Capítulo 1

Transmisión por guía-ondas

1.1 Introducción

La posibilidad de la conducción guiada de la luz es algo que se demostró ya el siglo pasado, el métodousado fue bastante rudimentario aunque explicativo. Como fuente de luz se utilizó una lámpara de aceitey como guía un chorro de agua: para conseguir que la luz fuese guiada en el interior del chorro de aguase coloco la lámpara en el interior de un barril lleno y se hizo un agujero en un lateral cercano a la basedel barril de forma que el agua que sale forma una trayectoria parabólica y a su vez la luz sale por elagujero. Se pudo apreciar como la luz seguía la trayectoria del agua.

Ya a principios de siglo se realizaron los primeros intentos de fabricación una guía de onda establepara la luz mediante una barra de material dieléctrico transparente (vídrio), aunque se vió que la estruc-tura era muy fragil y que además las pérdidas de potencia óptica eran muy altas. Siguió el interés por estefenómeno empujado por sus posibles aplicaciones en el campo de la medicina (endoscopios) y se llego ala conclusión de que la estructura adecuada para servir como guía de onda para la luz era la que podemosver en la figura 1.1. Esta es una estructura donde un material dieléctrico con índice de refracción n1 estárodeado de una sustancia de menor índice de refracción n2. La envoltura realiza una función estructural(que no se rompa el núcleo) y de reducción de las perdidas radiativas de la onda guiada.

Para seguir un poco con la evolución de la fibra podemos citar que la estructura de la figura 1.1 diolugar en 1966 a las primeras propuestas para utilizar la fibra óptica como medio de comunicación. Enaquel momento era algo puramente teórico ya que las pérdidas de las primeras fibras eran del orden de1000dB/Km, la fabricación de fibras cada vez mejores ha permitido que actualmente se pueda transmitiren un cable óptico hasta 1 Terabit/sg en distancias de cientos de Km. En este capítulo entenderemoscomo se trasmite la luz a través de la fibra y cuales son sus parámetros característicos.

Figura 1.1: Guía de onda para luz en la que se puede ver el núcleo con índice de refracción n1 rodeadode la envoltura con índice de refracción n2. La condición es que n1>n2.

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1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS 5

Frente de onda reflejada

Frente de onda refractada

Frente de onda incidente

Rayo incidente Rayo reflejado

Rayo refractado

φ φ

φ

1

n

n

1

2

D

1

2 d2

d1

Figura 1.2: Cambio de dirección de un frente de onda plano al cambiar el índice de refracción

1.2 Teoría de transmisión geométrica o por rayos

En este apartado veremos los conceptos de transmisión por fibra sin tener en cuenta que la luz es unaonda electromagnética, sólo utilizaremos las leyes de la óptica geométrica.

1.2.1 Reflexión interna total

Para entender el mecanismo de la propagación en una fibra óptica es necesario comprender el significadodel índice de refracción: el índice de refracciónn de un medio es la relación entre la velocidad de la luzen el vacio y en ese medio

n =c

v(1.1)

es decir, que cuanto más alto es el índice de refracción menor es la velocidad de la luz en dicho medio,es como si el medio fuese más espeso.

Una vez hemos recordado que es el el índice de refracción vamos a recordar también la ley de Snell.£Cómo cambia su dirección un rayo de luz cuando pasa a través de la intercara entre dos medios dedistinto índice de refracción? Para deducir lo que pasa nos basaremos en la figura 1.2.

En esta figura se aprecian tres rayos: el incidente, el reflejado y el refractado (los dos primeros enun medio de índicen1 y el último en un medio de índicen2), a su vez también están representados losfrentes de onda, que son perpendiculares a cada uno de los rayos. Podemos apreciar que los frentes deonda reflejado y refractado tienen un punto común, debemos darnos cuenta que también en este puntodebería haber un frente de onda incidente, lo que esto implica es, pasándonos ahora a los rayos, que lasdistancias d1 y d2 han sido recorridas en el mismo tiempo, ya que son parte del mismo rayo incidente,por tanto podemos escribir la siguiente fórmula,

1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS 6

Figura 1.3: Transmisión de un rayo de luz en una fibra óptica perfecta.

t = d1v1

= d2v2) D cos(�

2��1)

c

n1

=D cos( �

2��2)

c

n2

n1 sin (�1) = n2 sin (�2)(1.2)

lo que acabamos de deducir es la ya conocida ley de Snell. Igualmente si estudiamos la fórmula 1.2vemos que como elsin (�) no puede ser >1, cuando�2 � �

2ya no hay refracción sino reflexión total,

tenemos entonces que el ángulo crítico(�c) que es aquel para el que ya no hay refracción cumplirá lasiguiente relación,

sin (�c) =n2n1

(1.3)

para ángulos de incidencia superiores al crítico la eficiencia de la reflexión es superior al 99.9%1.Una vez hemos hecho un breve recordatorio de la ley de Snell vamos a aplicarla a la transmisión

por fibra óptica. Si deseamos un medio de transmisión en el cual quede confinado un rayo de luz pareceevidente que este deberá estar compuesto por dos materiales de índice de refracción distinto de formaque el medio por el que se transmite la luz tenga el índice de refracción mayor (el cociente de la ecuación1.3 ha de ser menor que uno) y además este medio debe estar emparedado por el de índice de refracciónmenor. El rayo que se muestra en la figura 1.3 se conoce como rayo meridional ya que pasa a travésdel eje de la fibra. Este el el rayo de descripción más simple y se usa para ilustrar las características detransmisión fundamentales de las fibras ópticas. Hay que tener en cuenta que la figura 1.3 asume una guíaperfecta, sin irregularidades ni discontinuidades que modificarían el ángulo de incidencia provocandoposibles escapes de la luz fuera de la fibra.

1.2.2 Ángulo de aceptación

Una vez hemos visto como se produce el guiado en una fibra perfecta debido a la reflexión total entre elnucleo y la envoltura, vamos a ir un poco más allá (aunque seguiremos considerando una fibra perfecta)en nuestro análisis y vamos a incluir un tercer medio, ya que la luz que hemos supuesto en el interior dela fibra ha entrado desde el exterior, desde un medio con un índice de refracción distinto an1 y n2.

No todos los rayos emitidos por una fuente luminosa se transmitirán en el interior de la fibra, en lafigura 1.4 podemos ver un esquema en el que se aprecia que dos rayos distintos A y B seguirán distintastrayectorias en el interior de la fibra, el rayo será transmitido porque una vez en el interior su ángulo esmenor que el crítico mientras que el B tiene un ángulo superior y llega a la envoltura y se pierde porradiación al exterior2. Todo rayo cuyo ángulo de entrada sea menor o igual que�a será guiado, mientrasque si es mayor el rayo será radiado al exterior de la fibra, perdiendose su energía.

1Recordemos que la aproximación geométrica no es más que eso, una aproximación.2Entenderemos esto más adelante

1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS 7

Figura 1.4: Visión esquemática del ángulo de aceptación�a cuando la luz entra en la fibra óptica.

Por tanto el ángulo de aceptación�a será aquel que haga que cuando el rayo esté en el interior de lafibra su ángulo de incidencia con la intercara núcleo/envoltura sea el ángulo crítico.

Si la fibra tiene una sección regular (es decir, no hay irregularidades en la intercara) todo rayo meri-dional3 cuyo ángulo de entrada en la fibra sea menor o igual que el ángulo de aceptación se reflejarátotalmente en la intercara núcleo/envoltura y se transmitirá hasta el final de la fibra. Igualmente y porconsideraciones de simetría a la salida de la fibra los rayos emergentes tendrán el mismo ángulo que a laentrada y por tanto todos los rayos a la salida tendrán un ángulo menor o igual que�a. Como aclaraciónfinal hay que decir que no es necesario que los rayos incidentes entren por el eje de la fibra, cualquierpunto de la intercara entre el núcleo y el exterior será válido si durante la trayectoria en el interior de lafibra el rayo pasa por el eje4.

1.2.3 Apertura numérica

Es posible, a partir de los índices de refracción del núcleo de la fibra, de la envoltura y del exterior, definirun término (que es el más más aceptado para definir la facilidad para acoplar luz en la fibra) que es laapertura numérica (NA). Aunque pueda parecer pesado, volvemos a recordar que esto es sólo para rayosmeridionales.

Si volvemos a mirar a la figura 1.4 y en ella al rayo A que es el que entra con un ángulo igualal de aceptación (�a) veremos que, el rayo inicialmente está en un medio de índice de refracciónn0,considerando la ley de Snell llegamos a

n0 sin (�a) = n1 sin��

2� �c

�(1.4)

ya que el ángulo entre el eje de la fibra y la intercara es de�2

aplicando las leyes básicas de la trigonometríapodemos deducir que

n0 sin (�a) = n1 cos (�c) (1.5)

si usamos la relaciónsin2 (�) + cos2 (�) = 1 la ecuación anterior puede escribirse como

n0 sin (�a) = n1

q1� sin2 (�c) (1.6)

3Es importante recalcar el hecho de que estamos hablando de rayos meridionales.4Para rayos meridionales.

1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS 8

si sustituimossin (�c) según la ecuación 1.3

NA = n0 sin (�c) =qn21� n2

2(1.7)

obtendremos la definición de la apertura numérica. Cuando el medio desde el que entra la luz sea el airen0 = 1 y la NA se reducirá asin (�c).

La NA también puede calcularse a partir de la diferencia relativa de índices de refracción� entre elnúcleo y la envoltura de la fibra.� se define como

� =n21 � n222n2

1

(1.8)

� n1 � n2n2

si�� 1 (1.9)

si ahora reunimos las definiciones de NA y de� tendremos que

NA = n1p2� (1.10)

Las ecuaciones 1.7 y 1.10 nos serán muy útiles para conocer la capacidad que tiene una fibra paraaceptar luz. Este factor es independiente del diámetro hasta valores de aproximadamente 8�m, pordebajo de este valor la aproximación geométrica deja de ser válida, por qué motivo, por que para teneruna visión realista habría que utilizar calculos a partir de teoría electromagnética.

1.2.4 Rayos no meridionales (Skew rays)

Hasta ahora hemos considerado rayos meridionales, pero hay rayos que no pasan por el eje de la fibra,de hecho es mucho mayor el número de rayos no meridionales. Estos rayos siguen una trayectoriahelicoidal, no son fáciles de visualizar, para hacernos una idea podemos ver la figura 1.5. Al contrarioque los rayos meridionales en este caso no es posible predecir el punto de salida por el otro extremo dela fibra, este dependerá del número de reflexiones en el interior de la fibra más que de las condicionesde entrada. Este tipo de rayos tiende a uniformizar la distribución de la luz en el interior de la fibra,consiguiendo una salida uniforme.

Una ventaja clara de los rayos no meridionales en que sus condiciones de aceptación son menosexigentes que para el caso de los rayos meridionales. Aunque la geometría es compleja vamos a deducirel ángulo de aceptación de estos rayos. Para ello veamos la figura 1.6, en ella tenemos los siguientesdatos:�s es el ángulo de entrada,� es el ángulo del rayo refractado, el ángulo entre:

� el plano en que está el rayoAB y la perpendicular al eje de la fibra que pasa por el puntoA

� y el plano que contiene al eje de la fibra y al puntoB

y � es el ángulo de reflexión del rayoAB (la perpendicular al plano de incidencia es el radio de la fibraRB). Cada uno de los ángulos está en un plano distinto y la relación que se cumple entre ellos es

cos � sin � = cos� =q1� sin2� (1.11)

1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS 9

Figura 1.5: Camino helicoidal tomado no rayos no meridionales en el interior de una fibra óptica: (a)vista lateral; (b) vista frontal

Figura 1.6: Esquema de las refracciones y reflexiones de un rayo no meridional.

1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA 10

si consideramos el caso límite en la reflexión entonces� será�c y podremos sustituir por la fórmula delángulo crítico (fórmula 1.3) resultando entonces que

cos � sin � �s1� n2

2

n21

(1.12)

si ahora sustituimossin � por su valor utilizando la ley de Snell (fórmula 1.2)

cos � n0n1

sin �as =

s1� n2

2

n21

(1.13)

n0 sin �as � cos =qn21� n2

2= NA (1.14)

donde�as es el máximo ángulo de aceptación para rayos no meridionales (podemos apreciar que si = 0nos queda la fórmula para rayos meridionales5). La inclusión en la fórmula decos relaja las condicionesde entrada y permite que el ángulo de entrada sea mayor. Como puede observarse en la figura 1.5, estosrayos tienden a propagarse usando una región anular y por tanto no utilizar completamente toda la fibra,desperdiciando parte del medio de transmisión, sin embargo se complementan con los rayos meridionalese incrementan la capacidad de transporte de luz de la fibra. Este incremento de capacidad de la fibra esparticularmente cierto para fibras de gran apertura numérica (NA), aunque para fibras comerciales (bajaNA) el �a calculado para los rayos meridionales es una aproximación suficientemente válida.

1.3 Teoría electromagnética para propagación óptica

Para entender mejor los fenómenos que se producen en una fibra óptica es necesario tener en cuenta lateoría de campos electromagnéticas, de todas formas como el interés del curso no radica en el análisisfundamental de la transmisión sino en la compresión de sus conceptos vamos a tratar sólo los puntos másrelevantes aunque en algunos casos habrá partes que tendremos que aceptar como axiomas sin serlo.

Partiremos de la ecuación de onda, la notación más usada de la cual es

= 0 exp j�wt��!k � �!r

�(1.15)

dondew es la frecuencia angular o pulsación de la onda,t es el tiempo,�!k es el vector de propagación y

�!r es el punto espacial donde se observa la onda. Siendo� la longitud de onda en el vacio, la magnituddel vector de propagación o constante de propagación de fase en el vaciok (dondek =

����!k ���) viene dadapor

k =2�

�(1.16)

k en este caso también se conoce como número de onda.Esta será nuestra base de partida.

5Porque de hecho tendríamos un rayo meridional

1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA 11

Figura 1.7: Onda plana y monocromática desplazándose en el interior de la guía, la línea oscura muestrasu vector de onda o rayo equivalente.

1.3.1 Modos en una guía-onda plana

No todos los rayos que entran en una fibra se transmiten, aunque su ángulo sea menor que el deaceptación, esto es debido a que no son rayos sino ondas. El análisis de una guía-onda cilíndrica esbastante complejo, es preferible entender lo que son los modos de propagación en una guía-onda plana.

Vamos a pasar del concepto de rayo al de onda considerando el desplazamiento de una onda planay monocromática por el camino en que antes consideramos que se desplazaba el rayo en el interior dela guía, para ayudarnos veamos la figura 1.7. Como el índice de refracción esn1, la longitud de ondadisminuye respecto a la del vacio quedando como�=n1, incrementando el número de onda hastan1k. Elvector de propagación o rayo equivalente se puede dividir en dos componentes, una en la dirección de lafibra (z) y otra perpendicular a ella (x). La componente de la constante de propagación de fase o númerode onda en ambas direcciones quedará como sigue

�z = n1k cos � (1.17)

�x = n1k sin � (1.18)

La componente en la direcciónx es reflejada en la intercara entre el núcleo y la envoltura, si cuandovolvemos al mismo punto tras dos reflexiones (un camino completo) la fase ha cambiado2m� radianestendremos interferencia constructiva, si no será destructiva. Ahora ya podemos entender lo que significaun modo de propagación, sólo podrán propagarse aquellas ondas que tengan una interferencia construc-tiva, cada una tendrá un ángulo� y unam y será llamada modo de propagación (en adelante modo).

La forma en la hemos definido modo implica que el espesor de la guía-onda determinará el númerode modos que pueden ser transmitidos ya que en una primera aproximación el número de modos quecaben en una fibra se calcularía igual que el número de modos que cabían en una cavidad láser, si nosfijamos la definición es la misma, por tanto ese número de modos vendría definido por:

no modos =2l

�(1.19)

dondel es el espesor de la guía-onda y� la longitud de onda del rayo transmitido.Cada modo formará una onda estacionaria en el ejex y tendrá una componente variable en el ejez,

en la figura 1.8 pueden verse las ondas estacionarias de los cuatro primeros modos, cabe señalar que elcampo está confinado en la guía pero no sólo en el nucleo sino también en la envoltura, a la parte queestá en la envoltura se la llama onda evanescente.

Como la componente variable está sólo en el ejez se simplifica la notación y se llamará� a la com-ponente en el eje variable, es decir,� = �z. Si asumimos una dependencia temporal para la propagación

1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA 12

Figura 1.8: Los cuatro primeros modos de propagación y la componente estacionaria que generan en elejex.

1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA 13

Figura 1.9: Formación de una paquete de ondas a partir de dos ondas de frecuencias similares. Laenvolvente del paquete de ondas viaja a la velocidad de grupovg.

de la onda electromagnética la parte variable resultaráexp j (wt� �z), siendoz la distancia recorridaen el ejez.

La luz se define como una onda electromagnética y por tanto consiste en un campo eléctricoE ymagnéticoH ambos variables y orientados de forma ortogonal. En la figura 1.8 se ha supuesto queHestaba en la dirección de propagación yE en el ejex, cuando esto ocurre tenemos modos transversaleseléctricos oTE (como puede verse en la figura 1.8), si cambiamos la dirección de los camposE yH tendríamos modos transversales magnéticos, en el caso de que el campo estviese confinado en dosdirecciones (un cable de cobre, por ejemplo) podríamos tener modos transversales electromagnéticos oTEM (estos no ocurren en la transmisión por fibra).

1.3.2 Velocidad de fase y de grupo6.

Ya hemos hablado de los frentes de onda en el apartado 1.2.1, pues bueno una frente de onda es unasuperficie formada por puntos de fase constante. Cuando una onda monocromática se propaga en unaguía-onda en el ejez el frente de onda se mueve a una velocidad llamada de fase que viene dada por:

vp =w

�(1.20)

dondew es la pulsación o frecuencia angular y� el número de onda. El problema es que en la prácticaes imposible tener ondas monocromáticas y las ondas luminosas están compuestas de la suma de ondasplanas de distintas frecuencias. A menudo nos encontramos con la situación de que un grupo de ondas defrecuencia muy similares se propagan formando lo que se ha dado en llamar paquete de ondas. Para teneruna idea de a que nos referimos en la figura 1.9 está representado un paquete de ondas. Este paquete noviaja a la velocidad de fase de ninguna de sus componentes sino a la velocidad de grupovg que viene

6Estos dos términos van a ser muy importantes cuando analicemos las características de las fibras, asi que aunque parezcaque estas definiciones están de más a posteriori serán muy usadas.

1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA 14

dada por:

vg =�w

��(1.21)

Esta velocidad de grupo será de gran importancia para el estudio de las características de transmisión enla fibra óptica.

Si la propagación fuera en un medio infinito (sin bordes) con índice de refracciónn1 la constante depropagación se hubiese escrito como:

� = n1k = n12�

�=n1w

c(1.22)

dondec es la velocidad de la luz en el vacio, utilizando ahora la ecuación 1.20 tenemos la siguienteecuación que nos da también la velocidad de fase y que ya conociamos

vp =c

n1(1.23)

De la misma forma la ecuación 1.21 puede desarrollarse si convertimos la ecuación en derivadas parcialesen derivadas totales (una aproximación)

vg =d�

d�� dwd�

=d

d�

�n1

2�

�

��1 ��w

�

�

=�w2��

�1

�

dn1d�

� n1�2

��1

=c�

n1 � �dn1d�

� =c

Ng(1.24)

El parámetroNg se conoce como índice de refracción de grupo.

1.3.3 Campo evanescente

Una de las cosas que más sorprende cuando se empieza a estudiar temas relacionados con trnasmisiónpor fibra óptica es la existencia del campo evanescente. Como ya vimos en el apartado 1.3.1 en la figura1.8 la onda estacionaria que se genera en cada uno de los modos no está totalmente confinada en el núcleode la fibra, a pesar de que cuando estudiamos la transmisión desde el punto de vista geométrico dijimosque por debajo del ángulo crítico la reflexión era total. Hay una parte del campo para cada modo queestá situado en la envoltura de la fibra, este campo tiene la misma forma funcional en todos los modos,es un campo exponencial decreciente.

El campo evanescente tiene una justificación matemática que vamos a saltarnos7, pero si podemosintentar entender otro tipo de justificación. Nosotros ya sabemos que cuando una onda, que se desplazaen un medio de índice de refracciónn1, se encuentra con otro medio de índice de refracción menor siendoel ángulo de incidencia mayor o igual que el crítico se produce reflexión total. Esto no impide que hayaun determinado campo distinto de cero en la intercara (la onda no sabía que allí iba a encontrarse conun cambio de índice de refracción). Las leyes del electromagnetísmo impiden las discontinuidades decampo, por tanto el campo no puede ser cero al otro lado de la intercara, pero támpoco puede transmitirse.La única solución que queda es que el campo se atenue en el segundo medio y como la funcion de onda

7Puede consultarse en el apartado 2.3.4 del libro Optical Fiber Communications

1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA 15

tiene una forma exponencial el exponente que antes era un número complejo ahora deberá ser un númeronegativo.

La existencia de este campo evanescente implica que ya no sólo es el núcleo de la fibra el quetransmite la señal sino también la envoltura, por lo tanto será el conjunto el que tendrá que ser diseñadopara el correcto funcionamiento como sistema de transmisión. Deberemos exigir buenas característicasa ambos componentes de la fibra.