Transferencia de Masa

2012-09-04-9ª

Transferencia de Masa

Temas a tratar:

# Adsorción de gases con reacción química 18.4-1 BSL

# Transferencia de masa en interfase y reacción en la superficie sólida,

# Adsorción de gas en una película que cae 18.5 BSL.

# BSL Ejemplo18.4-1 Adsorción de gas con reacción química.

Estimar el efecto que tiene el desarrollo de una reacción química sobre

la rapidez de adsorción de gas.

Ejemplo, absorción de H2S en una solución de NaOH

En el análisis de este proceso de transferencia de masa con reacción

química se considera que cierto gas (A) se transporta de la fase gas a la

fase líquida; A reacciona irreversiblemente en la fase líquida, con una

rapidez de reacción que es de primer orden con respecto de la

concentración molar de A. Referencia: E. N. Lightfoot, AIChE Journal, 4, 499-500 (1958); 8, 710-712 (1962).

El proceso es complejo; para analizar su parte esencial se hacen las

siguientes simplificaciones

a. Cada burbuja de gas esta rodeada de un película estancada, de

espesor δ, el cual es pequeño respecto del tamaño de la burbuja, por lo

que es válido suponer coordenadas cartesianas;

b. Una vez que se forma la burbuja, se establece rápidamente (cuasi-

estacionario) el perfil de concentración de A en el líquido;

c. El transporte de A es por difusión únicamente;

d. La concentración de A en donde termina la película estancada es

prácticamente constante (CA=CAδ en z=δ) … esta es la diferencia con

respecto del 18.4.

Para variar, en este caso el balance de masa se obtendrá a partir del

balance en términos del flux:

AyAxA AzA

NNC NR

t x y z

Considerando además que:

e. Transporte unidireccional: en z

f. Estado estacionario;

g. Reacción irreversible, de primer orden con respecto de CA

AzA

dNkC

dzcomo: transporte por difusión únicamente: A

Az AB

dCN D

dz2

AAB A2

d CD kC 0

dz

con: @ ; @ A A0 A AC C z 0 C C z

Al resolver este modelo se obtiene el perfil de CA en el interior de la

película estancada, en la cual ocurre el transporte y la reacción química

de A, con una rapidez de reacción primer orden respecto de CA.

... (18.4-15 )A

A0

senh cosh B cosh senhCBSL

C senh

donde: ; ; 2

A

A0 AB

Cz kB

C D

El modelo que describe el transporte y reacción de A en la película

estancada se resuelve mediante un procedimiento análogo al del

ejercicio 18.4, y el perfil de concentración de A es el siguiente:

# Transferencia de masa en interfase y reacción en la superficie sólida.

Ejercicio 1 examen (60 puntos): considere el caso de una placa sólida

constituida de una material que es susceptible oxidarse irreversiblemente

con oxígeno. Por debajo de dicha placa circula una corriente de aire, en

condiciones tales que la placa está mojada con una película de aire

estancada (estacionaria) que tiene un espesor finito (L). En la superficie

del sólido, el oxígeno del aire se consume con una rapidez de reacción

que es de pseudo primer orden respecto de la concentración de oxígeno

(CA).

R

AkC

A

Asumiendo que la concentración de oxígeno sobre la superficie de la

película estancada es conocida e igual a la concentración de oxígeno en

la fase fluida; y que hay continuidad en los procesos que ocurren en

dicha película estancada, lo cual implica que el flux de oxígeno que

llega a la superficie del sólido reacciona ahí; obtener los modelos de:

1.1 El perfil de la composición de oxígeno en la película de gas;

1.2 El flux de oxígeno que llega a la superficie del sólido;

1.3 El flujo de oxígeno que reacciona.

Solución

1. Esquema:

CA

tv

x

CA

xv

y

CA

yv

z

CA

zD

AB

2CA

x2

2CA

y2

2CA

z2R

A

3. Modelo (restricciones):

a. Sistema: película de gas, isotérmica;

b. Transporte por difusión; v =0

c. Flujo unidireccional: en z

d. Estado estacionario;

e. No hay reacción en la fase gas;

f. No hay transporte de masa a través del sólido.

2. Sistema coordenado: cartesiano

z

... A Az L N R

... A A0z 0 C C

3. Modelo:

D

AB

d 2CA

dz20

Condiciones límite:

C

AC

A0 @ z 0

N

AR

A @ z L

Resolviendo la ecuación diferencial:

2

A

2

d C0

dz

Para poner a las constantes de integracion a1 y a2 en términos conocidos

se utilizan las condiciones límite:

C

A0a

10 a

2 Como: C

AC

A0 @ z 0

a2

CA0

C

Aa

1z C

A0

N

A z LR

A z L

En el umbral sólido/gas hay continuidad: N

AR

A @ z L

A1

dCa

dz A 1 2C a z a

Por lo tanto, el perfil de la concentración de A en la película de gas es:

por definición: AA ABz L

z L

dCN D

dz

por otro lado: A Az LR k C z L

N

A z LR

A z L

como: A 1 A0C a z C

A AB 1 A0z Lz L

dN D a z C

dz

AB 1 1 A0D a k a L C

a1

kCA0

kL DAB

CA

CA0

kCA0

kL DAB

z

En el umbral sólido/gas hay continuidad , es decir:

A 1 A0z LR k a L C

Como: A Az L z LN R

A AB 1z LN D a

AA ABz L

z L

dCN D

dz

1.2 Para obtener el flux de A (NA) en el umbral sólido/gas se aplica la

definición de flux en dicha región, porque ahora ya se conoce el perfil

CA(z):

AB A0A z L

AB

D kCQ S

kL D

1.3 El flujo del oxígeno que se consume en la superficie del sólido se

obtiene multiplicando NA por la sección transversal de flujo S:

AB A0A z L

AB

D kCN

kL D

A0A AB A0z L

AB z L

kCdN D C z

dz kL D

como: A0A A0

AB

kCC C z

kL D

BSL &18.5 Adsorción de gas: difusión en una película que cae

Sea el caso de una película de fluido B que resbala sobre una pared;

dicha película está en contacto (a contra-corriente) con una corriente de

gases que contiene el gas A.

Suponiendo que A puede

adsorberse en B, obtener las

expresiones de:

(a) El modelo de transporte de A

(no resolverlo), considerando

que la velocidad con la que el

fluido B cae es de la forma:

CAo

x =0

CA1

x =δ

(b) El perfil de concentración de A,

suponiendo que la velocidad con

la que se mueve B es constante.

vz

x vmax

1x

2

ga

s

líqu

ido

Modelo

En el enunciado se hacen las siguientes consideraciones:

1. El perfil de velocidad es conocido (flujo laminar), y no se ve afectado

por la transferencia de masa;

2. A es soluble (ligeramente) en B, por lo que la viscosidad del liquido no

se ve afectada por la transferencia de masa;

3. La solubilidad de A en B es de una magnitud tal que ocurre el

transporte de A, pero la distancia que logra penetrar A es mucho menor

que el espesor de la película (δ);

4. El transporte de A en x es por difusión, y en z es por convección;

5. No hay reacción química entre A y B;

6. El perfil de velocidad es de la forma:

vz

x vmax

1x

2

CA

tv

x

CA

xv

y

CA

yv

z

CA

zD

AB

2CA

x2

2CA

y2

2CA

z2R

A

Considerando además que:

7. Por tratarse de una solución diluida, se puede asumir que la velocidad

másica promedio v es igual a la velocidad molar promedio vz (vz=v).

Por lo tanto, el modelo que se requiere en la pregunta (a) es:

2 2

A Amax AB 2

C Cxv 1 D

z x

Con las condiciones limite siguientes:

i) En la parte superior la película de B no tiene A:

C

A0 @ z 0

C

AC

A0 @ x 0

CA

x0 @ x

ii) En la interfase gas/liquido, la concentración de A es máxima y está

determinada por la solubilidad de A en B:

iii) No hay trasferencia de A a través de la pared :

como: 2

A Az AB 2

C Cv D

z x

Para obtener el perfil de concentración de A –pregunta (b) –, se supone

que la velocidad de B es constante (lo propone el enunciado), y se

procede como en 4.1 de BSL (ejemplo de similitud):

llamando: ; y utilizando la variable adimensional: AB A

z A0

D Ca f

v C

2

A AB A

2

z

C D C

z v x

2

2

f fa

z x

como: @ @ AC 0 z 0 f 0 z 0

@ @ AC 0 x f 0 x

Con las condiciones límite siguientes:

como: @ @ A A0C C x 0 f 1 x 0

De (3): la distancia que logra penetrar A es mucho menor que el espesor

de la película, es decir que A no “siente” que tan profunda es la película

(nadar en el mar), por lo tanto, se puede utilizar la condición límite:

2

2

f fa

z x

con: @ @ AC 0 z 0 f 0 z 0

@ @ AC 0 x f 0 x

@ @ A A0C C x 0 f 1 x 0

Para obtener el perfil de concentración de A –f(z,x) – se debe resolver la

ecuación siguiente:

El modelo consiste en la ecuación diferencial y condiciones límite

siguientes: 2

2

f fa

z x

sujeta a: @ ; @ ; @ f 0 z 0 f 1 x 0 f 0 x

grupo adimensional conveniente: AB

z

x

4D

zv

Como: ; ; ; 2

z AB

L Lz L x L v D

t t

Una manera de resolverla es mediante el método de combinación de

variables (4.1 BSL), considerando las dimensiones de los términos que

constituyen el modelo y un grupo adimensional conveniente:

x

f f x,z f4az

f f

z zcomo:

x 1

z z 2 z4az

f 1 f

z 2 z

como: AB

z

Da

v

Además: 2

2

f f f

x x x xx

como: x 1

x x 4az 4az

f 1 f

x 4az

f 1 f 1 f

x x x x4az 4az

como: 1 f 1 f 1 f

x x x4az 4az 4az

2

2

1 1 f 1 f

4az4az 4az

2 2

2 2

f f f 1 f

x x x x 4azx

Por lo tanto, el balance de masa en términos de f y η queda:

como: 2

2

f fa

z x

2 2

2 2

f 1 f

4azx

f 1 f

z 2 z2

2

1 f 1 fa

2 z 4az

2

2

d f df2 0

dd

como: @ f 1 x 0

x

4az

@ f 1 0

como: @ y @ f 0 z 0 f 0 x

Las condiciones límite correspondientes a esta última expresión se

obtienen considerando el grupo conveniente y las condiciones límite

antes establecidas:

@ f 0

2

2

d f df2 0

dd

con las condiciones límites: @ ; @ f 1 0 f 0

Para resolver esta ecuación, se considera el siguiente cambio de variable:

Como: 2

2

d f df2 0

dd

definiendo: df

d

2

2

d f d df d

d d dd

d

2 0d

d

2 d 2 2

1ln c C exp

2

1

dfC exp

d 2

1 2

0

f C exp d C

El límite inferior de la segunda integral (0) es arbitrario, cualquier otro

valor también lleva a una segunda constante indeterminada.

También es importante notar que se ha utilizado otra literal (φ) para la

variable de integración, para distinguirla de el límite superior de la

integral (η):

Como: 2

2

0

1f C exp d C

Para evaluar C1 y C2, se utilizan las condiciones límite:

@ ; @ f 1 0 f 0

Con: @ 2

1

0

0

2 2f 1 0 1 C exp d C 1 C

Con: @ 2

1

0

f 0 0 C exp d 1

0

1

2

1C

exp d

2

0

0

2exp d

f 1

exp d

Como:

2

0

2

0

exp d

f 1

exp d

Burington (ec 379): 2

0

exp d2

0

22f 1 exp d

Abramowitz: 2

0

2exp d erf

f 1 erf

Como: f 1 erf

como: ; A

A0

C xf

C 4az

A

A0

C xerfc

C 4az

y por definición: 1 erf erfc

Tablas 7.3 Abramowitz para la función error complementaria, erfc.

donde: AB

z

Da

v

A

A0

C xerfc

C 4az

La erfc is una función que decrece monotónicamente de 1 a 0 ; vale 0.01

cuando el argumento [x/(4az)1/2] es alrededor de 2.

con: AB

z

Da

v

A

A0

C x0.01 2

C 4az x 4 az

Esto se interpreta considerando que el espesor útil de líquido es hasta

donde CA= 0.01CA0; es la capa límite para la transferencia de A, y es una

distancia que es proporcional a la raíz cuadrada de az.

Esto se interpreta considerando que el espesor útil de líquido es hasta

donde CA= 0.01CA0; es la capa límite para la transferencia de A, y es una

distancia que es proporcional a la raíz cuadrada de az.

A

A0

C x0.01 2

C 4az x 4 az

CAo

x =0

CA1

x =δ

Transferencia de Masa

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