Transformaciones lineales en un ambiente de ... - · PDF fileTransformaciones lineales en un...

Transformaciones lineales en un ambiente de

geometría dinámica 1

Rocío Uicab 2

Asuman Oktaç 3

RESUMEN

Este artículo reporta la presencia o ausencia de un pensamiento sistémico en losestudiantes, al resolver el problema de extensión lineal, el cual consiste en determinaruna transformación lineal por medio de las imágenes de los vectores de una base. Esteproblema se plantea geométricamente, haciendo uso de las herramientas del softwareCabri-géomètre II. Las dificultades que presentan los estudiantes cuando hacen frentea este problema pueden deberse a que ellos no realizan las conexiones adecuadasentre los conceptos involucrados. Este fenómeno puede estudiarse desde el punto devista de la aproximación teórica el pensamiento teórico versus el pensamiento práctico(Sierpinska, 2000). Uno de los rasgos del pensamiento teórico es que intenta enfocarseen el establecimiento y estudio de las relaciones entre los conceptos y sucaracterización dentro de un sistema que también contiene otros conceptos(Sierpinska, et al. 2002).

PALABRAS CLAVE: Transformaciones lineales, conexiones, pensamientoteórico, álgebra lineal, geometría dinámica.

ABSTRACT

This paper reports the presence or absence of a systemic thinking in students, whenthey solve the linear extension problem, which consists of determining a lineartransformation through the images of the vectors of a basis. The problem is formulatedgeometrically, making use of the tools of the Cabri-géomètre II software. The difficultiesthat students present when face this problem, probably are due to that they do not carryout the adequate connections among the concepts involved. This phenomenon can bestudied from the point of view of the theoretical approximation the theoretical thinkingversus the practical thinking (Sierpinska, 2000). One of the characteristics of the theoreticalthinking is that tries to be focused in the establishment and study of the relations betweenthe concepts and its characterization inside a system that also contains other concepts(Sierpinska, et al. 2002).

Fecha de recepción: Marzo de 2006/ Fecha de aceptación: Septiembre de 2006

Este trabajo forma parte del proyecto CONACYT 2002-C01-41726S

Facultad de Matemáticas. Universidad Autónoma de Yucatán, México.

Cinvestav-IPN. México.

459Relime Vol. 9, Núm. 3, noviembre, 2006, pp. 459-490.

1

2

3

Relime

KEY WORDS: Linear transformations, connections, theoretical thinking, linearalgebra, dynamic geometry.

RESUMO

Este artigo reporta a presença ou a ausência de um pensamento sistêmico nosestudantes, ao resolver o problema de extensão linear, no qual consiste em determinaruma transformação linear por meio das imagens dos vetores de uma base. Este problemase coloca geometricamente, fazendo uso das ferramentas do software Cabri-géomètreII. As dificuldades que apresentam os estudantes quando fazem frente a este problemapode ser devido a que eles não realizam as conexões adequadas entre os conceitosenvolvidos. Este fenômeno pode-se estudar desde o ponto de vista da aproximaçãoteórica e pensamento teórico versus o pensamento prático (Sierpinska, 2000). Uma dascaracterísticas do pensamento teórico é que tenta enfocar o estabelecimento e estudodas relações entre os conceitos e sua caracterização dentro em um sistema que tambémcontém outros conceitos (Sierpinska, et al. 2002).

PALAVRAS CHAVE: Transformações lineares, conexões, pensamento teórico,álgebra linear, geometria dinâmica.

RÉSUMÉ

Cet article reporte la présence ou l’absence d’une pensée systémique chez les étudiants,au moment de résoudre le problème d’extension linéale, qui consiste à déterminer unetransformation linéale à travers les images des vecteurs d’une base. Ce problème sepose géométriquement, en faisant usage des outils du software Cabri-géomètre II. Lesdifficultés que présentent les étudiants quand ils font face à ce problème peuvent trouverleur origine au fait que les étudiants ne font pas les connections adéquates entre lesconcepts impliqués. Ce phénomène peut s’étudier depuis le point de vue del’approximation théorique la pensée théorique versus la pensée pratique (Sierpinska,2000). Une des caractéristiques de la pensée théorique est qu’elle essaye de seconcentrer dans l’établissement et dans l’étude des relations entre les concepts et leurscaractérisation a l’intérieur d’’un système qui contient aussi d’autres concepts (Sierpinska,et al. 2002).

MOTS CLÉS: Transformations linéales, connections, pensée théorique,algèbre linéale, géométrie dynamique.

460

1. Introducción

Durante el aprendizaje escolar suele ocurrirque los estudiantes se apropian de losconceptos de manera aislada y no demanera estructurada. Esto hace que tengan

dificultades cuando abordan situacionescompletamente nuevas cuya resolución nose puede realizar sólo recordando algúnprocedimiento enseñado por el profesor.

Transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica

Poseer una estructura conceptual da lugara que el estudiante no sólo trabaje con losconceptos como objetos aislados y apliqueprocedimientos, sino también a quereflexione de manera general sobre ellos,que los vea como elementos de un todocoherente y establezca conexiones. Eneste trabajo, nuestro enfoque se centraráen esta forma integradora de pensar, lacual está relacionada con el pensamientoteórico (Sierpinska, 2000) y en particularcon el pensamiento sistémico.

Un pensamiento sistémico implica pensarsobre sistemas de conceptos, donde elsignificado de un concepto está basado ensus relaciones con otros, no con cosas oeventos (Sierpinska et al., 2002); de acuerdocon los investigadores, se divide endefinicional, demostrativo e hipotético.Consideramos que la presencia de unpensamiento sistémico en la adquisición deconceptos desempeña un papel importanteen la didáctica de las matemáticas.

Algunos errores de los alumnos cuandoresuelven un problema podrían explicarsemediante la falta de conexiones quedeberían hacer entre los conceptos queforman un sistema. La detección de talfenómeno por profesores e investigadorespodría llevarlos a enfocarse en lasconexiones que deberían desarrollarse enlos estudiantes para una comprensiónadecuada de los conceptos de matemáticas.

Para este trabajo elegimos el tema detransformación lineal, que concierne alálgebra lineal, por ser un tópico centralrelacionado con conceptos como espaciovectorial, combinación lineal, base, valoresy vectores propios, entre otros. Además, lastransformaciones lineales juegan un papelimportante en muchas áreas de lasmatemáticas, así como en numerososproblemas aplicados en las cienciasfísicas, económicas y sociales.

El problema central que seleccionamospara llevar a cabo nuestra experimentaciónfue tomado de los trabajos de Sierpinskay sus colaboradores (Sierpinska et al.,1999; Sierpinska, 2000; Trgalová & Hillel,1998). Se le denomina como problema deextensión lineal, y consiste en determinaruna transformación lineal por medio de lasimágenes de los vectores de una base;para resolverlo, se hace uso deherramientas del software Cabri-GéomètreII. El problema de extensión lineal nospermite explorar los vínculos que hacenlos estudiantes entre diferentes conceptosde álgebra lineal, así como observar lasestrategias que usan cuando estántrabajando ante una situación no familiar.

2. Antecedentes

2.1. La investigación en la enseñanza yaprendizaje del álgebra lineal llevada a cabo por Sierpinska y colaboradores.

Un grupo de investigadores, bajo ladirección de Sierpinska, en su afán porexplicar ciertos aspectos que afectan elrazonamiento de los estudiantes en elálgebra lineal, inició una investigación cuyoobjetivo era detectar las dificultades de losestudiantes sobre las nociones de estarama de las matemáticas.

De 1993 a 1996, la investigación se enfocóen los modelos de estructura general delcomportamiento matemático de losestudiantes, al interactuar individualmentecon tutores y textos de álgebra lineal. En elperíodo 1996-1999, se centró en el diseñode una introducción al álgebra lineal, queestuvo basado en un modelo geométrico deespacio vectorial bidimensional. El principalproblema que se intentó resolver con taldiseño fue disminuir en los estudiantes eldesarrollo del obstáculo de formalismo(cuando el estudiante manipula las

461

Relime

representaciones formales simbólicas, perono tiene las suficientes aptitudes paracomprenderlas).

Como parte de su justificación por suinclinación a la geometría, algunos aspectosque los investigadores señalan es quehabitualmente los vectores en R2 o R3 sonpresentados a los estudiantes comocoordenadas y las transformaciones comomatrices; posteriormente, se hace el vínculocon la geometría analítica. Estaaproximación tiene varias deficiencias y enmuchas ocasiones crea confusión en losestudiantes. Por su parte, una aproximacióngeométrica permite fácilmente considerar lastransformaciones no lineales, donde elconcepto de las imágenes es formado sobrela base de ejemplos y no ejemplos (Dreyfus,et al., 1998).

En nuestra opinión, aunque unaaproximación analítica también permite laconsideración de transformaciones nolineales, implica la definición analítica de latransformación lineal, mientras que en laaproximación geométrica resulta más fácilbrindar, de manera intuitiva, dos grupos detransformaciones al mismo tiempo: unas quesean lineales y otras que no lo sean, usandosus propiedades geométricas.

Dicho grupo de trabajo se dio entonces a latarea de investigar la opción de usar unaintroducción geométrica al álgebra lineal;más específicamente a las nociones devector, transformación, transformación linealy vector propio en dos dimensiones. Parafacilitar esta aproximación y ofrecer a losestudiantes un ambiente exploratorio,seleccionaron para su diseño el softwareCabri-Géomètre II, que fue usado comoayuda pedagógica, no como herramientapara resolver problemas de álgebra lineal.Su función consistió en proporcionar una

base conceptual sobre la que pudiera serconstruida la representación de vectores ytransformaciones lineales como objetosgeométricos.

La experimentación de tal diseño se llevó acabo tres veces. Los investigadores llegarona la conclusión de que, sin importar cuántointenten aproximarse al contenido delálgebra lineal, las dificultades de losestudiantes parecen persistir. Sierpinska(2000) argumenta que los estudiantespodrían no entender la teoría porque quierencomprenderla con una mente más prácticaque teórica4. Señala también que los modosde pensamiento teórico y práctico difierenfuertemente en la manera en queconstituyen el significado de las palabras:

Para la mente práctica, los objetosmatemáticos son “objetos naturales”,no “objetos discursivos” (a estosúltimos sólo las definiciones y teoríaspueden describirlos, no crearlos oconstruirlos). Consecuentemente, untérmino matemático es interpretado,primariamente, a través de sudenotación o referente, comorepresentación de una colección deobjetos particulares, y la connotación,o propiedad de definición, aparece asísolamente como una propiedad(Sierpinska, 2000).

2.2. El problema de extensión lineal en las experimentaciones desarrolladas por el grupo de Sierpinska

En la primera experimentación se planteóa los estudiantes el siguiente problema:Dadas las imágenes bajo unatransformación lineal de un par devectores no colineales, encuentra laimagen bajo esa transformación de unvector arbitrario. Más precisamente, se les

462

4 En el apartado Consideraciones Teóricas daremos información más amplia respecto a estos modos de pensamiento.


pidió que construyeran cinco vectorespartiendo del origen. Los vectores fueronetiquetados como , y .(Fig. 1). Se les dijo a los estudiantes quesupusieran que y eranimágenes de y , respectivamente, bajocierta transformación lineal. La pregunta fue:De acuerdo con la información dada,¿podrían saber dónde debería estarsituado ? (Haddad, 1999). El problemafue etiquetado como problema deextensión lineal porque, en efecto, consistíaen extender una transformación lineal deuna base a todo el plano vectorial. Seesperaba que los estudiantes construyeranun sistema de coordenadas en la base ( , )

(Fig. 1) y así hallaran las coordenadas

(a,b) de . Como y la

transformación era lineal, entonces:

v v1 2,

T(−1.5r v 1 + 0.8

r v 2)

( , )a b

463

Los estudiantes podrían dilatar ypor los factores a y b,

respectivamente (Fig. 1). El vectorsería la suma de los vectores resultantes(Haddad, 1999).

Como conclusiones finales a este primerexperimento, los autores precisaron que,además de algunas fallas del diseño, hayaspectos epistemológicos seriosrelacionados a la noción de función y aluso de definiciones axiomáticas.

En el tercer experimento, losinvestigadores detectaron los síntomas delobstáculo de formalismo. Cuando losestudiantes abordaron el problema deextensión lineal sus intentos revelaron unadificultad, pues mostraron tendencia apensar conceptos matemáticos entérminos de ejemplos prototipo en lugar dedefiniciones. La actividad del experimentoconsistió en lo siguiente: se pidió a losestudiantes que abrieran un nuevo archivoen Cabri y pusieran dos rectas numéricasen él (estas macros5 permiten a losestudiantes producir dos escalaresindependientes), el origen y los vectoresetiquetados

, y partiendo

del origen.

Después de esto, el problema fueplanteado así: vamos a asumir que losvectores y son las imágenes delos vectores respectivamente, bajoalguna transformación lineal T . Sólo conesta información, ¿puedes construir a)

, b) , c) yd) , donde es un vector arbitrario?

Para llevar a cabo la actividad, tambiénse proporcionó a los estudiantes lasmacros adición de vectores, multiplicación

La macro es una herramienta del software que permite la realización automática de una secuencia de construcciones

interdependientes, según su programación.

5

Figura 1. Construcción del sistema decoordenadas para hallar (a,b)

T(r v 1),T(

r v 2)

r v

T(r v 1) T(

r v 2)

r v 1

r v 2

T(r v )

r v 1

r v 2

r v v = a

r v 1 + b

r v 2

T(r v ) = T(a

r v 1 + b

r v 2) = T(a

r v 1) + T(b

r v 2)

= aT(r v 1) + bT(

r v 2)

T(r v 1)

T(r v 2)

T(r v )

r v 1,

r v 2 T(

r v 1) T(

r v 2)

T(r v 1) T(

r v 2)

r v 1,

r v 2

T(r v 1 +

r v 2) T(2

r v 1)

T(r v )

r v

Relime

escalar y combinación lineal, que podíanser aplicadas a los vectores y escalares.

Las respuestas obtenidas de los sieteestudiantes fueron divididas por losinvestigadores en 3 tipos principales:

1. La solución formal (3 de 7)2. La solución prototipo (3 de 7)3. La solución teórica (1 de 7)

En las soluciones formales los estudiantespresentaron síntomas del obstáculo delformalismo. La prototipo es aquella dondelos estudiantes consideraron el conceptode transformación lineal en términos deejemplos prototipos. Por ejemplo,intentaron encontrar T como una de lastransformaciones lineales conocidas, unarotación por un ángulo, una dilatación, unareflexión, o posiblemente algunacombinación de éstas, solamenteinvestigando la relación que guardaban losvectores en la pantalla. Una estudianteresolvió el inciso c) en la manera esperaday luego se dio cuenta que, al mover lospuntos en la línea numérica, los escalarespodían hacerse variables, así quecualquier vector podía ser obtenido de estaforma, lo cual resolvía el inciso d), aunquela estudiante estaba insegura si eracorrecto. Esta solución fue clasificadacomo teórica.

Las conclusiones a que llegó este grupode investigadores respecto a losresultados de esta actividad fueronexpresadas de la siguiente manera.Existen dificultades en los estudiantes parahallar las imágenes de combinacioneslineales y la de un vector cualquiera, quepueden ser generadas a) por unanecesidad de construir una representacióndel objeto “cualquier vector”, que no esdado en el problema; b) por la necesidadde tener una noción de definicionesaxiomáticas. Los estudiantes perciben la

464

condición definida de transformación linealsólo como propiedades de unatransformación, por lo que para ellos unatransformación debe ser dada por algúnotro significado, como una macro o fórmula(es decir, necesitan una definicióndescriptiva); no aprecian que al decir “Tes una transformación lineal con tales ytales valores en la base” se está definiendola transformación.

3. Objetivo de nuestra investigación

Es de particular interés para nosotros elproblema de extensión lineal porque,cuando se les pide a los estudiantes queconstruyan la imagen de un vectorarbitrario , en realidad se les está pidiendoque determinen una transformación linealpor medio de las imágenes de los vectoresde una base. Consideramos que paraelaborar dicha construcción los estudiantesnecesitan hacer una conexión entre variosconceptos, en especial entre los de basey transformación lineal; también estánimplícitos los de espacio vectorial ycombinación lineal.

Tal reflexión nos lleva a conjeturar que,además de las consideraciones expuestaspor Sierpinska, la principal causa de quelos estudiantes no tengan éxito en laresolución del problema de extensión linealse debe a que no efectúan las conexionesadecuadas entre los conceptosinvolucrados. Por ello, el objetivo denuestra investigación es ofrecer unaexplicación acerca de dicho fenómeno,basándonos en observaciones empíricas.Aunque nuestro enfoque está en unproblema específico (el de la extensiónlineal), consideramos que es un fenómenogeneral que se manifiesta en variassituaciones de enseñanza en álgebra linealy en otras ramas de las matemáticas quevale la pena investigar.

r v


4. Justificación

En el ambiente escolar la información querecibimos puede registrarse comoinformación factual, la cual puede serextraída y procesada de manera mecánica,o bien abstraerse como informaciónconceptual, que puede ser obtenida yprocesada de manera significativa. Lasegunda se apreciará cuando hagamosfrente a un problema no cotidiano, porquees ahí donde los conceptos son forzados areunirse en un todo coherente con el objetivode dar solución al nuevo problema.

Sin embargo, la mayoría de los problemasque resolvemos en la escuela son similaresa los que el profesor ha hecho, de modoque sólo necesitamos reproducir unalgoritmo aprendido. La repetición constantede ejercicios prototipo puede llevarnos a unahabilidad y un dominio, pero deprocedimientos; más aún, puede engañar alos profesores y estudiantes de que losconceptos han sido comprendidos. Espreciso sustituir algunos de estos problemaspor otros novedosos, que motiven alestudiante a reflexionar sobre sus conceptosadquiridos.

Steinbring (1991) indica que el profesor enocasiones asume una forma deconocimiento matemático que él mismo haorganizado ordenadamente, e intentadesarrollar el conocimiento del estudiantedesde esta perspectiva recurriendo amétodos indirectos de enseñanza. Noobstante, mientras los estudiantes noasuman un punto de vista sistémicointegrarán los elementos proporcionadosindirectamente, de forma individual.Solamente la caracterización deconocimiento como un sistema relacional,en vez de un orden lineal de aprendizaje,podría ser de ayuda en caso de que emerjandificultades de entendimiento.

Zazkis (2001) afirma que los vínculos quematemáticamente parecen claros ysencillos pueden representar una redcompleja para los estudiantes; susaproximaciones al resolver problemaspueden ser la señal de que no utilizantotalmente las conexiones adecuadas delos conceptos involucrados. Ella sugiereque teorías como APOS (Acción-Proceso-Objeto-Esquema), donde aparece la ideade esquema (Asiala et al., 1996), podríanservir como perspectiva teórica paraclarificar el reaprendizaje, así como paradar forma a la noción de vínculo y su papelen el aprendizaje de las matemáticas.

Apreciamos que la presencia de unpensamiento sistémico en la adquisición deconceptos desempeña un papelimportante en la didáctica de lasmatemáticas. Algunos errores quecometen los alumnos cuando resuelven unproblema podrían explicarse mediante lafalta de conexiones que deberían hacerentre los conceptos que forman unsistema. La detección de tal fenómeno porprofesores e investigadores podríallevarlos a enfocarse en las conexionesque tendrían que fomentarse en losestudiantes para una comprensiónadecuada de los conceptos dematemáticas. Asimismo, con este trabajoqueremos propiciar una reflexión sobre lasestrategias para hacer que los estudiantesrealicen tales conexiones.

5. Consideraciones teóricas

Contemplamos entonces dosacercamientos como marcos de referenciapara nuestro trabajo. El primerocorresponde, de acuerdo con Sierpinska(2000), al pensamiento teórico versuspensamiento práctico. El segundo serefiere al obstáculo de formalismo, términodenotado por Dorier et al. (1997).

465

Relime466

5.1. Pensamiento teórico versuspensamiento práctico

Sierpinska (2000) manifiesta que, a pesarde los esfuerzos por mejorar la enseñanzadel álgebra lineal, persistían las dificultadesen los estudiantes. Ante esta situación, elgrupo de investigadores conjeturó que quizálos alumnos no entendían la teoría porquequerían comprenderla con una mentepráctica en lugar de hacerlo con una menteteórica. A partir de ahí, comenzaron adesarrollar las nociones de pensamientoteórico y pensamiento práctico.

Aclara Sierpinska que el planteamiento delpensamiento teórico versus pensamientopráctico fue inspirado por la distinciónvigotskiana entre conceptos cotidianos ycientíficos. Ella asume que:

El pensamiento teórico se caracterizapor una reflexión concienzuda sobresignificados semióticos derepresentación del conocimiento, asícomo sobre sistemas de conceptos y nosólo de acumulación de ideas.Suponemos además que en elpensamiento teórico el razonamientoestá basado en conexiones semánticasy lógicas entre conceptos dentro de unsistema; las conexiones entre losconceptos se hacen con base en susrelaciones hacia conceptos másgenerales, de los cuales los anterioresson casos especiales, en lugar deasociaciones empíricas. Las relacionesentre los conceptos y los objetos se dana través de las relaciones entre unos yotros conceptos. En particular, lasdefiniciones de los conceptos,comparaciones entre conceptos y susdiferencias se construyen sobre la base

de las relaciones entre estos conceptoscon conceptos más generales y no, porejemplo, sobre la base de sus ejemplosmás comunes (Sierpinska, 2000).

Luego de esta primera aproximación,Sierpinska et al. (2002) se dan a la tarea dedescribir más precisamente el pensamientoteórico versus pensamiento práctico, asícomo a identificar cuáles son suscaracterísticas específicas para elaprendizaje del álgebra lineal. Para ello:

a)Detallan un modelo de pensamientoteórico

b)Desarrollan una metodología paraevaluar en forma individual o grupal lainclinación6 a pensar teóricamente en elsentido del modelo postulado.

La elaboración de esta teoría, al igual quela metodología para evaluar la inclinación apensar teóricamente, se dio a través delestudio de los datos empíricos obtenidos delas entrevistas con 14 estudiantes quelograron altas calificaciones en un primercurso de álgebra lineal (algunos tambiéntuvieron altas calificaciones en un segundocurso). Los datos proporcionaron a losinvestigadores información para refinar elmodelo y establecer los distintoscomportamientos teóricos7. Caracterizaronal pensamiento teórico en tres categoríasprincipales, aclarando que el pensamientoteórico es reflexivo, sistémico y analítico (Fig.2), mas al clasificar las respuestasdistinguieron ciertas particularidades, lascuales fueron denotadas específicamentepara un mejor análisis. Esto les llevó ainsertar subcategorías específicas decomportamientos teóricos a partir de lasya establecidas como marco de referencia.

Los autores utilizan el término disposition (en inglés) en el sentido de Resnick (1987, p. 41, citado en Sierpinska et al.,

2002): “El término disposition no debería ser considerado como implicación de un rasgo biológico o hereditario. Como se

usa aquí, es más bien semejante al hábito del pensamiento, mismo que puede ser aprendido, y por lo tanto, enseñado.

Comportamientos observables a través de las respuestas de los estudiantes.

6

7

Transformaciones lineales en un ambiente de geometría dinámica 467

Nuestro énfasis, sobre todo, reside endetectar en los estudiantes un pensamientosistémico porque creemos que es la clavepara solucionar el problema de extensiónlineal, en torno al cual gira nuestrainvestigación. Destacamos estacaracterística del pensamiento, sin restarimportancia a las otras dos, por la mismanaturaleza del problema, ya que su esenciaconsiste en que los estudiantes utilicenestrategias que los conduzcan a determinaruna transformación lineal por medio de lasimágenes de los vectores de una base.

Ante nuestra postura, es necesario tenercaracterísticas que nos permitan apreciarsi en el desempeño de la actividad losestudiantes dan muestras de unpensamiento sistémico.

Para abordar la categoría sistémica delpensamiento teórico, el grupo deinvestigadores coordinado por Sierpinskautilizó como base una referencia deVigotsky, quien al introducir su noción deconcepto científico enfatiza que losconceptos son siempre parte de un sistemade conceptos:

La diferencia clave en la naturalezapsicológica de los conceptos científicosy cotidianos es la presencia o ausenciade un sistema. Los conceptospermanecen en una relación diferente

Fig. 2. Caracterización del pensamiento teórico en tres categorías principales.

respecto a los objetos cuando existenfuera de un sistema que cuando estándentro. Fuera de un sistema, las únicasconexiones posibles son aquellas queexisten entre los objetos por sí mismos,esto es, conexiones empíricas. Esta esla fuente del dominio de la lógica deacción y de conexiones sincréticas delas imitaciones en los niños. Con unsistema, las relaciones entre losconceptos emergen. Estas relacionesmedian las relaciones de los conceptoshacia el objeto a través de susrelaciones con otros conceptos(Vigotsky, 1987, pp.234-235; citado enSierpinska et al., 2002).

Podemos argumentar al respecto que elpensamiento teórico es consciente de losconceptos con los que opera, mientras queel pensamiento práctico centra su atenciónen los objetos concretos y no repara ensus conceptos relacionados. Entonces, lasconexiones entre conceptos sólo podránhacerse cuando el estudiante tomeconciencia de los conceptos con los queopera; es decir, cuando adquieransignificado para él.

Los conceptos pueden ser aprendidoscomo entidades individuales, pero cuandose asocian a sistemas de significadosforman parte de una estructura conceptual;aquí se hacen presentes las conexiones.

Relime

Cuando aprendemos un concepto, lo queaprendemos es resultado de un procesode significación para quienes lo crearon,del cual no fuimos parte. Podríamos decirque somos bombardeados de conceptosque deben ser aprendidos mediantedefiniciones (un vector en un espaciovectorial V se denomina combinación linealde los vectores

en V si puede

expresarse como . . . ,donde c

1, c

2 , ... c

K son escalares, no todos

cero), teoremas ( una matriz cuadrada Aes invertible si y sólo si det ),notaciones ( , etc. ) yprocedimientos ( dado , entonces

.

La información aprendida puede añadirsea la mente como entidad individual, aunquetambién puede asociarse a sistemas designificados, con lo que se convierteen parte de una estructura conceptual.

Por ejemplo, se puede

ver como un arreglo de números, pero sisabemos que , donde A es la matriz(de orden m x n) de coeficientes en unsistema de ecuaciones , yque si A es invertible implica que el sistemade ecuaciones representado portiene solución única dada por ,entonces A forma parte de una estructuraconceptual.

Durante el aprendizaje resulta común quelos estudiantes adquieran conocimientosmediante series de pasos, que observany luego reproducen. Suelen adaptar ciertastécnicas para dar solución a los problemas,que pueden ser familiares o desconocidospara el estudiante. Ante uno familiar, haráalgo parecido a lo ya realizado; sólo tieneque recordar cómo resolverlo. Pero ante

(r x ∈Rn ,

r b ∈Rm)

1

2

r v = (1

2 (−2),1

2(5)) = (−1,5

2))

468

A ≠ 0

una situación desconocida, el alumno debereflexionar sobre las instrucciones delproblema y recurrir a sus conceptospreviamente adquiridos, efectuandoposiblemente las relaciones o conexionesválidas que lo conduzcan a una soluciónadecuada.

Steinbring (1991) hace notar que existe unadistancia entre el conocimiento del profesory el conocimiento del estudiante. Elprofesor posee una teoría matemática y esconsciente de vínculos conceptuales,mientras que los estudiantes tienen unconocimiento local (material), por lo cualsus conceptos adquiridos quedan aislados.Entonces, el profesor –cuyo conocimientoes global–, al desempeñar su papel detransmitir el conocimiento, recurre amúltiples formas didácticas para guiar alestudiante en su aprendizaje, de modo queles construye una trayectoria a seguir ytrata de desarrollar en ellos un estado deconocimiento, pero desde su perspectiva.

Respecto a los métodos de enseñanza,Steinbring (1991) indica que, aunquetengan la mejor intención de organizar elaprendizaje paso por paso ydeductivamente, es necesario tener encuenta que las relaciones conceptuales deconocimiento requieren de una conexiónsistémica-holística, donde un nuevoconcepto se constituye por su posicióndentro de un sistema, no surge comoresultado de deducciones metódicas ológicas.

Además, Steinbring (1991) dice que hayuna tensión entre el conocimiento local quemaneja el estudiante y el conocimientoglobal que atañe al profesor. Para esteúltimo, el conocimiento tiene un carácterteórico o autorreferente, lo cual indica quela visión epistemológica de estudiantes yprofesores ante un mismo conocimientomatemático suele ser diferente.

r v

r u 1,

r u 2...

r u k

r v

r v = c1

r u 1 + c2

r u 2 + − − −ck

r u k

r v , In , A−1

r v = (−2,5)

A =a11

M

am1

K

O

K

a1n

M

amn

Ar x =

r b

Ar x =

r b

r x = A−1

r b

...

...

......

. . .


Por su parte, Zazkis (2001) afirma que losconceptos matemáticos no deben serestudiados aisladamente, sino en relacióncon otros conceptos matemáticos, demanera que expresa al conocimientoconceptual como una red porque la ideade red sugiere no sólo conexión, sinotambién complejidad del conocimiento.

A medida que se avanza en el contenidodel álgebra lineal, los conceptos previos sevinculan con los posteriores. Cuando unestudiante se enfrenta a este tipo deejercicios, su estrategia debe considerarqué conceptos están involucrados y cómose relacionan. Entonces, se ponen en juegolos significados de los conceptos que lepermiten al estudiante, además de generarhipótesis y establecer conjeturas, llevar acabo diferentes decisiones pertinentesfrente a la resolución de un problema. Susargumentos tienen que ser razones válidasque le permitan justificar el planteamientode su solución.

El significado de los conceptos y lasconexiones entre ellos son elementosestrechamente relacionados. Por ejemplo,podríamos pensar en un estudiante que dauna definición aceptable de un concepto,que es capaz de resolver ejercicioshaciendo uso correcto del concepto y suspropiedades, que puede interpretargeométricamente su significado y quesiempre tiene éxito ante problemasprototipo; sin embargo, ante una situaciónnueva que requiera hacer uso de eseconcepto, no puede hacer los vínculosadecuados para llegar a la solucióncorrecta. En forma contraria, podría darseel caso que las experiencias del estudiantey su intuición le permitan pisar el terrenoapropiado para llegar a la solución de unproblema, haciendo las conexionesadecuadas en cada paso, pero titubeando,inseguro de que la solución sea la correcta;esto podría reflejar la debilidad en la

apropiación de los significados de losconceptos.

Cuando un estudiante se enfrenta a unasituación nueva, el primer paso hacia unasolución exitosa es que reflexione sobrelos elementos que tiene a su alcance ysobre los que están involucrados, aunqueno sean explícitos en el problema.Después, tiene que organizar suconocimiento de manera tal que busquehacer conexiones entre sus conceptos,valiéndose de sus significados.

Para poder apreciar la presencia de unpensamiento teórico en los estudiantesque enfrentan el problema de extensiónlineal, consideramos que deben estarpresentes los siguientes comportamientos:

• Reflexión sobre los datos explícitos yaquellos que podrían estarinvolucrados implícitamente en lainterpretación del problema.

• Actitud indagadora respecto a posiblesconceptos involucrados.

• Desarrollo de estrategias con unpropósito, haciendo uso de losconceptos involucrados en unproblema.

• Toma de decisiones pertinentes queinvolucren conceptos relacionadospara llegar a la solución de unproblema, ofreciendo argumentosválidos que permitan justificar elplanteamiento de su solución, con unacoherencia que haga ver un sistemade conceptos.

5.2 El obstáculo de formalismo

Por otra parte, como quisimos observar dequé manera se presenta el obstáculo de

Relime

formalismo en un ambiente geométrico, elsegundo acercamiento que tomamos encuenta fue el obstáculo de formalismo, untérmino introducido por Dorier et al. (1997).

A través de distintas investigaciones de tipodiagnóstico hechas por el grupo de Dorier(entre 1987 y 1994), se muestra que lasdificultades de los estudiantes en álgebralineal revelan un mismo obstáculo, macizo,el cual aparece en todas las generacionessucesivas y prácticamente en todos losmétodos de enseñanza –los empleados enlas investigaciones–, al cual l lamanobstáculo de formalismo (Dorier et al.,1997).

Los estudios realizados en 1989 y 1990(Robert y Robinet, 1989; Rogalski 1990,citados en Dorier, 1997) indican unadificultad especialmente fuerte en losestudiantes para poder hacer funcionar losconceptos del álgebra lineal en marcosformales, y no en tareas donde una técnicaprecisa podía establecerse. Estos análisisles permitieron precisar la naturaleza delobstáculo de formalismo, pues ponen demanifiesto que la teoría de los espaciosvectoriales aparece como un ámbitoabstracto y formal a los estudiantes,quienes se sienten ahogados por lasnuevas definiciones y tienen dificultades dehacer el vínculo con lo que anteriormenteaprendieron. Las respuestas de algunastareas, relacionadas con espaciosvectoriales, parecen mostrar una falta totalde control de las herramientas de lógica ylenguaje conjuntista.

Otro grupo que trabajó con esta noción fueel de Sierpinska, pero hace una adaptacióna la noción introducida por Dorier, et al. Entérminos de Sierpinska, un estudiante quese encuentra bajo el hechizo del obstáculode formalismo es aquel que se comportacomo si las representaciones simbólicasformales de los objetos del álgebra lineal

fueran los objetos en sí mismos. Todavíano tiene suficiente aptitud para comprenderla estructura de estas representaciones y,por tanto, las manipula de manera tal queno es compatible con su gramática; elestudiante no ve las relaciones entredistintas representaciones formales yrecurre a un número inmanejable deobjetos.

Podemos comentar al respecto quecuando los estudiantes no entienden losconceptos (independientemente de lasrazones de porqué no lo hacen), muestransignos del obstáculo de formalismo, lo cualda pie a que trabajen en el nivel demanipular las expresiones, pero ignoranlos significados o las reglas de lasmatemáticas. De acuerdo con Haddad(1999), en sus soluciones los alumnosescriben una gran cantidad de símbolos ynotaciones matemáticas porque esto se vematemático, aunque no tenga sentido.

Consideramos que, aunque la actividadestá situada esencialmente en un ambientegeométrico, lo que permite la manipulaciónde objetos y no de símbolos, tal obstáculopuede hacerse presente debido al carácterteórico de los conceptos involucrados.

Al incorporar las características abstractas yteóricas de los conceptos a las actividades,se da una incorporación de lo analítico en losintético (para las descripciones de losmodos de pensamiento, ver Sierpinska,2000), con lo que ocurre el obstáculo deformalismo, razón por la cual consideramostambién esta aproximación teórica.

6. Metodología

Como mencionamos anteriormente,conjeturamos que el problema deextensión lineal requería de hacerconexiones entre diferentes conceptos

470


para su resolución exitosa, lo que noscondujo a plantear nuestro objetivo deinvestigación: observar la presencia deconexiones entre conceptos y sunaturaleza, basándonos en observacionesempíricas. Para tal fin, contemplamos tresetapas en nuestra investigación:

• En la primera etapa se llevó a cabo uncurso con ocho estudiantes de primersemestre, inscritos en el programa demaestría del Departamento deMatemática Educativa. El objetivoprincipal del curso fue dar a losestudiantes la oportunidad de ver yanalizar ejemplos del uso de latecnología en la clase de matemáticasen el nivel superior. La rama elegidacomo enfoque matemático fue álgebralineal y como ambiente tecnológico elCabri-Géomètre II.

6.1. La dinámica del curso

En dicho curso, la dinámica fue: a)aplicación de las actividades diseñadas porSierpinska y su grupo, pertenecientes alsegundo rediseño, a los participantes delcurso; b) discusión teórica sobre el tema;c) análisis didáctico de las actividades ysu diseño; d) consideraciones técnicas enel diseño de las actividades. Así, se tratóque los estudiantes, por un lado,trabajaran directamente sobre lasactividades; por otro, analizaran el usodidáctico, pretendiendo que reflexionaranen torno a los fenómenos observadosdesde el punto de vista de susexperiencias. Aunque durante el curso sellevaron a cabo seis módulos, explicamos condetalle el 5 y 6 porque abordan lastransformaciones lineales.

Módulo 1: Familiarizarse con loscomandos de Cabri. Vectores, igualdadde vectores y operaciones sobre losvectores.

471

Módulo 2: Aplicaciones del lenguaje delos vectores en la geometría.Módulo 3: Coordenadas de un vectoren una base.Módulo 4: Cambio de base.

Los vectores, desde el inicio de curso,fueron abordados como vectores libres. Enun principio tanto las combinacioneslineales como los cambios de base setrataron bajo construccionesgeométricas, y conforme iba avanzandoel contenido del curso algunas seconvirtieron en macros. Asimismo, elmódulo 3 atendió al tema decoordenadas de un vector en una base,lo cual permitió no sólo la construccióngeométrica, sino también la inclusión deelementos numéricos.

Soto (2003), quien efectuó unainvestigación cuyo propósito fue identificarlas dificultades de los estudiantes paraconstruir y util izar estos conceptosreducidos a R2 y R3, y de qué manera estasdificultades están relacionadas con laconversión de representaciones gráficasen algebraica y viceversa, mostróactividades diseñadas en Cabri paraintroducir el tema de las transformacioneslineales mediante la matriz detransformación. Esto tuvo como intenciónque el estudiante se familiarizara con elsignificado gráfico y numérico que tiene laevaluación de una transformación lineal.A diferencia del trabajo de Soto –uno delos pocos estudios que abordan el temade las transformaciones lineales enCabri–, el tratamiento que tienen lastransformaciones lineales en nuestroescenario se da en un contexto másgeométrico. Las entradas numéricas(como la macrorrecta numérica) sonproporcionadas con la intención de que,al generar un vector en una base dada, segenere una familia de vectores que lepertenecen.

Relime472

6.1.1. Módulos 5 y 6:Transformaciones lineales

Las actividades que detallaremos acontinuación pertenecen a los módulos5 y 6, alusivos a las transformacioneslineales. El módulo 5 inició con ladefinición de espacio vectorial y susaxiomas, luego se presentó a losestudiantes la idea de transformación detodo el plano vectorial, mediante archivoshechos en Cabri con una parte decuadrícula f in i ta, que operaba elinstructor. Se mostró el hecho de que unatransformación del plano vectorial tieneque entenderse como definida para todoslos vectores del plano; unatransformación del plano vectorial no eslo mismo que la de un vector o una figuraaislada en el plano (los investigadoreshacen hincapié en tal fenómeno, pues esuna dificultad que observaron en lasapl icaciones anter iores de susactividades, como se reporta en Dreyfus,et al., 1998).

Por ejemplo, en la Figura 3 podemosobservar que las cuadrículas finitasrepresentan planos vectoriales: una alplano vectorial dado, la otra al planovectorial transformado (en este caso, poruna rotación). Asimismo, se ha construidoun par de vectores, uno punteado y otrono punteado, a fin de indicar que partende un origen y también den la idea de quehay una infinidad de vectores en el planovectorial, mediante el modo de arrastre delsoftware. El vector punteado es la imagendel no punteado bajo dicha transformación.

Otra de las actividades consistió enproporcionar a los alumnos macros quepermitieron una transformación T del planovectorial, poniendo un vector libre sobrela pantalla y construyendo su imagen bajoT, según la regla que definía a latransformación (Figuras 4 y 5). Luego,moviendo el punto terminal del vector , lasimágenes de muchos otros vectores bajoT se pudieron visualizar. Algunos ejemplosfueron reflexión, proyección, rotación, unatransformación semilineal (rotación de 90°,combinada con una dilatación por un factorvariable), trasquilado (su elaboracióndepende de dos parámetros, q y L, donde y L es una recta que pasa por elorigen; entonces, la imagen de un vectores tal que la recta que une los puntosfinales del vector y su imagen es paralelaa L, mientras que la distancia entre lospuntos finales de y su imagen es igual a veces la distancia entre el punto finalde y la recta L), traslado-punto-terminal(traslación por un vector). Notamos quese hace una referencia al mismo espaciode trabajo (la pantalla), pues se haceuso en las act ividades de los ejeshorizontales y perpendiculares, aunqueno son propiamente elementos dela estructura matemática, donde no seemplean coordenadas o referencias.

q ≠ 0

Figura 3. Rotación de un plano.

r v

r v

r v

r v

r v

r v

q


T(r v 1 +

r v 2 ) = T(

r v 1) + T(

r v 2)

473

Figura 4. Proyección horizontal. Figura 5. Reflexión horizontal.

Para concluir el módulo 5, se dio la definiciónde una transformación lineal comoaquella que conserva combinacioneslineales, es decir, para cualesquieravectores y y cualesquiera escalaresk

1 y k

2 , 8.

Como equivalente a esta definición,una transformación es lineal si y sólosi conserva la suma de vectores yla multiplicación por un escalar, o sea para cualesquieravectores y y , cualquiervector y cualquier escalar k.

Con el fin de mostrar ejemplos detransformaciones lineales y no lineales,el instructor hizo uso de dos macros: linbasis (su nombre en español es lin-base;sin embargo, durante el curso semantuvo el nombre en inglés) ysemil ineal . La primera macro fueconstruida para obtener la imagen decualquier vector bajo una transformaciónlineal, haciendo uso de dos vectoreslinealmente independientes, y y susimágenes y , respectivamente, bajola misma transformación l ineal. Lasegunda macro daba la imagen de unvector cualquiera bajo una transformación

que cumplía solamente la condición demultiplicación por un escalar, no la de lasuma. En cada caso, el instructoraveriguó geométricamente si y ,así como y paracualesquiera vectores y , coincidían.

Para finalizar el módulo 5, se pidióa los estudiantes que examinaransi las transformaciones dadas porciertas macros eran lineales, verificandosi paracualesquiera vectores y ycualesquiera escalares k

1 y k

2.

El problema de extensión lineal formóparte del módulo 6. Por tanto, sólodescribiremos la parte que correspondea dicho módulo, antes de presentar elproblema.

Al inicio del módulo 6, a manera derepaso, se empezó verificando si ciertatransformación, definida nuevamente porla macro lin-basis, era lineal. Primero, seobservó qué estaba haciendo latransformación al plano, creando talrepresentación por el uso de unacuadrícula (Figura 6).

Cabe mencionar que todas las transformaciones lineales que se trabajaron fueron transformaciones del espacio

bidimensional, representado por la pantalla.

8

r v 1

r v 2

T(k1

r v 1 + k2

r v 2) = k1 T(

r v 1) + k2 T(

r v 2)

r v 1

r v 2 T(k

r v ) = kT(

r v )

r v

r v 1

r v 2

r v

r w 1

r w 2

T(kr v )

kT(r v ) T(

r v +

r v ') T(

r v ) + T(

r v ' )

r v

r v '

T(k1

r v 1 + k2

r v 2) = k1 T(

r v 1) + k2 T(

r v 2)

r v 1

r v 2

� ��

Relime

r r = k1T(

r v 1) + k2T(

r v 2)

474

También se mostró una nueva manera deaveriguar la linealidad de unatransformación, usando la condición deconservación de combinaciones lineales.

El instructor puso dos rectas numéricas y dosvectores, y

, aplicó alguna de las

macros vistas con anterioridad (aquellas queproporcionan una transformación T del planovectorial), colocó un vector libre sobre lapantalla y elaboró su imagen bajo T, segúnla regla que define a la transformación. Alaplicar la macro, construyó entonces y . Después, usando la macrocombinación lineal hizo un vectortal que

; a este vector le aplicó

la macro de transformación, generando elvector .Finalmente, construyó un vector tal que , observándoseque , independientemente de lasposiciones de

,

, k

1 y

k

2 .

Posteriormente, se dieron ejemplos dondesólo una o ninguna de las condiciones (sumade vectores y multiplicación por un escalar)se satisfacía. Estas tareas de alguna maneraprepararon a los estudiantes para elsiguiente paso: la realización del problemade extensión lineal, que fue nuestro enfoquede interés para los fines de esta investigación.

Figura 6. Transformación del plano bajo una transformación lineal mediante la macro lin-basis. Losvectores y generan el plano original, y y

al transformado.

En la segunda etapa se aplicó uncuestionario diagnóstico, conformado por 12reactivos comprendidos en 6 secciones, cuyocontenido estuvo relacionado con lastransformaciones lineales. Al contestar dichoinstrumento, los estudiantes ya habíancursado los módulos 1-5 y parte del módulo6. Nuestro objetivo era caracterizar elpensamiento de los estudiantes en formageneral.

6.2. Características de los estudiantes

Para proteger la identidad de losparticipantes, cuyas edades iban de los 23 alos 26 años, les dimos los pseudónimos deEstudiante 1 hasta Estudiante 8. Losestudiantes 1, 2, 3, 4, 5 y 8 terminaron unalicenciatura en Enseñanza de lasMatemáticas (LEM). Los estudiantes 3, 4, 5y 8 sólo tomaron un curso trimestral endiferentes periodos: el 3 y el 4 en 1998, el 5en 1999 y el 8 en 2000.

Los estudiantes 1 y 2, antes de ser alumnosde la LEM, cursaron cinco semestres de lalicenciatura en Matemáticas (LM), ambaspertenecientes a la misma facultad, dondetomaron dos cursos semestralescorrespondientes a Álgebra Lineal I (1997)

r v

1 r v 2

r w 1

r w 2

r v 1

r v 2

r v

T(r v 1)

T(r v 2)

r w

r w = k1

r v 1 + k2

r v 2

T(r w )

r r

r r = T(

r w )

r v 1

r v 2


y Álgebra Lineal II (1998). El Estudiante 1dijo que no los acreditó en periodo ordinarioy los volvió a cursar: el de Álgebra Lineal Ien 1998 y el de Álgebra Lineal II en 1999.También llevó un curso trimestral en la LEMen 2001. Por último, el Estudiante 6 esIngeniero Metalúrgico y el 7 licenciado enEconomía; de acuerdo con la informaciónproporcionada, no llevaron curso alguno deálgebra lineal, de manera que nuestro cursofue la primera experiencia que tuvieron conesta asignatura.

6.3. Análisis del cuestionario diagnóstico y respuestas de los estudiantes

Como hemos mencionado, antes de llevar a

cabo la entrevista se aplicó un cuestionariodiagnóstico, en una sesión del curso, con unaduración de 2 horas. Cada estudiante tuvo asu disposición una computadora.

Presentaremos los análisis de algunassecciones y luego haremos una descripcióngeneral del desempeño de los estudiantescon base en los resultados.

6.3.1. Sección 1. Pregunta 1 (ver Cuadro1). Como las respuestas de los estudiantesvarían, las copiaremos textualmente parapoder apreciarlas en su totalidad. Aquí,queríamos saber cómo percibían a unatransformación, sin considerar el términolineal.

Cuadro 1. Respuesta de los estudiantes a la pregunta 1.

475

Relime

Podemos apreciar que los estudiantes hacenreferencia a las transformaciones basándoseen intuiciones relacionadas con su propiaexperiencia, las cuales son cercanas o distantesa la definición. Los estudiantes 1, 2 y 3 ofrecenuna definición que involucra a un espaciovectorial y a la noción de función. La definicióndel Estudiante 8 no contempla el espaciovectorial, sino que hace mención de un conjunto;el 4 posiblemente nota que afecta a un solovector y no a todo el espacio; el 5 y 6 la entiendencomo una modificación de todos los vectores,pero parece que el 6 también considera alelemento original y a su respectiva imagen bajo

la transformación como diferentes, por lo cualpodríamos pensar que la función identidad noestá contemplada para él como unatransformación. El 7 la percibe en términos deuna combinación lineal.

6.3.2. Sección 1. Pregunta 1. 2 (ver Cuadro2). En esta pregunta, donde contemplamos lapalabra lineal, nuestro interés se centró enobservar si los estudiantes hacían referencia alas dos propiedades que involucran la suma ymultiplicación por un escalar de vectores.Decidimos copiar sus respuestas textualmentey ver cómo las asociaban con la pregunta 1.

476

Cuadro 2. Respuesta de los estudiantes a la pregunta 1.2.


k2

r A , k1, k2 ∈R

k1

r A

La mayoría de los estudiantes consideróa una transformación lineal comoaquella que satisface dos condiciones,

y , massin la presencia de un modo de empleo; porejemplo, omitiendo los cuantificadores.Parece que su definición de transformaciónlineal se centra sólo en las dos propiedadesque la satisfacen, olvidando a qué campopertenecen sus elementos.

Apreciamos que el Estudiante 2 piensaque la preservación de los vectoressobre una recta bajo una transformaciónes equivalente a que tal cambio cumplacon las dos condiciones de la linealidad.El 3 se refiere a la transformación linealcomo una combinación lineal. El 4 da trescondiciones, aunque la primera esequivalente a las dos últimas juntas. El5 considera a la propiedad de la sumacomo combinación lineal. El 7 indica quehay tres condiciones, que asociamos conactividades hechas en el curso.

El Estudiante 6 parece señalar el cambiode un plano. Por ello, para tratar derelacionar su respuesta anterior conésta, e interesados en saber cuál seríasu solución ante la transformaciónidentidad, posteriormente construimosuna macro llamada transformación 3,definida por la expresión , queproporciona la imagen de un vectorconstruido en la pantalla al hacer click enél, y durante la entrevista le pedimos alalumno que verificara si era o no unatransformación lineal. El 5 fue invitado aparticipar en esta actividad como su pareja

Estas actividades fueron diseñadas por Molina (2004). Dos de ellas fueron consideradas en su tesis de maestría y la

otra la discutimos en una charla que sostuvimos.

9

477

T(r v +

r w ) = T(

r v ) + T(

r w ) T(k

r v ) = kT(

r v )

T(r v ) = (

r v )

r B

r B

de entrevista. Resultó interesanteobservar que ambos estudiantes –conmayor énfasis el 5– consideraban a unatransformación como generadora de uncambio. Notamos que, a pesar desatisfacerse las condiciones de suma ymultiplicación por un escalar, el hechode los alumnos vieran al vector imagenencima del vector inicial, y no en otraposición, los hacía dudar. El 6 finalmenteidentif ica que es la transformaciónidentidad.

6.3.3. Sección 3. En esta parte sepresentó a los estudiantes dos columnascon figuras; las segundas eran lasimágenes bajo alguna transformación.Les pedimos que indicaran si era posibleque hubiera una transformación linealque convirtiera a la Figura 1 en la Figura29. El objetivo consistía en analizar susargumentos ante la ausencia de algunaexpresión analí t ica que permit ieraformular una transformación. Acontinuación, mostramos los tres incisosque conformaban dicha actividad.

Inciso a). Para este inciso (ver Cuadro3) sí podría existir una transformaciónlineal; por ejemplo, los alumnos podríanargumentar que observan la composiciónde una rotación y una di latación.También, en un sentido más formal,partiendo de dichas figuras podríanveri f icar las dos propiedades, alcomprobar que en la Figura 1 el vector se puede escribir como , y en laFigura 2 el vector se puede escribircomo .

Relime478

3. Para cada uno de los casos que se muestran a continuación, diga si es posibleque exista una transformación lineal que convierta los vectores o gráfica de laFigura 1 en los vectores o gráfica de la Figura 2. Argumenta porqué.

a)

Cuadro 3. Inciso a) de la Selección 3 del cuestionario diagnóstico.

Para este inciso, el Estudiante 1 dijo quesí podría haber una transformación lineal,basándose sólo en la dilatación de losvectores. El 2 consideró bases en cadafigura; tomó a la segunda como imagende la primera y de ahí planteó la posibleexistencia. El 3 afirmó que no era posible,argumentando que, para que se definierauna transformación lineal, él necesitabados vectores linealmente independientesy dos escalares que cumplieran con lacombinación lineal y generaran otroespacio vectorial. Nosotros percibimosante tal respuesta que quizá el Estudiante3 sentía necesidad de tener siempre dosvectores para verificar si había unatransformación lineal, más aún que fueranlinealmente independientes, aunque eraposible que tampoco hubieraconsiderando una combinación lineal devectores colineales.

Para confirmar estas conjeturas, durantela entrevista a este alumno le pusimos tresactividades. Con base en el esquemadel cuestionario diagnóstico, leproporcionamos primero dos figuras, cadauna con un vector, y le preguntamos si eraposible que existiera una transformación

lineal del plano que convirtiera al vectorde la Figura 1 en el vector de la Figura 2.Efectivamente, como lo imaginábamos,respondió que no porque era necesariotener dos vectores (Figura 7).

Seguidamente le planteamos de nuevoel inciso a) del cuestionario diagnósticoporque ahí sí se encontraban dosvectores. Y argumentó que no porque losvectores eran linealmente dependientes.

El Estudiante 4 anotó la fórmula con 0<m<1 y n>1 y verificó

que fuera lineal, comprobando si se

Figura 7. Respuesta del Estudiante 3.

T(

r v ) = (mx1 ,nx2 )


satisfacían las propiedades de suma ymultiplicación por un escalar. El 5 señalóla posible existencia de unatransformación lineal; sin embargo, aligual que el 1, sólo percibió la dilataciónde vectores, de ahí que sus argumentosse basaran en un sentido visual. El 6también indicó que sí podría existir unatransformación l ineal y se percatóademás de la dilatación, una rotación.El 7 y el 8 no abordaron este inciso.

6.3.4. Descripción general deldesempeño de los estudiantes con

base en los resultados delcuestionario diagnóstico

• Estudiantes 1 y 2 : Podemosadvertir a lo largo del desarrollode las actividades que muestranelementos de un pensamientoteórico. No tienen dificultades conlas nociones involucradas en laspreguntas.

• Estudiante 3: No presenta unaestructura conceptual sólida, deahí que, en su mayoría, ofrezcarespuestas intui t ivas peroerróneas, basándose en susexperiencias previas. Notamoselementos de un pensamientopráctico en sus soluciones.

• Estudiante 4: Podemos apreciarque t iene elementos de unpensamiento teór ico. Sinembargo, nos llama la atenciónque cuando cierta situación sesale de un esquema prototipoadapta sus técnicas, que suelenno conducirlo a los resultadoscorrectos.

• Estudiante 5: Podemos considerar

que su pensamiento es más prácticoque teórico. Aborda los ejerciciosque guardan relación conprocedimientos de actividadesanteriores, mientras que tienedificultades para abordar aquelloscuya solución requiere deprocedimientos nuevos.

• Estudiante 6: Aunque suconocimiento respecto al álgebralineal era limitado, consideramos quesu intuición le guía hacia solucionesadecuadas.

• Estudiante 7. Sus conocimientosprevios en álgebra lineal sonl imitados y lo conducen adesarrol lar el obstáculo deformal ismo. Sus respuestaspresentan incongruencias.

• Estudiante 8: Dejó sin contestarla mayoría de las preguntas, locual nos impide sacar informaciónacerca de su pensamiento.

Finalmente, en la tercera etapa se llevóa cabo una entrevista, conformada portres actividades, que incluía al problemade extensión lineal. Los estudiantestrabajaron en binas (1 con 2; 3 con 4; 5con 6, y 7 con 8) con la intención depoder observar las discusiones entreellos y los argumentos correspondientes.Presentamos a continuación sólo latercera actividad.

6.4. Entrevista. Tercera actividad.

La tercera actividad consistió en elproblema de extensión lineal. Aquí, lesproporcionamos a los estudiantes unacopia escrita de la actividad (Figura 8).

Relime

r v 1,

r v 2{ } T(

r v 1),T(

r v 2){ }

480

Abre un nuevo archivo Cabri, pon dos rectas numéricas en ella, pon el origen y los vectoresetiquetados v1, v2, T(v1) y T(v2) partiendo del origen, en una configuración similar a la figurade abajo.

Vamos a suponer que los vectores T(v1) y T(v2) son las imágenes de los vectores v1 y v2,respectivamente, bajo alguna transformación lineal T. Con sólo esta información, puedesconstruir:

a) T(v1+v2)b) T(2v1)c) T(-1.5v1 + 0.8v2)d) T(v), donde v es un vector arbitrario.”

6.4.1. Estatus de los elementos queintervienen en el problema de

extensión lineal

Los vectores , y son libres;el estudiante los construye partiendo de unpunto 0, denotado origen. Por el enunciadodel problema, está implícito que losvectores y son imágenes de , , y al cambiar su posición resultaría otratransformación lineal. El vector , construidocomo combinación lineal de

y

, será

dependiente de los vectores y . Cada

línea numérica presenta un escalarindependiente uno del otro.

6.4.2. La actividad

Como la actividad pertenecía al segundorediseño (Sierpinska, 2000), se le

añadieron los tres primeros incisos –sobretodo el c)– con la intención de inducir a losestudiantes a que establecieran larespuesta del inciso d). En este último, elpaso esencial para obtener la solucióncorrecta era considerar al vector comocombinación lineal de

y , “por ser

linealmente independientes” formaban unabase para el plano; a partir de ahí, se teníaque apl icar la def inic ión detransformación lineal para obtener laimagen de . Como las instrucciones delproblema no hacían explícito que yformaban una base, entonces el alumnodebía recurr i r a estrategias queinvolucrara conexiones entre susconceptos para dar la solución adecuada.Nuestra intención era observar susestrategias para percibir de qué maneravinculaban estos conceptos.

r v 1,

r v 2 T(

r v 1) T(

r v 2)

r v

r v 1

r v 2

T(r v 1) T(

r v 2)

r v 1

r v 2

r v 1

r v 2

r v

r v 1

r v 2

r v

r v 1

r v 2

{ } { }

Figura 8. La tercera actividad. El hecho de que se les pida que pongan los vectores en unaconfiguración similar a la figura dada es con la intención de que cada par de vectores

y sean linealmente independientes.


T(r v )

7. Principales resultados

A excepción de los estudiantes 1 y 2, losdemás tuvieron dificultades al resolver elinciso d). Explicaremos a continuaciónnuestras percepciones al respecto.

De manera sintética, el procedimiento parallegar a la solución deseada constaba delos siguientes pasos:

1. Construir como combinación linealde y2. Escribir la relación3. Aplicar la transformación lineal a laexpresión del paso 2 y obtener

4. Finalmente, construir como seindica en la última relación del paso 3.

Podemos decir que este era un algoritmocorto y no algebraicamente complicado; sinembargo, los estudiantes no lo plantearon.Creemos que el paso esencial radica enestablecer la combinación lineal derespecto a y ; mientras los estudiantesno perciban tal relación no podrán avanzaren la resolución.

Lo que posiblemente les impide dar eseprimer paso es que no hacen una conexiónentre los conceptos de base ytransformación lineal. Es como si pensaransólo en el concepto de transformaciónlineal y todas sus estrategias giraranúnicamente en torno a dicha noción; tal esel caso de la pareja conformada por losestudiantes 3 y 4, quienes en sus intentostrataron de encontrar la regla de latransformación lineal o intentaron partirde las propiedades para despejar yllegar a la solución. Pero cuando susestrategias se agotaron, concluyeron queno era posible hallar , lo cual sepuede apreciar en el siguiente extracto:

[197]Estudiante 4: A ver… ese es mivector v [dibuja en la pantalla al vectorv]

[198]Figura

[199]Estudiante 3: Mm… tendrías quesaber qué hace la…

[200]Estudiante 4: La transformación.

[201]Estudiante 3: La transformaciónpara poder buscar su imagen. […]

[210] Estudiante 4: ¿Te acuerdas quehabía uno? bueno, pero ese estabaen la macro… este… donde poníamoséste [señala al vector v] y lomovíamos y coincidía con cualquiera

481

r v

r v 1

r v 2

r v = a

r v 1 + b

r v 2

T(r v ) = T(a

r v 1 + b

r v 2)

T(r v ) = aT(

r v 1) + bT(

r v 2)

r v

r v 1

r v 2

T(r v )

T(r v )

El Estudiante 3 sientela necesidad de

conocer el efecto de latransformación

Relime

[211] Estudiante 3: Pero tenías quetener la regla de las transformacionespara hacerlos coincidir.

[212]Estudiante 4: Acá, ajá, acá no latenemos … Entonces, acá, vamos a iral revés… la imagen del vector v…construir la imagen de v donde v es unvector arbitrario [relee la actividad].

[213]Estudiante 3: Mj… Fíjate, pareceser que lo que hace latransformación es rotar -90 gradosel vector y multiplicarlos por unescalar porque este vector tiene suimagen acá y este vector tiene suimagen acá [señala los vectoresimágenes en la hoja donde está escritade la actividad]

[214]Estudiante 4: Mj… sí…

[215]Estudiante 3: ¿Sí es la regla?

[216]Estudiante 4: Por como está lafigura en la hoja, sí… […]

En otro intento, los mismos alumnostrataron de hallar la regla detransformación por combinación de dosmovimientos simples, rotación y dilatación.Sin embargo, observaron que dichatransformación no se satisfizo para los dosvectores v

1 y v

2, por lo cual descartaron esa

posibilidad:

[227]Estudiante 4: […] Ahora, si hagolo que tú es… ¿qué rotar?

[228]Estudiante 3: Rotar -90 y

482

multiplicarlo por un escalar, pero ¿qué

escalar?

[229]Figura

[230]Estudiante 4: Mm, fíjate, si diceseso, que es rotar… la transformaciónde v

2.

[231]Estudiante 3: Ah, más o menos, osea, no es exacto igual. ¿Ya lo viste?

[232]Estudiante 4: Sí, esto [refiriéndoseal vector T(v

2)] se ve un poco más

pequeño que éste [vector v2], pero es

un escalar menor que 1, mas para v1

se ve mayor éste [vector T(v1)].

Entonces el escalar tiene que ser mayorque 1… no coinciden con el escalar…¿Ya?… ¿Qué más podemos hacer?…Mm, no veo…

Un pequeño vínculo puede crear un puenteentre los conceptos involucrados dentro de

Exigencia de una regla

Trata de encontrar la regla de latransformación

Sospechan que las imágeneshan sido rotadas 90º


un problema. Nosotros esperábamos queel inciso c) pudiera crear ese puente parallegar al inciso d), mas no fue así.Contemplábamos que el hecho deresolver correctamente el inciso c)permitiría a los estudiantes generalizar

y así hal lar .Fueinteresante observar, respecto a dichovínculo esperado entre el inciso c) y eld), que los estudiantes 3 y 4 no sintieronla necesidad de alguna regla paratrabajar el inciso c); de hecho, en ningunode los tres primeros incisos. Este aspectonos hace pensar que trabajar con un casogeneral –el inciso c)– puede causardificultades que no se observan en casosparticulares, tomando a los incisos a), b)y c).

Los estudiantes 6 (de la bina 6 y 7) y 8(de la bina 7 y 8) se apoyaron en otrasrelaciones, ya que consideraroncombinaciones l ineales en susestrategias y tras algunos intentosllegaron a la solución deseada. Sinembargo, los significados de susconceptos no jugaron el papel adecuadoporque no les permitieron tomar decisionespertinentes y justificar el desarrollo de lasolución, a diferencia de los estudiantes 1y 2, quienes desde el inicio de la Actividad3 trataron el problema considerando unaestructura global, pues partieron del casogeneral, al elaborar una construcción queobedeció al inciso d) y fueron resolviendolos incisos a), b) y c). En cambio, a pesarde que llegaron a la solución esperada,el Estudiante 6 no mostró seguridad ensu planteamiento y el 8 consideró 2vectores arbitrarios, sin percibir unaequivalencia entre ellos (el significado debase para él no estuvo presente).

483

Observemos el s iguiente extracto,correspondiente al Estudiante 8:

[388]Estudiante 8: Entonces, a ver…Hacemos la combinación lineal deeste escalar con este vector y éstecon éste [construye el vector k1v1+k2v2]… Esto lo etiquetamos y esto vaa ser nuestro k

1v

1+ k

2v

2. ¿Está bien?

[389]Estudiante 7: Mj.

[390]Estudiante 8: Ahora, estek1v1+k2v2, s i le apl icamos latransformación, que es esto queestá acá [ señala la expresiónT(k1v1+ k2v2)] nos debe dar esto[indica la expresión k1T(v1)+k2T(v2)],pero nosotros tenemos T(v

1) y T(v

2).

Entonces, sería la suma del productoescalar de éstos [señala en la pantallaa los vectores t(v

1) y t(v

2)], que sería

también la combinación lineal deestos dos vectores [t(v

1) y t(v

2)].

[391]Estudiante 7: Con los escalares.

[392] Estudiante 8: Ajá… [construyeen la pantalla la combinación lineal dek

1, t(v

1), k

2, t(v

2)] y eso es esto [etiqueta

ese vector resultante como t(k1v

1+

k2v

2)].

[393]Figura

T(−1.5r v 1 + 0.8

r v 2) T(

r v )

Su procedimiento está basado en laexpresión analítica k

1T(v

1)+k

2T(v

2) = T (k

1v

1+

k2v

2), lo cual no le permite mirar a v como

combinación lineal de v1 y v

2

Relime

Otro punto importante radicó en laintencionalidad, ya que sin ella lossignificados no desempeñan ningún papel.Quizá eso fue, en parte, el caso delEstudiante 5, en quien se pudieronapreciar planteamientos correctos a lolargo de la entrevista, mas sin reflexionarsobre las estrategias; hizo accionesbasado en hechos memorísticos. Porejemplo, no se percató del error cometidoen el inciso a) de la tercera actividad,cuando el Estudiante 6 dio una soluciónen la que se notó que buscabarepresentar geométricamente la expresión

medianteconstrucciones en Cabri. Es decir,tomando los datos que tenían, por un ladoconstruyó ; por otro, elaboró unvector (al que le llamaremos 10) comocombinación lineal de los vectores y

y

los escalares de las rectas numéricas

T (r v 1 +

r v 2) = T (

r v 1) + T (

r v 2)

[…]

[404]Estudiante 8: […] Si hacemoscoincidir este vector v, arbitrario coneste vector [ apunta al vector k1v1+k2v2],entonces la imagen bajo latransformación de este vector [v] va aser ésta [ señala al vector t(k1v1+k2v2)].El vector que esté acá, ya cuandohagamos variar esto y sean otrosvectores, si volvemos a hacer coincidiracá [apunta al vector v], entonces laimagen que aparezca debe coincidir conla imagen de esta… sería latransformación.

Aquí podemos notar que él considera al vectorv construido con la herramienta Vector comoel vector arbitrario y al vector k

1v

1+ k

2v

2 como

un vector particular

484

Quizá para el Estudiante 8 noes claro el concepto de base;

de que cualquier vectorpuede escribirse como unacombinación lineal de los

vectores de una base

Esta combinación lineal la efectúaporque se basa en la relación

T(k1v

1+ k

2v

2)=k

1T(v

1)+k

2T(v

2)

El Estudiante 6 está haciendo construcciones en la pantalla, de modo que el vector resultante de la combinación

lineal de los vectores y y los escalares de las rectas numéricas (o sea, ) no es etiquetado. Por tal motivo,

decidimos denotar al dicho vector como .

10

T(r v 1 +

r v 2)

r v

r v 1

r v 2

k1

r v 1 + k2

r v 2

r v 1

r v 2

r v

En realidad estevector ya es T(v)


Aquí es donde se observa que su intenciónfue verificar geométricamente la expresiónT(v

1+v

2)=T(v

1)+T(v

2); sin embargo, el vector

que él etiqueta como T(v1+v

2) es un vector de

la forma k1v

1+k

2v

2 (son manifestaciones del

obstáculo de formalismo)

485

y movió los escalares, de talforma que ese vector v coincidiera con elvector suma . Así, él cree queha construido el vector , cuandoen realidad ha hechoequivalente a para algún .El siguiente extracto muestra lo que hemosseñalado en este párrafo:

[248]Estudiante 6: ¿T de v1 más v

2?...

transformación… o sea…

[249]Estudiante 5: La transformación dev

1 más v

2

[250]Estudiante 6: Hago la suma deestos dos [ señala T(v1) y T(v2)] y a verdónde cae, entonces despuésconstruimos la suma de estos dos[v1 y v2].

[251]Estudiante 5: Mj

[252]Estudiante 6: Como combinaciónlineal de estos [parece indicar con elcursor a T(v

1) y T(v

2)] y luego los

movemos.

[253]Estudiante 5: Mj, ok.[254]Estudiante 6: ¿Estás de acuerdo?

[255]Estudiante 5: A ver, pérate,pérate…

[256]Estudiante 6: ¿Estás de acuerdo?Sino, ahorita lo deshacemos.

[257]Estudiante 5: No, sí, sí…

[258]Estudiante 6: Adición de vectores[suma T(v

1) con T(v

2)].

(r v = k1

r v 1 + k2

r v 2)

T(r v 1) + T(

r v 2)

T(r v 1 +

r v 2)

r v = k1

r v 1 + k2

r v 2

T(r v 1) + T(

r v 2) k1,k2

En este párrafo describe elprocedimiento a seguir

[259] Estudiante 6: Ahora,combinación lineal [ realiza lacombinación lineal de los vectoresv1 y v2, utilizando los escalares quetiene en la pantalla y los mueve paraque el vector resultante de dichacombinación coincida con el vectorsuma T(v1)+T(v2). Lo etiqueta comoT(v1+v2)].

[260]Figuras

Relime486

7.1. Manifestaciones del obstáculo deformalismo

El obstáculo de formalismo fue estudiadopor Dorier, et al. (1997) y Sierpinska (2000)en un contexto algebraico, al observar quelos estudiantes manipulaban símbolos ynotaciones, pero ignoraban los significadoso las reglas de las matemáticas.

Nuestra investigación se situó en uncontexto geométrico, por lo que la

manipulación no siempre fue de símbolos,sino también de objetos concretos, comolos vectores y las construccionesgeométricas involucradas con ellos. Porello, cuando conjeturamos que el obstáculode formalismo podía hacerse presente, noconsideramos de qué manera semanifestaría y hasta cierto puntopensamos que había poca probabilidad deque ocurriera; sin embargo, se hizopresente en los alumnos 6 y 7. El Estudiante6, en el inciso a) de la tercera actividad,intentó verificar geométricamente la igualdad

; con los datos delproblema pudo construir el vector suma

, pero no el vector .Entonces, construyó un vector con loselementos disponibles y lo denotó como

.

En el caso del Estudiante 7 se notaronmuchas manifestaciones del obstáculode formalismo. Aunque había en él unanecesidad de hacer, sus planteamientoscarecieron de sentido, pues intentóadecuar ejemplos de sus experienciaspasadas a las situaciones que teníaenfrente, cayendo en una serie de pasosilógicos. Si bien dichos pasos no fueronapreciados en su total idad por laintervención de su compañero –elEstudiante 8–, se pudo observar en susparticipaciones acciones sin sentido. Porejemplo, en las primeras dos actividades,aun cuando el Estudiante 8 habíaveri f icado las propiedades quesatisfacían una transformación lineal,insistió en verificar otras condiciones(que cal i f icó como col ineal idad,paralelismo y suma). En el inciso b) dela tercera actividad construyó el vector , pero no supo qué hacer con él,mientras que en el inciso d), para hallar, hizo una construcción que eracompletamente ajena a las condicionesdel problema.

T(r v 1 +

r v 2) T(

r v 1) + T(

r v 2)

T(r v 1 +

r v 2) = T(

r v 1) + T(

r v 2)

T(r v 1 +

r v 2)

kr v 1

T(r v )

Se puede apreciar cómomueve el vector T(v

2+v

1)

para hacerlo coincidir conel vector T(v

1)+T(v

2) y así

dar fin a la solución


estudiantes a pensar teóricamente y a hacerconexiones entre diferentes conceptos?Responderla no es tan sencillo, pero nosinvita a reflexionar porque tiene muchasimplicaciones en la enseñanza.

Consideramos que dos ingredientes nospermiten llevar a cabo conexiones entre losconceptos: su abstracción y la prácticaconstante de problemas nuevos. Poner enmarcha el segundo elemento quizá no seadifícil de realizar, mas realizar actividades quegaranticen la abstracción de los conceptosno es una labor fácil. Ahora bien, el carácterformal de los conceptos siempre debe estarpresente durante el proceso de enseñanza-aprendizaje y quizá como punto de partida.El empleo de un buen método de enseñanzaque evite empezar con el aspecto formaltiene que cuidar de no dar lugar a que losconceptos sean apreciados sólo por suscaracterísticas o carácter funcional.

Para Steinbring (1991), el conocimientomatemático no puede ser reducido a lareproducción exitosa de algoritmos. Esnecesario hacer frente a las dificultadesconceptuales que los estudiantes puedanmanifestar, en vez de trazarles un caminoplano con la mejor de las intenciones, usandosimplificaciones metódicas. Tal reflexión esmuy pertinente en áreas como el álgebralineal, cuya naturaleza compleja hace quese recurra a estrategias de simplificación.

Otra cuestión importante, de acuerdo conSteinbring (1991), es que la visiónepistemológica de estudiantes y profesoresante un mismo conocimiento matemáticosuele ser diferente. La postura de profesoresy estudiantes sobre el conocimiento no es lamisma: el estudiante por lo general seencuentra en una etapa anterior alconocimiento, por lo cual siempre está enun estado de revolución, mientras que elprofesor es como un científico de lamatemática escolar cuyo conocimiento está

Aplicó una transformación de proyección

[294]Estudiante 7: Lo que nos estánpidiendo es su trasformación.entonces, si yo aquí tengo una recta[empieza a hacer nuevamente trazos,reproduciendo la figura de la línea 291;dibuja una recta horizontal, a la que lellamaremos L

1], trazo la perpendicular

de esta recta [L2] y la paralela de estarecta [dibuja una tercera recta, L3]. Sesupone, bueno, si esta es una recta, laperpendicular es igual, se supone queesta es su transformación [señala elvector que se encuentra sobre la recta L2]…de este vector [refiriéndose al otro vector,que no se encuentra en la recta L2]

[295] Figura

[296]Estudiante 8: ¿Transformación?

[297]Estudiante 7:¿No es esto lo queestoy buscando? [repinta el vectorque se encuentra sobre la rectaperpendicular]

[298]Estudiante 8: ...Mm no sé… yo no…

[299]Estudiante 7: ¿No?… Es queestán pidiendo la transformación deun vector v, nada más.

8. Conclusiones

Los resultados nos llevan a plantear lasiguiente pregunta: ¿cómo ayudar a los

Relime488

hecho. Ello conduce a tomar en cuenta queprofesores y estudiantes son, ante todo,individuos diferentes que tienen sus propioscontextos, sus propios significados y suspropias actividades.

Es fundamental para el aprendizaje que sepueda reducir la distancia entre elconocimiento del profesor y el del estudiante(Steinbring, 1991) porque ambos tendríanuna misma visión epistemológica para elconocimiento. Sin embargo, consideramosque el conocimiento del profesor puedetambién mostrar ciertas deficiencias quepueden afectar el aprendizaje de losestudiantes.

Además, cuando se recurre a aspectosintuitivos y analíticos de los conceptos hayque buscar un equilibrio entre ambos, a finde lograr una apropiación adecuada de lossignificados que están involucrados. Tal vezdicho equilibrio haya estado presente en losestudiantes 1 y 2; es posible que en suscursos anteriores su ambiente deaprendizaje fue más algebraico y el nuestrocomplementó aspectos geométricos que nohabían apreciado, provocando así unequilibrio.

Enfatizamos la importancia de considerardentro de la enseñanza problemasnovedosos que permitan a los estudiantesponer en juego su conocimiento adquirido,donde diferentes conceptos debanvincularse para una solución adecuada.También opinamos que, si los estudiantesreciben una experiencia en la que no seanestrictamente dependientes del profesor enel proceso de enseñanza-aprendizaje y seles conduzca a generar su propioconocimiento, podría ayudarles a desarrollarlas conexiones para solucionar losproblemas que las requieran.

La motivación de un pensamiento teórico enlos estudiantes debe ser un tema que

preocupe a profesores e investigadores,sobre todo en las ramas de las matemáticascomo la de álgebra lineal, donde el estudiode muchos conceptos abstractos da lugar asu algoritmización para un manejo más fácilpor parte de profesores y estudiantes. Cabemencionar que habría que marcar unadiferencia respecto a establecer conexionesentre conceptos particulares y el desarrollode un pensamiento conectivo que permitiríatener elementos para aplicar en cualquiercaso. Por tanto, enfatizamos un modo depensamiento y no la resolución correcta decualquier problema.

En una futura investigación, dentro delpensamiento teórico podría contemplarse elestablecimiento de una subcategoría delpensamiento sistémico, llamándolapensamiento conectivo, para darnoscuenta de la presencia o ausencia devínculos entre los conceptos que manejanlos estudiantes.

Podríamos sugerir que la enseñanza delálgebra lineal debe contemplar estrategiasque permitan combinar aspectos intuitivos yanalíticos de los conceptos, cuidando elaspecto formal y organizando el contenidode tal manera que los conceptos previoslleven a la adquisición de los posteriores. Enparticular, en el aprendizaje del concepto detransformaciones lineales es importantehacer hincapié, por un lado, en el aspectointuitivo, considerando el aspecto geométricode sus propiedades; por otro, atender elaspecto formal, incluyendo el uso de loscuantificadores y el espacio vectorial en sudefinición. Asimismo, hay que incluir mássituaciones del tipo problema de extensiónlineal para ayudar a los estudiantes a hacerconexiones con otros conceptos del álgebralineal, de manera que puedan apreciar unaestructura global.

Tal vez no sea una tarea fácil ayudar a losestudiantes a que construyan conexiones


entre conceptos matemáticos. Sin embargo,empezar a realizar actividades con esepropósito puede ayudar al desarrollo de

9. Bibliografía

Asiala, M., Brown, A., DeVries, D., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). Aframework for research and curriculum development in undergraduate mathematicseducation. En Kaput, A. H. Schoenfeld & E, Dubinsky (Eds.), Research in collegiatemathematics education (pp. 1-32). Providence, RI: American Mathematical Society.

Dorier, J-L. (1997). Exemples d’interaction entre recherches en didactique et en histoiredes mathématiques à propos de l’enseignement de l’algèbre linéaire. Fascicule deDidactique des Mathématiques et de l’EIAO (pp. 53-74). Rennes, France : IREM deRennes.

Dorier, J-L., Robert, A., Robinet, J. et Rogalski, M. (1997). L’algèbre linéaire: l’obstacledu formalisme à travers diverses recherches de 1987 a 1995. En J-L. Dorier (Ed.),L’enseignement de l’algèbre linéaire en question (pp. 105-147). Grenoble, France : LaPensée Sauvage Editions.

Dreyfus, T., Hillel, J. & Sierpinska, A. (1998). Cabri-based linear algebra: transformations.Artículo presentado en CERME-1 (First Conference on European Research inMathematics Education, Osnabrück). Obtenido de http://www.fmd.uni-osnabrueck.de/ebooks/erme/cerme1-proceedings/papers/g2-dreyfus-et-al.pdf.

Haddad, M. (1999). Difficulties in the learning and teaching of linear algebra. A personalexperience. Tesis de maestría, Concordia University, Montreal, Canadá.

Molina, G. (2004). Las concepciones que los estudiantes tienen sobre la transformaciónlineal en contexto geométrico. Tesis de maestría, Cinvestav, México.

Resnick, L. B. (1987). Education and learning to think. USA: Washington, DC: NationalAcademy Press.

Robert, A. y Robinet, J. (1989). Quelques résultats sur l’apprentissage de l’algèbre linéaireen première année de DEUG. Paris, France: IREM de Paris VII, Cahier de Didactiquedes Mathématiques 53.

Rogalski, M. (1990). Pourquoi un tel échec de lénseignement de l’algèbre linéaire? InEnseigner autrement les mathématiques en DEUG Première Année (pp. 279-291). Paris,France: Commission Inter-IREM Université.

Sierpinska, A. (2000). On some aspects of students thinking in linear algebra. En J-L.Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra (pp. 209-246). Dortrecht/Boston/London:Kluwer Academic Publishers.

metodologías que permitan precisarestrategias tendientes a lograr esasconexiones.

Relime490

Sierpinska, A., Dreyfus, T. & Hillel, J. (1999). Evaluation of a teaching design in linearalgebra: the case of linear transformations. Recherches en Didactique des Mathématiques19 (1), 7-40.

Sierpinska, A., Hillel, J. & Dreyfus, T. (1998). Evaluation of a teaching design in linearalgebra: the case of vectors (Technical Report). Montreal, Canada: Concordia University.

Sierpinska, A., Nnadozie, A. & Oktaç, A. (2002). A study of relationships betweentheoretical thinking and high achievement in linear algebra (Research Report). Montreal,Canadá: Concordia University.

Soto, J. L. (2003). Un estudio sobre las dificultades para la conversión gráfico-algebraicarelacionadas con los conceptos básicos de la teoría de espacios vectoriales en R2 y R3.Tesis de doctorado, Cinvestav, México.

Steinbring, H. (1991). Mathematics in teaching processes. The disparity between teacherand student knowledge. Recherches en Didactique des Mathématiques 11 (1), 65-108.

Trgalová, J. et Hillel, J. (1998). Une ingénierie didactique à propos de notios de base del’algèbre linéaire intégrant l’outil informatique : Cabri-Géomètre II. In Actes du Colloque duGroupe de Didactique des Mathématiques du Québec (pp. 138-149). Montreal, Canada.

Vigotsky, L. S. (1987). The collected works of L. S. Vigotsky (Vol. 1, Problems of GeneralPsichology. Including the volume Thinking and Speech). New York & London: Plenum Press.

Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. InternationalJournal of Mathematics Education in Science and Technology 14, 239-305.

Zazkis, R. (2001). Múltiplos, divisores y factores: explorando la red de conexiones de losestudiantes. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 4 (1), 63-92.

Rocío UicabFacultad de MatemáticasUniversidad Autónoma de YucatánMéxico

E-mail: [email protected]

Asuman OktaçCinvestav-IPNMéxico

E-mail: [email protected]

Transformaciones lineales en un ambiente de ... - · PDF fileTransformaciones lineales en un...

Documents

Transcript of Transformaciones lineales en un ambiente de ... - · PDF fileTransformaciones lineales en un...