Transformaciones isométricas. Resumen de la clase anterior Circunferencia Teoremas de...

Transformaciones isométricas

Resumen de la clase anterior

Circunferencia

Teoremas de proporcionalidad

cuerdas secantes tangentesecante ytangente

cuadrilátero circunscritoigualdad

Aprendizajes esperados

• Aplicar traslación de puntos y figuras planas.

• Aplicar rotación de puntos y figuras planas, con respecto al origen.

• Aplicar simetría de puntos y figuras planas, con respecto a un eje y a un punto.

• Analizar la posibilidad de embaldosar con polígonos.

• Reconocer ejes de simetría en figuras geométricas.

Pregunta oficial PSU

43. En el sistema de ejes coordenados de la figura 11 se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) El simétrico de P con respecto al eje x es P'(a, – b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P"(– a, – b). III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto

que está en el primer cuadrante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

1. Transformaciones isométricas

2. Tipos de transformaciones isométricas

3. Teselación

1. Transformaciones Isométricas

1.1 Definición

La palabra isometría, significa igual medida, por lo tanto, en una transformación isométrica:

1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura (figuras congruentes).

2) Solo cambia la posición (orientación o sentido de esta).

2. Tipos de Transformaciones Isométricas

2.1 Traslación

Es el movimiento que se realiza al deslizar una figura en línea recta, manteniendo su forma y tamaño.

Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b).

P(x, y)T(a, b)

P´( x + a, y + b )

Ejemplo 1:

P(2, 1)T(3, – 5)

P´(2 + 3, 1 + –5)

P´(5, – 4)


2.1 Traslación

P(2, 1)T(3, – 5)

P´(5, – 4)

– 1 1 2 3

3

1 2

4

y

x 4 5

– 3 – 2

– 4 – 5

P

P´

La aplicación T(a, b) se denomina VECTOR DE TRASLACIÓN


2.1 Traslación

Ejemplo 2:

El triángulo PQR, de vértices P(1, 2), Q(3, 1) y R(4, 3) se traslada al

aplicar el vector traslación T(– 4, 2),

Luego, las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´.

P(1, 2)

T(– 4,2)

P´(– 3, 4)

Q(3, 1) Q´(– 1, 3)

R(4, 3) R´(0, 5)


2.1 Traslación

Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

1

2

3

4

2 3 4–1–2–3

1

5

P(1, 2) P´(–3, 4)

Q(3, 1) Q´(–1, 3)

R(4, 3) R´(0, 5)


2.2 Rotación

<

Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado.

La rotación es positiva si es en sentido antihorario (contrario a los punteros del reloj).

O

O: centro de rotación


2.2 Rotación

90° 180° 270° 360°

A(x, y)

Punto

Ángulo

Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:

(–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y)

Ejemplo 1:

90° 180° 270° 360°

A(5, –8)

Punto

Ángulo

(8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8)

Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.


2.2 Rotación

A

1

2

3

4

2 3 4–1–2–3

1

5

Ejemplo 2:

Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(– 3, 2).

A´


2.3 Simetría o Reflexión

Tipos de simetrías:

Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).

Simetría axial: reflexión respecto de un eje.

Eje de Simetría



1

2

3

4

2 3 4-1-2-3

1

5

A A’

eje de simetría: x = 1

M

AM = MA’

La simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría.

AA’ es perpendicular al eje de simetría



Simetría central:

O : centro de simetría

OA A´

AO = OA’

reflexión respecto de un punto.



La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A` pertenece a la recta AO.

Ejemplo:

O

1

2

3

4

2 3 4-1-2-3

1

5

A A´

B

B´

C

C´

OA = OA´

OC = OC´

OB = OB´

La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.

3. Teselaciones

Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras.

Ejemplos:

3. Teselaciones

Teselación del plano por polígonos regulares

Los tres polígonos regulares que cubren el plano son:

Triángulo equilátero

Cuadrado

Hexágono regular

Solo estas tres figuras teselan, en forma regular, el plano.

3. Teselaciones

Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.

Simetría

+ Traslación

43. En el sistema de ejes coordenados de la figura 11 se ha ubicado el punto P(a, b), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) El simétrico de P con respecto al eje x es P'(a, – b). II) El simétrico de P con respecto al origen es P"(– a, – b). III) El simétrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro puntoque está en el primer cuadrante. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2011.

Pregunta oficial PSU

ALTERNATIVA CORRECTA

C

Síntesis de la clase

Transformaciones isométricas

Teselación

Simetría

Traslación

Central

OA A´

Axial

Rotación

Composición

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