Trabajo y Energía

1. Introducción. Concepto de energía.

2. Trabajo realizado por una fuerza.

3. Potencia mecánica.

4. Energía mecánica.

a. Energía cinética. Teorema del trabajo y la energía.

b. Campos conservativos. Energía potencial.

c. Concepto de gradiente de un escalar.

d. Principio de conservación de la energía mecánica.

e. Discusión de curvas de energía potencial.

1

1. Introducción. Concepto de energía.

¿Qué es la Energía?

Es una propiedad de todo cuerpo o sistema material en virtud de la cual éste puede transformarse modificando su situación o estado, así como actuar sobre otros originando en ellos procesos de transformación.

La energía puede presentarse en diversas formas (eléctrica, térmica, mecánica, etc.) pudiéndose transformar de una en otra, y conservándose en estos cambios, aunque se degrada al pasar de formas útiles a otras menos útiles.

Una buena parte de las transformaciones derivadas de la energía de un sistema material pueden describirse en términos de fuerzas y desplazamientos. De este tipo de transformaciones nos ocuparemos en este tema y, esencialmente, hacen referencia a la denominada Energía Mecánica.

2

2. Trabajo realizado por una fuerza (I).

El trabajo es una magnitud física que sirve para medir la energía transferida entre dos cuerpos cuando en el proceso intervienen fuerzas que desplazan su punto de aplicación.

Consideremos una fuerza F que actúa sobre una partícula produciéndole un desplazamiento elemental dr, se define el trabajo realizado por la fuerza como el producto escalar:

12

F�

dr�θ

cosdW F dr F ds θ= ⋅ =� �

Donde ds es el módulo del vector desplazamiento y θ es el ángulo que forma la dirección de la fuerza con la del desplazamiento.

En general, pueden presentarse dos casos:

a. Fuerza CONSTANTE y trayectoria rectilínea: 2

1cos xW F x F xθ= ∆ = ∆

3

2. Trabajo realizado por una fuerza (II).

b. Fuerza VARIABLE y/o trayectoria curvilínea: En este caso el trabajo total realizado por la fuerza debe obtenerse mediante la suma de todos los trabajos elementales, es decir:

22

1 1W F dr= ⋅∫

� �

22

1 10lim

ix xx

W F x F dx∆ =

= ∆ =∑ ∫

En el caso de una situación tridimensional tendremos que:

El problema se reduce a resolver primero el producto escalar y, a continuación, la integral correspondiente:

x y zx y z

F F i F j F kdW F dx F dy F dz

dr dx i dy j dz k

= + + ⇒ = + +

= + +

�� � �

�� ��

22

1 1 x y zW F dx F dy F dz= + +∫4

2. Trabajo realizado por una fuerza (III).

Ya que el trabajo mide la transferencia de energía a un sistema, si el resultado es que al final del proceso el sistema tiene más energía que al principio, significa que le hemos suministrado energía y, por tanto, el trabajo es positivo. Por el contrario, si el resultado final es que el sistema tiene menos energía que al principio, quiere decir que se le ha quitado energía y, por consiguiente, el trabajo es negativo.

Sistema de

unidadesTrabajo

Cegesimal Ergio (1 ergio = 10-7 J)

Internacional Julio (J)

Técnico Kilopondímetro (kpm) (1 kpm = 9,8 J)

Unidades de Energía:

Otras frecuentemente empleadas son:

6 191kWh = 3,6 10 J 1 atm l = 101,337 J 1 eV = 1,6 10 J−⋅ ⋅ ⋅5

Ejemplo 1.

Una partícula se mueve en el plano XY bajo la acción de la fuerza: describiendo el contorno indicado en la figura. Determinar el trabajo total realizado a lo largo del ciclo completo.

2 (S.I.)F x y i y j= +� � �

B (2, 2)

O

A

X

Y El trabajo total lo calcularemos sumando el trabajo realizado en cada tramo, es decir:

A B OTotal O A B

W W W W= + +

( )2

2 2

1 0

A AAO O O

W F dr x y i y j dy j y dy= ⋅ = + ⋅ =∫ ∫ ∫� � � ��

Para el tramo OA tenemos que:

23

0

8

3 3

AO

Jy

W

= = Para el tramo AB tenemos que:

( ) { }2

2

20

2 2B B BB B

A AA A AYa que en AB W F dr x y i y j dx i x y dx y W x dx= ⋅ = + ⋅ = = =∫ ∫ ∫ ∫

� � ���

2BA

W =2

2

x2

0

4 J

=

( ) ( )2 2

3

O O O OOB B B B B

W F dr x y i y j dx i dy j x y dx y dy= ⋅ = + ⋅ + = +∫ ∫ ∫ ∫� � �� ��

Finalmente en el tramo BO tenemos que:

6

Ejemplo 1. (Continuación)

Para resolver la integral del primer sumando necesitamos expresar y en función de x. Esto en nuestro caso es muy sencillo pues basta con observar que el tramo BO estácontenido en la recta cuya ecuación es y =x. Por tanto:

00 332 2

2 2

8 8 16

3 3 3 3 3

0 0OB 2 2

Jyx

W x dx y dy

= + = + = − − = −

∫ ∫

El trabajo total a lo largo del recorrido será:

8 16 44

3 3 3

A B OO A BTotal JW W W W= + + = + − =

1. Repita el problema considerando que la fuerza viene dada por:

2. Repita el problema considerando que el contorno descrito es el que aparece en la figura, tal que el tramo BO está contenido en la parábola y = 1/2 x2.

(S.I.)F x i y j= +� � �

B (2, 2)

O

A

X

Y

7

3. Potencia mecánica.

Como ha quedado establecido, el trabajo mide el intercambio de energía entre dos sistemas cuando conocemos la fuerza que se ejercen entre ambos. Es interesante conocer también la rapidez con la que se produce ese intercambio o, en otras palabras, la eficacia del trabajo realizado. La magnitud Potencia relaciona el trabajo realizado con el tiempo empleado.

Se emplean dos definiciones:

� Potencia media: media

WP

t∆

=∆

� Potencia instantánea:0

limt

W dWP

t dt∆ →

∆= =

∆

Teniendo en cuenta la definición de trabajo, la potencia instantánea puede expresar también como:

dW F drP F v

dt dt⋅

= = = ⋅

� �� �

La unidad de potencia en el S.I. es el vatio (W) que se define como la potencia de una máquina que es capaz de realizar el trabajo de 1 J en 1 s. Otras unidades de uso común son el kpm/s y el caballo de vapor (CV).

1 CV 75 kpm/s 735 W= =8

Ejemplo 2.

Una fuerza, que depende del tiempo según F = 6t (S.I.), actúa sobre una partícula de 2 kgde masa. Si la partícula inicialmente se encuentra en reposo, hallar el trabajo realizado por la fuerza en los dos primeros segundos. Determine la potencia desarrollada en ese instante.

De acuerdo con la definición de trabajo tenemos que:2 2

2

1 1 10cosW F dr F dr= ⋅ =∫ ∫

� �

Con lo cual, necesitamos conocer dr. Como conocemos la fuerza que actúa sobre la partícula podremos conocer su aceleración y, en consecuencia, su velocidad. En efecto:

263 3 3

2 2Como

tF dv ta t a v a dt t dt C

m dt= = = = ⇒ = = = +∫

Ya que en la partícula está inicialmente en reposo (v = 0 en t = 0), tenemos que:

2 220 3

0 3 0 32 2 2

Por tanto: Comot dr

C C v v dr t dtdt

= + ⇒ = = = ⇒ =

Es decir:2

42 2

2 2 3

1 1 0

0

36 9 9 36

2 4J

tW t t dt t dt

= = = =

∫ ∫

La potencia instantánea es:

3 39 2 9 2 72Y para WdW

P t t Pdt

= = = ⇒ = ⋅ =

9

10

4. Energía Mecánica.

A cada una de las situaciones en que un cuerpo puede producir una transformación, que puede ser descrita en términos de fuerzas y desplazamientos (trabajo), le asociaremos una definición concreta de energía, así definiremos la energía cinética como aquella energía asociada al movimiento de los cuerpos, y energía potencial como aquella asociada a la posición que ocupan los cuerpos. La suma de ambas energías, cinética y potencial, es lo que llamamos energía mecánica.

Energía Mecánica = Energía Cinética + Energía Potencial

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4a. Energía Cinética. Teorema del trabajo y la energía

Hasta ahora hemos visto que cuando una fuerza actúa sobre una partícula la acelera, pero también hemos dicho que al desplazarla realiza un trabajo sobre ella. ¿Se trata de dos efectos distintos o, por el contrario son dos aspectos de una misma cosa?

1r�

2r�

1v�

2v�

F�

m

1

2

O

Consideremos una partícula de masa m en una posición 1, dotada con una velocidad v1, y que bajo la acción de una fuerza F pasa a una posición 2 en la que tiene una velocidad v2. El trabajo realizado por la fuerza será:

22

1 1W F dr= ⋅∫

� �

Por otra parte, podemos decir que la fuerza aplicada modifica su estado de movimiento, tal que:

dvF m a m

dt= =

�� �

Si combinamos estos dos aspectos tenemos que:

22 22 2 2 2

1 2 11 1 1

1 1 1

2 2 2

dvW m dr m v dv m v m v m v

dt = = = = − ∫ ∫

�� � �

Es decir, existe una función definida por el semiproducto de la masa por la velocidad al cuadrado de la partícula, característica de cada punto que, además, nos permite calcular el trabajo realizado por la fuerza. Si llamamos Energía Cinética, Ec, a dicha función, tenemos que:

2 1

2

1 c c cW E E E= − = ∆

Resultado que se conoce como el Teorema del trabajo y de la energía, cuya validez es independiente de la naturaleza de la fuerza o fuerzas que actúen sobre la partícula.

12

Ejemplo 3.

Una bala de 2 g de masa sale del cañón de un rifle con una rapidez de 300 m/s; si la fuerza resultante que actúa sobre la bala mientras se encuentra en el interior del cañón es:

8000400

9(S.I.)F x= −

Determinar: a) El trabajo realizado por dicha fuerza, b) la longitud de cañón.

a) Teniendo en cuenta el teorema del trabajo y la energía, podemos escribir:

2 1

2 2 2 3 2 3 2

1 2 1

1 1 1 12 10 300 2 10 0 90

2 2 2 2Jc cW E E mv mv − −= − = − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

b) Por otra parte, ese trabajo que acabamos de calcular puede identificarse también con:

22 2

2

1 1 1 0

8000 8000400 400

9 9 2

L

x

LW F dr F dx x dx L

= ⋅ = = − = −

∫ ∫ ∫� �

Por tanto:2 24000 4000

90 400 400 90 09 9

L L L L= − ⇒ − + =

Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene:

0 45, mL =

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4b. Campos conservativos. Energía potencial.

Si en una región del espacio existe una magnitud física definida en cada punto, de manera que a cada punto del espacio le corresponde un valor de esa magnitud física, decimos que en esa región existe un campo.

� Si la magnitud física asociada a cada punto es de carácter escalar→ Campo Escalar.� Si la magnitud física asociada a cada punto es de carácter vectorial→ Campo Vectorial.

Un ejemplo típico de Campo Vectorial es un Campo de Fuerzas. En este caso una partícula, un cuerpo en general, está sometido a una fuerza definida en cada punto del espacio. Un campo de Fuerzas viene definido por una expresión matemática en la que el valor del vector fuerza depende de las coordenadas del punto. Por ejemplo:

2 (S.I.)F x y i y j= +� � �

Dos tipos de campos sencillos de estudiar y que aparecen con frecuencia son:

� Uniformes: igual valor de la magnitud física en todos los puntos del espacio. Como por ejemplo el campo gravitatorio terrestre en zonas próximas a la superficie terrestre.

� Centrales: cuyas fuerzas están dirigidas hacia un determinado punto, denominado centro del campo. Los campos gravitatorios y electrostáticos son típicos ejemplos de estos tipos de campos.

Campos de fuerzas conservativas.

Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado por las fuerzas del campo al actuar sobre un cuerpo, que se desplaza desde una posición A hasta otra B, no depende del camino seguido sino del punto inicial y final. Es decir:

A

B

1

2

A partir de esta definición se obtiene un resultado notable, el trabajo realizado por las fuerzas del campo sobre un cuerpo que recorre una trayectoria cerrada o ciclo es nulo.

( ) ( ) ( ) ( )21 1 2

0B A B BA B A AcicloW W W W W= + = − =

Que puede expresarse igualmente como:

0cicloW F dr= ⋅ =∫� �

�

( ) ( )1 2

B BA AW W=

A

1

2

B

Por tanto, también puede utilizarse este resultado para definir a un campo de fuerzas conservativas.

15

Energía potencial.

En un campo conservativo es posible establecer una relación matemática entre el campo vectorial (de fuerzas en nuestro caso) y un campo escalar asociado al primero.

X

Y

Z

O

Consideremos un campo de fuerzas en una región del espacio donde elegimos un punto O arbitrario como origen de referencia. Supongamos un punto P, como indica la figura, definimos la energía potencialde una partícula (un cuerpo) en el punto P como el trabajo cambiado de signo realizado por la fuerzas del campo para llevar la partícula desde el origen O hasta el punto P, es decir:

P (x, y, z)

r�

P

O( , , )U x y z F dr= − ⋅∫

� �

Así definida, la energía potencial resulta ser una magnitud escalar función de las coordenadas del punto (función de punto). El resultado es que en dicha región del espacio hemos definido un campo escalar de energías potenciales asociado al campo vectorial de fuerzas. Resulta evidente que la función energía potencial en cada punto dependerá de la elección del origen de referencia.

La relación anterior puede escribirse también como: dU F dr= − ⋅� �

Esta ecuación, que establece una relación entre un campo escalar y otro vectorial definido en una misma región del espacio es una característica esencial de los campos conservativos.

16

Energía potencial (continuación).

X

Y

Z

O

1

2

Supongamos ahora que deseamos desplazar una partícula en el seno del campo desde un punto 1 a otro 2, el trabajo realizado por las fuerzas del campo viene dado por:

22

1 1W F dr= ⋅∫

� �

Pero como el trabajo realizado en un campo conservativo es independiente de la trayectoria seguida podemos elegir alternativamente el recorrido 1O y O2, tal que:

2 1 22

1 1 21

O

O O OW F dr F dr F dr F dr U U= ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = −∫ ∫ ∫ ∫

� � � �� � � �

2 2

1 1

OO

W W W= +

Y, por tanto:

O lo que es lo mismo: 2

1W U= −∆

Este resultado significa que en un campo conservativo es posible determinar el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar un cuerpo desde un punto a otro del campo sin más que calcular la diferencia de energías potenciales entre ambos puntos del campo, sin preocuparnos por la trayectoria seguida en el proceso.

17

4c. Concepto de gradiente de un escalar.

Acabamos de estudiar que cuando conocemos el campo vectorial de fuerzas es posible determinar el campo escalar de energías potenciales empleando la relación:

dU F dr= − ⋅� �

¿Es posible determinar el campo vectorial de fuerzas cuando conocemos el escalar?

Lo primero que se nos ocurriría sería despejar F en la relación anterior, es decir:

dUF

dr= −�

�

Pero esta operación, es decir, la derivada de un escalar con respecto a un vector no estádefinida. Obsérvese que todo sería muy fácil si el campo fuese unidimensional. En efecto:

Si x x

dUF F i F

dx= ⇒ = −� �

Para solucionar el caso más general (un campo tridimensional) consideremos que el productoescalar tiene un máximo valor cuando las direcciones de ambos vectores coinciden. En tal caso:

F dr⋅� �

( )( )

0 maximo

maximocos

dUdU F ds F

ds= − ⇒ = −

Esto significa que el módulo de la fuerza es igual a la derivada de la energía potencial en una cierta dirección, aquella en la que la variación de la energía potencial es máxima. Decimos que F es el gradiente de la energía potencial con el signo cambiado.

18

4c. Concepto de gradiente de un escalar (continuación).

Continuando con el caso general, si resolvemos el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento, tenemos que:

( )x y zdU F dr F dx F dy F dz= − ⋅ = − + +� �

De acuerdo con lo discutido anteriormente, cada componente del vector fuerza puede identificarse con la variación que experimenta la función energía escalar en las direcciones de los tres ejes coordenados, respectivamente, considerando las otras dos constantes. Esta operación se conoce en matemáticas como derivada parcial y se expresa como:

; ; ;x y z

U U UF F F

x y z∂ ∂ ∂

= − = − = −∂ ∂ ∂

Por tanto, es posible expresar el vector fuerza en función de la energía potencial haciendo uso del operador gradiente:

gradU U U

i j k F i j kx y z x y z∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

≡ ∇ = + + ⇒ = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

������ � ��� �� ��

En definitiva:

gradF U U= − ≡ −∇������� �

Que indica que el vector fuerza es igual al gradiente de la función energía potencial cambiada de signo. Es decir, el campo de fuerzas siempre va dirigido en el sentido de las energías potenciales decrecientes.

Ejemplo 4.

Un campo de fuerzas viene definido por: . Determinar: a) ¿es conservativo dicho campo de fuerzas? b) el trabajo realizado por las fuerzas del campo al trasladar una partícula desde el punto A(1, 1) hasta el punto B(2, 3).

23 2 (S.I.)F x i y j= −� � �

a) Para que el campo sea conservativo es necesario que cumpla la igualdad:yxFF

y x

∂∂=

∂ ∂

Veamos si la cumple:

( )

( )

230

Es conservativo2

0

x

yx

y

xFFFy y

y xF y

x x

∂∂= =

∂∂∂ ∂⇒ = ⇒

∂ ∂∂ ∂ = =

∂ ∂

b) Ya que es conservativo podemos hacer uso de la relación . Debemos, por tanto, determinar la función energía potencial.

BAW U= −∆

( )

( )

2 31

22

3

2

x x

y

UF U F dx x dx x C y

xU

F U y dy y C xy

∂ = − ⇒ = − = − = − + ∂

∂= − ⇒ = − − = +

∂

∫ ∫

∫

La función que satisface la dos igualdades es:

3 2U x y= − +

Por tanto:( ) ( ) ( )B 3 2 3 2

A B A 2 3 1 1 1 JW U U U = −∆ = − − = − − + − − + = −

20

4d. Principio de conservación de la energía mecánica.

Consideremos un cuerpo sometido a la acción de un campo de fuerzas conservativas. El trabajo realizado por las fuerzas del campo, según el teorema del trabajo y la energía, modificará las condiciones del movimiento del cuerpo, haciendo variar su energía cinética. Por otra parte, al tratarse de fuerzas conservativas, el trabajo realizado será igual, al mismo tiempo, a la variación de energía potencial cambiada de signo y, en consecuencia:

( )2

1

2

1

0De dondecc c c

W EE U E U E U

W U

= ∆ ∆ = −∆ ⇒ ∆ + ∆ = ∆ + =

= −∆

O lo que es lo mismo, la suma de la energía cinética y potencial, es decir, la energía mecánica permanece constante en un campo conservativo.

¿Qué ocurre si sobre el cuerpo en cuestión actúa alguna fuerza no conservativa?

En tal caso tendremos que:

( ) ( )2 2 2

1 1 1conservativas no conservativasW W W= +

De nuevo el trabajo de las conservativas puede identificarse con la variación de la energía potencial, mientras que el trabajo total será igual a la variación de la energía cinética del cuerpo.*

( ) ( ) ( )2 2

1 1no conservativas no conservativasc cE U W W E U∆ = −∆ + ⇒ = ∆ +

* Recuerde que el teorema del trabajo y la energía se cumple para cualquier tipo de fuerza.

Ejemplo 5.

En el plano horizontal del sistema que se representa en la figura el rozamiento es despreciable, pero en el inclinado el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es 0,2. Un bloque de 2 kg se pone en contacto con el muelle, comprimiéndolo 30 cm. Si una vez comprimido se suelta, calcular hasta qué altura subirá el bloque por el plano inclinado, sabiendo que la constante elástica del muelle vale 1000 N/m (g = 10 m/s2).

h

30º

1

2 ( )2 1

21 M M Mno conservativas

W E E E= ∆ = −

Donde:1

2M

1

2KE U K x= =

2M 2E U m g h= =

RF�

1P�

N�

NF�

TF�

El trabajo de la fuerza no conservativa es el que realiza la fuerza rozamiento en el plano inclinado, es decir: cos180ºR R R RW F dr F s F s= ⋅ = = −

� �

Donde: cos30ºR c cF N m gµ µ= = Por tanto:

2

2

11 2cos30º

12tan30º

c

c

K xm g s m g h K x h

m g m gµ

µ− = − ⇒ =

+

211000 0,30

2 1,67 m2 10 0,2 2 10 3

h⋅

= =⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

s

sen30º

hs =

22

4e. Discusión de curvas de energía potencial.

En muchos casos el uso de diagramas de energía potencial es una manera útil de obtener una descripción completa, aunque cualitativa, de las posibilidades de movimiento de una partícula en un campo unidimensional de fuerzas conservativas. En este caso el campo de fuerzas será del tipo : , y tendremos que:

( ) ( ) dUdU F x dx F x

dx= − ⇒ = −

( )F F x i=� �

Es decir, la fuerza tiene el valor de la pendiente de la curva de U frente a x en cada punto, y sentido contrario al de los valores crecientes de la energía potencial.

U (x)

x

E1

E2

E3

E4

A B C

23

Ejemplo 6.

Una partícula se encuentra bajo la acción de un campo de fuerzas cuya energía potencial asociada viene dada por la expresión: . Se pide: a) Represente la curva de energía potencial, b) el módulo del vector fuerza que define el campo, c) ¿cuál es el sentido del vector fuerza en cada región del campo?, d) determine los puntos de equilibrio en el movimiento de la partícula, y e) ¿quémovimiento realizará la partícula cuando posea una energía total de 2 J?

( )2 33 S.I.U x x= −

a) Gráfica de la curva U = U (x).

-1 0 1 2 3

-4

-2

0

2

4

6

U (J)

x (m)

b) El módulo del vector fuerza vendrá dado por:

( )2 3

23

6 3x

d x xdUF x x

dx dx

−= − = − = − +

c) El sentido del vector fuerza será en cada región contrario al de las energías potenciales crecientes (ver Figura).

d) En los puntos de equilibrio: 0dUdx

=

( )

2 2

1

2

6 3 6 3 0

03 2 0

2

dUx x x x

dxx

x xx

= − ⇒ − =

=− = ⇒

=

→ mínimo (equilibrio estable)

→ máximo (equilibrio inestable)

e) Si igualamos la ecuación de la energía potencial a 2 y resolvemos encontramos dos soluciones: x1= - 0,73 m y x2 = 1 m. Esto significa que la partícula describirá un movimiento oscilatorio entre los puntos x1 y x2.

x1

x2