Objetivos

Evaluar e implementar la teória vista durante el desarrollo del Módulo.

Abordar los temas de la unidad uno del curso desarrollando ejercicios propuestos

Desarrollar habilidades inter-personales para lograr un desempeño alto en equipo colaborativo

Establer y defender posiciones con evidencias y argumentos sólidos

Desarrollo de Ejercicios

1. Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada

ecuación:

a. xdy − ydx = 0

Solución Es una ecuación diferencial lineal, de orden 1

b. senx d3ydx3

+ y2x = 0

Solución Es una ecuación diferencial no lineal (debido a la presencia del factor y2 ), de orden

3

c. y2 d2ydx2

+ y dydx

+ xy = x

Solución Es una ecuación diferencial no lineal(debido a la presencia del factor y2 ,además el

coeficiente depende de y), de orden 2

2. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variables separa-

bles:

a. (ex + e−x) dydx

= y2

Solución y−2dy = dx(ex+e−x)

⇒ 2y−2dy = 2dx(ex+e−x)

2y−2dy = senhxdx

integrando a ambos lados con respecto a y y a x respectivamente tenemos:∫2y−2dy =∫

senhxdx

−2y−1 = tan−1(senhx) + c despejando y tenemos y = −2tan−1(senhx)

+ c

b. dydx

= x√

1− y2

Solución Separando variables tenemos dy√1−y2

= xdx Para integrar la expresion de la parte

izquierda de la ecuacion anterior vamos hacer uso de la sustitución trigonométrica Sea y =

sen θ ⇒ dy = cos θdθ y1√1−y2

= cos θ (ver figura 1)

1

Figura 1: triangulo que relaciona la variable y con el ángulo θ

Itegrando dy√1−y2

con respecto a y y haciendo la sustitucion anteriomente mensionada tene-

mos:∫dy√1−y2

=∫

cos θcos θ

dθ=∫dθ = θ Pero θ = arc sen y

Asi∫

dy√1−y2

=∫xdx⇒ arc sen y = x2

2+ c despejando y tenemos finalmente y = sen(x

2

2+ c)

3. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

eydx+ (xey + 2y)dy = 0

Solución Vemos que M = ey,N = xey + 2y Se cumple que: ∂M∂y

= ey = ∂N∂x

Ahora hallamos u(x, y) por tanto u(x, y) =∫(xey + 2y)dy + k(x)

De modo que u(x, y) = xey + y2 + k(x)

Para determinar k(x) se deriva u con respecto a la variable x, de aquí se tiene: dudx

= ey + dkdx

Igualamos dudx

= M , entonces ey + dkdx

= ey De modo que dkdx

= 0, entonces integrando con

respecto a la variable y se tiene que: k(x) = c Ahora se sustituye k en u(x, y) = xey+y2+k(x)

⇒ u(x, y) = xey + y2 + c = 0

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales hallando el factor integrante:

(3x2 − y2)dy − 2xydx = 0

Solución Vemos que M = −2xy,N = 3x2 − y2 Se cumple que:∂M∂y

= −2x∂N∂x

= 6x

Como ∂M∂y6= ∂N

∂xEl factor integrante está en función de la variable y, se usa g(y) =

∂N∂x

− ∂M∂y

M=6x−(−2x)

−2xy= −4

y

Entonces µ(y) = e∫ −4dy

y

µ = y−4

Ahora multiplicamos la ecuación diferencial . por el factor integrante que hallamos y tenemos

(3y−4x2 − y−2)dy − 2y−3xdx = 0

que es una ecuación diferencial exacta, porque se cumple que: M = −2y−3x

N = 3y−4x2 − y−2⇒ ∂M

∂y= 6y−4x = ∂N

∂x

Entonces existe una función f(x, y) talque: df(x,y)dx

=M

Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos f(x, y) = −x2y−3 + k(y)

Calculando la derivada parcial con respecto a y tenemos:∂f(x,y)∂y

= 3x2y−4 + k′(y), pero df(x,y)

dy= N = 3y−4x2 − y−2

igualando estas ultimas eciuaciones

3x2y−4 + k′(y) = 3y−4x2 − y−2 despejando k′(y) se obtiene k′ = −y−2 ⇒ k(y) =

∫−y−2dy

k(y) = y−1

2+ c Así f(x, y) = −x2y−3 + y−1

2+ c

Y por último la solución es:

−x2y−3 + y−1

2= c

5. El crecimiento de una ciudad, es proporcinal al número de habitantes que hay

en un instante cualquiera. Si la población inicial es de 400.000; y al cabo de tres

años es de 450.000. ¿Cuánto tardará en duplicarse? ¿Qué población habrá en 10

años?

Solución Ley de descomposición y crecimiento esta expresado por dPdt

= −kP para la des-

composición y dPdt

= kP para el crecimiento, en donde K es un factor de proporcionalidad.

Como en este caso vamos a trabajar con crecimiento tomaremos dPdt

= kP ⇒ dPP

= kdt por

el método de variables separables, se obtiene la solución P = P0ekt, donde P0 representa la

cantidad inicial para t = 0

Para este problema p0 = 400,000

hallemos el valor de k Para t = 3 años la ciudad tiene 450,000 habitantes

Es decir, p(3) = 400,000e3k = 450,000 ⇒ 98= e3k

ln(98) = ln e3k

ln(98) = 3k ⇒ K = ln 9−ln 8

3= 0,039261 Sustituyendo este valor en la ecuacion principal

tenemos P (t) = 400,000e0,039261t

a. ¿Cuánto tardará en duplicarse? Solución Para saber cuanto tarda en duplicarse

debemos tener en cuenta que P (t) = 2P0

Es decir, 800,000 = 400,000e0,039261t ⇒ 2 = e0,039261t , asi, ln 2 = 0,039261t ⇒ t = 17,65

Finalmente, La población demorará en duplicarse aproximadamente 17,65 años

b. ¿Qué población habrá en 10 años? Solución Remplazando el valor de t por dies en

P (t) = 400,000e0,039261t tenemos:

P (10) = 400,000e(0,039261)(10) = 400,000e0,39261 = 592336,29.

Luego la poblacion aproximada dentro de 10 años será de 592336 habitantes.

Conclusion

Después de haber desarrollado los ejercicios propuestos, hemos podido evaluar la teoría vista en la

resolución de estos, fue necesario profundizar en algunos temas para el desarrollo de los ejercicios,

donde además de consultar el módulo enviado a la plataforma se consultó en otros y la colaboración

del equipo de trabajo así como las fuentes en internet fueron de mucha ayuda para alcanzar los

objetivos propuesto.

Referencias

[1] Dennis G. Zill - Michael R .Cullen; Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la

frontera ; EDITORIAL THOMSON LEARNING, 2002

[2] Louis Leitholdl; EL CALCULO; EDITORIAL OXFORD,2009

[3] Modulos UNAD; Ecuaciones diferenciales;