transformadas de z

6LA TRANSFORMADA Z

Imaginaria{ }

Imaginaria{ }j

Real{ }-1 1

Real{ }

Crculo unitario

-j

6.1 Definicin de la Transformada zEn el captulo anterior se estudiaron mtodos para describir y analizar el comportamiento de sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo o desplazamiento. Estas tcnicas se llevan a cabo en el dominio del tiempo ya que las seales se representan como funciones del tiempo. Sin embargo, aunque dichos procedimientos son simples pueden resultar en ocasiones muy laboriosos. En este captulo, se introduce una herramienta matemtica que simplifica el anlisis y sntesis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo, la transformada z. De manera anloga a la transformada de Laplace que se aplica a los sistemas continuos lineales e invariantes con el tiempo, la transformada z se utiliza en el anlisis de los sistemas discretos lineales e invariantes con el tiempo. La transformada z permite realizar operaciones y ver propiedades y caractersticas de los sistemas y seales discretos en una forma ms simple que en el dominio del tiempo. La tcnica que se presenta en este captulo recibe el nombre de anlisis en el dominio de la frecuencia. Considere las tres seales mostradas en la Fig.6.1; la primera, f(t), es una funcin del tiempo continua. La segunda seal, fs(t), se obtiene multiplicando una secuencia peridica de impulsos unitarios de periodo T por f(t), es decir

f s ( t ) = f ( t ) d T ( t ) = f ( t ) d( t - nT ) = f [nT ]d( t - nT )n= 0 n= 0

(6.1)

143

6 LA TRANSFORMADA Z

f(t)

0 (a)

t fs(t)

0

T 2T 3T 4T 5T (b)

t

f[n]

0

1 2 3 4 5 (c)

n=t/T

Figura 6.1. (a) Seal continua. (b) Sealuncin muestreada. (c) Seal discreta.

y la seal f[n] es la secuencia discreta de f(t). La transformada de Laplace unilateral de fs(t) es Fs(s), es decir

Fs ( s ) = L { f s ( t )} = f [nT ]e - nTsn= 0

(6.2)

si en la ecuacin anterior se hace la siguiente sustitucin

z = e sT = e (s + jw) T = e sT e jwTse define la transformada z unilateral de f(nT) como

(6.3)

F ( z ) = L { f s ( t )} z = e sT = Z{ f[nT] } = f[nT]z -nn= 0

(6.4)

para toda z que haga que F(z) converja; por lo que el conjunto de valores de z para los cuales F(z) existe se denomina regin de convergencia. La Ec. (6.3) se puede considerar como un mapeo del plano complejo s a el plano complejo z, como se muestra en la Fig 6.2. El origen y el eje imaginario del plano s corresponden al punto 1 + j0 y al crculo unitario del plano z respectivamente.

144

6.2 Propiedades de la Transformada z

Imaginaria{ }

Imaginaria{ }j

Real{ }-1 1

Real{ }

Crculo unitario

-j

Figura 6.2. Mapeo del plano s al plano z, con s = esT

Cuando s < 0, z = e sT < 1 el semi plano izquierdo del plano s se mapea en el interior del crculo unitario del plano z, o dicho de otra manera, hay una correspondencia entre la regin de estabilidad de los sistemas continuos y la regin de estabilidad de los sistemas discretos. La secuencia f[nT] se dice que es la transformada z inversa de F(z) y puede ser unvocamente determinada por

f [nT ] =

1 n -1 G F ( z ) z dz 2pj

Transformada z inversa

(6.5)

donde G es un contorno en sentido antihorario que encierra todas las singularidades de F ( z ) z n-1 (el lugar geomtrico de los puntos donde F ( z ) z n- 1 , es decir los polos). De esta manera, la secuencia f[nT] y la funcin compleja F(z) se dice que constituyen un par de transformacin z , que se simboliza por

f [nT ] F ( z )o

(6.6)

Z{ f [nT ]} = F ( z ) Z -1 {F ( z )} = f [nT ]

(6.7)

La transformada z unilateral, Ec. (6.4), considera secuencias para n 0 nicamente, que para la mayora de los problemas de naturaleza prctica resulta suficiente. En lo que sigue y con la finalidad de simplificar, el periodo de muestreo, T, se considera igual a uno.

6.2 Propiedades de la Transformada zUnicidad La transformada z es nica

f [n ] = g [n ] F ( z ) = G ( z )

(6.8)

145

6 LA TRANSFORMADA Z

Linealidad La transformada z es lineal

af [n ] + bg [n ] aF ( z ) + bG ( z )Desplazamiento en el tiempo Atraso

(6.9)

f [n - m] f [n - m]z - nn= 0

haciendo el cambio de variable l = n - m; cuando n = 0, l = -m y cuando n = , l =

f [n - m] as

l=-m

f [l ]z - l - m = z - m

l=-m

f [l ]z - l = z - m f [l ]z - l + z - ml=0

l=-m

f [l ]z

-1

-l

f [n - m] z - m F ( z ) + z - mAdelanto

l=-m

f [l ]z

-1

-l

(6.10)

f [n + m] f [n + m]z - nn= 0

haciendo el cambio de variable l = n + m

f [n + m] f [l ]z - l + m = z m f [l ]z - l = z m f [l ]z - l - z m f [l ]z - ll=m l=m l=0 l=0

m -1

finalmente

f [n + m] z m F ( z ) - z m f [l ]z - ll=0

m -1

(6.11)

Convolucin La respuesta de estado cero de un sistema lineal, causal, invariante con el tiempo y que empieza en n = 0, est dada por la sumatoria de convolucin.n n y zs [n ] = x [n ]* h[n ] = x [m]h[n - m] Y zs ( z ) = x [m]h[n - m] z - n m= 0 n= 0 m= 0

en la transformada z, el ndice n de la sumatoria exterior vara de cero hasta infinito, y el ndice m de la sumatoria interior de cero a n, por consiguiente, el ndice superior de m se puede sustituir por infinito. Entoncesn y zs [n ] = x [m]h[n - m] Y zs ( z ) = x [m]h[n - m] z - n m= 0 n= 0 m= 0

146


cambiando el orden de las sumatoriasn y zs [n ] = x [m]h[n - m] Y zs ( z ) = x [m]h[n - m] z - n = x [m] h[n - m]z - n m= 0 m= 0 n= 0 m= 0 n= 0

con el cambio de variable l = n - m, en la segunda sumatoria

y zs [n ] = x [m]h[n - m] Y zs ( z ) = x [m] h[l ]z - l - m = x [m]z - mm= 0 m= 0 l=-m m= 0

n

l=-m

h[l ]z

-l

pero h[ l] = 0, para l < 0 ya que trata de un sistema causal, por tanto

y zs [n ] = x [m]h[n - m] Y zs ( z ) = x [m]z - m h[l ]z - l = X ( z )H ( z )m= 0 m= 0 l=0

n

(6.12)

De esta ecuacin, se deduce que la transformada z de la respuesta al impulso, h[n], es la funcin de transferencia H(z). O sea

h[n ] H ( z )De la Ec. 6.12

(6.13)

H( z) =

Y zs ( z ) X ( z)

(6.14)

este resultado establece, de manera semejante al caso continuo, que la funcin de transferencia de un sistema discreto lineal, invariante con el tiempo, causal y que inicia en n = 0 es igual a la razn de la transformada z de la respuesta de estado cero a la transformada z de la entrada. La funcin de transferencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo siempre es una funcin racional de la variable compleja z, es decir, que se puede escribir como la razn de dos polinomios de z. As, H(z) se puede expresar como

H( z) =

N ( z ) k ( z - z 1 )( z - z 2 )( z - z 3 )L = D ( z ) ( z - p1 )( z - p 2 )( z - P3 )L

(6.15)

La constante k constituye la ganancia, las constantes z 1 , z 2 , z 3 ,Kse denominan los ceros de H(z), ya que son valores de z para los cuales H(z) es cero. Por el contrario p 1 , p 2 , p 3 ,K se conocen como los polos de H(z), y proporcionan los valores de z para los cuales H(z) tiende a infinito. En general, la transformada z de la sumatoria de convolucin de dos seales discretas arbitrarias f1[n] y f2[n] es igual al producto de sus transformadas z

f 1 [n ]* f 2 [n ] F1 ( z )F2 ( z )

(6.16)

Escalamiento Multiplicar una secuencia f[n] por a n , mapea la transformada z con un argumento escalado.

147

6 LA TRANSFORMADA Z

a n f [n ] a n f [n ]z - n = f [n ]( z / a ) - n = F ( z / a )n= 0 n= 0

(6.17)

Derivacin dz - n d nf [n ] nf [n ]z - n = z f [n ]nz -1 - n = z f [n ] = - z dz n= 0 n= 0 n= 0 dz

f [n ]zn= 0

-n

as

nf [n ] - z

dF ( z ) dz

(6.18)

Teorema del valor inicial Este teorema permite conocer el valor inicial f[0] de una secuencia a partir de la transformada F(z) sin obtener la transformada z inversa de F(z). De la definicin de la transformada z

F ( z ) = f [n ]z - n = f [0] + f [1]z -1 + f [2]z -2 +Kn= 0

entonces

lim f [n ] = f [0] = lim F ( z )n0 z

(6.19)

Teorema del valor final El teorema establece lo siguiente

n

lim f [n ] = f [ ] = lim( z - 1)F ( z )z 1

(6.20)

Para probar este teorema, considere

f [n ]u[n ] - f [n - 1]u[n - 1] [ f [n ]u[n ] - f [n - 1]u[n - 1]]z - nn= 0

aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo

[ f [n ]u[n ] - f [n - 1]u[n - 1]]zn= 0

-n

z -1 = F ( z ) - z -1 F ( z ) = F ( z ) z

ecuacin que se puede escribir como

N

lim

[ f [n ]u[n ] - f [n - 1]u[n - 1]]zn= 0

N

-n

z -1 = F ( z ) z

Obteniendo el lmite cuando z 1

148


N z -1 lim lim [ f [n ]u[n ] - f [n - 1]u[n - 1]] z - n = lim F ( z ) z 1 N z 1 z n0

de donde

N

lim

[ f [n ]u[n ] - f [n - 1]u[n - 1]] = lim( z - 1)F ( z )n= 0 z 1

N

desarrollando la sumatoria

N

lim f [ N ] = lim( z - 1)F ( z )z 1

pero N puede ser cualquier variable, por lo tanto

n

lim f [n ] = lim( z - 1)F ( z )z 1

Debe tenerse cuidado al aplicar este teorema; ya que para que sea vlido (z - 1)F(z) debe ser analtica para z 1, lo que equivale a decir que (z - 1)F(z) no puede tener polos sobre o fuera del crculo unitario.Tabla 6.1 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z UNILATERAL

No.

f [ n]; n 0 f [ n] = 1 F ( z ) z n- 1 dz 2pj G Unicidad x[ n] = y[ n]

F(z) F ( z ) = f [ n] z - nn= 0

1

X (z) =Y (z)

2

Linealidad

an= 1

N

n

f n [ n]

a Fn n= 1

N

n

(z)

3

Desplazamiento (Atraso)

f [ n - m]

z -m F ( z ) + z -m

l =- m

f [ l] z

-1

-l

m0

4

Desplazamiento (Adelanto)

f [ n + m]

z m F ( z ) - z m f [ l] z - ll=0

m- 1

m0

5

Sumatoria de convolucin

f [ m] f [n - m]1 2 m= 0

n

F1 ( z )F2 ( z )

6

Multiplicacin en el tiempo

f 1 [ n] f 2 [ n]

F1 (h )F2 ( z / h )dh 1 G h 2pj

149

6 LA TRANSFORMADA Z

7

Escalamiento

a n f [ n]

F (z / a) dF ( z ) dz

8

Derivacin

nf [ n]

-z

9 10

Teorema del valor inicial Teorema del valor final

lim f [ n] = f [ 0]n 0

z

lim F ( z )

n

lim f [ n]

lim( z - 1)F ( z )z 1

Tabla 6.2 PARES DE TRANSFORMADAS Z

x( n ) 1 2 3 d[ n] d[ n - m] u[ n]

X (z) 1 z -m z z -1 z -m z z -1 z ( z -1) 2 z2 + z ( z - 1) 3 z z -a z ( z - a )2 z ( z - a )m+ 1 z z - eb

4

u[ n - m]

5

nu[ n]

6

n 2 u[ n]

7

a n u[ n]

8

na n-1 u[ n] n[ n - 1]L [ n - m + 1] n- m a u[ n] m! e nb u[ n]

9

10

150


11

cos[ nw]u[ n]

z[ z - cos( w)] z 2 - 2z cos( w) + 1 zsen( w) z - 2z cos( w) + 12

12

sen[ nw]u[ n]

13

cosh[nb]u[n]

z[ z - cosh( b )] z - 2z cosh( b ) + 12

14

senh[ nb]u[ n] f [ n]e - nb u[ n]

zsenh( b )] z 2 - 2z cosh( b ) + 1 F ( ze b )

15

Ejemplo 1 Funcin unitaria o impulso

d[n ] d[n ]z - n = 1n= 0

d[n - m] d[n - m]z - n = z - mn= 0

(Regin de convergencia, z > 0)

(6.21)

Secuencia unitaria o escaln unitario discreto

u[n ] u[n ]z - n = z - n =n= 0 n= 0

z 1 = -1 z -1 1- z

(Razn de convergencia, z > 1)

(6.22)

La ecuacin anterior se puede verificar, recordando

n= 0

x

N

n

=

1 - x N +1 1- x

(Serie geomtrica)

y empleando la propiedad de desplazamiento, Ec. (6.10)

u[n - m] Secuencia rampa

z -m z = z -m -1 z -1 1- z

( z > 1)

(6.23)

Considerando la propiedad de derivacin, Ec. (6.18)

r [n ] = nu[n ] - zSecuencia parbola

d z z = z - 1 ( z - 1) 2 dz

( z > 1)

(6.24)

151

6 LA TRANSFORMADA Z

Nuevamente con la Ec. (6.18)

p[n ] = n 2 u[n ] - z

d z z2 + z = dz ( z - 1) 2 ( z - 1) 3

( z > 1)

(6.25)

Ejemplo 2 Secuencia exponencial Con la propiedad de escalamiento, Ec. (6.17)

z w z ( e wn )u[n ] = ( e w ) n u[n ] e = w z -1 z - e w e

(z > e )w

(6.26)

Con la Ec. (6.26), es posible determinar los siguientes pares de transformadas

cos( nw)u[n ] =

e jw + e - jw z [ z - cos(w)] u[n ] 2 2 z - 2 z cos(w) + 1

( z > 1)

(6.27)

sen( nw)u[n ] =

z sen(w) e jw - e - jw u[n ] 2 2j z - 2 z cos(w) + 1

( z > 1)

(6.28)

Ejemplo 3 Obtenga la transformada z de la siguiente funcin

p f [n ] = ( n - 1)(02) n -1 sen[ ( n - 1)]u[n - 1] . 6Solucin De la Ec.(6.28), se tiene

(6.29)

p sen n u[n ] 6

. 05 z z2 -2 3 z +1 2

Considerando la propiedad de escalamiento, Ec. (6.17)

152


z 05 . p . 01z . 02 (02) n sen n u[n ] . = 2 2 . . 2 6 z - 3 z + 1 z - 02 3 z + (02) . . 02 02 con la propiedad de derivacin, Ec. (6.18)

01z d . p n(02) n sen n u[n ] - z 2 . 6 dz z - 02 3 z + (02) 2 . .

-01z 2 + 01(02) 2 . . . p n(02) n sen n u[n ] - z 4 . 3 2 2 . . . z - 0.4 3 z + 5(02) z - 2 3(02) 3 z + (02) 4 6 finalmente, aplicando la propiedad de desplazamiento, Ec. (6.10)

( n - 1)p Z{ f [n ]} = Z( n - 1)(02) n -1 sen . u[n - 1] 6

np 01z 2 - 01(02) 2 . . . Z{ f [n ]} = z -1 Z n(02) n sen . u[n ] = 4 3 2 2 . . 3 . 4 6 z - 0.4 3 z + 5(02) z - 2 3(02) z + (02)

Z{ f [n ]} = F ( z ) =

01z 2 - 0004 . . 4 3 2 z - 06928 z + 02 z - 00277 z + 0.0016 . . .

( z > 0.2)

(6.30)

Una forma de verificar la validez de esta transformada, consiste en comparar los primeros trminos de la secuencia de f[n] con los que se obtienen con la funcin filter cuando la secuencia de entrada es x[ n] = d [ n]. Como se puede apreciar con el siguiente programa.b = [0, 0, 0.1, 0, -0.004]; a = [1, -0.6928, 0.2, -0.0277, 0.0016]; [x,n] = secimpls(0,0,6) f_z = filter(b,a,x) % Transformada z f = [(n-1).*(1/5).^(n-1).*sin(pi*(n-1)/6)].*secuno(1,0,6) % Secuencia original

los valores que se obtienen sonx= 1 n= 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6

153

6 LA TRANSFORMADA Z

f_z = 0 f= 0 0 0.1000 0.0693 0.0240 0.0055 0.0008 0 0.1000 0.0693 0.0240 0.0055 0.0008

Por lo que se puede concluir, que la Ec. (6.30) s es la transformada z de f[n], Ec.(6.29)

Ejemplo 4 Demostrar que

na n-1 u[n ] Solucin

z ( z - a) 2

( z > a)

(6.31)

n z z n z na n -1 na n -1 z - n = = a n= 0 a a n= 0 n= 0 a a

n

- n -1

=

z d z - a n = 0 dz a

-n

=-

z d a dz

z a n= 0

-n

con la Ec. (5.54)

na n-1 -

z d z z = a dz z - a ( z - a ) 2

( z > a)

6.3 Transformada z inversaLa secuencia f[n] se dice que es la transformada z inversa de F(z) y est dada por

f [n ] =

1 F ( z ) z n -1 dz = Z -1 {F ( z )} 2pj G

(6.32)

Esta integral se puede calcular por medio del teorema del residuo, el cual establece que

Si

G

f ( z )dz = 2pj res f ( z ) + res f ( z ) +L + res f ( z ) z = a1 z =a2 z =ak

F ( z ) z n - 1 = Fo ( z ) =

N( z) = D( z )

N( z) ( z - p i ) mii =1 k

154

6.3 Transformada z inversa

donde k y mi son enteros positivos. Empleando el teorema del residuo se tiene

f [n ] = res [Fo ( z )]i =1 z = pi

k

(6.33)

donde para un polo simple

z = pi

res [Fo ( z )] = lim [( z - p i )Fo ( z )]z pi

(6.34)

y para un polo de orden r

z = pi

res [Fo ( z )] =

1 d r -1 lim r -1 [( z - p i ) r Fo ( z )] ( r - 1)! z pi dz

(6.35)

Se debe notar, que Fo ( z )puede tener un polo en el origen cuando n = 0y posiblemente polos de mayor orden para n < 0. Esto debe tenerse en cuenta al determinar f [ o], f [ -1], f [ -2], K .

Ejemplo 5 Determine la transformada z inversa de

a)Solucin a)

F( z) =

( z + 1) z 2( z - 1)( z + 2)

b)

F( z) =

( z + 1) 2( z - 1)( z + 2)

Fo ( z ) =Para n 0

( z + 1) z n 2( z - 1)( z + 2)

f [n ] = res [Fo ( z )] + res [Fo ( z )] =z =1 z = -2

( z + 1) z n 2( z + 2)

+z =1

( z + 1) z n 2( z - 1)

=z = -2

(1) n ( -2) n + 3 2(3)

puede mostrarse que para n < 0, f [ n] = 0 y por consiguiente

1 ( -2) n f [n ] = 1 + u[n ] 3 2 b)

(6.36)

Fo ( z ) =

( z + 1) z n -1 2( z - 1)( z + 2)

155

6 LA TRANSFORMADA Z

En este caso cuando n = 0, Fo ( z ) tiene un polo en el origen, por lo que f[0] se debe calcular por separado

f [0] =Para n > 0

z +1 2( z - 1)( z + 2)

+z=0

z +1 2 z ( z + 2)

+z =1

z +1 2 z ( z - 1)

=z = -2

1 2 -1 + + =0 2( -1)(2) 2(1)(3) 2( -2)( -3)

f [n ] = res [Fo ( z )] + res [Fo ( z )] =z =1 z = -2

( z + 1) z n -1 2( z + 2)

+z =1

( z + 1) z n -1 2( z - 1)

=z = -2

(1) n -1 ( -2) n -1 + 3 2(3)

cuando n < 0, f [ n] = 0 y por consiguiente

1 ( -2) n -1 f [n ] = 1 + u[n - 1] 3 2

(6.37)

Existen diversos mtodos para determinar la transformada z inversa, por ejemplo: divisin larga, convolucin, expansin binomial y desarrollo en fracciones parciales, siendo este ltimo el ms comn para obtener f[n] a partir de F(z).

Mtodo de la divisin largaPor medio de la divisin larga, se pueden calcular los trminos de la secuencia f[n], dada una funcin racional F(z). Dichos trminos se determinan aplicando el par de transformacin 2 de la tabla 6.2 al cociente que resulta.

Ejemplo 6 Obtenga mediante divisin larga, la transformada z inversa de la funcin F(z) del ejemplo 5.a

F( z) =Solucin

( z + 1) z z2 + z = 2 2( z - 1)( z + 2) 2 z + 2 z - 4

Al llevar a cabo la divisin del numerador entre el denominador, se tiene

156

Mtodo de la sumatoria de convolucin

0.5 + z-2 - z-3 + 3z-4 - 5z-5 + 2z 2 + 2z - 4 z 2 + z z2 + z - 2 2 2 + 2z-1 - 4z-2 - 2z-1 + 4z-2 - 2z-1 - 2z-2 + 4z-3 6z-2 - 4z -3 6z-2 + 6z-3 - 12z -4 por consiguiente

1 1 1 3 5 F( z) = + 2 - 3 + 4 - 5 + L 2 z z z zconsiderando el par de transformacin 2 de la tabla 6.2

f [n ] = 05d[n ] + 0d[n - 1] + d[n - 2] - d[n - 3] + 3d[n - 4] - 5d[n - 5] +K .secuencia que coincide con la que se obtiene al evaluar la f[n] correspondiente, Ec. (6.36).

Mtodo de la sumatoria de convolucinPara obtener la transformada z inversa de una funcin F(z) por medio de la sumatoria de convolucin es necesario, primero, expresar a F(z) como el producto de dos transformadas conocidas y posteriormente efectuar la sumatoria de convolucin correspondiente para determinar f[n]; es decir

f [n ] = Z -1 {F ( z )} = Z -1 {H ( z ) X ( z )} =

m = -

h[m]x( n - m)

Ejemplo 7 Calcule la transformada z inversa de

F( z) =Solucin

z ( z -1) 3

En este caso, F(z) se puede expresar como

F( z) =

z 1 = H( z)X ( z) 2 ( z - 1) ( z - 1)

de esta manera

157

6 LA TRANSFORMADA Z

H( z) =as

z h[n ] = nu[n ] ( z - 1) 2

y

X ( z) =

1 x [n ] = u[n - 1] z -1

f [n ] =finalmente

m=

mu[m]u[n - m - 1] = m = m =m= 0 m =1

n -1

n -1

n( n - 1) 2

f [n ] =

n( n -1) u[n ] 2

Mtodo de la expansin binomialLa expansin binomial se puede utilizar en transformadas z con un solo polo.

Ejemplo 8 Encuentre la transformada z inversa de

F( z) =Solucin

kz z -a

F(z) se puede expresar como

F ( z ) = k (1 + az -1 + a 2 z -2 + a 3 z -3 +K ) = ka n u[n ] z - n ka n u[n ] = f [n ]n= 0

{

}

(6.38)

asimismo, si

F( z) =entonces

k z -a

F ( z ) = k ( z -1 + az -2 + a 2 z -3 + a 3 z -4 +K ) = ka n -1 u[n - 1] z - n ka n -1 u[n - 1] = f [n ]n= 0

{

}

(6.39)

158

Mtodo de fracciones parciales

Mtodo de fracciones parcialesLa funcin racional F(z), se puede expresar en trminos de fracciones parciales como

F ( z ) = Fn ( z )n =1

N

donde las Fn ( z ) son transformadas z de polos simples, de manera que

Z -1 {F ( z )} = Z -1 {Fn ( z )}n= 0

N

Ejemplo 9 Determine la transformada z inversa de

a)Solucin

F( z) =

( z + 1) z 2( z - 1)( z + 2)

b)

F( z) =

z ( z + 025) 2 .2

Como el grado del numerador es igual al del denominador, la funcin F(z) se debe reescribir como

F( z) =

1 z2 + z -2 1 -2 1 1 1 1 1 1 = + = + 2 2 z -1 z + 2 2 z + z - 2 2 z + z - 2 2 ( z - 1)( z + 2) 2 3

por consiguiente, considerando los pares 1 y 4 de la tabla 6.2 y la Ec. 6.39, se tiene

1 1 f [n ] = d[n ] + 1 - ( -2) n -1 u[n - 1] 2 3continuacin se muestra

[

]

(6.40)

Una alternativa, consiste en expresar por medio de fracciones parciales a F(z)/z, en lugar de F(z), como a

F( z) z +1 1 1 1 1 = = + z -1 2 z + 2 z 2( z - 1)( z + 2) 3 ahora, multiplicando por z ambos miembros

1 z 1 z F( z) = + z -1 2 z + 2 3 del par 7 de la tabla 6.2

1 1 f [n ] = 1 + ( -2) n u[n ] 2 3 b)

(6.41)

Las Ecs. (6.40) y (6.41), son las antitransformadas de una misma F(z). Proporcionan las mismas secuencias?

159

6 LA TRANSFORMADA Z

En este caso, se tiene

a1 a2 b1 b2 F( z) 1 1 + + = 2 = = + 2 2 2 2 2 z + 05 j ( z - 05 j ) z - 05 j . . z . ( z + 025) . ( z + 05 j ) ( z - 05 j ) . . ( z + 05 j ) .en donde los residuos se pueden determinar por medio de la Ec. (6.35), es decir

ak =as

d k -1 1 [( z - p i )F ( z )] z = pi ( k - 1)! dz k -1

(6.42)

1 1 2j 1 F( z) 2j = 2 =+ 2 2 z z + 05 j ( z - 05 j ) 2 z - 05 j . . ( z + 025) . ( z + 05 j ) . .por lo que

F( z) = -

z z 2 jz 2 jz + 2 2 z + 05 j ( z - 05 j ) z - 05 j . . ( z + 05 j ) . .

de los pares de transformacin 7 y 8 de la tabla 6.2

f [n ] = -n( -05 j ) n -1 u[n ] + 2 j( -05 j ) n u[n ] - n(05 j ) n -1 u[n ] - 2 j(05 j ) n u[n ] . . . .agrupando trminos

(05 j ) n ( -05 j ) n . . f [ n ] = -n + . n . n - 2 j (05 j ) - ( -05 j ) u[n ] . -05 j . 05 j

[

]

f [n ] = 2 j n (05 j ) n - ( -05 j ) n - (05 j ) n - ( -05 j ) n . . . .

{[

] [n

]}u[n ]

1 j p f [n ] = 2 j e 2 2

1 - jp - e 2 2

n

np np - j 2 j( n - 1) j 2 [n - 1]u[n ] = - e 2 u[n ] e n 2

considerando la identidad de Euler, finalmente

f [n ] =

2 j( n - 1) 4(1 - n ) np np n 2 jsen 2 u[n ] = 2 n sen 2 u[n ] 2

160

6.4 Ecuaciones en diferencias

6.4 Ecuaciones en diferenciasLa forma general de la ecuacin en diferencias que modela un sistema discreto lineal e invariante con el tiempo de orden N con una entrada x[n] y una salida y[n] es

m= 0

aN

N

m

y [n + m] = b m x [n + m] = x f [n ]m= 0

M

(5.22)

La transformada z de la ecuacin anterior se obtiene aplicando los pares de transformacin 2 y 4 de la tabla 6.1

m= 0

a

m

m -1 m -1 M z m Y ( z ) - y [l ]z - l = b m z m X ( z ) - x [l ]z - l l=0 l=0 m= 0

(6.43)

despejando Y(z)m -1 N 0 a m z m y[l ]z - l l=0 Y ( z ) = m= N 0 a m z m m= M m -1 M 0 bm z m 0 bm z m x[l ]z - l = l=0 X ( z ) - m= + mN N a zm 0 a m z m m= 0 m m=

(6.44)

Recordando que la respuesta completa es igual a la suma de la respuesta de entrada cero ms la respuesta de estado cero

y [n ] = y zi [n ] + y zs [n ]al comparar las Ecs. (6.44) y (5.23), se tiene

(5.23)

Y ( z ) = Y zi ( z ) + Y zs ( z )

(6.45)

pudiendose apreciar que la respuesta de entrada cero, yzi[n], se debe a las N condiciones iniciales y[ 0], y[1],K , y[ N - 1] mientras que la respuesta de estado cero, yzs[n], se debe a la funcin de excitacin x[ n], x[ n + 1],K , x[ n + M ] como se sabe. La funcin de transferencia, H(z), se puede obtener de la Ec. (6.44), al considerar todas las condiciones iniciales nulas

Y zs ( z ) =

m= 0 N m= 0

b

M

m

zm X ( z)(6.45)

am z m

por lo que

= H ( z ) = mN 0 m= 0

b

M

m

zm(6.46)

am z m

161

6 LA TRANSFORMADA Z

Ejemplo 10 Demuestre que la ecuacin en diferencias del sistema lineal e invariante con el tiempo que se muestra en la Fig. 6.3 es

y [n + 2] + 4 y [n + 1] + 4 y [n ] = x [n + 2] - x [n + 1]y[n-2] -4

z

-1

x[n]

y[n]

z

-1

x[n-1]

-1

-4

zy[n-1]

-1

Figura 6.3. Diagrama de bloques de un sistema lineal e invariante con el tiempo de segundo orden.

Solucin De la figura, y[n] es igual a la suma de las variables que llegan al punto de suma, es decir

y [n ] = -4 y [n - 1] - 4 y [n - 2] + x [n ] - x [n - 1]como este sistema es invariante con el tiempo, se puede sustituir a n por n+2, por lo que

(6.47)

y [n + 2] + 4 y [n + 1] + 4 y [n ] = x [n + 2] - x [n + 1]

(6.48)

Ejemplo 11 Determine la respuesta al impulso del sistema mostrado en la Fig. 6.3. Solucin Aplicando a la Ec. (6.48) el par de transformacin 4 de la tabla 6.1, la transformada z correspondiente es

z 2 Y ( z ) - z 2 y [0] + y [1]z -1 + 4[ zY ( z ) - z [ y [0]]] + 4Y ( z ) = + z 2 X ( z ) - z 2 x [0] + x [1]z -1 - [ zX ( z ) - z [x [0]]]

[

]

[

]

162


despejando a Y(z)

Y ( z) =

y [0]z 2 + y [1]z + 4 y [0]z z2 - z x [0]z 2 + x [1]z - x [0]z + 2 X ( z) z 2 + 4z + 4 z + 4z + 4 z 2 + 4z + 4

(6.49)

cuando todas las condiciones iniciales se igualan a cero, la funcin de transferencia resulta

H( z) =

Y zs ( z ) z2 - z = 2 X ( z ) z + 4z + 4

(6.50)

La respuesta al impulso se obtiene calculando la transformada z inversa de la Ec. (6.50)

1 -3 H( z) z -1 z -1 + = = = 2 2 2 z z +2 z + 4 z + 4 ( z + 2) ( z + 2)entonces

H( z) =

-3 z z + 2 z +2 ( z + 2)

empleando los pares de transformacin 7 y 8 de la tabla 6.2

h[n ] = -3n( -2) n -1 u[n ] + ( -2) n u[n ] =

( -2) n (3n + 2)u[n ] 2

(6.51)

Se debe notar que la Ec. (6.50) se pudo determinar, en una forma ms simple, utilizando la Ec. (6.46). Puesto que en la Ec. (6.48)

N = 2, a 0 = 4, a1 = 4, a 2 = 1, M = 2, b 0 = 0, b1 = -1, b 2 = 1sustituyendo estos valores en la Ec. (6.46)

H( z) =

0- z + z2 4 + 4z + z 2

ecuacin idntica a la obtenida antes.

Ejemplo 12 Encuentre la respuesta de estado cero del sistema descrito por la Ec. (6.48), cuando la secuencia de entrada es

x [n ] = nu[n ]

163

6 LA TRANSFORMADA Z

Solucin La respuesta de entrada cero, yzs[n], es la respuesta del sistema que se debe nicamente a la entrada, x[n], cuando todas las condiciones iniciales son nulas; en este caso cuando y[ -1] = y[ -2] = 0. Si para obtener dicha respuesta se emplea la Ec. (6.49), es necesario primero determinar los valores de y[0] y y[1]. Valores que se pueden deducir utilizando la Ec. (6.47), como se muestra a continuacin, considerando que x[ n] = nu[ n]

y [n ] = -4 y [n - 1] - 4 y [n - 2] + nu[n ] - ( n - 1)u[n - 1]sustituyendo valores

y [0] = -4 y [-1] - 4 y [-2] + 0u[0] - ( -1)u[-1] = 0 y [1] = -4 y [0] - 4 y [-1] + 1u[1] - 0u[0] = 1Entonces en la Ec. (6.49)

Y zs ( z ) =

0z 2 + z + 0z z2 - z 0 z 2 + z - 0 z z ( z - 1) + 2 X ( z) - 2 = X ( z) z 2 + 4z + 4 z + 4z + 4 z + 4 z + 4 ( z - 2) 2z ( z -1) 2

Dado que la transformada z de x[n] es X ( z ) =

Y zs ( z ) =

z ( z - 1) z z = z 2 2 2 ( z - 2) ( z - 1) ( z + 2) ( z - 1)

desarrollando en facciones parciales

2 1 1 1 1 1 1 6z z z Y zs ( z ) = z + + =9 2 2 9 z + 2 9 z - 1 z + 2 z - 1 3 ( z + 2) ( z + 2) teniendo en cuenta los pares de transformacin 3,7 y 8 de la tabla 6.2, la trasformada z inversa de la ecuacin anterior es

y zs [n ] =

1 1 6n( -2) n -1 u[n ] - ( -2) n + u[n ] = 6n( -2) n -1 - ( -2) n +1 u[n ] 9 9

[

] [

]

Aunque no es necesario, se evala esta ecuacin para los primeros valores de n

1 y zs [0] = [6(0)( -2) -1 - ( -2) 0 + 1] = 0 9 1 1 y zs [1] = [6(1)( -2) 0 - ( -2)1 + 1] = [6 + 2 + 1] = 1 9 9 1 1 1 2 y zs [2] = [6(2)( -2) - ( -2) + 1] = [-24 - 4 + 1] = -3 9 9 1 1 y zs [3] = [6(3)( -2) 2 - ( -2) 3 + 1] = [72 + 8 + 1] = 9 9 9

164


Ejemplo 13 Determine la respuesta completa del sistema mostrado en la Fig. 6.3, cuando y[-2] = -1, y[-1] = 1 y x[n] = nu[n]. Solucin La respuesta completa, y[n], se obtiene antitransformando la Ec. (6.49). Debe notarse, sin embargo, que para determinar la transformada z inversa de esta ecuacin es necesario conocer los valores de y[0] y y[1] que la entrada y las condiciones iniciales producen. Estos valores se pueden determinar utilizando la Ec. (6.47) de manera semejante a la mostrada en el ejemplo anterior, o sea

y [0] = -4 y [-1] - 4 y [-2] + 0u[0] - ( -1)u[-1] = -4(1) - 4( -1) + 0 + 0 = 0 y [1] = -4 y [0] - 4 y [-1] + 1u[1] - 0u[0] = -4(0) - 4(1) + 1 - 0 = -3Sustituyendo en la Ec. (6.49) estos valores y la transformada z de x[n]

Y ( z) = Y ( z) =

0 z 2 - 3 z + 4(0) z z2 - z z 0 z 2 + 1z - 0 z + 2 - 2 z 2 + 4z + 4 z + 4 z + 4 ( z - 1) 2 z + 4z + 4 z2 4z -3 z 2 + 4 z = ( z + 2) 2 ( z - 1) ( z + 2) 2 ( z + 2) 2 ( z - 1)

-3 z + 4 Y ( z) = z 2 ( z + 2) ( z - 1) desarrollando en fracciones parciales

(6.52)

Y ( z) =por lo que

-10 z 1 z 1 z 1 -30 z z z + = + 2 2 3 ( z + 2) 9 z + 2 9 z - 1 9 ( z + 2) z + 2 z - 1

1 y [n ] = [-30n( -2) n -1 - ( -2) n + 1]u[n ] 9Con el fin de comparar este resultado con el ejemplo 13 del captulo 5, se evala y[n] para los primeros valores de n

1 y [0] = [-30(0)( -2) -1 - ( -2) 0 + 1] = 0 9 1 y [1] = [-30(1)( -2) 0 - ( -2)1 + 1] = -3 9 1 y [2] = [-30(2)( -2)1 - ( -2) 2 + 1] = 13 9 1 y [3] = [-30(3)( -2) 2 - ( -2) 3 + 1] = -39 9

165

6 LA TRANSFORMADA Z

Es una prctica comn escribir las ecuaciones en diferencias que modelan a los sistemas lineales e invariantes con el tiempo de la forma que se muestra en la Ec. (6.47).

Ejemplo 14 Empleando la Ec. (6.47), determine la respuesta completa del sistema de la Fig. 6.3, cuando x[n] = nu[n], y[-2] = -1 y y[-1] = 1 Solucin. Aplicando la propiedad de atraso de la transformada z, Ec. (6.10), a la ecuacin en diferencias siguiente

y [n ] + 4 y [n - 1] + 4 y [n - 2] = x [n ] - x [n - 1] Y ( z ) + 4 z -1 Y ( z ) + z -1 y [-1]z 1desarrollando

{

[

]}+ 4{z

-2

Y ( z ) + z -2 y [-2]z 2 + y [-1]z 1

X ( z ) - z -1 X ( z ) + z -1

{

[

]}= [x[-1]z ]}1

Y ( z ) + 4 z -1 Y ( z ) + 4 y [-1] + 4 z -2 Y ( z ) + 4 y [-2] + 4 y [-1]z -1 = X ( z ) - z -1 X ( z ) - x [-1]despejando a Y(z)

Y ( z) = -

4 y [-1] + 4 y [-2] + 4 y [-1]z -1 1 - z -1 x [-1] + X ( z) -1 -2 -1 -2 1 + 4z + 4z 1 + 4z + 4z 1 + 4 z -1 + 4 z -2

sustituyendo los valores correspondientes

Y ( z) = Y ( z) = finalmente

z 4(1) + 4( -1) + 4(1) z -1 1 - z -1 0 + -1 -2 -1 -2 2 -1 1 + 4z 4z 1 + z + z ( z - 1) 1 + z + z -2 4z z2 + z z -4 z z2 + 2 = + z 2 + 4 z + 4 z + 4 z + 4 ( z - 1) 2 ( z + 2) 2 ( z + 2) 2 ( z - 1)

-3 z + 4 Y ( z) = z 2 ( z + 2) ( z - 1) ecuacin idntica a la que se obtuvo en el ejemplo anterior, por consiguiente

1 y [n ] = [-30n( -2) n -1 - ( -2) n + 1]u[n ] 9166


El mtodo ms comnmente empleado para encontrar la secuencia de f[n] a partir de F(z) es el de fracciones parciales. MATLAB tiene implementada la funcin residuez que convierte la representacin de un sistema de tiempo discreto mediante la razn de dos polinomios en una expansin de fracciones parciales. Esta funcin, tambin permite efectuar la operacin inversa, es decir, dada la expansin en fracciones parciales obtener los polinomios originales. [R,p,C] = residuez(b,a) encuentra los residuos, polos y posiblemente un polinomio (si M N ) de una expansin en fracciones parciales de la razn de dos polinomios B(z) y A(z). Los vectores b y a especifican los coeficientes de los polinomios en potencias ascendentes de z-1. Sea F(z) una funcin racional impropia, es decir M N

F( z) =

-1 -M B( z ) b 0 + b1 z +L + b M z = A( z ) a 0 + a1 z -1 +L + a N z - N

(6.53)

si no existen polos mltiples, F(z) se puede reescribir como

F( z) =

N

Rm 1 - pm z-1

+

M-N m= 0

m =1

C

m

z -m

(6.54)

Si no es el caso, es decir que el polo pi tiene una multiplicidad r, entonces la expansin en fracciones parciales incluye un trmino de la forma

(1 - p zk =1 i

r

Rk

-1

)

k

=

R1 1 - pi z-1

+

R2 (1 - p i z )-1 2

+L +

Rr (1 - p i z -1 ) r

(6.55)

Cuando la funcin residuez tiene tres argumentos de entrada y dos argumentos de salida, [b,a] = residuez(R, p,C), se ejecuta la operacin inversa, es decir, convierte la expansin en fracciones parciales nuevamente a polinomios cuyos coeficientes se encuentran en los vectores b y a.

Ejemplo 15 Hllese la transformada z inversa de la funcin de transferencia H(z) del ejemplo 11

H( z) =Solucin

Y zs ( z ) z2 - z = 2 X ( z ) z + 4z + 4

(6.50)

Primero es necesario reescribir la funcin de la forma de la Ec. (6.53)

H(z) =

1 - z -1 1 - z -1 = 1 + 4z -1 + 4z -2 (1 + 2z -1 ) 2

el programa de MATLAB para obtener la expansin en fracciones parciales es

167

6 LA TRANSFORMADA Z

num = [1, -1]; den = poly([-2, -2]) [R,p,C] = residuez(num, den)

En este archivo.m se utiliza la funcin poly como una forma alternativa de determinar el denominador a partir de sus races. Los resultados que se obtienen son

den = 1 4 R= -0.5000 1.5000 p= -2 -2 C= []

4

por lo tanto

H( z) =

-05 . . -05 z . . 15 15 z 2 + = + -1 -1 2 z + 2 ( z + 2) 2 (1 + 2 z ) 1 + 2z

considerando los pares de transformacin 7 y 8 de la tabla 6.2 y la propiedad de adelanto

h[n ] = -05( -2) n u[n ] + 15( n + 1)( -2) n u[n + 1] = -05( -2) n u[n ] + 15( n + 1)( -2) n u[n ] . . . . = ( -2) n ( -05 + 15n + 15)u[n ] = . . . ( -2) n (3n + 2)u[n ] 2

resultado que coincide con el obtenido en el ejemplo. Veamos ahora el resultado de[b,a] = residuez(R,p,C) b= 1 -1 a= 1 4 4

Como se aprecia, se obtienen los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador originales.

168


Ejemplo 16 Determine la respuesta de estado cero del sistema cuya funcin de transferencia es la del ejemplo anterior cuando la entrada es

x [n ] = nu[n ]Solucin Del ejemplo 12, la transformada z de la respuesta de estado cero es

Y zs ( z ) =

z ( z - 1) z z2 z -1 = 3 = ( z - 2) 2 ( z - 1) 2 z + 3 z 2 - 4 1 + 3 z -1 - 4 z -3

la expansin en fracciones parciales empleando la funcin residuez, se puede obtener con el siguiente cdigonum = [0, 1]; den = poly([-2, -2, 1]) [R,p,C] = residuez(num, den) [b,a] = residuez(R,p,C)

los resultados que se obtienen son los siguientesden = 1 3 0 -4 R= 0.2222 - 0.0000i -0.3333 + 0.0000i 0.1111 p= -2.0000 + 0.0000i -2.0000 - 0.0000i 1.0000 C= [] b= 0.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i a= 1.0000 3.0000 0.0000 -4.0000

Resultados que se pueden escribir como

Y zs (z) =

02222 . 03333 . 01111 . + -1 -1 2 1 + 2z (1 + 2 z ) 1 - z -1 z z2 z . . - 03333 + 01111 2 z +2 z -1 ( z + 2)

. = 02222

la secuencia de yzs[n] correspondiente, se determina antitransformando la ecuacin anterior

169

6 LA TRANSFORMADA Z

y zs [n ] = 02222( -2) n u[n ] - 03333( n + 1)( -2) n u[n ] + 01111u[n ] . . . = [-01111( -2) n - 03333n( -2) n + 01111]u[n ] . . .En el ejemplo 12, la respuesta de estado cero que se calcul fue

y zs [n ] =

1 6n( -2) n -1 - ( -2) n + 1 u[n ] 9

[

]

esta ecuacin se puede reescribir como

1 6n( -2) n 1 y [n ] = - ( -2) n + 1 u[n ] = -3n( -2) n - ( -2) n + 1 u[n ] 9 -2 9 = [-03333n( -2) n - 01111( -2) n + 01111]u[n ] . . .

[

]

que obviamente coincide con el resultado que se obtuvo por medio de la funcin residuez.

De lo anterior, se concluye que es posible conocer la respuesta completa de un sistema si se conoce la ecuacin en diferencias que lo representa, la entrada y las condiciones iniciales mediante la transformada z inversa de la expansin en fracciones parciales que la funcin residuez genera. Finalmente, en el captulo anterior la funcin filter se utiliz para calcular la respuesta de estado cero de un sistema lineal e invariante con el tiempo dados los coeficientes de la ecuacin en diferencias que lo representa y la secuencia de la entrada. Cambiando los parmetros de entrada de la funcin, se le puede utilizar para obtener la respuesta completa (la respuesta de entrada cero debida a las condiciones iniciales ms la respuesta de estado cero debida a la entrada). La forma de la funcin filter con este propsito es

y = filter(b,a,x,xic)donde xic es un vector con condiciones iniciales equivalentes. Considere el siguiente ejemplo.

(6.56)

Ejemplo 17 Repita el ejemplo 14, utilizando la Ec. (6.56). Solucin En el ejemplo 14 la respuesta completa tiene la forma

Y ( z) = -

4 y [-1] + 4 y [-2] + 4 y [-1]z -1 1 - z -1 x [-1] + X ( z) -1 -2 -1 -2 1 + 4z + 4z 1 + 4z + 4z 1 + 4 z -1 + 4 z -2

170

ecuacin que se puede escribir como

Y ( z) = -

[4 y [-1] + 4 y [-2] + x [-1]] + 4 y [-1]z -11 + 4 z -1 + 4 z -2

+

1 - z -1 X ( z) 1 + 4 z -1 + 4 z -2

sustituyendo los valores de las condiciones iniciales

Y ( z) = -

[4 - 4 + 0] + 4 z -1 1 - z -1 + X ( z) 1 + 4 z -1 + 4 z -2 1 + 4 z -1 + 4 z -2 0 + 4 z -1 1 - z -1 X ( z) =+ 1 + 4 z -1 + 4 z -2 1 + 4 z -1 + 4 z -2

esta respuesta se puede considerar como la suma de una respuesta debida a unas condiciones iniciales equivalentes ms nuestra vieja conocida, la respuesta de estado cero. En este caso el vector de condiciones xic es

xic = [xic[0], xic[-1]] = [-0, -4]el cdigo.m que produce la respuesta completa esn = [0:5] x = n; xic = [-0,-4] a = [1,4,4]; b = [1,-1]; y = filter(b,a,x,xic)

los valores de la secuencia de la respuesta completa que se producen sonn= 0 1 xic = 0 -4 y= 0 -3

2

3

4

5

13 -39 105 -263

Compare estos valores con los obtenidos en el ejemplo 13. Qu se pude concluir?

ConclusionesEn este captulo se ha presentado el concepto de la transformada z, herramienta matemtica que desempea un papel anlogo al de la transformada de Laplace en el anlisis de los sistemas continuos, para el estudio de los sistemas de tiempo discreto y digitales lineales e invariantes con el tiempo. El plano complejo z se obtuvo del plano complejo s. Mediante la transformacin z = e sT , la regin de estabilidad para los sistemas analgico se mape en el crculo unitario, regin de estabilidad de los sistemas discretos. La funcin de transferencia se ha definido como la transformada z de la respuesta al impulso y viceversa. Se ha visto como utilizar la transformada z y sus propiedades para la obtencin de las diversas partes que constituyen la respuesta completa de un sistema de tiempo discreto lineal e invariante con el tiempo.

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6 LA TRANSFORMADA Z

Se han presentado, finalmente, varias funciones.m implementada en MATLAB como parte integral en el estudio de los sistemas discretos y que nos permiten evitar el trabajo arduo y tedioso. Como un ltimo comentario, en la literatura relacionada con estos temas se pueden encontrar otras funciones.m afines a estos tpicos que se implementan periodicamente, se recomienda a lector estudiarlas con la finalidad de facilitar la comprensin de los conceptos y su aplicacin y en un momento dado crear sus propias funciones.m

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