Teorema Del Limite Central- Ultimo Trabajo de Geoestadistica 1
Trabajo Practico de Geoestadistica
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
| HUGO BANEGAS ANCO
1
ESCUELA PROFECIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
PRESENTADO POR:
HUGO BANEGAS ANCO
DOCENTE:
CESAR VILLA
CICLO:
VIII
CALCULO DEL VARIOGRAMA
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE MOQUEGUA
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I. INTRODUCCION
En los ltimos 30 aos la geoestadstica ha probado su superioridad como
mtodo de estimacin de los recursos de la mayora de los tipos de minas.
La aplicacin en la industria del petrleo es ms reciente, donde ha
demostrado su utilidad para modelar y simular la compleja heterogeneidad
interna de muchos reservorios. Su empleo tambin ha sido extendido a
otros campos, tales como, el medioambiente la hidrogeologa, la agricultura
e incluso la pesca, donde el factor tiempo, al igual que la variabilidad
espacial, juegan un papel importante
La herramienta bsica, el variograma, no ha cambiado desde entonces; se
emplea para cuantificar la correlacin entre observaciones espacialmente
distribuidas, y para deducir los estimadores de la variables aleatorias en
puntos no muestreados, procedimiento que se conoce como krigeage -
kriging en ingls- en honor al ingeniero sudafricano Danie Krige, quien,
junto Herbert Sichel llevaron a cabo los primeros pasos de la naciente
ciencia en las minas de oro de Witwatersrand.
En los aos 60 y 70 el matemtico francs Georges Matheron, partiendo de
las primeras publicaciones de Krige, comenz un intenso trabajo para
desarrollar las bases tericas de la geoestadsticas. Es en el Centro de
Investigacin de Fontainebleau, creado para el por la escuela de Minas de
Pars, asistido por un equipo de jvenes investigadores, donde continua su
trabajo dando el esplendor que hoy tiene esta ciencia y la Morfologa
Matemtica, pero esa ltima forma parte de otra historia. Como se muestra
ms adelante muchas de las tcnicas de reciente creacin no son ms que
el perfeccionamiento de sus trabajos iniciales.
En la actualidad el nmero de tcnicas recogidas bajo los trminos krigeage
y simulaciones estocsticas a crecido de forma considerable, muchas de
ellas resuelven problemas similares por vas diferentes, por ello quien se
introduce en este mundo puede verse parado un una encrucijada, y la
decisin de cual camino tomar puede tornarse en un problema ms a
resolver. Con el objetivo de orientar dicha decisin se analiza el estado
actual de salud en que se encuentra esta ciencia y se hace un resumen de
los principales grupos de tcnicas, considerando aspectos tericos y
aplicabilidad en problemas prcticos diversos.
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II. MARCO TEORICO
2.1. DEFINICION
El variograma es la herramienta geoestadstica bsica. Permite la
cuantificacin de los parmetros geolgicos y expresa la correlacin
espacial entre los valores muestreados.
Una variable regionalizada es una funcin que representa la variacin en el
espacio de una cierta magnitud asociada a un fenmeno natural.
Sea x un punto del espacio. Se designa la variable regionalizada por la
notacin z(x).
En trminos muy simples podemos definir el variograma como la media de
los cuadrados de las diferencias entre pares de muestras separados por
una distancia h:
= N . [ ( Z(x) Z(x+h)) ] 2
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2.2. COMPONENTES DEL VARIOGRAMA
La continuidad espacial queda reflejada en la tasa de crecimiento de la
Varianza (Y) de acuerdo a los aumentos de la distancia de muestreo (h).
2.3. DISTANCIAMIENTO DEL MUESTRO
Con el alcance se puede determinar el distanciamiento ptimo del
muestreo. De tal modo que su influencia tenga el solapamiento adecuado.
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Notacin condensada
Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas, mencionemos que
en geoestadstica se utiliza la notacin condensada: un punto del espacio
se representa por la letra x. Por ejemplo la ley en el punto x se representa
por z(x). Por consiguiente, z(x) puede significar:
z(x) si el problema es unidimensional (1-D)
z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D)
z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)
Se observa que existen problemas de notacin: se acostumbra a designar
una variable regionalizada con la letra z, lo cual coincide con la notacin
utilizada para la cota o elevacin
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III. MARCO PRACTICO
Con los siguientes datos de sondaje, construir el variograma respectivo y
encontrar el modelo respectivo para determinar la isotropa o isotropa del
modelo, si es isotrpico hacer el variograma omnidireccional y comprobarlo
con el programa SURFER.
3.1. DATOS DE SONDAJE
D= 50 m.
3.2. DIRECCION N - S
22 28 36
21 49 1 0
20 1 64 4 18 4 9 100 16
20 4 0 1 64 4 0
22 25 9
18 49 16 0
15 9 100 49 16 1 4 81 36
0 0
22 22 19 16 17
28 25 18 18 13 11 9
21 18 24 21 20 13 14
16 20 21 23 12 11 17
20 15 15 19 15 19 17 12 16
18 16 14 13 14 13 10 10 18
20 19 16 10 12 13 19
11 18 22
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7
19 0
0 16 9
15 1 16 14 1 4 25
19 25 16 9 0 0
0 0
24 20 16
19 1 25 13 36 49 121
16 9 9 16 64 0
0 18
21 9 21 0 9
15 36 36 9 14 1 49 49 16
0 0
16 18 4
20 4 16 23 9 25 49
19 16 1 1 9 0
10 81 169 100 64 36 0
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8
17 13 16
13 0 16 0
17 16 16 0 13 16 0 0 16
12 1 25 1 1 25 11 1 4 36 4 4 36
0 0
0 12
12 0 10 4 4
0 0
0 11
0 11 0
0 10 1 1
13 9 4 4 18 25 64 49 49
0 9
14 25 17 9 64
16 1 4 49 18 4 1 16 81
19 1 9 4 25 100 22 9 16 36 25 64 169
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9
y = -2E-07x4 + 6E-05x3 - 0.0062x2 + 0.3083x - 2E-11 R = 1
0
5
10
15
20
25
0 50 100 150 200 250
(
h )
h
VARIOGRAMA N - S
Variograma N - S
Polinmica (Variograma N - S)
SUMA 441 571 770 622 394 287 36
CONTAR 37 30 21 18 11 7 1
Y(h) 0 5.9595 9.5167 18.3333 17.2778 17.9091 20.5000 18.0000
H 0 50 100 150 200 250 300 350
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3.3. DIRECCION E - W
22 22 0
19 9 9 0
0 16 9 36 36
17 1 4 25 25 0
0 0
28 25 9
0 0
18 49 100 18 0 49 100
13 25 25 144 225 0
11 4 49 49 196 289 9 4 16 81 81 256 361
21 18 9
0 24 36 9
21 9 9 0 20 1 16 4 1
13 49 64 121 25 64 0
0 14 1 36 49 16 49
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11
0 0
16 20 16
21 1 25 23 4 9 49
0 12 121 81 64 16
11 1 144 100 81 17 36 25 36 16 25 1
20 15 25
15 0 25 19 16 16 1
15 16 0 0 25 19 16 0 16 16 1
17 4 4 4 4 4 9 12 25 49 9 49 9 9 64
0 16 16 1 9 1 1 1 16
18 16 4
14 4 16 13 1 9 25
14 1 0 4 16 0
13 1 0 1 9 25 10 9 16 9 16 36 64
10 0 9 16 9 36 64 18 64 64 25 16 16 16 4 0
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12
y = 4E-09x4 - 3E-06x3 + 0.0004x2 + 0.1101x + 0.0307 R = 0.9991
0
5
10
15
20
0 50 100 150 200 250 300
(
h )
h
VARIOGRAMA W - E
Variograma W - E
Polinmica (Variograma W- E)
20 0
19 1 16 9 16
0 10 36 81 100
12 4 16 49 64 0
13 1 9 9 49 19 36 49 81 36 0 1
0 0
0 0
0 0
11 0
18 49 22 16 121
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SUMA 424 630 930 834 748 534 378 679 427
CONTAR 34 27 28 23 21 11 8 7 5
Y(h) 0 6.2353 11.6667 16.6071 18.1304 17.8095 24.2727 23.6250 48.5000 42.7000
H 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
3.4. DIRECCION - 45
22
28 22 36
21 25 16
19 36 4
0 18
0 0
20 0
0 0
0
18 15 9
16 1 4 24 64 81 36
18 36 4 9 0 16 4 64 0 1 4
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14
20 16 16
15 1 25 20 25 16 0
21 1 36 25 1 18 9 4 9 4 4
17 1 16 9 4 1 9
0 0
14 19 25
21 4 49 20 1 1 36
13 49 64 36 1 0
0 19
13 36 15 4 16
23 64 100 16 13 100 4 0 36
0 0
0 16
14 4 19 25 9
0 0
11 64 9 25 0
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15
0 0
0 17
12 25 0
9 9 64
0 10
13 9 12 1 4
11 1 4 1 14 9 4 1 16
0 12
10 4 0
17 49 25
11 0
10 1 16 36 25
0 13
18 25
18 19 1
22
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SUMA 678 568 356 72 34 9 0
CONTAR 33 23 17 9 4 1 0
Y(h) 0 10.273 12.348 10.471 4.000 4.250 4.500 #DIV/0!
H 0 70.711 141.421 212.132 282.843 353.553 424.264 494.975
3.5. DIRECCION 135
0
20 0
18 0
0
y = 2E-06x3 - 0.0012x2 + 0.2233x - 1E-13 R = 1
0
5
10
15
0 50 100 150 200 250
(
h )
h
VARIOGRAMA 45
Variograma 45
Polinmica (Variograma 45 )
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17
20 16 16
19 9 1 0
0 15
14 1 16 4 1
0
21 0
15 36 13 4 64
0 0
28 18 100
16 4 144 19 9 1 81
14 25 4 16 196 10 16 81 36 64 324
11 1 9 64 25 49 289
22 25 9
0 20 25 4
15 25 100 49 0
12 9 64 169 100 0
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18
22 0
24 4 21 9 1
19 4 25 9 13 36 64 121 81
0 18 25 1 9 36 16
19 0
21 4 23 4 16
17 36 16 4 10 49 169 121 81
13 9 16 100 64 36 22 81 144 25 1 1 9
0 18
20 4 0
12 64 36 10 4 100 64
19 81 49 1 1
0 18
13 25 12 1 36
0 18 36 25 0
16 13 9
0 11 4 25
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19
16 25 9 0
17 0
0 17 0
0 11
14 9
0 9
0
SUMA 609 967 1009 486 742 425 25
CONTAR 29 24 21 13 8 3 2
Y(h) 0 10.5000 20.1458 24.0238 18.6923 46.3750 70.8333 6.2500
H 0 70.711 141.421 212.132 282.843 353.553 424.264 494.975
y = -2E-06x3 + 0.0004x2 + 0.1314x - 5E-13 R = 1
0
5
10
15
20
25
30
0 50 100 150 200 250
(
h )
h
VARIOGRAMA 135
Variograma 135
Polinmica (Variograma135 )
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3.6. ANALISIS DE LOS VARIOGRAMAS.
0
5
10
15
20
0 50 100 150 200 250 300
(
h )
h
VARIOGRAMA
Variograma W - E
Variograma N - S
0
5
10
15
20
25
30
0 50 100 150 200 250
(
h )
h
VARIOGRAMA
Variograma 45
Variograma 135
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21
0
5
10
15
20
25
30
0 50 100 150 200 250
(
h )
h
VARIOGRAMA GENERAL
Variograma W - E
Variograma N - S
Variograma 45
Variograma 135
Una vez realizado un anlisis de los variogramas que se generaron en todas las direcciones y en un sentido
marginalista se concluyo que es Isotrpico, por ende se realizara el clculo y la grafica del variograma
omnidireccional.
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3.6.1. VARIOGRAMA OMNIDIRECCIONAL
VARIOGRAMA OMNIDIRECCIONAL
h Y(h)
50.000 6.0915493
70.711 10.3790323
100.000 10.5350877
141.421 16.3297872
150.000 17.3469388
212.132 17.9605263
y = 7E-09x5 - 4E-06x4 + 0.0011x3 - 0.1264x2 + 7.0168x - 138.64 R = 1
0
5
10
15
20
0.000 50.000 100.000 150.000 200.000 250.000
(
h )
h
VARIOGRAMA OMNIDIRECCIONAL
VARIOGRAMAOMNIDIRECCIONAL
Polinmica (VARIOGRAMAOMNIDIRECCIONAL)
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1.1. ANALISIS DE LOS VARIOGRAMAS USANDO SURFER
Con el programa SURFER 10, plotear los taladros, encontrar el variograma,
su modelo y hacer el plano de curvas isovaloricas aplicando los parmetros
del modelo
Para realizar este ejercicio abrimos el software.
Una vez abierto abierto el software abrimos una nueva hoja de clculo.
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Copiamos los datos de Excel a la hoja de clculo que nos proporciona el
software que es muy similar a una de clculo de Excel. Como se observa
en la imagen los datos copiados.
Una vez introducido los datos la SURFER, los convertimos a un formato
.dat, los datos tienen que estar en este tipo de formato para trabajar con
SURFER.
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El siguiente paso a seguir es realizar un anlisis estadstico de los datos
importados, esta accin se realiza en la opcin grid opcin data. A
continuacin se muestra la imagen.
SURFER tiene comandos para observar las curvas isovaloricas en 2D y 3D
que a continuacin se muestran en la imagen.
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Una vez mostrado las curvas isovaloricas procedemos a calcular el
variograma, SURFER esta operacin te lo realiza en forma muy sencilla
que a continuacin se muestra en la imagen.
El siguiente paso es encontrar el modelo del variograma, y esta imagen que
a continuacin responde a una de las preguntas.
El modelo que se ajusta al variograma es una ecuacin exponencial, a
continuacin se muestra una imagen donde se muestra los datos del
modelo escogido
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La siguiente figura responde a las preguntas de la parte 2, es decir
muestra el variograma, el modelo y las curvas isovaloricas.
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