Transformada de Laplace
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MAT08-13-CALCULA - La calculadora ClassPad 300 como recurso didáctico en la enseñanza de las matemáticas ACTIVIDAD FINAL Gerardo González Cordero [email protected] - 1 - 12/03/08 ENUNCIADO Para completar el curso te proponemos la siguiente actividad: Selecciona cualquier contenido o contenidos del área de Matemáticas (o de otra especialidad si esta no es tu área de trabajo) de cualquier nivel educativo. Diseña un breve documento con las actividades que puedes realizar con ayuda de la calculadora gráfica para: a.- El desarrollo de los contenidos seleccionados. b.- Las actividades propuestas al alumnado. c.- La evaluación del alumnado. Realiza con ayuda de la calculadora, incluyendo los gráficos correspondientes, las actividades propuestas en los apartados a y b anteriores. Sube un archivo en formato texto o pdf con el nombre Nombre_apellidos_actividad final. Es conveniente que también se incluya en el documento el nombre, apellidos y correo electrónico del autor de la actividad. Recordamos que de acuerdo con la programación del curso esta actividad es obligatoria para superar la actividad de formación a distancia. RESOLUCIÓN A.- EL DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS SELECCIONADOS Transformada de Laplace 1 La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t 0 es la función F(s), definida por: siempre y cuando la integral esté definida. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se
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ACTIVIDAD FINAL
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- 1 - 12/03/08
ENUNCIADO
Para completar el curso te proponemos la siguiente actividad:
Selecciona cualquier contenido o contenidos del área de Matemáticas (o de otra especialidad si esta no es tu área de trabajo) de cualquier nivel educativo.
Diseña un breve documento con las actividades que puedes realizar con ayuda de la calculadora gráfica para:
a.- El desarrollo de los contenidos seleccionados.
b.- Las actividades propuestas al alumnado.
c.- La evaluación del alumnado.
Realiza con ayuda de la calculadora, incluyendo los gráficos correspondientes, las actividades propuestas en los apartados a y b anteriores.
Sube un archivo en formato texto o pdf con el nombre Nombre_apellidos_actividad final.
Es conveniente que también se incluya en el documento el nombre, apellidos y correo electrónico del autor de la actividad.
Recordamos que de acuerdo con la programación del curso esta actividad es obligatoria para superar la actividad de formación a distancia.
RESOLUCIÓN A.- EL DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS SELECCIONADOS
Transformada de Laplace1 La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t � 0 es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se
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puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Tabla de las transformadas de Laplace selectas La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:
La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 − , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t). Aquí está una lista de las transformadas más comunes:
ID Función Dominio en el tiempo
Dominio en la frecuencia
Región de la convergencia para sistemas
causales
1 retraso ideal
1a impulso unitario
2 enésima potencia retrasada y con
desplazamiento en la frecuencia
2a n-ésima potencia
2a.1 q-ésima potencia
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ID Función Dominio en el tiempo
Dominio en la frecuencia
Región de la convergencia para sistemas
causales
2a.2 escalón unitario
2b escalón unitario con retraso
2c Rampa
2d potencia n-ésima con cambio de
frecuencia
2d.1 amortiguación exponencial
3 convergencia exponencial
4 seno
5 coseno
6 seno hiperbólico
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ID Función Dominio en el tiempo
Dominio en la frecuencia
Región de la convergencia para sistemas
causales
7 coseno hiperbólico
8 onda senoidal con amortiguamiento
exponencial
9 onda cosenoidal
con amortiguamiento
exponencial
10 raíz n-ésima
11 logaritmo natural
Notas explicativas:
• representa la función escalón unitario.
• representa la Delta de Dirac.
• representa la función gamma.
• es la constante de Euler-Mascheroni.
• , un número real, típicamente representa tiempo, aunque puede representar cualquier dimensión independiente.
• es la frecuencia angular compleja.
• , , , y son números reales.
• es un número entero.
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Con la calculadora se pueden verificar las transformadas de las funciones definidas en la tabla anterior, como se muestra a continuación: Función delta de Dirac Función delta de Dirac Desplazada
Nota: tanto con la función laplace, como por la integral que define la transformada de Laplace se obtiene el mismo resultado
Nota: En este caso no coincide el resultado del calculo de la transformada con la integral calculada por la definición
Con la integral de la definición de la transformada de Laplace la calculadora en general no proporciona el resultado de la transformada. Debiendo utilizar la función laplace() para su resolución.
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En algún caso como la transformada de Laplace de una función logarítmica, la calculadora no proporciona el resultado y lo deja indicado con la integral de la definición
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B.- LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS AL ALUMNADO2.
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En estos ejemplos la calculadora deja el resultado indicado con la integral que define la transformada de Laplace sin simplificarlas.
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C.- LA EVALUACIÓN DEL ALUMNADO.
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REFERENCIAS 1 http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace 2 Transformadas de Laplace. Murria r. Spiegel. Teoría y 450 Problemas resueltos. McGraw Hill. Serie Schaum.
