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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Notas sobre Geometría.

Geometría en el arte.

Análisis geométricos

Hoy la palabra geometría se aplica con un sentido más general que el etimológico y el matemático y nosotros, a nuestro fin, necesitamos ese sentido. Por geometría vamos a entender el estudio de los sistemas de organización práctica de las cosas en esquemas espaciales y en ella entrarán tanto los modos arbitrarios o metódicos de ordenar cosas o figuras gráficas, como la disciplina matemática y los procedimientos para comprender lo extenso.

* Al imaginar los pueblos primitivos, dividiendo la tierra, construyendo chozas, dibujando animales o dando nombre a las constelaciones de estrellas y navegando, no podemos dejar de pensar que, para hacer estas cosas, necesitaban el uso de una herramienta mental que les permitiese, planear y trazar en el suelo los límites del terreno o de la choza, descomponer la pared en regiones representando al animal y lo que no es él, e identificar las estrellas y las constelaciones por las figuras inalterables de ángulos y medidas que ofrecer en el firmamento.

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En nuestro diccionario por geometría se entiende la parte de las matemáticas que trata de las propiedades de la extensión. Tradicionalmente parece que la geometría, en el sentido anterior, es el resultado de la antiquísima práctica de observar, expresar, actuar y modificar que con Euclides (siglo IV. a. C.) logra su más depurada recopilación y traducción lógica. A partir de Euclides la geometría se desarrolla en Alejandría y pasa al mundo árabe. Luego, a principios del siglo XV y XVI, se iniciaron los estudios geométricos modernos, revisando y poniendo al día la tradición Alejandrina y árabe. Descartes y Fermat establecen la geometría analítica. En el siglo XIX Gauss, Bolyai y Lobatcheusky reanudan el estudio de los postulados euclídeos y conciben geometrías no intuitivas. Poncelet, Steiner y Staut fundan la geometría proyectiva. En este siglo se establece la identidad entre álgebra, lógica y geometría.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Estas herramientas indispensables ya son geometría y la mayor parte de los autores ocupados en estos períodos establecen un nexo continuó entre ellas y el razonamiento abstracto sobre figuras puras. Hoy mismo se observa un dato curioso. A todos nos han enseñado en el colegio las formulaciones y demostraciones más importantes (y prácticas) de la geometría matemática euclídea. Sin embargo a la hora de producir una expresión gráfica o arquitectónica, a pesar de manejar prácticamente figuras, pocas veces o nunca somos conscientes de que utilizamos las enseñanzas adquiridas y sin embargo operamos con procedimientos mentales de organización muy definidos que no podrían dejar de llamarse geométricos. Realmente hay que pensar, como hizo Heriodoto y hoy apuntan algunos autores, que entre las herramientas habituales (mentales y prácticas) para tratar la extensión, y la matemática de la extensión hay continuidad, con el intermedio del salto dado por la abstracción y la exigencia lógica a ordenar lo conocido en estructuras axiomáticas. Descartes imprimió que el pensamiento era geometría (el pensamiento en vías de razonar) y recientemente a autores como Nicod reconstruyen la geometría como consecuencia lógica del sentir físico, o Piaget que la ofrece como consecuencia de actuar reflexivo.

* La geometría que nos interesa es la geometría del proceder práctico y reflexivo de los que dibujan y arquitecturan y la parte de la geometría matemática de los tratados que se ha aplicado y se aplica a los dibujos y a la arquitectura. Entre medias quedará la geometría de la mayor parte de los libros de geometría, la geometría de los matemáticos y geómetras, con la que conectaremos incidentalmente para hacer ver que no es distinta sino más sofisticada.

*

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Unas ideas acerca del proceder geométrico pragmático y simbólico. La tradición esotérica se funda en la idea mágica de que las cosas son al mismo tiempo: la realidad que son, el sonido que emanan, la figura que las contiene y las puede representar, y el número que sintetiza su figura. De tal suerte que entre todas las cosas existe un nexo oculto, comprensible sólo para los iniciados que las hace partícipes unas de otras de manera operativa y práctica. La misma tradición, en este sentido, clasifica las figuras más simples, las convierte en símbolos de los principios eternos y de las cosas y las relaciona ordinalmente como producciones a partir de los principios básicos. Estos principios son el punto, el círculo y la recta.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Imaginemos ahora un hombre primitivo que empieza a emplear su pensamiento en observar las cosas y trazar figuras. Es fácil de aceptar que, después de trazar líneas por el suelo, en las superficies naturales, aprendiese a trazar círculos y luego líneas rectas ayudado por vegetales elásticos o trozos de pieles unidos. El círculo y la recta son delimitaciones formales que llaman la atención y que se observan, el primero en el firmamento (sol, luna llena), la segunda en casos singulares de partes vegetales y minerales. Los pueblos imperialistas, nómadas, vivían de la caza y de su dominio sobre los animales. Los pueblos telúricos, sedentarios, vivían del cultivo y la domesticación, descomponiendo la tierra en regiones y edificando refugios y barreras. Seria realmente absurdo pretender ofrecer una teoría formal del manejo practico geométrico de estos nuestros remotos antepasados, pero sigamos imaginando. Con un punto fijo (árbol, o piedra, o palo pinchado) una liana y un animal o utensilio de trazado se generan círculos perfectos. El animal atado en una pradera vegetal se comerá el forraje a su alrededor haciendo aparecer un círculo. El hombre girando alrededor de un centro y marcando en el suelo su movimiento generará un círculo. Además, la liana estirada entre sus dos extremos ofrece la materialización de lo recto. Círculo, punto y alineación aparecen unidos en la misma operación pragmática y ayudan a comprender lo que es semejante a sus figuras. A partir de aquí se puede pensar que una liana siempre se puede tensar entre dos extremos claros (puntos de discontinuidad). Con la misma liana se pueden trazar todos los círculos iguales que se deseen. Por fin, la liana se puede recoger doblándola sobre sí misma, lo que produciría divisiones iguales de su longitud.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Con una simple cuerda y unos pinchos pueden pensarse las siguientes operaciones prácticas. 1. Trazado de rectas arbitrarias

2. Trazado de círculos iguales

3. Trazado de círculos de radios proporcionales

4. Unión por medio de rectas de los puntos de intersección de las figuras anteriores.

Decoración de cerámica, poblados, y monumentos megalíticos de muchas culturas reproducen una geometría directamente apoyada en lo anterior. Templo sin techo STONE HENGE Volviendo a la tradición esotérica, prolongada luego en la filosofía preclásica y revivida constantemente en los gremios artesanales y en las revoluciones del pensamiento humano, ésta hace uso constante, para simbolizar sus principios, de las figuras geométricas regulares ordenadas, que se pueden obtener en función exclusiva de las operaciones anteriores. Veamos. 4.2.

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a

b

c

Análisis de Formas GEOMETRÍA * * El principio: círculo y círculos concéntricos y - (operaciónes 1 y 2) * La dualidad primaria * Círculos y recta dia-

metral arbitraria pasando por el centro

- (operación 1 sobre a) * * La dualidad secundaria Tres círculos, dos equidistantes del centro. Del primero, sobre el Diámetro, se cortan en puntos que determinan una línea singular (la perpendicular al diámetro). - (operación 2 sobre b)

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e

d

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA * * El ternario

Sobre un círculo y un diámetro se trazan círculos iguales tomando como centros los puntos de corte del diámetro con el círculo primitivo y los sucesivos círculos con el primero

- (operación 2 sobre b) * El cuaternario

Sobre un círculo y las Perpendiculares, se trazan círculos iguales por las intersecciones de estas con el círculo primitivo. Se unen las intersecciones de los círculos de segundo orden

- (operación 2 y α sobre c) * El cuaternario a partir del ternario

Trazado de la perpendicular al diámetro a partir de la operación d

- (operación 4 sobre d) 4.2.

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g

h

Análisis de Formas GEOMETRÍA * El quinario

Sobre la construcción “e” (cuadrado circunscrito) la diagonal del rectángulo α determina un punto P. Trazado el círculo de centro A y radio AP, se continuan trazando círculos iguales (de radio AP) con centro en las sucesivas intersecciones

- (operaciones 4 y 2 sobre e) * El xenario

Es como el ternario, sólo que habiendo continuado trazando círculos y unido todos los puntos obtenidos.

- (operación d sobre d)

El hexágono, heptágono, octógono, nonágono y

* decágono pueden considerarse como superposiciones de las figuras anteriores.

Heptágono

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Heptágono de Durero. OD OA= 2 AB ┴ OD AB = R circunferencias Secundarias [OD=R de círculo primitivo] Octógono Nonágono *

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Nonágono (2ª versión) Decágono Por suma de las representaciones numéricas

1 2 3 y 4

Dos pentágonos cruzados

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Debe de suponerse que sin conocer las propiedades matemáticas de las figuras y las operaciones recogidas hasta aquí, cualquiera que las reconstruya se sorprenderá de las coincidencias de intersección que ofrecen y quizás la primera vez que tuvimos un compás y una regla todos hemos pasado por muchas de ellas. Sobre las figuras anteriores, sin mas que añadir rectas paralelas a las propias lineales obtenidas, esto es, buscando nuevos puntos de discontinuidad, se forman los sellos lapidarios encontrados en las catedrales, que Ghyka atribuye a la demostración simbólica de conocimientos exigida a los aprendices canteros para llegar a ser maestros (la base de la enseñanza arquitectónica gremial).

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA

2 - La génesis geométrica Si lo sugerido parece tener una cierta fuerza convictiva, apoyada y vinculable por y al razonamiento filosófico y al sentido común, la geometría, como saber matemático, traspasa esa frontera para acabar razonando sobre la extensión, no a través de figuras y formas singulares, sino por medio de propiedades y principios generalizados. Pero, como bien señalan los historiadores y los seguidores de Piaget, para que la geometría haya llegado a ser conocimiento generalizado ha necesitado la identificación de formas con números a través de la medida. Generalmente la síntesis de la medida se explica como un largo progreso, comenzado en el fondo de los tiempos y colmado en Grecia con la conciencia de los irracionales (√2 p. ej.). La primitiva aritmética, el contar 'las cosas, o asignar un signo o equivalente a la cantidad de semejantes parece ser una necesidad vinculada al intercambio de cosas y se sabe que los primitivos fenicios poseían tablas de contar, semejantes a los contadores de algunos juegos actuales.

Sabiendo contar, la adición y la sustracción son operaciones inmediatas y las coincidencias y semejanzas numéricas que aparecen repitiendo esas operaciones son fáciles de ver como propiedades de las mismas. Puede pensarse que, al mismo tiempo que se conocían propiedades de los números, se conocerían operaciones prácticas de trazado de figuras.

* Se supone que el primer estadio de acercamiento entre números y figuras se produce en Egipto y Caldea. A partir de algunos papiros descifrados se conoce que en Egipto se sabía

multiplicar y dividir e, incluso, operar con razones (p. ej. 61

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+= ), se sabía operar linealmente

con unidades asimiladas a longitudes y se habían conseguido establecer correspondencias entre números y propiedades de algunas figuras (p. ej. las longitudes 3, 4 y 5 forman un triángulo rectángulo). Los judíos y babilonios compararon la longitud de la circunferencia con su diámetro y establecieron л = 3d. Los egipcios, por fín, establecieron números correspondiendo a figuras (áreas de algunas figuras concretas). * El segundo estadio se identifica con la Grecia presocrática (escuela asiática de Mi (eto). a través de Tales, que formula con carácter general ciertas propiedades figurales de los objetos, y los pitagóricos, que asociaron números y series de números a las propiedades geométricas de las figuras.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA - A Tales se le atribuye: I La definición genérica del triángulo isósceles como triángulo con dos ángulos iguales. II La formulación, también general, de que dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos

iguales dos a dos (opuestos por el vértice). III La enunciación de los datos indispensables para determinar operativamente cualquier

triángulo (tres lados, dos ángulos y un lado. IV La formulación de que rectas paralelas que se crucen con dos rectas que se corten,

forman triángulos con estas, de ángulos iguales.

Esta formulación abona el concepto de proporcionalidad y apoya el hecho de que Tales propusiese un procedimiento para calcular la altura de una pirámide sirviéndose de la sombra del punto mas alto y la aplicación de su anterior formulación.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA V La formulación de que un diámetro corta a su círculo en partes iguales. VI La formulación de que todos los ángulos trazados desde la superficie de una

circunferencia a los extremos de su diámetro son iguales y son rectos.

También se atribuye a Tales la observación de las estrellas y el cálculo de días del año y de anticipación de eclipses.

A Pitágoras se le atribuye una reflexi6n dividida en cuatro partes referidas: 1ª Números absolutos o aritmética; 2ª Números aplicados o música; 3ª Magnitudes en reposo o geometría; y 4ª Magnitudes en movimiento o astronomía. * La geometría pitagórica se fundamenta en el concepto abstracto de punto y en la demostración. I El punto es una unidad con posición y, según estén colocados, organizan figuras

referibles a números. II Se demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos. Para esta demostración, en los Elementos de Euclides, se recurre a los descubrimientos de Tales.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA III También se atribuye a Pitágoras la formulación del teorema que relaciona los cuadrados

construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo. Que la suma de los cuadrados de los catetos sea igual al cuadrado de la hipotenusa supone que ha de estar ya bien fijada la idea de área, numérica y geométricamente. La demostración de este teorema se vincula tradicionalmente a la siguiente figura.

IV Otra formulación pitagórica es la construcción gráfica de ecuaciones de la forma x 2 = ab,

esto es el cálculo de cuadrados equivalentes a rectángulos. V También se atribuye a Pitágoras el descubrimiento de las figuras regulares que,

conectadas consigo mismas, rellenan el plano (tramas: con cuadrado, triángulo isósceles y hexágono.

VI Tradicionalmente se transmite que Pitágoras trabajó en la cuadratura del círculo, esto es,

en el cálculo de л.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA VII Parece que conoció y describió los 5 sólidos regulares inscribibles en una esfera. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA VIII y según se desprende de Euclides, definió la incomensurabilidad de ciertas magnitudes

geométricas como la diagonal del cuadrado. * La teoría de los números pitagóricos refuerza la vinculación entre números y figuras y se funda en las propiedades de las series obtenidas en base a las operaciones aritméticas vinculables biunívocamente a propiedades de figuras. I Divide los números en pares e impares y, a estos, los llama gnomones. Descubre que la

diferencia entre los cuadrados de dos números naturales consecutivos siempre es un número impar (un gnomon) y que la suma de gnomones da cuadrados.

gnomon – (n+1)2 – n 2

gnomon de 5 a 6 : 62 – 52 = 36 - 25= 11

- Cuando un número no tiene raíz cuadrada lo llama oblongo - Cuando un número se puede descomponer en el producto de tres, lo llama número sólido

n= a x b x c - Cuando un número se puede descomponer en el producto de tres números iguales, lo

llama cúbico n= a x a x a II Cantor piensa que los pitagóricos conocían la propiedad de los números de la forma

(2n2+n+1), (2n2+2n) y (2n+1) que, elevados al cuadrado, son hipotenusa y catetos respectivamente de triángulos rectángulos. Para n= 1 producen el triángulo egipcio 5, 4,3.

III También es tradicional la clasificación pitagórica de los números como resultado de

puntos organizados en figuras geométricas (números poligonales).

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Cada conjunto de estos números genera una serie de distintas propiedades. La serie de

los triangulares es 1+2+3+(n-2) + (n-1) + n y la suma de la serie es 21

n (n+1) de donde se

desprende que el número triangular correspondiente a 4 (n= 4 ó cuatro niveles de puntos) es 10 (Tretracto).

IV También se atribuye a los pitagóricos el uso de razones numéricas, esto es, de relaciones

que, en las semejanzas producen, proporciones que generan progresiones de números (relacionados estrictamente). Los pitagóricos trataron las progresiones aritméticas, geométricas, armónicas y musicales y las vincularon a las longitudes de líneas y a las superficies de figuras.

Y Teón: “Tomaremos así tres magnitudes y las proporciones que residen en ellas, intercambiaremos los términos, y demostraremos que toda la matemática está constituida por las proporciones entre cantidades, y que su origen y sus elementos se resumen en la esencia de la proporción (………………………………………….)."

He aquí estos diez tipos de proporciones escritos bajo la forma de igualdades, con ejemplos numéricos correspondientes:

El mismo método combinatorio fundado sobre cierto grupo de

transformaciones de la igualdad inicial emplea Nicómaco para establecer los diez tipos de "relaciones funcionales" (razones lato sensu) entre dos magnitudes.

La progresión musical se forma con números en la siguiente relación (según Ball) 22

2b

aba +

=

V Por fin, los pitagóricos, como ya se ha apuntado, relacionaron las progresiones con

longitudes y superficies y llegaron a pensar que la naturaleza entera está sometida a números progresivos que, como leyes implacables, la gobiernan.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA

Observaron que el sonido de una cuerda tensa depende de la longitud de la misma. Sobre la quinta y la octava de una nota (la cuerda total) que están en la relación 2:3:4 (números del Tetracto) concibieron la comprensión de esferas armonizadas según esa ley de progresión.

* El siguiente estadio se identifica con el periodo de la plenitud griega hasta el helenismo (escuela de Atenas), en que ya de forma precisa se asocian números y figuras y se constituye lo que podría entenderse como un álgebra geométrica. Según Ball, los problemas típicos de este período fueron: la duplicación del volumen de un cubo, resuelta por Arquitas, la trisección de un ángulo, resuelta por Hipias y la cuadratura del círculo, trabajada por Hipócrates. Las personalidades más importantes de este período fueron, Arquitás, Hipias, Hipócrates, Eudoxio, Platón y Aristóteles. Hipócrates y Eudoxio producen la algebrización e inauguran medios y métodos propios que van a ser importantes claves para la identificación del número y la figura a través de la medida. + Hipócrates utiliza letras para designar las figuras, e introduce el método de reducción de

unos teoremas a otros. La reducción al absurdo aparece en Hipócrates como una ilustración. Sus razonamientos en la geometría del círculo y las lúnulas son los mas conocidos.

ABC isósceles cuadrado sobre BC= cuad. εAC+ cuad . S.AB

área 21

sobre BC= área 21

AC + área 21

sobre AB

Área ABC= área Luneto AECD + área Lun AGBF

+ Eudoxio descubrió el procedimiento para el trazado de la sección aurea de un segmento, esto es, la división del segmento en media y extrema razón.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Euxodio probó que la solución era idéntica a la solución de estas identidades algebraicas.

(a + 21 )2 = 5 (

21 )2

2 + b2 = 3a2

2a+

= 2

* El estadio final de esta identificación se colma a partir de Eudoxio con el concepto

euclídeo de medida. Dice Euclides: relación es una clase de conexión que se vincula con la dimensión entre

magnitudes de la misma especie, que implica la división de estas en un cierto número de partes.

Con esta noción y con la convención de que el producto de los números se vincula

con la perpendicularidad geométrica, número y figuras se unifican, de tal suerte, que las figuras y las relaciones definen en ocasiones números de orden distinto a los enteros naturales, sin que por ello se alteren las propiedades de las series, fundadas en las conexiones.

*

3 Los psicólogos y epistemólogos modernos se han ocupado de estudiar la

correspondencia entre el anterior progreso de la geometría y la génesis del pensamiento-acción de los niños y, quizás, forzados por la historia, han llegado a la conclusión de que en el niño también se comienza por una pragmátlca y se pasa por la síntesis de la medida.

Los niños de nuestras sociedades, sometidos a la contaminación cultural de los mayores, con un lápiz en la mano y papel, pasan por las siguientes fases gráficas: 1. Fase del garabato sin control, de puro ejercicio de trazado elemental del que van

quedando como enseñanzas las líneas con tensión.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA

2. Fase del círculo. Que comienza siendo una etapa de garabatos que se cierran sobre sí

mismos adquiriendo, poco a poco, “redondez”.

3. Fase de combinación de círculos con otros círculos y con garabatos que se acercan a líneas rectas generalmente inclinadas. En esta fase, los dibujos son expresiones que simbolizan cosas.

4. Fase de combinación de círculos con líneas rectas radiales y con líneas interiores

conectadas horizontales y verticales. En esta fase los dibujos quieren representar cosas. 5. Fase de combinación de líneas en ángulos rectos o en cruz, junto con las

manifestaciones anteriores.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 6. Fase de utilización de líneas oblicuas y diagonales en donde la angularidad empieza a ser importantes (lo angular y lo triangular). 7. Etapa de combinación de figuras entre sí para formar organizaciones complejas con

sentido de totalidades (yuxtaposiciones, traslaciones e inclusiones). 8. Etapa de organización en el espacio de conjuntos de figuras sin relación aparente ni

ambiental. 9. Etapa de organización jerarquizada de conjuntos donde el tamaño juega el papel de

diferenciador de la importancia de las cosas.

Generalmente todos los que se han ocupado de estos temas coinciden en señalar la dificultad de clasificar estas etapas de una manera rígida y correlativa a factores como la edad o la educación. Los niños pasan por las etapas anteriores, pero el orden de paso varía de unos a otros como varía la importancia y coincidencia de las dichas etapas. Sin embargo, la escuela de Piaget parece unánime al asegurar que en el desarrollo de los niños se pueden distinguir tres fases geométricas:

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA - La primera es intralógica, llamada de geometría intrafigural primaria. En ella se sostiene

que el niño descubre las figuras al explorar su propia capacidad de movimientos y se preocupa de las características y evocaciones de las propias figuras descubiertas en cuanto tales. Los niños en esta fase (correspondiente a las fases 1. 2, 3, 4 y 5 descritas anteriormente) pasan inevitablemente por los garabatos, las líneas (mas o menos rectas o curvas) los círculos y los puntos, en correspondencia al control de movilidad de sus brazos, y van descubriendo la magia y analogía de sus producciones a la vez que, al decir de los genetistas de la escuela de Piaget, exploran y conforman las nociones de vecindad, separación, envolvimiento y orden.

- La segunda también es intralógica, esto es, relativa a las figuras en tanto figuras que se

consiguen hacer, y corresponde a la conformación de la noción de elemento intermediario. Aquí los genetistas hacen alusión a la utilización de lo que se hace o aparece entre dos polos, algo así como el darse cuenta de que ciertas cualidades o detalles diferencian entre sí a las figuras, pero todavía sin poderlas comparar. Correspondería a las fases 6, 7 y 8 descritas con anterioridad, sin mas que tener pressente que los conjuntos que se realizan no se entienden como agregados comparables, sino como conjuntos realizados en un orden y completos en sí mismos.

- En la tercera fase se inician las relaciones de comparación, de entre las cuales, la

primaria es la de discontinuidad (esquinas), la segunda la de apertura (angularidad) y la tercera es la ya muy elaborada de "entre" (esto está entre esto y esto).

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA - Por fin, y a través de la translación y la superposición, aparece la noción de comparación que va a dar lugar a las nociones de ubicación, medida y proporción. A esta fase se la llama de geometría interfigural y, al decir de los genetistas, coincide, nocional y operativamente, con la geometría de los escritos filosóficos griegos anteriores a Euclides. Aquí, las figuras representan elementos que se relacionan entre sí por su ubicación o sus formas diferentes y por su tamaño relativo. A través de este estadio se desarrolla el pensamiento abstracto (expresión pura) y es posible la representación y la interpretación (reproducción reconocible de la realidad) y posibilidad de sustitución de nociones y relaciones lógicas por esquemas geométricos.

4 La geometría de las formas naturales y de la visión.

Al niño, le cuesta trabajo referir lo que alcanza a hacer en sus primeras fases con sus propios movimientos corporales y gráficos. Luego, poco a poco, los resultados de sus acciones se convierten en la clave para la explicación de lo que le rodea y, por consiguiente, de su comprensión. Las cosas se empiezan a distinguir por el resultado de la experiencia que proporcionan y, si el orden de ejecución sentido de las acciones, procura el soporte de la causalidad y el lenguaje, la producción gráfica, resultado de la huella producida por cualquier ejecución, procura el soporte de la conciencia de limitación y de la figuración sensible de lo natural y de lo artificial.

Anatómicamente, el ojo de un niño es idéntico al ojo de un adulto. También el ojo de un primitivo era idéntico al de un hombre actual. Sin embargo unos y otros ven, comprenden y expresan los que les rodea de modo muy distinto. Podemos pensar que el hombre siempre (o por lo menos desde un remoto pasado histórico) ha estado rodeado por la misma naturaleza matriz y referimos la transformación artificial que ha logrado de esa naturaleza al cambio que frente a ella ha ido alcanzando la manipulación, visión, comprensión y expresión.

*

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Más atrás, se hacía ver que la geometría se produce como consecuencia o en paralelo a la acción práctica reflexionada y, en la opinión de muchos, tiene lugar cuando se comparan entre sí los esquemas de las acciones y de las cosas. El hecho sustancial es este: Haciendo, se explora el medio y se conoce, en la medida en que la acción se esquematiza ordinal y figuralmente por el intermedio de la repetición y la reproducción. La propiedad mas peculiar de la mente humana está en el hecho de su capacidad para esquematizar y comparar esquemas, aplicándolos luego para nuevas exploraciones. Y la cultura se ha fundamentado en la acumulación de esos esquemas que dan pié a la obtención de otros esquemas homogéneos, analógicos o contradictorios. Nacida la geometría como sistematización generalizada sobre esquemas figurales, relacionados con el número a través de la medida y con la causalidad a través del orden y posibilidad de ejecución y concatenación, ha sido una constante en la historia la búsqueda de analogías entre esquematizaciones y sistemas de esquemas, en la esperanza de que alguno pudiera servir para concluir toda la experiencia que el hombre puede tener acerca del universo y de sí mismo. Hemos visto como los griegos logran generalizar razonablemente los sistemas de esquemas acumulados relativos a la experiencia práctica de trazados. Es el nacimiento de la ciencia geométrica, recopilada magistralmente en los Elementos de Euclides. Pero, también, los griegos son conscientes de que, conectada la figuralidad con el número a través de la medida, la representación de cualquier ente natural y la explicación de muchos fenómenos se vinculan al pensamiento por el intermedio del conocimiento geométrico. La representación de una figura humana, de un árbol o de una constelación de estrellas, nunca es una figura geométrica simple, de las que se discuten en los Elementos y, sin embargo, las relaciones canónicas métricas de las partes de esas representaciones guardan proporciones semejantes a las encontradas en el interior de las figuras. Cuando la ciencia de la geometría queda establecida, su propia organización genera problemas peculiares de conocimiento que la hacen evolucionar en autonomía, pero nunca se pierde la conexión practica primaria que la engendró, y si los geómetras a veces han estado trabajando en problemas a primera vista alejados de la practica, los artistas y técnicos no han dejado de tratar cuestiones derivadas de la geometría o identificadas con ella en su nacimiento. + Un ejemplo:

Vitruvio es un personaje que parece vivió en tiempos de Augusto, en el primer siglo antes de Cristo. Esto es, ya en el declinar de la primera escuela de Alejandría período y lugar en que produjeron sus obras Euclides, Arquímides, Apolonio, Eratóstenes, Hípsicles, Nicomedes, Hiparco, Heron, Teodosio, Dionisodorus y otros, que llevaron el saber matemático geométrico a una alta cota de especialidad. Vitruvio es universalmente famoso por sus diez libros de arquitectura, tratado teórico con cuyo descubrimiento y traducciones se inaugura el Renacimiento. Pues bien, Vitruvio, recogiendo el saber helenístico y haciendo constante alusión a la tradición griega, establece como condición del buen arte y la buena técnica, el conocimiento de la geometría de regla y compás (la

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misma de Euclides) y trata de hacer ver que las grandes obras del hombre ajustan su complejidad a ciertas medidas. cuyas relaciones de proporcionalidad son comparables a las que se encuentran en el cuerpo humano y en el universo. por el intermedio de la música, y que sirven para planear la belleza y para anticipar la correcta visión de lo que se intenta realizar con la ayuda instrumental del dibujo. Las construcciones geométricas que ofrece Vitruvio son elementales (agrimensura (ángulo recto), orientación y replanteo) pero sus nociones de vinculación geométrica entre los objetos y la naturaleza, ya tradicionales cuando él las recoge, nunca se dejarán de tener en cuenta en la cultura de occidente.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA Lo que un hombre es capaz de hacer siempre se ajustará a una figuralidad que ha de poderse trazar. Realizada esta, de acuerdo al ámbito en que se esté operando, las partes y el conjunto podrán relacionarse por la medida (y a veces por el trazado). Pues bien, los esquemas proporcionales que se encuentran al imitar la naturaleza, o al representarla, son los mismos que aparecen en series numéricas destacadas que se relacionan con construcciones geométricas singulares. Conociendo la geometría se tendrá un perfecto instrumento para comprender la naturaleza. Y viceversa, comprendiendo la naturaleza en sus relaciones, se podrá llegar a la geometría. En nuestra cultura el esquema del cuerpo humano (símbolo del microcosmos) ha sido siempre una clave maestra de proporcionalidad y de trazado; el esquema de las proporciones de 'las cuerdas' musicales armónicas (símbolo del macrocosmo) ha sido, otra clave de proporcionalidad; y el esquema de las peculiaridades de la visión (símbolo del raciocinio y de la acción) ha sido la tercera clave, de la organización. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA El humanismo viene a ser el redescubrimiento de la cultura antigua, quizás, podríamos decir, que es el apogeo culto de la geometría. Desde Euclides, en el siglo III a.d.C. hasta este período han pasado 17 siglos en los que el pensamiento matemático ha experimentado avances aritméticos y algébricos (pensadores alejandrinos y árabes) y la geometría no ha sobrepasado el estadio en que la dejaron Arquimides y Apolonio (con sus estudios de cónicas y trigonometría). Cabe pensar que, durante la decadencia del Imperio Romano y el transcurso de la Edad Media, la geometría, reducida a su pragmática mas primaría, estuvo refugiada en el esoterismo de los gremios artesanales de tradición pitagórica. Cuando en la baja Edad Media la expansión comercial lleva al contacto con el oriente y el mundo árabe, se redescubren y se asimilan los saberes olvidados, principalmente la tradición pitagórico-platónica y el pensamiento matemático-geométrico de procedencia bizantina y árabe y de herencia alejandrina. Figuras como Fibonacci, Jordano Nemorarius, Bacon, Campano Regiomontano, Cusa y Pacioli, reintroducen y adaptan todo lo que van descubriendo y asimilando. Pero en el seno del humanismo hay un hecho trascendental, el Renacimiento artístico, que supone, entre otras cosas, la identificación indisoluble entre geometría, representación y comprensión, esto es, entre geometría, pensamiento y acción. El vínculo que recogiera Vitruvio entre geometría y naturaleza a través de la proporción, queda estatuido en el Renacimiento con una certeza de refuerzo: Experimentando la naturaleza (lo que en el arte es imitación) se pueden descubrir sus leyes, que son ciencia geométrica impresa en el cosmos y, al revés, aplicando la ciencia a lo desconocido esto se puede, llegar a descifrar, es decir, se puede lograr el primer paso para empezarlo a experimentar. Tres son los campos en los que, en este periodo, se identifican geometría y arte: El primero concerniente al estudio de las proporciones de los seres vivos representados en el arte, que relaciona las medidas empíricas encontradas con medidas de figuras geométricas (es un campo de comparación entre la geometría y lo natural); el segundo, concerniente al estudio empírico de las leyes de la visión, o la verosimilitud representativa del ambiente, que plantea las bases de una nueva aportación geométrica (es el campo en que el arte aporta observaciones a la geometría); y el tercero, concerniente a la organización bella o transcendente de las composiciones artísticas, como correlatos de figuras geométricas, en que se busca que el arte reproduzca a la geometría (campo de aplicación geométrica del arte). • En el primer campo el planteamiento es más o menos así: La geometría es la ciencia de las formas nacida de la naturaleza y el espíritu humanos. La geometría enseña los trazados y las relaciones de las figuras. La pintura imita la naturaleza manifiesta por sus contornos visuales y esa naturaleza se hace presente y, varía gracias a sus diferencias apreciables. Copinado la naturaleza se la llega a reflejar, pero solo se la podrá comprender reflexionando durante su imitación representativa y conectando las relaciones descubiertas con los principios racionales que son la base de la ciencia de la naturaleza y el pensamiento. Toda obra humana es el reflejo de la actividad y el espíritu y se vincula con la ciencia correspondiente. 4.2.

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Leonardo. (Tratado de la Pintura) Ninguna investigación merece el nombre de ciencia si no para la

demostración matemática. (I-6). Nosotros llamamos mecánico al conocimiento engendrado por la

experiencia y científico al que comienza y termina en el espíritu y finalmente semi-mecánico al que nace de la ciencia para desembocar en la operación manual. (I-7)

No existe certeza donde no es posible aplicar alguna rama de las

ciencias matemáticas o donde no existe vínculo alguno con tales "ciencias. (I-38) Al pintor le es necesaria la matemática perteneciente a su arte. (I-44) La pintura mas loable es aquella que está de acuerdo con el objeto

imitado. Propongo esto a los pintores que quieren raciocinar sobre las cosas de la naturaleza; copian a un niño de un año, cuya cabeza ha de entrar cinco veces en la altura y ellos la hacen entrar ocho veces. El ancho de hombros es el de la cabeza pero ellos hacen doble ese ancho de hombros. Dan, así a un niño la proporción de un hombre de treinta años. (II-63).

El pintor simula y enfrenta la naturaleza . (II-86) El pintor que traduce por práctica y juicio del ojo sin razonamiento, es

como el espejo en que se vierten las cosas más opuestas sin conocimiento de su ausencia. (II-87)

Usarás las reglas (de razón) solamente para corregir tus figuras. Poseyendo bien en la mente los preceptos de las reglas podrán con

juicio recio juzgar y conocer toda obra proporcionada en la perspectiva, la figura y las demás cosas. (II-89)

Como consecuencia de esta actitud se llegaron a vincular las figuras geométricas y las naturales en dos vías: la primera en función de las formas envolventes de posturas y movimientos.

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La segunda en función de las formas que engendran series de medidas análogas a las encontradas en las representaciones de lo natural. Para Scholfield y otros, las series mas comúnmente empleadas son: 1; la aritmética basada en la escala de unidades, esto es, en la sucesión natural, representada por los números triangulares pitagóricos y la descomposición del espacio en módulos del mismo tamaño; 2; la geométrico-aritmética, basada en escalas de

razones, de unidad inconmensurable (número de oro Ø = 251+

representada por las medidas

relativas a la sección áurea que tienen su generación natural en la construcción del pentágono); 3; por fin, la escala geométrica de razón 2 representada por la serie métrica obtenida en la descomposición de un cuadrado por sus diagonales.

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En este planteamiento las relaciones de medidas dentro de la escala dan proporciones de unas a otras, vinculables musicalmente.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA • En el segundo campo, el planteamiento es así: La representación de lo natural tiene la propiedad de que, a través de la experiencia, se descubren sus leyes. La representación pictórica imitativa de la naturaleza tiene la propiedad de ofrecer en una superficie plana lo que se encuentra distribuido en profundidad. La verosimilitud de lo natural se encontrará si se consiguen formular unas reglas que recojan sistemáticamente las peculiaridades de la experiencia de la visión. Estas reglas serán eficaces si hacen referencia al modo como observar lo que se intenta representar y a la organización geométrica plana del espacio que conforma. Este procedimiento se llama perspectiva y no es asimilado a la geometría matemática hasta que Desargues (1593-1662) elabora la geometría proyectiva. Aunque la observación de que las líneas paralelas se ven concluyentes en lontananza, que los espacios cúbicos se perciben como troncopiramidales y que los objetos del mismo tamaño real parecen distintos con la distancia, pueda ser muy antigua y estuviera incluida en el arte pictórico desde hacía tiempo, a los hombres del Renacimiento se les debe el hecho de haber sistematizado estas observaciones, haberlas identificado con la fisiología del ojo, haber inventado sistemas empíricos de observación y haber dado las reglas geométricas prácticas del uso de estos descubrimientos. El encuentro empírico es el siguiente: Constatada la observación de las diferencias de tamaño con la variación de distancia y la confluencia de las líneas paralelas, se llega a pensar que la visión es como un haz angular de direcciones que unen los puntos percibidos con el ojo. Representar en plano el espacio o los entes distribuidos en él es lo mismo que interponer en ese haz una superficie transparente que recoja la intersección en ella de los rayos del haz de la visión.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA ¿Como comprobar este hecho y su verosimilitud? Utilizando el artificio que ha dado lugar a la concepción anterior y repitiendo el experimento para toda clase de situaciones.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA El resultado de toda esta inquietud se resume en un procedimiento geométrico para la obtención de líneas y puntos y una especulación referida a los detalles y la luz. El procedimiento geométrico (descrito por Alberti, Piero della Francesea, Leonardo…) consiste en la croquización en planta y alzado de la pirámide visual y el plano del cuadro en cuya función se obtienen medidas horizontales y verticales. FIG. 8. – Construcción perspectiva del cuadrado de base» dividido en cuadrículas según L.B. Alberti. Arriba, a la izquierda: dibujo preparatorio realizado en la superficie misma del cuadro e idéntico a la construcción de los Lorenzetti (ortogonales del escorzo del cuadrado de base). Arriba, a la derecha: esbozo auxiliar, llevado a cabo en un folio aparte (alzado de la pirámide visual; que da los intervalos de las transversales v, w, x, y. t). Abajo: dibujo definitivo (transposición de los valores de profundidad obtenidos en el esbozo auxiliar al dibujo, preparatorio: la diagonal sirve sólo para controlar el resultado.)

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA La especulación de mayor consistencia se debe a Leonardo y podría resumirse en estos párrafos. 212. - Hay tres perspectivas: 1º En razón de la disminución; 2º En el alejamiento de los colores; 3º Por la gradación finita, según el alejamiento BAC. 213.- Perspectiva lineal. La perspectiva lineal consiste en la misión que cumple de marcar, por líneas mesuradas, que la segunda del segundo plano es menor que la del primero, y la del tercero que otra del segundo y así, de grado en grado, hasta perderse de vista. La experiencia me ha enseñado que considerando objetos iguales en grandor y desiguales en distancia, en un espacio de veinte brazas, si se encuentran igualmente alejados unos de otros, el primero parece una vez más grande que el segundo, y el segundo una vez más pequeño que el primero y una vez más grande que el tercero, y así los demás en proporción; y así, júzguese de su tamaño si se encuentran .situados a distancias desiguales. Más allá de veinte brazas, la figura igual perderá un cuarto de su grandor y, más allá de cuarenta brazas, ¡perderá nueve décimos! La disminución seguirá está proporción según la distancia. Para aplicar esto a los cuadros, el pintor se alejará de sus obra dos veces su tamaño; si no se aleja más que una vez, esto producirá excesiva diferencia de las primeras brazas a las segundas. 214. - La perspectiva en disminución demuestra que cuanto más alejado está el objeto, más pequeño parece; si tú miras a un hombre distante un tiro de ballesta, toma el agujero de una agujita y póntelo contra el ojo: tú podrás ver por ese pequeño agujerito, y distintamente, una multitud de hombres que, al mismo tiempo, se hallarán contenidos en esa ranurita. Y si el hombre que se encuentra un tiro de ballesta envía su imagen al ojo que la ve por una ranura tan pequeña como el agujero de una agujita, ¿cómo podrás tú descubrir en una tan pequeña figurita la nariz, la boca y alguna fiarle del cuerpo? Y, al no ver sus rasgos, no podrás reconocer al hombre que no se muestra por sus miembros, ya que los hombres se manifiestan por su diversidad. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA 217. – Las cosas acabadas y terminadas deben ser las más cercanas; y las confusas y menos terminadas las alejadas.

El sol, al penetrar en la casa por' una ventana agranda la ventana y reduce la sombra del hombre; de suerte que cuando éste se acerca a esa penumbra… de la sombra que tiene la dimensión real del vano, verá las sombras perdidas y confusas, por el poder de la luz de oponerse al pasaje de los rayos solares...

(La luz difusa reduce la sombra del hombre colocado delante de la ventana.)

218. - La parte más iluminada del objeto será la vista más

vecina de la causa iluminadora. La disminución de la intensidad de los colores es

concomitante con la disminución de los cuerpos coloreados. 220. - Entre objetos de igual grandor situados a distintas

distancias, el más alejado se muestra bajo un ángulo menor. BD es igual a CE; pero CE llega al ojo mediante un ángulo más pequeño que BO, cuando está más alejado del punto A, como lo muestra el ángulo CAE en relación al ángulo BAD. 221.-El medio interpuesto entre el ojo y el objeto es de dos cualidades: o tiene una superficie como el agua y el cristal u otra cosa transparente, o no tiene superficie común, como el aire posado contra la superficie de los cuerpos y en el que éstos están incluidos, pues el aire no es en sí una superficie continua, sino el término inferior y superior. El medio rodeado de una superficie común no presenta jamás al ojo, en su auténtica proporción, el objeto que se encuentra junto a él. Yo lo pruebo. Sea un cristal de superficie paralela OR por el que el ojo, A ve la mitad del objeto NG que está detrás de él, a saber, NM; por la parte del cristal BOE ve el resto del objeto MG por el aire que se encuentra bajo el cristal, “Y por la 7ª de la 4ª línea, como se ve en las líneas que pasan por el aire najo el cristal en MGA. De lo que, una mitad del objeto NM aumenta en el cristal BL y la otra parte disminuye, en el aire que está bajo el cristal, en OP.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 222. - Perspectiva. Cuando tú no veas variedad en el aire, entre lo claro y lo oscuro, la perspectiva de la sombra será buena para tu imitación y no tendrás más que observar la perspectiva de la disminución de los cuerpos y la de la disminución de los colores, no teniendo por qué disminuir la precisión de los objetos situados cerca del ojo; y esta operación hace aparecer una misma cosa más alejada con la pérdida de visibilidad de la figura de un objeto. El ojo no tiene conocimiento de la distancia que hay entre los objetos y que se coloca entre él y otra cosa; sin la perspectiva de los colores, la perspectiva lineal no basta con su movimiento para determinar las distancias. 223. - Cuando el ojo, mirando de lo alto vea las altas cimas de los montes con su base, entonces el color de las cimas parecerá más alejado que el de las bases. Esto lo he probado yo por la 4ª que dice: "Entre los colores de igual naturaleza, el más alejado se tiñe más del color intermedio entre él y el ojo que lo ve". De esto se sigue que si uno ve las bases de los montes a través de un aire más denso que el de sus cimas, éstas parecerán más alejadas que las cimas vistas al mismo tiempo, pero a través de un aire más sutil. 224. – Cuando el ojo ve desde abajo la base de los montes y su cima, los colores serán menos netos que los de antes y esto ocurre porque base y cima son vistas a través de un aire más denso que el otro, cuando el ojo que lo ve, se encuentra en lugar más bajo. Es necesario que el color de la base de la segunda demostración sea más diferente del color natural que la base de la primera demostración: y la misma cosa debe comprenderse para la cima de los montes. 225. -- La similitud y substancia de los objetos a cada grado de distancia pierde un grado de potencia; el objeto más alejado del ojo será menos perceptible en su aspecto, a través del aire. 233. - Todas las cosas envían su imagen al ojo mediante pirámides; cuanto más cerca del ojo se corten aquéllas, más pequeña que la realidad será su imagen. Tú cortarás, pues, la pirámide con un muro que toque la base de la misma. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA 234. - La cosa más próxima al ojo parece siempre más grande que otra pareja, pero más alejada. 235. - La perspectiva es de tal naturaleza que hace parecer en relieve lo que es plano y plano lo que es en relieve. 236. - Si tú quieres figurar de cerca una cosa que produzca el mismo efecto que las cosas naturales, tendrás que hacer una ventana del tamaño de tu cara, o bien un agujero por el que mirarás. Así, tu obra, poseedora de una buena distribución de sombra y de luz, hará el efecto del natural. De lo contrario, no te pongas a representar cualquier cosa, a menos de adoptar un punto de vista veinte veces mayor que el máximo ancho y alto de la cosa que pintas. 237. - Entre los cuerpos iguales en tamaño y distancia, el más iluminado parecerá el mayor y más próximo. La sombra derivada es menos clara que la lateral, producida por una luz más alta que ancha. 238. - Mención de los principios que deben admitírseme; yo he pensado sobre ellos mi perspectiva. Pido que se me conceda que los rayos visuales y los rayos luminosos, pensando todos esos rayos 242. - Hay que considerar en la pintura, el ojo, la posición del objeto y la luz. 243. - La perspectiva pictórica tiene tres partes: la disminución cuantitativa de los cuerpos a diversas distancias; la atenuación de sus colores; la disminución de las figuras y de los contornos a diversas distancias. • En el tercer campo, el planteamiento es más o menos así: La perspectiva permite a la pintura representar el espacio tal como se ve. Dentro del espacio representado las figuras con sus correctas proporciones ofrecen el tema singular. Pero el conjunto como obra de arte no alcanza la belleza si no consigue resolverse en una unidad coherente y armónica, en la que la geometría simbólica de lo aparente, por encima de la representación de las figuras y del espacio, juega el principal papel. Para muchos estudiosos esta tercera categoría geométrica es fundamentalmente arquitectónica y, aunque en muy raras ocasiones se explicita de forma figural, nunca a partir del Renacimiento se deja de hablar de ella. Es la euritmia de Vitruvio y la composición de Leonardo. Wittkower descubre esta constante de meditación renacentista en los tratados de arquitectura y la rastrea en el simbolismo de las plantas que se diseñan, análogas figuralmente a los esquemas de explicación del cosmos de Copérnico o Kepler. Algunos estudiosos del arte clásico la descubren en el simbolismo de la centralidad perspectiva y en la proporción de las telas y, por fin, otros (como Huyghé p. ej.), la describen en función de la esquematización simplificada que se puede hacer de todo cuadro, buscando ejes, direcciones, y figuras singulares. 4.2.

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Quizás la geometría del arte nunca ha pasado del primer estadio de la geometría matemática, esto es, del descubrimiento de las propiedades de las figuras simples y regulares y de las relaciones métricas proporcionales de las partes de esas figuras referidas a las series numéricas que generan. Sin embargo, la geometría matemática más sofisticada tiene un inmediato campo de aplicación en la física (estática y dinámica) y al incidir esta en la tecnología constructiva, la arquitectura al menos recoge su influjo. Cuando más adelante, la geometría se generaliza identificándose con la lógica, estudiando las propiedades de lo continuo, el arte recoge en su beneficio este nuevo modo de ver la realidad, 4.2.

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5 La geometría abstracta generalizada. Del siglo XVI en adelante la ciencia matemática logra un inmenso progreso a partir de la invención de la geometría analítica y del cálculo infinitesimal. Los siglos XVII y XVIII corresponden al desarrollo de los principios levantados en el XVI y, en el campo particular de la matemática, al desarrollo del análisis y su aplicación a los fenómenos de la naturaleza. En el siglo XIX se asiste a la creación de numerosos nuevos aspectos de la pura matemática: Teoría de los números o alta aritmética; teorías de las formas y grupos o alta álgebra; teorías de funciones de múltiple periodicidad o alta trigonometría; teoría general de funciones o alto análisis. Se trabaja en geometría analítica y sintética y se revisan los fundamentos tradicionales del cálculo, la aritmética y la geometría. Con esta introducción ,y sin más detallado preámbulo, vamos, a ver como se enfoca la geometría abstracta a partir de PIucker, Sophus Lie (1842-1899) y Félix Klein (1849-1925). La geometría desde su nacimiento consistió en el estudio sistemático y concatenado de la generación, propiedades y relaciones entre figuras ideales o esquemáticas sometidas a diversas condiciones de partida y de planteamiento. Hemos visto como, en un principio, se definieron figuras, luego se relacionaron unas con otras a través de un puro trazado pragmático y, por fin, se caracterizaron y relacionaron en función de la invención de la medida que vino a suponer el índice numérico comparativo en la superposición de figuras. Pues bien, la sucesiva aritmetización y algebrizacion de la geometría hace que los pensadores antes citados piensen que toda la geometría puede llegar a enunciarse como estudio de las operaciones que, transformando figuras y conceptos espaciales, no alteran ciertos principios básicos. Las operaciones se llamarán transformaciones, los principios inalterables, invariantes y las figuras y conceptos, elementos de la geometría. Los autores anteriores no hicieron mas que aplicar a la geometría los principios de la Teoría de Galois para la solución de ecuaciones algebraicas, generalizada como noción en la teoría de conjuntos. En esta teoría se denomina grupo a todo conjunto G de elementos que satisface los siguientes principios (axiomas): 1º Existe una ley de combinación que asocia cada par de elementos (x,y) de G, tomados en orden, con un elemento de Z de G, llamado combinación. Esta correspondencia se suele escribir así X & y = z

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 2º Esta ley de combinación es asociativa, esto es: (x & y) z = X (y & z) 3º Existe una unidad o elemento nulo tal que, para todo x, x & e = e & x = x 4º Cada elemento x posee un elemento inverso x-1 tal que:

x & x-1 = x-1 & x = e 5º El grupo anterior es llamado abeliano si, además, posee la propiedad conmutativa, esto

es, si: x & y = y & x = 2 La noción de grupo tiene la propiedad de que es muy abstracta y se puede aplicar a cualquier conjunto de entidades y relaciones. Esta capacidad lleva a la idea de estructura de grupo, basada en que conjuntos dimisimilares en su naturaleza, pueden tener la misma estructura transformativa y, por tanto, ser isomorfos, esto es, similares o sustituibles unos por otros en relación al estudio, de sus propiedades y en virtud de alguna correspondería que los ligue. Por ejemplo, son isomórficos el grupo de los números reales positivos (con la multiplicación como ley de combinación) y el grupo de los números reales, positivos, negativos o cero (con la adición como ley de combinación), pudiéndose pasar de unos a otros con la ayuda de una tabla de logaritmos como diccionario. Así, se pueden estudiar grupos puramente abstractos por el intermedio de una representación real isomórfica, y viceversa, se pueden estudiar realidades en virtud de su estructura abstracta de grupo. Si se aplica la idea de grupo a la geometría elemental, a la que hemos llamado geometría en formación y que suponemos basada en el estudio de figuras, tal como aparecen en la práctica de su trazado y por tanto iguales si coinciden al ser superpuesta,s podemos definir la igualdad como relación y el movimiento de desplazamiento como operación que permite la superposición

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Ahora bien, si precisamos los desplazamientos en virtud de los modos concretos que se tienen para ejecutar prácticamente las figuras (unión de puntos mediante rectas o arcos de circunferencia) podemos considerar tres clases de movimientos: la translación, la rotación en el plano y la rotación a través de un eje en el espacio. A cada uno de estos movimientos lo consideraremos como operación o transformación de nuestro hipotético grupo y definiremos una ley interior que ligue estas operaciones entre sí: Los movimientos pueden aplicarse sucesivamente y a esta operación la llamaremos producto. El conjunto de estas operaciones forman una ley de combinación que es asociativa; además existe un desplazamiento unitario que es el que mueve una figura al mismo lugar donde se encontraba; además, para cada desplazamiento se encuentra siempre un desplazamiento .inverso perfectamente definido. En consecuencia, los desplazamientos anteriores forman un grupo de transformaciones que, para la geometría elemental, permite organizar las figuras en clases superponibles o idénticas. Translación Rotación 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA Consideremos ahora la geometría llamada métrica, en la cual dos figuras son iguales si tienen las mismas medidas de longitud entre sus puntos, independientemente de la orientación de sus lados (o, lo que es lo mismo, la posición relativa de sus ángulos). En este caso añadiremos a las operaciones definidas en el parágrafo anterior, otra denominada simetría respecto de un eje, que hace corresponder puntos a puntos conservando la distancia al eje dado.

El producto de desplazamientos y simetrías se llama reflexión y, en conjunto, forman un grupo de transformaciones que organiza las figuras en clases idénticas o de lados de idéntica dimensión.

- Si tomamos ahora en consideración la geometría Euclídea, en ella dos figuras son análogas no solo si conservan las medidas entre puntos homólogos, sino también si tienen los mismos ángulos (siendo semejantes). 4.2.

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La operación que convierte una figura en otra semejante puede definirse como una transformación que asocia cada conjunto de puntos con otro conjunto de tal modo que las líneas trazadas entre ellas sean paralelas (homotecia)

La homotecia, con los movimientos y la reflexión, pueden ser combinadas en productos que forman un grupo. Con el conjunto de las operaciones vistas hasta ahora se forma un grupo de transformaciones (el correspondiente a la geometría euclídea) según el cual, las figuras son equivalentes si son iguales o similares en relación a las transformaciones anteriores. - Desargues, a partir de las leyes empíricas de la perspectiva define una geometría basada en la equivalencia de figuras cuyos lados homólogos se cortan en puntos pertenecientes a una línea (en el plano) o a un plano (en el espacio).

A esta operación de correspondencia se la llama colineación y conforma un grupo. Estando en el plano, si los puntos de intersección de lados homólogos están en el infinito, estos serán paralelos y habremos entrado en el grupo de las semejanzas.

Si se considera el espacio, esta geometría tiene esta propiedad llamada” principio de dualidad” según el cual (como transformación) intercambiando las nociones de punto y plano" los teoremas siguen valiendo como enunciados y demostración. El conjunto de colineaciones y correlaciones forma un grupo denominado grupo proyectivo, más general que los grupos anteriores. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA - Para Lie y Kleín, una geometría es un conjunto de propiedades invariantes entre puntos, en el seno de un conjunto de transformaciones que formen un grupo. En este sentido, según las transformaciones tenidas en cuenta y sus leyes de composición, unas geometrías se subordinan a otras y es posible buscar, de forma no intuitiva, geometrías equivalentes entre si, sustituyendo los contenidos de invariancia y transformación. En el primer orden, la geometría elemental es subordinada de la métrica y, esta, de la Euclídea que, a su vez, es subordinada de la proyectiva. En el segundo orden de ideas, sin más que particularizar transformaciones, aparece la geometría algebraica (g. proyectiva con una nueva transformación, la homotecia) que da lugar a los espacios vectoriales y, tomando como idea de invariancia la contigüidad de puntos, la geometría topológica. - En topología dos figuras son equivalentes si se puede pasar, de una a otra mediante una deformación continua, con tal de que sea preservada la continuidad de los puntos en ellas considerados. - Aquí, una esfera es equivalente a cualquier superficie convexa, pero no lo será a un toro, ya que en el toro hay una cavidad que no existe en la esfera. La generalización conseguida con la topología es tal, que ha permitido concebir geometrías no intuitivas, o mejor, imposibles de representar mediante el dibujo de figuras. La principal transformación que forma el grupo definidor de la geometría topológica es el homeomorfismo, operación que hace corresponder puntos con puntos, ordenados, continua y biunivocamente.

6 La geometría y los análisis geométricos del arte y la arquitectura. Delachet afirma en un libro de geometría matemática, que el dibujo y la arquitectura, (el arte plástico en general) queda restringido al dominio de las geometrías proyectivas, semejantes y métricas. Aunque la afirmación de Delachet se funda en la falta de evidencia intuitiva inmediata de las geometrías analíticas, generalizadas a espacios de muchas dimensiones, y de las geometrías topológicas, definidas en la más alta abstracción, es un hecho histórico, el que el arte nunca ha traspasado la barrera analítica de lo más evidente y elemental, como si estuviese condenado a vivir encerrado en el principio pragmático y operativo del pensamiento. Analizar significaba aplicar conceptos y elaboraciones conocidos a “todos” hasta descubrir sus partes y sus principios. De aquí que, analizar geométricamente, vendrá a querer decir la aplicación de los conceptos y las elaboraciones de la geometría en el nivel o grado de desarrollo que se conozca. En nuestro caso los “todos” de la aplicación serán dibujos, producciones pictóricas y arquitectura. El arte se va haciendo parte a parte pero la obra es un “todo” que puede ser sometido al análisis, independientemente de cómo ha sido logrado.

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En el principio de la historia, como en el principio de la génesis del pensamiento, el arte o, mejor, la realización práctica de figuras (prueba y síntesis de la experiencia activa de los humanos) coincide con la geometría elemental en su propia formación. Luego, la geometría se complejifica en sus elaboraciones y la práctica figural se complejifíca en su orden de superposiciones y símbolos. En el Renacimiento, la geometría métrica, semejante y proyectiva alcanza, consciente y explícitamente, a la práctica figural, convertida en arte de la naturaleza y esta situación se mantiene hasta que la geometría rebasa lo figural, quedando el arte encuadrado en nuevas ciencias y en la desesperada lucha por rebasar, a nivel métrico, semejante y proyectivo, las imágenes afigurales del pensamiento abstracto.

*

A partir del mismo Renacimiento y hasta nuestros días se inauguró, y no se ha dejado de practicar como ejercicio reflexivo el análisis geométrico del arte y, como era de esperar, este análisis nunca se apartó de los ámbitos q conceptuales inaugurados entonces, completados en el tiempo con la incorporación de la geometría dinámica (geometría elemental, métrica y semejante enfocada desde su práctica de trazados) y la aplicación analítica de los principios transformativos de la geometría generalizada bajo la noción de los grupos. En resumen sinóptico podemos decir que: * El Renacimiento se preocupa por comprobar analíticamente la correspondencia numérica y figural simbólica de los esquemas de proporción, perspectiva y composición. * El Barroco luchó por encontrar un método analítico y generativo del esquema perspectivo y apariencial. * El iluminismo, con el arte articulado al pensamiento a través de la ética y la estética, trató de convertir en reglas prácticas los resultados de los análisis renacentistas. Esta situación se prolonga a través de todos los academicismos. * Por fin, el final del siglo pasado, y lo que va del nuestro, se ha ocupado del análisis dinámico y transformativo, tanto de los esquemas proporcionales, como de los espaciales y los compositivos.

* Vamos ahora a mostrar los principios de la práctica analítica geométrica en el orden de su

capacidad y sucesión. 1. Análisis proporcional con ayuda de series numéricas figurales. 2. Análisis perspectivo con ayuda de la perspectiva natural y la matemática. 3. Análisis compositivo por medio de la simplificación, la geometría elemental y las series

figurales. 4. Análisis dinámico (proporcional y compositivo) con ayuda de la geometría euclídea de

trazados. 5. Análisis proporcional perspectivo y compositivo con ayuda de transformaciones métricas. 6. Análisis topológicos 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA 1. Análisis proporcional con ayuda de series numéricas figurales.

Este análisis se ha practicado en las representaciones de seres y objetos y en las interpretaciones arquitectónicas del siguiente modo: a) Simplificando la representación o la interpretación por medio de envolventes elementales, figuras insertas o circunscritas y, a veces, incluyendo el objeto del análisis en retículas ortogonales. b) Comparando las dimensiones así obtenidas entre sí o con una unidad. 4.2.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA c) Y, por fin, buscando la sucesión de magnitudes mas importantes o sus relaciones proporcionales en orden serial y vinculadas a las dimensiones de los elementos de figuras o construcciones geométricas singulares. En su tratado sobre la pintura, Alberti usó la cabeza como módulo,41

pero al tratar de la escultura hizo uso del pie.42 A éste le dio un sexto de la altura total de la figura y lo dividió en diez partes, cada una de las cuales era subdividida en otras diez. De este modo había seiscientas pequeñas unidades de longitud en la altura total, con lo cual era posible dar empíricamente determinadas proporciones con gran exactitud. El mismo Alberti sistematizó una serie de .proporciones a las que llegó tomando el término medio de numerosos ejemplos admirables. Un caso interesante es el de Durero, que también adoptó el punto de vista empírico y que descubrió las proporciones «normales» de diferentes tipos de figura humana midiendo numerosos ejemplos. Durero no quiso prestar atención a aquellos que trataban de mejorar la naturaleza inventando cánones artificiales de proporción: «Si las mejores partes elegidas entre muchos hombres bien formados se .reúnen en una sola figura, el resultado ser digno de consideración. Pero hay algunos de opinión diferente que juzgan cómo deberían estar hechos los hombres [...] Yo sostengo que la perfección de forma y de belleza está contenida en el total de la humanidad. Ese es él modelo que seguiré, del que puede salir esta perfección y no aquel que inventa un nuevo cuerpo de tales proporciones que no puede ser hallado entre los hombres».43

Durero puso a prueba ambas escalas, la armónica y la aritmética. La primera la usó en su primer tratado sobre las proporciones humanas, tal vez por diferencia a Vitruvio, y mostró el diagrama de la escala armónica o «regula» que él uso.44 Pero al tratar de expresar estas proporciones obtenidas empíricamente mediante la escala armónica, se encontró con serias dificultades (hombre estadísticamente medio). Estas dificultades las superó hasta cierto punto haciendo uso de proporciones tales cómo 1/10 + 1/11, si bien acabó por encontrar un segundo sistema, que fue el qué utilizó en sus posteriores tratados, mucho más idóneo para su propósito. La escala aritmética que usó era similar a la de Alberti, si bien además dividió la más pequeña unidad de medida en tres partes. Estas mínimas divisiones, sin embargo, las utilizó muy raramente.45

El ejemplo principal de proporción matemática y de repetición de razones, que Durero dice haber descubierto en sus investigaciones, era el de las dimensiones del cuello a la cadera, de la cadera a la rodilla y de la rodilla al tobillo. Creía que estas tres dimensiones debían formar una progresión geométrica: «Ahora llego a las tres dimensiones. Encuentro que se relacionan entre si según cierta proporción, de tal manera que la proporción que la longitud del cuerpo guarda con la longitud de la cadera, tomada desde la parte alta del muslo hasta el centro de la rodilla, es la misma que esta última guarda con la longitud de la pantorrilla».46

Otro caso interesante es eI de Cardan, que modificó y alargó las proporciones de la figura humana, dadas por Vítruvio. Barbaro reproduce las proporciones de, Cardan en su edición de Vitruvio, declarando que están basadas, como las del propio Vitruvio en súbmúltiplos de la altura total. Sin embargo, Cardan las definió como múltiplos de una parte pequeña que estaba contenida ciento ochenta veces en la altura total. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA El resultado de combinar progresiones armónicas y aritméticas de esta manera es, como hemos visto, la formación de una escala proporcional basada en este caso en una triple progresión geométrica. Las proporciones dadas por Cardan, que forman una progresión un tanto incompleta, son las siguientes:47

1 2 4

6 12 24 18 36 30 180 Barbaro las repoduce y las da también como submúltiplos de la altura total.48

1/180 1/90 1/45

1/30 1/15 1/721

1/10 1/5 1/6 1

Aparte de las indicaciones dadas tal vez por Vitruvio, este método de proporción parece ser único y de un interés considerable

40 De scultura de POMPONIO GAURICO, 1504. Más tarde incluida en la edición de Vitruvio hecha por Luet (Amsterdam, 1649).

41 De pictura (1435) 42 De statua (antes de 1435). En la edición del Parallel de Chambray hecha por Evelyn en 1663 aparece una traducción. 43 Literary Remains of A. Dürer, ed. W. M. Conway (Cambridge, 1889), p.250. La cita es de British Museum MS., vol. IV, 37. Hogartg le hizo a Durero una clara injusticia al incluirlo entre los autores que lo aseguran que este curioso método de medir producirá belleza más allá de lo que pueda permitir la naturaleza de ser…»; Analysis of Beauty (1753), p. 51 de la edición de 1955. 44 De simetría partium in rectiz formis humanorum corporum (Nurembreg, 1532); traducido de la edición alemana de 1528, libro I. Ver láminas 4-6.

45 Ibid. Libro II 46 Ibid. Libro I. En latín: Nuc ad illus tres mansiones redeo, esas scito inter se certa proporcione convenire oportere, sic ut qua proporcione corporis longitudo congruat cum longitudine como docta a summo femore ad genu medium ea proporcione haec cuan tibia comparetura.

47 De subtitulate (1559). Libro II. Pp. 462-463 48 De architectura (1567). p.89

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 2. Análisis perspectivo con ayuda de la perspectiva natural y matemática. Este análisis se ha practicado en las representaciones e interpretaciones del ambiente espacial, los objetos y los seres ubicados en el espacio, y la edificación como objeto que ha de percibirse. La perspectiva está basada en la colineación, esto es, en la convergencia de las líneas y en la alineación de puntos pertenecientes a clases singulares, por lo que estos análisis se fundamenta en: a) La distinción de familias de líneas paralelas representadas y de puntos equidistantes o de la misma altura. b) Prolongación de las líneas formando familias y unión de los grupos de puntos equivalentes. Con esta operación se comprueba si la perspectiva es natural o matemática y si está sistematizada o no.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA c) Si la perspectiva es matemática se puede, a continuación, lograr la restitución del conjunto, esto es, pasarlo a otro sistema de representación en que se incluya el punto de vista del ejecutor.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA La organización perspectivo-representativa del espacio es como una base organizativa de la representación, un marco en el que se distribuyen las figuras de las cosas con su proporcionalidad, a veces deformada por la angulación. Pero también esta organización es un símbolo, una característica típica de las culturas y las épocas ya que, de forma directa, reproduce la comprensión e intención interpretativa del espacio sometidas a la concepción cultural. Precisamente, los análisis perspectivos han servido para caracterizar las épocas artísticas. Representación espacial egipcia

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Perspectiva Oriental

4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA Perspectiva central renacentista

Perspectiva distorsionada barroca El Veronés, en algún cuadro, empleó más de 20 puntos de fuga

4.2.

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Distorsión espacial cubista Perspectiva oblicua deformada por Superposición de elementos extraños (también cubista) 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA 3. Análisis compositivos por medio de la geometría elemental y las series figurales. Estos análisis se refieren a la impresión esquemática primaria de las producciones plásticas. A la organización general de los conjuntos, por encima de las figuras y el ambiente que representan o interpretan. No es fácil de saber si los artistas planean estos esquemas, pero no hay obra plástica a la que no se pueda aplicar estos análisis. Realmente como se trata de apreciar esquemas, no hay en estos análisis normas generales, aunque se suelen emplear estos pasos. a) Simplificación del conjunto en formas elementales, singularización de las líneas más destacadas, inscripción del conjunto y de las partes en figuras de orden superior y prolongación de las líneas obtenidas.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA

b) Elección, en el conjunto anterior, de las singularidades que conforman figuras claras y destacadas de naturaleza elemental o simbólica. c) Consideración de las formas elementales o de las series figurales elementales que esquematizan lo anterior como conjunto.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 4. Análisis dinámicos con ayuda de la geometría euclídea de trazados. A finales del siglo pasado y principios de este, comenzó a pensarse que las componentes compositivas geométricas del arte plástico podían ser estudiadas, no solo como figuras, sino también como trazados mas o menos complejos que dan razón, no solo de la forma esquemática sino también, de su concepción y posible jerarquía. Se inaugura así una revisión de los procederes analíticos proporcionales y organizativos y surgen un conjunto de tendencias bien definidas. Una de estas tendencias se fundamenta en la descomposición serial que siempre se puede hacer de un rectángulo o un cuadrado (el de base de un grafismo, o la envolvente de un edificio) inscribiendo en él otros rectángulos o cuadrados con relaciones de lados en series de construcción geométrica.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 4.2.

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La otra importante tendencia especialmente encontrada para la edificación arquitectónica (aunque también puede emplearse en la figuralidad pictórica) se basa en la idea de que las figuras esquemáticas primarias pueden ser consideradas como construcciones pragmáticas a partir del círculo y sus trazados. (Recuérdese los trazados de las figuras regulares ofrecidos en el apartado 2 de estas notas),

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA Pues bien, la idea de procedimiento para estos análisis es como sigue: a) Esquematización de la producción a analizar simplificando líneas, buscando las direcciones más destacadas y destacando las partes y los puntos de máxima atención (visual en lo pictórico, constructiva y organizativa en lo arquitectónico edificatorio). b) Inclusión del esquema anterior (o generación a partir del mismo) en una trama geométrica general que contenga las direcciones y los puntos destacados como elementos singulares. c) Completación de la trama o esquema geométrico anterior en un conjunto de sentido general donde se explique una o varias formas del trazado jerarquizado. Este trazado último, además de contener el esquema primario, indica una geometría elemental y métrica que se puede tomar no solo como explicación sino, y principalmente, como sugerencia de reflexión para nuevos análisis y la propia comprensión de los resultantes gráficos. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA 4.2.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA La pintura moderna ha empleado estas ideas como principio abstracto para producir obras.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA Obsérvese que con el análisis transformativo se dá razón de las formas simples (formas simétricas o compuestas por movimientos combinados), las proporciones (constantes operativas numéricas definidoras de la transformación) y, en algunos casos, de la composición. 4.2.

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Análisis de Formas GEOMETRÍA La aplicación de transformaciones geométricas a elementos figurales se ha empleado en el arte moderno como motivo compositivo. 6. Análisis topológicos. El análisis topológico se fundamenta en la obtención de formas y figuras homeomórficas a las de partida por deformación continua de estas. Realmente la topología general no es fácilmente utilizable al no ser figuralmente evidentemente pero, en ocasiones, permite simplificaciones (esquematizaciones) de alto interés. En general estos análisis se suelen reducir al plano o a organizaciones espaciales muy elementales. En el primer caso, considerada una producción como una descomposición del plano, no suele ser difícil reconstruir una trama o estructura plana equivalente a la que se analiza.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA En el segundo caso, (en arquitectura principalmente) a veces es sencillo de ver como un conjunto de espacios vinculados por conexiones también espaciales se puede reducír a esquemas vinculatorios simplificados.

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4.2. Análisis de Formas GEOMETRÍA El arte ha empleado las transformaciones topológicas como motivo de sus producciones en múltiples ocasiones.

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4.2. Análisis de Formas SIMBOLISMO NOTAS SOBRE SIMBOLISMO

Un símbolo es para Jung una función psíquica compleja que, basada en la forma

esquemática de las cosas, las relaciona representativa y evocativamente con una totalidad consciente o inconsciente de contenidos que van más allá de lo que se suele entender por significado.

Jung vé en el simbolismo de las figuras la raíz de las constantes impresas del universo en el hombre. Algo así como un modelo de idealización universal caracterizado por su esquematismo primario.

Por todo ello no se puede hablar de significado simbólico, sino de función simbólica, como

algo abierto y dinámico, teniendo en cuenta que el simbolismo no es una representación, sino exactamente todo aquello que evoca y recoge. La manifestación simbólica puede ser: De gestos (estáticos y dinámicos) Gráfica Posicional Auditiva (oral,musical…)

O cualquier combinación entre ellas.

De hecho cualquier manifestación humana entraña una función simbólica. La cuestión es encontrar las raíces constantes y esquemáticas y entender su valor. Esto es lo que intenta la psicología (Joung), o en algunos casos la antropología (Von Bertalanffy ..."Hacia una nueva imagen del hombre". Cassirer) y la sociología. La ciencia "pre científica" ya había encontrado estas raíces y las utiliza como punto de partida para la transformación de la realidad a través de su conocimiento

Trataremos de hacer una exposición esquemática de este modo de proceder.

Cada cosa (la realidad) tiene una figura y un sonido, y tanto la figura cómo el sonido, cómo la misma cosa, son idénticas y son indistintamente la realidad alcanzable misma.

(Diccionario de la lengua Española R.A.E.) Símbolo: (arrojar-junto). Imagen, figura o divisa con que materialmente o de palabra se representa un concepto (moral o intelectual) por alguna semejanza o correspondencia que el entendimiento percibe entre ese concepto y aquella imagen. Signo: Cosa que, por su naturaleza o convencionalmente, evoca en el entendimiento la idea de otra. Señal: Marca o nota que se pone o hay en las cosas para darlas a conocer y distinguirlas de otras.

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Conocida y, por tanto, dominada la figura o el sonido de la cosa, se domina a la cosa misma y, por ello, actuando sobre la figura o sobre el sonido de la cosa, se actúa sobre la realidad. Ahora bien, para modificar algo hay que querer hacerlo. Es decir: hay que tener una razón profunda, intensa y personal para modificar aquello.

El acto mágico implica, en primer lugar, el conocer y, luego, el querer voluntariamente

modificar la realidad, y hacerlo, o bien directamente, o a través de su figura o de su sonido.

Tiene que ser tan personal esta actuación, tan voluntariosa, que es prácticamente intransferible. Un chamán de un pueblo primitivo es el mago, no porque lo sepa todo, sino porque es el único con la actitud personal decidida de que puede transformar las cosas. En este sentido es importante consignar una historia que cuenta Jung acerca de los sueños. Psicológica y biológicamente está demostrado que todo el mundo sueña. Pero Jung encontró, preguntando a las gentes de un pueblo, que el único que soñaba era el mago. Es decir: elúnico que utilizaba sus sueños era el mago; los demás, o no los recordaban, o no los reconocían como tales sueños, ya que en su actitud personal no tenían ninguna intención de incidir sobre la realidad para transformarla.

Ya hemos dicho que un símbolo es algo absolutamente abierto. Cuando un símbolo se

cierra pasa a ser signo. El sonido se convierte en palabra, la figura, en representación y ya no tienen valor en sí misma sino como referencia a la cosa representada. Entendidos así, los símbolos son válidos en la medida en que una persona les puede sacar utilidad para hacer cosas nuevas, para conocerse a sí mismo, al cosmos y a la realidad.

De este modo, la relación entre un símbolo y lo que expresa es una cadena

ininterrumpida y en ningún caso una significación verbal del tipo de la de un diccionario. Dentro del esoterismo vamos a referir algunas indicaciones simbólicas de las líneas, las

figuras cerradas, la posición, la sombra y el color. En primer lugar hay que tener en cuenta el valor relativo del gesto del trazado, agresivo o

controlado, y el sentido (el orden) del trazado (arriba-abajo o abajo-arriba, p. ej.). De forma general, las líneas tienen valor de operadores, las figuras son elimentos

(arquetipos familiares, psicológicos, sociales, religiosos, etc.) y la situación espacial relativiza los anteriores elementos. Es decir les dá un matiz relativo según el lugar donde estén colocados. Y por último, las sombras y el color son instancias dinámicas y símbolos de 2º orden.

LÍNEAS hacía, separación, partición

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4.2. Análisis de Formas SIMBOLISMO arriba-abajo, escisión, verbo, falo separación tajante… Relación, diferencia, implicación, continuidad. Horizontal, llano, tranquilidad De la unión de las anteriores sale el operador por excelencia. Unión, agregación, más homogeneidad, mundo, carisma, revolución, … ordenación, combinación, sofisticación, … Es el signo anterior (+) pero con más estabilidad, más fijeza, pero menos potencialidad.

* En ángulo es el acto por excelencia de la inteligencia humana, pero es inestable. Es la obra por terminar.

Hacia, implicación violenta, imposición, … Hacia. Concatenación (esto y esto, las dos cosas).

Hacia, disyunción (o esto o esto, una de las dos cosas) alternativa,…

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LAS FIGURAS El punto. • El yo. La acción contenida. El germen, la semilla, la partida, el origen.

El círculo. El cero. El yo interior, el caos, el principio de organización (solo se puede organizar aquello que no lo está). La posibilidad de realización. El infinito, la locura. El supremo sacrificio, la entrega a los demás… El uno. El caos más el yo es decir: el yo actuando en el caos. El verbo, el falo, el Dios Padre, El Sol, el principio, la luz, … Dos. La dualidad, la luna, lo femenil, la sabiduría, la plata, el misterio. La vagina, el alma, fantasmas. La imaginación, la sensualidad, Piscis,…

Otras combinaciones con el círculo que han sido utilizadas por la alquimia son: La sal (alquímica)

El nitro (es un elemento que se pone incandescente en el crisol y, junto con la sal, forma el primer elemento sobre el que trabaja el alquimista).

El reino vegetal. El óvulo fecundado. El reino animal.

4.2.

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El reino animall. Venus, la femeneidad sin fecundar, belleza, dulzura.... Marte, agresión, sangre,.... El vitriolo El poder del mundo, el dominio. La cruz dominando el círculo es la imagen (el símbolo) del dominio de la tierra. Mercurio, ambiente, comercio,... Tres. La virgen cósmica, síntesis amor-inteligencia. El espíritu Santo. Sustancia conformante, la física, recuperación de uno mismo.

4.2.

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Formas particulares. Fuego, león, verano, rojo, Agua, ángel, verde, cobre, Venus,… Aire, águila, azul, estaño, Júpiter, ... Tierra, buey, negro, plomo, Saturno,... Principio constructor, juego realizador, azufre, … Principio de vida, Espíritu Santo, … La gran obra, el objetivo alcanzado.

Cuatro. La realización, la obra, la piedra cúbica, el dominio del hacer, pensamiento y voluntad, iniciación, renuncia, … Maestro, vejez, enseñar, partir, morir,… Saturno Virilidad, actuar, vivir Marte Aprendiz, juventud, la búsqueda de un maestro, llegar, … Júpiter

4.2.

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Cinco. El hombre, la religión, el microscosmos, la materia base, el genio humano, Libertad, materia armónica, …

El hombre después de la caída. El hombre radiante, cósmico. La posibilidad de caer. El carnero, la magia negra. El redentor del hombre (Hermes) El diablo alquímico, … Seis. Microcosmos ,material y armónico. El sello de Salomón. La naturaleza cristalizada, estática. Fuego y agua, la duda, el amor, la belleza, el riesgo. El hombre y la mujer, el acto sexual, … Siete. El tiempo, la victoria, el éxito, el dominio, el carro que se mueve, ... El gran misterio regenerativo de los procesos, el ciclo básico.

El siete es el número de las vidas, el de los cielos, el de las esferas y los planetas, el de los ciclos. La magnanimidad (70 veces 7), la magnitud sin límites,…

Ocho. La justicia, la eternidad. Los ocho centros del mundo. La distribución, lo artificial, la perfección formal,… Nueve. La búsqueda, la sabiduría contenida; la materia básica, la traición, …

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4.2. Análisis de Formas SIMBOLISMO

Diez. La gran síntesis universal, la realidad plena, la efigie que descubre todos los secretos, el azar, la evolución, el cosmos.

La posición. Relativa de unas figuras con otras. Una figura incluida en otra se relaciona con ella complementándose y coexistiendo. Una figura sobre otra indica dominio de la superior sobre la inferior. Una figura al lado de otra indica la relación simple, lineal, de suma, o resta, o igualdad. Relativa al marcó del cuadro. El cuarto superior. El espíritu Los dos cuartos centrales. El alma. El cuarto inferior. El cuerpo (El yo físico, la sensualidad).

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4.2. Análisis de Formas SIMBOLISMO El tercio izquierdo, el pasado, lo interior. El tercio central, el presente. El tercio derecho, el fututo, lo exterior. El super ego En realidad esto se sale un tanto de simbolismo esotérico para entrar en el campo del simbolismo psicológico. Por eso, antes de continuar viendo el sentido de un dibujo por su posición y aún por su tamaño dentro del papel, vamos a dar el sentido simbólico de algunos colores dentro del esoterismo. Sombra - Color.

Negro.- La tierra, lo básico, lo calcinado, lo que va a producir algo nuevo. La espera, la humildad, ...

Blanco.- Luz, realización, acto, presencia, espacio, ... Amarillo.- Realización inteligente, tiempo, obra acabada. Rojo.- Fuego, acción germinante, principio activo. Azul.- Aire, espíritu, pensamiento, síntesis, verbo, agresión espiritual. Verde.- Principio pasivo, generación, la naturaleza como búsqueda,... Aparte de asta recopilación del sentido esotérico de algunos símbolos, que solo tienen sentido en la medida en que sirven de desencadenantes de un proceso de búsqueda personal, existen significados simbólicos, a todos los niveles, dentro de la ciencia positiva.

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4.2. Análisis de Formas SIMBOLISMO El psicoanálisis recoge en algunos test el significado de éstos o aquellos trazos, o gestos, ... Aparte de la conveniencia de su conocimiento, aunque sea someramente, es importante comparar el sentido que un mismo signo tiene para el esoterismo y para el psicoanálisis. El test de Wartegg estudia los dibujos desde muy distintos puntos de vista. Claridad, dimensión, emplazamiento, esperar, originalidad, presión y simplicidad. FACTOR SIGNIFICACIÓN PSICOLÓGICA 1.Claridad

Claridad mental Objetividad Organización y método

2. Dimensión a) Sup. Grande

> 41

Sup. Total

Imaginación Confianza en sí Energía Expansión Falta de prudencia Vitalidad

b) Sup. Pequeña

< 41

Sup. total

Análisis Objetividad Sentido de la observación Falta de confianza en sí Prudencia Paciencia

3. Dinamismo (de lo representado)

Actividad Iniciativa Adaptación Fluidez

4.2.

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Análisis de Formas SIMBOLISMO 1.Emplazamiento a) ALTURA 1) Zona superior

Actividad mental (dibujos esquemáticos) Imaginación (dibujos complejos)

2) zona media

Emotividad

3) zona inferior

Vitalidad

b) anchura 1) banda ancha

Adaptación Altruismo Solidaridad

2) banda central

Sentido de la observación

3) banda izquierda

Falta de adaptación Falta de altruismo Falta de sociabilidad

c) Economía espacial poco espacio en blanco

Expansión insegura Prudencia Obsesión

Grandes espacios en blanco

Tensión Riesgo. Desgarro

4.2.

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Análisis de Formas SIMBOLISMO 5. Espesor 1. Ensanchamiento del trazo

a) ancho Energía Vitalidad

b) fino

Receptividad Sensibilidad Miedo… inseguridad

c) Alternando

Sentido de observación Originalidad

2. Sombra

Expansión. Riesgo Falta de prudencia

6. Originalidad

Actividad mental Imaginación Originalidad

(Dentro del test de Wartegg es muy complejo medir la originalidad, que depende del tipo de dibujo y su situación en el cuadro. De tal modo que un determinado elemento puede ser muy original situado en el (ángulo superior derecho, por ejemplo, y no serlo en cualquier otro lugar). 7. Presión

a) Fuerte Confianza en sí Constancia Decisión Iniciativa Energía Falta de adaptación Falta de benevolencia Expansión Vitalidad

b) Débil

Falta de decisión Falta de iniciativa Falta de energía Adaptación Falta de expansión Sociabilidad Dependencia

4.2.

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Análisis de Formas SIMBOLISMO c) Inestable

Emotividad lábil Falta de confianza en sí Dependencia Falta de constancia Falta de decisión

8. Simplicidad

Claridad mental Objetividad Organización y método Capacidad de síntesis Compresión

Estos ocho puntos son los llamados factores de expresión. Son también reveladores los llamados factores de integración, estudiados a partir de los llamados arquetipos.

Los ángulos rectos y obtusos proporcionan la evidencia una intensificación significativa de la línea recta, mientras que los ángulos agudos expresan una intensificación del contenido del ángulo. Por consiguiente, en las figuras compuestas con ángulos rectos y obtusos, se podrá tomar en consideración únicamente el valor de la línea recta; en cambio en las figuras de ángulo agudo, sólo cuentan los ángulos, haciendo desaparecer el sentido de las otras líneas. (Por ejemplo: triángulo., rombo y flecha) Las diversas combinaciones de rectas pueden dar las figuras siguientes: e) La cruz: la recta horizontal atravesada verticalmente, da la impresión de dos fuerzas que se oponen en un sentido preciso y definitivo. El sujeto revela, utilizando este signo, su capacidad de síntesis de decisión y su confianza en sí. f) Las paralelas: impresionan por su equidistancia, su igualdad y su orden riguroso. En los motivos ejecutados revelan actividad mental, claridad, objetividad, sentido de la observación, de la organización, del método, constancia y dominio de sí

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g) Los rayos: por las direcciones múltiples en las cuales se orientan las rectas partiendo de un centro ideal incitan a la dispersión y a la descentralización de las energías. Traduce este arquetipo en el dibujo: imaginación, falta dé objetividad y de organización, actividad voluntaria, iniciativa y capacidad de expansión. h) El cuadrado o el rectángulo: estas figuras dan una impresión de disposición regular, equilibrada y bien delimitada. Utilizándolos se revela: capacidad de organización, de método y de síntesis, constancia, prudencia y paciencia, dominio de sí y, por lo mismo, falta de expansión.

i) La cuadrícula: estas líneas entrecruzadas predisponen a la tensión y a la concentración; en los dibujos indica: exceso de análisis que dificulta la claridad, insuficiente capacidad de síntesis, falta de confianza en sí, de decisión y de iniciativa. j) Las rectas horizontales: esta separación de planos cuidadosamente dispuesta evoca una multiplicidad de pers-pectivas, una disposición ordenada. Utilizando este arquetipo en los dibujos se revelará: actividad mental, capacidad de análisis, observación, organización y método, constancia, dominio de sí y paciencia. k) Las líneas verticales u oblicuas: la inclinación o la verticalidad de las líneas añaden una nota afectiva particular a las características señaladas por las líneas horizontales, atenúa su rigidez y aumenta el ritmo y el movimiento. Revelan: sentido de análisis, sensibilidad receptiva y constancia em el esfuerzo. Las diversas combinaciones de ángulos agudos dan lugar a las figuras siguientes: l) La flecha: el ángulo añade a la recta que forma el eje de la

flecha, una sensación de fuerza en movimiento que impresiona como manifestación de ataque, rapidez y orientación. Utilizando este arquetipo se traduce: disposición a la actividad, impulsividad en las decisiones, falta de dominio de sí, gusto por la iniciativa, potente energía psíquica, falta de adaptación, de prudencia, de paciencia y benevolencia.

m) La cruz de San Andrés y el asterisco: el entrecruzamiento

de las rectas con ángulos internos agudos impresiona por la conjunción de fuerzas provenientes de direcciones múltiples. Se revela capacidad de síntesis, confían en sí, poder de decisión y vigor en la iniciativa.

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4.2. Análisis de Formas SIMBOLISMO n) El triángulo: esta figura cerrada por tres líneas que se cortan

dos a dos en un mismo plano, y caracterizada por tres ángulos de los cuales dos son siempre agudos, impresiona sobre todo por su agudeza y da la impresión de antagonismo y dureza de oposición. El sujeto al dibujar esta figura traduce: su falta de objetividad, de dominio de sí, de adaptación, de benevolencia, de expansión, de comprensión de paciencia y sociabilidad. o) El rombo: este paralelogramo de lados iguales y ángulos adyacentes desiguales gracias a la oposición de sus dos ángulos agudos impresiona por el antagonismo, la limitación y la tensión de sus líneas. El sujeto traduce su falta de objetividad, benevolencia, comprensión, adaptación, expansión, paciencia y sociabilidad. Las diferentes combinaciones de curvas originan los siguientes arquetipos compuestos: p) La línea ondulada: comunica la impresión de gracia, de ritmo y de balanceo. Empleada en el dibujo revela, con un débil potencial de energía: emotividad, sensibilidad, adaptación, benevolencia, comprensión y sociabilidad.

q) La guirnalda: por la repetición de curvas abiertas hacia arriba, incita a la espontaneidad de la expresión y al acercamiento a nuestros semejantes. Es signo de emotividad, sensibilidad, adaptación, altruismo, benevolencia. comprensión, expansión, paciencia y sociabilidad.

r) La arcada o el arco abierto: el cierre hacia lo alto y la abertura hacia lo bajo, impresiona como medio de protección y limitación. Su empleo traduce: emotividad, receptividad, falta de confianza en sí, de altruismo, de expansión y de sociabilidad.

s) La circunferencia o el óvalo: esta figura formada por una curva cerrada sobre sí misma, se caracteriza por la limitación y la concentración. En ella se traduce: prudencia, sensibilidad, falta de actividad, de iniciativa, de expansión y de confianza en sí.

t) La espiral: esta línea curva que se aleja de su centro rodeándolo, con su movimiento envolvente y continuo, da la impresión de ritmo y de gracia. Según su dirección centrifuga o centrípeta sugiere: expansión o concentración.

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En el dibujo ejecutado, si la espiral es centrípeta indica: emotividad, receptividad, sensibilidad, falta de decisión, de iniciativa, de altruismo, de comprensión y de sociabilidad; si es centrífuga indica: emotividad, sensibilidad, adaptación, altruismo, benevolencia, comprensión, sociabilidad y falta de decisión. u) La nube (cúmulus): cualesquiera que sean las diferentes formas que pueda tomar, dispone al ensueño y a la expresión suelta y graciosa. Dibujándola el sujeto hace conocer su imaginación, originalidad, falta de actividad voluntaria y la débil potencialidad de su energía psíquica.

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TABLA Nº 2 FACTORES DE INTEGRACIÓN

(Ver pág. 110 y hojas Nros. 3 y 4) ARQUETIPOS SIGNIFICACIONES1

Fundamentales El punto 10. Falta de confianza en sí 10. Falta de decisión

La línea recta 1. Actividad metal 6. Sentido de la observación 9. Capacidad de síntesis 11. Confianza en sí 16. Decisión

El ángulo agudo 5.Falta de objetividad 14. Actividad voluntaria 17. Falta de dominio de si (Impulsividad) 19. Energía 20. Falta de adaptación 22. Falta de benevolencia (agresividad) 23. Falta de comprensión 25. Falta de prudencia 26. Falta de paciencia 28. Vitalidad

La curva 10. Emotividad 13. Sensibilidad 20. Adaptación 22. Benevolencia 23. Comprensión 27. Sociabilidad

Compuestos de rectas

La cruz 9. Síntesis 11. Confianza en sí 16. Decisión

Dos rectas paralelas 1. Actividad mental 3. Claridad 5. Objetividad 6. Sentido de la observación 7. Organización y método 15. Constancia 17. Dominio de sí

1. Las cifras remiten a los atributos del registro del rendimiento (Hoja nº 4)

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ARQUETIPOS SIGNIFICACIONES Compuestos de rectas

Los rayos 4. Imaginación 5. Falta de objetividad. 7. Falta de organización. 14. Actividad voluntaria. 18. Iniciativa (a veces dispersión). 24·. Expansión.

El cuadrado o el rectángulo

3. Claridad. 5. Objetividad. 7. Organización y método. 9. Sin tesis. 15. Constancia. 17. Dominio de sí. 24..Falta de expansión. 25. Prudencia. 26. Paciencia.

Cuadrícula 2. Exceso de análisis 3. Falta de claridad. 9. Falta de síntesis. 11. Falta de confianza en sí. 16. Falta de decisión. 13. Falta de iniciativa.

Rectas horizontales 1. Actividad mental 2. Análisis 6. Sentido de la observación 7. Organización y método 15. Constancia 17. Dominio de sí 26. Paciencia

Rectas verticales o inclinadas

2. Análisis 12. Receptividad 15. Constancia

Compuestos de ángulos

La fecha 14. Actividad voluntaria 17. Falta de dominio de sí 18. Iniciativa 19. Energía 20. Falta de adaptación 22. Falta de benevolencia 25. Falta de prudencia 26. Falta de paciencia

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ARQUETIPOS SIGNIFICACIONES La cruz de San Andrés 9. Síntesis

11. Confianza en sí. 16. Decisión 18. Iniciativa. 19. Energía.

El triángulo 5. Falta de objetividad. 17. Falta de dominio de sí ( a veces pasión). 20. Falta de adaptación. 23. Falta de comprensión. 21. Falta de expansión. 26. Falta ele paciencia. 27. Falta de sociabilidad.

El rombo 5. Falta de objetividad. 20. Falta de adaptación. 22. Falta de benevolencia (a veces agresividad) 23. Falta de comprensión (actitud defensiva) 24. Falta de expansión 26. Falta de paciencia. 27. Falta de sociabilidad.

Compuesto de curvas

Línea ondulada 10. Emotividad. 13. Sensibilidad. 19. Falta de energía. 20. Adaptación. 22. Benevolencia 23. Comprensión 27. Sociabilidad

Guirnalda 10. Emotividad 13. Sensibilidad 20. Adaptación. 21. Altruismo 22. Benevolencia. 23. Comprensión. 24. Expansión. 26. Paciencia. 27. Sociabilidad

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ARQUETIPOS SIGNIFICACIONES Compuesto de curvas

Arcada o arco abierto 10. Emotividad. 11. Falta de confianza en sí. 12. Receptividad 21. Falta de altruismo 24. Falta de expansión 27. Falta de sociabilidad

Circunferencia y óvalo. 10. Emotividad. 11. Falta de confianza en sí. 13. Sensibilidad. 14. Falta de actividad. 18. Falta de iniciativa. 21. Falta de expansión. 25. Prudencia

Espiral centrípeta 10. Emotividad. 13. Sensibilidad. 16. Falta de decisión. 18. Falta de iniciativa. 21. Falta de altruismo (egocentrismo) 23. Falta de comprensión. 27. Falta de sociabilidad

Espiral centrífuga 10. Emotividad. 13. Sensibilidad. 16. Falta de decisión. (por emotividad) 20. Adaptación 21. Altruismo 22. Benevolencia. 23. Comprensión. 27. Sociabilidad.

Nube (cúmulos) 4. Imaginación. 8. Originalidad. 14. Falta de actividad voluntaria 19. Falta de energía

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REGLAS PARA CALCULAR LOS FACTORES DE INTEGRACIÓN.

A fin de facilitar la reunión de los resultados y evitar interpretaciones erróneas, aconsejamos las siguientes indicaciones: 1. Se descomponen los dibujos en sus diversos arquetipos y se establece cuáles y cuántos son los arquetipos simples y los arquetipos combinados. 2. Al descomponer el dibujo en sus elementos simples no hay que tener en cuenta el tema inicial ni los límites del cuadro. 3. No se deben contar los puntos, las rectas y las curvas cerradas, en el puntillado o rayado, cuando se busca dar la impresión de sombra. 4. La línea recta cortada en dos segmentos se cuenta cómo una unidad. 5. Sólo se tienen en cuenta los ángulos agudos. En los ángulos rectos u obtusos se cuentan solamente las líneas que los componen. Cuando el ángulo termina en un punto, este último no se incluye. Los ángulos agudos opuestos se anulan. 6. La flecha se descompone en sus elementos integrantes: un ángulo que existe siempre y el eje de la flecha que puede ser una recta o una curva. 7. En el triángulo se contarán: tres rectas y tres ángulos. 8. En el cuadrado y el rectángulo: cuatro rectas. 10. En el asterisco y en la cruz de San Andrés se cuentan las rectas integralmente, como diámetros y no como rayos. 11. En las paralelas, los rayos y la cuadrícula, se suman todas las rectas. En caso de una gran cantidad de rectas muy próximas (rayado), se las considera como sombras (factores de expresión, Pág. 41). 12. En los dibujos no cerrados, se cuentan todas las curvas que las componen. 13. La línea sinuosa, la circunferencia, el óvalo, la arcada, las espirales y la nube se cuentan como dos líneas curvas. 14. Cuando al descomponer un dibujo se obtiene el mismo número de ángulos y de curvas, corno tienen significaciones opuestas, se anulan.

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Análisis de Formas SIMBOLISMO A parte de todos lo dicho y como un dato más, damos a continuación un cuadro de colores con su efecto psicológico según Kurt Güsdort, El efecto ocasionado en un local pintado con él, y el símbolo, al parecer esotérico, que le da el autor. Color Efecto psicológico Relación social Expresión del local Símbolo

Amarillo Animado, fresco, calmante Estimula los contactos Dilatación del local,

excéntrico, ligero Luz, espiritualidad

Anaranjado Alegría de vivir, calor Vincula socialmente Aproxima, encierra, crea contornos Sol, oro, sociabilidad

Beige Cálido. seco Contacto superficial Estática, da forma, indiferente Dinero, playa

Carmín Estimulante, intensivo, apasionado Individualiza Entre estrechamiento,

agresividad, compacidad Fuego, ruido, animalidad

Rojo avinado Poderoso, práctico Sociable Da carácter al local, expresivo Sangre, poderío, fuerza

Púrpura Digno, magnífico, dominador Diferenciación social Centra el local Justicia, moral severa,

altivez

Rosa Tierno, distante Algo aislante Impresión agradable, algo disolvente

Aroma, dulzura “muchacha”

Rosa agrisado Dúctil, elegante, fino Individualista Acentúa la estética Romanticismo, juguetón

Violeta Secreto, grave, digno Estimula la vivencia individual Favorece los contrastes Singularidad, vida de

artista, exigencia

Lila Discrepante, débil Asocial Retienen en el local, rígido Vejez, separación

Azul oscuro Contenido, constructivo, abstracto Favorece el equilibrio Subraya la expresión del

local Serenidad, cristal, filosofía de la vida

Azul claro (azul rey) Frágil, melancólico Impersonal, desairado Introspectivo Acero, dureza, claridad

Azul celeste Ansioso, comprensivo Idealizante Amplia el espacio, aéreo, Feminidad, ensueño

Azul verdoso claro Limpio, frío, claro Debilita el contacto Dilata, impone orden Silencio, distancia, luna

Azul turquesa claro Reservado, sensible, transparente Frena el contacto Esclarecido Agua, hielo

Verde oscuro Abismal, festivo partidista Subraya las formas y las curvas Esplendor, mneral

Verde hoja (medio) Natural, vital, real Ingenuo, algo pesado Emoción tranquila, subraya los ángulos

Frescura, vegetales ·bosque”

Verde tilo Tierno, elusivo, calmante Tendencia a la amabilidad

Función de segundo término

Maternidad, calma, seguridad

Verde oliva Equilibrado, amable Adicto Subordinado a formas técnicas, estereométrico, algo disolvente

Servidor, arbol

Amarillo verdoso Alegre, saltarín, flojo Relación variable distribuye la luz Crecimiento, vegetal

Marrón hasta pardo oscuro

Sin espiritualidad, estabilizante, terrenal Áspero, sin distinción Tira hacia abajo, espesa solidez, vulgaridad,

domesticidad Gris humo (gris violeta claro)

Reflexivo, intelectual moderado Trato culto Neutral, personal Velo, discreción

Gris plateado Pasivo, indiferente Neutral, egocéntrico Constructivo, angulosidad Técnico, mecánico

Negro Inseguro, absorbente relevante Reservado, aislante Borra los límites,

obstruye La oscuridad “agujero”

Blanco Flotante, irreal, inmaculado Causa inseguridad Avanza, forma paredes Nieve, “doncella”

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