FERROMAGNETISMO fe13

• Transiciones orden-desorden.• Modelo de aleación binaria.• Modelo Lenz-Ising.• Modelo de Heisenberg y sus variantes.• Cristal magnético.• Gases reticulares.• Red de neuronas (lección aparte).

• Soluciones -matricial y combinatorial- en dimensiónuno: parte feB13.

• Teorema de Peierls: existencia de cambio de fase endimensión dos.

• Solución de Onsager.• Soluciones en aproximación campo medio.• Teoría de van der Waals; fluidos, condensación.• Teoría Curie-Weiss del ferromagnetismo.• Otros métodos aproximados.

Introducción

El modelado matemático de sistemas complejos y el estudio sistemático deestos modelos mediante ciertas técnicas (soluciones exactas, aproximacionescampo medio, desarrollos en serie, descripciones Langevin y Fokker-Planck,grupo de renormalización, etc.) han jugado papel esencial en teoría de cam-bios de fase y relacionadas. Esta lección es una introducción básica a losconceptos, desarrollos y problemas en este campo. Por otra parte, vemos losmétodos más eficaces de que dispone la Física para tratar sistemas complejoscon interacciones no triviales.

1

Transiciones orden-desorden. Modelo de aleación bina-ria.

Muchos sistemas (ej, aleaciones binarias Al-Zn y Au-Cu) presentan transi-ciones entre un estado ordenado –a bajas T ’s– y otro desordenada –a altasT ’s. El ejemplo ideal más sencillo:

• Sea red regular cuyos nudos (intersecciones) están ocupados por objetosde dos especies distintas, ej, ión tipo A o ión tipo B. En dimensión dos,una configuración posible es:

| | | |– A – A – B – A –

| | | |– B – A – B – B –

| | | |– A – B – A – B –

| | | |– B – B – A – A –

| | | |

• Supongamos que dos objetos interaccionan sólo cuando son vp (líneas);sean ϕAB, ϕAA, ϕBB las contribuciones de parejas AB, AA y BB, re-spectivamente, a la energía total consecuencia de esta interacción.

• Si no hay otro efecto (ee, el sistema está a T = 0K) :1. si ϕAB > 1

2(ϕAA + ϕBB) , se obtiene menor energía favoreciendo

los enlaces AA y BB sobre los AB, luego las configuraciones con-tendrán regiones que sólo contengan partículas A y otras regionesque sólo contengan B’s. Por ej, si la red es finita y las A’s sonminoritarias, mínima energía requiere todas las A’s agrupadas enesfera rodeada de un medio con sólo B’s

2. si ϕAB < 12(ϕAA + ϕBB) , la configuración energéticamente más

favorable tiene las partículas A y B alternadas en la red, formandouna especie de super-redes entrelazadas, una de A’s y otra de B’s,con especiado doble que la original, si lo permite la simetría de lared y la proporción de A’s y B’s.

2

Estas situaciones ocurren de hecho en aleaciones.

1. Al-Zn, Cu-Ti, Ni-Si, Au-Pt,... tendencia agrupamiento, como modelo 1(pero complicada pues red cs –en la que pensamos– es casi excepción,hay nudos vacíos, y deformaciones y defectos donde quizá tendencia aotro tipo de orden, segundos vecinos pueden interaccionar, etc.)

2. Au-Cu, Au-Cd, Mg-Cd, Cu-Zn,... presentan tendencia a formar super-redes (también complicada por otros factores)

Si, partiendo estados orden perfecto, elevamos T, la e térmica kBT inducealeatoriedad q tiende destruir orden perfecto; ej, en caso 1, esfera segregaráen partes no esféricas q, siendo ricas en A’s, contienen B’s en interior: MayorT : menos compacta la forma de grumos de A’s, y contendrán más B’s.

Las siguientes ideas parecen importantes aquí:

• Se tieneρ = xρA + (1− x) ρB;

ρA, ρB = densidades de las dos fases (rica en A’s y B’s, respectivamente),ρ = densidad media sistema. Si ρ = const. (puede ser apropiado paraaleaciones), x puede ser dado y ρA, ρB variar con la T : en T = 0K,ρA, ρB son máximas y disminuyen al aumentar T :

3

• Notrozos en q se divide fase rica en A’s y la irregularidad típica deéstos puede caracterizarse mediante longitud de correlación, ξ, que seráf (T ) : es pequeña, igual –o proporcional– al radio de la esfera paraT = 0K, y crece para T → TC (de hecho, ‘diverge’ en TC).[1]

• Para T > TC , sólo hay una fase homogénea, mezcla de A’s y B’s, peroorden de corto alcance, ee, agrupamientos microscópicos (ej, ξ del ordende unos pocos espaciados de la red)

• Para T → ∞, tiende a dominar agitación térmica q conduce a estadocompletamente homogéneo, desordenado, incluso a nivel microscópico.

La FP canónica para este modelo es, obviammente:

ZN (T ) =X

todas las configu-raciones de la red

exp

⎛⎜⎝−β Xtodas las

parejas de vp

ϕij

⎞⎟⎠

Veamos cómo escribir esta expresión de forma útil:

• Sea una red en dimensión d, con N nudos.

• Definimos variables concentración tales que:cAi = 1cBi = 0

¾=⇒ A en i

cAi = 0cBi = 1

¾=⇒ B en i

• En consecuencia, proponemos el hamiltoniano:

H =Xi,j

i6=j; vp

£cAi c

Aj ϕAA (rij) + cBi c

Bj ϕBB (rij) + 2c

Ai cBj ϕAB (rij)

¤−Xi

£cAi µA (ri) + cBi µB (ri)

¤donde µA (ri) = potencial químico local asociado con la especie A.

4

• Introducimos variables ocupación tales que:

si =

½+1 (A)−1 (B)

=⇒ cAi =12(1 + si)

cBi =12(1− si)

• que permiten escribir el hamiltoniano:

H = −Xi,j

i6=j: vp

Jij si sj −Xi

Hi si

donde

2Jij ≡ ϕAB (rij)− 12[ϕAA (rij) + ϕBB (rij)]

y

Hi ≡Xj( 6=i)

[ϕBB (rij)− ϕAA (rij)] + µA (ri)− µB (ri)

• Este hamiltoniano puede todavía simplificarse1:

H = −JqN/2Xi,j

i6=j: vp

si sj −HXi

si,

donde hemos supuesto

— isotropía, de modo que Jij = J ∀i, j, con

∗ J > 0 : se favorecen los productos si sj = +1, ee, parejas AAy BB, luego hay tendencia a la formación de grumos,

∗ J < 0 : se favorecen los productos si sj = −1, ee, parejas AB,luego hay tendencia a la formación de super-redes, y

— homogeneidad, de modo que Hi = H > 0 ∀i.1Como veremos, éste es el llamado hamiltoniano de Ising con interacciones entre vp.

5

• Así la FP es (G =e libre de Gibbs, hiji =parejas i, j que sean vp):

ZN (T,H) = exp [−βG (T,H, N)]

=Xs1=±1

· · ·X

sN=±1exp

⎡⎣−β⎛⎝−JX

hijisi sj −H

Xi

si

⎞⎠⎤⎦

• Para medir el grado de orden,2 definimos el exceso de una especie sobrela otra:

hMi = (ρA − ρB)N,

donde

M =NXi=1

si

es norelativo de nudos ocupados por A’s y B’s en una configuración.Ee, hMi es el promedio deM sobre todas las configuraciones, cada unacon su peso:

hMi =Xs1=±1

· · ·X

sN=±1M exp [−β H ({si})] = kBT

∂

∂H lnZN (T,H)

• De acuerdo con la curva de coexistencia presentada antes, el modelotiene transición cuando, para H = 0 (‘campo nulo’), se tiene orden pordebajo de cierta T, ee, cuando

hMi 6= 0 (ρA − ρB 6= 0) para H→ 0, T < TC .

Ee, planteamos el problema de demostrar esto, ej, calculandoZN (T,H) ,derivando respecto de H, y haciendo el límite H→ 0.

2Al escribir ZN (T,H) estamos implicando, además delH, una e térmica kBT que puedeinterpretarse consecuencia de las vibraciones de la red (o sistema de fonones) coexistiendocon los grados de libertad de ocupación, representable como baño térmico, de modo que∃ tendencia al orden, medida por J y H, y tendencia a la aleatoriedad, medida por T.

6

• Antes de discutir este problema, escribimos ZN (T,H) en forma ex-plícita.

— Es conveniente puesto que las configuraciones son muy degener-adas: muchas están caracterizadas por el mismo valor de H.

— De hecho, la energía de una configuración en el modelo no dependede los valores que toman todas las variables si, sino de unos pocosparámetros, por ej:

NA = nototal de partículas A (o de nudos con A), yNAA = nototal de parejas AA que sean vp

— Para comprobar este hecho, definimos también:

NB = nototal de partículas B; NB = N −NA

NBB = nototal de parejas BB vp’sNAB = NBA = nototal de parejas AB vp’s

Tenemos inmediatamente que[2]

qNA = 2NAA +NAB

qNB = 2NBB +NAB

— Se sigue que:

NB = N −NA (de N = NA +NB)

NAB = qNA − 2NAA (de la 1aigualdad)

NBB =12qNB − 1

2NAB (de la 2aigualdad)

= 12q (N −NA)− 1

2(qNA − 2NAA) (de las anteriores)

= 12qN − 1

2qNA − 1

2qNA +NAA

= 12qN − qNA +NAA

— de donde:Phiji si sj = NAA +NBB −NAB = 4NAA − 2qNA +

12qNP

i si = NA −NB = 2NA −N

7

— luego

H (NA,NAA) = −Jµ4NAA − 2qNA +

1

2qN

¶−H (2NA −N)

= −4JNAA + 2 (qJ −H)NA −µ1

2qJ −H

¶N

— y, finalmente, la FP es3:

ZN (T,H) =X

NA ,NAA

g (NA, NAA) exp [−βH (NA,NAA)]

= eβ(12qJ−H)N

NXNA=0

e−2β(qJ−H)NA

×XNAA

g (NA, NAA) eβ4JNAA

• La dificultad aquí reside en el cálculo de g (NA, NAA) ,

g (NA, NAA) = node configuraciones (con NA y NAA) o

g (NA, NAA) = node formas distintas de colocar N objetos A y B enla red de modo que se tengan números dados para NA y NAA

¡CALCULAR ZN (T,H) EQUIVALE A DETERMINAR g (NA, NAA)!

¡UN PROBLEMA COMBINATORIAL!

(de sencillo planteamiento pero, generalmente, difícil solución: tanto máscuanto más complicada sea la red)

Veremos cómo resolver este problema en algunos casos;obtendremos soluciones exactas y aproximadas

3La suma es sobre todos los valores posibles de NA , primero, y luego sobre todos losNAA compatibles con el NA en cuestión.

8

Modelo Lenz-Ising.

Al tiempo q Uhlenbeck+Goudsmit convencían de q electrón tenía espín 12,

y su dirección estaba cuantizada en presencia de c magnético, Lenz (1920)propuso a su alumno doctoral Ising explicar ferromag a partir concepto espín.

Lenz intuyó q considerando interacción entre los espines en red cristalina, demodo q primase el q los espines próximos fuesen paralelos y desfavoreciesefuesen antiparalelos, podía esperarse estabilidad de un estado ordenado a T ’ssuficient. bajas, cuando interacción predominase sobre agitación térmica.

Si esto ocurría por debajo de una T bien definida, se tendría elprimer modelo microscópico del ferromagnetismo.

Concretamente, Lenz propuso el hamiltoniano

H = −JXhiji

si sj −HXi

si,

con la interpretación

s1 =

½+1 espín ‘up’−1 espín ‘down’

,

ee, los dos posibles estados de un espín-12

Notar q requiere notable intuición en la época el q un tratamiento tan sim-plificado de las interacciones entre los espines de los electrones tendría qexplicar la ∃ de magnetización espontánea por debajo de cierta T en algunosmateriales.

Se espera, pues, que ZN (T,H = 0) describa transiciones entre configura-ciones paramagnéticas (espines desordenados, luego ‘magnetización’ M = 0)a T ’s altas y configuraciones ferromagneticas (con M 6= 0) o antiferromag-néticas a bajas T ’s.

Este modelo puede resolverse exactamente para d = 1 y 2.

Ising (1925) lo resolvió para d = 1, con el resultado de que no hay transicióna T finita, ee, TC = 0.[3]

9

Ernst Ising (1900-1998) demostró4 que el modelo unidimensional no pre-sentaba la transición esperada, y no reparó en papel fundamental de la di-mensión en este problema. Este fallo (aparente) llevó a Heisenberg a pro-poner interacción más complicada entre espines, que consideró vectoriales.Pero Peierls demostró la ∃ de estados ordenados en el modelo de Ising end = 2 a bajas T ’s y Onsager presentó el primer cálculo exacto de la FP delmodelo de Ising con red cuadrada en ausencia de campo. El caso d = 3 siguesin solución exacta.

4Wilhelm Lenz (1888-1957) introdujo el modelo enW. Lenz, Phys. Zeitschrift 21, 613 (1920).

La solución para d = 1, y su extensión –errónea– a d = 3, aparecieron enE. Ising, Thesis (in German), Hamburg, 1924, yE. Ising, Zeitschrift f. Physik 31, 253 (1925)

Los otros trabajos pioneros que se mencionan sonW. Heisenberg, Zeitschrift f. Physik 49, 619 (1928)R. Peierls, Proc. Cambridge Phil. Soc. 32, 477 (1936)L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944)

Interesantes notas pueden encontrarse enS.G. Brush, Rev. Mod. Phys. 39, 883 (1967)

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Modelo de Heisenberg y variantes.

El hamilt Lenz-Ising (Ising en adelante) tiene su generalización natural en:

H =X

i,j; i<j

Jij s(D)i · s(D)j −H ·

Xi

s(D)i

donde

las (tres) sumas se extienden a todos los nudos de una red en dimensión d

la ‘variable de espín’ s(D)i son vectores unidad D-dimensionales, donde Dno ha de coincidir necesariamente con d

Por ejemplo, puede tenerse:

Las variables s(D)i pueden interpretarse como espines cuantizados, capacesde presentarse en 2s+1 estados, con s = nocuántico de espín; el modelorequiere entonces tratamiento clásico, con límite clásico para s→∞.

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Este hamiltoniano sólo puede tratarse con cierta sencillez matemática enunos pocos casos particulares, no siempre los de mayor interés físico.Afortunadamente, el caso más sencillo (D = 1, ∀d : Ising) es el físi-camente más relevante: de hecho, muchas propiedades, incluyendo lascríticas, sólo dependen débilmente de s.

‘Modelo de Heisenberg’: d = D = 3.

La versión clásica (s→∞) , estudiada por Heller & Kramers (1934) abajas T ’s.

La versión cuántica (s finito; generalmente, se normaliza la magnitud decada espín dividiendo por

ps (s+ 1)), representa aceptablemente al-

gunos materiales,5 como compuestos ferromagnéticos del europio (EuO,EuS) y los materiales antiferromagnéticos RbMnF3 y KMnF3 (inclusoMnO, CoO y otros óxidos).[4]

Para D > 3, sigue estando bien definido, y es interesante pues tiene soluciónexacta cuando:

· D → ∞ con d = 1, 2, 3, incluso para H 6= 0 e interacciones varias(ej, vp’s e interacciones de largo alcance de la forma J (r) ∼ ra, a > d.Este modelo coincide, en el sentido de que ambos tienen la misma FP,con el celebradomodelo esférico de Kac (1947), cuyos espines tienenlongitud arbitraria (no necesariamente unidad) sólo restringida por lacondición

Psi = N

· d = 1 para cualquier D

El caso D = 2 (cualquier d) se conoce como elmodelo planar de Heisen-berg, estudiado (Vaks & Larkin 1966) en relación con la superfluidezen sistema de bosones (ver en lección apropiada)

Hemos de entender por qué el hamiltoniano indicado arriba esun buen modelo de cristal magnético, esto es, en qué pudo

basar Lenz su intuición.[5]

5Por supuesto, involucra, sin embargo, algunas propiedades poco realistas: completaisotropía, ausencia de defectos, espines, perfectamente localizados, etc. Ver L. J. de Jongh& A. R. Miedema, Advances in Physics 23, 1 (1974).

12

Gas reticular.

Sencillas modificaciones, a veces sólo conceptuales, del modelo de Ising per-miten aplicarlo a otras situaciones físicas caracterizadas por cooperatividadconsecuencia de interacciones.

Caso familiar: interpretar si = ±1 como existencia o no de partícula en nudoi, de modo que se simula la ∃ de un potencial entre partículas:

ϕ (r) =

⎧⎨⎩ ∞ si r = 0−ε0 si r = a = cte red0 en otro caso

que, como muchos potenciales realistas, contiene una parte esfera dura y unaatracción.

Propuesto por Yang & Lee (1952) para estudiar fluidos y sus transiciones:

• de hecho, interesante cuando a→ 0 y, a los valores así obtenidos parapropiedades emergentes, se les añade los tnos correspondientes a un gasideal, que representan e. cinética

• para ε0 > 0 (atracción), reproduce transición gas-líquido en el ptocrítico

• para ε0 < 0 (repulsión), se favorece distribución alternante de nudos ypartículas a bajas T ’s, mimetizando la solidificación.

El problema q plantea este modelo puede interpretarse como el de distribuirNA partículas entre losN nudos de la red con node coordinación q, teniéndoseuna energía total para cada configuración:

E = −ε0NAA,

luego

ZNA (T,N) =XNAA

g (NA,NAA) eβε0NAA ,

13

y el cálculo se reduce, como en Ising, al de la degeneración g (NA, NAA).6

Para comparar propiamente con el modelo de mezcla binaria, escribimos laFPM:

Ξ (T,N, µ) = eβNP (P = presión)

=NX

NA=0

zNAZNA (T,N)

=NX

NA=0

eβµNAXNAA

g (NA, NAA) eβε0NAA .

Ee, los dos modelos son matemáticamente equivalentes con las corresponden-cias:

z = eβµ ←→ e2β(qJ+H)

P ←→ − ¡GN+ 1

2qJ +H¢

ε0 ←→ −4JEe, hay perfecto isomorfismo matemático y físico si Ising se plantea en lacanónica y gas reticular en la macrocanónica.

Para acabar de explotar esta relación, notemos que, para una mezcla binaria(como vimos):

E = ϕAANAA + ϕABNAB + ϕBBNBB

= ϕAANAA + ϕAB (qNA − 2NAA) + ϕBB

µ1

2qN − qNA +NAA

¶=1

2qϕBBN + q (ϕAB − ϕBB)NA +NAA (ϕAA − 2ϕAB + ϕBB)

6N hace el papel de volumen total accesible al gas (en unidades de volumen de unacelda de la red);NAA = nototal de parejas de nudos vp ocupados;g (NA , NAA) = node formas distintas de distribuir NA partículas indistinguibles en Nnudos, de modo que se obtengan NAA parejas de partículas vp;la suma extendida a todos los posibles valores de NAA compatibles con los valores dadosde NA y N

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En definitiva:

mezcla binaria gas reticular Ising ferromagn.NA NA N+

NB N −NA N−ϕAA − 2ϕAB + ϕBB −ε0 4J

G− 12qϕBBN − q (ϕAB − ϕBB)NA G − ¡G

N+ 1

2qJ +H¢

Relevancia física del modelo de Ising:

modelo magnético½ferromagnetismoantiferromagnet.

aleación binaria½agrupamientos, Al-Znsuper-redes, Au-Cu

gas reticular½condensaciónsolidificación

sistemas desordenados

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩sists.magn. diluidosinteracciones q compitenvidrio de espinescampos aleatorios

biología

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩encimas: Thompson, p.177hemoglobina: ”DNA: ”redes de neuronas: ver

otros

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩invasión, propagación, fuegos,...: M&Dvotantes: M&Dautómatas celulares en hidrodinámicaetc

=⇒

Contiene la física esencial en fenómenos cooperativos, que son muynumerosos; clases de universalidad, Ising muy amplia; simetrías!!

15

References[1] En este contexto es suficiente esta definición fenomenológica. Una defini-

ción precisa requiere el concepto de función de correlación; ej, G (r) ≡hs (0) s (r)i , donde s (r) es la variable de ocupación en la posición r ≡ |r|y h· · · i es el promedio canónico. En muchas ocasiones de interés –perono siempre– se tiene que la correlación decae con la distancia mostrandoun comportamiento dominante: G (r) ∼ exp (−r/ξ) , que se toma comodefinición de ξ (T ) .

[2] En efecto, tomemos un nudo A cualquiera y lanzamos uniones a sus vp’s:habremos dibujado q líneas.

Repetimos con todos los A’s: habremos dibujado qNA líneas.

Pero éstas pueden también contarse notando que:

entre cada AA habrá dos líneas → 2NAA

entre cada AB habrá una línea → NAB

no habrá línea entre las parejas BB

Esto justifica la 1aigualdad; un argumento similar lleva a la 2a.

[3] La ausencia de transición d = 1 puede entenderse: Sea estado ordenado,con todos los espines ‘down’. Es posible que fluctuación térmica del equi-librio invierta serie de espines consecutivos en la cadena. Esta inversiónno puede ser contrarrestada por efecto de los espines no invertidos en losextremos, pues hay tendencias misma intensidad y distinto signo:

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En consecuencia, las fluct pueden destruir, y destruirán, el estado orde-nado, ee, no es estable en d = 1 para T > 0.

Noten que el mismo argumento es válido si la interacción sobre pasa losvp’s, con tal de que sea de alcance limitado y menor que la anchura de lafluctuación.

La prob de una fluct –por grande que ésta sea, ee, aunque sea del ordendel tamaño del sist– es no nula, luego el modelo d = 1 sólo puede tenerTC > 0 para interacciones de alcance ilimitado o infinito.

El argumento falla para d > 1, pues las interacciones pueden propagarsepor otros caminos.

Ising, que calculó exactamente d = 1, presentó también un argumentoy unos cálculos aproximados (incorrectos) para d = 2 y 3 que sugeríanausencia de transición también para esos valores de d.

Heisenberg (1928) se basó en esta supuesta falta de realidad del modeloLenz-Ising para justificar otro modelo basado en interacciones más com-plicadas.

Onsager (1944)7 presentó la primera solución para d = 2 –redcuadrada–, vp’s, H = 0. Hoy se considera una de las contribuciones másimportantes en FT de las últimas décadas: por primera vez –y siguesiendo casi único como modelo exactamente soluble con esta propiedad–se llegaba a reproducir un cambio de fase y fenómenos críticos en el límiteN →∞ para una interacción razonable; además se sabe ahora que es ex-traordinariamente realista para multitud de fenómenos.

Nunca se ha resuelto d = 3, pero sus propiedades ya se conocen muy bienpor métodos aproximados (Monte Carlo + Grupo Renormalización).

7Phys. Rev. 65, 117 (1944);B. Kaufman Phys. Rev. 76, 1232 (1949); B. Kaufman $ L.Onsager Phys. Rev. 76, 1244 (1949)

17

[4] Como se verá luego, para Jij > 0 ∀i, j, se favorece alineación paralelade los espines, como en estados ferromagnéticos, mientras que, paraJij < 0 ∀i, j, se favorece alineación antiparalela (formación de super-redes entremezcladas tq todos los espines vp’s a uno dado en una redestán en la otra red), como en estados ferromagnéticos.

[5] Modelo de cristal magnético(o cómo entender la intuición de Lenz).

Un cristal magnético ideal puede suponerse constituido por una red cuyosnudos están ocupados por átomos con momento magnético8

µ = g µB s donde

⎧⎨⎩ g, µB son constantess = m. angular total del átomo, capaz

de 2s+ 1 orientaciones

Así, el sist tiene (2s+ 1)N configuraciones posibles, cada una con ciertaenergía (sin duda, degenerada) consecuencia de la interacción mutua entrelos µ y de éstos con un campo magnético externo.

Limitémonos a sustancias ferromagnéticas.

Es un hecho que el ferromagnetismo es principalmente consecuencia delespín (y no del movimiento orbital) electrónico, ee, s = 1

2; hay evidencia

teórica en este sentido (ej, suponiendo s parámetro ajustable en teoría deWeiss –ver Pathria 393) y los experimentos gitomagnéticos –Barnett1944, Scott 1952– conducen a g ' 2, como corresponde al electrón.Así, suponemos µ = 2µB s y s = 1

2, luego hay dos posibles orientaciones

del m. magnñetico, µz = ±µB (y sz = 12) y 2N configuraciones posibles.

¿Cómo es la interacción entre si y sj vp’s? La MQ nos dice que es:

Kij ± Jij , donde

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Kij = e. directa o culombiana entre los espinesJij = e. de intercambio, de naturaleza cuántica

+ :

½para espines ‘antiparalelos’, ee, para estadosinglete ↑↓, antisim., de espín total S = 0

− :½para espines ‘paralelos’, ee, para el estadotriplete ↑↑, simétrico, de espín tot. S = 1

8Ver detalles en lección 8.

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Luego, la diferencia de energía entre los estados singlete y triplete es

ε↑↑ − ε↑↓ = Kij − Jij − (Kij + Jij) = −2Jij , (1)

donde vemos que

Jij > 0 =⇒ ε↑↑ < ε↑↓ =⇒ se favorece el triplete ↑↑,→ puedenpresentarse estados ferromagnéticos

Jij < 0 =⇒ ε↑↑ > ε↑↓ =⇒ se favorece el singlete ↑↓,→ puedenpresentarse est. antiferromagnéticos.

Pues bien, el resultado (1) está implicado por el hamiltoniano de Heisen-berg, ee, es un caso particular de la expresión en éste para la e. de unapareja de vp, por ejemplo (el 2 puede incluirse arbitrariamente):

εij = −2Jij (si · sj) ,donde εij representa indistintamente ε↑↑ o ε↑↓.

En efecto,

si · sj = 1

2

£(si + sj)

2 − s2i − s2j¤

quetiene valores propios

1

2[S (S + 1)− s (s+ 1)− s (s+ 1)] =

1

2S (S + 1)− s (s+ 1) ≡ α

de modo que se tiene para cada una de las posibilidades:

triplete¡s = 1

2, S = 1

¢: α = 1

4, ε↑↑ = −2Jij

¡14

¢singlete

¡s = 1

2, S = 0

¢: α = −3

4, ε↑↓ = −2Jij

¡−34

¢luego

ε↑↑ − ε↑↓ = −2Jijµ1

4

¶+ 2Jij

µ−34

¶= −2Jij

QED9

9De hecho, esto es una prueba de consistencia, pero puede demostrarse, salvouna cte. aditiva (K. Stevens, Phys.Rep. 24C, 1 (1976) y apéndice 1 de tesinade Parra), partiendo del hamiltoniano para dos átomos en el q figuren los tnos.de enrgía correspondientesa los electrones de las capas atómicas incompletas. Endefinitiva, se entiende el hamiltoniano de Heisenberg.

19

En este contexto, Ising equivale a reemplazar el producto

si · sj = sixsjx + siysjy + sizsjz

por uno de sus términos sizsjz.

◦ Desde un pto de vista matemático esta aproximación se justifica por susencillez: el modelo no requiere tratamiento cuántico puesto que los operesultantes conmutan.

◦ Desde un pto de vista físico, esta aproximación introduce anisotropía:la cuantización sólo ocurre a lo largo del eje z, luego sólo el tno sizsjz esdiagonal (y nulos los valores esperados de los otros tnos).10

El tno con campo magnético exterior ya ha sido justificado en la lecciónsobre paramagnetismo: representa la acción de H (en la dirección del ejez) sobre cada espín, lo que produce e. potencial adicional ∓µHz, o bien−µHzsi con si = ±1, respectivamente.

Por último, resulta que Jij , aunque es del mismo orden de magnitud queKij , decrece mucho más rápidamente con la distancia y, de hecho, esrelativamente pequeña para vecinos segundos.

10Se sabe (Matsubara & Matsuda 1956, Betts et al. 1968-70) que también es interesanteel modelo con dos tnos en el hamiltoniano, sixsjx+siysjy, pues simula ciertas propiedadesdel helio y de sustancias ferromagnéticas aislantes.

20