TRANSFERENCIA DE MASA EN UNA SOLA FASE Y ENTRE FASES SERGIO RAMOS HERRERA UJAT VILLAHERMOSA, TABASCO FEBRERO DE 2012

Ecuaciones para estimar el flux en estado estable Primera le de Fick de la difusión molecular La ecuación clásica del flux difusivo es,

Tiene aplicaciones para el transporte difusivo en películas o capas de fluido estancado o flujo laminar de fluidos, como agua, aire, libres o en medio poroso. Transporte advectivo La ecuación del flux es,

U es la velocidad promedio del fluido y C es la concentración del soluto que transporta. Esta ecuación es aplicable al transporte de solutos o sustancias disueltas en el viento o una corriente superficial. También se puede aplicar al transporte de soluto en agua subterránea, pero en este caso, U, debe sustituirse por la velocidad de Darcy.

Dónde k es la conductividad hidráulica del suelo saturado y h/X se conoce cómo gradiente hidráulico. Transporte advectivo de partículas dentro de un fluido La ecuación del flux es,

Aquí Up es la velocidad de las partículas dentro del medio fluido. Cp es la concentración en masa del contaminante de interés en o dentro de la partícula (masa

del contaminante/masa de la partícula) y p es la concentración de bulto de partículas en el medio fluido. Transferencia convectiva de masa

Este tipo de transferencia consiste en la transferencia de masa entre un fluido en que fluye paralelo a una superficie y la superficie, debido tanto a la difusión de masa como al movimiento de toda la masa de fluido (Welty et al. 1993; Cengel, 2007). Si la masa de fluido no está en movimiento, la convección se reduce a una difusión.

Este método de transferencia depende de, tanto en las propiedades de transferencia, como de las características dinámicas del fluido que esta fluyendo. Cuando una bomba u otro aparato semejante mueve el fluido, el proceso se llama, convección forzada.

Si el movimiento del fluido se debe a una diferencia de densidades, que puede haber surgido como resultado de una diferencia en la concentración o la temperatura, el proceso se llama convección libre o natural.

La ecuación del Flux es

Líquido A

Flujo de gas BNAz

C es la diferencia de concentración entre la superficie, a concentración Cs y la

corriente libre a concentración C. Aquí, kc se conoce cómo Coeficiente de Transferencia Convectiva de Masa (CTCM) y tienen dimensiones de L/T. Existen varias teorías que definen el coeficiente de transferencia de masa, el cual es cómo el parámetro clave para estimar el flux convectivo. Teorías para definir el CTMC. La teoría de la película. Desarrollada por Nernst en 1904. De acuerdo a esta teoría, ya que no existe flujo cerca de la interface sólido-fluido, se supone que se forma una capa de fluido estancada o en flujo laminar de espesor δc. Lejos de la superficie esta película se vuelve turbulenta. La ecuación para el modelo conceptual es,

La teoría de la penetración. Se atribuye a Higbie en 1935. Según esta teoría,

Dónde es el tiempo promedio de contacto de los eddies. La teoría de la renovación superficial. Originada por Dankwert en 1951. El supuso que el tiempo de contacto varía dentro de un rango y debe tomarse en cuenta en la teoría de la penetración. De acuerdo a esta teoría,

Teoría de la capa límite. En la convección de masa, se define la región del fluido en la cual existen gradientes de concentración como la capa límite de concentración. La transferencia de masa se analiza en términos de la capa delgada formada sobre la superficie llamada capa límite. El coeficiente kc se define dentro de esta capa límite de transferencia.

Existen varia representaciones globales de los CTCM que parametrizan los efectos de la convección-advección (Streeter et al., 2000). El CTCM aplicable a superficies planas de longitud L, en flujo laminar es,

CA, , u

Capa límite de

concentración

CAs

Perf il de concentración, CCapa límite de

velocidad

En este caso el flujo es paralelo a la superficie con velocidad U. Si el flujo es laminar, entonces,

Es común que kc, L y D se agrupen en un número adimensional de transferencia de masa conocido cómo número de Sherwood, Sh. Además, Re es el número de Reynolds y Sc es el número de Schmidt, todos ellos parámetros adimensionales significativos en la transferencia convectiva de masa. El número de Schmidt representa las magnitudes relativas de la cantidad de movimiento molecular y la difusión de masa en las capas límite de velocidad y de concentración. Rige el crecimiento relativo de estas capas (Cengel, 2007). Por otro

lado, un número de Schmidt cercano a la unidad (Sc 1) indica que la cantidad de movimiento y la transferencia de masa por difusión son comparables, y las capas límite de velocidad y concentración casi coinciden entre sí. El Número de Reynolds, es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Otros números adimensionales bastante comunes al estudiar problemas de transferencia de masa son el número de Lewis (Le) y el de Prandtl (Pr). El número de Lewis representa las magnitudes relativas de la difusión de calor y de la de masa en la capa límite térmica y de concentración. El número de Prandtl, se define como el cociente de la difusividad

de momento, , y la difusividad térmica, . Teoría de la analogía o de la similaridad. La propuesta de Chilton-Colburn (1933, 1934) establece que

Aquí, Cf, es el factor de fricción de Fanning. La analogía de Chilton-Colburn es válida para líquidos y gases dentro del rango

La siguiente relación puede usarse para obtener estimados numéricos del factor de fricción del lado del aire (interface agua –aire) en superficies planas terrestres o superficies de agua en condiciones atmosféricas neutrales o cerca de la neutralidad.

k es igual a 0.41 y se conoce cómo la constante de von Karman, y es una elevación por encima de la superficie plana (puede corresponder a 10 m, la altura de determinación de la velocidad del viento) y yo es un parámetro que representa la rugosidad de la superficie. Esta teoría es apropiada para superficies aerodinámicamente lisas (espesor de subcapa viscosa de cerca de 1 mm). Un estimado del CTMC del lado del agua (en la interface sedimento-agua), concretamente para flujos en canales abiertos,

Dónde n es el coeficiente de rugosidad de Manning (T/L1/3) y R es el radio hidráulico del canal. Para canales poco profundo y anchos, R se puede aproximar por la profundidad del canal. Convección - difusión en un gas estancado Ejemplo: evaporación desde una superficie de agua y difusión del vapor de agua a través de una columna de aire estancado y eventualmente removida por el flujo de aire alrededor de un tubo (Datta 2002).

A temperaturas muy bajas, la presión de vapor del agua es baja y también lo es la tasa de evaporación. Por lo tanto el vapor se mueve lentamente hacia la parte superior de la columna de aire debido a su energía térmica, esto es el proceso de difusión molecular. A una temperatura intermedia, la difusión y la convección son importantes. Supongamos difusión de estado estable de vapor de A a través de un gas B estancado. El gas B es pobremente soluble en A, por lo tanto NB=0. En la parte superior del tubo, el flujo de volumen alto de B, mantiene la concentración de a en cero. La ecuación que gobierna este proceso es la siguiente:

El origen de la velocidad u es debido a la generación continua de vapor de A, ya que el sistema está abierto en la parte superior dónde el vapor de A es continuamente removido.

C es la concentración total del sistema. Ejemplo 2.1. Agua se evapora desde un dique angosto donde la superficie del agua está a 0.3 m bajo el nivel del suelo. Sopla aire seco sobre la superficie del mismo. Calcula la tasa de la pérdida evaporativa de agua por metro cuadrado desde el dique en g/d. La temperatura del agua es de 27 ºC. La presión de vapor a esta temperatura es de 3600 Pa y la difusividad de vapor en aire 2.538x10-5 m2/s. Respuesta=193.0981 gr/m2-d

Ejemplo 2.2 (Datta 2002). Estime la pérdida de agua por evaporación desde un reservorio donde la temperatura superficial, al igual que la temperatura ambiente, es 40 ºC. El aire que sopla sobre el reservorio conduce a un coeficiente de transferencia de masa de 0.25 m/s. Suponga que la superficie del agua está saturada con vapor de agua (la presión parcial de vapor de agua saturado es 0.07318 x105 Pa), y que el aire está seco antes de ponerse en contacto con la superficie. Respuesta: tasa de evaporación = 1.0934x106 gr/m2-d.

Ejemplo 2.3 (Datta 2002). Considere un flujo de aire sobre un suelo húmedo plano y sin cobertura superficial, es decir, no tiene pasto o cualquier otra cubierta. Calcule la pérdida de humedad por unidad de área y unidad de tiempo (en g/m2-s) desde este suelo bajo las siguientes condiciones: la longitud del campo es 100m, la temperatura de la superficie del suelo y del aire es de 20 ºC, el contenido de humedad del aire saturado a 20 ºC es 0.0173 kg de agua/m3 de aire, la velocidad promedio del viento es 20 km/hr, la difusividad del vapor de agua en el aire es de 2.2 x10-5 m2/s, la viscosidad del aire es 2x10-5 Pa.s y su densidad es 1.14 kg/m3. Respuesta: ReL=3.1667x107, Sc=0.7974, Sh=33420.93 , hm=7.35x10-3 m/s, J=1.272x10-4 g/m2-s.

Volatilización Es el proceso por el cual los líquidos o sólidos se evaporan y escapan a la atmósfera. Al considerar la vaporización de un contaminante desde la superficie de un líquido o un sólido debe considerarse que la vaporización es un proceso que involucra tres pasos (Tchobanoglous y Schroeder 1987):

1. Escape desde la interface 2. Difusión a través de la capa límite superficial, y 3. Dispersión.

El escape desde la superficie depende principalmente de la presión de vapor del contaminante a la temperatura dada. Una vez que este ha escapado de la superficie, debe difundirse en la capa límite estancada que normalmente está presente.

Humedad

Flujo de aireNAz

Escape desde la superf icieSuperf icie líquida

Capa límite de aire

Difusión a través

de la capa límite

Transporte desde la superf icie por

adveción y dispersión hidrodinámica

Viento soplando a través

de la superf icie

Sobre la base de observaciones experimentales, se ha encontrado que la tasa de transferencia de masa de un contaminante es aproximadamente proporcional a la diferencia entre la saturación (equilibrio) y la concentración del contaminante en la solución existente.

Dónde: rc = Flux de transferencia de masa, g/m2-hr K = coeficiente de transferencia de masa C= concentración del contaminante, g/m3 Cs = Concentración de saturación del contaminante, g/m3 Cs es función de la presión parcial atmosférica. Si el compuesto de interés está ausente del aire, Cs = 0. Además ocurre volatilización solamente si C > Cs. Si C < Cs, ocurre absorción (Tchobanoglous y Schroeder 1987) Modelo simple que puede usarse para describir el escape debido a vaporización de un contaminante desde una superficie puede obtenerse a partir de un balance de masa considerando un volumen unitario de un cuerpo de agua de superficie,

Dónde: Co= concentración del contaminante al tiempo t=0 Ct=concentración del contaminante al tiempo t Parámetros de evaporación para diferentes compuestos a 25 °C (Tchobanoglous y Schroeder, 1989). Ejemplo 2.4 Determine el tiempo requerido para que la concentración de tolueno y dieldrin derramados en una laguna poco profunda se reduzca a la mitad de su valor inicial. Suponga que la temperatura del agua es de 25 °C, la profundidad del lago es 2.0 m, y no hay interacciones entre los compuestos. Respuesta: ttolueno = 10.4 hr, tdieldrin = 25.891 hr. Transferencia de masa en una interface

h

rc

As, área

superficial

La transferencia de masa entre dos fases también requiere de un alejamiento del equilibrio entre las dos concentraciones promedio o global, en cada una de las fases. Para la transferencia de un componente A de la fase gaseosa a la fase líquida se puede observar en la figura (Welty, 1993).

En estado estable

y

Dónde kg y kl son los coeficientes de transferencia convectiva de masa en la fase gaseosa y líquida respectivamente. Es muy difícil medir físicamente las concentraciones en la intercara. Se puede definir un coeficiente total o global de transferencia de masa en función de una fuerza impulsora de concentraciones gaseosas o en función de una fuerza impulsora de concentraciones líquidas

Dónde

m es la constante de equilibrio gas-líquido para la sustancia A. La razón de la resistencia que existe en una fase individual a la resistencia total, se puede determinar mediante las ecuaciones (Welty, 1993),

Ejercicios de transferencia convectiva de masa Ejercicio 1. Se evapora agua desde un dique angosto donde la superficie del agua está a 0.3 m bajo el nivel del suelo. Sopla aire seco sobre la superficie del mismo. Calcula la tasa de flujo de agua que se evapora por metro cuadrado desde el dique en g/d. La temperatura del agua es de 27 C. La presión de vapor a esta temperatura es de 3600 Pa y la difusividad de vapor en aire 2.538x10-5 m2/s. Ejercicio 2. Estime la tasa de evaporación del agua desde la presa peñitas donde la temperatura del aire es 22 °C. El viento en esa zona conduce a un coeficiente de transferencia de masa de 0.25 m/s. La humedad relativa del aire es cero. Ejercicio 3. Calcule la pérdida de humedad por unidad de área y unidad de tiempo (en g/m2-s) desde un suelo agrícola bajo las siguientes condiciones: la longitud del campo es 100m, la temperatura de la superficie del suelo y del aire es de 20 °C, el contenido de humedad del aire saturado a 20 °C es 0.0173 kg de agua/m3 de aire, la velocidad promedio del viento es 20 km/hr, la difusividad del vapor de agua en el aire es de 2.2 x10-5 m2/s, la viscosidad del aire es 2x10-5 Pa.s y su densidad es 1.14 kg/m3. Ejercicio 4. Determine el tiempo requerido para que la concentración de tolueno y dieldrin derramados en una laguna poco profunda se reduzca a la mitad de su valor inicial. Suponga que la temperatura del agua es de 25 °C, la profundidad del lago es 2.0 m, y no hay interacciones entre los compuestos. Respuesta: ttolueno = 10.4 hr, tdieldrin = 25.891 hr. Ejercicio 5. a) La temperatura media normal de Villahermosa en el mes de marzo es de 26.8 °C, en Tenosique es de 27.7 °C y en Paraíso es de 26.2 °C. Estime el número de Schmidt para la transferencia de vapor de agua en cada ciudad. Ejercicio 6. Sobre una pequeña laguna de 200m de longitud y 35 m de ancho fluye aire seco. Suponga que el aire se encuentra a presión atmosférica estándar 860 mm de Hg. Las temperaturas del aire y del agua se encuentran en equilibrio a 25 °C y la velocidad promedio del viento es 28.8 km/hr. Utilizando la teoría de la capa límite, estime la tasa de evaporación de agua desde la superficie. Ejercicio 7. Sobre una piscina fluye aire a 29 °C que contienen vapor de agua con una presión parcial de 0.3 atm. La piscina tiene una temperatura de 21 °C. Si la piscina tiene un área de 100 m2, encontrar la tasa a la cual se transfiere humedad desde la piscina. El coeficiente de transferencia de masa promedio puede tomarse como 0.0034 m/s. Ejercicio 8. Considere un patio de concreto mojado, de 5m x 5 m, con una película de agua de espesor promedio de 0.3 mm. Ahora está soplando viento sobre la superficie a 50 km/h. Si el aire está a 1 atm, 15 ºC y con humedad relativa de 35 %, determine cuanto tiempo tardará el patio en secarse por completo.

Ejercicio 9. Un cilindro largo circular de 20 mm de diámetro se fabrica de naftaleno sólido, un repelente común de la polilla, y se expone a una corriente de aire que se asocia a un coeficiente de transferencia convectiva de masa promedio de 0.05 m/s. La concentración molar de vapor de naftaleno en la superficie del cilindro es 5x10-6 kmol/m3, y su peso molecular es 128 kg/kmol. ¿Cuál es la tasa de sublimación de masa por unidad de longitud del cilindro? Ejercicio 10. En un día de verano la temperatura del aire es 27 °C y la humedad relativa es 30%. El agua se evapora desde la superficie de una laguna a una tasa de 0.10 kg/h por metro cuadrado de área superficial dela gua. La temperatura del agua es 27 C. Determine el valor del coeficiente de transferencia de masa convectiva. Ejercicio 11. Se observa que un recipiente de agua de 230 mm de diámetro a 23 C tiene una tasa de flux de 1.5x10-5 kg/s cuando el aire ambiente está seco a 23 C.

a) Determine el coeficiente de transferencia de masa convectiva. b) Estime la tasa de flux evaporativa cuando el aire ambiente tiene una humedad

relativa de 50%. c) Estime la tasa de flux evaporativa cuando la temperatura del agua y el aire

ambiente es de 47 C, suponiendo que el coeficiente de transferencia convectiva de masa no ha cambiado y el aire ambiente está seco.

Ejercicio 12. La fotosíntesis de las plantas involucra el transporte de CO2 desde la atmósfera hasta los cloroplastos de las hojas de la planta, y la tasa de fotosíntesis puede ser cuantificada en términos de la tasa de asimilación de CO2 por los cloroplastos. Esta asimilación está fuertemente influenciada por la transferencia de CO2 a través de la capa límite que se desarrolla sobre la superficie de la hoja. Si en ciertas condiciones la concentración en masa de CO2 en el aire es de 6x10-4 kg/m3, de 5x10-4 kg/m3 en la superficie de la hoja y el coeficiente de transferencia de masa es de 10-2 m/s, ¿Cuál es la tasa de fotosíntesis en términos de kilogramos de CO2 asimilados por unidad de tiempo y de área de superficie de la hoja?. Ejercicio 13. a) Calcule la concentración de vapor de agua en la superficie de una laguna, si la temperatura del agua es de 24 °C; y b) calcule la concentración de vapor de agua en el aire a una humedad relativa de 60% a 26 °C. Ejercicio 14. Con base en la ley de Henry, determine la fracción molar de O2 disuelto en agua a 27 °C. Ejercicio 15. Estime la tasa de evaporación de agua de agua desde un reservorio donde la temperatura superficial, al igual que la temperatura ambiente, es 40 C. El aire que sopla sobre el reservorio conduce a un coeficiente de transferencia de masa de 0.075 m/s. Suponga que la superficie del agua está saturada con vapor de agua (la presión parcial de vapor de agua saturado es 7318 Pa, y que el aire está seco antes de ponerse en contacto con la superficie. Ejercicio 16. Un derrame accidental cerca de una laguna provoca que a esta lleguen de súbito alrededor de 20 kg de clorobenceno. La alguna tiene un volumen de 200 m3 y su

superficie entra en contacto con 450 m3 de aire aproximadamente. Si la constante de la ley de Henry para el clorobenceno es de 0.165, calcule cómo se distribuirá el clorobenceno entre estas dos fases. Suponga que no hay reacciones que afecten su destino. Ejercicio 17. La concentración se sólidos totales en el agua del río Conchos, en Chihuahua en cierta época del año fue de 1835 mg/L. Si la velocidad del río se estima en 2m/s calcule el flux advectivo de ST. Ejercicio 18. Calcule la transferencia de masa de benceno disuelto en el agua de una laguna hacia el aire por volatilización. La concentración de benceno en agua es de 200 ppm, mientras que en aire es de cero. La velocidad del viento es de 2m/s y la temperatura del aire es 25 °C. Ejercicio 19. La concentración en el aire ambiente de partículas suspendidas totales

(PST) en la ciudad de Cunduacán, en mayo fue de 335 g/m3, mientras que en octubre

fue de 30 g/m3. Uno de los metales presentes en las PST fue el Pb con una

concentración de 0.0188 g/m3. Si la densidad de las partículas es en promedio 1.8 g/cm3, y su velocidad de sedimentación es de 0.8 m/año, estime el flux advectivo de Pb al suelo en ese municipio. Ejercicio 20. El suelo de cierta zona agrícola tiene una rugosidad de 0.006m y la velocidad del viento a 10 m de altura es de 2m/s. la temperatura ambiente promedio es de 25 °C. Estime el flux de transferencia de cierto pesticida si su difusivdad e aire es 5.4x10-6 cm2/s y su concentración en el aire cerca de la superficie del suelo es de 25

g/m3. Ejercicio 21. Estime el flux de sedimento que se deposita en el lecho de un canal rectangular poco profundo pero muy ancho (B=20m). El coeficiente de rugosidad de Manning para el fondo del canal es n=0.030 s/m1/3. La concentración de sedimentos en la corriente es de 20 mg/L y cerca de la superficie del lecho es de 2 mg/L. Ejercicio 22. Repasar conceptos: Tipos de transporte, teorías de difusión, leyes de equilibrio. BIBLIOGRAFÍA Cengel Y. (2007). Transferencia de calor y masa. McGrawHill. 901 pp. Datta A.K. (2002). Biological bioenvironmental heat and masss transfer. Marcel Dekker, Inc. 383 pp. Welty J.R., Wicks C.E. y Wilson R.E. (1993). Fundamentos de transferencia de momento calor y masa. Limusa Noriega Editores. 887 pp. Tchobanoglous G. & Schroeder E.D. (1987). Water quality characteristics, modeling modification. Adisson Wesley Longman. U.S. 768 pp. Gulliver, S.J. (2007) Introduction to chemicals transport in the environment. Cambridge.