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Transitorios en RedesElectricas

Enrique Melgoza Vazquez

Instituto Tecnologico de Morelia

Junio 2007

Prefacio

La ocurrencia de fenomenos transitorios en redes electricas es inevitable: yasea por maniobras propias de la operacion de tales redes, por fallas en algunpunto, o la presencia de sobretensiones atmosfericas, el hecho es que en todared electrica van a ocurrir fenomenos de relativamente corta duracion queson la transicion de un estado de la red a otro.

El estudio de los fenomenos transitorios en redes electricas es importanteporque durante la ocurrencia de tales condiciones se presentan las magnitudesmas elevadas de voltajes y corrientes. Esta caracterstica no deja de ser pecu-liar: aunque la mayor parte del tiempo el sistema opere en el estado estable,los esfuerzos mas severos, tanto mecanicos como termicos y dielectricos, dehecho ocurren durante los breves periodos de duracion de los transitorios.Puesto que la especificacion, seleccion y diseno de los equipos deben basarseen el conocimiento de las maximas magnitudes esperadas de las variableselectricas, es necesario estimar tales magnitudes mediante el analisis de suscausas.

Antes de llevar a cabo el analisis de los fenomenos transitorios, debecontarse con modelos matematicos de los equipos y componentes envueltosen el disturbio. Generalmente el modelo de un equipo para un estudio detransitorios es distinto del modelo para un estudio en estado estacionario,y por lo general mucho mas elaborado y complejo. Por ejemplo, el modelode estado estacionario de un transformador es una impedancia serie; paraun estudio de transitorios en el que interese la distribucion interna de lassobretensiones en el devanado del transformador, por ejemplo, secciones de labobina se modelan individualmente, con capacitancias a tierra e inductanciasmutuas.

Estas notas tienen la finalidad de presentar los fundamentos de analisis defenomenos transitorios en redes electricas. Se repasan las tecnicas de analisisde circuitos de parametros concentrados, puesto que muchos fenomenos de

iii

iv PREFACIO

conmutacion pueden estudiarse mediante ese tipo de modelos. Las solucionesanalticas para los casos mas simples proporcionan una perspectiva util parael analista acerca de cual es el comportamiento esperado. Puesto que pararedes mas grandes la solucion analtica resulta impractica, se consideran al-gunos metodos de simulacion, es decir de calculo numerico; un punto nove-doso en este aspecto es la inclusion de una seccion sobre la sntesis y solucionnumerica de ecuaciones de estado. Con ellas, es posible simular transitorioselectricos aun cuando no se cuente con un programa computacional especial-izado.

Existen complejos paquetes computacionales para el estudio de fenomenostransitorios, tanto gratuitos como comerciales. ATP (Alternative TransientsProgram) y EMTP (Electromagnetic Transientes Program) son ejemplos decada categora. El principio de discretizacion en que se basan estos paquetesse discute, y se presentan ejemplos de su uso. Con esas bases es posiblepresentar las caractersticas de disturbios originados por el cierre o aperturade interruptores en la red, los denominados transitorios de conmutacion.

Los puntos anteriores se desarrollan desde el punto de vista de modelos deparametros concentrados. Sin embargo, la presencia de lneas de transmisionlargas hace necesario considerar que la propagacion de un disturbio en unextremo tarda un tiempo en aparecer en el otro. Un modelo de parametrosdistribudos es entonces necesario, el cual una vez determinado se utiliza enel analisis de condiciones peculiares no observadas en redes de parametrosconcentrados.

A lo largo de la presentacion se presentan modelos simples de los compo-nentes del sistema, los cuales se juzgan adecuados para el tipo de fenomenotransitorio discutido. Sin embargo, el lector debe recordar que un modelodado no es siempre aplicable a otras situaciones: si el rango de frecuenciasdel fenomeno cambia radicalmente, el modelo puede resultar por completoinadecuado.

Contenido

Prefacio iii

I Metodos de solucion y simulacion 1

1 Metodos de solucion 31.1 Circuitos de parametros concentrados . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Naturaleza de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ecuaciones homogeneas de primer orden . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Constante de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3 Ecuacion de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Ecuaciones no homogeneas de primer orden . . . . . . . . . . 101.4.1 Metodo del factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 Metodo de separacion de variables . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Ecuaciones homogeneas de segundo orden . . . . . . . . . . . 121.5.1 Circuito sin amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . 131.5.2 Circuito con amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Ecuaciones no homogeneas de segundo orden . . . . . . . . . . 191.7 Transformacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Metodos de simulacion 252.1 Ecuaciones de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Conceptos de topologa de redes . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Determinacion directa de las ecuaciones . . . . . . . . 282.1.3 Analisis nodal modificado . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.4 Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

v

vi CONTENIDO

2.1.5 Componentes no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.6 Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Circuitos asociados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 Circuito asociado de un inductor . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Circuito asociado de un capacitor . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Proceso de simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II Programas de simulacion 45

3 Introduccion a Matlab 473.1 Entorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Matrices y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4 Solucion de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Lenguaje de programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6 Graficacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.1 Figuras geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.7 Otros comandos utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Introduccion al ATP 614.1 Capacidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 ATP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Como obtener el programa . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2 Instalacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.3 Uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.3 Graficadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.4 ATPDRAW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1 Instalacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4.2 Uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III Transitorios en redes de parametros concentra-dos 79

5 Modelado de componentes en baja frecuencia 815.1 Modelo de la fuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1 Equivalente de The`venin . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

CONTENIDO vii

5.1.2 Mejoras al modelo de equivalente de The`venin . . . . . 82

5.2 Modelo de la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.1 Modelo de cargas compensadas . . . . . . . . . . . . . 84

5.3 Modelado de bancos de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3.1 Resistencia de descarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4 Apartarrayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4.1 Modelado de apartarrayos de ZnO . . . . . . . . . . . . 87

6 Transitorios de conmutacion 91

6.1 Energizacion de un circuito LR serie . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2 Energizacion de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 Energizacion de segunda etapa de capacitores . . . . . 96

6.3 Interrupcion de un corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3.1 Conmutacion con resistores . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4 Desenergizacion de carga inductiva . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.1 Desenergizacion de cargas CLR . . . . . . . . . . . . . 113

6.5 Corte de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.6 Re-ignicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.6.1 Re-ignicion al desconectar capacitores . . . . . . . . . . 117

6.6.2 Re-ignicion al desconectar inductores . . . . . . . . . . 118

7 Transitorios en transformadores 123

7.1 Modelado de transformadores para bajas frecuencias . . . . . . 123

7.1.1 Datos requeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1.2 Impedancia serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.1.3 Rama de magnetizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1.4 Inductancia inicial de magnetizacion . . . . . . . . . . 126

7.1.5 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.2 Corriente de irrupcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.2.1 Analisis del fenomeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.3 Ferro-resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.3.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.4 Transferencia capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.5 Transitorios en devanados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

viii CONTENIDO

IV Redes de parametros distribudos 139

8 Lneas de transmision 1418.1 La ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428.2 Reflexion y refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.3 Terminaciones de lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.3.1 Lnea terminada en corto circuito . . . . . . . . . . . . 1468.3.2 Lnea terminada en circuito abierto . . . . . . . . . . . 1478.3.3 Terminacion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8.4 Lneas de transmision de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.1 Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.2 Multiconductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.4.3 Acoplamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4.4 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Parte I

Metodos de solucion ysimulacion

1

Captulo 1

Metodos de solucion

1.1 Circuitos de parametros concentrados

Se dice que se tiene un modelo de circuito de parametros concentrados cuandolos elementos que forman al sistema se representan mediante los elementosideales:

Resistor:v = Ri, (1.1)

Inductor:v = L

di

dt, (1.2)

Capacitor:i = C

dv

dt, (1.3)

donde v es el voltaje presente en el elemento, e i la corriente a traves delmismo. Por convencion, corriente positiva entra por la terminal de mayorpotencial. Los parametros R, L, C reciben el nombre de resistencia, in-ductancia y capacitancia, respectivamente. Generalmente asumen un valorconstante y se dice que el componente es lineal; si dependen de la variablefuente (por ejemplo si L depende de la magnitud de i como es el caso de com-ponentes magneticamente saturables), entonces se habla de componentes nolineales.

Ademas de los elementos senalados, otros componentes circuito utilizadosen modelos de redes electricas son los siguientes:

3

4 CAPITULO 1. METODOS DE SOLUCION

Fuentes independientes:v = v(t) (1.4)

i = i(t) (1.5)

Transformador ideal:v1v2

= a (1.6)

i1i2=

1

a(1.7)

P1 = v1i1 = av2i2a= v2i2 = P2. (1.8)

Tambien existen fuentes dependientes. Un elemento comun en las redeselectricas es el interruptor (cortacircuitos), que en ocasiones no se incluyecomo tal en los modelos de circuito, sino que se toma en cuenta en las ecua-ciones respectivas como condicion inicial o cambios en la topologa de la red.

En ultima instancia, un modelo es una representacion de una situacionfsica real y en general es preferible tener un modelo simple (entre otras cosasporque permite una solucion analtica). Sin embargo, un modelo demasiadosimplificado no capturara el verdadero comportamiento del sistema. Con-sidere el caso de un banco de capacitores con dos etapas en una subestacion.Un modelo del sistema podra ser el mostrado en la Figura 1.1. La fuente ysu impedancia se representan mediante los parametros vs, Rs y Ls, mientrasque las etapas capacitivas son C1 y C2. Rb y Lb representan la resistenciae inductancia del bus entre las dos estapas; se han agregado porque de otramanera se tendra una condicion no permitida al cerrar los capacitores C1y C2 con distintos voltajes en cada uno de ellos. Mas aun, una resistenciasimple no reflejara el fenomeno de oscilacion de alta frecuencia observable almomento de la energizacion de la segunda etapa, y una inductancia simpleno da lugar a la atenuacion observada. Entonces, el circuito mostrado es laconfiguracion mas simple que modela la situacion real.

El proposito de este captulo es repasar algunos metodos de solucion ex-acta de las ecuaciones de circuito, para aquellos casos en los que un modelode parametros concentrados es adecuado.

1.2. NATURALEZA DE LAS ECUACIONES 5

Vs

Rs Ls

S1 S2

C1 C2

Rb Lb

Figura 1.1: Modelo de circuito para un banco de capacitores de dos etapas.

1.2 Naturaleza de las ecuaciones

Para circuitos de parametros concentrados simples, puede obtenerse unasolucion analtica. Este tipo de solucion es preferible porque el efecto decada uno de los factores en el problema puede determinarse con facilidaden la mayora de los casos. El comportamiento del sistema se puede captarentonces con mas rapidez.

Puesto que los elemento comunes de circuitos son descritos por ecua-ciones con una sola variable independiente (el tiempo, t), las ecuaciones quedescriben a los sistemas electricos de parametros concentrados son diferen-ciales ordinarias. Este tipo de ecuaciones puede resolverse en el caso lineal decualquier orden, y algunos casos no lineales [1]. Algunos metodos de solucionse discuten en las secciones siguientes.

1.3 Ecuaciones homogeneas de primer orden

Este es el caso mas simple: un solo elemento almacenador de energa, sinfuentes independientes en la red. La ecuacion resultante es entonces unaecuacion diferencial homogenea de primer orden.

1.3.1 Circuito RL

Como ejemplo, para el circuito de la Figura 1.2 con una condicion inicialiL(0) = I0, usando la ley de corrientes de Kirchhoff:

iR + iL = 0 (1.9)


i i+

-

vR L

R L

Figura 1.2: Circuito RL.

v

R+

1

L

t0vdt+ iL(0) = 0 (1.10)

Derivando y multiplicando por R se llega a:

dv

dt+R

Lv = 0, (1.11)

que efectivamente es una ecuacion diferencial homogenea de primer orden (ylineal en este caso). Observe que la ecuacion del circuito quedo en terminosde la variable de voltaje v. La solucion de esta ecuacion se puede escribirdirectamente, y es una funcion exponencial:

v = keRLt. (1.12)

El valor de la constante k se obtiene sustituyendo la condicion inicial v(0) =V0. Como la corriente I0 fue especificada como condicion inicial, el voltajeinicial se calcula mediante:

v(0) = V0 = RI0 = k. (1.13)

La solucion particular es entonces:

v = V0eRLt. (1.14)

En terminos graficos, la solucion obtenida es como se muestra en la Figura1.3 (para I0 > 0, es decir, V0 < 0.

1.3. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN 7

0 1 2 3 4 5 6 71

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Tiempo (s)

Volta

je (V

)

Figura 1.3: Voltaje en el circuito RL.

1.3.2 Constante de tiempo

La caracterstica curva de decaimiento exponencial nos resulta familiar. Loque la hace particular al circuito estudiado es el exponente R/L. Unamanera de captar la naturaleza de la respuesta del circuito cuando se varansus parametros es re-escribir la solucion (1.14) de la forma

v = V0e t , (1.15)

donde recibe el nombre de constante de tiempo del circuito. v tomaralos valores mostrados en la Tabla 1.1 para valores enteros de t/ . Observeque 0.3682 = 0.135, 0.3683 = 0.050, etc. Es decir, para cada intervalo igual ala constante de tiempo, el voltaje disminuye al 36.8% del valor al inicio delintervalo. Para t = 5 , el transitorio practicamente ha terminado.

Para nuestro circuito, la constante de tiempo esta dada por

=L

R. (1.16)

Si L se mantiene sin cambio y R se incrementa, la constante de tiempo dis-minuye, es decir, el transitorio se desvanece mas rapidamente. Puede pen-sarse que la energa almacenada en el campo magnetico de la inductancia sedisipa mas rapidamente cuando se incrementa la resistencia. Si la resistenciase disminuye, la energa se disipara mas lentamente o, equivalentemente, la


Tabla 1.1: Valores sucesivos de v para el circuito RL.

t/ v0 V01 0.368V02 0.135V03 0.050V04 0.018V05 0.007V0

constante de tiempo aumenta. Una analisis similar indica que la constantede tiempo aumenta con la inductancia.

1.3.3 Ecuacion de corriente

En el mismo circuito, si usamos la ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

RiR + LdiLdt

= 0, (1.17)

iR = iL = i, (1.18)di

dt+R

Li = 0, (1.19)

que es, matematicamente, la misma ecuacion que (1.11) y por lo tanto tienela solucion

i = I0eRLt. (1.20)

La naturaleza exponencial de esta respuesta es la misma que en el caso de lasolucion para el voltaje. El efecto de los parametros R, L en la respuesta esel mismo ya discutido. En el caso lmite en que R 0, , es decir, lacorriente no decae sino que se conserva en el nivel inicial I0; este sera el casopara un inductor construdo con alambre superconductor y puesto en cortocircuito.

Observe que el termino e(R/L) t aparece en los dos casos anteriores. Sepuede pensar que este es la huella digital de la configuracion, el compor-tamiento que la caracteriza. Conocer este comportamiento, para este y otroscircuitos comunes, permite tener una idea de la evolucion de la respuesta enotras situaciones, aun antes de solucionar las ecuaciones.

1.3. ECUACIONES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN 9

i i+

-

vR

R C

C

Figura 1.4: Circuito RC.

1.3.4 Circuito RC

El mismo tipo de respuesta exponencial aparece en circuitos RC. Para elcircuito de la Figura 1.4, la solucion en terminos de voltajes es:

iR + iC = 0 (1.21)

dv

dt+

1

RCv = 0 (1.22)

v = V0e tRC . (1.23)

En terminos de corrientes, la solucion es:

R iC +1

C

iCdt = 0 (1.24)

di

dt+

1

RCi = 0 (1.25)

i = I0e tRC , (1.26)

donde la condicion inicial I0 esta relacionada con el voltaje inicial de acuerdocon

I0 = V0R. (1.27)

La constante de tiempo es = RC. Tanto la respuesta de voltaje como lade corriente presentan la caracterstica exponencial con identica constante detiempo. Ahora un aumento en la resistencia da lugar a una evolucion maslenta (aumenta la constante de tiempo), el mismo efecto que tiene aumentarla capacitancia.


+Vs

R

L

i

Figura 1.5: Circuito RL con fuente.

1.4 Ecuaciones no homogeneas de primer or-

den

Cuando existe una fuente independiente en el circuito, la ecuacion diferencialtiene un termino que depende solamente del tiempo. Por ejemplo, para elcircuito de la Figura 1.5:

vs = Ri+ Ldi

dt. (1.28)

Reordenando terminos:di

dt+R

Li =

vsL. (1.29)

1.4.1 Metodo del factor integrante

La ecuacion resultante es no homogenea y puede resolverse multiplicando porun factor integrante, en este caso e

RLt:

eRLtdi

dt+R

LeRLti = e

RLtvsL. (1.30)

Se puede apreciar que el lado izquierdo de la ultima ecuacion es la derivadade un producto:

d

dt

(eRLti)= e

RLtvsL. (1.31)

Integrando en ambos lados:

eRLt i =

t0eRLtvsLdt+ k, (1.32)

1.4. ECUACIONES NO HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN 11

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 1.6: Corriente en el circuito RL con fuente.

i = eRLt t0eRLtvsLdt+ ke

RLt. (1.33)

Una vez especificada la funcion vs(t), se puede integrar esta ultima expresion.Por ejemplo, para vs = Vs (fuente de voltaje constante). se tiene:

i =VsLe

RLt t0eRLtdt+ ke

RLt, (1.34)

i =VsLe

RLt[L

ReRLt]t0+ ke

RLt, (1.35)

i =VsR

(1 eRL t

)+ ke

RLt. (1.36)

La constante k se evalua sustituyendo la condicion inicial i(0) = I0. ConI0 = 0, la solucion particular es:

i(t) =VsR

(1 eRL t

). (1.37)

La solucion se muestra en la Figura 1.6. Nuevamente, la componente ex-ponencial con constante de tiempo = L/R juega un papel primordial enla forma de la respuesta, tanto as que esta puede considerarse propia de laconfiguracion del circuito.


1.4.2 Metodo de separacion de variables

La ecuacion (1.29) tambien puede resolverse usando el metodo de separacionde variables cuando vs = Vs (constante). Re-escribiendo (1.29) se tiene

Ldi

dt= Vs Ri, (1.38)

di

Vs Ri =dt

L. (1.39)

Integrando:

ln (Vs Ri) = RLt+ k, (1.40)

Vs Ri = keRL t. (1.41)Despejando i:

i =VsR keRL t. (1.42)

Si i(0) = 0, entonces:

i =VsR

(1 eRL t

), (1.43)

que es (1.37). La solucion por el metodo de separacion de variables es massimple en este caso, pero es menos general que la solucion usando el metododel factor integrante. Por ejemplo, si la fuente es variante en el tiempo, elmetodo de separacion de variables no se puede aplicar.

1.5 Ecuaciones homogeneas de segundo or-

den

Cuando existen dos elementos almacenadores de energa en el circuito, laecuacion diferencial resultante es de segundo orden, es decir aparece una se-gunda derivada, o bien se tienen dos ecuaciones diferenciales de primer ordenacopladas. Por lo mismo, es necesario especificar dos condiciones iniciales.La solucion general contendra dos constantes por determinar.

1.5. ECUACIONES HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN 13

1.5.1 Circuito sin amortiguamiento

Considere el circuito LC de la Figura 1.7. Usando la ley de corrientes deKirchhoff:

Cdv

dt+

1

L

vdt = 0. (1.44)

Derivando y dividiendo por C:

d2v

dt2+

1

LCv = 0. (1.45)

Si se usa la ley de voltajes de Kirchhoff, la ecuacion que se obtiene es:

d2i

dt2+

1

LCi = 0, (1.46)

donde i es la corriente de referencia en el inductor. Esta ecuacion es de lamisma forma que (1.45), y por lo tanto tiene la misma solucion general. Enel caso de la ecuacion de voltaje (1.45), la solucion se puede escribir como

v = k1e+j0t + k2e

j0t, (1.47)

donde 0 = 1/LC. Haciendo uso de la identidad de Euler

ej = cos jsen, (1.48)se llega a

v = k1 cos0t+ k2sen0t = k1cos (0t+ k2) , (1.49)

donde las constantes k1, k2 dependen de las condiciones iniciales. Dado que laecuacion diferencial es de segundo orden, las condiciones iniciales requeridasson v(0) y v(0), es decir, el voltaje inicial y su derivada. Sin embargo, esmas factible que se especifiquen las condiciones iniciales v(0) e i(0). El valorde la derivada inicial del voltaje v(0) puede determinarse recordando que

iC = Cd

dt(vC), (1.50)

de donde

v(0) =1

CiC(0) = 1

Ci(0) (1.51)

puesto que la corriente de referencia en el capacitor tiene sentido opuestoa la de referencia en nuestra ecuacion (la de la inductancia). La respuesta


dada por (1.49) es una forma de onda senoidal con frecuencia 0, sin amor-tiguamiento (es decir, con amplitud maxima constante). Observe la natu-raleza fundamentalmente distinta de la respuesta de este circuito LC respectoa los circuitos de primer orden RL y RC considerados anteriormente. La os-cilacion es el resultado de que la energa se almacena y libera alternadamenteentre el capacitor y el inductor (en forma de campo electrico y magneticorespectivamente).

La solucion particular para el caso v(0) = V0, i(0) = 0 (equivalentementev(0) = 0) se determina evaluando las constantes k1, k2. Sustituyendo laprimera condicion inicial:

V0 = k1cos(k2). (1.52)

Derivando la solucion (1.49) y sustituyendo la segunda condicion inicial:

0 = k1sen(k2). (1.53)

Despejando k2 de (1.52) y sustituyendo en (1.53):

0 = 0 V0 senk2cosk2

= 0 V0 tan k2, (1.54)

tan k2 = 0, (1.55)

k2 = 0 k1 = V0, (1.56)

y la solucion particular esv = V0cos0t. (1.57)

La corriente se puede obtener facilmente a partir de (1.50), quedando

i = 0CV0sen0t. (1.58)

En la Figura 1.8 se muestran el voltaje y la corriente para este circuito. Sepuede ver que el voltaje es maximo cuando la corriente es cero, y que lacorriente es maxima cuando el voltaje es cero. Fsicamente, toda la energadel sistema esta almacenada en el capacitor cuando i = 0 y toda en el inductorcuando v = 0.

La frecuencia de la oscilacion es 0 = 1/LC. Un aumento en la induc-

tancia y/o en la capacitancia conlleva una disminucion en la frecuencia deoscilacion. Por el contrario, una disminucion del producto LC implica unaumento en la frecuencia de oscilacion.


i i+

-

vL

L

C

C

i

Figura 1.7: Circuito LC autonomo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

VoltajeCorriente

Figura 1.8: Voltaje y corriente en el circuito LC autonomo.


1.5.2 Circuito con amortiguamiento

Si se introduce una resistencia en el circuito, se tiene entonces la configuracionde la Figura 1.9, donde la ecuacion en terminos de la corriente se obtiene luegode aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff:

Ri+ Ldi

dt+

1

C

i dt, (1.59)

que despues de derivar y dividir por L queda:

d2i

dt2+R

L

di

dt+

1

LCi = 0. (1.60)

La ecuacion caracterstica es

s2 +R

Ls+

1

LC= 0, (1.61)

y la solucion general de la ecuacion diferencial se puede escribir como

i = k1es1t + k2e

s2t, (1.62)

donde

s1,2 =R

L(

RL

)2 4LC

2. (1.63)

La naturalez especfica de esta funcion depende de si las races son reales ocomplejas. Para el caso en que el termino dentro del signo de la raz es mayor,igual o menor que cero, se tiene un sistema sobreamortiguado, crticamenteamortiguado o subamortiguado (oscilatorio), respectivamente. La oscilacion,sin embargo, decae con el tiempo debido a la presencia del resitor R. Lasrespuestas posibles se ilustran en las Figuras 1.10 a 1.12, para condicionesiniciales i(0) = 0, vc(0) = 1 (o, equivalentemente, di/dt = 1/L) y losparametros en cada caso dados por:

Caso subamortiguado:R = 1, L = 1, C = 1.

Caso crticamente amortiguado:R = 2, L = 1, C = 1.

Caso sobreamortiguado:R = 4, L = 1, C = 1.


LC

i R

Figura 1.9: Circuito RLC autonomo.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Varia

bles

de

esta

do

VcIL

Figura 1.10: Respuestas del circuito RLC autonomo (caso subamortiguado).


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Varia

bles

de

esta

do

VcIL

Figura 1.11: Respuestas del circuito RLC autonomo (caso crticamente amor-tiguado).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo (s)

Varia

bles

de

esta

do

VcIL

Figura 1.12: Respuestas del circuito RLC autonomo (caso sobreamor-tiguado).

1.6. ECUACIONES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN 19

1.6 Ecuaciones no homogeneas de segundo or-

den

Para el circuito mostrado en la Figura 1.13, si la variable de interes es lacorriente, la ecuacion a resolver es

vs = Ldi

dt+

1

C

idt, (1.64)

o bien

vs = LCd2vcdt2

+ vc, (1.65)

si el voltaje en el capacitor es de interes. Esta ultima es una ecuacion difer-encial no homogenea de segundo orden. Su solucion consta de dos partes:la solucion de la ecuacion homogenea correspondiente, y la solucion comple-mentaria, cuya forma depende de la funcion independiente en la ecuacion.Si vs = Vs (constante), la solucion que se propone es vc = V , y la solucioncompleta es de la forma:

vc = k1cos(0t+ k2) + V (1.66)

(la solucion de la ecuacion homogenea se haba obtenido anteriormente).Sustituyendo la solucion completa en la ecuacion diferencial:

k120cos(0t+ k2) +

k1LC

cos(0t+ k2) +V

LC=

VsLC

(1.67)

Igualando los coeficientes de los terminos constantes:

V = Vs. (1.68)

Para las condiciones iniciales vc(0) = V0 y vc(0) = 0 (esta ultima equivalente

a i(0) = 0):vc(0) = k1 cos(k2) + Vs = V0, (1.69)

v(0) = k2 0 sen(k2) = 0, (1.70)de donde

k2 = 0, (1.71)

k1 = V0 Vs. (1.72)


+

Vs C

L

Figura 1.13: Circuito LC con fuente.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Tiempo (s)

Volta

je (V

)

Vo=+1Vo=+2Vo= 1

Figura 1.14: Voltaje en el capacitor en el circuito LC con fuente.

La solucion particular es entonces

vc = (V0 Vs)cos0t+ V s. (1.73)

Esta solucion se ha graficado para varios valores de V0 en la Figura 1.14.Observe que los parametros L y C del circuito determinan la frecuencia dela oscilacion, pero la magnitud maxima del voltaje depende de la diferenciaentre el voltaje aplicado y el voltaje remanente en el capacitor.

Si el voltaje de la fuente coincide con el voltaje remanente en el capacitor,el termino oscilatorio desaparece. En un circuito real, debe haber ciertaresistencia, de modo que la oscilacion se ira amortiguando gradualmentehasta que vc alcance el valor de voltaje de la fuente.

1.7. TRANSFORMACION DE LAPLACE 21

1.7 Transformacion de Laplace

Los metodos de solucion de las secciones anteriores son directos, es decir, setrabaja directamente con la ecuacion. Existe una alternativa consistente entransformar la ecuacion de manera que su solucion resulte mas sencilla. Latransformacion de Laplace es la mas comun de las transformaciones aplicadasa ecuaciones diferenciales; su atractivo es que la ecuacion se transforma aalgebraica, a partir de la cual es posible obtener facilmente la variable deinteres despues de aplicar la transformacion inversa.

La transformacion de Laplace se define por

F (s) = lim

0f(t)estdt, (1.74)

es decir, la funcion en el tiempo f(t) se transforma a la funcion en el dominiode la frecuencia F (s):

f(t) F (s). (1.75)Existen textos donde se pueden encontrar las transformaciones para las fun-ciones mas comunes, as como sus inversas; algunas de ellas se presentan enla tabla 1.2.

Un ejemplo ayudara a recordar el procedimiento a seguir. Para el circuitoLC con fuente, si la variable de interes es la corriente, se llega a la ecuacion(1.64). Transformando:

sLI Li(0) + IsC

+1

sC

0

i()d =Vss. (1.76)

Se puede ver que la integral en esta expresion representa el voltaje inicial enel capacitor:

1

C

0

i()d =q(0)

C= vc(0). (1.77)

Las condiciones iniciales requeridas son entonces i(0) y vc(0). Observe queel metodo de transformacion incorpora las condiciones iniciales de maneranatural. Despejando I(s):

I =CVs + sLCi0 v0

s2LC + 1. (1.78)

Si i0 = i(0) = 0 y v0 = v(0) = 0, la corriente transformada queda

I =CVs

s2LC + 1=

VsL

s2 + 1LC

, (1.79)


Tabla 1.2: Transformacion de Laplace de algunas funciones.

f = k F = ks

f = kt F = ks2

f = eat F = 1sa

f = sent F = s2+2

f = cost F = ss2+2

f = dgdt

F = sG g(0)

f = t g()d F =

Gs+ 1

s

0 g()d

y recordando que se haba definido 0 = 1/LC se tiene

I =

C

LVs

0s2 + 20

. (1.80)

Efectuando la transformacion inversa:

i(t) =

C

LVssen0t. (1.81)

Este ejemplo ilustra el hecho de que el metodo de transformacion es aplicabletanto a ecuaciones diferenciales como integrales e integro-diferenciales.

Para el mismo circuito, si la variable de interes es el voltaje en el capacitor,la ecuacion (1.65) resulta. En terminos de 0, la ecuacion es

d2vcdt2

+ 20vc = 20Vs, (1.82)

la cual, una vez transformada lleva a

(s2 + 20)Vc =20Vss

+ svc(0) + vc(0). (1.83)

1.7. TRANSFORMACION DE LAPLACE 23

Para vc(0) = V0 y vc(0) = 0:

Vc =20Vs

s(s2 + 20)+

sV0s2 + 20

. (1.84)

La inversa del segundo termino en el lado derecho es cos 0t. Para invertirel primer termino del lado derecho, se usa la descomposicion en fraccionesparciales siguiente:

20s(s2 + 20)

=1

s ss2 + 20

. (1.85)

De este modo,vc(t) = Vs (Vs V0)cos0t, (1.86)

que es la solucion que se haba obtenido anteriormente.

Captulo 2

Metodos de simulacion

Los metodos de solucion que han sido presentados se aplican a circuitossimples. Cuando se tienen redes extensas, la solucion exacta es impractica;mas aun, si existen componentes no lineales, por lo general no es posibleencontrar la solucion. Sin embargo, s es posible recurrir a la simulacionnumerica del circuito y a partir de ella extraer informacion pertinente.

Existen varias maneras de simular el comportamiento de un circuito.Si las ecuaciones del sistema se escriben de forma que las derivadas seanexplcitas (es decir mediante una ecuacion de estado), entonces se puedeusar un programa de solucion de EDOs (ecuaciones diferenciales ordinarias)comun, por ejemplo uno basado en las formulas de Runge-Kutta, Adams-Moulton, etc. Si no es posible escribir las ecuaciones de estado, puede in-tentarse escribir un sistema de ecuaciones diferencial-algebraicas (EDAs) yusar algun programa especfico basado, por ejemplo, en las formulas de difer-enciacion regresiva (BDF por sus siglas en ingles) o el metodo implcito deRunge-Kutta. Ambos enfoques se discuten en el presente captulo.

Otra posibilidad, comunmente usada en la practica para estudios a granescala, consiste en recurrir a un paquete computacional especializado que dis-cretiza los elementos de circuito antes de ensamblar el sistema de ecuaciones;como resultado, se resuelve una red resistiva equivalente. La implementacionde este enfoque de circuitos asociados en computadora ha resultado en ladisponibilidad de varios programas especializados, tales como EMTP, SPICE,etc. Matematicamente, este enfoque es equivalente al de solucion de EDAs,pero el uso real de uno y otro difiere notablemente en los detalles.

Los metodos de simulacion apuntados se discuten a continuacion. Cadauno tiene ventajas y desventajas y la eleccion de uno de ellos depende de la

25

26 CAPITULO 2. METODOS DE SIMULACION

naturaleza del problema. Por ejemplo, para problemas pequenos o para unaexploracion inicial del problema, la primera opcion es intentar una solucionanaltica. Si esto no es posible o se vuelve innecesariamente complicado,es posible plantear el enfoque de ecuaciones de estado. Muchos problemaspracticos pueden resolverse mediante este enfoque. Por ultimo, para proble-mas a gran escala se requiere utilizar un programa especializado de simulacionde transitorios en sistemas de potencia. Esta opcion, sin embargo, tiene elcosto que implica aprender el manejo de tal programa, que a menudo puederesultar complejo. Para problemas pequenos, tal costo puede no estar justi-ficado y es por ello que en este captulo se presentan ambas alternativas desimulacion de transitorios.

Es necesario hacer notar que los metodos que se presentan en este captulono son los unicos que se pueden emplear. Se han propuesto un gran numero detecnicas de analisis y solucion que no mencionaremos. Un ejemplo notable esel analisis en el dominio complejo o analisis en la frecuencia, que contrasta conlos metodos de analisis en el dominio del tiempo que se discuten enseguida.

2.1 Ecuaciones de estado

Varios metodos para aproximar la solucion de la ecuacion de estado general

x = f(x) (2.1)

han sido implementados en rutinas de computadora. Se trata de solucionarun sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs), para lo cual secuenta con varios metodos bien conocidos; el metodo explcito de Runge-Kutta es uno de ellos.

Muchas de las rutinas implementadas estan disponibles publicamente, in-cluyendo su codigo fuente, en depositos de rutinas cientficas, o han sido incor-poradas en entornos de calculo numerico de uso general. Las mas avanzadasincorporan previsiones para variar el paso de integracion automaticamente,cumpliendo con una cota de error. En resumen, la alta disponibilidad yconfiabilidad de estas rutinas las hacen una alternativa atractiva en la simu-lacion de sistemas dinamicos en general, y de transitorios en redes electricasen nuestro caso. En particular, su uso es ventajoso dado que no se requierepasar por el proceso de aprendizaje de otras herramientas de simulacion masespecializadas.

2.1. ECUACIONES DE ESTADO 27

En esta seccion se discuten dos metodos para la determinacion de lasecuaciones de estado: uno basado en conceptos de topologa de redes y otrobasado en el analisis nodal modificado. Posteriormente se ilustra el pro-cedimiento de simulacion y se discuten algunos casos especiales, incluyendocomponentes no lineales y transformadores.

2.1.1 Conceptos de topologa de redes

Antes de presentar la metodologa para la sntesis de las ecuaciones de estado,conviene repasar algunos conceptos de topologa de redes [2]. Partiendo delos conceptos de nodo y rama, que se asumen conocidos por el lector, sedefinen:

Grafico. El conjunto de nodos N y de ramas R tales que cada ramaincide en dos nodos:

G = (N ,R). (2.2)

Subgrafico. Si N1 N y R1 R, entonces si G1 = (N1,R1) es a suvez un grafico, se le llama subgrafico de G.

Lazo. Dado un grafico conectado G, un lazo L se define como unsubgrafico conectado de G tal que exactamente dos ramas inciden encada nodo.

Arbol. Un arbol de un grafico conectado G es un subgrafico que es a suvez conectado, contiene todos los nodos de G y no contiene lazos. Lasramas que no pertenecen al arbol se llaman cuerdas.

Conjunto de corte. Dado un grafico conectado G, un conjunto de ramasC R forma un conjunto de corte si la remocion de todas las ramasde C deja un grafico desconectado, y la remocion de todas excepto unarama de C deja un grafico conectado.

Con estas definiciones, citamos el Teorema Fundamental de Graficos:

Dado un grafico conectado G con n nodos y r ramas, y un arbolA de G,1. Existe una trayectoria unica a traves del arbol entre cua-

lesquiera dos nodos.


2. Existen n 1 ramas en el arbol y r (n 1) cuerdas.3. Cada rama del arbol junto con algunas cuerdas define un

conjunto de corte, llamado el conjunto de corte fundamentalasociado con esa rama del arbol.

4. Cada cuerda y la trayectoria unica en el arbol entre sus dosnodos constituyen un lazo unico, llamado lazo fundamentalasociado con esa cuerda.

2.1.2 Determinacion directa de las ecuaciones

El proceso a seguir puede ilustrarse con el ejemplo de la Figura 2.1. Elmetodo que se describe a continuacion para escribir las ecuaciones de estadofunciona para muchas redes de interes:

1. Seleccionar un arbol a partir del grafico del circuito, que incluya a todoslos capacitores y ningun inductor. Note que si un circuito tiene un lazode capacitores o un conjunto de corte de inductores, entonces no sepuede encontrar un arbol apropiado y el metodo falla. Para nuestroejemplo, seleccionamos el arbol mostrado en la Figura 2.2.

2. Se seleccionan como variables de estado los voltajes en los capacitoresy las corrientes en los inductores. En nuestro caso, las variables deestado son v1, v2, iL.

3. Para cada conjunto de corte fundamental definido por un capacitor,escribir una ecuacion a partir de la ley de corrientes de Kirchhoff, enterminos de las otras variables de estado y de las variables de entrada(fuentes independientes). Para el ejemplo presentado, los conjuntos decorte definidos por los capacitores se muestran en la Figura 2.2, y lasecuaciones son:

v1 vsR1

+ C1dv1dt

+ iL = 0, (2.3)

iL + C2dv2dt

+v2R2

= 0. (2.4)

4. Para cada lazo fundamental definido por un inductor, escribir unaecuacion a partir de la ley de voltajes de Kirchhoff. En el caso pre-sente, la ecuacion resultante es:

v1 + LdiLdt

+ v2 = 0. (2.5)


+

R1 L

R2C2C1Vs

Figura 2.1: Circuito de ejemplo.

III

Figura 2.2: Arbol para circuito de ejemplo y conjuntos de corte asociadoscon los capacitores.

Las derivadas se pueden poner de manera explcita:

dv1dt

= v1C1R1

iLC1

+vs

C1R1, (2.6)

dv2dt

= v2C2R2

+iLC2

, (2.7)

diLdt

=v1L v2

L. (2.8)

Estas son las ecuaciones de estado para el circuito de ejemplo. Para este casolineal, las ecuaciones anteriores se pueden poner en forma matricial:

dv1dt

dv2dt

diLdt

= 1

C1R10 1

C1

0 1C2R2

1C2

1L

1L

0

v1

v2

iL

+

1C1R1

0

0

vs. (2.9)


2.1.3 Analisis nodal modificado

Un metodo ligeramente diferente de plantear las ecuaciones de estado surgeempleando el metodo de analisis nodal convencional. En el, se escribe unaecuacion de equilibrio de corriente para cada nodo, y los voltajes de nodo atierra son las incognitas del problema. Para ramas capacitivas, la corrientees proporcional a la derivada del voltaje, de modo que esa rama contribuyeun termino derivativo a la ecuacion. Si embargo, en inductores la corrientees la integral del voltaje, por lo que se requiere realizar una derivacion dela ecuacion para ese nodo de manera que se elimine la integral. Si haycapacitancias conectadas a ese nodo, esto resulta en segundas derivadas, lascuales hay que transformar nuevamente a primeras derivadas introduciendouna variable adicional y una segunda ecuacion.

En el analisis nodal modificado, la corriente en el inductor no se poneen terminos de los voltajes, sino que se conserva como variable de estado yse agrega la ecuacion diferencial que describe a la inductancia. Entonces, setiene un termino diferencial por cada capacitor y uno por cada inductor, aligual que cuando se recurre al metodo de arbol para plantear las ecuaciones.Sin embargo, en el caso del analisis nodal modificado puede requerirse masmanipulacion algebraica para poner las ecuaciones en forma adecuada. Porejemplo, si existen dos capacitores conectados a un nodo, la ecuacion de cor-rientes para ese nodo contendra dos derivadas y se requiere eliminar una deellas para que las ecuaciones queden de la forma requerida (o bien puedeutilizarse el procedimiento descrito mas adelante en la seccion de transfor-madores).

2.1.4 Simulacion

Las ecuaciones del sistema son usadas como datos de entrada a un programade solucion de EDOs; con fines ilustrativos la discusion siguiente asume quese emplearan los solucionadores incluidos en el entorno de calculo Matlab.

Puesto que los parametros y las condiciones iniciales deben tener un valorespecfico, cada solucion es particular a esos valores y es mas difcil discernirla naturaleza de la respuesta y el efecto de los parametros. Por otra parte,dado que los equipos de computo cada vez son mas poderosos, la solucion deun caso particular toma solo unos pocos minutos o segundos.

Para el caso de ejemplo, deben de asignarse valores numericos a losparametros R1, R2, C1, C2, L, y especificar la fuente vs y las condiciones


iniciales v1(0), v2(0), iL(0). Considere el caso en el que las condiciones ini-ciales son cero y se aplica una fuente de voltaje constante en t = 0, con losparametros dados por:

vs = 100V,

R1 = R2 = 1,

L = 1mH,

C1 = C2 = 5F.

El codigo siguiente se puede almacenar en un archivo de texto, bajo el nom-bre ejemplo.m, y usarse como entrada para simular el circuito usando lossolucionadores de EDOs de Matlab:

function dotx = ejemplo(t,x)

% Funcion de estado para circuito de ejemplo.

% Parametros:

Vs = 100;

R1 = 1;

R2 = 1;

C1 = 5e-6;

C2 = 5e-6;

L = 1e-3;

dotx = zeros(3,1);

dotx(1) = -x(1)/(C1*R1) - x(3)/C1 + Vs/(C1*R1);

dotx(2) = -x(2)/(C2*R2) + x(3)/C2;

dotx(3) = x(1)/L - x(2)/L;

Asumiendo que el archivo esta en alguno de los directorios de la ruta deMatlab, la simulacion se inicia con el comando

>> [t,x] = ode113(ejemplo,[0,0.005],[0 0 0]);

Este comando se interpreta as: llamar la rutina de solucion ode113, con lafuncion de estado ejemplo.m como argumento; simular de t = 0 a t = 0.005segundos, con condiciones iniciales cero y almacenando el resultado en lasvariables t, x.

Podemos desplegar graficamente la solucion con el comando


>> plot(t,x)

(despliega todas las variables de estado), o con

>> plot(t,x(:,1))

(despliega la primera variable de estado).

La Figura 2.3 muestra la respuesta del circuito. v2 e iL se comportan comoen un circuito LC sobreamortiguado. En cambio, v1 exhibe una respuestaque no se haba observado: crece exponencialmente con una constante detiempo pequena y decrece exponencialmente con una constante de tiempomayor. Se alcanzo el valor de estado estable en alrededor de 3.3ms (no semuestra todo el periodo transitorio). El solucionador requirio de 685 pasos(de longitud variable) para completar la simulacion.

A partir de la experiencia previa podemos suponer que la naturaleza dela respuesta se modifica al cambiar el valor de las resistencias. Por ejemplo,si R2 se aumenta, C2 intercambiara mas energa con la porcion LC serie, porlo que la respuesta probablemente sea oscilatoria. Con R2 = 10, se puedeobservar que las tres variables de estado oscilan alrededor de su valor deestado estable, el cual alcanzan rapidamente (0.6ms), Figura 2.4.

Con R2 = 100, la oscilacion es mas evidente. v1 se carga rapidamente aun voltaje cercano al de la fuente (con pequenas oscilaciones). Sin embargo,v2 alcanza un valor pico de aproximadamente 170V, que es 70% mas que suvalor final. El transitorio dura aproximadamente 3ms; el periodo inicial semuestra en la Figura 2.5.

2.1.5 Componentes no lineales

El metodo de simulacion usando variables de estado puede ser aplicado in-cluso cuando se tengan elementos no lineales. La discusion se centra en elcaso de inductores no lineales, porque tales componentes se presentan co-munmente.

Funcion de flujo enlazado

Suponga que se tiene un inductor no lineal descrito por la funcion

= (i). (2.10)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 103

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Varia

bles

de

esta

doV1V2IL

Figura 2.3: Variables de estado del caso de ejemplo, R2 = 1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 103

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo (s)

Varia

bles

de

esta

do

V1V2IL



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 103

20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Tiempo (s)

Varia

bles

de

esta

do

V1V2IL


Dado que el voltaje en el inductor esta definido por la ley de Faraday

vL =d

dt, (2.11)

se tiene que

vL =d

di

di

dt. (2.12)

En el circuito de ejemplo, la ecuacion en el lazo del inductor se modifica paraquedar:

v1 + ddi

di

dt+ v2 = 0, (2.13)

y la ecuacion de estado queda

di

dt=

1ddi

(v1 v2) . (2.14)

Como ejemplo, considere el circuito de la Figura 2.6, que representa laenergizacion de un inductor no lineal a traves de una fuente senoidal con unaresistencia dada. Los parametros de este circuito son vs = 5 cos(t), R = 1,y un inductor cuyo flujo enlazado es una funcion de la corriente dada por = tanh(i).

En la Figura 2.7 se muestra la grafica del flujo enlazado como funcionde la corriente para este caso. Hay que recordar que esta es una funcion


Vs

R

L

i

Figura 2.6: Circuito RL con fuente, con inductor no lineal.

idealizada; sin embargo, se puede usar para aproximar un inductor real si seagregan las constantes adecuadas. La funcion de estado en lenguaje Matlabes la siguiente:

function dotx = circuito_vrl_nl(t,x)

% Funcion de estado para circuito RL con fuente,

% inductancia no lineal.

% Parametros:

Vs = 5*cos(t);

R = 1;

D = ( sech(x) )^2;

dotx = zeros(1,1);

dotx(1) = ( Vs - R*x(1) ) / D;

La respuesta de corriente del circuito descrito se presenta en la Figura2.8. La tpica forma de onda de corriente de magnetizacion es observable.Este ejemplo muestra un caso relativamente sencillo de plantear, que sinembargo no es trivial de resolver analticamente. Es en estos casos en los quees ventajoso contar con una herramienta de simulacion.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Corriente (A)

Enca

dena

mie

nto

de fl

ujo (V

s)

Figura 2.7: Encadenamiento de flujo = tanh(i).

0 5 10 156

4

2

0

2

4

6

Tiempo (s)

Corr

ient

e (A

)

Figura 2.8: Respuesta de corriente del circuito RL con fuente, con inductorno lineal.


Funcion de inductancia

Otra posibilidad es que se conozca la funcion de inductancia no lineal L(i).En este caso, el voltaje en el inductor esta dado por:

vL =d

dt(Li) = L

di

dt+ i

dL

dt= L

di

dt+ i

dL

di

di

dt=

(L+ i

dL

di

)di

dt, (2.15)

y la ecuacion de estado de nuestro primer ejemplo queda:

di

dt=

1

L+ idLdi

(v1 v2) . (2.16)

2.1.6 Transformadores

Un caso importante para el que es difcil escribir explcitamente las ecuacionesde estado es cuando se tienen transformadores. Para un transformador dedos devanados, se pueden escribir las ecuaciones de voltaje como sigue:

v1 = R1i1 + L1di1dt

+ L11di1dt

+ L12di2dt

, (2.17)

v2 = R2i2 + L2di2dt

+ L21di1dt

+ L22di2dt

, (2.18)

donde R1 es la resistencia del devanado primario, L1 su inductancia de dis-persion, L11 su inductancia propia, con terminos similares para el devanadosecundario.L12 es la inductancia mutua entre devanados. Puesto que ambasderivadas de corriente aparecen en una misma expresion, la ecuacion de es-tado no puede escribirse directamente y no es posible usar solucionadores deEDOs. Por otra parte, las ecuaciones son de la forma

f(x,x, t) = 0, (2.19)

por lo que es posible, en principio, usar un solucionador general de EDAs, obien uno de los simuladores especializados basados en el concepto de circuitosasociados.

Considere el caso presentado en la Figura 2.9, que representa un trans-formador conectado a una fuente de voltaje senoidal, con carga CLR en elsecundario. Se considerara que el transformador es no saturable, lo cual esuna primera aproximacion valida si la corriente no excede el valor nominal.


El lector puede verificar que, tomando las corrientes primaria y secundariadel transformador como variables de estado i1 e i2, la corriente en el inductorde carga como variable de estado i3 y el voltaje en el capacitor de carga comovariable de estado v4, las ecuaciones resultantes son:

(L1 + L11)di1dt

+ L12di2dt

= vs R1i1 (2.20)

L21di1dt

+ (L2 + L22)di2dt

= v4 R2i2 (2.21)

L3di3dt

= v4 (2.22)

Cdv4dt

= i2 i3 v4R3

(2.23)

La anterior forma una ecuacion de estado implcita, es decir las derivadas noaparecen libres en el lado izquierdo. Para este caso lineal es posible resolver elsistema de ecuaciones y obtener el vector de estados en forma explcita, peroel procedimiento tendra que repetirse para cada paso de integracion. Unaforma mas conveniente de simular el circuito es utilizando un simulador deEDAs. Por ejemplo, algunos solucionadores de Matlab permiten especificarla matriz de masa. La funcion de estado quedara entonces:

function dotx = transformador(t,x)

% Funcion de estado para circuito con transformador: carga CLR.

% Nota: la matriz de "masa" se especifica separadamente.

% Parametros:

Vs = 440*sqrt(2)*cos(2*pi*60*t);

R1 = 0.16;

R2 = 0.08;

R3 = 100;

dotx = zeros(4,1);

dotx(1) = Vs - R1*x(1);

dotx(2) = -R2*x(2) + x(4);

dotx(3) = x(4);

dotx(4) = -x(2) - x(3) - x(4)/R3;

2.2. CIRCUITOS ASOCIADOS 39

% Uso:

% >> B = [ 850e-6+265e-3 -132e-3 0 0; ...

% -132e-3 212e-6+66e-3 0 0; ...

% 0 0 0.1 0; ...

% 0 0 0 1e-3 ];

% >> options = odeset(Mass,B);

% >> [t,x] = ode15s(@transformador, [0 0.1], [0 0 0 0], options);

En el mismo archivo, en forma de comentarios al final, se encuentranlas instrucciones para simular utilizando derivadas no explcitas. Convieneaclarar que si la matriz de masa cambia ya sea por ser funcion del tiempoo de las variables de estado, el procedimiento es distinto; el lector debe con-sultar la ayuda de Matlab para estos casos.

En la Figura 2.10 se muestran las corrientes primaria y secundaria deltransformador, y el voltaje en la carga se muestra en la Figura 2.11. Observecomo aunque se trata de un circuito lineal, la interaccion de la carga y eltrasformador da origen a una distorsion inicial en la forma de onda de lascorrientes. El voltaje muestra la superposicion de senales de dos frecuencias,que de acuerdo a lo expuesto anteriormente son la frecuencia fundamental yla frecuencia transitoria del circuito LC de la carga. Tambien es de notar lamagnitud de la sobrecorriente de energizacion.

Los resultados obtenidos sirven para ilustrar el procedimiento general, yno deben tomarse como representativos del fenomeno de energizacion de car-gas a traves de transformadores. Por ejemplo, la magnitud de las corrientesimplica que en la practica ocurrira cierta saturacion y por lo mismo el modelolineal no es totalmente adecuado. Ademas, no se reproduce el fenomeno decorriente de irrupcion; este fenomeno se discute en una seccion posterior.

2.2 Circuitos asociados

La solucion de redes resistivas por computadora es una tecnologa que hallegado a ser muy eficiente, lo cual es afortunado entre otras razones porquela solucion de circuitos dinamicos puede reducirse a la de una red puramenteresistiva para cada paso de tiempo. La manera en que esto es posible esdiscretizando localmente, es decir antes de ensamblar, los componentes delcircuito [3].


Vs

R1 L1

T1

R2 L2

R3 L3 C

Figura 2.9: Transformador con carga CLR.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08500

400

300

200

100

0

100

200

300

400

Tiempo (s)

Corr

ient

es (A

)

I1I2

Figura 2.10: Corrientes en los devanados del transformador para energizacionde carga CLR.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08500

400

300

200

100

0

100

200

300

400

500

Tiempo (s)

Volta

je (V

)

Figura 2.11: Voltaje en la carga CLR del transformador.

2.2.1 Circuito asociado de un inductor

Para un inductor lineal, la ecuacion basica del componente considerado demanera aislada es

v(t) = Ldi

dt, (2.24)

la cual puede integrarse para obtener la corriente:

i(t) =1

L

tt0v()d + i(t0). (2.25)

La clave reside en la discretizacion de esta integral. Aplicando alguna formulaaproximada, por ejemplo la regla trapezoidal, la corriente es:

i(t) h2L

[v(t) + v(t0)] + i(t0), (2.26)

donde h = t t0 es el paso de integracion. Re-arreglando esta expresion, sellega a

i hv2L

+

[i(t0) +

h v(t0)

2L

], (2.27)

que, despues de examen cuidadoso, puede verse que corresponde a la redresistiva mostrada en la Figura 2.12. A esta red se le llama circuito asociadode la inductancia.


R=2L/h I=i(t0)+hv(t0)/2L

Figura 2.12: Circuito resistivo asociado con un inductor lineal.

2.2.2 Circuito asociado de un capacitor

Para un capacitor, la corriente es la derivada del voltaje en terminales:

i(t) = Cdv

dt.

Integrando, el voltaje esta dado por

v(t) =1

C

tt0i()d + v(t0), (2.28)

que se puede aproximar mediante alguna formula discreta. Usando nueva-mente la regla trapezoidal, se obtiene

v(t) h2C

[i(t) + i(t0)] + v(t0). (2.29)

La corriente se puede despejar de esta ecuacion para obtener:

i(t) 2C vh

[2C v(t0)

h+ i(t0)

](2.30)

Una red resistiva que tiene esta ecuacion caracterstica es la mostrada en laFigura 2.13. A esta red se le llama circuito asociado del capacitor.

2.2.3 Proceso de simulacion

Otros componentes de redes electricas tienen circuitos asociados similaresa los presentados arriba. Por ejemplo, una lnea de transmision se modela


R=h/2C I=-2Cv(t0)/h - i(t0)

Figura 2.13: Circuito resistivo asociado con un capacitor lineal.

como una red de dos puertos formada por resistencias y fuentes de corrientedependientes. La resistencias no necesitan modificacion para incluirse en lared discreta, mientras que la conmutacion de interruptores se simula cam-biando la topologa de la red. Los detalles dependen de la implementacionen particular, pero podemos anotar las siguientes ideas generales.

Dadas la condiciones iniciales i(0) para todas las ramas del circuito, seensambla una red que contiene solamente resistencias, fuentes de corriente yfuentes de voltaje, la cual es el equivalente discreto del circuito original parat = h. La solucion de esta red resistiva consiste en un conjunto de voltajesnodales v(h), a partir del cual se determinan las corrientes de rama i(h). Elproceso se repite entonces para obtener v(2h), v(3h), etc.

Es decir, la simulacion dinamica del circuito se lleva a cabo resolviendouna serie de redes resistivas correspondientes cada una a un paso de inte-gracion. El enfoque esbozado es el principio en el que estan basados algunosde los simuladores de circuito mas utilizados:

EMTP/ATP. Programa de simulacion de transitorios orientado a redeselectricas, con soporte para los componentes mas comunes como lneasde transmision, transformadores e incluso elementos de electronica depotencia. EMTP es la implementacion original, que ahora se comer-cializa. ATP es una version equivalente disponible sin costo.

SPICE. Programa de simulacion orientado a circuitos electronicos. Sulibrera incluye muchos componentes discretos (p.ej. transistores).

Parte II

Programas de simulacion

45

Captulo 3

Introduccion a Matlab

Matlab es un entorno interactivo de calculo. Su nombre significa MatrixLaboratory, pues su enfasis es la manipulacion y calculo con matrices; sinembargo cuenta con otros recursos que lo convierten en una herramienta muyconveniente para el desarrollo de metodos numericos. Entre otras facilidades,ofrece rutinas de graficacion, funciones matematicas, y solucion directa e iter-ativa de ecuaciones algebraicas lineales. El lenguaje Matlab es una lenguajede alto nivel que aprovecha las rutinas disponibles en el entorno, y puedeusarse para extender las capacidades del mismo a traves de la adicion denuevas funciones definidas por el usuario.

La sintaxis del lenguaje Matlab se parece mucho a la notacion matematicaconvencional, por lo que es relativamente sencilla de aprender. Es un lenguajeinterpretado, lo que significa que las operaciones no se convierten a lenguajemaquina sino que se ejecutan directamente en el espacio de memoria delprograma. Por esta razon, los programas en lenguaje Matlab pueden requerirun tiempo de ejecucion mayor comparado con el de un lenguaje compiladocomo C.

3.1 Entorno

El entorno de Matlab es una ventana de comandos en modo texto. El smbolode peticion de comandos es >>. La version se muestra con el comando

>> ver--------------------------------------------------MATLAB Version 5.2.0.3084 on PCWIN

47

48 CAPITULO 3. INTRODUCCION A MATLAB

MATLAB License Identification Number: 107815--------------------------------------------------

Las operaciones aritmeticas utilizan los operadores usuales. El resultadode un comando se despliega despues de entrarlo:

>> sqrt(4^3) - 2/10ans =

7.8

Note que el resultado en este caso se retorna en la variable automaticaans. Tambien se puede especificar el nombre de la variable de retorno:

>> y = 2+2y =

4

Todo lo que siga al signo % se toma como un comentario y es ignoradopor el procesador de comandos:

>> %Comentario>>

Se ejecuta un comando del sistema operativo con el smbolo !:

>> ! del temp.txt>>

Un listado de las variables actualmente definidas en el entorno resulta de

>> whoans y

A veces es conveniente respaldar a disco las variables actuales. lo cual sehace con

>> save caso1

Esta operacion resulta en un archivo caso1.mat en el directorio actual.En una sesion posterior se recuperan la variables con

>> load caso1

El directorio de trabajo se muestra con

3.1. ENTORNO 49

>> cdc:\emelgoza\fld\mlb

y puede cambiarse de la manera usual.Se obtiene ayuda en lnea con el comando

>> helpHELP topics:

matlab\general - General purpose commands.matlab\ops - Operators and special characters.matlab\lang - Programming language constructs.matlab\elmat - Elementary matrices and matrix manipulation.matlab\elfun - Elementary math functions.matlab\specfun - Specialized math functions.matlab\matfun - Matrix functions - numerical linear algebra.matlab\datafun - Data analysis and Fourier transforms.matlab\polyfun - Interpolation and polynomials.matlab\funfun - Function functions and ODE solvers.matlab\sparfun - Sparse matrices.matlab\graph2d - Two dimensional graphs.matlab\graph3d - Three dimensional graphs.matlab\specgraph - Specialized graphs.matlab\graphics - Handle Graphics.matlab\uitools - Graphical user interface tools.matlab\strfun - Character strings.matlab\iofun - File input/output.matlab\timefun - Time and dates.matlab\datatypes - Data types and structures.matlab\winfun - Windows Operating System Interface Files (DDE/ActiveX)matlab\demos - Examples and demonstrations.toolbox\pde - Partial Differential Equation Toolbox.toolbox\tour - MATLAB Tourtoolbox\local - Preferences.

For more help on directory/topic, type "help topic".

La ayuda para un comando en particular, por ejemplo format, se ob-tiene con el comando

>> help format


FORMAT Set output format.All computations in MATLAB are done in double precision.FORMAT may be used to switch between different outputdisplay formats as follows:FORMAT Default. Same as SHORT.FORMAT SHORT Scaled fixed point format with 5 digits.FORMAT LONG Scaled fixed point format with 15 digits.FORMAT SHORT E Floating point format with 5 digits.FORMAT LONG E Floating point format with 15 digits.FORMAT SHORT G Best of fixed or floating point format with 5 digits.FORMAT LONG G Best of fixed or floating point format with 15 digits.FORMAT HEX Hexadecimal format.FORMAT + The symbols +, - and blank are printed

for positive, negative and zero elements.Imaginary parts are ignored.

FORMAT BANK Fixed format for dollars and cents.FORMAT RAT Approximation by ratio of small integers.

Spacing:FORMAT COMPACT Suppress extra line-feeds.FORMAT LOOSE Puts the extra line-feeds back in.

3.2 Matrices y vectores

Un vector se define listando sus componentes. Un vector fila es, por ejemplo:

>> a = [0, 2, 3]a =

0 2 3

Las comas son opcionales. Para denotar un nuevo renglon, se usa puntoy coma. El siguiente es un vector columna:

>> b = [0; 81; 7; -19]0

817

-19

Una matriz se define listando sus filas:

3.2. MATRICES Y VECTORES 51

>> A = [1 1 1 1; 0 2 3 4; 0 1 2 3; 5 2 1 0]A =

1 1 1 10 2 3 40 1 2 35 2 1 0

Una comilla denota transposicion:

>> Aans =

1 0 0 51 2 1 21 3 2 11 4 3 0

Tambien se hubiera podido utilizar

>> transpose(A)

Se accede a renglones individuales con:

>> A(2,:)ans =

0 2 3 4

o bien a columnas individuales:

>> A(:,4)ans =

1430

En estos ejemplo, los dos puntos denotan todo el rango. Tambien sepuede especificar una submatriz

A(1:2,1:3)ans =

1 1 10 2 3

La suma de matrices usa la notacion convencional:


B = A + AB =

2 1 1 61 4 4 61 4 4 46 6 4 0

Otras operaciones con matrices son la sustraccion y la multiplicacion:

>> A - Aans =

0 1 1 -4-1 0 2 2-1 -2 0 24 -2 -2 0

>> A * Aans =

4 9 6 89 29 20 76 20 14 48 7 4 30

Para eliminar ciertas entradas de un vector o matriz:

>> B = A;>> B(:,4) = []B =

1 1 10 2 30 1 25 2 1

3.3 Funciones matriciales

Las siguientes son funciones de matrices, es decir, tienen una matriz comoargumento: la inversa, el determinante, el rango, el numero de condicion, yla traza. Se evaluan con los comandos siguientes (se ha eliminado la salidautilizando punto y coma al final del comando):

3.3. FUNCIONES MATRICIALES 53

>> B = inv(A);>> b = det(A);>> b = rank(A);>> b = cond(A);>> b = trace(A);

Los valores y vectores propios de la matriz son

>> [vec, val] = eig(A)vec =

0.28377 0.11868 0.14658 -3.4597e-0160.69383 -0.35603 -0.29976 -0.408250.45215 -0.59339 -0.64398 0.81650.48336 0.71207 0.68844 -0.40825

val =6.7417 0 0 0

0 -1 0 00 0 -0.74166 00 0 0 -4.1111e-016

Este es un ejemplo de un comando que retorna varios valores. Las colum-nas de vec son los vectores propios y las entradas diagonanes de val sonlos valores propios.

Varias factorizaciones de matrices son posibles: LU, descomposicion envalores singulares, QR. Las llamadas respectivas son:

>> B = lu(A);>> B = svd(A);>> B = qr(A);

Es posible generar matrices especiales: unitarias, de ceros, aleatorias,cuadrados magicos. Por ejemplo:

>> eye(3)ans =

1 0 00 1 00 0 1

>> zeros(2,4)ans =

0 0 0 00 0 0 0


>> rand(2,2)ans =

0.95013 0.606840.23114 0.48598

>> magic(4)ans =

16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1

Cuando una matriz tiene muchas entrads nulas, es conveniente almace-narla como matriz dispersa:

>> C = eye(10);>> C = sparse(C)C =

(1,1) 1(2,2) 1(3,3) 1(4,4) 1(5,5) 1(6,6) 1(7,7) 1(8,8) 1(9,9) 1

(10,10) 1

En el ejemplo, se convirtio una matriz llena a dispersa. En la practica,es mas usual generar un listado de entradas y construir la matriz dispersa dedimension m n con el comando

>> C = sparse( renglones, columnas, valores, m, n)

3.4 Solucion de ecuaciones lineales

Una de las operaciones mas frecuentemente utilizadas es la solucion del sis-tema lineal de ecuaciones Ax = b. En Matlab, se utiliza una diagonalinvertida para calcular x:

3.5. LENGUAJE DE PROGRAMACION 55

>> A = [ 2 1 1 6; 1 4 4 6; 1 4 4 4; 6 6 4 0 ]A =

2 1 1 61 4 4 61 4 4 46 6 4 0

>> b = [ 0; 81; 7; -19 ]b =

0817

-19>> x = A\bx =

-106.71327.79-336.36

37

3.5 Lenguaje de programacion

El usuario de Matlab puede agregar sus propias funciones. Para definir unanueva funcion, por ejemplo f(x) = x2, se crea un archivo de texto que eneste caso llamaremos cuadrado.m. La extension es importante: Matlabbusca en el directorio de trabajo o en la ruta hasta encontrar un archivo conel nombre de la funcion y extension .m. El contenido de tal archivo es ladefinicion de la funcion:

function f=cuadrado(x)f = x*x;return

Matlab ofrece las capacidades usuales de los lenguajes de programacionestructurados como son ciclos y operaciones logicas. Un ciclo que se ejecutaun numero fijo de veces es (a menos que se encuentre el comando BREAK):

FOR variable = expresion : expresioncomandos (BREAK)

END

Un ciclo que se ejecuta tantas veces como se cumpla la condicion deprueba:


WHILE expresioncomandos (BREAK)

END

La estructura logica estandar es:

IF expresioncomandos

ELSEIF expresioncomandos

ELSEcomandos

END

Los operadores logicos AND, OR, NOT, EQUALS, se representan medi-ante los smbolos &, |, , ==. Una accion que depende del valor de unavariable se implementa con:

SWITCH expresion_1CASE expresion_2comandos

CASE {expresion_3, expresion_4, .. }comandos

OTHERWISE,comandos

END

Una de las ventajas de Matlab es que las variables no tienen tipo fijo. Esdecir, un nombre de variable puede emplearse para almacenar un escalar (en-tero o real), un vector, una matriz, etc. El tipo se determina dinamicamenteal declarar la variable, y se puede cambiar subsecuentemente. Tambien esposible definir estructuras de datos; por ejemplo, para definir una variableque almacene los pormenores de una chica, se podra escribir:

>> Patricia.Edad = 22;>> Patricia.Telefono = 123456;>> Patricia.Medidas = [90 60 90]Patricia =

Edad: 22Telefono: 123456Medidas: [90 60 90]

3.6. GRAFICACION 57

3.6 Graficacion

Una de las capacidades mas convenientes de Matlab es la facilidad con que sepueden construir graficos de variables y funciones. Por ejemplo, la secuenciasiguiente produce el grafico de la Fig.3.1

>> x = 0 : 0.1 : 5;>> y = sin(x) .* exp(-x);>> plot(x,y)>> grid on>> xlabel(x)>> ylabel(y)>> title(Grafico)>> print -deps funcion.eps

El primero de estos comandos produce un vector de puntos igualmenteespaciados en x, los cuales se usan para evaluar la funcion y en el segundocomando. Observe que se debe utilizar el smbolo .* para indicar la multi-plicacion uno a uno de los elementos del vector; de otra manera, el smbolo* por s solo indicara multiplicacion matricial. El comando para graficar essimplemente plot. Los comandos restantes agregan la rejilla, etiquetas delos ejes y ttulo. El ultimo de los comandos produce un archivo de disco enformato EPS (Encapsulated PostScript), el cual es util cuando se requiere in-sertar graficos en algun documento (existen otros formatos de salida posibles:consultar la ayuda de print).

3.6.1 Figuras geometricas

En nuestro caso, es conveniente desplegar en pantalla entidades geometricasvarias, como lneas y polgonos. Algunos comandos para tal efecto se listanenseguida.

axis off - Suprime los ejes de coordenadas de la salida grafica. axis auto - Seleciona automaticamente los lmites de graficacion. axis equal - Fija iguales escalas para loos ejes de coordenadas. Estoevita que las figuras aparezcan deformadas.

Para trazar lneas o polgonos en un color especfico, se usa el comando

>> line( x, y,Color,[0,0,0])


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

x

y

Grafico

Figura 3.1: Grafico de la funcion y(x) = sen(x)ex

En el comando anterior, x y y son los vectores de coordenadas y el colorse especifica mediante ndices RGB (rojo, verde, azul) de 0 a 1. Si el numerode coordenadas es 2, se traza una lnea. Si es 3 o mas, se traza una lneaentre cada par de puntos consecutivos.

Para desplegar polgonos se usa el comando

>> patch( x, y, Color)

Los argumentos son las coordenadas de los vertices y el color de relleno, elcual puede se plano o interpolado. El siguiente comando se usa para colocartexto en una posicion dada del grafico. El significado de los argumentos esevidente:

>> text(x,y,text,Color,TextColor,FontSize,7)

3.7 Otros comandos utiles

Los siguientes comandos son utiles en ciertas situaciones. Se muestra elnombre del comando y una breve descripcion de su funcion. Para mayoresdetalles sobre su uso, se debe consultar la ayuda en lnea.

3.7. OTROS COMANDOS UTILES 59

disp - Despliega un mensaje en la ventana de comandos. error - Despliega un mensaje de error en la ventana de comandos ydetiene la ejecucion de la funcion.

fclose - Cerrar archivo en disco. find - Retorna el numero de elementos en una matriz que cumplen unacondicion.

fopen - Abrir archivo en disco. fprintf - Escribir a archivo en disco. length - Retorna el numero de elementos en un vector o matriz. max - Retorna el valor maximo de un vector o matriz. min - Retorna el valor mnimo de un vector o matriz. size - Retorna el numero de filas y columnas de una matriz. sort - Ordenar entradas de vector o matriz. sortrows - Ordenar una matriz por renglones. spy - Muestra graficamente las entradas no nulas de una matriz.

Captulo 4

Introduccion al ATP

Antes de la existencia de computadoras digitales, los simuladores TNA (Tran-sient Network Analyzers) eran el medio mas comun para realizar estudiosde transitorios en redes. Un TNA consiste en elementos fsicos (reactores,transformadores, maquinas de tamano reducido), conectados a un sistema demedicion y control y complementados con una computadora analogica. Esdecir, un analisis de la operacion de un sistema de potencia se haca en unmodelo a escala del mismo.

Con el surgimiento de las computadoras digitales, se dio la posibilidadde utilizar calculos que realizan la tarea anteriormente hecha por un TNA.EMTP (Electromagnetic Transients Program) es el nombre de uno de losprimeros programas de simulacion de transitorios en redes electricas [3]. Fueoriginalmente desarrollado a finales de la decada de 1960 por el Dr. HermannDommel, quien llevo el programa a la BPA (Boneville Power Administration,Oregon, USA). Posteriormente el EPRI (Electric Power Research Institute)continuo el desarrollo de manera privada. El cambio de licencia ocurrioen 1984, ano en el que surgio la version ATP (Alternative Transients Pro-gram); desde entonces ambos programas siguen rutas de desarrollo distintas.Dado que la BPA es una compana estatal, el programa ATP esta disponiblepublicamente a usuarios de todo el mundo, siempre y cuando se cumpla unaserie de requisitos.

En este captulo se describen los fundamentos del ATP, pero dado eltamano y complejidad del programa no es posible cubrir toda la informacionexistente. El lector interesado puede encontrar material adicional en lasfuentes siguientes:

61

62 CAPITULO 4. INTRODUCCION AL ATP

Comite Argentino de Usuarios del EMTP/ATP:

http://www.iitree-unlp.org.ar/caue/claue

European EMTP Users Group:

http://www.eeug.org

4.1 Capacidades

EL ATP es un programa digital para la simulacion de transitorios electro-magneticos (un nombre acunado por el Dr. Dommel que se refiere a transito-rios en redes electricas). Tambien puede utilizarse para simular transitorioselectromecanicos y de sistemas de control. El hilo comun es la simulacion defenomenos transitorios en sistemas electricos de potencia.

Tpicamente, un estudio de transitorios en redes electricas puede em-plearse para realizar estudios de diseno del sistema, por ejemplo coordinacionde aislamiento, dimensionamiento de los equipos, especificacion de los equiposde proteccion, y diseno de los sistemas de control. Otra aplicacion comun esen el analisis de problemas de operacion, como diagnostico de fallas.

El ATP tiene soporte para modelar los fenomenos siguientes:

Transitorios en redes con elementos concentrados, lneas aereas, cables. Transitorios de conmutacion: cierre y apertura de interruptores, ener-gizacion de reactores y capacitores, recierres, voltajes de recobro, etc.

Estudios determinsticos y probabilticos de transitorios de conmutacion. Descargas atmosfericas: arqueos, voltajes inducidos, propagacion deimpulsos, apartarrayos.

Armonicos en sistemas electricos. Ferrorresonancia. Flujo de potencia polifasico en estado estable. Transitorios en componentes de electronica de potencia. Transmision en alta tension en corriente directa. Arranque de motores.

4.1. CAPACIDADES 63

Resonancia subsncrona, rechazo de carga.

La lista seguramente es incompleta. De hecho, dado que se trata de unsimulador de redes, cualquier fenomeno que acepte descripcion en terminos deredes discretas puede simularse en ATP, por ejemplo transferencia de calor,flujo en ductos, etc. El usuario tiene una variedad de elementos con los cualesconstruir su modelo. Algunos de estos elementos son:

Elementos concentrados: Resistencia, capacitancia, inductancia. Estosdos ultimos pueden tener condiciones iniciales fijadas por el usuario,o calculadas mediante una corrida de flujos polifasicos. Pueden serelementos monofasicos o matriciales.

Inductores y resisores no lineales: estos se usan para representar nucleossaturables y apartarrayos.

Varios tipos de modelos de lneas de transmision y cables: secciones pi,modelos distribudos, con dependencia de la frecuencia, etc.

Interruptores: bajo esta denominacion se agrupan interruptores de po-tencia, diodos, SCRs, etc.

Fuentes: de voltaje y corriente de diversas formas de onda, incluyendopor supuesto fuentes senoidales a frecuencia constante y fuentes tipoimpulso.

Maquina universal: puede representar maquinas de induccion, sncronasy de corriente directa.

Sistemas de control: se emula una computadora analogica que calculala respuesta del sistema de control. Existen dos herramientas que im-plementan esta funcionalidad.

El esquema de integracion usado en el ATP es la regla trapezoidal. Las vari-ables de salida son corrientes de rama, voltajes de nodo, energas, potenciasy variables de control.


4.2 ATP

4.2.1 Como obtener el programa

Para poder acceder al programa ATP, se requiere que el usuario se registrellenando y firmando una forma. Una vez aprobado, recibe el nombre deusuario y contrasena para acceder al deposito de los programas en los sitios deinternet de los grupos de usuarios europeo y japones. En esos sitios segurosse encuentran tanto el programa principal como programas de soporte ydocumentacion. En Mexico, se puede pedir una licencia de uso a traves de:

Francisco Javier Pe~naloza Sanchez

Tel.: 01 (443) 322 5262, 5263

Fax : 01 (443) 322 7276

E-mail: [email protected]

CFE Div. Centro Occidente

Delegacion del LAPEM

Av. Ventura Puente No. 1653

Morelia, Mich, MEX CP 58290

4.2.2 Instalacion

La instalacion del programa ATP puede resultar complicada o directa, depen-diendo del sistema usado. Durante mucho tiempo la unica version disponibleen sistemas DOS y Windows estaba basada en un extensor de memoria: elsistema operativo DOS tiene un lmite de memoria de 656KB y para podercorrer ATP se requiere mas memoria que esta, por lo que se recurrio a unprograma especial que engana al sistema operativo. Esta version se conocecon el nombre del programa extensor, Salford; es un tanto difcil de insta-lar y actualmente existen versiones alternativas. No describiremos aqu lainstalacion de versiones Salford.

Para las versiones modernas como MINGW32 y Watcom, la instalacionse limita a reunir los archivos ejecutables y libreras en un subdirectorio,fijar la ruta del sistema operativo para incluirlo y especificar una variable deentorno.

Por ejemplo, para instalar la version MINGW32 enWindows 95/98/NT/XP,se procede como sigue:

4.2. ATP 65

1. Descomprimir los archivos del paquete ZIP, colocandolos en un subdi-rectorio, por ejemplo

c:\ATP\BIN

2. Agregar las lneas siguientes al archivo AUTOEXEC.BAT en el direc-torio raz del disco de arranque:

PATH=%PATH%;C:\ATP\BIN

SET GNUDIR=C:\ATP\BIN\

Observe la diagonal inversa en la ultima lnea.

3. Reiniciar la computadora.

4.2.3 Uso

El programa ATP no es interactivo, sino que ejecuta la simulacion utilizandolos datos contenidos en un archivo de texto con formato especial. Este archivocontiene informacion como el tamano del paso de integracion, el intervalo desimulacion, la descripcion de los componentes, y la peticion de las variablesa reportar. El archivo de datos tiene una extension ATP, DAT, o alguna otradeterminada por el usuario. El resultado es un archivo de variables de salidacon extension PL4, que puede utilizarse como entrada para un programa degraficacion. Tambien se generan archivos de diagnostico con extension LIS(u otra especificada por el usuario) y DBG. El archivo LIS le da al usuarioun reporte de la ejecucion del programa, y es util para determinar errores enel modelo si es que los hay. El archivo DBG contiene informacion util paralos programadores, y generalmente el usuario no esta interesado en los datosque contiene.

Un ejemplo es conveniente aqu. Considere el circuito mostrado en laFigura 4.1. Para poder simular este circuito en ATP, es necesario escribir unarchivo de datos utilizando algun procesador de texto. Este archivo toma lasiguiente forma:

BEGIN NEW DATA CASE

C

C dT >< Tmax >< Xopt >< Copt >

.001 .1

500 1 1 1 1 0 0 1 0

C 1 2 3 4 5 6 7 8


C 345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

/BRANCH

C < n 1>< n 2>< R >< L >< C >

C < n 1>< n 2>< R >< A >< B >0

SRC NOD1 1. 0

NOD1 NOD2 3. 0

NOD1 1. 3

NOD2 3. 3

/SWITCH

C < n 1>< n 2>< Tclose >< Ie >< type >

/SOURCE

C < n 1>< Ampl. >< Freq. >< A1 >< T1 >< TSTART >< TSTOP >

11SRC 0 100. 1.

/INITIAL

/OUTPUT

BLANK BRANCH

BLANK SWITCH

BLANK SOURCE

BLANK INITIAL

BLANK OUTPUT

BLANK PLOT

BEGIN NEW DATA CASE

BLANK

Observe como el formato de este archivo de datos es rgido: las tarjetas opalabras clave deben ir en un orden especfico,y los datos en un renglon debenir en ciertas columnas. El formato requerido esta documentado en el Rule-Book, el manual de usuario del programa [4]. La especificacion del sistema asimular debe contemplar las ramas, transformadores, lneas, interruptores yfuentes que conforman el modelo.

El usuario debe especificar, aparte del modelo del sistema a simular, unaserie de variables que controlan la ejecucion del programa, por ejemplo eltamano del paso de integracion y el tiempo total a simular. Enseguida secomentan algunas de esta variables, as como criterios para su seleccion; unadescripcion detallada de estas variables se puede encontrar en [4].

DELTAT - Esta variable controla el tamano del paso de tiempo (em-pleado en la integracion numerica). Obviamente debe ser siempremayor que cero, y su valor no debe ser muy grande. En general, el valorde DELTAT debera ser tal que resulte en diez puntos de muestreo enla maxima frecuencia de interes.

TMAX - Especifica el periodo de tiempo a simular. La simulacionarranca siempre en t = 0, de modo que si TMAX es negativo o cero,el programa ejecuta una solucion en estado estacionario pero no lasimulacion del transitorio.

4.2. ATP 67

+

Vs

R1 R2

L1 L2

Figura 4.1: Circuito RL-RL de ejemplo.

XOPT - Es la frecuancia del sistema a la cual se especifican las reactan-cias inductivas en el modelo. Si este valor es cero o esta en blanco, lasinductancias se asumen dadas en mH. Si es un numero positivo, las in-ductancias se asumen dadas como reactancias calculadas a la frecuenciaXOPT.

COPT - Es la frecuancia del sistema a la cual se especifican las reactan-cias capacitivas en el modelo. Si este valor es cero o esta en blanco, lasinductancias se asumen dadas en H. Si es un numero positivo, las in-ductancias se asumen dadas como reactancias calculadas a la frecuenciaXOPT.

El programa se corre en una ventana de comandos. Por ejemplo, ensistemas DOS y Windows, si el ejecutable tiene el nombre TPBIG.EXE y estaen la ruta del sistema operativo, entonces se puede llamar desde cualquiersubdirectorio:

c:\emelgoza\atp\dat\tpbig

ATP started at 08:33:51 on Wednesday, 01 January 2003

EMTP begins. Send one of the following alternatives.

SPY, file_name, DISK, HELP, GO, KEY, STOP, BOTH, DIR:

HELP proporciona una breve descripcion de cada comando. El caso mascomun es el de pasar directamente el nombre del archivo de datos; se debeproporcionar el nombre completo, incluyendo su extension. Se puede incluirla ruta completa en caso de que el archivo resida en un subdirectorio distintoal actual, pero este caso no es comun: usualmente se inicia el programa enel directorio que contiene los archivos de datos del usuario. Por omision, elreporte de ejecucion se muestra en pantalla solamente mientras que el archivo


de variables de salida PL4 se escribe a disco. Para especificar que se deseaun archivo de reporte de ejecucion, se especifica el comando DISK (reportesolo a disco) o bien BOTH (reporte a pantalla y a disco).

Si todo va bien, el programa se ejecutara sin problemas y genera

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