EL METODO DIFERENCIAL PARA EL ANALISIS DE FLUJO

EL METODO DIFERENCIAL PARA EL ANALISIS DE FLUJOUNIVERSIDAD ALAS PERUANASmiuler

ECUACIN DIFERENCIAL DE LA CONTINUIDADEnfsica, unaecuacin de continuidadexpresa unaley de conservacinde forma matemtica, ya sea de formaintegralcomo de formadiferencial.La mecnica de fluidos es el estudio de los fluidos en movimiento o en reposo y los efectos subsecuentes del fluido sobre las fronteras que lo contienenEl flujo de un fluido satisface leyes bsicas de la fsica, como se recordara la ecuacin integral de continuidad est dada por:

La ecuacin diferencial de continuidad que no es ms que la ley de conservacin de la masa, en este caso se utiliza el teorema de Gauss para convertir la integral de superficie del primer miembro de la ecuacin de continuidad, en una integral de volumen.

Donde al sustituir se obtiene:

Llevando el segundo miembro de la ecuacin al primer miembro y permutando la derivada con la integral se obtiene:

Para que la integral sea cero, puesto que el volumen de control es arbitrario, necesariamente se debe cumplir que:

Esta ltima ecuacin, es la forma diferencial de la ecuacin de continuidad.Para flujo permanente:

Y para flujo incompresible:

Dicha ecuacin tambin puede ser expresada en cualquier sistema de coordenadas. As por ejemplo, en coordenadas cartesianas:

ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE CANTIDADDE MOVIMIENTO:ECUACIN DE MOVIMIENTO DE CAUCHY.

Considerando la primera ley del movimiento de NEWTON aplicadas a una partcula fluida en el seno de un campo fluido o flujo, se pueden establecer el principio de conservacin de cantidad de movimiento para una partcula fluida: en una partcula en equilibrio su cantidad de movimiento se conserva; ello permite establecer como nula la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula.Una partcula fluida es una porcin de fluido de dimensiones infinitesimales y arbitrarias.Para su anlisis, la partcula fluida se asla del fluido que la envuelve mediante las superficies de contacto partcula-fluido, y en este estado de equilibrio de la partcula aislada, se analizan las fuerzas que la mantienen en equilibrio; estas fuerzas se dividen en tres tipos:FUERZA DE VOLUMEN:En funcin de que la masa de fluido (contenida en el volumen de la partcula) est en una determinada posicin de un campo de fuerzas.FUERZAS DE SUPERFICIE: Las fuerzas de contacto, que sobre las superficies de la partcula, ejerce el fluido que la rodea.FUERZAS DE INERCIA: Las fuerzas de inercia que el fluido ejerce sobre su entorno, vienen dada por su masa y por su aceleracin; y la fuerza de inercia de reaccin correspondiente (3 ley de Newton del movimiento) del entorno del flujo sobre la partcula fluida.

FLUIDO NO VISCOSO: ECUACIN DE EULERPara poder utilizar la ecuacin de movimiento de CAUCHY, es necesario conocer los trminos de las tensiones viscosas. El caso ms simple es cuando el fluido es no viscoso, y son idnticamente nulas todas las tensiones viscosas.

FLUJO NO VISCOSO EN PUNTOS DE LNEA DE CORRIENTE: EC. DE BERNOULLIEn la ecuacin de Euler en puntos de una lnea de corriente, la nica condicin restrictiva es considerar flujo no viscoso.La Ec. de BERNOULLI, tambin se suele expresar en trminos de presin:

p + 1 v 2 + gz = cte.2

REPRESENTANDO CADA TRMINO:

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p = presin absoluta o termodinmica .pv 2

= presin dinmica

gz = presin hidrosttica p + 1 v 2 = presin de estancamiento2p + gz = presin piezomtrica

FLUIDO NEWTONIANO: ECUACIONES DE NAVIER-STOKESPara un fluido newtoniano las tensiones viscosas son proporcionales a las velocidades de deformacin.LA FUNCIN DE CORRIENTE Y LA FUNCIN POTENCIALLA FUNCIN DE CORRIENTE:Se puede obtener que en una lnea de corriente no hay cambio en la funcin , por lo que a la citada funcin se le denomina funcin de corriente: Ecuacin lnea de corriente: dx = dy v dx + u dy = 0 u v Introduciendo la funcin de corriente: dx + dy = 0 = d = cte. x yLA FUNCIN POTENCIAL:Consideremos como nica restriccin que el flujo es ir rotacional, con ello se tiene que la verticidad es nula y se obtiene que el vector velocidad es el gradiente de una funcin escalar5, a la que se denomina funcin potencial de velocidad.

ECUACIN DIFERENCIAL DE CONSERVACIN DE ENERGA: ECUACIN DE ENERGAEl principio de conservacin de energa (PRIMER PRINCIPIO DE TERMODINMICA) aplicado a una partcula fluida, establece que la energa total de la partcula fluida es constante, siempre que no existan aportes energticos por transferencia de calor o de trabajo.Siguiendo el criterio termodinmico de signos, se consideran como positivos el trabajo desarrollado por la partcula y el calor aportado a la partcula, y como negativos el trabajo consumido por la partcula y el calor cedido por la partcula.ECUACION DE ENERGIA INTERNAIntroduciendo el trmino de funcin de disipacin viscosa en la ecuacin de energa, y utilizando la ecuacin de Navier-Stokes para un fluido newtoniano multiplicada escalarmente por la vector velocidad, para que desaparezca el trmino, se obtendr una expresin de la ecuacin de energa en donde no aparecen las energas cinticas ni potencia, solo la energa interna.ECUACIN DE ENTALPALa entalpa es la suma de la energa interna y el trabajo de flujo, con lo que la variacin temporal de la entalpa; el trmino de variacin temporal de la densidad, se puede expresar en funcin de la divergencia de la velocidad.ECUACIN DE ENTROPAEl termino de disipacin de energa es siempre positivo, con lo que genera siempre aumento de entropa: es lo inherente al Segundo Principio de Termodinmica: las irreversibilidades hacen aumentar la entropa; el trmino de transmisin de calor por conduccin, aumenta la entropa si el flujo de calor es positivo (es decir se calienta el flujo) y disminuye la entropa si en flujo de calor es negativo ( es decir se enfra el flujo).CONDICIONES DE CONTORNOLas ecuaciones de continuidad y de energa son ecuaciones diferenciales escalares y la ecuacin de movimiento es vectorial, por lo que entre todas aportan 5 ecuaciones diferenciales escalares. En cuanto a las incgnitas se tienen: la densidad (), las componentes del vector velocidad (u,v,w), la presin (p), la temperatura (T) y la energa interna (), es decir se tienen 7 incgnitas, por lo que para poder tener un sistema homogneo de ecuaciones es necesario disponer de 2 ecuaciones adicionales; estas ecuaciones son las ecuaciones de estado de constitucin del propio fluido considerado:

Ecuacin trmica de estado: = (p,T)Ecuacin calrica de estado: = (p,T)

ECUACIONES DE EULER (FLUIDOS) Endinmica de fluidos, lasecuaciones de Eulerson las que describen el movimiento de unfluidocompresible no viscoso. Su expresin corresponde a lasecuaciones de Navier-Stokescuando las componentes disipativas son despreciables frente a las convectivas, esto nos lleva a las siguientes condiciones que se pueden deducir a travs del anlisis de magnitudes de las Navier-Stokes:

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artculo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservacin de masa, momento y energa. Estas ecuaciones se llaman as en honor de Leonhard Eulerquien las dedujo directamente de lasleyes de Newton(para el caso no-relativista).

EL MTODO DE EULER DE INTEGRACIN NUMRICA

A grandes rasgos, se puede decir que las primeras contribuciones, en el siglo XVII, a la integracin de las ecuaciones diferenciales buscaron la hoy llamada (de modo contundente) integracin elemental, es decir la reduccin mediante cambios de variables, manipulaciones algebraicas y otros artificios, a menudo ingeniosos y altamente especficos, a problemas de cuadraturas. La incapacidad de los mtodos elementales para integrar algunos problemas importantes pronto fue aparente y se introdujeron tcnicas de mayor potencia y generalidad, como la solucin por series, empleada ya por el propio Newton. Aunque hoy da disponemos de una panoplia amplsima de armas con que acometer la integracin de las ecuaciones diferenciales, no es exagerado afirmar que en la prctica, son los mtodos numricos, introducidos por Euler, los que permiten en toda clase de situaciones dar soluciones efectivas con xito.

TEORA DEL FLUJO POTENCIAL

Dinmica de flujo sin viscosidad e irrotacionalEl principio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido movindose a lo largo de una lnea de corriente. Y este expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en rgimen de circulacin por un conducto cerrado, la energa que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energa de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes:

1. CINTICO: Es la energa debida a la velocidad que posea el fluido.

2. POTENCIAL GRAVITACIONAL: Es la energa debido a la altitud que un fluido posea.

3. ENERGA DE FLUJO: Es la energa que un fluido contiene debido a la presin que posee.

La siguiente ecuacin conocida como "Ecuacin de Bernoulli" consta de estos mismos trminos.

EL POTENCIAL DE VELOCIDADES:Se puede observar que, si el flujo es irrotacional, existe una funcin escalar () del espacio y del tiempo tal que su derivada en una direccin cualesquiera es la componente de la velocidad del fluido en esa direccin. Matemticamente, la funcin escalar, en flujo bidimensional, se define por las ecuaciones:

A la funcin se le llama velocidad potencial, y los campos de flujo que son irrotacionales se les llaman flujos potenciales. Un requisito fundamental del flujo irrotacional, es que los flujos potenciales cumplan con la ecuacin de Laplace o Laplaciano de la funcin

LA FUNCIN CORRIENTE:En flujo incompresible permanente, no pude fluir materia a travs de las lneas de corriente ya que por definicin las velocidades de las partculas son tangentes a ellas, o sea que se cumple con:

Para toda trayectoria diferencial ds sobre la lnea de corriente, de la cual se deducen las ecuaciones de las lneas de corriente en este caso bi-dimensional segn vimos en el Mdulo 1, que para el caso 2D es:

FLUJOS POTENCIALES PLANOS:El caso ms sencillo de flujo potencial es el bidimensional, esto es, cuando elmovimiento de un fluido se produce paralelamente a un plano, de manera quela terceradimensin no entra en ninguna ecuacin. Por una parte, al ser plano elmovimientose puede definir una funcin de corriente quedescribelas lneas de corriente, y por otra parte, al ser flujo potencial, la velocidad est determinada por el potencial (x,y,z,t).