DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0 para la probabilidad de fracaso

( ).

Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realiza un único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso), se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli de parámetro .

Para cualquier ensayo de bernoulli se define a la variable aleatoria X así:

Si el experimento propicia “éxito”, entonces X=1. De lo contrario. X=0. De ahí que X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(x) definida por:

P (0)= P(X=0)= 1- p

P (1)= P(X=1)= p

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

Suponga que una población finita contiene elementos de dos tipos, éxitos y fracasos, y que se extrae una muestra aleatoria simple de una población. Entonces, si el tamaño muestral no es mayor a 5% de aquélla, se puede utilizar la distribución Binomial para modelar el número de éxitos.

DISTRIBUCIÓN POISSON

En este modulo se describe el uso de la distribución de Poisson para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una variable discreta.

La Distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson (1781-1840), esta distribución de probabilidad fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completo en su productiva trayectoria.

La distribución de probabilidad de poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.

La distribución de Poisson parte de la distribución Binomial.

Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución Poisson.

LA FUNCION P(X=K)

A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson:

Donde:

P(x=k) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta x toma un valor finito K.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). es igual a P por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828.

K= es el numero de éxitos por unidad.

P(x=k)= e-λ * λk

k !

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas  es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha .

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

Distribución normal estándar

N (0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida,  es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

DISTRIBUCIÓN GAMMA

La distribución gamma es una distribución continua, uno de sus propósitos es ampliar la utilidad de la distribución exponencial en el modelado de tiempos de espera. La función de densidad de probabilidad gamma tiene dos parámetros, r y λ, que son constantes positivas.

En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y cuya función de densidad para valores

es

Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la

aquella es (el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución distribución

Erlang con un parámetro .

DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es

una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de

una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es

pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la

determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la

construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de

dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y

ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución ji-cuadrado con   grados de libertad Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente   es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .