ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR

CAPÍTULO 2

Objetivos

• Entender la multidimensionalidad y la dependencia de la

transferencia de calor respecto al tiempo, así como las condiciones

en las cuales se puede realizar una aproximación de un problema

de transferencia de calor al caso unidimensional

• Obtener la ecuación diferencial de la conducción del calor en varios

sistemas de coordenadas y simplificarla para el caso

unidimensional estacionario

• Identificar las condiciones térmicas en las superficies y expresarlas

en forma matemática como condiciones de frontera e inicial

Objetivos

• Resolver problemas de conducción unidimensional del calor y

obtener las distribuciones de temperaturas dentro de un medio, así

como el flujo de calor

• Analizar la conducción unidimensional de calor en sólidos en los

que se tiene generación de calor, y

• Evaluar la conducción de calor en sólidos con conductividad

térmica que depende de la temperatura.

2-1 INTRODUCCIÓN

La transferencia de calor tiene dirección

así como magnitud y, por tanto, es una

cantidad vectorial.

Indicación de la dirección para la transferencia

de calor (positiva en la dirección positiva;

negativa en la dirección negativa).

Transferencia de calor estacionaria en comparación con la transferencia transitoria

Los problemas de transferencia de calor a

menudo se clasifican como estacionarios

(también llamados estables) o transitorios

(también llamados no estables o no

estacionarios).

El término estacionario implica que no hay

cambio con el tiempo en cualquier punto

dentro del medio, en tanto que transitorio

implica variación con el tiempo o

dependencia con respecto al tiempo.

Transferencia de calor multidimensional

Los problemas de transferencia de

calor también se clasifican como

unidimensionales, bidimensionales

o tridimensionales, dependiendo

de las magnitudes relativas de las

razones de transferencia en las

diferentes direcciones y del nivel

de exactitud deseado. En el caso

más general la transferencia de

calor a través de un medio es

tridimensional. Se expresa como:

T(x, y, z, t), T(r, ϕ, z, t) y

T(r, ϕ, θ, t)http://deista.files.wordpress.com/2010/05/sol.png

En algunos casos la temperatura en un medio

varía principalmente en dos direcciones

primarias y la variación de la temperatura en

la tercera dirección (y, por tanto, la

transferencia de calor en esa dirección) es

despreciable. En ese caso, se dice que un

problema de transferencia de calor es

bidimensional.

Se dice que un problema de

transferencia de calor es

unidimensional si la

temperatura en el medio varía

en una sola dirección y, por

tanto, el calor se transfiere en

esa misma dirección; al mismo

tiempo, la variación de

temperatura y, como

consecuencia, la transferencia

de calor en otras direcciones

es despreciable o cero.

Ley de Fourier de la conducción de calor, unidimensional

La razón de la transferencia de calor a través de un medio en una

dirección específica (por ejemplo, en la dirección x) es

proporcional a la diferencia de temperatura entre uno y otro lados

del medio y al área perpendicular a la dirección de la

transferencia de calor, pero es inversamente proporcional a la

distancia en esa dirección.

donde k es la conductividad térmica del

material, que es una medida de la capacidad

del material para conducir el calor y dT/dx es

el gradiente de temperatura, es decir, la

pendiente de la curva de temperatura sobre

un diagrama T-x

Ley de Fourier de la conducción de calor, general

El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe

ser perpendicular a ella y debe apuntar en la dirección

de la temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie

isotérmica en el punto P, la razón de la conducción de calor

en ese punto se puede expresar por la ley de Fourier como:

2-2 ECUACIÓN UNIDIMENSIONAL DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR

Ecuación de la conducción de

calor en una pared plana

grande

Un balance de energía sobre este

elemento delgado, durante un

pequeño intervalo de tiempo ∆t, se

puede expresar como:

Simplificación de la ecuación

unidimensional de conducción de calor en una

pared plana, para el caso de conductividad

constante en estado estable, sin generación de

calor.

Conducción unidimensional del calor a través de un elemento de volumen en un cilindro largo.

Ecuación de la conducción de calor en un cilindro largo

Dos formas equivalentes de la

ecuación diferencial para la

conducción unidimensional y

estacionaria de calor en un cilindro,

sin generación de calor:

Conducción unidimensional y estacionaria del calor a través de un elemento de volumen en un cilindro largo.

Ecuación de la conducción de calor en una esfera

Conducción unidimensional de

calor a través de un elemento

de volumen en una esfera:

Conducción calor a través de un elemento de volumen en una esfera.

Ecuación unidimensional combinada de la conducción de calorUn examen de las ecuaciones unidimensionales de conducción de

calor en régimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera,

revela que las tres se pueden expresar en una forma compacta como:

donde n = 0 para una pared plana, n = 1 para un cilindro y n = 2 para

una esfera. En el caso de una pared plana se acostumbra reemplazar

la variable r por x, Esta ecuación se puede simplificar para los casos

de régimen estacionario o sin generación de calor como se describe

con anterioridad.

2-3 ECUACIÓN GENERAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

Coordenadas rectangulares:

Ecuación de Fourier - Biot

Las ecuaciones tridimensionales de conducción de calor se reducen a las

unidimensionales cuando la temperatura varía sólo en una dimensión:

Ecuación de Fourier – Biot, en condiciones especificadas, se reduce a estas formas:

Coordenadas cilíndricas:

Coordenadas esféricas:

2-4 CONDICIONES DE FRONTERAE INICIALES

La solución general de una

ecuación diferencial típica

comprende constantes arbitrarias

y, por tanto, un número infinito de

soluciones.

Para describir por completo un problema de transferencia de calor,

deben darse dos condiciones de frontera para cada dirección a lo largo

de la cual la transferencia de calor es significativa.

La temperatura de una superficie expuesta suele ser

mensurable directamente y con facilidad. Por lo tanto, una de

las maneras más fáciles de especificar las condiciones

térmicas sobre una superficie es mediante la temperatura.

1) Condición de frontera;temperatura específica

Condiciones de frontera de

temperatura especificada en

ambas superficies de una

pared plana.

Condiciones de frontera de flujo de calor específico en ambas

superficies de una pared plana.

2) Condición de frontera;flujo específico de calor

Una pared plana con aislamiento y condiciones de frontera de

temperatura específica.

Caso especial: Frontera aislada

Condición de frontera de

simetría térmica en el

plano central de una pared

plana.

Otro caso especial: simetría

térmica

Condiciones de frontera

de convección sobre las

dos superficies de una

pared plana.

3) Condición de convección en frontera

La dirección supuesta de la

transferencia de calor en una frontera

no tiene efecto sobre la expresión de

la condición en la frontera.

Condiciones de frontera de radiación sobre

ambas superficies de una pared plana.

4) Condición de radiación en frontera

En algunos casos, como los

encontrados en las aplicaciones

espaciales y criogénicas, una

superficie de transferencia de calor

está rodeada por un espacio vacío

y, por tanto, no se tiene

transferencia por convección entre

la superficie y el medio

circundante. En esos casos la

radiación se convierte en el único

mecanismo de transferencia de

calor entre la superficie y los

alrededores.

5) Condición de frontera en la interfaz

Algunos cuerpos están formados por

capas de materiales diferentes y la

resolución de un problema de

transferencia de calor en un medio de

ese tipo requiere determinar la

transferencia en cada capa. Las

condiciones de frontera en una

interfaz se basan en los requisitos de

que 1) los dos cuerpos en contacto

deben tener la misma temperatura en

el área de contacto y 2) una interfaz

(que es una superficie) no puede

almacenar energía y, por tanto, el flujo

de calor sobre ambos lados de la

interfaz debe ser el mismo.

6) Condiciones de frontera generalizadas

Hasta ahora se ha considerado superficies sujetas a transferencia

de calor de un solo modo, como el flujo especificado de calor,

la convección o la radiación, por sencillez. Sin embargo, en general,

una superficie puede comprender convección, radiación y

flujo especificado de calor simultáneamente. En esos casos

se obtiene una vez más la condición de frontera a partir

de un balance de energía superficial, expresado como:

2-5 RESOLUCIÓN DE PROBLEMASUNIDIMENSIONALES DE CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN ESTACIONARIO

El procedimiento para resolver los

problemas de conducción de calor se

puede resumir como sigue:

1) formúlese el problema mediante la

obtención de la ecuación diferencial

aplicable en su forma más sencilla y

especificando las condiciones de

frontera, 2) obténgase la solución

general de la ecuación diferencial y

3) aplíquense las condiciones de

frontera y determínense las constantes

arbitrarias en la solución general.

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDERESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA – OFICINA 201

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