LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

INTRODUCCION

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difciles en los problemas simples de la lgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fcilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.Es un procedimiento desarrollado por el matemtico y astrnomo francs Pierre Simn Marques de Laplace (1749 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una funcin de la variable compleja s. Las caractersticas fundamentales de la transformada de Laplace son:

Es un mtodo operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S. Sirve para reemplazar operaciones como derivacin e integracin, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

Este mtodo permite usar tcnicas grficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ()

El Mtodo de la transformada de Laplace es un mtodo operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciacin y la integracin, por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Definimos:

f(t) = una funcin de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la funcin [f(t)] = F(s), definida por la integral. s = una variable compleja. El parmetro s se considerar real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo. L = un smbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace F(s) = transformada de Laplace de f(t)

La transformada de Laplace de una funcin f(t) existe si la integral de Laplace converge. La integral ha de converger si f(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito dentro del rango t > 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.

Se dice que una funcin es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo de infinito N

| e yt F(t) | < M o | F(t) | < M e yt se dice que F(t) es una funcin de orden exponencial y cuanto t ( infinito, o simplemente, que es una funcin de orden exponencial.

Ejemplo 1. F(t) = t2 es de orden exponencial 3 (por ejemplo) ya que | t2 | = t2 < e3t para todo t > 0.

Ejemplo 2. F(t) = et2 (al cuadrado) no es de orden exponencial puesto que [e -yt et3 (al cubo) ] = et2 yt puede hacerse ms grande que cualquier constante al hacer crecer t.

Si F(t) seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 y. Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:

1. Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)

2. Multiplicacin por una constante

Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L { kf(t)} = kF(s)

3. Diferenciacin

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el lmite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L { df(t)/dt} = sF(s) - lm f(t) = sF(s) - f(0)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t):

L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).

4. Teorema del Valor Inicial

Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Lm f(t) = Lm s F(s)

si el lmite existe.

FORMULAS

_____________________|____________________________

; s>a

; s>0

; s>0

; s>0

; s>0

; s>a

; s>a

;

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image653.gif" \* MERGEFORMATINET

Ejemplo 1: Obtener la transformada de Laplace de

;para s>a. Resultado. Ejemplo 2: Obtener la transformada de Laplace de f (t)= t.

aplicando la integracin por partes:

L{t} = Resultado.

Y en general : L{ } = Obtener la transformada de Laplace de Sen at.

Paso 1.- ; resolviendo la integral por partes:Paso 2.- Paso 3.- Paso 4.- ; Integrando por partes:Paso 5.- u= Cos at ; du= -a Sen at dt ; Paso 6.- Paso 7.- Paso 8.- Paso 9.- Resultado.

PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Para hablar de transformacin lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar.

Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ) [so, ). Tambin es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la interseccin de los dominios de F y G. Se considerarn adems como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, ).

Entonces es aplicacin del espacio vectorial A en l. Teorema Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces

L {c1F1(t) + c2F2(t)} = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} = c1f1(s) c2f2(s) Ejemplo1. L{4t2 3 cos2t + 5e-t} = 4L(t2} 3L{cos2t} + 5L{e-t} = 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1

s3 s2 + 4 s + 1 = 8 - 3s + 5

s3 s2 + 4 s + 1 Ejemplo 2. L{4e5t + 6t3 3sen4t + 2cos2t} = 4L{e5t } + 6L{t3 } 3L{sen4t} + 2L{cos2t} = = 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2___ s 5 s3 s2 + 16 s2 + 4 = 4_ + 36 - _12 + __2s__

s - 5 s2 s2 + 16 s2 + 4

donde s > 5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Definicin. Si la transformada de Laplace de una funcin F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada inversa de Laplace. Como la transformada de Laplace de una funcin nula N(t) es cero, es claro que si L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) + N(t)| = f(s). De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.

Para demostrar algunos aspectos, tomemos el siguiente ejemplo, en el cual dos funciones diferentes F1 (t) = e-3t y F2(t) = 0 t =1

e-3t de otra manera

tienen la misma transformada de Laplace, es decir 1/(s + 3),

Si la consideramos las funciones nulas, vemos que la transformada inversa de Laplace es nica. Sin embargo, es nica en cada intervalo 0c , entonces L { } existe para s>a+c :

La traslacin de S de la transformada corresponde a la multiplicacin de la funcin original de t por En forma semejante: L { F(s-a) }= haciendo SAplicando ste teorema en las transformadas obtenidas anteriormente:

Como

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image608.gif" \* MERGEFORMATINET entonces

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image610.gif" \* MERGEFORMATINET

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image612.gif" \* MERGEFORMATINET Como entonces

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image617.gif" \* MERGEFORMATINET Como ; entonces

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image620.gif" \* MERGEFORMATINET Ejemplo 1: Siendo la frmula Ejemplo 2:

INCLUDEPICTURE "http://docentes.uacj.mx/agarcia/Cursos/ecuaciones/tranalg/Image660.gif" \* MERGEFORMATINET Siendo la frmula - SEGUNDA PROPIEDAD DE TRANSLACION.

Teorema. Si L-1{f(s)} = F(t), entonces L-1{e-as f(s)} = F(t a) t > a; 0 t < a Ejemplo.

Como L-1 { 1/(s2 + 1} = sen t, tenemos que

L-1 {e-(TTs/3) / s2+ 1} = sen (t TT/3) si t > TT/3; 0 si t < TT/3. Ejemplo 2.

L-1 e-5s (s 2)4 Como L-1 1 = e2t L-1 1/s4 =

(s 2)4

(t3 e2t)/3! = (t3 e2t )/6, tenemos que

L-1 e-5s = 1/6 (t 5)3 e2(t 5) t > 5 (s 2)4 0 t < 5 = 1/6(t 5)3 e2(t 5) u(t 5)3. PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1{f(ks)} = (1/k ) F(t/k)

Ejemplo1. Como L-1 {s/(s2 + 16)} = cos 4t. tenemos que

L-1 { 2s/[(2s)2 + 16] } = (1/2) cos4t/2 = (1/2)cos2tLo cual puede comprobarse directamente.

Ejemplo 2. Si L-1 e-1/s / s1/2 = cos2(t)1/2 /(TTt)1/2 , hallar L-1 e-a/s / s1/2 donde a > 0.

Al sustituir s por ks en la primera expresin

L-1 e-1/ks / (ks)1/2 = (1/k) [cos2(t/k)1/2] / [TT(t/k)]1/2 =

[1/(k)1/2] [cos 2(t/k)1/2]/(TTt)1/2 L-1 e-1/ks / s1/2 = [cos2(t/k)1/2] /(TTt)1/2Entonces haciendo k =1/a.

L-1 e-a/s / s1/2 = cos2(at)1/2 / (TTt)1/24. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS DERIVADAS.Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1 { f(n) (s)} = L-1 dn/ ds n f(s) = (-1)n tn F(t)Ejemplo1. Como L-1 1/ (s2 + 1) = sen t y d/ds [1/ (s2 + 1)] =

= -2s /(s2 + 1)2 , tenemos que L-1 -2s / (s2 + 1)2 = - tsen t o L-1 s/(s2 + 1)2 = (t set)/2

Ejemplo 2. Calcular L-1 s/(s2 + a2)2 . Tenemos que d/ds 1/(s2 + a2) = -2s /(s2 + a2)2 . Asi s/(s2 + a2)2

= -1/2 d/ds [1/(s2 + a2)] . Entonces, como L-1 1/(s2 + a2) = (sen at)/a, L-1 s/(s2 + a2)2 = -1/2 L-1 d/ds [1/(s2+ a2)] = t [(senat)/a] = (t senat) / 2a

Otro mtodo. Derivando con respecto al parmetro a obtenemos d/ds [s/(s2 + a2)] = -2as/(s2 + a2)2luego L-1 d/ds [s/(s2 + a2)] = L-1 -2as/(s2 + a2)2o bien d/ds L-1 [s/(s2 + a2)] = -2a L-1 s/(s2 + a2)2 es decir L-1 s/(s2 + a2)2 = (-1/2a) d/da (cos at) = (-1/2a) (-t sen at) = (t sen at)/2a5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS INTEGRALES.Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces L-1 f(u) du =F(t) / t

Ejemplo. Como L-1 1/[s(s + 1)] = L-1 (1/s ) [1/(s + 1)] = 1 e-t , tenemos que L-1 [(1/u) 1/(u + 1)] du = L-1 ln [1 + (1/s)] = (1 e-t)/t6. MULTIPLICACION POR Sn.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t) y F(0) = 0, entonces

L-1 {s f(s)} = F(t)

As que, multiplicar por s produce el efecto de derivar a F(t).

Si F(0) 0, entonces

L-1{s f(s) F(0)} = F(t)o L-1{s f(s)} = F(t) + F(0) (t)donde (t) es la funcin delta de Dirac o la funcin de impulsin unitario.Ejemplo 1. Como L-1 1/(s2 + 1) = sen t y sen0 = 0, entonces L-1 s/(s2 + 1) = d/dt (sen t) = cos t

Esto se puede generalizar para L-1|sn f(s)|, cuando n = 2, 3, 4, ...7. DIVISIN POR S.

Teorema. Si L-1 |f(s)| = F(t), entonces

L-1 f(s) / s = F(u) du

De manera que la divisin por s (o multiplicacin por 1/s) produce el efecto de integrar F(t) entre 0 y t.

Ejemplo1. Como L-1 1/(s2 + 4) = (1/2) sen 2t, tenemos que L-1 1/[s(s2 + 4)] = (1/2) sen 2u du = (1/4)(1 cos 2t)

Esto se puede generalizar para L-1 |f(s)/sn|, cuando n = 2, 3, 4.

Ejemplo2. Calcular L-1 1/[s2(s2 + 1)] . Como L-1 1/(s2 + 1) = sen t , L-1 1/[s(s2 + 1)] = sen u du = 1 cos t

L-1 1/[s2(s2 + 1)] = (1 cos u) du = t sen t

L-1 1/[s3(s2 + 1)] = (u sen u) du = (t2/2) + (cos t) 1

Comprobacin: L (t2/2) + (cos t) 1 =(1/s2) + [s/(s2 + 1)] 1/s = = [s2 + 1 + s4 s2(s2 + 1)] / s3(s2 + 1) = 1/s3(s2 + 1)

8. PROPIEDAD DE CONVOLUCIN .

Teorema. Si L-1 {f(s)} = F(t) y L-1{g(s)} = G(t), entonces L-1 {f(s) g(s)} = F(u) G(t u) du = F * G

F * G se llama convolucin de F y G, y este teorema se llama el teorema de convolucin o propiedad de convolucin.

Ejemplo 1. Puesto que L-1 1/(s 1) = et y L-1 1/(s 2) = e2t, tenemos: L-1 1/(s 1)(s-2) = eu e2(t u) du = e2t - et. Ejemplo 2. Calcular (a) L-1 s/(s2 + a2)2 =

Podemos escribir s/(s2 + a2)2 = s/(s2 + a2) * 1/(s2 + a2). Entonces comoL-1 s/(s2 + a2) = cos at y L-1 1/(s2 + a2) = (sen at)/a , tenemos que L-1 s/(s2 + a2)2 = cos au * [sen a (t u) / a] du

= (1/a) (cos au)(sen at cos au cos at sen au) du = (1/a) sen at cos2 au du - (1/a) cos at sen au cos au du

= (1/a) sen at [(1 + cos 2au)/2]du (1/a) cos at (sen 2au)/2 du = (1/a) sen at [(t/2) + Sen 2at / 4a] (1/a) cos at [(1 cos 2at)/4a]. = (1/a) sen at [(t/2) + Sen at cos at / 2a] (1/a) cos at [(sen2 at)/2a] = (t sen at)/2a.

FRACCIONES PARCIALES

Cualquier funcin racional P(s) / Q(s), donde P(s) y Q(s), son polinomios en los cuales el grado de P(s) es menor que el de Q(s), puede escribirse como una suma de funciones racionales[ llamadas fracciones parciales] de la forma __A__ , ___As + B __

(as + b)r (as2 + bs + c)r donde r = 1, 2, 3 .... Al hallar las transformadas inversas de Laplace de las dos fracciones parciales, podemos hallar L-1 { P(s)/Q(s) }.

La expansin en fracciones parciales permite que F(s), la transformada de Laplace de f(t), pueda ser escrita en trminos de funciones simples de s. De esta manera se puede conseguir rpidamente la transformada inversa de Laplace de F(s), f(t).

Tenemos cuatro casos que dependen del denominador de F(s):1. FACTORES LINEALES NO REPETIDOS . L1 Donde L1 = L1 {} + L1 { w(s) }

= Ae-at + w(t)

Donde:

H(s) contiene un factor lineal (s a) por lo tanto tendr una constante A, w(s) representa los trminos restantes.Aplicando la transformada inversa de Laplace, obtenemos la forma de f(t), donde las races de H(s) o los polos de F(s), son los exponentes de los trminos exponenciales y dan la forma de la respuesta transitoria:

Ejemplo 1. L1 = L1 = L1 + L1 + L1 =

H(s) s(s2 2 s 3) = s2 2 s2 3 s

H (s) = 3s2 4s 3

A = = B = C =

=

Ejemplo 2.

L-1 ____3s + 7___ , s2 - 2s - 3

____3s + 7___ = _ 3s + 7_ = __A__ + __B__ s2 - 2s - 3 (s - 3) (s + 1) s - 3 s + 1 Multiplicando por (s 3)(s + 1) obtenemos

3s + 7 = A(s + 1) + B(s 3) = (A + B)s + A 3BIgualando los coeficientes, A + B = 3 y A 3B = 7; entonces A = 4, B = -1, _ 3s + 7_ = __4__ - __1__ (s - 3) (s + 1) s - 3 s + 1

y L-1 ___3s + 7___ = 4 L-1 _1_ - L -1 _1_ (s 3)(s + 1) s 3 s + 1

= 4 e3t - e-t

2. FACTORES LINEALES REPETIDOS L1 = L1 + L1 {w(s)}

L1 = eat + L1 {w(s)}

Donde las constantes A1 , .... Am estn dadas por la forma:

Am = Qa (a) = Donde: Qa (s) =

Ak = Qa (s) | s = a Otro aspecto claro sera:

F(s)= B(s) = B(s) = A13 + A12 + A11 + A2

A(s) (s+s1)3(s+s2) (s+s1)3 (s+s1)2 (s+s1) (s+s2)

La solucin como funcin del tiempo es:

f(t) = A13 t2 e-s1t + A12t e-s1t + A11e-s1t + A2 e-s2t

2

Para la transformada genrica con races reales mltiples:

F(s)= B(s) = B(s) A(s) (s+sq)r(s+s1)

= Aqr + Aq(r-1) + ...+ Aq1 + A1 (s+sq)r (s+sq)r-1 (s+sq) (s+s1)

Para evaluar la constante Aqr, se multiplican ambos miembros de la ecuacin por el trmino (s+sq)r :

(s+sq)r*F(s) = (s+sq)r B(s)

A(s)

= Aqr+ Aq(r-1)(s+sq)+...+ Aq1(s+sq)r-1+ A1(s+sq)r

(s+s1)

Haciendo s=-sq, todos los trminos del lado derecho de la ecuacin se hacen cero, excepto el trmino correspondiente a Aqr. En general:

Ak = [(s + sq)r B(s) ]

A(s) s=-sqLa evaluacin de Aq(r-1) no puede ser efectuada de forma similar. Multiplicando ambos lados de la ecuacin por

(s-sq)r-1 y haciendo s=-sq resultara que ambos lados seran infinitos, lo que dejara a Aq(r-1) indeterminada.

Derivando la ec. (s+sq)r*F(s)=(s+sq)r B(s)/A(s) con respecto a s, el trmino Aqr queda eliminado y Aq(r-1) puede ser evaluado:

d [(s+sq)^r*B(s)] = Aq(r-1)+ 2Aq(r-2)(s+sq)+...

ds A(s)

Haciendo s=-sq obtenemos:

Aq(r-1) = d [(s+sq)^r*B(s)]

ds A(s) s=-sq

Repitiendo la derivacin se obtiene el coeficiente Aq(r-2):

Aq(r-2) = 1 d2 [(s+sq)^r*B(s)]

2 ds2 A(s) s=-sq

Este procedimiento puede ser repetido hasta que cada constante sea determinada. La frmula general para hallar estos coeficientes asociados con polos reales mltiples de orden r:

Aq(r-k) = 1 dk [(s+sq)r*B(s)]

k! dsk

A(s) s=-sqEjemplo:

F(s)= 1 = A13 + A12 + A11 + A2

(s+2)3(s+3) (s+2)3 (s+2)2 s+2 s+3

La solucin como funcin del tiempo es:

f(t) = A13 t2 e-2t + A12t e-2t + A11e-2t + A2 e-3t 2

Las constantes son:

A13 = [(s+2)3*F(s)]= [ (s+2)3 ] = 1

s=-2 (s+2)3(s+3) s=-2

A12 = d[(s+2)3*F(s)] = d [ (s+2)3 ] = [ -1 ] = -1

ds s=-2 ds (s+2)3(s+3) s=-2 (s+3)2 s=-2

A11 = 1 d2[(s+2)^3*F(s)] = 1 d [ -1 ] = 1

2 ds s=-2 2 ds (s+3)2 s=-2

A2 = [(s+3)*F(s)] = [ (s+3) ] = -1

s=-3 (s+2)3(s+3) s=-3

La solucin queda:

f(t) = t2 e-2t t e-2t + e-2t - e-3t

2

Otro ejemplo:

L-1 5s2 15s 11 ,

(s + 1)(s 2)3

5s2 15s 11 = _A + _B_ + _C__ + _D__

(s + 1)(s 2)3 s+1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 A = Lm 5s2 15s 11 = -1 s(-1 (s 2)3 3 B = Lm 5s2 15s 11 = -7 s( 2 s + 1

5s2 15s 11 = -1/3 + -7_ + _C__ + _D__

(s + 1)(s 2)3 s+1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 11 = _-1 + __7_ + __C_ -__D__ , 8 3 8 4 2 21 = _-1 + 7 + C - D 2 6 es decir, 3C 6D = 10 y 3C 3D = 11, de donde C = 4, D = 1/3. As

L-1 5s2 15s 11 = L-1 -1/3 + -7_ + _4__ + _1/3__

(s + 1)(s 2)3 s + 1 (s 2)3 (s 2)2 s 2 = _-1 e-t - __7_ t2 e2t + 4 te2t + __1__ e2t 3 2 33. FACTOR COMPLEJO (S A) NO REPETIDORL1 {y(s)} = L1 + L1 W

Este caso se presenta cuando la raz de H(s) es un nmero complejo, entonces se tiene:

a = ( + i ( = ( i (Escribiendo la fraccin parcial que corresponde a s a y s - explcitamente y observando:

(s a ) (s ) = (s ()2 + (2

y(s) = = + w (s) A .B E R

La transformada inversa es:

L1 {Y}= e(t [Ta cos (t + Sa sen (t] + L1 W

Donde Sa y Ta son la parte real e imaginaria de:

Ra (a) = Sa + i Ta

Donde:

Ra(s) = [ (s ()2 + (2 ]

Ejemplo.

L-1 __ 2s___ = s1,2 = -b b2 4 ac s2 + 2s + s 2

= -2 22 4(1)(5) = -2 4 20 = -2 -16 = -2 16(-1) = - 2 4 i = 2(-1 2i ) = -1 2 i

2 2L-1 __ 2s___ = L-1 As + B_ = 1 e-t [4 cos at 2sen st] s2 + 2s + s (s + 1)2 + 4 2

= 2 e-t cos 2t e-t sen 2t

Ra (s) = (s + 1)2 + 4 _ 2s___ s2 + 2s + s s = (-1 + 2i)

Ra = (-1 + 2i) = - 2 + 4t sa ta 4. FACTOR COMPLEJO (S A)2 REPETIDOREscribiendo las fracciones parciales correspondientes a (s a)2 y (s - )2 se tiene y(s) = G(s) = __As + B__ + ___Cs + D___ + W(s)

H(s) [(s - )2 + 2]2 (s - )2 + 2 La transformada inversa es: DerivadaL-1 { y } = _1_ et [(Ta Sa* - SaT) Cos t + (Sa+ Ta* + TaT) sen t] + L-1 (w)

23

Donde

Ra(a) = Sa+ iTa Ra = Sa* + iTa*

Ra(s) = [(s - )2 + 2]2 G(s)

H(s)

Ejemplo:

L-1 s2 6s + 1 (s2 4s + 5)2(s2 4s + s)2 = 0

(s2 4s + s) = 0

[(s 2)2 + 1]2 = 2

= 1 Ra(s) = [(s 2)2 + 1]2 _s2 6s + 1_ =(2 + 1)2 t(2 + i) + 7

(s2 4s + s)2 s = 2+ i Real + i RaaT

Sa Ta

Ra(s) = 0 2i

Sa Ta

Ra(s) = s2 6s + 1

Ra(s) = 2s 6 = 2(2 + i) - 6 = -2 + 2i Sa* = - 2

s = 2 + i Ta* = 2 L-1{ y } = 1 et [(-2 Sa* - Sat) cos t + (Sa + Ta* = 2t) sen t] + L-1 (w)

2 3TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADASSea f(t) continua en (0, ) y de orden exponencial a y sea f seccionalmente continua en [0, ). Entonces [f(t)] = s F(s) - f(0 + ), (s > a)

Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto en t = a > 0 , entonces :

L [ f(t)] = s F(s) - f(0+ ) - e-as [f(a+ )-f(a-)]

Anlogo si existen varias discontinuidades por salto.

Si f, f , ... , f(n-1) son continuas en (0, ) y de orden exponencial a y f (n) es

seccionalmente continua en [0, ), entonces :

L [f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+ ) - sn-2 f(0+ ) - - f(n-1) (0+ ) , (s >)

As para n = 2

L [f (t)] = s L [f] - f (0+ ) = s [ s F(s) - f (0+ )] - f(0+ ) ( ( [f (t)] = s2 F(s) - s f (0+ ) - f(0+).

En general, induccin.

Aqu se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se reemplaza la derivacin respecto a t , por multiplicacin por s, transformndose una ecuacin diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica.

Otra manera de comprender sera:

Supngase que f(t) es continuo para toda t 0, satisface | f(t) | M e para algn y M y tiene una derivada f (t) que es seccionalmente continua sobre cada intervalo finito en t 0, entonces transformada de la place de la derivada f (t) existe cuando 5 > y

L {f (t)}= s L {f(t)}- F(0)

Comprobar que

L {f(t)}= ( e-st f(t) dt = s L{f(t)} f(0) = s F(s) f(0) =

= s F(s) f(0)

L {f (t)}= s L {f (t)} f (0)

= s F(s) f(0)

L {f (t)}= s L {f (t)} f (0)

= s [s F(s) f(0)] f (0)

= s2 F(s) s f(0) f (0)

L {f (t)}= s L {f (t)} f (0)

= s [s2 F(s) s f (0)] f (0)

= s3 F(s) s2 f(0) f (0) f (0)

Resolver la ecuacin diferencial con valor inicial por medio de transformadas de Laplace.

y + y = 0 y(0) = 1 y(0) = 1

L{ y + y }= L {0}

L{ y} + L{y}= 0

s2 y(s) s y(0) y (0) + y(s) = 0

s2 y(s) s +1 + y(s) = 0

s2 y(s) + y(s) = s 1

y(s) (s2 + 1) = s 1

Despejando y(s)

y(s) =

L1 { y(s) }= L1 {}

= L1 { }

= L1 {} L {}

y(t) = cos t sen t

Ejemplo 1. Utilizando la L resolver la ecuacin diferencial sujeta a las condiciones

4y 4y + 37y = 0

y(0) = 3 L{y}= s y(s) y(0)

y(0) =1.5 L{y}= s2 y(s) s y(0) y (0)

4[s2 y(s) s y(0) y (0)] 4[s y(s) y(0)] + 37 y(s) = 0

4[s2 y(s) 3s 1.5] 4[s y(s) 3] + 37 y(s) = 0

4s2 y(s) 12s 6 4s y(s) + 12 + 37 y(s) = 0

4s2 y(s) 12s 4s y(s) + 37 y(s) + 6 = 0

y(s) (4s2 4s + 37) = 12s 6

y(s) =

Ra = Sa + i Ta

Ra(s) = (s 2)2 + (2 --------> 12 s 6 | =

= 12 6 =

y(t) = [3 cos 3t] = 12 cos 3t

Ejemplo 2. Resolver y'' + y = t , con y(0) = 1 , y'(0) = -2.L { y''} + L { y } = L { t }

s2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = 1/s2

s2 Y(s) - s + 2 + Y(s) = 1/s2

Entonces: Y(s) * [s2 + 1] = 1/s2 + (s - 2)

Despejando Y(s):

Y(s) = [1/s2 + (s - 2)] / [s2 + 1]

Y(s) = 1/s2 - 1/s2 + 1 + s/s2 + 1 - 2/ s2 + 1

Y(s) = 1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1

Concluyendo con la aplicacin de la transformada inversa a cada trmino:

L -1 {Y(s)} = L -1 {1/s2 + s/s2 + 1 - 3/s2 + 1}

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Las ecuaciones diferenciales de primer orden ms simples podemos decir que son las ecuaciones diferenciales lineales.Una EDO recibe el nombre de ecuacin diferencial lineal de primer orden si

donde a(t); b(t) son funciones conocidas.ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES

f(x)dx + f(y)dy = 0La ecuacin diferencial de variables separables es de la forma siguiente:

f(x)dx + g(y)dy = 0,

donde cada diferencial tiene como coeficiente una funcin continua de su propia variable, o una constante. Para resolver este tipo de ecuaciones se procede usando la integracin directa.

f(x)dx + g(y)dy = 0.

La ecuacin diferencial de la forma se llama separable , si f ( x , y) = h (x) g (y); es decir,

Para solucionarla, realice los pasos siguientes:

(1) Solucione la ecuacin g (y) = 0, que da las soluciones constantes de (s);

(2) Reescriba la ecuacin (s) como

,

y, entonces, integre

para obtener

(3) Anote todas las soluciones; los constantes obtenidos a partir de la (1) y los que esta' dados en (2);

(4) Si le dan un IVP, utilice la condicin inicial para encontrar la solucin particular. Observe que puede suceder que la solucin particular es una de las soluciones constantes dadas en (1). Esta es la razn por la cual el paso 3 es importante.

Ejemplo: Encuentre la solucin particular de

Solucin: Realice los pasos siguientes:

(1) Para encontrar las soluciones constantes, solucione . Obtenemos y = 1 y y = - 1.

(2) Reescriba la ecuacin como

.

Usando las tcnicas de la integracin de funciones racionales ,

,

cul implica

(3) Las soluciones a la ecuacin diferencial dada son

(4) Puesto que las soluciones constantes no satisfacen la condicin inicial, nos dejan para encontrar la solucin particular entre las que esta' encontradas en (2), que es nosotros necesita encontrar la C constante . Si enchufamos la condicin y = 2 cuando x = 1, nosotros consigue

.

Observe que esta solucin est dada en una forma implcita. Usted puede ser pedido reescribirla en explcito. Por ejemplo, en este caso, tenemos

ECUACIONES EXACTAS

Todas las tcnicas que hemos repasado hasta ahora no estaban de una naturaleza general puesto que en cada caso las ecuaciones ellos mismos estaban de una forma especial. As pues, podemos pedir, qu a hacer para la ecuacin general

Primero reescribamos la ecuacin en

Esta ecuacin ser llamada exacta si

,

y nonexact de otra manera. La condicin de la exactitud asegura la existencia de una funcin F ( x , y) tales que

Cuando la ecuacin (e) es exacta, la solucionamos que usa los pasos siguientes:

(1) Compruebe que la ecuacin sea de hecho exacta;

(2) Anote el sistema

(3) Integre variable la primera ecuacin con el respecto del x o el segundo con el respecto de la y variable . La opcin de la ecuacin que se integrar depender de cmo es fcil son los clculos. Asumamos que la primera ecuacin fue elegida, entonces nosotros consiguen

La funcin debe estar all, puesto que en nuestra integracin, asumimos que la y variable es constante.

(4) Utilice la segunda ecuacin del sistema para encontrar el derivado de . De hecho, tenemos

,

cul implica

Observe que es una funcin de y solamente. Por lo tanto, en la expresin que da la variable, x , debe desaparecer. Si no algo fue mal!

(5) Integre para encontrar ;

(6) Anote la funcin F ( x , y);

(7) Todas las soluciones son dadas por la ecuacin implcita

(8) Si le dan un IVP, enchufe la condicin inicial para encontrar la C constante .

Usted puede pedir, qu nosotros hace si la ecuacin no es exacta? En este caso, uno puede intentar encontrar un factor que integra que haga la ecuacin diferencial dada exacta.

ECUACIONES LINEALES

Una ecuacin diferencial linear de la primera orden tiene la forma siguiente:

La solucin general se da cerca

donde

llam el factor que integraba . Si se da una condicin inicial, utilcela para encontrar la C constante .

Aqu estn algunos pasos prcticos a seguir: 1. Si se da la ecuacin diferencial como

,

reescrbala en la forma

,

donde

2. Encuentre el factor que integra

.

3. Evale los 4 integrales. Anote la solucin general

.

5. Si le dan un IVP, utilice la condicin inicial para encontrar la C constante .

Ejemplo: Encuentre la solucin particular de:

Solucin: Utilicemos los pasos:

Paso 1: No hay necesidad de reescribir la ecuacin diferencial. Tenemos

Paso 2: Factor que integra

.

Paso 3: Tenemos

.

Paso 4: La solucin general se da cerca

.

Paso 5: Para encontrar la solucin particular al IVP dado, utilizamos la condicin inicial para encontrar C . De hecho, tenemos

.

Por lo tanto la solucin est

.

Observe que usted no puede tener que hacer el paso pasado si le piden encontrar la solucin general (no un IVP).

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t ( 0

t ( 0

s ( (

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