TRABAJO Y ENERGIA

El problema fundamental de la Mecnica es describir como se movern loscuerpos si se conocen las fuerzas aplicadas sobre l. La forma de hacerlo esaplicando la segunda Ley de Newton, pero si la fuerza no es constante, es decirla aceleracin no es constante, no es fcil determinar la velocidad del cuerponi tampoco su posicin, por lo que no se estara resolviendo el problema.Los conceptos de trabajo y energa se fundamentan en las Leyes de Newton,por lo que no se requiere ningn principio fsico nuevo. Con el uso de estasdos magnitudes fsicas, se tiene un mtodo alternativo para describir el movimiento,espacialmente til cuando la fuerza no es constante, ya que en estascondiciones la aceleracin no es constante y no se pueden usar las ecuacionesde la cinemtica anteriormente estudiadas. En este caso se debe usar el proceso matemtico de integracin para resolver la segunda Ley de Newton. Ejemplos de fuerzas variables son aquellas que varan con la posicin, comunes en la naturaleza, como la fuerza gravitacional o las fuerzas elsticas.Concepto de trabajoConsideremos una partcula P sobre la que acta una fuerza , funcin de la posicin de la partcula en el espacio, esto es y sea un desplazamiento elemental (infinitesimal) experimentado por la partcula durante un intervalo de tiempo dt. Llamamos trabajo elemental, dW, de la fuerza durante el desplazamiento elemental al producto escalar ; esto es,

Si representamos por la longitud de arco (medido sobre la trayectoria de la partcula) en el desplazamiento elemental, esto es , entonces el vector tangente a la trayectoria viene dado por y podemos escribir la expresin anterior en la forma

donde representa el ngulo determinado por los vectores y y Fs es la componente de la fuerza F en la direccin del desplazamiento elemental .

El trabajo realizado por la fuerza durante un desplazamiento elemental de la partcula sobre la que est aplicada es una magnitud escalar, que podr ser positiva, nula o negativa, segn que el ngulo sea agudo, recto u obtuso.Si la partcula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entre dos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales y el trabajo total realizado por la fuerza en ese desplazamiento ser la suma de todos esos trabajos elementales; o sea:

Esto es, el trabajo viene dado por la integral curvilnea de a lo largo de la curva C que une los dos puntos; en otras palabras, por la circulacin de sobre la curva C entre los puntos A y B. As pues, el trabajo es una magnitud fsica escalar que depender en general de la trayectoria que una los puntos A y B, a no ser que la fuerza sea conservativa, en cuyo caso el trabajo resultar ser independiente del camino seguido para ir del punto A al punto B, siendo nulo en una trayectoria cerrada. As, podemos afirmar que el trabajo no es una variable de estado.En el caso particular de que la fuerza aplicada a la partcula sea constante (en mdulo, direccin y sentido), se tiene que

es decir, el trabajo realizado por una fuerza constante viene expresado por el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento total entre la posicin inicial y la final.Si sobre una partcula actan varias fuerzas y queremos calcular el trabajo total realizado sobre esta ella, entonces representar al vector resultante de todas las fuerzas aplicadas.Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento.Concepto de energa cinticaSupongamos que F es la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energa cintica de la partcula.

En la primera lnea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleracin tangencial.En la segunda lnea, la aceleracin tangencial at es igual a la derivada del mdulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del mvil.Se define energa cintica como la expresin

El teorema del trabajo-energa indica que el trabajo de la resultante de las fuerzas que acta sobre una partcula modifica su energa cintica.Fuerza conservativa: Energa potencialUn fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre los valores inicial y final de una funcin que solo depende de las coordenadas. A dicha funcin se le denomina energa potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido para ir del punto A al punto B. El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado es cero.

EjemploSobre una partcula acta la fuerza F=2xyi+x2j NCalcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA. La curva AB es el tramo de parbola y=x2/3. BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y CA es la porcin del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW=Fdr=(Fxi+Fyj)(dxi+dyj)=Fxdx+FydyLas variables x e y se relacionan a travs de la ecuacin de la trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se relacionan a travs de la interpretacin geomtrica de la derivada dy=f(x)dx. Donde f(x) quiere decir, derivada de la funcin f(x) con respecto a x.

Vamos a calcular el trabajo en cada uno de los tramos y el trabajo total en el camino cerrado. Tramo ABTrayectoria y=x2/3, dy=(2/3)xdx.

Tramo BC La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.y=(2/3)x+1, dy=(2/3)dx

Tramo CDLa trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el trabajo WCA=0 El trabajo total WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0El peso es una fuerza conservativa

Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se desplaza desde la posicin A cuya ordenada es yA hasta la posicin B cuya ordenada es yB.

La energa potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso tiene la forma funcional

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel cero de la energa potencial.

La fuerza que ejerce un muelle es conservativaComo vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una fuerza sobre la partcula proporcional a la deformacin x y de signo contraria a sta.Para x>0, F=-kxPara x