HIDROCINEMTICA

MECNICA DE FLUIDOS I

Ao de la Inversin para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria

HIDROCINEMTICA

MECNICA DE FLUIDOS - I

AGRADECIMIENTO

Agradecemos a Dios por la vida y de esa manera darnos la oportunidad de desarrollarnos como estudiantes con miras a un futuro mejor, y a nuestros padres y hermanos por contribuir cada da con su apoyo.Por otro lado agradecer al docente del curso Mg.TC.Ing Carlos Adolfo Loayza Rivas por su apoyo y su asesoramiento para el desarrollo del curso.

DEDICATORIAPrincipalmente dedicamos este trabajo a nuestros padres puesto que nos brindaron apoyo y fortaleza en el desarrollo y transcurso de este, ayudndonos a concluirlo satisfactoriamente.

Dedicamos a Dios puesto que nos brinda sabidura, amor, paciencia y constancia, nos ayuda en los momentos ms difciles brindndonos valores que nos fortalezcan no solo como trabajo de grupo, si no como personas. Tambin dedicamos dicho trabajo a nuestro docente que colabora con sus enseanzas y conocimientos tiles para nuestro desempeo como futuros profesionales.

INTRODUCCION

En el siguiente captulo aprenderemos los conceptos fundamentales que se llevaran a cabo en el curso como; la hidrocinemtica y la forma en que se aplican para problemas aplicativos. Estos conceptos son esenciales ya que sern manejados durante el transcurso de la asignatura, se brindan conceptos y la explicacin de las frmulas que utilizan temas base de matemtica como divergencia, rotacional y matrices. Tambin presentamos ejemplos aplicativos para que nuestros compaeros puedan entender efectivamente las propiedades.

OBJETIVOS

Describir matemticamente el movimiento de un fluido.

Expresar la aceleracin de una partcula de un fluido dadas las componentes de su velocidad.

Determinar la ecuacin de la lnea de corriente y trayectoria.

Clasificar varios flujos de fluido Es un flujo viscoso?, Es turbulento?, Es incompresible?, Es uniforme?

INDICEContenidoI.CONCEPTOS BASICOS:61.1. Hidrocinemtica:61.2.Campo de flujo:61.2.1.-Caractersticas del campo de flujo.6II.CAMPO VECTORIAL DE VELOCIDADES.7III.CAMPO DE LAS ACELERACIONES10IV.CAMPO ROTACIONAL16V.CLASIFICACION DE LOS FLUJOS21VI.DESRIPCION DEL MOVIMIENTO27VII.CAMPO POTENCIAL, SOLENOIDAL Y ARMONICO337.1. CAMPO POTENCIAL:337.2.-CAMPO SOLENOIDAL.347.3.-CAMPO ARMNICO O LAPLACEANO.36

HIDROCINEMTICA

I. CONCEPTOS BASICOS:1.1. Hidrocinemtica:Estudia el movimiento de los fluidos desde un punto de vista descriptivo, sin relacionarlo con las fuerzas que lo generan.La hidrocinemtica o cinemtica de los lquidos se ocupa del estudio de las partculas que integran el campo de flujo de un fluido sin considerar las masas ni las fuerzas que actan sobre el fluido .Para el estudio del movimiento de las partculas se requiere del conocimiento de algunas magnitudes cinemticas de la mismas como la velocidad y aceleracin y rotacin .1.2.Campo de flujo:Es cualquier regin ocupada por el fluido en movimiento, donde sus magnitudes fsicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales (presin, densidad, temperatura, velocidad, aceleracin, etc.) del fluido en movimiento, puede variar de un punto a otro y en un mismo punto de un instante a otro (funcin de la posicin y tiempo).1.2.1.-Caractersticas del campo de flujo.

Campo escalar: Se define exclusivamente por la magnitud que adquiere la cantidad fsica a la cual corresponde; ejemplos: presin, densidad y temperatura. Campo Vectorial: En un campo vectorial adems de la magnitud, se necesita definir una direccin y un sentido para la cantidad fsica a la cual corresponde esto es tres valores escalares definen la cantidad fsica; ejemplos: la velocidad, la aceleracin y la rotacin. Campo tensorial: Para definir un campo tensorial se requieren nueve o ms componentes escalares; ejemplos: esfuerzo, deformacin unitaria, y momento de inercia.II. CAMPO VECTORIAL DE VELOCIDADES. El anlisis del movimiento de una partcula del fluido que recorre una lnea usualmente curva que se llama trayectoria se puede hacer de dos maneras distintas:a) Por el conocimiento del vector de posicin, de la partcula, como una funcin vectorial del tiempo (t).

Si es funcin del tiempo entonces sus componentes son tambin funciones del tiempo; es decir:

b) Por el conocimiento de la curva que recorre la partcula y la funcin camino recorrido-tiempo.En este caso la posicin de la partcula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva (a partir de un punto de origen A), como una funcin escalar del tiempo; esto es:Definicin de Velocidad.El Vector velocidad de una partcula fluida se define como la rapidez (magnitud de la velocidad) temporal del cambio en su posicin.

Donde representa el vector diferencial de arco, sobre la curva C, que recorre la partcula en el tiempo dt.La velocidad es, entonces, un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse la partcula segn la curva C, es un vector tangente en cada punto a la misma que, en general, depende de la posicin de la partcula y del tiempo. (2).(3)

Hacemos: ; y

Luego, Expresin vectorial de la velocidad.Dnde:

Mdulo de la Velocidad:

III. CAMPO DE LAS ACELERACIONESEs un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector aceleracin de 1a partcula a en un punto () se define como 1 a rapidez de cambio de su velocidad en ese punto:..(1)Sus componentes son: .(2)Desarrollando estas derivadas se aprecia que las componentes de la aceleracin son funciones de punto y de tiempo.

La aceleracin en coordenadas intrnsecas.En la prctica se dan situaciones en las que el movimiento se supone unidimensional. El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante con el empleo de un sistema de coordenadas con su origen en cada punto de la trayectoria; se denomina sistema intrnseco de coordenadas y cualquier vector puede expresarse segn sus componentes en este sistema.

Campo de aceleracin:

Definicin de aceleracin.- El vector aceleracin de una partcula en un punto se define como la variacin temporal de la velocidad en ese punto; esto es:

En cuanto a su direccin la aceleracin no tiene una orientacin coincidente con la trayectoria de la partcula; siendo la aceleracin tambin una funcin de la posicin y tiempo.

Haciendo:; y Resulta:

Expresin vectorial de la aceleracin

A veces es conveniente expresar la aceleracin en funcin de sus componentes normal y tangencial.

Mdulo de aceleracin:

La aceleracin deriva del campo de velocidades, donde:

Tomemos un diferencial total de velocidad :

Ordenando:

..(1)

Sabemos que:

Y adems:

Luego: (2)

(2)(1): .(3)

Donde la Expresin (3) representa el Campo Vectorial de Aceleraciones en funcin del producto escalar, denominado divergencia de .

= aceleracin local (depende del tiempo)

= aceleracin convectiva (depende de la posicin)

Comentario: Si el flujo es permanente: y

Es decir el campo de aceleraciones se reduce solo a la componente convectiva.

Desarrollemos ahora la componente convectiva, para representarla en trmino del producto vectorial , conocido como rotacional de .

Apliquemos la propiedad distributiva de la multiplicacin.

Hagamos:

(II)=

(III) =

Trabajando con (I):

Sumando y restando ; a la expresin anterior, resulta:

().Del primer trmino de (); observamos:

Tomando los extremos: ..()

Anlogamente: ..() ()() ()

Factor comn:

.()Adems conocemos que:, cuyo desarrollo es:

Ahora, el desarrollo de::

Trabajando ahora slo con la componente en la direccin de

()(): Anlogamente:

Aceleracin convectiva():

;

Por lo tanto, la aceleracin total de la partcula ser:

IV. CAMPO ROTACIONALAdems de aceleraciones existe otro campo vectorial derivado del de velocidades: el rotacional que evala la rotacin local de una partcula y se define matemticamente por el producto vectorial de por .Rotacional de

Cuyo desarrollo es:

Que tambin es funcin, tanto de punto como de tiempo y es una medida de la rotacin o vorticidad de la partcula dentro del flujo; de la partcula dentro del flujo; por esta razn se le conoce tambin como campo vorticoso.Significado fsico del vector rotacional:Como el cuerpo rgido, adems de la traslacin una partcula puede experimentar una rotacin, intentemos una representacin fsica del vector rotacional.Generalidades para la interpretacin fsica:a) Consideremos la rotacin pura de una partcula (prescindimos de la traslacin de la partcula)b) Al encontrarse la partcula en rotacin pura, a travs del movimiento de giro alrededor de un eje instantneo, que pasa por el centro de gravedad de la partcula P0 (cuya direccin lo da el vector unitario (), normal al plano formado por dos lneas ortogonales contenidas en la partcula.c) Para poder entender la rotacin, consideramos que el punto Po, ha tenido una traslacin pura al punto P, desplazndose un infinitsimo , en un instante dt; adquiriendo una velocidad tangencial Descripcin de la rotacin pura.-1.- Definida la posicin del punto P coincidente con el extremo de una de las lneas ortogonales, esta la tomamos como posicin inicial de la rotacin pura, (prescindiendo de la traslacin de la partcula).2.- En un instante dt el punto P ha rotado a una posicin P habindose desplazado un , con un radio de giro .3.- Al producirse la rotacin la velocidad angular vale: (Variacin del ngulo de rotacin con el tiempo t)El vector velocidad angular ser:

La velocidad tangencial puede definirse como:

Donde:

()- ()+ ()

Calculamos el rotacional de, es decir:

Por lo tanto el significado fsico del vector rotacional en un movimiento de rotacin alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular:

La aceleracin en un punto est formada por las componentes:

= Corresponde al movimiento de traslacin pura.

= Correspondiente al movimiento de rotacin, llamada aceleracin de Coriolis.

= Aceleracin local.

EJEMPLO:Encontrar las componentes del vector rotacional para los flujos permanentes cuyos campos de velocidad son:a) Vx = (x+y) ; Vy = -A(x+y)

SOLUCIN :

Por lo tanto:

V. CLASIFICACION DE LOS FLUJOS

a) Si existen variaciones en el tiempo

Flujo permanente: en este tipo de flujo las propiedades de un fluido como la densidad, viscosidad y caractersticas del movimiento como presin, velocidad y esfuerzo tangencial, permanecen contantes en el transcurrir del tiempo.Matemticamente se puede representar asi:

Flujo permanente

No permanente: sus valores de estas variables cambian de un instante a otro. Matemticamente se representa:

Flujo no permanente

b) Si existen variaciones en el espacio

Flujo uniforme: si las propiedades fsicas y caractersticas del movimiento del movimiento permanecen constantes a lo largo de la trayectoria del movimiento de una partcula de fluido. Matemticamente se representa asi:

Flujo no uniforme: si las caractersticas del movimiento de una partcula de un fluido y las propiedades fsicas varan de una posicin a otra. Matemticamente se representa asi:

Considrese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una con tubera de dimetro constante y la otra con tubera de dimetro decreciente.

c) De acuerdo con las componentes del vector velocidad

Flujo tridimensional: es aquel que vara en el espacio, es decir los gradientes de flujo existen en las tres direcciones de un plano cartesiano.

Flujo bidimensional: en este las componentes del vector velocidad se presentan en dos ejes en una familia de planos, no habiendo componente en la direccin perpendicular a dicho plano.

Flujo unidimensional: es el flujo que se presenta en una sola direccin, siendo las trayectorias de las partculas paralelas entre s, no habiendo componente, siendo esta el mismo vector velocidad.

V = V

d) De acuerdo a la existencia de variacin en la densidad del fluido

Flujo incompresible: en este tipo de flujo la densidad de las partculas que constituyen el fluido mantienen constante su densidad a travs del tiempo y el espacio.

as : es la variacin en el espacio Flujo comprensible: es el flujo con caractersticas contrarias a las del flujo incompresible

e) Considerando la viscosidad del flujo

Flujo real: se considera que la viscosidad del fluido en movimientos es mayor que cero, generando esfuerzos cortantes entres sus partculas y respecto a las fronteras del mismo.

Flujo ideal: se debe considerar que la viscosidad del fluido en movimiento es igual a cero o prcticamente despreciable

Efecto de la viscosidad del fluido sobre un lquido

f) Considerando la turbulencia del flujo

La turbulencia de un flujo se define como el estado de agitacin de las partculas del fluido en movimiento. La turbulencia es un resultado propiamente de la viscosidad del fluido y se mide de acuerdo con la clasificacin establecida por Reynolds, conocida como nmero de Reynolds. Los flujos se clasifican en:

Flujo Laminar.- Flujo caracterstico de velocidades bajas, de trayectorias ordenadas, rectilneas y paralelas.

Flujo turbulento: Flujo caracterstico de velocidades ordinarias (altas), de trayectoria errtica o desordenada. Existen pequeas componentes de velocidad en direcciones transversales a la del movimiento general, las cuales no son constantes, si no que fluctan con el tiempo; de acuerdo con una ley aleatoria, an cuando el flujo en general sea permanente.

Las componentes transversales de la velocidad en cada punto originan un mezclado intenso de las partculas que consume parte de la energa del movimiento por efecto de la friccin interna y que tambin en cierto modo, es resultado de los efectos viscosos del fluido. No existe mezcla macroscpica o intercambio transversal entre partculas.

Existe mezclado intenso de las partculas.

No existe mezcla macroscpica o intercambio transversal entre partculas. No existe mezcla macroscpica o intercambio transversal entre partculas.

No existe mezcla macroscpica o intercambio transversal entre partculas. No existe mezcla macroscpica o intercambio transversal entre partculas.

Existe un parmetro que es funcin , y cuyo valor permite diferenciar el flujo, es decir, si es laminar o turbulento, denominado Nmero de Reynolds

g) Considerando la rotacin del flujo

Un flujo es rotacional, si en su seno el campo rotacional adquiere valores distintos de cero para cualquier instante y es irrotacional, por el contrario, si en su seno del campo de flujo, el vector rotacional es igual a cero para cualquier punto e instante.Si se excepta la presencia de singularidades vorticosas, en el caso general, el movimiento de un fluido ideal se puede suponer Irrotacional. Los efectos de la viscosidad de fluido constituyen la causa principal de dichas singularidades (vorticosas). Sin embargo, el flujo Irrotacional ocurre con bastante frecuencia en los problemas de la prctica.Si bien el trmino rotacin implica un giro de partculas, esto no significa que es rotacional todo movimiento efectuado de acuerdo a una trayectoria curva o bien que todo movimiento rectilneo es Irrotacional.Ciertos escurrimientos se pueden considerar macroscpicamente como irrotacionales. En otros casos, a pesar de existir trayectorias curvas, la distribucin de velocidades puede ser de forma tal que las lneas medianas o las diagonales de una partcula, de forma rectangular, no modifican su orientacin durante el movimiento, el flujo es obviamente Irrotacional. Esto se representa esquemticamente en las figuras siguientes en las cuales el vector rot sera normal al plano del papel.El movimiento a bajas velocidades de un fluido viscoso, es generalmente rotacional.FLUJO ROTACIONAL.

FLUJO NO ROTACIONAL.

Flujo Curvilneo rotacional (Esquema Real)(Esquema Real)

Flujo Curvilneo Irrotacional (Esquema Ideal)

VI. DESRIPCION DEL MOVIMIENTOEl movimiento de un fluido queda descrito cuando se desea conocer: El cambio de posicin de una partcula La variacin de la velocidad en un punto

Existen dos formas clsicas de describir el movimiento de un fluido: El mtodo de Euler y el mtodo de LaGrange, de los dos mtodos se prefiere el primero porque su manejo analtico es ms sencillo.

5.1 METODO DE EULER

Consiste en determinar las caractersticas cinemticas en cada punto (x; y; z) de un flujo y en cada instante, sin considerar el destino que tenga cada partcula individual. Si se hace lo mismo para todos los puntos del espacio que ocupa el flujo, se tiene una descripcin completa del flujo. Una vez elegida la posicin de una partcula en el espacio, sus caractersticas cinemticas son funciones del tiempo a saber:

=

Variables dependientes:, , Variables independientes:

5.2 METODO DE LAGRANGE

Consiste en determinar las caractersticas cinemticas del movimiento de cada partcula, en cada instante siguiendo su recorrido. Una vez identificada una partcula por su posicin inicial () en el instante , en otro instante cualquiera t, la misma partcula se encuentra en la posicin . Entonces la posicin de la partcula se tiene conocida en cualquier instante si el vector de posicin se determina como funcin del tiempo y la posicin inicial , es decir:

= bc

=

Variables dependientes: Variables independientes:

LINEA DE CORRIENTE, TRAYECTORIA Y TUBO DE CORRIENTE

LINEA DE CORRIENTE

Una lnea de corriente es una curva imaginaria que conecta una serie de puntos en el espacio en un instante dado, de tal forma que todas las partculas que estn sobre la curva en ese instante tienen velocidades cuyos vectores son tangentes a la misma. De aqu las lneas de corriente indican la direccin del movimiento de las partculas que se encuentran a lo largo de ellas, en el instante dado.

En un flujo permanente, las lneas de corriente coinciden con la trayectoria de una partcula. Si el flujo no es permanente, cambian de un instante al otro. Las lneas de corriente no se pueden cruzar, ya que esto implicara que en un punto dado existiesen dos velocidades en un mismo instante, lo cual no es fsicamente posible.

Ecuaciones de la lnea de corriente

En la lnea de corriente de la figura, para un instante t, donde el punto 1 est infinitamente prximo a 2, de manera que se puede considerar que .

El producto cruz de dos vectores satisface la ecuacin:

Donde = Vector unitario perpendicular al plano 0, 1 y 2Como los vectores son paralelos, no hay ngulo que forme, por lo tanto , entonces:

= 0(

Igualando las tres ecuaciones:

}

Esta es la ecuacin de la lnea de corriente en el campo de la velocidad para un instante Donde, recordamos que:

TRAYECTORIASe define trayectoria la curva que marca el camino que sigue una partcula con el transcurrir del tiempo.

Ecuacin analtica de la trayectoria

Si r indica la posicin de una partcula, su velocidad es:

De la solucin de esta ecuacin se obtienen las ecuaciones paramtricas de las lneas de trayectoria, resolviendo:

+

Igualando y ordenando:

La expresin anterior constituye la ecuacin analtica de la trayectoria.

TUBO DE CORRIENTEUn tubo de corriente es aquel cuyas paredes estn formadas por lneas de corriente. Satisface la condicin de que el fluido no puede atravesar sus propias paredes. Si la seccin del tubo es infinitesimal, este se llama hilo de corriente. El volumen encerrado se conoce como vena lquida o vena fluida.

VII. CAMPO POTENCIAL, SOLENOIDAL Y ARMONICO7.1. CAMPO POTENCIAL: Es un campo vectorial en el que existe una funcin escalar (denominada funcin potencial o potencia), tal que:

Dnde:

= campo potencial vectorial

= funcin escalar o funcin potencial de

Calculemos el donde

Lo que demuestra que si el campo de es potencial, es Irrotacional; lo cual justifica que se pueda decir indistintamente campo potencial o campo Irrotacional.

Para el caso particular del campo vectorial de velocidades,

Es un campo potencial de velocidades

= funcin potencial de velocidades

Verificndose tambin: Lo que justifica que el campo potencial de velocidades es un campo Irrotacional.

Por definicin de son ortogonales7.2.-CAMPO SOLENOIDAL.Es un campo vectorial, en el que existe una funcin vectorial (denominada funcin solenoidal), tal que:

Dnde:

= Campo solenoidal

= funcin solenoidal vectorial de

Calculemos la divergencia de : , donde:

.( x ) =+).

= - ) + - ) + - )

Sumando trminos obtenemos:

Lo que demuestra que si el campo de es solenoidal, se verificar que su divergencia es nula.

Adems se cumple que es normal a ; para que el producto escalar sea cero Para el caso particular del campo de velocidades:

= Es un campo solenoidal de velocidades

= Es una funcin solenoidal vectorial de

Verificndose tambin:Condicin de flujo incompresible (lquidos).

7.3.-CAMPO ARMNICO O LAPLACEANO.Es un campo vectorial, que sucede para flujos incompresibles y que adems es Irrotacional Por ser incompresible; el campo cumple:

(1) Condicin de campo solenoidal

Por ser Irrotacional; el campo cumple:

y (2) Condicin de campo potencial

(2) (1)

Ecuacin de Laplace o Laplaceano

En resumen un campo es armnico cuando cumple la ecuacin de Laplace, donde recibe el nombre de funcin armnica.

En conclusin:DEFINICION FORMULA

CAMPO POTENCIALSe denomina campo vectorial irrotacional F, aquel cuyo rotacional es nulo, es decir: rot F = 0

CAMPO SOLENOIDALSe denomina campo vectorial solenoidal F, aquel cuya divergencia es nula, es decir:div F = 0

CAMPO ARMONICOEs un campo vectorial, que sucede para flujos incompresibles y que adems es Irrotacional

EJERCICIOSEJERCICIO 1 Dado el siguiente potencial de velocidad:

a) Comprobar si la funcin es Laplaceana.b) Hallar la expresin del campo vectorial de velocidades.Solucin:a) Comprobacin de la funcin Laplaceana: Ecuacin de Laplace

Es una funcin armnica.b) Determinacin del Campo vectorial de Velocidades.

Condicin de Campo potencial, Irrotacional (pues si la funcin es armnica, entonces el campo es potencial o Irrotacional)

EJERCICIO 2Determinar la ecuacin de las lneas de corriente de un flujo permanente, bidimensional, simtrico respecto al eje y, dirigido en sentido contrario al positivo del mismo, que choca contra un placa horizontal contenida en el plano x,z cuyo campo de velocidades est definida por las componentes.

SOLUCION:Se sabe que la ecuacin de lnea de corriente est dada de la siguiente manera

= 0( Igualamos valores:

Remplazamos valores en la ecuacin de lnea de corriente en el campo de velocidad = 0(

Integramos para hallar la ecuacin de la lnea de corriente:

EJERCICIO 3El viento sopla horizontalmente con velocidad uniforme vo y, de modo independiente del tiempo, contra una chimenea vertical de radio R. Supuesto el flujo irrotacional, la variacin de la velocidad sobre el eje x, en la proximidad del punto de estancamiento, queda determinada por la expresin: vx= vo

La velocidad v alrededor de la superficie del cilindro es: vo = -2 vo.senDeterminar las componentes tangencial y normal de la aceleracin para:

Solucin:

; EJERCICIO 4Una tobera est diseada de manera tal que la velocidad vara en funcin de la longitud x o sea

Donde la velocidad es la entrada y es la longitud de la tobera. La velocidad de entrada es y la longitud de . La velocidad es uniforme a travs de cada seccin.Encuentre la aceleracin media a travs de la tobera ()

Solucin: Es obvio que hay aceleracin entra a 10 m/s y sale a 20 m/s. No hay aceleracin local porque el flujo es estable, de manera que la aceleracin es debida a la aceleracin convectiva.

EJERCICIO 5Sea el campo de velocidad para un fluido est dado por

Encuentre la aceleracin en la direccin en el punto (1, 2,2) cuanto Solucin

Las componentes de la velocidad son

FIAU ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL44