INTRODUCCIoN A LAS

TRANSFORMACIONES LINEALES

Estánpresentesen la vidadiaria

Conservanla forma y lasmedidasde lasfiguras

U objetoscomo porejemplolassimetrías

Modificansusdimensio-nes comoescalami-ento

O susformascomoproyecci-ones.

Ejemplos en Software de Matematicas

% PROYECCION DE UN TRIANGULO SOBRE EL PLANO XY% Se ingresa en una matriz las componentes de los vertices de un triangulo en cada% columna,repitiendo al final el primer vertice de manera que se cierre el triangulop=[3 0 2 3;1 -2 1 1;0 1 3 0];% La primera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje X% La segunda fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Y% La tercera fila de p corresponde a las componentes de los vertices en el eje Z

% Se guardan estas filas en las variables x, y, z para poder realizar la grafica del triangulox=p(1,:);y=p(2,:);z=p(3,:);plot3(x,y,z,'b') % realiza la grafica del triangulo originaltitle('PROYECCION DE UN TRIANGULO SOBRE EL PLANO XY')a=[1 0 0;0 1 0;0 0 0]; % introduce la matriz asociada a la transformacion linealpt=a*p; % Calcula la matriz pt cuyas columnas son las imagenes de los vertices del triangulo originalhold on % congela la ventana graficaxt=pt(1,:);yt=pt(2,:);zt=pt(3,:); % xt,yt y zt son vectores fila que contienen las primeras,segundas y terceras componentes respectivamente de los vertices transformadosfill3(xt,yt,zt,'r') % dibuja el triangulo transformado y lo pinta de rojogrid % añade cuadricula a la graficahold off % desactiva el hold

Ejemplos en Software de Matematicas

% dibujo una carita% la carat=-3:.01:3;x=2*cos(t)+2;y=2*sin(t)+2;fill(x,y,'y')axis([-8 8 0 8])axis equalhold on% los ojosplot(1,2.5,'ko');plot(3,2.5,'kh')% la bocax1=1:.1:3;y1=-cos(x1-2)+2;fill(x1,y1,'r')title('le aplico una simetria respecto del eje Y')pausea=[-1 0;0 1];IC=a*[x;y]; % obtengo la imagen de la caraIB=a*[x1;y1]; % obtengo la imagen de la bocaIojos=a*[1 3;2.5 2.5]; % obtengo la imagen de los ojosxim=IC(1,:);yim=IC(2,:);x1im=IB(1,:);y1im=IB(2,:);x1ojos=Iojos(1,1);y1ojos=Iojos(2,1);x2ojos=Iojos(1,2);y2ojos=Iojos(2:2);fill(xim,yim,'y')fill(x1im,y1im,'r')plot(x1ojos,y1ojos,'ko');plot(x2ojos,y2ojos,'kh')title('SIMETRIA RESPECTO DEL EJE Y')hold off

DEFINICION DE TRANSFORMACION

DEFINICION DE TRANSFORMACION

ejemplo : determinar si la

transformación t: r2 r2 es lineal

x 2x

T y = x+y

• f(x) = 0

• podria entenderse como los puntos donde la grafica de la funcion f(x) corta el eje de las x’s:

• 1

• −1

• −2

• −1 1 2

• esta forma de ver a una ecuacion permite entonces resolver ecuaciones de la forma:

• f(x) = a

• en este caso lo que se busca son los valores de x de aquellos puntos donde la gr´afica de la funcion f(x) corta

• la lınea horizontal y = a

• Esta idea de corte de la gr´afica de f(x) con la recta y = a da pie a métodos graficos de solución de ecuaciones

• y también permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce fácilmente

• que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene solución:

• Nosotros usaremos el concepto de la funcion para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La

• restriccion que haremos sera sobre el tipo de funciones: solo estaremos interesados en funciones que preserven

• las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones serán llamadas funciones lineales. Primeramente

• las definiremos, veremos algunas propiedades generales y después veremos como se aplican estos resultados a

• sistemas de ecuaciones