ANUALIDADES CIERTASIntroduccinEn los negocios existen situaciones en las que debe decidirse entre una o ms opciones; por ejemplo comprar a crdito o al contado, es decir, efectuar un pago nico o una serie de pagos en el futuro, ya sea que esos pagos sean fijos o variables en el tiempo, tambin puede presentarse la necesidad de acumular un fondo de ahorro para despus de cierto tiempo disponer de l por medio de retiros peridicos, por ejemplo; o bien si se conoce el capital necesario a invertir hoy, para tener la garanta de efectuar retiros futuros, se preguntara por el importe de esos retiros, para saber cul es la mejor opcin debe emplearse una medida estndar o herramienta que compare todas las opciones, esta medida considera el valor, en este momento, de la serie de pagos futuros, o bien su valor en el futuro, cuando ya todos los pagos se han realizado; se habla as del valor presente y del valor futuro, respectivamente, de la serie de pagos.

Debe sealarse que la tcnica empleada ms frecuentemente en la toma de decisiones en los negocios es la del valor presente. A quin se le paga? los pagos o rentas denotan indistintamente cantidades de dinero que nos pagan o que pagamos, es decir, pueden ser series de depsitos para efectos de acumulacin o propiamente series de pagos que cancelan deudas, el objetivo de este captulo es conocer, calcular e interpretar series de obligaciones en el largo plazo para adquirir financiamiento, reestructurar deudas o crear fondos de ahorro.DefinicionesUna anualidad se define como una serie de pagos (o rentas) generalmente iguales realizados a intervalos regulares de tiempo los pagos pueden efectuarse al inicio o al final del intervalo.La palabra anualidad no se refiere necesariamente a pagos realizados anualmente: stos a menudo se realizan con otras periodicidades, tales como das, semanas, meses, bimestres, trimestres, entre otros muchos varios factores relacionados con el tiempo afectan el valor presente o el valor futuro de una anualidad: Vamos a estar usando frecuentemente los siguientes trminos: Periodo de pago de una anualidad: Es el tiempo que transcurre entre cada uno de los sucesivos pagos de la anualidad. Renta: es la cantidad que paga la anualidad en cada periodo. Plazo: es el tiempo en que se mantiene vigente la anualidad. Monto de la anualidad: Es el valor de todos los pagos de la anualidad valuados a la fecha de vencimiento de la operacin (que en realidad es la suma de los montos individuales). Valor actual: (o valor presente) es la suma del valor presente de cada pago de la anualidad valuado en la fecha de inicio de la operacin. Intervalo de pago o periodo de pago: longitud de tiempo entre cada pago sucesivo de la anualidad.A continuacin se muestra grficamente los diferentes tiempos involucrados en una anualidad; debe notarse que a partir de ahora, la subdivisin de los intervalos en la recta de tiempo se refiere a periodos de pago de la renta. Periodo de pago1 2 3 . . .

0 n nmero de pagos Peridicos plazo o trmino de la anualidad

Clasificacin de las anualidades. Existen varias formas de clasificar las anualidades: de acuerdo al plazo, de acuerdo al momento en que se lleven a cabo los pagos y de acuerdo al momento en que inicie la anualidad. Por el plazo. 1. Ciertas. 2. Contingentes.

Por el momento del pago. 1. Anticipadas. 2. Vencidas.

Por el momento en que inicia la anualidad. 3. Inmediatas. 4. Diferidas.

Intereses. 5. Simples. 6. Generales.

A diferencia de las anualidades ciertas, el pago de las anualidades contingentes depende de la ocurrencia de un evento (contingente) que determina si la anualidad se paga o no, por ejemplo, una pensin que se paga si la persona est viva, entonces la discontinuidad del pago de la pensin (anualidad) depende de la muerte del individuo (evento contingente). Cuando se trata de anualidades ciertas se conocen las fechas de todos los pagos de la anualidad, es decir, hay certidumbre en los pagos, de ah el nombre de anualidades ciertas. Si los pagos de una anualidad se efectan al principio de cada periodo, entonces se trata de una anualidad anticipada, si por el contrario, los pagos se efectan al final de cada periodo, entonces es una anualidad vencida. Cuando estamos lidiando con anualidades diferidas, los pagos de la anualidad comienzan tiempo despus de haber pactado el convenio, por ejemplo, si se compra un electrodomstico a crdito, y el comprador acuerda pagar los abonos mensualmente, pero hasta seis meses despus de haber adquirido el aparato, Entonces se trata de una anualidad diferida. En cambio con las anualidades inmediatas, los pagos comienzan en el momento en que el convenio se pacta. Cuando decimos anualidad simple, no nos estamos refiriendo a que los clculos se hacen con inters simple, es ms bien que los periodos de capitalizacin del inters compuesto coinciden con los periodos de los pagos de la anualidad. En general, en todos los clculos que se hacen para anualidades utilizamos inters compuesto. En una anualidad general, los periodos de capitalizacin no coinciden con los periodos de pago de la anualidad, es por ello que se trata de un caso ms general de la anualidad. Hasta este punto combinando todas las variantes, llevamos 16 tipos de anualidades, estos tipos de anualidades son los casos ms estudiados, sin embargo, existe otra variante en las anualidades: anualidades de rentas variables, que se da cuando los pagos no son constantes, casos de rentas variables ms aplicados son cuando los pagos se encuentran en progresin aritmtica y, por supuesto, progresin geomtrica. TAMBIEN SE CLASIFICAN Atendiendo a la certeza con la que se realiza la serie de pagos (rentas)1. Anualidades ciertas: se conoce el momento en que se realiza el primer pago y el momento del ltimo pago de la serie, es decir, el plazo y, por lo tanto, el nmero de pagos a efectuarse; se tiene la certeza de que se efectuarn todos los pagos, el acreedor tiene la seguridad de que recuperar su capital, junto con los intereses.Ejemplos:Ejercicio # 1Cuanto debe invertir M al final de cada 3 meses, durante los prximos 4 aos, en un fondo que paga el 4% convertible trimestralmente con el objeto de acumular $2500?DatosS = 2500i = 0.04 4 = 0.01n = 4 aos 4 = 16R = ?

DESARROLLO

Respuesta= 144,86.Ejercicio # 2Una ciudad emite $100000 en bonos a 20 aos y constituye un fondo para rendimirlos a su vencimiento. Cunto debe tomarse anualmente de los impuestos para que este propsito si el fondo produce el 2,5?

R = ?i = 2.5% 0.025 n = 20 aosS = 100000

Ejercicio # 3Mara compra un piano que cuesta $1250. Paga $350 iniciales y acuerda hacer pagos mensuales de X dlares cada uno por los prximos 2 aos venciendo el primero en un mes. Hallar X con intereses al 8% convertible mensualmente.Datos:R = ?i = 0.08 12 = 0.0066n = 2 aos 12 = 24A = 1250 350 = 900

Entonces de la frmula de A despejamos R y tenemos:

Respuesta = 40,71.

Ejercicio # 4Al 1 de mayo de 1970, M tiene $2475.60 en un fondo que paga el 3% convertible trimestralmente. Haciendo depsitos trimestrales iguales en el fondo, el 1. De agosto de 1970 y el ltimo el 1 de noviembre de 1976, tendr en esta ltima fecha $10000 en el fondo. Hallar el depsito requerido.

Datos:

n = 6.5 aos 4 = 26i = 0.03 4 = 0.0075S = 10000C = 2475.60

2. Anualidades contingentes: la serie de pagos no es cierta porque dependen de la realizacin de un hecho fortuito, por ejemplo, pagos que se realizan si ocurre o no un evento contingente, tal como la enfermedad, la invalidez, la jubilacin etc.; es decir, en ellas interviene la probabilidad para que se mantenga una condicin preestablecida para mantener el flujo de pagos; en general se les conoce como pensiones; para su valuacin se emplea la estadstica y la probabilidad. si los pagos se realizan mientras no hay agotamiento de recursos naturales, la anualidad recibe el nombre de perpetuidad; la serie de pagos se realiza indefinidamente, sin lmite de tiempo.El tipo de anualidades que existe es muy amplio, aunque algunas son poco factibles de aplicar en la prctica tienen un sentido terico. Las anualidades se clasifican en el mbito actuarial segn las siguientes caractersticas:1. Discreta:cuando la obligacin se paga en periodos regulares finitos.2. Anual:cuando el periodo de pago es de un ao.3. Fraccionaria:cuando el pago se hace en periodos inferiores a un ao.4. Continua:cuando el pago de la obligacin contingente es proporcional al tiempo transcurrido.5. Constante:cuando el monto del pago no vara en el tiempo.6. Variable Aritmticamente:cuando el monto del pago se incrementa en un monto constante anual.7. Variable Geomtricamente:cuando el monto se incrementa en un porcentaje del pago anterior.8. No indexadas:cuando el monto del pago est definido en pesos.9. Indexadas:cuando el monto del pago est nominado en otra moneda o en ndices inflacionarios.10. Anticipada:cuando los pagos se hacen al inicio de cada periodo.11. Vencida:cuando los pagos se hacen al final de cada periodo.12. Inmediata:cuando los pagos darn inicio en el presente.13. Diferida:cuando los pagos darn inicio en el futuro.14. Temporal:cuando los pagos durarn un periodo finito definido.15. Vitalicia:cuando los pagos durarn indefinidamente mientras viva la persona.Sies el nmero de personas que recibirn simultneamente una renta vitalicia vencida (al final del ao), entonces el valor presente de las obligaciones de ese pago que se har a cada uno de los que estn con vida a cada ao ser:

DondeEs decir el valor presente de una unidad monetaria trada al presente x periodos de tiempo a una cierta tasa de inters ().Si dividimos el valor presente de esas obligaciones entre el nmero de personas que se encuentran con vida al inicio del tiempo, se llega a que:

Esto es equivalente a;

Es decir la anualidad es el valor presente de un peso ponderado por la probabilidad de que una persona de edad(), se encuentre con vida. Este mismo razonamiento es el que se sigue para establecer la frmula de los otros tipos de anualidades contingentes.3. Atendiendo al momento en que se pagan las rentas

Anualidades anticipadas: si la serie de pagos o rentas se efectan al inicio de los periodos de pago.

Anualidades vencidas: si la serie de pagos o rentas se efectan al final de los periodos de pago.

Anualidades diferidas: puede considerarse un caso particular de la serie de pagos vencida: cuando la primera renta se efecta algunos periodos despus de que se formaliza la operacin y no desde un principio. Una anualidad diferida es aquella cuyo plazo comienza hasta despus de transcurrido un cierto intervalo de tiempo desde el momento en que la operacin qued formalizada. este momento recibe el nombre de momento inicial o presente. el intervalo de tiempo que transcurre entre el momento inicial y el inicio del periodo de pagos se llama periodo de gracia; este periodo se mide utilizando como unidad de tiempo el correspondiente a los periodos de pago. Mientras transcurre el periodo de gracia se pueden verificar dos situaciones:

Que al final de cada periodo se paguen los intereses del capital original. en este caso se dice que hay servicio de intereses. el capital permanece constante durante todo el periodo de gracia, de tal manera que el capital al comienzo del plazo es igual al capital original. Que los intereses generados se capitalicen en cada periodo, dentro del periodo de gracia. en este caso, el valor del capital al comienzo del plazo ser igual al capital original ms los intereses capitalizados.4. Atendiendo al importe de los pagos o rentas Anualidades fijas: si el importe de la serie de pagos no cambia en el tiempo. Anualidades variables: si el importe de la serie de pagos cambia en el tiempo. los pagos pueden aumentar o disminuir de acuerdo con un comportamiento predecible, estos cambios en el importe del pago son del tipo aritmtico o geomtrico; por ello se habla de las anualidades variables, como series de pagos en progresin aritmtica o en progresin geomtrica, respectivamente. 5. Atendiendo a la tasa de inters Anualidad con tasa de inters fija: si la tasa de inters no cambia durante el trmino de la anualidad. Anualidad con tasa de inters variable: si la tasa de inters cambia durante el trmino de la anualidad.De acuerdo con las clasificaciones anteriores, se habla de:1) anualidades fijas con tasa fija.2) anualidades fijas con tasa variable.3) anualidades variables en progresin aritmtica o geomtrica. a) Con tasa fija. b) Con tasa variable.Las anualidades que trabaja usualmente el administrador son las anualidades ciertas, vencidas y anticipadas, con pagos fijos a tasa fijas y con pagos fijos a tasa variable son stas las que se abordan en este documento.

ANUALIDADES DONDE LA FRECUENCIA DEL PAGO PERIDICO R COINCIDE EN EL PERIODO DE PAGO DE LA TASA DE INTERSA continuacin se muestra el caso de una anualidad fija (o serie de pagos R), con una tasa de inters fija por periodo de pago de la renta; los pagos se realizan en forma vencida.

R R R R 0 1 2 . . . n 1 n

Valor 1 valor 2 Anualidad Anualidad Valor presente Valor futuroSe aprecia que hay una relacin inversa entre el valor presente y la tasa de inters: a medida que sta aumenta, aqul disminuye; este resultado permite obtener condiciones favorables para las partes involucradas en la operacin el prestatario puede cancelar sus deudas (o serie de deudas) en una sola exhibicin cuando la tasa contratada aumenta, obtendr as una reduccin significativa en el pago de intereses, por ejemplo; en la parte (b) de la misma grfica la relacin es ms evidente: a medida que aumenta la tasa de inters, el valor acumulado tambin aumenta, es decir, se presenta una relacin directa.0.90.80.70.60.50.4 0.30.20.10valor presente160 140 120 100 80 60 40 20 0 valor futuro

Ms evidente: a medida que aumenta la tasa de inters, el valor acumulado tambin aumenta, es decir, se presenta una relacin directa. EJEMPLO # 1

EJERCICIO # 2 DEDUCCIN DE LA FRMULA DEL MONTO DE UNA ANUALIDAD SIMPLE, CIERTA, VENCIDA E INMEDIATA Y DESPEJE DE SUS LITERALES.

Cuando calculamos el monto de una anualidad lo que estamos haciendo es calcular la suma de cada monto (individual) que conforma la anualidad, valuando cada pago en la fecha donde termina la anualidad, grficamente se vera as:

P 1Iniciot=0Periodo 1t=1Periodo 2t=2Periodo 3t=3Periodo n t=nP 2P 3 P n

DETERMINE EL MONTO.Ejercicio # 1Un empleado de una fbrica gana $14,000 mensuales, un contador le recomienda que ahorre el 10% de su salario en una cuenta bancaria que paga el 1.5% de inters efectivo mensual. Si el empleado sigue este consejo, a cunto ascendera su cuenta al final del cuatrimestre? Solucin: Evidentemente se trata de una anualidad cierta, vencida e inmediata, con pagos periodos mensuales entre los pagos. Con las tcnicas de matemticas financieras que hemos estudiado hasta ahora, tendramos que obtener el monto de cada depsito y luego sumarlos para hacer el clculo final. P 1P 2P 3 =$1,400=$1,400=$1,400 =$1,400M =1 400 =1 421.00 (1+i) M =1 400 =1 442.31(1+i)M =1 400(1+i) =1 463.94P 4 1233 2 1

InicioMes 1Mes2Mes 3Mes 4t=0t=1t=2t=3t=4 Mes Cantidad Monto

La siguiente tabla muestra el monto de cada depsito y la suma: 1 $1,400 ??1=1 400 1+?? 3=1 463.94 2 $1,400 ??2=1 400 1+?? 2=1 442.31 3 $1,400 ??3=1 400 1+?? 1=1 421.00 4 $1,400 ??4=1 400 1+?? 0=1 400.00 Total $5,727.26

Entonces, al final de los cuatro meses el empleado tendr $5,727.26 en su cuenta. Si en el ejemplo 1 no tomamos en cuenta solo el primer cuatrimestre, sino un ao completo o varios aos, calcular cada monto resulta bastante engorroso, es por ello que necesitamos una tcnica ms sencilla de calcular las anualidades. Supongamos que necesitamos saber la cantidad de dinero que acumular una cuenta que paga a una tasa de inters efectiva , despus de estar depositando una cantidad fija de dinero (renta), durante periodos, podemos calcular el monto total en la cuenta a travs de la suma: En esta suma tenemos escritos desde el ltimo trmino hasta el primer trmino (que se acumula n+1 periodos), como estamos valuando el monto en la fecha donde se deposita el ltimo pago (primer trmino), entonces ste no genera intereses. Claramente, la suma anterior es la suma de los primeros trminos de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es , y la razn es (1 + ). Recordemos que podemos calcular este tipo de sumas con la ecuacin: Aqu representa el monto de la anualidad; sustituyendo las variables tenemos la siguiente expresin: Multiplicando por el factor Es la frmula que usaremos para calcular el monto de una anualidad. DETERMINE EL MONTO. Ejercicio # 2

Un empleado de una fbrica gana $14,000 mensuales, un contador le recomienda que ahorre el 10% de su salario en una cuenta bancaria que paga el 1.5% de inters efectivo mensual. Si el empleado sigue este consejo, a cunto ascendera su cuenta al cabo de dos aos? Solucin: Se trata del ejemplo 1, pero con dos aos de vigencia, entonces en total sern 24 meses en que estar depositando a la cuenta. Para calcular el monto vamos a utilizar la expresin: Sustituyendo queda Al evaluar la expresin tenemos que = $40,086.92

Es el monto que tendr despus de depositar $1,400 mensualmente durante dos aos. Determine el monto. Ejercicio # 3Un estudiante est por entrar a la universidad y solicita una beca que pagar la cantidad de $1,500 al final de cada mes durante todo el semestre, sin embargo an no termina de tramitar su certificado de estudios de bachillerato, el departamento de servicios escolares le informa que el documento estar listo cinco meses despus de que ingrese a la universidad. El estudiante expone el problema al jefe del departamento de becas de la universidad y ste le explica que la beca tiene la caracterstica de ser retroactiva, esto significa que en el momento en que el presente todos los documentos correspondientes le entregan el monto de todas las mensualidades atrasadas, mientras tanto, el dinero se deposita en una cuenta que paga el 15% de inters anual capitalizable mensualmente. Cul ser el monto total que recoger el estudiante cuando le entreguen su certificado? Solucin: Podemos identificar que se trata de una anualidad cierta, vencida e inmediata, estamos interesados en saber el monto de los pagos hasta el quinto mes, en primer lugar, necesitamos conocer la tasa de inters efectiva: Ahora solo resta aplicar la frmula para encontrar el monto de la anualidad: Sustituyendo queda Al evaluar la expresin tenemos que = $7,689.85 Es el monto que recibir si entrega su certificado en el quinto mes. Supongamos ahora que, en el caso de una anualidad cierta, vencida e inmediata, conocemos el monto, periodos y tasa de inters, pero no conocemos la renta, para calcularla, tenemos que despejar la variable R de la ecuacin: Es la frmula que utilizamos para calcular la renta. Ahora, si lo que se desconoce es la cantidad de periodos de la anualidad, la variable que tenemos que despejar en n, de la siguiente manera. Aplicando la funcin logaritmo natural en ambos miembros de la ecuacin, queda: Entonces para calcular el tiempo, aplicamos la frmula: DETERMINE LA RENTA.Ejercicio # 1Un grupo de jvenes quieren formar una banda de Rock, para ello, necesitan comprar una Batera que cuesta $7,500.00 por el momento no tienen dinero, y le piden a la tienda que se las venda a crdito, el gerente les explica que no puede concederles el crdito porque no puede comprobar ingresos, entonces les propone que al final de cada mes entreguen una cantidad a la tienda, para que se vaya acumulando y dentro de cinco meses cuando completen el monto, les entrega la batera. De cunto tendr que ser el pago si el gerente de la tienda ofrece un inters efectivo mensual del 1%? Solucin: El ejercicio nos proporciona los siguientes datos: = 5 = 1% = 0.01 = $7,500 Solo hace falta aplicar la frmula para calcular la renta de la anualidad. Sustituyendo Entonces el grupo pagar la cantidad de $1,470 mensuales para tener su batera en cinco meses. DETERMINE EL NMERO DE PERIODOS. Ejercicio # 1Un padre de familia desea comprar un fideicomiso para asegurar los estudios universitarios de su hija recin nacida. El padre calcula que su hija ingresar a la universidad a los 19 aos, y que necesitar alrededor de $500,000 para cubrir los gastos de la universidad. Para constituir el fondo el padre est dispuesto a depositar $900 mensualmente en una cuenta desde mucho tiempo antes de que su hija entre a la universidad. Con cuanta anticipacin deber empezar a depositar en una cuenta bancaria que paga 1.2% mensual, para que cuando su hija tenga 19 aos, el fondo ascienda al menos a $500,000? Solucin: Es claro que se trata de una anualidad simple, vencida e inmediata; entonces procedemos al clculo utilizando la ecuacin que dedujimos para el cmputo del nmero de periodos: Sustituyendo Es claro que no pagar un nmero fraccionado de meses; entonces para constituir el fondo, el padre debe comenzar a pagar con 171 meses de anticipacin, que se traduce en 14 aos y 3 meses, o sea, deber depositar el primer pago al final del mes en que la hija cumpla 4 aos 9 meses.DEDUCCIN DE LA FRMULA DEL VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD SIMPLE, CIERTA, VENCIDA E INMEDIATA.

Suponga ahora que estamos interesados en conocer el valor actual (valor presente) de una anualidad con pagos constantes (), con una tasa de inters (). Para conocer el valor actual de la anualidad sumamos el valor actual (de la misma manera como calculamos el capital inicial) de cada pago. Entonces, tenemos que calcular el valor de la siguiente suma.

Donde C es el valor actual de la anualidad. En esta suma, los trminos estn ordenados desde el primero hasta el ltimo pago, como lo muestra la ilustracin. RIniciot=0Periodo 1t=1Periodo 2t=2Periodo 3t=3Periodo n t=n....V =R(1+i) -1 1V =R(1+i) -2 V =R(1+i) -3 V =R(1+i) -n n . . . . RRR 2 3

Claramente podemos ver que se trata de la suma de los primeros n trminos de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es , y la razn es ; por lo tanto, para encontrar la suma, podemos aplicar la frmula: Sustituyendo queda Entonces, para encontrar el valor presente de la anualidad, simplemente aplicamos la frmula:

Una manera alterna para llegar a la expresin anterior, es traer a valor presente el monto de la anualidad, es decir, podemos multiplicar el monto por , y queda de la siguiente manera: Que es la misma expresin que habamos encontrado anteriormente.

DETERMINE EL VALOR ACTUAL. Ejercicio # 1Encuentre el valor actual de una sucesin de pagos anuales de $100,000 a una tasa efectiva de 7% durante seis aos. Solucin: Datos: = $100,000 = 7% = 0.07 Aplicando la frmula para encontrar el valor actual: Sustituyendo: Es el valor presente (o valor actual) de la anualidad. DETERMINE EL VALOR ACTUAL.Ejercicio # 1Un empresario, al ver un catlogo de artculos para oficina, observa que hay un nuevo modelo de computadora que le interesa adquirir. El catlogo anuncia un plan de crdito con el que pagar slo $390 mensuales durante 2 aos, adems tambin publica que estn cobrando una tasa de inters de solamente 1% mensual, sin embargo el catlogo no dice el precio de contado del equipo.

Usando los datos que el empresario tiene, calcule el precio de contado de la computadora. Solucin: En esencia, lo que tenemos que calcular es el valor actual de los abonos que se pagan por el equipo. Datos: = $390 = 1% = 0.01 Utilizamos la frmula para calcular el valor actual de una anualidad: Sustituyendo Entonces el valor presente del equipo de cmputo es de $8,284.92 Supongamos ahora, que conocemos el valor presente, el inters y el nmero de pagos de una anualidad simple, cierta, vencida e inmediata, y necesitamos conocer la renta (o el pago), basta con despejar la variable R. Entonces, para calcular el valor de la renta de una anualidad, conociendo el inters, valor actual y periodos, aplicamos la frmula: Algunas veces es necesario calcular el nmero de periodos que tendr una anualidad, si se conocen los otros datos (valor actual, inters y renta) para ello, tenemos que despejar la variable de la ecuacin: Podemos multiplicar por (-1) en ambos miembros de la ecuacin Aplicamos la funcin logaritmo natural. Entonces, para calcular el nmero de periodos de la anualidad, conociendo los dems datos aplicamos la frmula:

DETERMINE LA RENTA.Ejercicio # 1Un banco ofrece prstamos a empresas cobrndoles una tasa de inters de 13% anual. La empresa XX solicita un prstamo por la cantidad de $2, 000,000 y va a solventar la deuda con pagos anuales durante 10 aos. Cul es la cantidad anual que tendr que pagar la empresa XX? Solucin: Tenemos que encontrar la renta de la anualidad teniendo en cuenta los siguientes datos: = = $2,000,000 = 0.13 Utilizamos la ecuacin: Sustituyendo Entonces los pagos anuales para amortizar la deuda sern de $368,579.11. DETERMINE EL NMERO DE PERIODOS.Ejercicio # 1El Sr. Ramrez pretende comprar una televisin en una tienda que ofrece planes de crdito muy verstiles, si lo paga de contado el televisor costar $19,299.00 el Sr. Ramrez explica al vendedor que quiere pagar el televisor con abonos mensuales de no ms de $1,200.00. Si la tienda ofrece un inters mensual efectivo de 1.8%, Cuntos meses estar abonando el pago el Sr. Ramrez? Solucin: Primero, vamos a suponer que todos los pagos son de $1,200; entonces procedemos a calcular el nmero de periodos (meses) que abonar, utilizando la siguiente frmula: Sustituyendo los valores queda Obviamente no habr periodos fraccionados, entonces solo pueden ser 19 o 20 meses, si pagara 19 meses, entonces no terminara de cubrir el costo total ya que el valor actual de 19 pagos de $1,200 es de $19,156.86 si pagara por 20 meses, entonces el valor de los pagos rebasara el costo del aparato ya que el valor actual de 20 pagos es de $20,005.75 entonces lo que generalmente se hace es tomar en cuenta 19 pagos de $1,200 y un vigsimo pago menor a los anteriores, pero, Cmo calcular ese pago?, para calcular ese pago se utiliza una ecuacin de valor de la siguiente forma: . = 19 1 200 + 20 Como vimos anteriormente el valor actual de 19 pagos de $1,200 es de $19,156.86 y para calcular el valor actual del 20 pago utilizamos la expresin donde X es el monto del 20 pago (lo que queremos encontrar), como i=0.018. En esta ecuacin conocemos el valor de , entonces solo resta despejar X.

En conclusin el Sr. Ramrez pagar $1,200 durante 19 meces y en el 20 mes pagar $190.21.

BIBLIOGRAFIA Libro Matemtica Financiera con Excel y Matlab Vicente Mndez Rojas Y Diego Roldan Monsalve.(LINCKCOGRAFA)http://es.wikipedia.org/wiki/Anualidades_contingenteshttps://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&sqi=2&ved=0CBwQFjAA&url=https%3A%2F%2Fmaritzar.files.wordpress.com%2F2011%2F08%2Fejercicios-resueltos-de-anualidades.docx&ei=YT8tVf-AG7PIsQSbr4DYDg&usg=AFQjCNGMKtxqh1rrMz144nEvFsnnfZLXmw&sig2=c9j78M9kAdjTaCBPBNdJPAhttps://www.google.com.ec/?gfe_rd=cr&ei=qWQlVYKCGJGw8wft-oHICA#q=matematicas+financieras+jose+luis+villaloboshttp://es.slideshare.net/kmerejo/matematicas-financieras-3ra-edicion-jose-luis-villaloboshttp://www.monografias.com/trabajos64/anualidades/anualidades.shtmlhttp://es.slideshare.net/rss211060/anualidades-vencidas-anualidades-anticipadashttp://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/31/anuali.htmhttps://www.google.com.ec/?gfe_rd=cr&ei=4zstVZz6J6Sw8wemlIHgDQ&gws_rd=ssl#q=ejercicios%20de%20anualidades%20contingentes}http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:z2MPJdaCNuUJ:https://maritzar.files.wordpress.com/2011/08/ejercicios-resueltos-de-anualidades.docx+&cd=1&hl=es&ct=clnk&gl=ecUNIVERSIDAD CATLICA DE CUENCA

TRABAJO DE:ANUALIDADES CIERTASALUMNAS:DIANA VALENCIAXIMENA NOVILLOVALERIA JARRONOEMI GARCIADIANA BERREZUETACINTHIA MOROCHOMATERIA:MATEMATICAS FINANCIERA

DOCENTE:ING. PABLO BARAHONA CURSO:4TO A DE CONTABILIDAD

PERIODO LECTIVO2014-2015