TRABAJOb

a

dW F dl W F dl= ⋅ ⇒ = ⋅∫r rr r

Se define : unidades trabajo: juliosNm = J

Si actúan varias fuerzas simultáneamente la energía total que transfieren será igual a la suma de lo que transfiere cada una con independencia de las demás (principio de superposición)

1 2 3 4

1 2 3

1

4

( .....)

=

...

n

t ii

b

ta

b b b b

a a a a

W F F F F dl

F dl F dl F dl F dl

W W=

= + + + + ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

=

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∑

rr r r r

r r r rr r r r

TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA

El trabajo es el proceso mediante el cual se transfiere energía a un cuerpo

22 2

2 2 2

1 12 2

:1 ( )2

2

b b b b

b aa a a a

recordemos quedv dv

dp dv m dvW F dl dl m vdt dt mv

v v vdt

mvdt d

d

t t

t

d= ⋅ = ⋅ = ⋅ = = −

⋅ = ⇒ =

∫ ∫ ∫ ∫r rr rr r

rr r r

2 21 12 2

⋅ = −∫rrb

b aa

F dl mv mv

cW E= ∆

Trabajo-energía cinética

cW E= ∆

El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un sistema se invierte en variar su energía cinética

Esta ecuación relaciona una característica de la partícula (energía cinética) con una cantidad (trabajo) que depende de la trayectoria

El trabajo puede ser positivo o negativo.

Trabajo positivo significa que se transfiere energía a la partícula y trabajo negativo indica que la energía es transferida de la partícula al entorno.

Fuerza conservativaUna fuerza es conservativa si el trabajo que realiza a lo largo de un camino cerrado es nulo

0a

caF dl =∫ i

Fc

dl

b

a

Fc

dl

Si la fuerza es conservativa el trabajo realizado es independiente del camino elegido para ir de "a" a "b"

Energía potencial

Si la fuerza es conservativa, podemos mover un cuerpo de un punto a otro en un proceso infinitamente lento (v=0) (aplicando una fuerza externa igual y contraria), con lo cual no hay variación de energía cinética y si hay variación de posición.

Pero el trabajo realizado por la fuerza externa se almacena en forma de energíapotencial

Hay otras formas de almacenar energía.

( ) 0b

externac

a

F F dl+ =∫ i

b bexterna

c pa a

F dl F dl E=− =∆∫ ∫i i

Energía potencial: conclusión

El trabajo que realiza la fuerza conservativa es igual a la variación de la energía potencial del móvil

El trabajo realizado por una fuerza conservativa se transfiere al móvil de forma que adquiere una energía en base a la posición en que se encuentra, es decir le permite adquirir, energía potencial.

b

c pa

W F dl E= ⋅ =−∆∫

Fc

O

ab

ldr

1rr

2rr

Relación puntual: Fuerza conservativa-Energía potencial

Fc

dl

r1r2

O

La componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento (dl) es igual a la tasa de cambio espacial de la energía potencial en esa dirección

cos p

p

p

t p

pt

F dl dE

F dl dE

F d

dW d

l dE

d

E

EF

dl

α

⋅ = −

= −

= −

= −

= −rr

Relación fuerza- energía potencial

Se determinará en dos sistemas de coordenadas:

1.- En tres dimensiones utilizaremos :Coordenadas cartesianas

2.- En dos dimensiones utilizaremos : Coordenadas polares

Relación fuerza-energía potencial:En Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas

p p pp

E E EdE dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

p p px y z

E E EF dx F dy F dz dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

+ + = − − −∂ ∂ ∂

p p px y z

E E EF F F

x y z∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

pdEldF −=⋅rr

dzFdyFdxFldF

kFjFiFFkdzjdyidxld

zyx

zyx

++=⋅

++=

++=

rr

rrrr

rrrrExpresión matemática de dEp

Igualando sumando a sumando se obtiene la relación buscada:

Coordenadas cartesianasrelación fuerza-energía potencial

p p pE E EF i j k

x y z∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

rr r r

El módulo de la fuerza se puede determinar a partir de las variaciones espaciales de la energía potencial y lleva el sentido de la energía potencial decreciente

pF E= −∇r

se llama gradiente de la energíapE∇

Esta expresión en función del operador gradiente, ,adquiere un carácter general independiente del Sistema de Coordenadas elegido

∇

Se llama nabla al operador gradiente y se define en coordenadas cartesianas como:

i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

rr r∇

Coordenadas polares:vector de posición ( 2 dimensiones)

rr r u=r r

rd l d r u r d u θθ= +

Vector de posición de un punto P

Vector desplazamiento entre P y P'

dlr

P

P'

Coordenadas polaresRelación fuerza-energía potencial

Coordenadas polares

p pp

E EdE dr d

rθ

θ∂ ∂

= +∂ ∂

p pr

E EF dr F rd dr d

rθ θ θθ

∂ ∂+ = − −

∂ ∂

1 p pr

E EF F

r rθ θ∂ ∂

= − = −∂ ∂

pdEldF −=⋅rr

Expresión matemática de dEp

r

r r

r

d l d r u r d u

F F u F u

F d l F d r r F d

θ

θ θ

θ

θ

θ

= +

= +

= +i

Coordenadas polares: relación fuerza-energía potencial

1p pr

E EF u u

r r θθ∂ ∂

= − −∂ ∂

r r r

En este sistema de coordenadas el operador nabla se expresa

1ru u

r r θθ∂ ∂

∇= +∂ ∂r r

∇

pF E= −∇r

se llama gradiente de la energíapE∇

El módulo de la fuerza se puede determinar a partir de las variaciones espaciales de la energía potencial y lleva el sentido de la energía potencial decreciente

RESUMEN: Fuerza en función de la Energía potencial

p p pE E EF i j k

x y z∂ ∂ ∂⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

rr r r

Fuerza en coordenadas cartesianas: (3 dim)

1p pr

E EF u u

r r θθ∂ ∂

= − −∂ ∂

r r r

Fuerza en coordenadas polares: (2 dim)pF E= −∇

r

Expresión del Gradiente:

( , , ) ( , , ) ( , , )( , , ) p p p

p

E x y z E x y z E x y zE x y z i j k

x y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

rr r

( , , ) ( , , ) ( , , )1( , , ) p p pp

E z E z E zE z u u k

zρ θ

ρ θ ρ θ ρ θρ θ

ρ ρ θ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

rr r

( , , ) ( , , ) ( , , )1 1( , , )sen

p p pp r

E r E r E rE r u u u

r r rφ ϕ

φ ϕ φ ϕ φ ϕθ ϕ

φ φ ϕ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

r r r

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

pE∇

¿Qué relación existe entre la Energía potencial y el Momento de la Fuerza (torque)?

1 p pr

E EF F

r rθ θ∂ ∂

= − = −∂ ∂

1.-La fuerza está relacionada con la energía potencial:

2.- El momento de la fuerza o torque estárelacionado con la energía de la siguiente forma:

1( )p pE ErF r

rθτθ θ

∂ ∂= = − = −

∂ ∂

r Fτ = ×rr r

Las magnitudes que describen el movimiento de un cuerpo son :1.- La fuerza neta que actúa 2.- El Momento neto que ejercen las fuerzas que actúan

polares

FUERZAS CENTRALES

Tienen dos propiedades 1.- Son conservativas2.- Sólo dependen del módulo del vector de posición:

( , ) rF F r uθ=

( ) rF F r u=

0=×= Frrrrτ

Demostración:

1.- Las fuerzas centrales son conservativas.

El trabajo que realizan se acumula en forma de energía potencial

F

F

O

a

Fd

b

c

∫ =⋅C

ldF 0rr

2.-Las fuerzas centrales solo dependen del modulo del vector de posición, r.

1 0 0 ( )

p pp

E Eu E f r

rla energ ia po tencia l so lo puede depende de rr

θθ θ∂ ∂

− = ⇒ = ⇒ =∂ ∂

r

t

( )( ,

ambien

) (

)

p

y la fuerz

dE df rF r g rd

a central solo dependr dr

e rde

θ = − = − =( , ) ( , ) ppr r

EF

EF rr u u

r rθ θ

∂=

∂= ⇒ −

∂−∂

r r

Demostración:

Al ser central, en polares sólo tiene componente en la dirección radial y la componente normal es nula.

θθθ u

Er

ur

EurF p

rp

rrrr

∂∂

−∂∂

−=1),(La Fuerza central, expresada en polares, en

función de la energía potencial:

Si no existe componente normal se ha de cumplir :

Sustituyendo esta condición en la componente radial de la fuerza:

ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA AL TRABAJO QUE REALIZAN ALGUNAS FUERZAS CENTRALES

1.- Fuerza recuperadoras

212

pp p

dEkr dE

F kr

krdr E kr

Ep k

Cdr

r= −

−∇ =

= ⇒

−

= ⇒ = +∫ ∫

r r

r

2.- Fuerzas fundamentales :

Ejemplos:

2

2

2 2

r

p r

p pr r

kF ur

kE ur

dE dEk ku udr r dr r

±=

±−∇ =

= ⇒ =∓ ∓2 pp

kdE d kr

E Crr

= ⇒ =± +∫ ∫ ∓

Principio de la conservación de la energía.

2

1

2 2

1 1

2 2

1 1

2

1

( )r

nc c cr

r r

nc c cr r

r r

nc c c p c

r

p

r

ncr

r

c

W F F dl E

F dl F dl E

F dl

F

F

dl E E

dl E E E

= + ⋅ = ∆

⋅ + ⋅ = ∆

⋅ = − ⋅

⋅ =

+ ∆ = ∆ + ∆

∆ + ∆

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

rr r

r rr r

r rr

r

r

r

Si se discrimina el tipo de fuerza que actúa sobre el móvil, el trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de energía del sistema.

Principio de conservación de la energía: cont....

intb bextnc c pa a

F dl F dl E E⋅ + ⋅ = ∆ + ∆∫ ∫r rr r

El trabajo realizado por fuerzas NO CONSERVATIVAS internas dan lugar a una transformación en la ENERGÍA INTERNA del sistema, es decir una variación de la energía interna

internaE−∆

Considerando todas las posibles formas de energía:

int

bext

c p ea rnaF dl EE E⋅ =∆ +∆ +∆∫

int int( ) 0erna ernac p c pE E E E cteE E∆ + + = ⇒ + + =

Si el sistema está aislado: 0extF =

Conservación de la energía mecánica

Se llama energía mecánica a la energía que posee un móvil tanto por la posición como por su movimiento

Si sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas

Se puede reescribir:

( ) 0 ( )

m p

p c p c

c

E E E E ct

E E E

e∆ + = ⇒

= +

+ =

La energía Em total de un móvil se conserva si la única fuerza que realiza el trabajo es conservativa

0p cE E∆ +∆ =2

1

0r

nc p cr

F dl E E= ⋅ = ∆ +∆∫rr

int

0

0

ext

nc

F

F

=

=

POTENCIA

Desde un punto de vista práctico es más útil conocer no sólo la cantidad de energía transferida a un sistema, sino también la velocidad a la que se transfiere dicha energía. La tasa temporal de transferencia de energía se llama potencia.

dW F dlP F vdt dt

⋅= = = ⋅

rrr r

Se mide en watios : Js-1 = W

Análisis del movimiento a partir de los diagramas de Energía potencial

Diagrama de energía potencial:Fuerza recuperadora

2 21 12 2

c p

m

E E E ct

v cte

e

kx

= +

+ =

=

( ) ( )pE x U x=

equilibrio estable x=0

A partir de la función que determina la energía potencial es posible predecir la fuerza que se ejerce y el movimiento que realizará el móvil

E

FF

Ep

Ec

El móvil oscilará

Diagrama de energía potencial:diferentes ejemplos

F F

E1

E2

21 ( )2

( )

p

c p

mv E x cte

E E E x cte= + =

+ =

equilibrio inestable

dUFdx

= −

Fuerza

Ep

( ) ( )pE x U x=

El móvil se alejará del equilibrio con una aceleración creciente

Diagrama de energía potencial: otro ejemplo

21 ( )2

( )

p

c p

mv E x cte

E E E x cte= + =

+ =

( ) ( )pE x U x=E

F

FdUFdx

= −

FuerzaEp

equilibrio estable en un pequeño intervalo alrededorde x=0

Diagrama de energía potencialSi se conoce la dependencia de la energía potencial en función de la posición es posible entender el movimiento de la partícula.

21 ( )2

( )

p

c p

mv E x cte

E E E x cte= + =

+ =

pdEF

dx= −

Fuerza

BIBLIOGRAFÍALección 1.- Dinámica de la partícula II

1.3.1 Trabajo y Potencia1.3.2 Energía cinética1.3.3 Energía potencial1.3.4 Relación Fuerza conservativa- Energía potencial1.3.5 Principio de la conservación de la energía1.3.6 Conservación de la energía mecánica1.3.7 Diagramas de energía de fuerzas unidimensionales1.3.8 Diagrama de energía de una fuerza central

Libros:Sears, Zemansky, Young , Freedman . Física Universitaria Vol 1 Ed Pearson. Addison Wesley

R.A. Serway., J.W.Jewett Física. Vol 1 Ed. Thomson.

S.M. Lea, J.R. Burke. Física: La naturaleza de las cosas. Vol 1 Ed Paraninfo. Thomson Learning.