Transformada Fourier Discreta
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1
Respuesta de un sistema LIT discreto a exponencialescomplejas
Funcin propia y valor propio de sistemas LIT discretos
[ ] [ ] [ ] [ ]
=
=
==k
kn
kkhzkhknxny
Sistema LITh[n]
y[n][ ] nznx =
[ ] [ ] ( )
( ) [ ]
=
=
=
==
n
n
n
k
kn
znhzH
zHzzkhzny
Tratamiento de Seales
Transformada de Z:
( ) [ ]
=
=n
njj enheH
Transformada de Fourier: jez =
nzFuncin propia: Valor propio: ( )zH
Tratamiento de Seales
Transformadas Z y de Fourier de seales y sistemas discretos
j
n
n rezznhzH ==
=
][)(
-
2
=C
n dzzzXj
nx 1)(2
1][
Tratamiento de Seales
Transformadas Z y de Fourier de seales y sistemas discretos
Transformada Z inversa:
Transformada inversa de Fourier: jez =
( )
=2
njj deeX21]n[x
Series de Fourier de Seales Peridicas Discretas en el Tiempo
x[n] = x[n + N] , 0 = 2 /N
Ecuacin de Sntesis
==
==Nk
njkk
Nk
nN
jk
k eaeanx 02
][
Ecuacin de Anlisis
=
=
==
Nn
nj
Nn
nN
jk
k enxNenx
Na 0][1][1
2
Tratamiento de Seales
-
3
Series de Fourier: Tren de pulsos rectangulares
x[n] = 1, -N1 n N1
=
=
=1
1
Nn
Nn
n)N2(jkk eN
1a
-N -N1 0 N1 N
x[n]
n
0.5
1
Tratamiento de Seales
x[n] = 1, -N1 n N1
=
=
=1
1
Nn
Nn
n)N2(jkk eN
1a
S, m = n+N1
=
=
==1
11
1
N2
0m
m)N2(jkN)N2(jkN2
0m
)Nm)(N2(jkk eeN
1eN1a
Tratamiento de Seales
Series de Fourier: Tren de pulsos rectangulares
-
4
( )
( )
( )[ ]( )
=+
+
=
=
+
,...N2,N,0k,,N1N2
,...N2,N,0k,Nksen
N/2/1Nk2senN1
a
e1e1e
N1a
1
1
k
N/2jk
N/1N22jkN)N2(jk
k
1
1
Tratamiento de Seales
Series de Fourier: Tren de pulsos rectangulares
Nak , N=10, 2N1+1=5
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 k0
5
-20-15
-10-5
05
1015
200
5Nak , N=20, 2N1+1=5
k
-20-15 -10
-5 0 510 15
200
5Nak , N=40, 2N1+1=5
k
Tratamiento de Seales
Series de Fourier: Tren de pulsos rectangulares
-
5
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Tratamiento de Seales
[ ] =
=Nk
njkk eanx 0
[ ] [ ]
=
=
==n
njk
Nn
njkk enxN
enxN
a 00 11
( ) [ ]
=
=n
njj enxeX
( )01 jkk eXNa =
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Tratamiento de Seales
[ ] ( )=
=Nk
njkjk eeXN
nx 001
[ ] ( )=
221 deeXnx njj
[ ] ( )=
=Nk
njkjk eeXnx 00021
-
6
Ecuacin de Sntesis
( )
=2
njj deeX21]n[x
Ecuacin de Anlisis
( )
=
=n
njj e]n[xeX
Espectro Peridico con Periodo 2
Tratamiento de Seales
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Condiciones de convergencia:Seales absolutamente sumables:
Seales de energa:
[ ]
-
7
-N1 0 N1
1x[n]
n
( ) ( )2/sen21Nsen
eX1
j
+
=
Tratamiento de Seales
Transformada de FourierTransformada de Fourier
( ) ( )=
=
==1
11
1
2
0
N
m
NmjN
Nn
njj eeeX
( )( )
j
NjNjj
eeeeX
+
=1
1 12 11
( )( ) ( )( )
)(1 2/2/2/2/1)2/1(2/1 1111
jjj
NjNjj
j
NjNjj
eeeeee
eeeeX
++
+
=
=
-N1 0 N1
1x[n]
n
( ) ( )2/2/5
senseneX j =
Tratamiento de Seales
Transformada de FourierTransformada de Fourier
0
X(ej), N1= 2
2--2
5
-
8
( ) 1eX j =
-4 -2 0 2 4
1
n
0
1X(ejw)
w
X[n] = [n]
Tratamiento de Seales
Transformada de FourierTransformada de Fourier
h[n] = (a)nu[n]| a |
-
9
0 < a
-
10
Seales peridicas
[ ]N
eanxNk
njkk
20
0 == =
( ) ( )
=
=k
kj kaeX 02
Tratamiento de Seales( ) ( )( )kjj eXeX 2+=
Transformada de FourierTransformada de Fourier
=
=
==
Nn
nj
Nn
nN
jk
k enxNenx
Na 0][1][1
2
Seales discretas
( ) ( )
=
=k
kj kaeX 02
Tratamiento de Seales
( ) ( )( )kjj eXeX 2+=
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Seales continuas
( ) ( )
=
=k
k kajX 02
-
11
x[n] = [n] X(ej) = 1n)Wnsen(de
21]n[x
W
W
nj^
=
=
W = /4
0
1/4x[n]
n
0
1
n
W =
x[n]W = /2
x[n]
n0
1/2
Tratamiento de Seales
Convergencia:
Transformada de FourierTransformada de Fourier
Linealidad
Desplazamiento en el tiempo
[ ] [ ] ( ) ( )a x n a x n a X e a X eF j j1 1 2 2 1 1 2 2+ +
[ ] ( )x n m e X eF j m j
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
[ ] [ ] )()( 2121 zbXzaXnbxnax Z ++
[ ] )( zXzmnx mZ
-
12
Propiedades de la Transformada de Fourier
Desplazamiento en el tiempo
-N1 0 N1
1x[n]
n
0
X(ej) , N1 = 2
2-2 -
|X(ej)|, N1 = 2
2-2 - 0
Tratamiento de Seales
Desplazamiento en el tiempo
-2 0 2 N1+2 6 8
1x[n-2]
n
|X(ej)|, N1 = 2
2-2 - 0
X(ej)-2), N1 =2
2-2 - 0
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
-
13
Compleja conjugada
Desplazamiento en frecuencia
[ ] ( )( )e x n X ej n F j 0 0
[ ] ( )x n X eF j* *
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
[ ] )( 00 zeXnxe jZnj
[ ] )( *** zXnx Z
Desplazamiento en Frecuenciah[n]
n
1
hhp [n] = (-1n)*hlp[n]
n
1
c
H(ej)
-c
1
2-2 -
Hhp(ej)=Hlp (ej(-))
-(-c)-(-c)
1
2-2
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
-
14
Expansin en tiempo
( )[ ] ( )x n X ek F j k Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Inversin en el tiempo
[ ] ( )x n X eF j [ ] )1(
zXnx Z
( )[ ] )( kZk zXnx ( )[ ]
[ ]
=kn
knknxnx k de mltiploun es no Si0
de mltiploun es Si/
Expansin en Tiempo
-4 0 4
1x(2)[n]
n
X(ej), N1=2
-2 - 0 2
5
-2 0 2
1x[n]
n
-2 - 0 2
5
X(ej2)
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
-
15
Expansin en Tiempo
-6 0 6
1x(3)[n]
n-2 0
5
X(ej3)
2-
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Multiplicacin por n
[ ] [ ] ( )
jF eXddjnnxny =
Convolucin
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )y n x n h n Y e X e H eF j j j= =*
[ ]dzzdXznnx Z )(
[ ] [ ] [ ] ( ) )()(* zHzXzYnhnxny Z ==
-
16
Acumulador
[ ] [ ]( ) ( ) ( )
( ) ( )y n x k
Y ee
X e
X e kk
nF
jj
j
j
k
= =
+
=
=
11
20
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Primera diferencia
[ ] [ ] ( ) ( )x n x n e X eF j j 1 1
Multiplicacin
[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ){ }z n x n y n Z e X e Y eF j j j= = 1
2
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Relacin de Parsevall
[ ] ( )x n X e dn
j2
2
212
==
-
17
Multiplicacin en tiempo
x[n] = x1[n] x2[n]
n)2/nsen(]n[x
n)4/n3sen(]n[x
2
1
=
=
( ) ( ) ( )
=
deXeX21eX )(j2
2
j1
j
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Multiplicacin en tiempo
-2 - - /2 0 /2 2
1
X2(ej)
- 2 - - 3/4 0 3/4 2
1
X1(ej)
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
-
18
Multiplicacin en tiempo
( ) ( ) ( )
=
deXeX21eX )(j2
j1
j
-3/4 0 3/4
1
X^1(ej)
( ) ( ) ( )
=
deXeX21eX )(j2
j1^j
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Multiplicacin en tiempo
-3/4 0 3/4
1
X^1(ej)
-2 - - /2 0 /2 2
1 X2(ej)
-2 - 0 3/4
0.5
X(ej)
0.25
-3/4 2
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
-
19
Convolucin en Tiempo(-1) n(-1) n
x[n] y[n]w1[n] w2[n]
w3[n]
w4[n]
Hlp(ej)
Hlp(ej)
- 2 - /4 0 /4 2
1Hlp(ej
)
-
Tratamiento de Seales
Propiedades de la Transformada de Fourier
Propiedades de la Transformada de FourierConvolucin en Tiempo
Hlp(ej)
Hlp(ej)
(-1) n (-1) n
x[n] y[n]w1[n] w2[n]
w3[n]
w4[n]
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
jjlP
j
jjlP
j
jj
eXeHeWeXeHeW
eXeW
)(3
)(2
)(1
=
=
=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
jlP
jlP
j
jjlP
j
eHeHeHeXeHeW+=
= )(
4
Tratamiento de Seales
-
20
Propiedades de la Transformada de FourierConvolucin en Tiempo
Hlp(ej)
Hlp(ej)
(-1) n (-1) n
x[n] y[n]w1[n] w2[n]
w3[n]
w4[n]
- -3/4 -/4 0 /4 3/4
1
H(ej)
( ) ( ) ( )[ ] jlPjlPj eHeHeH += )(
Tratamiento de Seales
Sistemas Caracterizados por Ecuaciones en Diferencias Lineales con Coeficientes Constantes
==
=M
kk
N
kk knxbknya
00][][
Tratamiento de Seales
( )
=
=
= N
k
kk
M
k
kk
za
zbzH
0
0
Funcin de Transferencia
( )
=
=
= N
0k
jkk
M
0k
jkk
j
ea
ebeH
Respuesta en frecuencia
-
21
Sistemas lineales e invariantes en el tiempo como filtros selectivos en frecuencia
Eliminacin de ruido
Conformacin espectral de seales
Deteccin de seales (Radar, Sonar, etc)
UtilizacinUtilizacin
FiltroEntrada Salida
DiscriminaDiscriminaLTI )e(H j
Tratamiento de Seales
Filtros idealesFiltros ideales
Clasificacin segn caractersticas en frecuencia
Pasa bajo Pasa alto
/H(ej)/
cc
11 B
-
/H(ej)/
cc
11
-
Tratamiento de Seales
-
22
Filtros idealesFiltros ideales
Pasa banda Banda eliminada
Pasa todo
/H(ej)/
2 o -1
11
- 2 o 1
B
/H(ej)/
11
-
/H(ej)/
o
11
- o
Tratamiento de Seales
Clasificacin segn caractersticas en frecuencia
Otras caractersticas de los filtros ideales
Respuesta de fase lineal
)e(H)e(X)(eY jjj = ][][ 0nnCxny =
PropiedadesPropiedades:EscaladoDesplazamiento temporal
La salida es una versin retardada y escalada
contrarioCasoCe nj
,0, 210
-
23
Continuacin
Filtros idealesIrrealizables
Se pueden aproximar
El diseo se basa
Ubicando
Polos
Ceros
Principio: Localizar los polos cerca de los puntos de la Principio: Localizar los polos cerca de los puntos de la circunferencia unidad correspondientes a las frecuencias circunferencia unidad correspondientes a las frecuencias
que se desean acentuar y los ceros a las frecuencias que se que se desean acentuar y los ceros a las frecuencias que se desean amortiguardesean amortiguar
Tratamiento de Seales
Condiciones:
1. Todos los polos deben estar en el 1. Todos los polos deben estar en el interior de la circunferencia unidad interior de la circunferencia unidad para que el filtro sea estable. Sin para que el filtro sea estable. Sin embargo, los ceros pueden situarse embargo, los ceros pueden situarse en cualquier punto.en cualquier punto.
2. Todos los ceros y polos complejos 2. Todos los ceros y polos complejos deben tener su conjugado, de manera deben tener su conjugado, de manera que los coeficientes del filtro sean que los coeficientes del filtro sean reales.reales.
Tratamiento de Seales
-
24
Funcin de transferencia expresada en funcin de los polos y ceros
( )( )
=
=
=
N
kk
M
kk
zp
zzbzH
1
1
1
1
01
1)(
1)e(Hb 0j0 = N>M, se obtienen ms
polos triviales que ceros
Tratamiento de Seales
Filtro pasa bajo
Pasa bajo: Ubicacin de polos cerca de =0 y los ceros cerca =
>>>
Tratamiento de Seales
-
25
>>>
Filtro pasa alto
Pasa alto: Ubicacin de ceros cerca de =0 y los polos cerca =,es decir reflejando los polos y ceros del filtro pasa bajo
Para tener un ancho Para tener un ancho de banda ms de banda ms
amplioamplio
Agregar, ms polos y/o ceros
Tratamiento de Seales
Transformacin de un filtro
Trasladar frecuencias
H(w)
-
H(w- )
-
Aplicando propiedad de traslacin en
frecuencia)()1()( nhnh pb
npa =
( ))e(H)e(H jpbj
pa =
Tratamiento de Seales
-
26
SISTEMAS PASA TODOSISTEMAS PASA TODO
Sistema estable y causal cuya magnitudes igual a la unidad para toda frecuencia
Para obteneresta respuesta
Cada polopolo de H(z) debeser acompaado de uncerocero cuyo valor sea elinverso conjugadoinverso conjugado
=
=M
1i1
i
*i
1pt
zd1dz)z(HFuncin de transferencia
Tratamiento de Seales
Respuesta en frecuenciaRespuesta en frecuencia
SISTEMAS PASA TODOSISTEMAS PASA TODO
z je
=
=
=
=
M
1ij
i
j*ijM
M
1ij
i
*i
jj
pted1ed1e
ed1de)e(H
1)e(H jpt =EL MduloEL Mdulo
Tratamiento de Seales
-
27
SISTEMAS PASA TODOSISTEMAS PASA TODO
Ejemplo:Ejemplo:
+
+
=
14j14
j1
4j14
j11
ze541ze
541z
431
e54ze
54z
43z
)z(H
ImIm
ReReX
X
X
o
o
o
Por cada polo en H(z)Por cada polo en H(z)existe un cero de mduloexiste un cero de mduloinverso y fase opuestainverso y fase opuesta
Tratamiento de Seales
SISTEMAS DE FASE MNIMASISTEMAS DE FASE MNIMA
)z(H1
)z(H
SiSison establesson establesy causalesy causales
H(z) es dees defase mnimafase mnima
Por lo tanto, los polos y ceros de Por lo tanto, los polos y ceros de H(z)deben estar dentro de la circunferenciadeben estar dentro de la circunferenciaunidad.unidad.
Tratamiento de Seales