METODO DEL TRABAJO VIRTUAL.

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULAINTEGRANTES.

CARMEN ANGELICA ROBLES AGUILAR.

JORGE ALBERTO TORREBLANCA CASTILLO.

GABRIEL LAGUNAS BERMUDEZ.

CRISTIAN RAMIREZ GALVEZ.

JUAN MANUEL HERNANDEZ MORALES.

ESTATICA

2 SEMESTRE GRUPO B

FECHA: 08/05/14

INDICE

INTRODUCCION........................................................................................................................1TRABAJO DE UNA FUERZA....................................................................................................5-8PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL ................................................................................... 9-17APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL.................................................. 18-27MAQUINAS REALES:EFICIENCIA MECANICA....................................................................28-33TRABAJO DE UNA FUERZA DURANTE UN DESPLAZAMIENTO FINITO..........................34-41ENERGIA POTENCIAL...........................................................................................................42-49ENERGIA POTENCIAL Y EQUILIBRIO..................................................................................50-53ESTABILIDAD DE EQUILIBRIO..............................................................................................54-61CONCLUSION.........................................................................................................................62-67BIBLIOGRAFIA Y ANEXO--------------------------------------------------------------------------------------68-70

INTRODUCCIÓNEn esta se analizará el método del trabajo virtual para resolver estos sistemas, un método muy versátil para calcular desplazamientos en las estructuras. Estos desplazamientos pueden ser debidos a cargas de cualquier tipo, cambios de temperatura, contracciones en al material estructural o errores de fabricación.El trabajo virtual realizado por las fuerzas aplicadas a un sistema material durante un desplazamiento virtual, a partir de la posición de equilibrio, vale cero”. Su importancia, en el análisis estructural, estriba en su versatilidad y la simplicidad con que su aplicación permite demostrar la validez de muchos procedimientos que utilizaremos en temas que abordaremos más adelante.

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TRABAJO DE UNA FUERZA

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El trabajo W es una magnitud escalar que, como veremos, da la cantidad de energía cinética transferida por una fuerza.

El trabajo de dicha fuerza se define:

Las unidades de trabajo en el Sistema Internacional son los julios (J).

1 julio es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N en un desplazamiento de 1 m, y su nombre fue elegido en honor del físico inglés james Prescott joule(1818-1889), que estudió la naturaleza del calor y descubrió su relación con el trabajo.

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Se define fuerza como el efecto que se ejerce sobre un cuerpo y que es capaz de deformarlo o variar su movimiento.

Se define potencia como la velocidad con que se genera o se consume una energía.

Se define energía como la capacidad de producir un movimiento.

DEFINICIÓN.

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Entre las energías que conocemos tenemos cinética, potencial gravitatoria, de un combustible, interna, eléctrica, elástica,... nuclear, solar, eólica,... así como la transmisión de calor por conducción, convección y radiación.

Una forma de energía es la que se produce cuando una fuerza desplaza un objeto. A esta energía se la denomina trabajo, y viene expresado como el producto de la fuerza por el desplazamiento que ha producido:

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PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

CONCEPTOS. El núcleo teórico de P.T.V. menciona:

“Si una estructura, estando en equilibrio, sufre una deformación virtual debido a la acción de una carga adicional , el trabajo virtual externo de la carga en cuestión, es igual al trabajo virtual interno, desarrollado por las tensiones causadas por la carga”

En cuanto a lo referente a la mecánica de cuerpos rígidos, ya que estos cuerpos no sufren deformación sino desplazamientos, el P.T.V.. Se da la siguiente manera:

“Dado un cuerpo rígido mantenido en equilibrio por un sistema de fuerzas, el trabajo virtual efectuado por este sistema, durante un desplazamiento virtual, es nulo”.

DEFINICIÓN FORMAL.

Un sistema de cuerpos rígidos conectados está en equilibrio siempre que el trabajo virtual efectuado por todas las fuerzas y pares externos que actúan sobre el sistema será cero para cada desplazamiento independiente virtual del sistema.

Matemáticamente expresado:

donde U representa el trabajo virtual de todas las fuerzas externas (y pares) que actúan sobre el sistema durante cualquier desplazamiento independiente virtual.

Ejemplo.

Considere una partícula que cuenta con un desplazamiento pequeño de A hasta A1 las fuerzas que actúan pueden estar balanceadas y la partícula que está en reposo puede moverse bajo la acción de las fuerzas dadas en una dirección distinta a la de A A1. A este desplazamiento nombrado como Sr, se le conoce como desplazamiento virtual, puesto que en realidad no ocurrió.

EL PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL ESTÁ CONSTITUIDO POR 2 PARTES:

“Si una partícula está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas que actúan sobre la partícula es cero para cualquier desplazamiento virtual de la partida”

“Si el cuerpo rígido está en equilibrio, el trabajo virtual total de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo rígido es cero para cualquier desplazamiento virtual del cuerpo”

Al tratarse de cuerpos rígidos, estos desplazamientos deben reunir las siguientes características:

 

• Ideal: El desplazamiento debe ser ideal o imaginario y deberse a cualquier acción, real o ficticia, independiente del sistema de fuerzas que realizan el trabajo.

• Pequeño: Puede ser finito o infinitesimal, de manera que no modifique la geometría del sistema.

• Compatible: Los desplazamientos virtuales pueden ser de cualquier tipo pero no pueden violar las condiciones de vınculo.

PARTÍCULA.Si la partícula que se muestra en la figura sufre un desplazamiento imaginario o virtual r, entonces el trabajo virtual ( u) efectuado por el sistema de fuerzas es:

Por equilibrio, " Σx = 0, "Σy = 0, "Σz = 0, así que el trabajo virtual debe ser también cero, es decir,

U = 0

CUERPO RÍGIDO

De manera similar, también podemos escribir un conjunto de 3 ecuaciones de trabajo virtual ( U = O) para un cuerpo rígido sometido a un sistema de fuerzas coplanares. Si estas ecuaciones implican traslaciones virtuales separadas en las direcciones x & y, y una rotación virtual con respecto a un eje perpendicular al plano x-y que pase por un punto arbitrario O, entonces se puede demostrar que corresponderán a las tres ecuaciones de equilibrio:

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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DEL TRABJO VIRTUAL

• . El principio del trabajo virtual es particularmente efectivo cuando se aplica a la solución de problemas que involucran maquinas o mecanismos compuestos de varios cuerpos rígidos conectados entre si. Sin embargo, antes debemos primeramente especificar el número de grados de libertad de un sistema y establecer coordenadas que definan la posición del mismo.Grados de libertad. Un sistema conexo de cuerpos rígidos toma una forma única que puede especificarse siempre que se conozca la posición de un cierto número de puntos específicos en el sistema. Estas posiciones se definen usando coordenadas independientes q, que se miden desde puntos de referencia fijos.

El sistema tendrá un grado de libertad para desplazarse a lo largo del eje de coordenadas que sea consistente con la acción restrictiva de los apoyos. Así, un sistema de n grados de libertad requiere n coordenadas independientes q n para especificar la localización de todos sus miembros.

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Principio del trabajo virtual. El principio del trabajo virtual para un sistema de cuerpos rígidos cuyas conexiones son sin fricción puede enunciarse como sigue: Un sistema de cuerpos rígidos conectados está en equilibrio a condición de que el trabajo virtual realizado por ladas las fuerzas externas y pares que actúan sobre el sistema sea cero para cada desplazamiento virtual independiente del sistema. Matemáticamente, esto puede expresarse como:

Esto representa el trabajo virtual de todas las fuerzas externas (y pares) que actúan sobre el sistema durante cualquier desplazamiento virtual independiente.

Como se dijo antes, si un sistema tiene n grados de libertad se necesitan n coordenadas independientes para especificar la localización del sistema completamentePROCESAMIENTO DEL ANALISIS.El siguiente procedimiento proporciona un método para aplicar la ecuación del trabajo virtual a solución de problemas que involucran un sistema de cuerpos conectados sin fricción, con un solo grado de libertad.

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 Diagrama de cuerpo libre. Trace el diagrama de cuerpo libre de todo el sistema de cuerpos conectados y defina la coordenada independiente q. Bosqueje la "posición de deflexión" del sistema en el diagrama de cuerpo libre cuando el sistema es sometido a un desplazamiento positivo virtual.Desplazamientos virtuales. Indique las coordenadas de posición, medidas desde un punto fijo en el diagrama de cuerpo libre hasta las fuerzas y pares "activos". Cada eje de coordenadas debiera ser paralelo a la línea de acción de la fuerza "activa" a la que está dirigido, de modo que se pueda calcular el trabajo virtual a lo largo de los ejes de coordenadas.

Esta propiedad del método del trabajo virtual se puede utilizar para resolver problemas relacionados con maquinas y mecanismos. Si el desplazamiento virtual considerado es consistente con las restricciones impuestas por los apoyos y uniones, todas las reacciones y las fuerzas internas se eliminan y solo debe considerarse el trabajo de las cargas, las fuerzas aplicadas y las fuerzas de fricción.

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Ecuación de trabajo virtual. Escriba la ecuación de trabajo virtual para el sistema suponiendo que, sea posible o no lo sea, todas las coordenadas de posición Si "ese" Si se someten a desplazamientos virtuales positivo . Usando las relaciones para ,exprese el trabajo de cada fuerza y par activos en la ecuación en términos del desplazamiento virtual independiente Sq. Si se obtiene como factor común este desplazamiento, queda una ecuación que en general puede ser resuelta para una fuerza desconocida, un par o una posición de equilibrio.

FORMULAS EMPLEADAS.

Ecuación de trabajo virtual. Si los desplazamientos virtuales fuesen ambos positivos, las fuerzas y sus correspondientes desplazamientos tendrían el mismo sentido, y el trabajo de las fuerzas W y F sería positivo. Luego, la ecuación de trabajo virtual para el desplazamiento es

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En forma análoga se puede determinar la componente de la reacción AX al mantener fijo el punto B y aplicar un desplazamiento virtual horizontal al punto A. Las restantes componentes AY y BY, se pueden calcular rotando el armazón ABC como si fuera un cuerpo rígido, respectivamente, con relación a B y A.El método de trabajo virtual también se puede emplear para determinar la configuración de un sistema en equilibrio sujeto a la acción de varias fuerzas dadas.

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Usando el principio del trabajo virtual, determine la fuerza horizontal que el pasador en e debe ejercer para mantener el equilibrio del mecanismo mostrado en la figure.cuando θ= 45°. Desprecie el peso de los miembros.

EJEMPLO

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SOLUCIÓN

Diagrama de cuerpo libre. La reacción C x puede obtenerse liberando la restricción en e en la dirección x y permitiendo el desplazamiento del bastidor en esta dirección. El sistema tiene sólo un grado de libertad definido por la coordenada independiente θ.

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Desplazamientos virtuales. Las fuerzas ex y de 200 N son localizadasdesde el origen fijo A usando coordenadas de posición YB y xc. A partir de la figura b, Xc puede ser relacionada a mediante lae "ley de los cosenos". Por tanto,

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Cada miembro del mecanismo conectado mediantepasadores tiene una masa de 8 kg. Si el resorte no estáalargado cuando = 0°, determine la rigidez k requeridade manera que el mecanismo esté en equilibriocuando = 30°. Considere M - O.

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MAQUINAS REALES:

EFICIENCIA MECANICA

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DEFINICIONES.

MAQUINA:A un conjunto de piezas o elementos móviles y no móviles, que por efecto de sus uniones son capaces de transformar la energía. Para distinguirlo de un mecanismo podríamos añadir que su finalidad no es sólo transmitir movimientos y fuerzas sino también realizar trabajos mecánicos que ayuden al hombre a realizar una determinada tarea.

EFICIENCIA:Las maquinas y motores son implementos de uso muy común en la vida cotidiana, y a menudo hablamos de su eficiencia. La eficiencia implica trabajo, energía o potencia, o las tres cosas. Todas las maquinas, sean simples o complejas, que efectúan trabajo tienen piezas mecánicas que se mueven, por lo que una parte de la energía aportada siempre se pierde por la fricción o alguna otra causa (quizá en forma de sonido). Por ello, no todo el aporte de energía se invierte en efectuar el trabajo útil.

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Una maquina en la cual el trabajo de entrada es igual al trabajo de salida se le conoce como maquina “ideal”. Pero en una maquina “real” las fuerzas de fricción siempre realizan trabajo, por lo que el trabajo de salida será menor que el trabajo de entrada.

El trabajo de entrada se realiza mediante la aplicación de una sola fuerza, y la maquina realiza el trabajo de salida a través de otra fuerza única. Durante una operación de este tipo ocurren tres procesos: 1. Se suministra trabajo a la maquina.2. El trabajo se realiza contra la fricción.3. La maquina realiza trabajo útil o de salida.De acuerdo con el principio de la conservación de la energía, estos procesos se relacionan de la forma siguiente: Trabajo de entrada = trabajo contra la fricción + trabajo de salida

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La cantidad de trabajo útil producido por una maquina nunca puede ser mayor que el trabajo que se le ha suministrado. Siempre habrá alguna perdida debido a la fricción o a la acción de otras fuerzas disipadoras.

Cuanto mas se reduzca la perdida por fricción en una maquina, tanto mas provecho se obtendrá del esfuerzo realizado. Dicho de otro modo, la eficiencia de una maquina puede medirse comparando su trabajo de salida con el trabajo que se le suministro.

La eficiencia de una maquina real se presenta como:

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NOTA

Es posible construir maquinas reales que prácticamente no tengan fricción. Pero de todos modos su eficiencia no llega al 100%.

las maquinas reales tienen una eficiencia menor que 100%, es decir, el trabajo producido siempre es menor que la energía aportada.

es imposible construir una maquina funcional de movimiento del 100%.

Se ha intentado sin éxito construir maquinas así.

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EJEMPLO.Si una maquina recibe 100 joule (de energía) y produce 40 joule (de trabajo) su eficiencia real es de.

ì= 0.40

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TRABAJO DE UNA FUERZA DURANTE UN DESPLAZAMIENTO FINITO

* EJERCIDAS EN UN PESO * EJERCIDA POR UN RESORTE.

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• El trabajo de una fuerza durante un desplazamiento finito es un tema que se encuentra asociado con las fuerzas conservadoras solo que enfocado durante un desplazamiento finito la cual se maneja en dos diferentes formas :

• ejercidas en un peso

• y por un resorte

DEFINICIONESTRABAJO DE UNA FUERZA: el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a la energía necesaria para desplazar este cuerpo. El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra y se expresa en unidades de energía, esto es medida en joule que es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N en un desplazamiento de 1 mDEZPLAZAMINETO FINITO: La diferencia del vector posición entre dos posiciones distintas recibe el nombre de vector desplazamiento y se le designa por (desplazamiento finito)FUERZA CONSERVADORA: Una fuerza es conservadora si el trabajo realizado por ésta en un objeto es independiente de la ruta que sigue el objeto en su desplazamiento entre dos puntos.

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FUERZA CONSERVADORA

• Supongamos que una partícula se inicia en el punto A, y hay una fuerza F que actúa sobre el mismo. A continuación, la partícula se mueve alrededor de otras fuerzas, y, finalmente, termina en un nuevo. Aunque la partícula puede todavía estar en movimiento, en ese instante cuando pasa el punto A de nuevo, se ha desplazado por una trayectoria cerrada. Si el trabajo neto realizado por F en este punto es 0, entonces F pasa la prueba trayectoria cerrada. Cualquier fuerza que pasa la prueba trayectoria cerrada para todas las posibles trayectorias cerradas se clasifica como una fuerza conservadora.

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El trabajo de la fuerza correspondiente a un desplazamiento finito de la partícula desde A1 hasta A2 se denota con U1->2 y se obtiene integrando la ecuación dU = FD a lo largo de la curva que sigue la partícula:

• Con la expresión alternativa

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Donde la variable de integración s mide la distancia recorrida por la partícula a lo largo de su trayectoria. También el trabajo U1->2 está representado por el área bajo la curva que se obtiene al graficar F cos contra s. En el caso de que la magnitud de la fuerza F que actúa en dirección del movimiento es constante, entonces de la formula se obtiene que

el trabajo de un par de momento M que se genera durante una rotación infinitesimal dϴ de un cuerpo rígido es dU = Mdϴ entonces el trabajo de un par durante una rotación finita del cuerpo puede expresarse como:

En el caso de un par de magnitud constante se obtiene:

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TRABAJO DE UNA FUERZA EJERCIDAS EN UN PESO

El Trabajo de un peso W de un cuerpo durante un desplazamiento infinitesimal de este es igual al producto de W y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo. Si el eje y se dirige hacia arriba, entonces el trabajo de W realizado durante un desplazamiento finito del cuerpo se obtiene escribiendo.

Donde y representa el desplazamiento vertical desde A1 hasta A2. Por tanto, el trabajo del peso W es igual al producto de W y el desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo. Note que el trabajo es positivo cuando y < 0, esto es, cuando el cuerpo se mueve hacia abajo

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TRABAJO DE LA FUERZA EJERCIDA POR UN RESORTE.

un resorte tiene elasticidad que es la propiedad física en la que los objetos con capaces de cambiar de forma cuando actúa una fuerza de deformación sobre un objeto.  El objeto tiene la capacidad de regresar a su forma original cuando cesa la deformación.  Depende del tipo de material.  Los materiales pueden ser elásticos o inelásticos. Los materiales inelásticos no regresan a su forma natural. 

 

Considere un cuerpo A unido a un punto fijo B por medio de un resorte; se supone que el resorte esta sin estirar cuando el cuerpo está en A0. La evidencia experimental muestra que la magnitud de la fuerza F ejercida por el resorte sobre el cuerpo A es directamente proporcional a la deflexión x del resorte, medida a partir de la posición A0. Esto es:

F = kx

Donde k es la constante del resorte expresada en N/m si se usan unidades del SI y en lb/ft o lb/in. Si se utilizan las unidades de uso común en Estados Unidos. El trabajo de la fuerza F ejercida por el resorte durante un desplazamiento finito del cuerpo desde A1(x = x1) hasta A2(x = x2) se obtiene escribiendo

dU = —F dx = —kx dx

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Además, note que el trabajo de la fuerza F ejercida por el resorte sobre el cuerpo es positivo cuando x2 < X1 esto es, cuando el resorte está regresando a su posición sin estirar.

Como la ecuación F=kx representa la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con una pendiente k, el trabajo U1->2 de F durante el desplazamiento desde A1 hasta A2 se puede obtener al evaluar el área bajo la curva del trapezoide. Esto puede hacerse al calcular los valores de F1 y F2 y multiplicando la base x del trapezoide por su altura media 1/2(F1 + F2). Como el trabajo de la fuerza F ejercida por el resorte es positivo para un valor negativo de x entonces, se puede escribir

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ENERGÍA POTENCIAL.

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La energía potencial es el tipo de energía mecánica asociada a la posición o configuración de un objeto.

Podemos pensar en la energía potencial como la energía almacenada en el objeto debido a su posición y que se puede transformar en energía cinética o trabajo.Cuando una fuerza conservadora, como la fuerza de gravedad, actúa en un sistema u objeto; la energía cinética ganada (o pérdida) por el sistema es compensada por una pérdida (o ganancia) de una cantidad igual de energía potencial.

Una fuerza es conservadora si el trabajo realizado por ésta en un objeto es independiente de la ruta que sigue el objeto en su desplazamiento entre dos puntos.

Otras fuerzas conservadoras son: la fuerza electrostática y la fuerza de restauración de un resorte.

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Considera una pelota cayendo.

La fuerza de gravedad realiza trabajo en la pelota. Como la dirección de la fuerza de gravedad es dirección del desplazamiento de la pelota, el trabajo realizado por la gravedad es positivo.

Según la energía cinética aumenta, la ganancia debe ser compensada por una perdida de una cantidad igual en energía potencial. Es decir, según la pelota cae, la energía cinética aumenta mientras que la energía potencial disminuye.

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Se define la energía potencial como:

U = mgh

Donde:m es la masa del objeto.g es la aceleración de gravedad. h es la altura del objeto.

Así que según la pelota cae, su energía potencial disminuye por virtud de la reducción en la altura.

DEFINICIÓN.

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Considera un ciclista que intenta subir una cuesta sólo con el impulso.

Según el ciclista sube la cuesta, su velocidad irá disminuyendo, por lo que la energía cinética disminuirá.

La razón es que el trabajo realizado por la fuerza de gravedad en este caso es negativo debido a que el desplazamiento es hacia la parte alta del plano, mientras que el componente de la fuerza de gravedad que actúa en el ciclista es hacia la parte baja del plano.

Esta pérdida en energía cinética se compensa con un aumento en la energía potencial.

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La altura aumentará hasta alcanzar aquella altura que le da una energía potencial igual a la energía cinética del ciclista justo antes de comenzar a subir la cuesta.

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¿Qué energía potencial tiene un ascensor de 800 Kg en la parte superior de un edificio, a 380 m sobre el suelo? Suponga que la energía potencial en el suelo es 0.

Se tiene el valor de la altura y la masa del ascensor. De la definición de la energía potencial gravitatoria:

Ug = (800 Kg)*(9.8 m/s^2)*(380 m) = 2,979,200 J = 2.9 MJ 

EJEMPLO.

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ENERGIA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

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La aplicación del principio del trabajo virtual se simplifica considerablemente cuando es conocida la energía potencial del sistema. En el caso de un desplazamiento virtual, la formula se transforma en du=-dv . Además, si la posición del sistema está definida por una sola variable independiente O, entonces se puede escribir que dv=(dv/dO ). Como dO debe ser diferente de cero, la condición du =0 para que el sistema se conserve en equilibrio ahora se transforma en

Por lo tanto y en términos de la energía potencial, el principio del trabajo virtual establece que si un sistema está en equilibrio, la derivada de su energía potencial total a cero.

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Por ejemplo, considere una estructura hecha de dos elementos ACy CB que sostiene una carga W en C. La estructura se sostiene medianteun perno en A y un rodillo en B y un resorte BD une B al punto fijoD (figura a). El resorte tiene una constante k y se supone quesu longitud natural es igual a AD y, por tanto, el resorte está sin estirarcuando B coincide con A. Sin tomar en cuenta las fuerzas de fricción yel peso de los elementos, se encuentra que las únicas fuerzas que realizan trabajo durante un desplazamiento de la armadura son el peso Wy la fuerza F ejercida por el resorte en el punto B (figura b). Deesta manera, la energía potencial total del sistema se obtiene al sumarla energía potencial V„ correspondiente a la fuerza dc gravedad W y laenergía potencial Ve correspondiente a la fuerza elástica F.Al seleccionar un sistema dc ejes coordenados con origen en A yobservar que la elongación del resorte medida a partir de su posiciónsin estirar es AB = xB, se escribe

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O bien

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ESTABILIDAD DE EQUILIBRIO.

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El principio de la energía potencial, que se ha utilizado en el tema anterior para determinar la posición de equilibrio de un cuerpo o sistema de cuerpos, se puede utilizar también para determinar el estado de equilibrio del cuerpo o sistema de cuerpos. Los tres estados de equilibrio (estable, indiferente e inestable)

EQUILIBRIO ESTABLE.La bola de la figura (A) se halla en posición de equilibrio estable por la gravedad la haría volver al punto mas bajo del suelo si hubiera sido apartada de el por una fuerza cualquiera. En este estado estable de equilibrio, el trabajo que se efectúa sobre la bola en todo el desplazamiento elemental es negativo ya que el peso de la bola se ejerce en sentido opuesto a una componente del desplazamiento; por tanto, la energía potencial de la bola aumenta

Resulta evidente que la configuración de equilibrio estable tiene lugar en un punto de energía potencial mínima. Matemáticamente de un grado de libertad, la energía potencial será mínima cuando la segunda derivada de la energía potencial respecto a la variable de desplazamiento sea positiva.

EQUILIBRIO INDIFERENTE

La bola de la figura (B) se halla en una posición de equilibrio indiferente sobre el plano horizontal porque, cuando se suprima la fuerza perturbadora que sobre ella se ejerza, permanecerá en la nueva posición que haya alcanzado. En este estado de equilibrio indiferente, durante el desplazamiento no se habrá efectuado trabajo alguno tal que el peso de la bola es perpendicular a la dirección del desplazamiento; por lo tanto, la energía potencial de la bola se habrá mantenido constante. Así pues, las condiciones de equilibrio indiferente son

EQUILIBRIO INESTABLE.

La bola de la figura (C ) se halla en una posición de equilibrio inestable en el punto más alto del suelo porque, si se perturbase, la gravedad la haría alejarse de su posición de equilibrio original. En este estado de equilibrio inestable, el trabajo que se efectúa sobre la bola en cualquier desplazamiento elemental será positivo ya que el peso de dicha bola se ejerce en el mismo sentido que una componente del desplazamiento; por tanto, la energía potencial de la bola disminuirá.

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CONCLUSIONLa primera parte de este trabajo se dedico al estucho del principio del trabajo virtud y a su aplicación en la solución de problemas de equilibrio. Primero se definió el trabajo de una fuerza F correspondiente a un desplazamiento pequeño dr como la cantidad

La cual se obtiene al realizar el producto escalar de la fuerza F y el desplazamiento dr. Si se representa con F y ds, respectivamente, las magnitudes de la fuerza y el desplazamiento y con a el ángulo que forman F y dr, se puede escribir

El trabajo dU es positivo si a < 90°, cero si a = 90° y negativo si a > 90°. También encontró que el trabajo de un par de momento M que actúa sobre un cuerpo rígido es

donde d θ es un ángulo pequeño, expresado en radianes, sobre el que rota el cuerpo.

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Cuando se consideró una partícula localizada en A y sobre la que actuaban varias fuerzas F j, F 2.........F, se supusoque la partícula se movía hacia una posición A' . Como en realidad el desplazamiento no ocurrió, a éste se le llamó desplazamiento virtual y se le representó con Sr, mientras que al trabajo correspondiente de las fuerzas se le llamó trabajo virtual y se le denotó con . Así se obtuvo

El principio del trabajo virtual establece que si una partícula esta en equilibrio, el trabajo virtual total SU de las fuerzas que actúan sobre las partículas es igual a cero para cualquier desplazamiento virtual de la partícula.El principio del trabajo virtual puede extenderse al caso de los cuerpos rígidos y sistemas de cuerpos rígidos. Como este principio esta relacionado solo con fuerzas que realizan trabajo, la aplicación del mismo proporciona una alternativa útil diferente al uso de las ecuaciones de equilibrio para la solución de muchos problemas de ingeniería.

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Dicho método es muy útil en el caso de máquinas y mecanismos que consisten en varios cuerpos rígidos conectados entre sí, debido a que el trabajo de las reacciones en los apoyos y el de las fuerzas internas en las diferentes uniones con pernos que conforman el sistema son iguales a cero.

Máquinas reales, el trabajo realizado por las fuerzas de fricción debe ser tomado en cuenta, por lo que el trabajo de salida es menor que el trabajo de entrada. Se definió la eficiencia mecánica de una máquina como la relación

En donde se puntualizó que para una máquina ideal (sin fricción), = 1 mientras que para una máquina real < 1.

ì ìFuerzas con desplazamientos finitos de sus puntos de aplicación. El trabajo de la fuerza F corresponde a un desplazamiento de la partícula A desde A1 hasta A2

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De manera similar, el trabajo de un par de momento M correspondiente a una rotación finita desde θ1 hasta θ2 de un cuerpo rígido se expreso como

El trabajo realizado por el peso W de un cuerpo en el que su centro de gravedad se mueve de la altura y 1 hasta y 2, se puede obtener al hacer que F = W y a = 180°

Por tanto, el trabajo de W es positivo cuando la altura y disminuye.

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El trabajo de la fuerza F ejercida por un resorte sobre un cuerpo A conforme el resorte se estira desde x1 hasta x2 se obtiene al hacer F = kx, donde k es la constante del resorte y en la ecuación

Así, el trabajo F es positivo cuando el resorte regresa a su posición sin deformar. Cuando el trabajo de la fuerza F es independiente de la trayectoria real que sigue la partícula entre A1 y A2, entonces se dice que la fuerza es conservativa y por tanto, su trabajo realizado se expresa de la siguiente forma

Donde V es la energía potencial asociada con F; V1 y V2 representan, respectivamente, los valores de V en A1 y A2 .Las energías potenciales asociadas con la fuerza de gravedad W y con la fuerza elástica F ejercida por un resorte se expresan como

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Cuando la posición de un sistema mecánico depende sólo de una variable independiente θ, la energía potencial V(θ) del sistema debe estar en función de esta variable y, por tanto, se concluye que

La condición requerida por el principio del trabajo virtual para que el sistema se conserve en equilibrio se puede sustituir por la condición

Este enfoque presenta una ventaja más, porque es posible determinar si el equilibrio del sistema es estable, inestable o neutro con base en el signo de la segunda derivada de V.Por otra parte, si entonces V es mínima y el equilibrio es estable; pero si entonces V es máxima y el equilibrio es inestable. Pero si

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BIBLIOGRAFIA.• MECANICA VECTORIAL PARA INGENIEROS.

ESTATICA 8 EDICION.

UNIDAD 10

Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr., Elíiot R. Eisenberg

• MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS

ESTATICA 10 EDICION

R. c. Hibbeler

UNIDAD 11

• FISICA CONCEPTOS Y APLICACIONES

PAUL E. TIPPENS 7 EDICION

UNIDAD 1,2 Y 7

 

67

WEBLIOGRAFIA

• http://www.slideshare.net/jhonfredyperez988/mecnica-vectorial-para-ingenierios-estatica-beer-8edicion

• https://sites.google.com/site/timesolar/energia/energiapotencial

• http://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n

• http://centrodeartigos.com/articulos-de-todos-los-temas/article_27171.html

• http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinam1p/trabajo.html

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GRACIAS.