Trabajo Práctico de Matemática de 2 Año (4ta Evaluación de 1er Lapso) 25%

NOMBRE Y APELLIDO: Sutano C.l: 22.222.222 SECCIÓN: yy

1. Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47. ¿Qué edad tiene cada uno?Solución: Sea J la edad de Juan, y sea A la edad de Andrés, entonces, según el enunciado del problema tenemos:a) Juan tiene 21 años menos que Andrés: J = A-21 (a)b) Las suma de sus edades es 47: J+A = 47 (b)Sustituimos (a) en (b) y obtenemos:

J+A=47A-21+A=472A-21=472A=47+212A=68A=682→A=34 (c)

Sustituyendo (c) en (a) obtenemos:J=A−21→J=34−21→J=13 Entonces; Juan Tiene 13 años y Andrés tiene 34 años.Respuesta: Juan = 13 años y Andrés = 34 años

2. José tiene 14 años más que Pablo. Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro de 10 años el doble de la edad de José es el triple que la de Pablo.Solución: Sea J la edad de José y sea P la edad de Pablo, entonces, según el enunciado del problema tenemos:José tiene 14 años más que Pablo: J=P+14 (a); Calcular la edad que tienen si se sabe que dentro de 10 años el doble de la edad de José es el triple que la de Pablo: +10+2J=3P (b). Sustituyendo (a) en (b) obtenemos:10+2 (P+14 )=3P→10+2P+28=3 P→10+28=3 P−2 P→38=P (c) Sustituyendo (c) en (a) obtenemos:J=P+14→J=38+14→J=52 Entonces tenemos que: José tiene 52 años y Pablo tiene 38 años.Solución: José = 52 años y Pablo = 38 años

3. Un señor tiene dos hijos, de los cuales uno tiene 6 años más que el otro. Después de

dos años, la edad del padre será doble de la suma de las edades de sus hijos, y hace 6 años su edad era 4 veces la suma de las edades de sus hijos. ¿Cuál es la edad de cada uno?Solución: Sea x la edad actual del primer hijo y sea x+6 la edad actual del segundo hijo del señor, y sea P la edad del señor, entonces según el enunciado del problema tenemos:

RELACIÓN HACE 6 AÑOS (-6) EDAD ACTUAL DESPUES DE 2 AÑOS(+2)

HIJO MENOR X-6 X X+2HIJO MAYOR X+6-6X X+6 X+6+2 X+8

PADRE P-6 P P+2ECUACIÓN P-6=4[(X-6)+X] (1) P+2=2[(X+2)+(X+8)] (2)

De (1) tenemos:P−6=4 [ (X−6 )+X ]→P−6=4 X−24+4 X→P−6=8 X−24→P=8 X−24+6 P=8X-18 (1)De (2) tenemos:P+2=2 [ (X+2 )+ (X+8 ) ]→P+2=2 [X+2+X+8 ]→P+2=2 [ 2 X+10 ] P+2=4 X+20→P=4 X+20−2→P=4 X+18 (2) Igualamos el valor de P en ambas ecuaciones tenemos

8 X−18=4 X+18→8 X−4 X=18+18→4 X=36→X=364→X=9

Luego tenemos:La edad del menor: 9 añosLa edad del mayor: x+69+6=15 añosLa edad del Señor, se halla sustituyendo a X = 9 en (1) ó en (2)Si lo sustituimos en (1) obtenemos: P=8X-18P=8(9)-18P=72-18=54, el señor P=54 añosSi lo sustituimos en (2) obtenemos: P=4X+18P=4(9)+18P=36+18P=54 añosRespuesta: El hijo menor tiene 9años, el hijo mayor tiene 15 años y el padre tiene 54 años.

4. Un hombre legó su fortuna de la siguiente manera: la mitad para su esposa, la tercera parte para su hijo, la octava parte para su sobrina y 180 mil Bs. a una institución benéfica ¿Cuánto dinero poseía?Solución: Sea X la fortuna que legó un hombre. Entonces, según el enunciado del problema tenemos:

La esposa recibió la mitad, es decir: 12X

El Hijo recibió una tercera parte, es decir: 13X

La Sobrina recibió la octava parte, es decir: 18X

A una Institución benéfica recibió 180.000 Bs.¿Cuánto dinero poseía?

X=12X+ 1

3X+ 1

8X+180.000→X=12 X+8 X+3 X+24 x180.000

24

24 X=23X+4.320.000→X=4.320 .000 Poseía la siguiente cantidad: 4.320.000.Entonces:

A la esposa le tocó: 12X→ 4.320 .000

2→2.160 .000; Esposa: 2.160.000

El Hijo le tocó: 13X→ 4.320.000

3→1.440 .000; Hijo: 1.440.000

La Sobrina le tocó: 18X→ 4.320.000

8→540.000; Sobrina: 540.000 Bs

La Institución Benéfica: 180.000Comprobación:4.320.000= 2.160.000 Bs. + 1.440.000 Bs. + 540.000 Bs. + 180.000

4.320.000=4.320.000

5. En un salón hay doble número de niñas que de niños y la mitad de adultos que de niños. Si en total hay 35 personas ¿Cuántos niños, niñas y adultos hay?Solución: Sea X el número de personas en el salón. Del enunciado del problema

tenemos: Niños: x; Niñas: 2x y Adultos: 12x

Luego en el salón había en total 35 personas, es decir:

2 x+x+ 12x=35→ 4 x+2 x+1

2=35→7 x=70→x=10

Niñas: 2x2(10) Niñas: 20

Adultos: 12x→ 1

2(10 )→5 Adultos: 5

Solución: Hay en el salón: 10 niños, 20 niñas y 5 adultos.

6. HALLAR EL RESULTADO DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:6.1. -4 + 5-{3 + 4-5-[7 + (6 + 4)-7-6]+4}=Solución:−4+5−{3+4−5−[7+(6+4)−7−6]+4 }=¿ +1-{7-5-[7+(10)-7-6]+4}=+1-{2-[4]+4}=+1-{2}=+1-2=-1

6.2. 14 + {5^[4 + 3 + (-2 + 4 + 5)]-7 + 8} =14+{5-[4+3+(-2+4+5)]-7+8}=14+{5-[7+7]-7+8}=14+{5-14+1}=14-8=6

6.3. -1 +{5 +4- 3 - 7+1-9 - [5 + 8-7 - (7+8 + 6 - 9-23)-5] + 3}=-1+{-9-[6-(21-32)-5]+3}=-1+{-9-[-10]+3}=-1+{4}=3

7. Resuelve los siguientes problemas aplicando el mcm y MCD:7.1. Una habitación tiene 230 cm de largo por 120cm de ancho. Queremos cubrir el

suelo con baldosas cuadradas. ¿Cuánto tienen que medir estas baldosas? ¿Cuántas baldosas harán falta?Solución:Si las baldosas son cuadradas, tienen todos los lados iguales, para cubrir el suelo sin que haya que partir ninguna baldosa la medida de sus lados debe ser un divisor de las medidas de la habitación, o dicho de otra forma 230 cm y 120 cm deben ser múltiplos de la medida del lado de la baldosa. Para ello calculamos los divisores de 230cm y 120cm y vemos si hay algún divisor común. Para hallar todos los divisores de un número dividimos el Número en producto de sus factores primos, así tenemos:

230 2 120 2115 5 60 223 23 30 21 15 3

5 51

230=21·51·231 120=23·31·51

Para hallar todos los divisores de 230 y 120, debemos observar los exponentes de los factores primos. Para calcular la cantidad de divisores de los números dados debemos poner entre paréntesis los exponentes de los factores primos, le sumamos 1 y lo multiplicamos entre sí, así nos da la cantidad de divisores de cada número dado (230 y 120). Asi:Nº Divisores de 230: (1+1)·(1+1)·(1+1)=2·2·2 = 8, es decir hay 8 divisoresAhora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila las potencias 2 desde 0 hasta 1 y en la primera columna las potencias de 5 desde 0 hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de 5 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente:

20=1 21=250=1 1 251=5 5 10

Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 23 desde 0 hasta 1 que era su exponente en la primera columna, así:

1 2 5 10230=1 1 2 5 10231=23 23 46 115 230

Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los divisores de 230. Divisores de 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230

Lo mismo lo hacemos que el número 120, es decir:Nº Divisores de 120: (3+1)·(1+1)·(1+1)=4·2·2 = 16, es decir hay 16 divisores.Ahora para calcular los divisores hacemos un cuadro y ponemos en la primera fila las potencias 2 desde 0 hasta 3 y en la primera columna las potencias de 3 desde 0 hasta 1. Después multiplicamos las potencias de 2 por cada una de las potencias de 3 y escribimos el resultado en la fila y columnas de la forma siguiente:

20=1 21=2 22=4 23=830=1 1 2 4 831=3 3 6 12 24

Ahora hacemos otro cuadro colocando los números que nos han salido en la parte sombreada del cuadro en la primera fila y las potencias de 5 desde 0 hasta 1 que era su exponente en la primera columna, así:

1 2 3 4 6 8 12 2450=1 1 2 3 4 6 8 12 2451=5 5 10 15 20 30 40 60 120

Todos los números que aparezcan en la parte sombreada del cuadro serán los divisores de 120. Divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 23, 24, 30, 40, 60, 120.Ahora debemos hallar cuales divisores son comunes a ambos números, es decir:

Divisores 230: 1, 2, 5, 10, 23, 46, 115, 230Divisores 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.Luego los divisores comunes a los números 230 y 120 son: 1, 2, 5 y 10.Ahora debemos recordar que las baldosas deben ser cuadradas, es decir, los lados son iguales, así obtenemos: baldosas cuadradas que tienen las siguientes medidas:1cm·1cm=1cm2; 2cm·2cm=4cm3; 5cm·5cm=25cm2 y 10cm·10cm=100cm2.Ahora bien el área o superficie de la habitación es: AH=alturaxancho, es decir:230cm x 120 cm = 27.600 cm2.De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 1 cm2=27.600 baldosas De las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 4 cm2=6.900 baldosasDe las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 1 cm2=1.104 baldosasDe las baldosas 1cm2 necesitaríamos 27600 cm2 100 cm2=276 baldosas

Medidas Baldosas Cantidad1 cm2 27600 baldosas4 cm2 6900 baldosas25 cm2 1.104 baldosas100 cm2 276 baldosas

7.2. Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas. Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez. ¿De aquí a cuantas horas volverá a tomárselos a la vez?Solución: En este caso utilizaremos el mínimo común múltiplos (m.c.m). Estamos buscando un número de horas que será mayor o igual a 12, entonces buscamos un número que sea múltiplo de 8 y 12 a la vez. Hallamos sus factores primos, es decir:

8 2 12 24 2 6 22 2 3 31 1

8=23 12=22·3

El mínimo común múltiplo de 8 y 12, es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir:m.c.m.(8,12)=23·3 m.c.m.(8,12)=24.De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeñoRespuesta: Luego, dentro de 24 horas se tomará ambos medicamentos a la vez.

7.3. Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días. Hoy han coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su Abuela?.Solución: Como la anterior pregunta, esta se resuelve por m.c.m.Estamos buscando un número de días que será mayor o igual a 15, entonces buscamos un número que sea múltiplo de 12 y 15 a la vez. Hallamos sus factores primos, es decir:

12 2 15 36 2 5 53 3 11

12=22·3 15=3·5

El mínimo común múltiplo de 12 y 15, es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir:m.c.m.(12,15)=22·3·5 m.c.m.(12,15)=60.De todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeñoRespuesta: Luego, dentro de 60 días Luis y Ana coincidirán a la vez.

7.4. La edad en años que tiene un individuo es múltiplo de dos, más uno; múltiplo de siete, más seis; y múltiplo de diez menos uno. ¿Qué edad tiene?Solución: Los números 2, 7 y 10 son múltiplos de sí mismo respectivamente. Hallamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 2, 7 y 10, para ello hacemos su descomposición factorial:2= 2x1: 7=7x1; 10=2x5x1Ahora calculamos el mcm, recordando que el mcm de los varios números es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, es decir, mcm(2,7,10)=1x2x5x7 =70La edad será el número más próximo al mcm que cumpla los tres requisitos así:Resultado: Edad del individuo: 70-1=69

7.5. Tres caballos arrancan juntos en una carrera en la que la pista es circular. El primero tarda 10 segundos, el segundo tarda 11 segundos y el tercero tarda 12 segundos a dar una vuelta a la pista. ¿Al cabo de cuántos segundos pasarán juntos por la línea de salida?Solución: Como en el caso anterior se trata de un problema similar a los dos anteriores, es decir, se trata del m.c.m. Debemos hallar los factores primos de los segundos 10, 11 y 12. Luego tenemos:

10 2 11 11 12 25 5 1 6 21 3 3

110=2·5 11=11·1 12=22·3Luego m.c.m (10,11,12)=22·3·5·11m.c.m.(10,11,12)=660 segundosEntonces los tres caballos pasarán juntos por la línea de salida a los 660 segundos.Caballo 1: 66010=66 vueltas; Caballo 2: 66011= 60 vueltas; Caballo 3: 66012=55 vueltas.

7.6. Los soldados de un cuartel no pasan de 500 y pueden formar en grupos de 16, 20 y 25, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuántos son?Solución: Este problema se resuelve por m.c.m.Debemos hallar los factores primos de los grupos de soldados: 16, 20 y 25. Luego tenemos:

16 2 20 2 25 58 2 10 2 5 54 2 5 5 12 2 11

16=24 20=22·5 25=52

Luego m.c.m (16,20,25)=24·52·m.c.m.(16,20,25)= 400Respuesta: son 400 soldados

8. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de un paquete de harina de kilo, 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g- Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel.Solución: Para preparar el pastel se necesitan los siguientes ingredientes:

Productos Paquetes Se Utiliza PorciónAzúcar (A) 750 gr 1

3A=1

3(750 ) 250 gr

Harina (H) 1000 gr 34H=3

4(1000 ) 750 gr

Mantequilla (M) 200 gr 35M=3

5(200 ) 120 gr

Total Mezcla 1.120 gr

Respuesta: Para preparar el pastel hacen falta 1.120 gr de la mezcla

9. Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?Solución: Sea x la edad actual de Pedro.

24=23x→72=2 x→36=x

Luego Pedro tiene 36 años.

TRUCOS:COMO SÉ CUANDO EMPLEAR MCD (MÁXIMO COMÚN DIVISOR) Ó mcm (MINIMO COMÚN MÚLTIPLO). BUENO VA DEPENDER DEL PROBLEMA, ES DECIR, EMPLEAREMOS:

mcm CUANDO EN EL PROBLEMAS SE HABLE DE:

MCD CUANDO EN EL PROBLEMAS SE HABLE DE:

“…VUELVEN A COINCIDIR….”

“….SE REPITEN…..”

“…SE ENCUENTRÁN….”

* Lo que me piden calcular será un número más alto que los dados en el problema.

* El mcm de varios números es el producto de los factores primos comunes y no comunes con su mayor exponente.

“…MÁXIMO….”

“….MAYOR…..”

“…EL MÁS GRANDE….”

“…MÁS AMPLIO…”

“…MÁS CABEN…”

* Lo que me piden calcular será un número Menor a los dados en el problema.

* El MCD de varios números es el producto de los factores primos comunes con su Menor exponente.