Transformada de Fourier Dada una funci on f x) una funcion ... · Transformada de Fourier Dada una...
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Transformada de Fourier Dada una funci´ on f (x ) una funci´ on, no necesariamente peri´ odica, tal que Z ∞ -∞ |f (x )| dx < ∞ entonces la transformada de Fourier de f (x ) se define como ˆ f (ω)= F (ω)= F {f (x )} = Z ∞ -∞ f (x ) e -ω i x dx La transformada inversa de Fourier de F (ω) se define como f (x )= F -1 {F (ω)} = 1 2 π Z ∞ -∞ F (ω) e +i x ω d ω En el contexto de las se˜ nales se usa el s´ ımbolo j en lugar de i y se usa como variable independiente t .
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Transformada de FourierDada una funcion f (x) una funcion, no necesariamenteperiodica, tal que ∫ ∞
−∞|f (x)| dx <∞
entonces la transformada de Fourier de f (x) se define como
f (ω) = F (ω) = F {f (x)} =
∫ ∞−∞
f (x) e−ω i xdx
La transformada inversa de Fourier de F (ω) se define como
f (x) = F−1 {F (ω)} =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω) e+i x ωdω
En el contexto de las senales se usa el sımbolo j en lugar de i yse usa como variable independiente t.
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:
Pτ (x) = f (x) =
0 para −∞ < x < −1
2τ1 para −1
2τ < x < 12τ
0 para 12τ < x < ∞
−τ/2 τ/2
1
F {f (x)} =∫∞−∞ f (x) e−ω i x dx
=∫ τ/2−τ/2 e
−ω i x dx = − 1ω i
[e−ω i x
]x=τ/2x=−τ/2
= − 1ω i
[e−ω i τ/2 − eω i τ/2
]= − 1
ω i [(cos(ω τ/2)− sen(ω τ/2) i)−(cos(ω τ/2) + sen(ω τ/2) i)]
= 2sen( 1
2τ ω)
ω
EJERCICIO 1
Propiedad de LinealidadSi f (x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entoncestambien c1 f (x) + c2 g(x) la admite y
F {c1 f (x) + c2 g(x)} = c1 F {f (x)}+ c2 F {g(x)}
F−1{c1 f (ω) + c2 g(ω)
}= c1 f (x) + c2 g(x)
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:
f (x) =
0 para −∞ < x < −1
2τb para −1
2τ < x < 12τ
0 para 12τ < x < ∞
F {f (x)} = F {b Pτ (x)}= bF {Pτ (x)}= b 2
sen( 12τ ω)
ω
= 2 bsen( 1
2τ ω)
ω
EJERCICIO 2
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta deDirac):
Pensamos que la funcion δ(x)es el lımite de funciones pulsode ancho τ y con altura 1/τ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.
δ(x) = limτ→0
1
τPτ (x)
−2 21/4
−1 1
1/2
−1/2 1/2
1
−1/4 1/4
2
−1/8 1/8
4
F {δ(x)} = limτ→0 F{1τ Pτ (x)
}= limτ→0
(1τ 2
sen( 12τ ω)
ω
)= limτ→0
sen( 12τ ω)
12τ ω
= 1
EJERCICIO 3
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) e−a x :
f (x)
f (ω) =
∫ ∞0
e−a x e−ω x i dx
=
∫ ∞0
e−(a+ω i) x dx
= limN→∞
(− 1
a + ω i
[e−(a+ω i) x
]x=N
x=0
)= − 1
a + ω ilim
N→∞
(e−(a+ω i)N − 1
)= − 1
a + ω ilim
N→∞
(e−aN (cos(ωN)− sen(ωN) i)− 1
)= 1
a+ω i = aa2+ω2 − ω
a2+ω2 i
EJERCICIO 4
MatematicasAvanzadas
paraIngenierıa:
Transformadade Fourier
Departamentode
Matematicas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslacion x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslacion ω
Derivacion x
Derivacion ω
Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e−a |x |:
f (x)
f (x)
F (ω) = f (ω) =2 a
a2 + ω2
EJERCICIO 5
Traslacion en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier xo tambien f (x − xo) la admite y
F {f (x − xo)} = e−iω xoF {f (x)} = e−iω xo f (ω)
F−1{e−iω xo f (ω)
}= f (x − xo)
Calcule la transformada de Fourier de g(x):
g(x) =
{0 para t < 3 y t > 76 para 3 ≤ x < 7
3 7
6
5
4
Observamos que g(x) = 6P4(x − 5), y por tanto
g(ω) = F {6P4(x − 5)} = 6 e−iω 5 F {P4(x)}
=(6 e−iω 5
) (2
sen( 124ω)
ω
)= 12 e−5ω i · sen(2ω)
ω
EJERCICIO 6
Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):
G (ω) =e2 iω
5 + iω
F−1 {G (ω)} = F−1{
e2 iω
5+iω
}= F−1
{e−iω (−2) · 1
5+iω
}= F−1
{1
5+iω
}x=x−(−2)
=[u(x) e−5 x
]x=x+2
= u(x + 2) e−5 (x+2)
EJERCICIO 7
Escalamiento en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier a 6= 0 tambien f (a x) la admite y
F {f (a x)} =1
|a|F {f (x)}ω=ω/a =
1
|a|f(ωa
)
F−1{f(ωa
)}= |a| f (a x)
Otra propiedad: Simetrıa
F{f (x)
}= 2π f (−ω)
Calcule las transformadas de Fourier de:
f (x) =
{1− |x | para − 1 ≤ x ≤ 10 otro caso
g(x) =
{1− |7 x | para − 1/7 ≤ x ≤ 1/70 otro caso
−1 1−1/7 1/7
1
De la definicion de la transformada de Fourier:
f (ω) = 2−2cos(ω)ω2
g(ω) =14−14cos( 1
7ω)
ω2
observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg(ω) = 1
7 f (17 ω).
EJERCICIO 8
Traslacion en frecuenciaSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier ωo tambien e iωo x f (x) la admite y
F{e iωo x f (x)
}= F {f (x)}ω=ω−ωo
= f (ω − ωo)
Su version la la transformada de Fourier inversa queda:
F−1{f (ω − ωo)
}= e iωo x f (x)
ConvolucionSean f (x) y g(x) funciones definidas en la recta real quecumplen:
1
∫ b
af (x) dx y
∫ b
ag(x) dx existen para todo intervalo [a, b].
2 Para todo x ∫ ∞−∞|f (y) g(x − y)| dy
converge.
En este caso la convolucion f ∗ g de f (x) con g(x) se definecomo la funcion
(f ∗ g)(x) =
∫ ∞−∞
f (y) g(x − y) dy
Observando que para senales f (x) y g(x) que son cero parax < 0:
(f ∗ g)(x) =
∫ ∞−∞
f (y) g(x − y) dy =
∫ x
0f (y) g(x − y) dx
Para senales que en el par no son cero calcule
e−a |x | ∗ u(x)
e−a |x | ∗ e−b |x |e−a |x | ∗ sen(b x)
EJERCICIO 9
Convolucion en el tiempoSean f (x) y g(x) funciones que admiten transformada deFourier y sean f (ω) y g(ω) sus transformadas de Fourier.Entonces
F {(f ∗ g)(x)} = f (ω) · g(ω)
Es decir, la transformada de la convolucion entre dos funcioneses el producto de las transformadas de ambas funciones. Estaformula en su version para la transformada inversa queda:
F−1{f (ω) · g(ω)
}= (f ∗ g)(x)
Calcule:
F−1{
1
(4 + ω2) (9 + ω2)
}EJERCICIO 10
