TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS ANA BALLESTER...

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS ANA BALLESTER JIMÉNEZ

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DIBUJO TÉNCICO 2º BACH

TRANSF0RMACIONES GEOMÉTRICAS Nos referimos a Transformaciones Geométricas cuando hablamos de la operación u operaciones necesarias para convertir una figura F en otra figura F’ portadora de unas características solicitadas. Podemos clasificarlas en:

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS: mantienen sus lados y ángulos iguales. No cambia su forma ni su tamaño. Estas son:

GIROS TRASLACIONES SIMETRÍA

TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS: mantienen sus ángulos iguales y su forma, pero

cambian su tamaño.

HOMOTECIA

TRANSFORMACIONES ANAMÓRFICAS: varía lados y ángulos, es decir, cambian de forma. Estas son:

HOMOLOGÍA AFINIDAD INVERSIÓN


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1. TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS: Se mantiene la forma y el tamaño.

GIROS: Cambian la orientación de la figura. Para efectuar un transformación de giro se nos

darán los siguientes datos: Centro de giro (punto O) Ángulo de Giro (α ) Sentido de Giro (horario / antihorario)

Ejercicio: α = 60º, horario.

β = 45º, antihorario


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TRASLACIÓN: Cambia la posición de la figura. Para efectuar una traslación se nos darán

los siguientes datos: Magnitud de traslación (M) Dirección de traslación (D) Sentido de la traslación (señalado por una punta de flecha sobre la dirección.

Ejercicio:


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SIMETRÍA

SIMETRÍA AXIAL: La recta que une dos puntos simétricos es perpendicular a un eje, llamado

eje de simetría, estando ambos puntos a distinto lado e igual distancia del mismo.

Ejercicio: Dibujar la simetría axial de la siguiente figura:

SIMETRÍA CENTRAL: Dos puntos simétricos están alineados con un punto fijo llamado centro de simetría y están a distinto lado e igual distancia de él.

Ejercicio: Dibujar la simetría central de centro O.


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2. TRANSFORMACIONES ISOMÓRFICAS. Misma forma pero distinto tamaño.

HOMOTECIA: Sólo cambia el tamaño. Para efectuar una homotecia se nos darán los

siguientes datos: Centro de Homotecia (CH) Valor de la razón de Homotecia (K)

CASO 1: Cuando K es positiva (K > 0), la figura resultante es mayor. Ejem: K = 3

CASO 2: Cuando K es menor que 1 (K < 1), la figura resultante es menor. Ejem: K = 1/3

CASO 3: Cuando K = -1, se genera una simetría central. CASO 4: Cuando K es negativa la figura resultante se encuentra al otro lado del CH. Ejem: K = -2


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3. TRANSFORMACIONES ANAMÓRFICAS. Distinta forma.

HOMOLOGÍA: La homología es la transformación geométrica de una figura en otra de

modo que se cumplen entre ambas estas dos relaciones:

Ejercicio: Realizar la homología de la siguiente figura conociendo: Centro Homológico (CH) Eje de Homología (e) Dos puntos Homólogos A y A’.

A- Los puntos homólogos están en línea recta con un punto fijo denominado Centro

de Homología. (CH) B- Las rectas homólogas se cortan en un mismo punto de una recta fija denominada

Eje de Homología (e). El eje de homología es el lugar geométrico de los puntos dobles, es decir, homológicos de si mismos.


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RECTAS LÍMITE DE UNA HOMOLOGÍA, RL Y RL’. La recta límite RL de una figura es el lugar geométrico de los puntos homólogos a los del infinito de la otra figura. Siempre se cumple:

Que las dos rectas límite RL y RL’ son paralelas al eje.

Que la distancia del centro de homología CH a RL’ es igual que la del eje a RL. Conociendo las dos rectas límite, no es necesario que nos den un punto homólogo para resolver el ejercicio.


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FORMAS DE DIFINIR UNA HOMOLOGÍA:

A- Conociendo el centro CH, el eje e y dos puntos homólogos A y A’

B- Conociendo el centro CH, el eje e y la recta límite RL de la figura.


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C- Conociendo el centro CH y las dos rectas límite RL y RL’.

D- Conociendo dos pares de puntos homólogos y la dirección del eje.


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AFINIDAD: La afinidad es una homología de centro impropio. En este caso las rectas que

unen puntos homólogos son paralelas, es decir, convergen en el centro impropio. La dirección de estas rectas se llama dirección de afinidad (D).

En la afinidad siempre se cumple:

Una afinidad queda definida conociendo: el eje y una pareja de puntos afines (que nos indican la dirección de afinidad). Podemos distinguir los siguientes tipos de afinidad:

AFINIDAD OBLICUA: Se produce cuando la dirección de afinidad es oblicua respecto al eje. - Si la razón de afinidad NA/NA’ = LB/LB’ = MC/MC’, es negativa, las figuras afines

estarán a distinto lado del eje.

- Si la razón de afinidad NA/NA’ = LB/LB’ = MC/MC’, es positiva las figuras afines estarán en el mismo lado del eje.

A- Las rectas AA’, BB’, CC’… son paralelas a la dirección de afinidad. B- Las parejas de rectas afines AB y A’B’, BC y B’C’… se cortan en puntos comunes del

eje de afinidad, lugar geométrico de los puntos dobles o afines de sí mismos.


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AFINIDAD ORTOGONAL: Se produce cuando la dirección de afinidad es perpendicular al eje.

Cuando en una afinidad ortogonal se produce NA = NA’, entonces obtenemos una simetría axial.

FORMAS DE DIFINIR UNA AFINIDAD:

A- Conociendo ell eje y una pareja de puntos afines A y A’.


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B- Conociendo tres parejas de puntos afines.

C- El eje, la razón de afinidad K = 5/2 y la dirección d.


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INVERSIÓN

Dos puntos son inversos cuando:

Están en línea recta con el centro de inversión (Ci). El producto de las distancias, potencia de inversión (K), de los puntos, al centro de

inversión es constante. CiA x CiA’ = CiB x CiB’ = = K Los únicos puntos dobles, es decir inversos de sí mismos, son aquellos que distan √K

del centro de inversión. Estos puntos determinan una circunferencia cuyo centro es el de inversión y su radio la raíz cuadrada de su potencia. Dicha circunferencia recibe el nombre de c.p.d, circunferencia de puntos dobles.

Teorema 1: “La figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión, es una recta que no pasa por el centro de inversión. Esta recta siempre es perpendicular a CiO”

Teorema 2: “La figura inversa de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia. Esta circunferencia tampoco pasa por el centro y es homotética a la otra”


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DETERMINANCIÓN DEL INVERSO DE UN PUNTO DADO.

A- Conociendo la circunferencia de puntos dobles. Circunferencia cuyo centro coincide con el centro de

inversión. (A exterior y B interior).

B- Conociendo el centro de inversión y una pareja de puntos inversos AA’.


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EJERCICIOS TIPO SOBRE INVERSIÓN.

1. Hallar el inverso B’ de un punto B, conociendo el centro de inversión y un par de puntos inversos A y A’ no alineados con B’.

2. Hallar el inverso B’ de un punto B , conociendo el centro de inversión y un par de puntos inversos A y A’ alineados con B.

3. Dado el centro de inversión y un par de puntos inversos A y A’, hallar la figura inversa de una recta r que no pasa por el centro de inversión.


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4. Dado el centro de inversión y un par de puntos inversos A y A’, hallar la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión.

5. Dado el centro de inversión y un par de puntos inversos A y A’, hallar la inversa de la circunferencia dada, que no pasa por el centro de inversión


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TRANSF0RMACIONES GEOMÉTRICAS EJERCICIOS

1. Hallar el punto homólogo P’, conociendo un par de segmentos homólogos AB y A’B’, y un punto doble M.

2. En la homología dada, hallar la figura homóloga del rectángulo ABCD.


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3. En una homología de centro CH, eje e y recta límite RL’, determinar la figura homóloga de cuadrilátero ABCD.

4. Hallar el punto afín del B, conociendo el eje y un par de puntos afines A y A’.


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5. Hallar la figura afín del triángulo ABC, conociendo el eje y un punto A’ afín del A.

6. Construir con el segmento AB dado, un pentágono regular, así como su homotético, cuya razón de semejanza es 2/3. El punto CH dado, es el centro de homotecia.

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