Trabajo Matemático Jean Gaston Darboux - Matemáticos del sigo XX

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Trabajo de Ampliación de Matemáticas – Matemáticos del Siglo XX – Curso 2010/2011 – Tercer Trimestre –

Profesor: Javier Sanz

Por Marcos Tenrero y Anthony Pucha - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Biografía General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P - 2

Premios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P - 4

Descubrimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P - 5

Los Alumnos de Jean Gaston Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P - 8

Envelope Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P - 9

Aclaraciones del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P - 10

Sylvester Medal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P - 10

Nîmes (Francia) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P - 10

Académie des Sciences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P - 10

Michel Chasles (Asesor del Doctorado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P - 10

École Normale Superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P - 10

Ph.D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .P - 11


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BIOGRAFÍA GENERAL DE JEAN GASTON DARBOUX

Jean Gaston Darboux nació en Nimes, una ciudad situada en el sur de Francia y murió en el año 1917

en París. Realizó muchas contribuciones científicas a lo largo de su vida. La mayoría de las

aportaciones que realizó fueron sobre geometría y análisis matemático.

Realizó la biografía completa de Jules Henri Pointcaré; comúnmente conocido como Henri

Pointcaré, fue un gran matemático , científico teórico y filósofo de la ciencia del sigo 19. Nació en

Nancy ( Francia ) el 29 de abril de 1854 y falleció en París ( Francia ) el 17 de Julio de 1912.

Jean Gaston Darboux recibió un doctorado de investigación ( P H D ) en la Escuela Normal Superior

de París en 1866. La Academia de las Ciencias Francesa le eligió para integrarse como secretario

provisional, no fue hasta el año 1890 cuando se colocó como secretario permanente de la

Academia.

Su principal investigación estaba basada en la geometría uno de sus trabajos más importantes fue

la teoría de los números imaginarios o la aportación de la geometría diferencial .

Contribuyó junto con diferentes matemáticos con el fin de investigar las matemáticas y el cálculo,

alguno de ellos fueron bastante famosos con el paso del tiempo como : Euler, Goursat o Christoffel.

Diferentes descubrimientos también han sido útiles en otras materias como en Física .

Jean Gaston Darboux llegó a presentarse al Liceo de Nimes, aparte de esto, asistió al Liceo de

Montpellier. Ingresó en la "Ecole Polytechnique" o la escuela politécnica en nuestro idioma; en 1861

y, posteriormente, en la École Normale Supérieure o escuela Normal Superior, traducido a nuestro

idioma. Aún en su etapa académica, mostró un gran talento para las matemáticas. Su primer

documento sobre ortogonales de superficies fue publicado mientras estaba como estudiante en la

École Normale Supérieure. Jean Gaston Darboux generalizó los resultados de Kummer dando un

sistema definido por una ecuación con muchas propiedades importantes. El 1 de agosto de 1964,

presentó sus resultados a la Académie des Sciences, o La Academia de las ciencias en Castellano, y

a la vez, Moutard anunció que había dado con el mismo sistema. En la tesis doctoral de Jean Gaston

Darboux “sur les superficies orthogonales” ; En superficies ortogonales, traducido al castellano.

Fueron incluidos esos resultados y, esta tesis le otorgó el doctorado en 1866. En la École Normale

Supérieure, fue nombrado miembro de ella y donde ejerció desde 1872 hasta 1881. Entre 1873 y

1878 fue interino de Liouville en la cátedra de mecánica racional en la Sorbona. Posteriormente, en

1878 se convirtió en el interino de Chasles en la cátedra de geometría superior, también en la

Sorbona. Fue nombrado decano de la Facultad de Ciencias de 1889 a 1903. Jean Gaston Darboux

realizó grandes contribuciones a geometría diferencial y análisis. D. J. struik escribió en uno de sus

libros: <”él siguió en el espíritu de gaspard Monge, y espíritu de Darboux puede detectarse en la

labor de Élie Cartan”>. Más tarde struik escribió:


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<”Confiar en los resultados clásicos de Monge, Gauss y Dupin, Darboux utilizado en su totalidad, en

su propia manera creativa, los resultados de sus colegas Bertrand, Capó, Ribaucour, y demás. Ahora

puede ser conocido por la integrante de Darboux que lleva su nombre”>. Esta integral se

implementó en un documento sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden que escribió en

1870.

En 1875 dio su opinión desde su punto de vista a la integral de Riemann, definir las sumas superiores

e inferiores y la definición de una función a de ser integrable si la diferencia entre las sumas

superiores e inferiores tiende a cero como el tamaño de la malla se hace más pequeña. Se escribió

un libro sobre Jean Gaston Darboux en cyclides y entre 1887 y 1896 se realizaron cuatro volúmenes

de geometría infinitesimal que contenía la mayor parte de su trabajo anterior, se tituló Leçons sur la

théorie général des superficies et les aplicaciones géométriques du calcul infinitésimal. En el

volumen cuarto, de este libro, contiene que la discusión de una superficie material rodante está en

otra superficie. En particular, estudió la configuración geométrica generada por puntos y líneas que

se fijan en la superficie de rodadura. Eisenhart dice de este trabajo que en su progresión

geométrica, las pruebas de los teoremas relacionados con el material rodante superficies, son tan

puros como son sencillas y hermosas. Jean Gaston Darboux también realizó un estudio sobre el

problema de encontrar la ruta más corta entre dos puntos en la superficie. Cuyo trabajo, en esta

área, también se realizó aproximadamente al mismo tiempo que por Sermelo y por Kneser.

El éxito de la investigación de Jean Gaston Darboux es discutido por Eisenhart en uno de sus libros

que dice: <”la capacidad de Darboux se basa en una combinación rara de fantasía geométrica y

capacidad analítica. No entiendo a aquellos que usan solamente razonamiento geométrico en

atacar problemas geométricos, ni con aquellos que sienten que hay una cierta virtud en el

cumplimiento estricto de los procesos analíticos. Genial son su disminución de diversos problemas

geométricos en común una base analítica, y su solución y el desarrollo desde un punto de vista

común”>. Sin Embargo, de Jean Gaston Darboux también fue reconocido como un excepcional

profesor, escritor y administrador. Eisenhart también escribió: <”Sus escritos poseen no sólo los

contenidos pero mantiene una singularidad al finalizar, y el refinamiento del estilo”>. En la

presentación de los resultados la forma de exposición fue estudiada cuidadosamente y con un gran

interés. La variedad de habilidades combinadas con la personalidad de Jean Gaston Darboux hacían

de él, un gran maestro, por lo que siempre lo había hecho de él un grupo de estudiantes.

En común con Monge que él no estaba del todo de acuerdo con los descubrimientos, pero sentía

que era igualmente importante para hacer discípulos. Conoce a Jean Gaston Darboux para una

gama más amplia de las matemáticas a la mencionada anteriormente. Struik escribió: <”que de

Darboux también hizo investigaciones en función a la teoría, el álgebra, la cinemática y la dinámica.

Su aprecio por la historia de la ciencia ha demostrado en múltiples direcciones, muchas dadas como

éloges antes de la Academia”>. De tal manera que Jean Gaston Darboux recibió una gran cantidad


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de distinciones por su trabajo realizado. En 1884 fue elegido miembro de la Académie des Sciences,

convirtiéndose en su secretario en 1900. Fue elegido miembro de la Real Sociedad de Londres en

1902, ganando su Medalla Sylvester en 1916. Y el 23 de Febrero de 1917 falleció en París.

PREMIOS

En 1902 fue elegido por la Royal Society, y posteriormente , en 1916 le fue otorgado la “ Sylvester

Medal ” de parte de la Royal Society.

También recibió varios premios como :

“ LMS Honorary Member ” → Miembro honorario de la sociedad LMS .

“ Fellow of the Royal Society ” → Miembro de la Real Sociedad .

“ Fellow of the Royal Society of Edhinburgh ” → Miembro de la Real Sociedad de Edimburgo .

“ Speaker at International Congress ” → Portavoz del Congreso Internacional .

“ Royal Society Sylvester Medal “ → Medalla Silvestre de la Real Sociedad .

“ Rue Saint Jean Gaston Darboux (París) ” → Nombramiento de una calle con su nombre en París .

Jean Gaston Darboux escribió varios libros, concretamente cuatro tomos, los que habían sido

titulados como: “ Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du

calcule infinitésimal “ ó “Lecciones de la teoría general y las aplicaciones geométricas del cálculo

infinitesimal” traducido a nuestro idioma ; fueron publicados a partir del año 1887 y se fueron

completando poco a poco con el paso del tiempo debido al aprendizaje de Jean Gaston Darboux .


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DESCUBRIMIENTOS

Integral de Jean Gaston Darboux : la integral de Jean Gaston Darboux, en el área de

análisis matemático, es una forma de abordar el problema de la integración, señalado

normalmente de la siguiente forma:

Teorema de Jean Gaston Darboux : es una teorema sobre variedades simplecitas, son

aquellas partes de las matemáticas referido al estudio de la mecánica clásica, que se

presentan con tranquilidad en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica; que

afirma que todas las variedades simplécticas son localmente simplectomórficas.

Ecuación diferencial : Es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más

funciones. Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos, a partir del número de variables

independientes respecto a las que se deriva. Una de ellas son las ecuaciones diferenciales

ordinarias, que son aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable

independiente. Y por último, las ecuaciones diferenciales parciales, que son aquellas que

contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Marco de Jean Gaston Darboux ( Darboux frame): En la geometría diferencial de

superficies, un marco de Darboux es un marco móvil natural construido sobre una superficie.

Existe un marco de Darboux en cualquier punto que no coincida en una superficie incrustado

en el espacio euclidiano. Y se le concedió el nombre en honor al matemático francés, Jean

Gaston Darboux.

La fórmula común de Elwin Bruno Christoffel y Jean Gaston Darboux: Este teorema

convierte un operador lineal en un subespacio lineal con una cierta simetría en el núcleo.

El Vector de Jean Gaston Darboux: En la geometría diferencial la teoría de las curvas en el

espacio o El Vector de Jean Gaston Darboux es la velocidad del muestreo de vectores de una

curva en el espacio. Lleva el nombre de Jean Gaston Darboux ya que fue este quien

descubrió y desarrolló esta fórmula - vector. Una explicación cercana a este vector sería la

siguiente:


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Deja que un objeto se mueva a lo largo de una curva rígida descrita paramétricamente por

un número B (t) . Este valor tendría un valor único como sistema de coordenadas. Ya que el

objeto se mueve a lo largo de la curva su movimiento se describe gracias a dos vectores ;

uno, el vector de traslación y el otro el vector de rotación, que es el vector que sirve para

obtener la velocidad del área; También es llamado como el Vector de Jean Gaston Darboux

o La Teoría de las curvas en el espacio.

Ecuación de Siméon Denis Poisson, Leonhard Euler y Jean Gaston Darboux: Es una

ecuación diferencial parcial. Este tipo de ecuaciones relacionan una incógnita de una función

o funciones de diversas variables independientes y sus respectivas derivadas parciales con

respecto a las variables. Este tipo de ecuaciones han servido para resolver diversos

problemas ya planteados con anterioridad como la propagación del sonido, la propagación

del calor, la electrodinámica, el flujo de fluidos o la elasticidad.

Al ser una ecuación diferencial parcial, está basada en el uso de derivadas. Juega un papel

muy importante en la solución de onda corta, por lo que esta ecuación ha sido partícipe de

resolver el problema de la propagación del sonido.

La Fórmula de Jean Gaston Darboux: En el análisis matemático, la fórmula de Jean Gaston

Darboux; descubierta y desarrollada por él en 1876; sirve para sumar series infinitas

utilizando integrales o para la evaluación de integrales utilizando series infinitas. Esta

ecuación, es una generalización de la Teoría de Leonhard Euler y Colin Maclaurin. La cual

proporcionaba una poderosa conexión entre las integrales y las cantidades. Se puede

emplear para aproximar integrales por sumas finitas o para evaluar las cantidades finitas y

series infinitas empleando integrales y los mecanismos del cálculo.

La Fórmula de Jean Gaston Darboux también se puede emplear para obtener la serie de

Brook Taylor, la cual es una representación de una función de una suma infinita de términos

que se calcula a partir de los valores de los derivados en un solo punto. Esta serie fue

publicada en 1715 por Brook Taylor.


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La identidad de Elwin Bruno Christoffel y Jean Gaston Darboux: Esta identidad sirve para

los polinomios ortogonales. Los cuales , si satisfacen la identidad De Elwin Bruno Christoffel

y Jean Gaston Darboux también satisface una relación de recurrencia de tres términos y por

consecuencia, pasan a formar una familia de polinomios ortogonales que muestra la

equivalencia entre las dos relaciones.

La transformación de Jean Gaston Darboux: El enfoque de la transformación de Jean

Gaston Darboux es uno de los métodos más eficaces para la construcción de soluciones

explícitas de ecuaciones diferenciales parciales que se denominan sistemas integrables y

juegan un papel importante en la mecánica, la física y la geometría diferencial.

El problema de Édouard Goursat y Jean Gaston Darboux: Se refiere a una ecuación

diferencial parcial e hiperbólica, en dos variables independientes con valores dados en dos

curvas características que emanan desde el mismo punto. Para obtener la solución a este

problema es imprescindible usar la fórmula de Riemann.

Hay una generalización a la solución dada por estos dos matemáticos a este problema, esa

generalización se llama Darboux-Piccard.

Los cúbicos de Jean Gaston Darboux: Son relaciones establecidas por Darboux, se emplean

en funciones; un ejemplo de lo que sería el Darboux Cubic o Los cúbicos de Darboux sería

esto:


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Los derivados de Jean Gaston Darboux: El derivado de darboux de un mapa entre una

variedad y un grupo de Lie es una variante de la derivación tradicional.

ALUMNOS DE JEAN GASTON DARBOUX

Algunos de sus alumnos más prestigiosos fueron Émile Borel , Élie Cartan , Gheorghe Titeica y

Stanislaw Zaremba .

Félix Édouard Justin Émile Borel: Félix Édouard Justin Émile Borel nació en Francia y aparte de

dedicarse al estudio de las matemáticas también se dedicó a la política. Fue uno de los

descubridores y desarrolladores de measure theory, o teoría de la medida en nuestro idioma

castellano. Colaboró con Jean Gaston Darboux en uno de sus trabajos aportando conocimientos

sobre la hyperbolic geometry o geometría hiperbólica.

Élie Joseph Cartan: Élie Joseph Cartan nació en Francia también y fue un influenciado matemático

del siglo X X. Además de realizar aportes a la rama de las matemáticas analíticas, también

contribuyó a la rama de las matemáticas físicas, a la geometría diferencial y a la teoría del grupo.

Estudió junto con Jean Gaston Darboux diversos aspectos sobre las ecuaciones diferenciales, las

cuales se convertirían para Jean Gaston Darboux en la base de todos los descubrimientos y

desarrollos del resto de su vida.

Édouard Jean - Baptiste Goursat: Édouard Jean - Baptiste Goursat también fue un matemático

francés del sigo X X. Contribuyó a diversos campos como las matemáticas anañíticas con el

complex analisis o análisis complejo, las ecuaciones diferenciales parciales o las series de la hiper

geometría. Al igual que Jean Gaston Darboux, también se graduó en la “ École Normale Supérieure

“. Trabajó con Élie Joseph Cartan y a su vez con Jean Gaston Darboux.


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Charles Émile Picard: Charles Émile Picard nació como todos sus compañeros matemáticos en

Francia. fue uno de los pocos que fueron elegidos para formar parte de la “ Académie Française ”;

sólo quince miembros fueron elegidos. Estudió diversos temas matemáticos como las variables

complejas, la singularidad esencial, las ecuaciones diferenciales o matemáticas aplicadas.

Escribió diversos libros en los que hablaba sobre la teoría de la relatividad y matemáticos franceses

que conoció a lo largo de su vida, en los que Jean Gaston Darboux está incluído.

Thomas Joannes Stieltjes: Thomas Joannes Stieltjes fue un ciudadano holandés de finales del siglo

X X. Era un ingeniero civil y político. Le apasionaban las matemáticas y tuvo contactos con Carl

Friedrich Gauss, Carl Gustav Jakob Jacobi, Georg Friedrich Bernhard Riemann y Jean Gaston

Darboux. Desarrolló junto con Georg Friedrich Bernhard Riemann la integral de Riemann - Stieltjes.

Falleció en Francia

Gheorghe Titeica : Fue un matemática procedente de Rumanía que ayudó a Darboux en diferentes trabajos . Estaba muy familiarizado con la geometría diferencial , la música y la literatura .

Stanisław Zaremba: Stanisław Zaremba fue un matemático polaco de finales del siglo X I X y

principios del siglo X X. Asistió al Colegio Polaco de Matemáticas, el más prestigioso de su país.

Posteriormente, fue profesor de la Universidad Jagiellonian y co - fundador y presidente de la

Sociedad Matemática polaca. Se licenció en la Sorbona. Falleció en Francia

ENVELOPE THEOREM

“Envelope theorem” o El teorema de la envolvente es un teorema que se suele utilizar en

problemas de optimización en la microeconomía, que es una rama de la economía que investiga el

comportamiento de la forma en el hogar moderno de individuales y cuyas empresas toman

decisiones para asignar los recursos que son limitados. Puede ser utilizado para comprobar el lema

de Hotelling, que es la resultante de la microeconomía que es referida al suministro de un bien en

beneficio del bien del productor; el lema de Shephaard, es otro resultado de la microeconomía, con

usos en la teoría de la empresa y en los consumidores de elección; y la identidad de Roy, que es un

resultado importante en la microeconomía, con aplicaciones en los consumidores de elección y la

teoría de la empresa. El Teorema Envolvente puede dividirse en dos, una de ellas es denominada,

versión normal, sin restricciones de optimización; y la otra denominada, versión generalizada, que

está limitado en cuanto a optimización. El teorema recibe su nombre del hecho que demuestra que


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la maximización o minimización del problema es la parte superior o inferior para la minimización,

que se situa sobre el problema orignal.

ACLARACIONES DEL TRABAJO

SYLVESTER MEDAL La “Sylvester Medal” o Medalla Silvestre es una medalla de bronce que ortoga la Royal Society cada tres años, que premia el gran esfuerzo de una investigación matemática. El primero que se le fue ortorgado esta medalla, fue Henri Poincaré en 1901, que fue un prestigioso matemático,científico teórico y filósofo de la ciencia. Esta medalla fue llamada así en honor a James Joseph Sylvester, que fue una profesor que enseñaba geometría en la universidad de Oxford en 1880.

ACADÉMIE DES SCIENCES “Académie des Sciences” o la Academia de las Ciencias de Francia, es un institución de origen

fránces, que fue fundada en 1666, durante el reinado de Luis XVI bajo el mando de su primer

ministro Jean-Baptiste Pascal y Pierre de Fermat. Es una de las cinco academias de origne frances

que constituyen el actual Instituto de Francia. Y además, fue la primera que adoptó el sistema

métrico decimal como sistema universal.

MICHEL CHASLES (ASESOR DEL DOCTORADO DE DARBOUX)

Nació en Épernon el 15 de noviembre de 1793 y falleció el 18 de diciembre de 1880. Michel Floréal

Chasles fue un matemático francés. Realizó su carrera académica en la École Polytechnique de

París con Siméon Denis PoissonChasles y Jakob Steiner elaboraron independientemente la

moderna geometría proyectiva. Chasles usó su método de características y su principio de

correspondencia para resolver inumerables problemas y las soluciones fueron publicadas en

Comptes Rendus. El problema de la atracción de un elipsoide en un punto externo fue revisado por

él en 1846.Fue galardonado con la Medalla Copley en 1865.El nombre de Chasles es uno de los 72

que aparecen sobre la Torre Eiffel.

ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE “École Normale Supérieure” o la Escuela Normal Superior es un asentamiento de enseñanza

superior de origen francés.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa_de_la_ciencia


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PH . D El Ph.D es el grado acádemico universitario, cuyo nivel es el más alto, es decir, un doctorado .

Obtener un doctorado trae consigo el reconocimiento de una candidato como igual por parte de la

facultad de la universidad en la cual ha estudiado. El Ph.D es un tipo de doctorado en investigación.

OPINIÓN PERSONAL

Este trabajo en concreto nos ha parecido muy difícil ya que había muy poca información sobre Jean

Gaston Darboux en nuestro idioma; tuvimos que buscar información en páginas webs de otros

países como Alemania, Francia o Estados Unidos, con lo que eso conlleva, idiomas diferentes.

Sobre todo, encontramos algo más de información en páginas americanas e inglesas y tuvimos que

traducir sobre la marcha. Aun buscando en este tipo de páginas hemos andado cortos de

información y tuvimos que cumplimentarla con pequeñas biografías de los alumnos de Jean Gaston

Darboux.

La mayoría de las traducciones son propias y no automáticas.

Trabajo Matemático Jean Gaston Darboux - Matemáticos del sigo XX

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