Evaluación:
*Por medio de la observación, escucha del proceso comunicativo generado y de las
respuestas a las preguntas generadoras, la (el) docente valora el logro de la habilidad y
registra los aspectos más relevantes del proceso.
*Con base en las consultas, respuestas y argumentaciones, el docente redirecciona el
trabajo y registra lo más relevante en el apartado de observaciones de su
planeamiento.
*Se ve el nivel de logro con base en las respuestas correctas, manejo del error,
argumentaciones y justificaciones de las mismas, planteamiento de problema
(estrategia) registrando los aspectos más relevantes del proceso.
Imagen A.7.4: Tomada del Programa Estudios Matemática, p. 296.
Imagen A.7.5: Tomada del Programa Estudios Matemática, p. 296.
175
Etapa II: Aplicación y movilización de los conocimientos
En subgrupos de tres estudiantes se resolverán los siguientes problemas:
Problemas de reproducción:
a- Edwin se encontraba buceando a 9 m bajo el nivel del mar. Si Edwin descendió 8 m
más, ¿a qué profundidad estaba?
b- Pedro debe a Juan ¢250 000 y le paga ¢110 000. ¿Cuánto le queda debiendo
Pedro a Juan?
c- Se puede trabajar una aplicación con GeoGebra sobre suma y resta de enteros
accediendo a la siguiente dirección electrónica:
http://geogebra.acatlan.unam.mx/cch/appletsGeogebra/Matematicas_I/Unidad_I/m1u1t
1_1.html
Problema de conexión:
La temperatura del aire baja según se asciende en la atmosfera, a razón de 6 °C cada
1000 m. Si la temperatura del aire al nivel del mar en Puntarenas es de 24 °C. ¿A qué
altura vuela un avión si la temperatura del aire es de -60 °C?
Problema de reflexión:
a- Utilizando tres veces el número 2 (positivo o negativo), dos veces el número 8
(positivo o negativo) y los símbolos u operaciones matemáticas, suma y resta, escriba
y resuelva tres operaciones que tengan diferente resultado. Por ejemplo:
El problema anterior permite la utilización de la asociatividad y conmutatividad de la
suma, por lo que se intervendrá para resolver otros problemas del nivel de reflexión:
Se fortalece el uso de la
tecnología como eje
transversal
176
b- Una substancia en un laboratorio se somete a cambios de temperatura
constantemente, si la temperatura inicial es de 3° C, si desciende 10° C, luego se
somete a un aumento de 8° C, y vuelve a descender 5°C, ¿cuál es la temperatura al
final del experimento?
c- Carlos debe ₡3 000 en el Supermercado, realiza dos compras fiadas de ₡2 500 y de
₡5 750. Si llega a pagar con ₡10 000, ¿le alcanza?, ¿le falta dinero o le sobra?
Se tomará en cuenta los conocimientos adquiridos para movilizar el conocimiento
sobre el cálculo de operaciones empleando multiplicación y división:
Planteamiento de un problema
Trabajo estudiantil y discusión interactiva
El trabajo estudiantil y la discusión, se llevará a cabo de manera fluida, con el fin de dar
lugar a la movilización de los conocimientos aprendidos y formalizar la multiplicación.
Clausura o cierre
Se contrastará la solución del problema, con la formalización y mini-cierres de la
siguiente forma:
Solución:
Se pueda expresar como:
De aquí en adelante, se expone a los alumnos algunas operaciones que ejemplifiquen
las propiedades de los signos para multiplicar y dividir con números enteros y
posteriormente, se formalizarán.
¿Qué pasa si se efectúa el producto de dos enteros negativos?
Luis debe 10 000 y por no pagar su deuda a tiempo, ésta se
triplicó, ¿cuál es el saldo actual de Luis?,
177
¿Qué pasa si se efectúa una división entre dos enteros de signo contrario?
¿Ocurre igual en la división de enteros del mismo signo?
Formalización:
Efectivamente, en la multiplicación de factores de signos contrarios, se obtiene un
producto negativo y con factores de signos iguales, se obtiene producto positivo.
En la división, el comportamiento de las propiedades de los signos es igual:
Tabla A.7.2: Propiedades de signos operaciones multiplicación y división
Multiplicación División
Fuente: Elaboración propia
En subgrupos de tres estudiantes se resolverán los siguientes problemas:
Problemas de reproducción:
Se utilizará el sitio web con los estudiantes para resolver problemas sobre
multiplicación:
http://tube.geogebra.org/student/m47778
El siguiente sitio web se trabajará con estudiantes para emplear el cálculo mental con
divisiones de número enteros:
http://tube.geogebra.org/student/m203151
Se fortalece el uso de la
tecnología como eje
transversal
178
Problema de conexión:
El grifo de agua que Don pedro tiene en la finca, llena un tanque a razón de 4 litros por
minuto. El grifo se abrió a las 5:55 pm, pero el seguro del tanque se cerró a las 6: 00
pm. Si son las 6: 00 m en punto, ¿cuántos litros se perdieron?
Solución: litros
Problema de reflexión:
Utilizando entre cuatro a seis veces el número 2 (positivo o negativo) y los símbolos u
operaciones matemáticas multiplicación y división escriba y resuelva dos operaciones
que tengan diferente resultado. Por ejemplo:
El problema anterior permite la utilización de la asociatividad y conmutatividad de la
multiplicación, por lo que se intervendrá para resolver otros problemas del nivel de
reflexión:
Efectuar la multiplicación
Cronograma:
10 lecciones: (Etapa I: 5, Etapa II: 5): I periodo, año 2015
Observaciones: ______________________________________________________________
Observaciones
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Referencias bibliográficas
Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (2014). Documento de
integración de habilidades en la acción de aula en secundaria. Costa
Rica. Autor: Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa
Rica.
Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (2012). Programas de Estudio Matemáticas. Educación General Básica y Ciclo Diversificado. Costa Rica. Autor: Comisión Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica.
Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (2013). Documento de apoyo
Curricular III ciclo. Costa Rica. Autor: Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica.
Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (2011). Documento de apoyo Curricular secundaria. Costa Rica. Autor: Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica.
