Transformaciones de funciones

Obteniendo funciones nuevas a partir de funciones conocidas

Analicemos la función f(x) = x3 - x Intentaremos introducir cambios en esta función para obtener otras nuevas.

Podemos distinguir:

a) Cambios que afectan a la variable

Ejemplos:

b) Cambios que afectan a la función

Ejemplos:

)1()1()1(

)2()2()2(3

3

xxxf

xxxf

11)(

2)(23

3

xxxf

xxxf

Los valores de la variable se representan en el eje horizontal. Por lo tanto , los cambios que afecten a la variable modificarán el aspecto horizontal de la gráfica de la función.

Similarmente, los valores de la función se representan en el eje vertical. Por ende, los cambios que afecten a la función modificarán el aspecto vertical de la gráfica.

Existen básicamente tres tipos de transformación que analizaremos:

a) Desplazamientos en dirección horizontal y vertical.b) Dilataciones y compresiones en dirección horizontal y vertical.c) Reflexiones alrededor del eje x y del eje y.

Desplazamientos (1)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que agregar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia arriba.

xxxf 3)(

11)( 3 xxxf

Desplazamientos (1)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que agregar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia arriba.

xxxf 3)(

11)( 3 xxxf

Si c > 0, f(x) + c desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia arriba

Desplazamientos (2)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que restar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia abajo.

xxxf 3)(

11)( 3 xxxf

Desplazamientos (2)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que restar una unidad, por lo que la gráfica quedará desplazada en una unidad hacia abajo.

xxxf 3)(

11)( 3 xxxf

Si c > 0, f(x) - c desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia abajo

Desplazamientos (3)

5,1 ó 5,0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o

15,0 ó 05,0 ó 15,0 si

0)5,0()5,0()5,0( 3

xxx

xxx

xxxf

Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Para ello observamos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(x – 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la derecha con respecto a los de f(x).

xxxf 3)(

)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf

1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf

Desplazamientos (3)

5,1 ó 5,0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o

15,0 ó 05,0 ó 15,0 si

0)5,0()5,0()5,0( 3

xxx

xxx

xxxf

Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Para ello observamos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(x – 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la derecha con respecto a los de f(x).

xxxf 3)(

)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf

Si c > 0, f(x – c) desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia la derecha

1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf

Desplazamientos (4)

5,0 ó 5,0 ó 5,1 si mismo lo es que lo o

15,0 ó 05,0 ó 15,0 si

0)5,0()5,0()5,0( 3

xxx

xxx

xxxf

1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf

Similarmente, dada nuestra función

Tratamos de obtener la gráfica de

Recordemos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(x + 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la izquierda con respecto a los de f(x).

xxxf 3)(

)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf

Desplazamientos (4)

5,0 ó 5,0 ó 5,1 si mismo lo es que lo o

15,0 ó 05,0 ó 15,0 si

0)5,0()5,0()5,0( 3

xxx

xxx

xxxf

1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf

Similarmente, dada nuestra función

Tratamos de obtener la gráfica de

Recordemos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(x + 0,5) aparecen desplazados en 0,5 unidades hacia la izquierda con respecto a los de f(x).

xxxf 3)(

)5,0()5,0()5,0( 3 xxxf

Si c > 0, f(x + c) desplaza la gráfica de f(x) en c unidades hacia la izquierda

Dilataciones y compresiones (1)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que multiplicar por dos, por lo que la gráfica se estirará en un factor de 2 en la dirección vertical.

xxxf 3)(

xxxf 32)(2

Dilataciones y compresiones (1)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que multiplicar por dos, por lo que la gráfica se estirará en un factor de 2 en la dirección vertical.

xxxf 3)(

xxxf 32)(2

Si c > 1, cf(x ) estira la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección vertical.

Dilataciones y compresiones (2)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que dividir por dos, por lo que la gráfica se comprimirá en un factor de 2 en la dirección vertical.

xxxf 3)(

2/2/)( 3 xxxf

Dilataciones y compresiones (2)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen lo tenemos que dividir por dos, por lo que la gráfica se comprimirá en un factor de 2 en la dirección vertical.

xxxf 3)(

2/2/)( 3 xxxf

Si c > 1, f(x)/c comprime la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección vertical.

Dilataciones y compresiones (3)

5,0 ó 0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o

12 ó 02 ó 12 si

0)2()2()2( 3

xxx

xxx

xxxf

Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Para ello observamos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(2x) aparecen a la mitad de la distancia al origen con respecto a los de f(x).

xxxf 3)(

)2()2()2( 3 xxxf

1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf

Dilataciones y compresiones (4)

5,0 ó 0 ó 5,0 si mismo lo es que lo o

12 ó 02 ó 12 si

0)2()2()2( 3

xxx

xxx

xxxf

Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Para ello observamos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(2x ) aparecen a la mitad de la distancia al origen con respecto a los de f(x).

xxxf 3)(

)2()2()2( 3 xxxf

1 ó 0 ó 1 si 0)( 3 xxxxxxf

Si c > 1, f(cx) comprime la gráfica de f(x) según un factor de c en la dirección horizontal.

Dilataciones y compresiones (4)

Si c > 1, f(x/c) dilata la gráfica de f(x) en un factor de c unidades en la dirección horizontal.

Si similarmente analizáramos la función f(x/2) = (x/2)3 – (x/2), llegaríamos a que:

ReflexionesPara analizar las reflexiones usaremos otra función, f(x) = 2x - x2

Reflexiones (1)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que cambiar el signo: lo que era negativo se volverá positivo, y viceversa.

Ello indica que la gráfica de –f(x) será la misma de f(x) pero reflejada alrededor del eje x.

22)( xxxf

22)( xxxf

Reflexiones (1)Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Observamos que a cada valor de la imagen le tenemos que cambiar el signo: lo que era negativo se volverá positivo, y viceversa.

Ello indica que la gráfica de –f(x) será la misma de f(x) pero reflejada alrededor del eje x.

22)( xxxf

22)( xxxf

La expresión –f(x) refleja la gráfica de f(x) alrededor del eje x.

Reflexiones (2)

2 ó 0 si mismo lo es que lo o

2 ó 0 si

0)()(2)( 2

xx

xx

xxxf

Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Para ello observamos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(-x ) aparecen a la misma distancia al origen con respecto a los de f(x), pero en el semieje opuesto; esto es, reflejados respecto al eje y.

22)( xxxf

2)()(2)( xxxf

2 ó 0 si 02)( 2 xxxxxf

Reflexiones (2)

2 ó 0 si mismo lo es que lo o

2 ó 0 si

0)()(2)( 2

xx

xx

xxxf

Dada nuestra función original

Tratamos de obtener la gráfica de

Para ello observamos que

Y por lo tanto

Observamos que los ceros de la función f(-x ) aparecen a la misma distancia al origen con respecto a los de f(x), pero en el semieje opuesto; esto es, reflejados respecto al eje y.

22)( xxxf

2)()(2)( xxxf

2 ó 0 si 02)( 2 xxxxxf

La expresión f(– x) refleja la gráfica de f(x) sobre el eje y.