Trabajo Geometría - Geometría diferencial

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Definiciones y ejemplos. Gráficos

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Longitud de arco de una curva planaDefinicinArqumedes logr aproximar la longitud de una circunferencia, inscribiendo un polgono de n lados y calculando el permetro de este mediante propiedades geomtricas.

n=4 n=8 n=12Este mtodo es el mismo que se utiliza para calcular la longitud de una curva cualquiera en el plano.

Sea f una funcin continua en el intervalo cerrado [a;b], la porcin de la curva desde el punto A hasta el punto B se denomina arco, y su longitud se calcula por medio de la subdivisin del arco en n partes y la unin de los puntos sucesivos de la divisin mediante segmentos de recta.Los puntos Pi determinan una poligonal AP1P2Pn, cuya longitud se calcula sumando los infinitos segmentos rectilneos Pi-1Pi:Longitud poligonal= Pi-1PiSi n (cantidad de segmentos) tiende a infinito, cada segmento tender a cero, y el resultado de la sumatoria de los segmentos se aproximar cada vez ms a la longitud del arco AB. Por lo tanto, calculamos el lmite de la longitud poligonal cuando n tiende a infinito. Si este lmite existe y es finito, el resultado es la longitud del arco AB:Longitud del arco AB= Pi-1PiPara garantizar la existencia de este lmite, se deben cumplir dos condiciones:1. La funcin f(x) debe ser continua en el intervalo [a;b], pues sino el arco no podra subdividirse en n segmentos de rectas.2. F(x) debe ser rectificable, es decir, tener derivada continua en [a;b].Actividad con Geogebra:Dada la funcin calcular la longitud de la poligonal entre los puntos x=-4 y x=4, para n=2, n=4 y n=8. Luego calcular la longitud del arco comprendido entre dichos puntos.Resolucin:Grafico la funcin dada y luego ubico los puntos A=(-4;2), B=(4;2) y C arbitrario sobre el arco AB, con la herramienta Punto.Sobre la barra de entrada, escribo el siguiente comando: Poligonal[], y reemplazo por los puntos A, C, B. (Se debe respetar el orden de los puntos, de izquierda a derecha).El nmero renombrado P2 que aparece en la vista algebraica es la longitud poligonal cuando n=2

Para n=4 se necesitarn 3 puntos sobre la curva entre A y B, por lo tanto es necesario crear 2 puntos nuevos sobre el arco. Luego con el mismo comando utilizado anteriormente, calculo la poligonal para este caso. (Recordar que siempre se debe respetar el orden de los puntos de izquierda a derecha).

El mismo procedimiento se repite para n=8, con 7 puntos entre los puntos A y B.

Por ltimo, para calcular la longitud del arco AB, utilizo en la barra de entrada el comando Longitud[,,], reemplazando por f(x), A y B, respectivamente. El nmero renombrado como Long es la longitud del arco AB.

En la vista algebraica se podr ver que cuando n aumenta, es decir, aumentan la cantidad de segmentos entre A y B, la longitud poligonal se aproxima a la longitud del arco.

Longitud del arco de una curva dada en coordenadas cartesianas:Deduccin de la frmula para el clculo de la longitud del arco de una curva:

Por el teorema de Pitgoras: Pi-1Pi= (1)Y por el teorema del valor medio del clculo diferencial (*): (2)Reemplazando (2) en (1) se obtiene: Pi-1PiTeniendo en cuenta la definicin de longitud s de un arco de curva, reemplazando la expresin obtenida:s= Pi-1Pi = Luego,

(De esta frmula surge la segunda condicin de existencia de la longitud de arco, que f(x) sea continua en [a;b].)(*)Teorema del valor medio: Si una funcin f es continua en el intervalo [a;b] y diferenciable en (a;b), entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a;b) tal que . Ejemplo:La siguiente figura muestra un cable que pende en la forma de catenaria(*) entre dos postes separados 300 pies, y el punto ms bajo del cable est a 200 pie sobre el suelo. Los ejes coordenados se elijen de modo que el origen est a la mitad entre las bases de los dos postes sobre el eje x, y el eje y contiene el punto ms bajo del cable. Una ecuacin de la catenaria es:

Calcule la longitud del cable entre los dos postes, y luego verifique la solucin utilizando el programa Geogebra.

Solucin:

Reemplazando Como

Geogebra: Introduzco en la barra de entrada la funcin y las rectas x=-150 y x=150. Con la herramienta interseccin, marco las intersecciones de la funcin con las rectas (puntos A y B).Luego, para hallar la longitud, utilizo el comando Longitud[,,], reemplazando por f(x), A y B respectivamente.

(*) La palabra catenaria se emplea para designar la curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y que se encuentra sometida nicamente a las fuerzas de la gravedad. En un principio, se crea que la forma de una cuerda sujeta a dos extremos tena la forma de una parbola. No fue hasta 1691 cuando Gottfried Leibniz,Christiaan HuygensyJohann Bernoulli, descubrieron la frmula correcta: . (Se asemejao mucho a una parbola pero no es igual).Ejercicios:1. Calcular la longitud de la parbola semicbica en el intervalo (0;1).2. Calcular la longitud del arco de parbola y=x2 desde el origen hasta el punto x=4.3. a. Determine la curva que pase por el punto (1;1), cuya longitud de arco sea: b. Cuntas curvas cumplen con lo anterior? Justifique su respuestaSoluciones:

1.

2.

Por tabla, la integral resulta:

3.

Integrando a ambos miembros:

Con Con

La curva debe contener al punto (1;1), entonces:

Una curva ser: Otra curva ser:

Diferencial de arcoDado el arco AB donde el extremo B es una variable x, la longitud del arco ser:

Diferenciando a ambos miembros:

Como Geomtricamente es el vector diferencial de arco, tangente a la curva en P, y siendo su mdulo ds. Los cosenos directores son y

Estos tres infinitsimos diferentes, son sin embargo equivalentes, pues puede demostrarse que el lmite del cociente de dos de ellos es igual a 1.

Longitud de un arco en coordenadas paramtricas.

Cuando la curva est dada en coordenadas paramtricas: x=g(t), y=h(t),Por lo tanto: dx= g(t) dt; dy= h(t) dtPor consiguiente el diferencial de arco es: ds=

La longitud de un arco de curva AB dada en forma paramtrica cuando los extremos A y B estn dados por los valores t0 y t1 del parmetro ser:s=

Ejemplo:Calcule la longitud de arco de la curva cuyas ecuaciones paramtricas son:x= t3 y y=2t2para cada uno de los casos:a) De t=0 a t=1b) De t=-2 a t=0

Solucin:

En primer lugar graficaremos la curva utilizando como recurso de apoyo el programa geogebra. Para ello utilizaremos el siguiente comando que nos permite graficar en coordenadas paramtricas.Curva[ , , , , ].Una vez realizado el reemplazo correspondiente nos quedar:Curva[ t3,2t2,t,-2,2]. El grafico de la curva ser el siguiente:

La curva est dada por las ecuaciones paramtricas x=g(t) y y=h(t) donde

g (t)=t3 h(t)=2t2 g (t)=3t2 h(t)= 4t

a) Para calcular la longitud de arco de la curva en el intervalo [0,1]

b) Para calcular la longitud de arco de la curva en el intervalo [-2,0]

Obsrvese que en la tercera integral del inciso a) se sustituy por t ya que 0t1. En cambio, en la tercera integral del inciso b) se reemplaz por t puesto que -2t0.

Ejercicios:1. Dada la curva:

Calcular la longitud del arco comprendido entre t=0 y t=4. De qu curva se trata en coordenadas cartesianas? Verifique el resultado grficamente.

2. Calcular la longitud de una onda de cicloide

Cuando t vara de 0 a 2Soluciones:1.

2.

8r Integrales elpticas:

Sea una elipse de semiejes a y b, que en coordenadas cartesianas se escribe Y que en forma paramtrica queda definida mediante el par de ecuaciones:

X=a sin Y= b cos Con el parmetro variando de 0 a 2.

Como es:

Resulta,

Designando con k2 al cociente (k es la excentricidad de la elipse).

Siendo

El arco AP es

No hay ninguna combinacin de de funciones elementales cuya derivada sea con k21. Por eso se han introducido y tabulado las integrales elpticas de Legendre de primera y segunda especie (con k1)

F(k,)= integral de primera especie.

E(k,)= integral de segunda especie.Resulta entonces:

En particular si =, se tienen las integrales elpticas completas de primera y segunda especie:

F(k,)=F1(k) E(k,)=E1(k)

Ejercicio:

1. Hallar la longitud total de una elipse de semiejes a=5, b=3.L=Para hallar , podemos utilizar una tabla de integrales elpticas o como en este caso una calculadora online de integrales elpticas que la podemos encontrar en: http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/Xitami/webpages/eli1.htmResulta que y la longitud L es:

Longitud de un arco en coordenadas polares:

Sea AB un arco de curva dado en coordenadas polares mediante la relacin =()Teniendo en cuenta que esx= cos y= sin

Resultan x e y funciones del parmetro .Diferenciando es:

dx= cos d- sin ddy= sin d+ cos d

Elevando al cuadrado sumando y simplificando se tiene:

Con lo que resulta

Designando con la derivada de respecto de .

La longitud del arco AB ser la integral correspondiente a este diferencial:

S=

Ejercicios:1. Calcular la longitud de la curva para 2. Verificar que la longitud de la circunferencia de radio 2es 4Soluciones:1.

Entonces:

2.

Curvatura La curvatura es un concepto importante en el estudio de la geometra diferencial y el movimiento curvilneo. Este concepto proporciona la tasa de variacin (o cambio) de la direccin de una curva con respecto a la variacin en su longitud. Curvatura de una curva dada en coordenadas cartesianas:

A y B son puntos sobre la curva de la funcin f(x)t y t1 son las rectas tangentes a la curva en los puntos A y B, respectivamente.R punto de interseccin de las rectas tangentes. y 1 son los ngulos que t y t1 respectivamente forman con el eje x.Siendo s la longitud del arco AB y el ngulo de contingencia, con= 1 , se define curvatura media Cm del arco AB al cociente:

Cuando el punto B tiende hacia el punto A, s0 y, por consiguiente, x0. De esta manera, se define la curvatura C en el punto A:

Frmula para el clculo de la curvatura:

Siendo =arctg y (por ser tg = y), buscamos la derivada de .Para derivar =arctg y, podemos usar la funcin inversa:

Diferenciando a ambos miembros, resulta:

(Dado que , elevando a ambos miembros:)Luego,

Por definicin y por ser , se obtiene:

Luego,

Ejemplo:Hallar la curvatura de la funcin y=senx en el punto x=/2, y verificar el resultado con el programa Geogebra.Solucin:

Geogebra:Insertar la funcin y=senx y el punto (/2,1) en la barra de entrada del programa. Luego calculo la curvatura de la funcin en el punto, con el comando Curvatura[ , ], reemplazando punto y objeto por el punto A y la funcin f(x), respectivamente.El nmero renombrado como c muestra la curvatura buscada.

Ejercicios:1. Hallar la curvatura de y=x3 en el punto (1;1)2. Demostrar que la curvatura de la catenaria en un punto cualquiera es c=y-2.Soluciones:1.

2.

Circulo OsculadorIntuitivamente, la circunferencia osculatriz o crculo osculador es aquella circunferencia que mejor se adapta o acomoda a la curvatura en un cierto punto.Actividad con Geogebra:Dada la curva y=x2, trataremos de encontrar una circunferencia que mejor se adapte a la curvatura en el punto (0;0).El primer paso ser graficar la funcin y=x2 y crear el punto A=(0;0). Luego se crearn dos puntos B y C, pertenecientes a la curva, uno a cada lado de A. Con estos tres puntos, se crear una circunferencia dada tres puntos.

Con el fin de buscar esa circunferencia que mejor de adapte a la curvatura en A, se pueden mover los puntos B y C y hacer zoom cada vez que B y C se aproximan a A. Esto permitir observar que dicha circunferencia se obtiene cuando B y C tienden al punto A.

Para hallar con exactitud la circunferencia osculatriz, se utilizar el comando CrculoOsculador[ , ], reemplazando por A y f respectivamente.

La circunferencia azul es la circunferencia osculatriz y, como ya se mencion, se obtiene cuando B y C tienden a A.

Ecuacin del crculo osculador:Dada la curva y=f(x), se denomina circunferencia osculatriz o crculo osculador a la circunferencia de centro C= (; ) y radio R que adems de pasar por el punto P= (x; y), tiene en dicho punto las mismas derivadas primera y segunda que la curva dada.

La ecuacin de la circunferencia es:

C es el centro de curvatura, y R es el radio del circulo osculador.

Derivando [1] implcitamente respecto de x se obtiene

Derivando por segunda vez:

Reemplazo [3] en [2]:

Reemplazando [3] y [4] en [1] resulta:

Se puede observar que el radio del crculo osculador es el valor recproco del valor de la curvatura. El centro y el radio de la circunferencia osculatriz se denominan tambin centro de curvatura y radio de curvatura.Ejemplo:Hallar la ecuacin de la circunferencia osculatriz correspondiente a y=x2 en el punto (0;0).Resolucin:

Las derivadas en el punto (0,0) son:

La ecuacin de la circunferencia es: Si desarrollamos esta expresin se obtiene: , ecuacin que coincide con la dada por el programa Geogebra.Ejercicios1. Hallar la ecuacin de la circunferencia osculatriz de en el punto x=2.2. Determinar el centro de curvatura.Soluciones:1) Para hallar la ecuacin de la circunferencia osculatriz debemos hallar , y el radio.

Primero calcularemos las derivadas primera y segunda de la funcin.

Ahora evaluaremos ambas derivadas en x=2

Reemplazando en las frmulas:

La circunferencia osculatriz tendr la ecuacin:2) El centro de la circunferencia ser:

Curvatura en coordenadas paramtricasDada una curva en coordenadas paramtricas

Resulta Y se tendr Adems como ds=

La curvatura de la curva se expresa mediante la frmula anterior, donde los acentos indican las derivadas respecto del parmetro t.

Ejercicios:1. Calcular la curvatura C de la cicloide

2. Hallar el radio de curvatura de la curva:

En el punto t=0Soluciones:

1. Siendo

Resulta:

2.

El radio de la curvatura es:

Para t=0 el radio ser:

Curvatura en coordenadas polaresEjercicios:1. Demostrar que la curvatura de una curva dada en coordenadas polares

Est expresada por la frmula:

2. Hallar el radio de curvatura de la espiral de Arqumedes en el origen.Soluciones:1. Recordando que las coordenadas cartesianas y polares estn vinculadas por las relaciones

Calculamos las derivadas primeras y segundas respecto del parmetro

Operando tenemos:

Luego:

2.

Para =0

Por lo tanto

Evoluta de una curva. Evolvente

Actividad con geogebra:

Graficaremos la curva y=x2, marcaremos un punto A sobre la curva y hallaremos el circulo osculador en ese punto.

Luego marcaremos dos puntos sobre la circunferencia B y C y trazaremos las mediatrices de los segmentos AB y AC. Seguidamente hallaremos la interseccin entre las mediatrices; la cual ser un punto D. el mismo es el centro de nuestra circunferencia osculatriz.

Luego ocultaremos las rectas y los puntos auxiliares. Activaremos el rastro de D (centro de la circunferencia) y luego moveremos el punto P por la parbola.

La curva generada por el rastro del centro de la circunferencia osculatriz se denomina Evoluta.

Definicin:Considerando el punto P variable sobre la curva se tendrn infinitos crculos osculadores. Los respectivos centros describirn una curva que se llama Evoluta.De acuerdo a lo visto anteriormente, las ecuaciones paramtricas de la Evoluta son:

Para cada valor de x, el valor de y (y el de y y el de y) queda determinado por la ecuacin de la curva.As se tendr en el plano (,) cuya pendiente ser .Ejemplo:Verificar que la Evoluta de la parbola de eje horizontal Es una parbola semi-cbica. Tenemos:

Despejando de estas expresiones x e y y reemplazndolas en la ecuacin de la curva dada se obtiene la ecuacin de la evoluta:

Que en el plano (;) es una parbola semicbica.Ejercicio:1) Verificar que la evoluta a la curva :

Es una circunferencia de centro en el origen y radio a.

Solucin:

Con lo que resulta la circunferencia en el plano (;):

Podemos hacer la verificacin con geogebra.

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