Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejercicio 1: Ejercicio 2: 2 p ( x ... ·...

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Facultad Regional Mendoza. UTN Álgebra y Geometría Analítica 2013 Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejercicio 1 : Halle la ecuación normal y general de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento de extremos ( - 1, 1) y ( 2, 5 ). Grafique. Ejercicio 2 : Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada. R L R L y p/2 h k x F p/2 h k x F V y ECUACIÓN CANÓNICA 2 p ( x – h ) = ( y – k)² EJE FOCAL // EJE X VERTICE V( h; k) Ecuación de la DIRECTRIZ x = h – p/2 FOCO F(h+p/2; k) LADO RECTO LR = 2p . p/2 DIRECTRIZ p/2 DIRECTRIZ EJE FOCAL ECUACIÓN CANÓNICA 2 p ( y – k ) = ( x – h)² EJE FOCAL // EJE Y VERTICE V( h; k) Ecuación de la DIRECTRIZ y = k – p/2 FOCO F(h; k+p/2) LADO RECTO LR = 2p . EJE FOCAL

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Trabajo Práctico N°9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA

Ejercicio 1:

Halle la ecuación normal y general de la circunferencia que tiene por diámetro el segmento de extremos ( - 1, 1) y ( 2, 5 ). Grafique. Ejercicio 2:

Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.

R

L

RL

y

p/2

h

k

x

F V

p/2

h

k

x

F

V

y

ECUACIÓN CANÓNICA

2 p ( x – h ) = ( y – k)²

EJE FOCAL //

EJE X

VERTICE

V( h; k) Ecuación de la

DIRECTRIZ x = h – p/2

FOCO

F(h+p/2; k) LADO RECTO LR = 2p.

p/2

DIRECTRIZ

p/2 DIRECTRIZ

EJE FOCAL

ECUACIÓN CANÓNICA

2 p ( y – k ) = ( x – h)²

EJE FOCAL //

EJE Y

VERTICE

V( h; k) Ecuación de la

DIRECTRIZ y = k – p/2

FOCO

F(h; k+p/2) LADO RECTO LR = 2p.

EJE FOCAL EJE FOCAL EJE FOCAL

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Ejercicio 3:

Halle la ecuación normal y general de la parábola con vértice en V( 2, 1 ) y directriz y = 3. Grafique. Ejercicio 4:

Las torres de una línea de alta tensión están separadas 100 m y tienen una altura de 16 m. Los cables de la línea no deben estar a menos de 6 m sobre el nivel del suelo. Halle la ecuación de la parábola que determinan los cables. Indique la altura de un punto que está situada a 20 m del vértice. [Observación: Un cable que cuelga entre dos postes describe una curva llamada “catenaria”, pero en la práctica puede calcularse aproximadamente como una parábola.]

Ejercicio 5:

Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.

R

L

A`

B`

B

AA`b

a

ch k

y

x

F

F` ●

EJE FOCAL // EJE X

ECUACION CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

CENTRO C( h, k) VERTICES

A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )

SEMIEJES MAYOR: a MENOR : b

FOCOS:

F( h + c; k ) F`( h – c; k )

DISTANCIA FOCAL

c FORMULA DE CALCULO

a2 = b²+ c²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO RECTO

a

bLR

22

C ●

EJE FOCAL

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Ejercicio 6:

Halle la ecuación normal de la elipse con centro C ( 2, - 1 ), que tiene uno de sus focos ubicado en F ( 1, 2 ) y cuya excentricidad es 4/5. Grafique. Ejercicio 7:

Un río es cruzado por una carretera por medio de un puente cuyo arco central tiene la forma de media elipse. En el centro del arco la altura es de 20 m. El ancho total del arco elíptico es de 50 m. a) Determine la ecuación de la elipse que describe dicho puente. b) A una distancia de 5 m de cada uno de los pilares, se encuentran estructuras de protección para los mismos. ¿Cuál es la altura del arco del puente en correspondencia con estos elementos?

R L

y

B` B

A

A`

b

a c

hk

x

F ●

F` ●

EJE FOCAL // EJE Y

ECUACION CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

a

ky

b

hx

CENTRO C( h, k) VERTICES

A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )

SEMIEJES MAYOR: a MENOR : b

FOCOS:

F( h; k + c ) F`( h; k – c )

DISTANCIA FOCAL

c FORMULA DE CALCULO

a2 = b²+ c²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO RECTO

a

bLR

22

EJE FOCAL

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Ejercicio 8:

Analice la deducción de las expresiones que figuran en el cuadro a partir de la gráfica dada.

B’ k

B

x

F ●

y

F` A’●

b a

h A

c

EJE FOCAL // EJE X

ECUACION CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

CENTRO C( h, k) VERTICES

A( h + a; k ) A`( h – a; k ) B( h; k + b ) B`( h; k – b )

SEMIEJES REAL: a

IMAGINARIO: b FOCOS:

F( h + c; k ) F`( h – c; k )

DISTANCIA FOCAL

c FORMULA

DE CALCULO

c2 = a²+ b²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO

RECTO a

bLR

22

ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxa

by )(

EJE FOCAL

L

R

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Ejercicio 9:

Halle la ecuación normal de la hipérbola con vértice A(0; 4) y siendo uno de sus focos F(0;5 ). Represente gráficamente. Ejercicio 10:

Un barco envía una señal de auxilio en el momento en el que se encuentra a 100 millas de la costa. Dos estaciones guardacostas Q y R, ubicadas a 200 millas de distancia entre sí, reciben la señal. A partir de la diferencia entre los tiempos de recepción de la señal, se determina que la nave se encuentra 160 millas más cerca de la estación R que de la estación Q. Elija un sistema de referencia apropiado e indique las coordenadas correspondientes a la ubicación de la embarcación. Represente gráficamente.

R L

A’ k

BB’

Aa b

c

h

xF`

F

y

x

EJE FOCAL // EJE Y

ECUACION CANÓNICA

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

CENTRO C( h, k) VERTICES

A( h; k + a ) A`( h; k – a ) B( h + b; k ) B`( h – b; k )

SEMIEJES REAL: a

IMAGINARIO: b FOCOS:

F( h; k + c ) F`( h; k – c )

DISTANCIA FOCAL

c FORMULA

DE CALCULO

c2 = a²+ b²

EXCENTRICIDAD a

ce LADO

RECTO a

bLR

22

ECUACIÓN ASÍNTOTAS khxb

ay )(

EJE FOCAL

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Ejercicio 11:

Dadas las ecuaciones de las siguientes cónicas, encuentre su ecuación normal, determine sus elementos principales y grafique. Escriba la ecuación trasladada respecto de las coordenadas del nuevo sistema.

a) 9 x2 + 4 y2 – 18 x – 27 = 0

b) y2 + 4 y – 4 x + 16 = 0

c) x2 – y2 + 4 x + 2 y – 1 = 0

d) x2 + 2 y – 10 x + 23 = 0 Ejercicio 12:

Dadas las siguientes ecuaciones:

i) 4 x2 + 4 x y + 4 y2 – 3 = 0

ii) 4 x y – 3 2 x + 2 y – ½ = 0

iii) x2 + 2 x y + y2 – 8 2 x + 8 = 0

iv) 2 x y – 4 = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial b) Identifique la cónica a partir de los valores propios c) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática d) Verifique que la matriz hallada representa una rotación e) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado f) Halle el ángulo de rotación g) Grafique

SOLUCIÓN:

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Ejercicio 13:

Analice las relaciones que existen entre las gráficas dadas y las ecuaciones indicadas.

Hiperboloide de una hoja

Hiperboloide de dos hojas

Elipsoide Superficie cónica

Paraboloide elíptico

Paraboloide hiperbólico

Cilindro elíptico

12

2

2

2

b

y

a

x

Cilindro hiperbólico

12

2

2

2

b

y

a

x

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Cilindro parabólico

2xay Cilindro circular

222 ayx

Ejercicio 14:

Halle los elementos de la siguiente cuádrica e identifique el nombre:

Ejercicio 15:

Dada la siguiente ecuación:

144 x2 + 100 y2 + 81 z2 – 216 x z – 540 x – 720 z = 0

a) Exprese la ecuación en forma matricial. b) Encuentre la matriz que diagonaliza ortogonalmente a la matriz de la forma cuadrática.

SOLUCIÓN:

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c) Exprese la ecuación referida al nuevo sistema rotado o rototrasladado.

Dada la ecuación de la cuádrica:

a x2 + b y2 + c z2 + d xy + e xz + f yz + g x + h y + i z + j = 0

expresamos dicha ecuación en forma matricial:

XT A X + K X + [ j ] = O

Siendo:

cfe

fbd

eda

A

2/2/

2/2/

2/2/

ihgK

z

y

x

X

a)

07200540

810108

01000

1080144

z

y

x

z

y

x

zyx

Con

810108

01000

1080144

A y 7200540 K

b) Buscamos los valores propios:

0

810108

01000

1080144

IA

( 144 - ) ( 100 - ) ( 81 - ) – 1082 . ( 100 - ) = 0

( 100 - ) ( ² - 225+ 11664 – 1082 ) = 0

( 100 - ) ( ² - 225) = 0

1 = 0 2 = 100 3 = 225

1 = 0

0

0

0

810108

01000

1080144

c

b

a

SOLUCIÓN:

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081108

0100

0108144

ca

b

ca

a = 3/4 c ; b = 0 ; v1 =

4

0

3

;

5/4

0

5/3

ˆ1v

2 = 100

0

0

0

190108

000

108044

c

b

a

019108

010844

ca

ca a = c = 0 ; b IR; v2 =

0

1

0

;

0

1

0

ˆ2v

3 = 225

0

0

0

1440108

01250

108081

c

b

a

0144108

0125

010881

ca

b

ca

a = - 4/3 c ; b = 0 ; v3 =

3

0

4

;

5/3

0

5/4

3̂v

P =

5/305/4

010

5/405/3

P - 1 =

5/305/4

010

5/405/3

c) Reemplazando X por P X’

'

'

'

5/305/4

010

5/405/3

7200540

'

'

'

22500

01000

000

'''

z

y

x

z

y

x

zyx

0'900'225'100 22 xzy

0'36'9'4 22 xzy PARABOLOIDE ELIPTICO

4

'

9

''

22 zyx

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