Transformada de laplace

INTRODUCCIÓN: La solución y modelamiento de muchos de los problemas y fenómenos

físicos se realiza utilizando la poderosa herramienta del cálculo. Describimos los fenó-

menos usando ecuaciones diferenciales y usamos métodos de resolución de estos para

encontrar una función que describa al fenómeno. La transformada de Laplace es en cier-

ta forma un método algebraico y operativo que permite resolver de manera sencilla

ecuaciones diferenciales sin utilizar directamente el cálculo.

PIERRE SIMÓN DE LAPLACE:

Matemático francés nacido el 23 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, hijo de cam-

pesinos franceses hizo aportes importantes a la mecánica, física y matemática.

Aunque el método para operar con la transformada de Laplace existía aún antes de que

él intentase dar un fundamento matemático consistente debe su nombre al hecho de

que formuló y explicó algo que empíricamente se usaba sin tener explicación por inge-

nieros y científicos que dada la sencillez preferían este método al cálculo.

EL ESPACIO DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE:

La transformada de Laplace trabaja con funciones que tienen un dominio determinado

(puede ser muchas veces el tiempo) y las lleva al espacio de Laplace en el cual tenemos

funciones que dependen de una variable independiente conocida como “s”, resuelve el

problema algebraicamente y después entrega como respuesta una función expresada en

función del dominio original.

I. DEFINICIÓN: Tenemos una función “F(t)” definida para toda t≥0, la transformada de

Laplace se define como:

En esta integral se observa un factor exponencial elevado a una cantidad negativa, lo

cual nos da una idea de que esta exponencial actuara como un amortiguador cuando

sea multiplicado por la función que deseamos transformar impidiéndole a la función

“crecer mucho” y con ello no tender a un valor concreto (no poder ser integrado).

II. LINEALIDAD DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE:

La transformada de Laplace “hereda” de la integral de la cual es definida la propiedad

de linealidad, la cual se demuestra en el cuadro inferior:

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

“Todos los efectos de la naturaleza son tan sólo las consecuencias matemáticas de un pequeño núme-

ro de leyes inmutables” Pierre-Simón de Laplace

CARLOS ALBERTO LEÓN CHACÓN 2014

III. TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES USUALES:

A continuación haremos una evaluación de la transformada de Laplace de la función

unitaria, la función seno, coseno, exponencial, seno hiperbólico, coseno hiperbólico

entre otros.

1)TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 1:

2)TRANFORMADA DE LAPLACE DE LA EXPONENCIAL:

3)TRANFORMADA DE LAPLACE DEL SENO:

Podemos hallar esta transformada por dos formas: usando la definición de la expo-

nencial según la ecuación de Euler o usando doble integración. Emplearemos la pri-

mera propuesta.

La ecuación de Euler nos da el equivalente de la exponencial en senos y cosenos:

Usando la transformada de Laplace de la exponencial obtenemos que:

El paso siguiente es aplicar para esta misma transformada la definición de la trans-

formada de Laplace.


“Lo que sabemos no es mucho; lo que ignoramos es inmenso”

Pierre-Simón de Laplace


Por la propiedad de linealidad:

Si observamos los términos veremos que son dos transformadas de Laplace.

En la ecuación de arriba sustituimos el término de la derecha por su transformada

la cual expresaremos en una forma conveniente para nuestros cálculos:

Igualamos las variables reales con las reales y las imaginarias con las imaginarias:

Empleando la definición y la integración por partes:

Empezaremos escribiendo la definición de la transformada:


“La naturaleza se ríe de las dificultades de la integración”



La integral del coseno se desarrollará por separado:

Después reemplazamos los resultados encontrados en la ecuación principal.

4)TRANSFORMADA DE LAPLACE DEL COSENO:

Dado que en el ítem 3 se calcularon tanto las transformadas de coseno y seno no se

repetirá lo que ya se demostró y solo se hará el análisis de integración por partes.

Empezaremos por la definición y se integrará por partes:

La integral del seno la resolvemos aparte:

“En el fondo , la teoría de las probabilidades es solo sentido común expresado en números”




Reemplazando los resultados en la ecuación principal encontraremos que:

5)TRANSFORMADA DE LAPLACE DEL COSENO HIPERBÓLICO:

Se sabe por definición que:

Entonces:

6)TRANSFORMADA DE LAPLACE DEL SENO HIPERBÓLICO:

Por definición:

Entonces se tiene:

7)TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA:

De la definición de la transformada de Laplace se tiene que:

Hacemos la integración por partes y obtenemos:

8)TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA SEGUNDA:

Recurrimos de nuevo a la definición de la transformada de Laplace:

“Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestro de todos nosotros. ”




Hacemos una integración por partes y reemplazamos del ítem anterior:

9)Transformada de Laplace de t a la n:

Asumimos la función:

Del ítem 7 se tiene que:

Reemplazando:

Despejando:

La expresión anterior es poco práctica así que reemplazando por n=1,2,3,… encontrare-

mos una más conveniente:

10)Otras propiedades:

Desplazamiento: Multiplicando un exponencial a la función F se la “desplaza”

Derivación: Si derivamos y aplicamos la regla de Leibniz:

Así:

“«¡Lo último que esperábamos de usted, general, es una lección de geometría!» ”




11)FUNCIONES ESPECIALES:

Función de HEAVISIDE (salto unitario): Se define como

Presente en los sistemas de encendido y apagado

de los circuitos eléctricos , su gráfica es la que

aparece al lado izquierdo.

Su transformada de Laplace se calcula a continua-

ción:

Función Gamma: Anteriormente se vio que:

Hacemos un cambio de variable

Definimos:

Para calcular la función Gamma con “n” naturales:

El Gamma de un medio es accesible para calcular, se hace de la siguiente forma:

“Leed a Euler, leed a Euler, él es el maestro de todos nosotros. ”




Si analizamos los diferenciales de las

coordenadas rectangulares y los cam-

biamos por polares considerando se

trabaja con solo un cuadrante

Función delta de DIRAC:

Esta función tiene gran relación con las fuerzas y por ello empezaremos revisando la se-

gunda ley de Newton hasta llegar a la definición de la delta.

Ahora si observamos la integral de la derecha vemos que es el producto de la fuerza por

el tiempo, esto es el impulso que es igual al cambio del momentum.

El impulso puede ser representado gráficamente como una función dependiente del

tiempo, imaginemos una fuerza que tiende a crecer y un intervalo de tiempo que se ha-

ce cada vez más pequeño tal que:

Ahora bien, la integral podría abarcar toda la recta (todo el tiempo) y la función vendría

a ser especial de tal forma que se cumpla que:

«El hombre sólo persigue quimeras»




Esta función especial es la delta de DIRAC, la cual es muy

útil al trabajar con funciones impulso. Por ser especial se le

da la siguiente notación:

Gráficamente:

RESUMEN:

PASOS PARA USAR LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN UN PROBLEMA

Para hacer uso de la Transformada de Laplace es aconsejable una secuencia ordenada

de pasos, la cual explicaré haciendo uso de un ejemplo, los pasos son como sigue:

Lea bien el problema y elabore un modelo matemático que aproxime la realidad fí-

sica.

“El cuerpo de masa M que está sobre una superficie lisa está unido a un resorte

y un amortiguador como se muestra”

Si es un problema de dinámica puede empezar haciendo el diagrama de cuerpo li-

bre de la partícula indicando las fuerzas que actúan sobre esta. Si es de electricidad

puede ayudarse en los cálculos con las leyes de nodos y de Kirchhoff. En cualquier

rama de la física existen modelos y leyes propuestas para cada tipo de fenómeno.

Identifique las variables de entrada (estímulo) y salida (respuesta) y las constantes

que participen en la ecuación, para este caso el estimulo es la fuerza y la respuesta

el desplazamiento.

«Las preguntas más importantes de la vida, de hecho, no son en su mayoría más que problemas de

probabilidad» Pierre-Simón de Laplace



Escriba la ecuación obtenida gracias a los modelos matemáticos y leyes físicas.

Del diagrama de cuerpo libre:

Expresada mejor como:

Aplique la transformada de Laplace, considerando las condiciones iniciales.

En nuestro caso tenemos que la velocidad es cero porque las oscilaciones empie-

zan desde el reposo, la posición la consideramos cero también fijando en ese pun-

to nuestro eje coordenado. Entonces después de haber fijado las C.I queda:

Usando el álgebra despeje las variables obteniendo al fin la función de transferen-

cia.

Use la transformada inversa y halle la función que describa el fenómeno.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

PROBLEMA 1.1: Se tiene el siguiente circuito eléctrico que consta de una bobina L, una

resistencia R, una fuente de voltaje E (corriente continua) y un capacitor C tal como se

muestra en el diagrama, hallar la carga y la corriente en función del tiempo si los datos

del circuito son:

L=2 Henrios, C=0.005 Faradios, R=50 Ohmios, E=40 Voltios (C.C) cte.

Solución:

Primero hacemos el modelamiento físico:

De la ley de Kirchhoff:

Con:

“Todos los efectos de la naturaleza son tan sólo las consecuencias matemáticas de un pequeño núme-

ro de leyes inmutables” Pierre-Simón de Laplace



Considerando la condición inicial:

Que indica que al iniciar la carga y la intensidad

de corriente son cero.

"Je n'ai pas eu besoin de cette hypothèse." (Yo no tuve necesidad de tal hipótesis)




PROBLEMA 1.2: Dado el sistema hallar la función de transferencia tomando como estí-

mulo al desplazamiento de la primera masa y como respuesta al desplazamiento de la

segunda.

Solución:

Siguiendo las pautas dadas en el Resumen de Pasos empezaremos haciendo el dia-

grama de cuerpo libre de cada masa.

Ahora se escribe la ecuación física haciendo uso de la segunda ley de Newton.

Expresando de en función del desplazamiento:

Agrupando:

«Es la India la que nos ha dado el ingenioso método de expresar los números con símbolos, cada uno con un valor y una posi-

ción; una idea tan importante y profunda nos parece tan simple que ignoramos su mérito» Pierre-Simón de Laplace



http://es.wikiquote.org/wiki/India

http://es.wikiquote.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikiquote.org/w/index.php?title=S%C3%ADmbolo&action=edit&redlink=1

http://es.wikiquote.org/wiki/Idea

Usando sistema de ecuaciones:

"Il est facile de voir que ..." (Por lo tanto es obvio que...)




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