Transmisión y Reflexión de Partículas

7/21/2019 Transmisin y Reflexin de Partculas

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Transmisin y reflexin de partculas I

Si hemos de considerar a las partculas atmicas y subatmicas no como partculas slidas cuya

posicin y momentum son conocidos con exactitud sino como ondas de materia, entoncespodemos anticipar que habr algunos cambios substanciales en el comportamiento de estas

ondas de materia al pasar por alguna regin en la cual haya un cambio de energa potencial con

respecto a la energa potencial de la regin en la que se estaban moviendo anteriormente (por

ejemplo, en el caso de una partcula libre al pasar por la cercana de un tomo). Y es en estas

situaciones en donde debemos echar mano de la ecuacin de onda de Schrdinger.

Existen casos en los cuales esperamos que el comportamiento de las partculas como ondas de

materia sea exactamente el mismo sin importar la naturaleza ondulatoria de las partculas. Un

caso tal lo sera el de una partcula libre que choca elsticamente (sin transferencia de energa)

en forma directa con una barrera de potencial infinitamente grande (o, ms realsticamente, con

una barrera de potencial cuya altura V0es substancialmente mayor que la energa E de la

partcula). En este caso, la onda de materia ser reflejada en direccin opuesta al igual que como

ocurrira con una partcula slida que choca elsticamente con una pared. Sin embargo, si la

barrera de potencial no es mucho muy grande en comparacin con la energa de la partcula, y si

adems se trata de una barrera de potencial de anchura finita, debemos considerar la

posibilidad de que por tratarse de una onda parte de la onda ser reflejada y parte de la onda

podr atravesar la barrera de potencial. Estas dos situaciones se ilustran en las siguientes

figuras:


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Otro caso anlogo es aqul conocido como el potencial escalnen el cual la barrera de

potencial aunque no es infinitamente grande (en su altura vertical) posee una anchura

(horizontal) que puede tomarse como infinita, en cuyo caso todo depender del hecho de que la

energa de la onda de materia incidente sea menor que la altura de la barrera de potencial:

o mayor que la altura de la barrera de potencial:


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estadsticamentese acerca a lo que predice la Mecnica Cuntica.

Para guiarnos en lo que podemos esperar cuando una partcula pasa de una regin de mayor

potencial a una regin de menor potencial podemos repasar lo que sucede cuando la luz, que

viaja como una onda electromagntica, pasa de un medio de menor densidad a un medio de

mayor densidad. La luz no slo pierde velocidad, sino que su longitud de onda cambia. Esto es

precisamente lo que d lugar al fenmeno que conocemos como refraccin cuando un rayo de

luz pasa del aire al agua a cierto ngulo de la normal N:

El cambio en la longitud de onda as como el fenmeno de la refraccin de la luz desde el

aspecto ondulatorio se vuelven ms claros cuando echando recurso del principio deconstruccin de Huygens-Fresnel dibujamos el frente de onda que pasa de un medio a otro:


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Es importante notar que aunque el frente de onda paseperpendicularmentede un medio a otro

(o de una regin a otra con distintos potenciales) sin formar un ngulo con la vertical, el cambio

en longitud de onda se dar de cualquier forma. Al viajar el frente de onda formando cierto

ngulo con respecto a la vertical el efecto refractario manifiestar la naturaleza ondulatoria del

frente de onda a travs de los ngulos distintos formados por el rayo de luz en cada medio. Del

mismo modo, podemos anticipar que la longitud de onda de una onda de materia cambiar al

atravesar la partcula la interfaz que divide dos regiones distintas.

En el ejemplo en el que estamos trabajando, puesto que en la regin # 1 la energa E de la

partcula ser igual a la suma de su energa cintica y de la energa potencial:

la velocidad de la partcula en la regin # 1 estar dada entonces por:

Para esta velocidad, el momentum de la partcula viene siendo:


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Por otro lado, para la onda de materia, tenemos la relacin de De Broglie p.=.h/. Entonces la

longitud de onda de la partcula en la regin # 1 ser:

Asimismo, la longitud de onda de la partcula en la regin # 2 ser:

Puesto que V1>V2, la longitud de onda 2en la regin # 2 ser menor que la longitud de onda

1 en la regin # 1, lo cual significa que tratndose de un fotn su energa aumentar al pasar de

la regin # 1 a la regin # 2.

Podemos definir de la manera usual unndice de refraccinde un medio relativo al otro

mediante el cociente entre las dos longitudes de onda:

Una vez que hemos definido un ndice de refraccin, podemos echar mano de la conocidaley de

Snell, que est basada en ptica ondulatoria clsica, para calcular la relacin entre los ngulos

de incidencia 1y refraccin 2:


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Puesto que estamos considerando en todo esto un sistema compuesto no por una sola partcula

sub-microscpica sino por muchas partculas, podemos considerarlo como un sistema a gran

escala para el cual las leyes Newtonianas clsicas siguen siendo vlidas. Cotejaremos ahora esta

relacin con la que se obtiene en base a la mecnica Newtoniana clsica, partiendo del supuesto

de que la interfaz entre las regiones # 1 y # 2 es tal que sta aplica una fuerza a las partculas

conforme pasan de una regin a otra, la cual acta en una direccin perpendicular (normal) a la

interfaz. Esto implica que conforme una partcula pasa de una regin a otra, el componente del

momentum lineal de la partcula que es paralelo a la superficie de la interfaz permanecer

invariable. Esta consistencia de la componente tangencial del momentum lineal de la partcula

es lo que utilizamos para calcular la relacin que hay entre 1y 2de acuerdo a la mecnica

clsica. Expresamos el hecho de que las componentes tangenciales del momentum en ambas

regiones se mantienen constantes con la siguiente relacin:

p1sen(1) =p2sen(2)

A partir de esto, obtenemos nuevamente los resultados que ya obtuvimos arriba aplicando no la

mecnica clsica sino los mtodos de la ptica ondulatoria. Esto establece, para este problema

en particular, la equivalencia que hay entre la ptica ondulatoria clsica y la mecnica clsica

Newtoniana, con la novedad de que estamos extendiendo el resultado aondas de materia.

La solucin de problemas de transmisin y reflexin de partculas consiste esencialmente en la

bsqueda de una funcin de onda (x) tal que la funcin de onda sea una funcin continua al

pasar de una regin a otra, esto es que en la interfaz entre dos regiones distintas:


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o sea:

1(x) = 2(x)

Obviamente, no basta con que la funcin de onda sea una funcin continua al pasar de una

regin a otra. Tambin es necesario que en el punto de encuentro, la funcin de onda de una

regin tenga la misma pendiente que la funcin de onda de la otra regin, o sea:

Puesto en terminologa un poco ms formal, las soluciones a la ecuacin de Schrdinger deben

ser continuas y continuamente diferenciables.

Al empezar en el estudio de la ecuacin de Schrdinger, habamos visto que si consideramos una

partcula libre viajera de modo tal que de antemano, a costa de dar por incierta la posicin de la

partcula demos por conocido con gran precisin el momentum de la partcula (principio de

incertidumbre de Heisenberg), lo cual nos permite utilizar la relacin de De Broglie para fijarle a

la partcula una longitud de onda , entonces la funcin de onda que nos permite describir el

movimiento unidimensional de tal partcula viajera cuando se desplaza a la derecha ser la

siguiente;


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Habamos visto tambin que una funcin de onda que describe a una partcula viajera cuando se

desplaza hacia la izquierda est dada por la siguiente relacin:

Sin prdida alguna de generalidad, podemos tomar la ecuacin de onda de Schrdinger

independiente del tiempo y tomar lo siguiente como la funcin de onda de una partcula que se

dirige hacia la derecha:

del mismo modo que podemos tomar lo siguiente como la funcin de onda de una partcula que

se dirige hacia la izquierda:

Podemos, si as lo deseamos, calcular la constante de normalizacin para una partcula libre

viajera. Sin embargo, en la resolucin de problemas de transmisin y reflexin de partculas,

esto rara vez es necesario en virtud de que las relaciones que estaremos buscando involucrarn

fracciones matemticas de estas constantes de normalizacin que a su vez nos darn la

probabilidad de transmisin y reflexin de una partcula.

PROBLEMA:Encuntrense los coeficientes de transmisin y reflexin de partculas para un

potencial escaln especificado de la siguiente manera:

en una situacin en la que la energa de las partculas que estn incidiendo desde la izquierda

sobre el potencial escaln es mayorque la energa del potencial escaln, o seaE>V0.

En este caso, tambin tenemos dos regiones que deben ser tomadas en consideracin:


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La colocacin ms apropiada de las coordenadas de la energa potencial V(x) en funcin de la

coordenada horizontal de acuerdo al planteamiento del problema es la siguiente:

En este problema, el resultado clsico es sencillo. Parax


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Enx= 0 la partcula recibe una fuerza impulsiva que cambia su velocidad a:

para x>0. La partcula nunca es regresada hacia atrs por esta fuerza impulsiva siempre y

cuando V0sea menor que la energa de la E partcula. La situacin cambia dramticamente si en

vez de una partcula slida consideramos una onda de materia que incide sobre el potencial

escaln desde la izquierda. En tal caso, de acuerdo con la relacin de De Broglie, el momentum

de la onda de materia en cada regin en funcin de su longitud de onda tendr un valor

diferente dado por:

Esto significa que la longitud de onda de la onda de materia cambiar abruptamente de 1a

2de acuerdo con:

En este caso, si consideramos tanto a E como a V0 ambos positivos, la longitud de onda de

laonda de materiaaumentar al pasar la partcula de la regin # 1 a la regin # 2.

Sabemos de la mecnica ondulatoria clsica que cuando la longitud de onda cambia

bruscamente en un tramo pequeo de longitud (comparado en distancia con la longitud de onda

) parte de la onda es transmitida y parte de la onda es reflejada. Entonces, por sus propiedades

ondulatorias, parte de la onda ser transmitida y parte de la onda ser reflejada, aunque en la

interpretacin estadstica moderna dada a la funcin de onda esto significa que de una cantidad

grande de partculas que inciden sobre el potencial escaln una parte de dichas partculas ser


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transmitida y la otra parte ser reflejada; y de acuerdo con el principio de conservacin de

partculas el total de partculas reflejadas sumado al total de partculas transmitidas ser igual al

total de partculas que inciden sobre el potencial escaln.

En la regin # 1 en donde el potencial V(x) es igual a cero, la ecuacin de Schrdinger estar

dada por:

o bien:

La solucin matemtica general para este tipo de ecuacin diferencial tiene la forma:

El primer trmino corresponde a una partcula movindose hacia la derecha que posee un valor

preciso de momentum igual ap1.=.k1. Para poder describir una onda de materia a la cual se le

pueda asignar alguna localizacin espacial, as sea con algo de incertidumbre x= x,

normalmente construiramos un paquete de onda conteniendo cierto rango de valores del

nmero de onda k. Sin embargo, en la regin # 1 slo nos es necesario localizar a la partcula en

el rango -


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reflejada.

Para la regin # 2 en donde el potencial V(x) es igual a V0, la ecuacin de Schrdinger estar

dada por:

La solucin matemtica general para este tipo de ecuacin diferencial tiene la forma:

La funcin:

describe una partcula-onda movindose hacia la derecha en la regin # 2, mientras que la

funcin:

describe una partcula-onda movindose hacia la izquierda tambin en la regin # 2.

Puesto que, por hiptesis, todas las partculas estn incidiendo sobre el potencial escaln desde

la izquierda en la regin # 1, no hay entonces fuentes de partculas en la regin # 2 movindose

hacia la izquierda, lo cual implica que debemos escoger D.=.0 para este problema. En pocas

palabras:

Puesto que la funcin de onda y su pendiente deben ser continuas en el punto de unin de las


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regiones # 1 y # 2, tenemos entonces que las siguientes condiciones se deben cumplir al pie de la

letra:

Usando las soluciones generales dadas arriba para ambas regiones, debemos tener entonces lo

siguiente:

De este par de ecuaciones simultneas, despejando para B en funcin de A, tenemos entonces:

Del mismo modo, despejando para C en funcin de A tenemos:

A estas alturas debe resultar ms que obvio que las condiciones de frontera no pueden ser

satisfechas sin que haya una onda reflejada en la regin # 1; esto es, la solucin B .=.0 no es

posible.

Ahora bien, recordando que:


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as como la frmula de Euler:

ei= cos() + i sen()

se tiene:

|ei|2= 1

podemos interpretar a |A|2 como la densidad de probabilidad de la partcula que incide desde la

izquierda sobre el potencial escaln. De modo semejante, podemos interpretar a |B|2como la

densidad de probabilidad de la partcula reflejada y a |C|2como la densidad de probabilidad de

la partcula transmitida. Puesto que estamos utilizando funciones de onda no localizadas, no

podemos normalizarlas, aunque esto no representa problema alguno porque lo que nos interesa

obtener a fin de cuentas son las razones:

|B|2/|A|2 y |C|2/|A|2

las que nos definen la probabilidad relativa R de que una partcula sea reflejada y la

probabilidad relativa T de que una partcula sea transmitida.

Un detalle muy importante en este tipo de problemas es que, para un potencial como el

potencial escaln que no regresa a un valor de cero a la derecha de la barrera, el coeficiente de

transmisin noes simplemente:

|C|2/|A|2

en donde A es la amplitud incidente y C es la amplitud transmitida, en virtud de que la onda

transmitida viaja a una velocidad diferente. Pensando en trminos de N partculas incidiendo

desde la izquierda, la densidad numrica N|A|2multiplicada por la velocidad v1de las partculas

nos d la densidad de la corriente incidente de partculas N|A|2v1. De modo semejante,

N|B|2v1 es la densidad de la corriente reflejada de partculas, y N|C|2v2 es la densidad de la

corriente transmitida de partculas. Las velocidades respectivas en cada regin est dadas por:


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Si dividimos entre N, podemos igualmente tomar estas corrientes de probabilidad como

corrientes de probabilidad para una sola partcula.

Si definimos el coeficiente de transmisin T como el cociente de la densidad de la corriente

transmitida entre la densidad de la corriente incidente, tenemos entonces:

De las definiciones previas dadas para k1y k2, tenemos que la primera fraccin de esta expresin

es igual a lo siguiente:

Por otro lado, la segunda fraccin ser igual a:

Entonces el factor de correccin para el coeficiente de transmisin quedar incorporado de la

siguiente manera:


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Poniendo el coeficiente de transmisin T en funcin de las energas E y V0, es as como llegamos

a lo siguiente:

Con un ligero reacomodo, obtenemos de este modo nuestra relacin final para el coeficiente de

transmisin T en el potencial escaln para el caso en el cual E>V0:

Para E..V0:, el coeficiente de transmisin T se reduce a:

En pocas palabras, tenemos una transmisin casi total de todas las partculas. Esto nos lo

confirma visualmente la siguiente grfica que nos muestra la forma en la cual vara el coeficiente

de transmisin T conforme vara la energa E de la partcula (en mltiplos de V0) a la vez que se

mantiene fijo el nivel del potencial V0:


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De la grfica resulta claro que cuando E


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Puesto que no tenemos una fuente de partculas enx.=.0, esperamos que:

T + R = 1

Esto es, cada partcula que llega ax.=.0 ser transmitida o reflejada. La probabilidad de

transmisin de una partcula sumada a la probabilidad de reflexin debe ser igual a la unidad.

Este hecho lo podemos utilizar para verificar la integridad de los resultados que acabamos de

obtener.

PROBLEMA:Demustrese que para el problema anterior en el que la energa de las

partculas que estn incidiendo desde la izquierda sobre una barrera de potencial escaln

es mayor que la energa potencial de la barrera, o seaE>V0, la suma de los coeficientes de

transmisin T y reflexin R es igual a la unidad.

La resolucin de este problema es directa involucrando nicamente unos cuantos pasos de

lgebra:

La resolucin del problema que acaba de ser estudiado procede de manera similar para el caso


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en el que la energa E de la partcula es menor que la energa potencial V0 de la barrera.

PROBLEMA:Encuntrense los coeficientes de transmisin y reflexin de partculas para un

potencial escaln especificado de la siguiente manera:

en una situacin en la que la energa de las partculas que estn incidiendo desde la izquierda

sobre el potencial escaln es menorque la energa del potencial escaln, o seaE


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La ecuacin de onda de Schrdinger as como la solucin matemtica de la misma para la regin

# 1 es la misma que la que ya vimos con anterioridad:

Sin embargo, para la regin # 2, la ecuacin de onda de Schrdinger nos arroja una solucin

matemtica general de la misma que ser diferente, la cual viene siendo (obsrvense en detalle

los exponentes):

Debemos asignarle al coeficiente D un valor igual a cero, ya que de lo contrario la funcin de

onda tomar un valor infinitamente grande conformex.

Nuevamente, recurrimos a las condiciones de frontera para poder pegar en la interfaz entre las

regiones # 1 y # 2 las funciones de onda que corresponden a cada regin:


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De las condiciones de frontera obtenemos las siguientes dos ecuaciones:

Aqu es donde nos topamos con un problema serio, ya que no nos resulta fcil encontrar el

coeficiente de transmisin T en virtud de que la energa E de la partcula para x >0 es negativa,lo cual correspondera a una velocidad imaginaria. Podemos sin embargo determinar el

coeficiente de reflexin. Eliminando a C de las ecuaciones anteriores, obtenemos lo siguiente:

Tenemos entonces que:

Por lo tanto, el coeficiente de reflexin R debe ser:

Esto equivale a una reflexin total de las partculas cuando su energa no es suficiente para

poder superar la altura V0 del potencial escaln. Este resultado es el mismo que el obtenido

clsicamente. El coeficiente de transmisin debe ser entonces igual a cero:


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T = 1 - R

T = 0

Sin excepcin, todos los problemas de transmisin y reflexin de partculas cuando un haz de

partculas se topa con una barrera de potencial o con una cada de potencial requieren para su

solucin la igualacin de las condiciones de frontera en la barrera desde la cual se pasa de una

regin de cierto potencial a otra regin de potencial distinto, o sea la continuidad de la funcin

de onda (x) en el punto de transicin de una regin a otra, y la continuidad de las

derivadas d/dxen la parte limtrofe en la cual la funcin de onda (x) pasa de una regin a

otra.

PROBLEMA: Una partcula de masa grande resbalando sin friccin alguna sobre un piso a

velocidad constante se aproxima a una orilla desde la cual cae hacia un nivel inferior en el

cual el potencial est a un nivelV0debajo del nivel original. Encuntrese la probabilidad de

que la partcula sea reflejada hacia atrs si la energa inicial E de la partcula es igual a la

tercera parte de la profundidad del pozo de potencial.

Podemos imaginar con un exceso de imaginacin algo como lo siguiente (no muy realista, pero

s fcilmente memorizable):

En este problema se tienen dos regiones distintas. Situando el origenx.=.0 del sistema de


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coordenadas en la orilla del escaln, la funcin de onda (x) tanto en la regin situada a la

izquierda de la orilla del escaln como a la derecha de la orilla se pueden especificar en cada

regin de la siguiente manera:

en donde:

La primera condicin de continuidad nos pide que enx.=.0 las funciones de onda de ambas

regiones tengan el mismo valor:

Por otro lado, la segunda condicin de continuidad nos pide que tambin enx.=.0 las

pendientes d/dxde las funciones de onda de cada regin tengan el mismo valor:

De ambas condiciones se obtiene, por lo tanto:


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De este modo, el coeficiente de reflexin R viene siendo:

Entonces la probabilidad de que la megapartcula sea reflejada hacia atrs ser:

Puede objetarse que la representacin pictrica dada arriba usando una pelota de futbol soccer

como partcula no es una representacin realista por el simple hecho de que si la cada de la

megapartcula hacia abajo ocurre bajo la accin de un potencial gravitacional, no es posible

que esto ocurra con un cambio brusco (vertical) del potencial por el simple hecho de que el

potencial gravitacional no acta de esta manera. De hecho, el potencial gravitacional graficado

en dos dimensiones tanto en el exterior como en el interior de un cuerpo que sirva como fuente

de atraccin gravitacional exhibe la siguiente forma de acuerdo a la ley de la gravitacin

universal de Newton (los puntos de inflexin en la curva bidimensional ocurren justo en la


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superficie del cuerpo que como fuente de atraccin produce el potencial gravitacional):

Tomaremos la objecin como vlida. Sin embargo, en lo que respecta al tamao de

la megapartcula, pudiera pensarse con cierta ingenuidad al principio que el resultado

obtenido slo puede ser vlido para las partculas del mundo sub-microscpico para las cuales

aplican los postulados de la Mecnica Cuntica, partculas tales como el electrn o el neutrn.

Sin embargo, si repasamos el resultado obtenido arriba para el coeficiente de reflexin R, la

masa no aparece en la frmula. Esto significa que la frmula es vlida no slo para partculas

del tamao del neutrn o del electrn.sino tambin para tomos, o inclusive para molculas

formadas por tomos de diversos elementos, o inclusive para macromolculas. De hecho, y en

principio, no hay limitacin alguna. Esto puede parecer sorprendente considerando que en una

situacin as uno de cada nueve carros o aviones (considerados como megapartculas) cruzando

una cada de potencial como la que se ha especificado arriba terminara siendo rebotado hacia

atrs por efectos puramente mecnico-cunticos; y del mismo modo para poder atravesar la

barrera con cierta seguridad probabilista se requeriran en promedio nueve intentos de los

cuales uno fracasara al ser reflejada hacia atrs la megapartcula. Sin embargo, antes de

considerar la posibilidad de utilizar un efecto as para romper la barrera del hiperespacio (un

trmino propio de la ciencia-ficcin), cabe tener presente que no se conocen en la Naturaleza a

escala macroscpicacambios tan bruscos de energa potencial que en s sean discontinuidades

matemticas como las que hemos estado manejando en nuestros problemas de transmisin y

reflexin de partculas, y si existen o pueden ser creados de alguna manera nadie ha encontrado

hasta ahora la manera de lograrlo.


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requerimiento obligatorio de que en cada interfaz en donde hay un cambio de potencial la

funcin de onda debe ser continua al pasar de una regin a otra, al igual que la primera derivada

de la funcin de onda tambin debe ser continua en el punto de encuentro en la interfaz de dos

regiones.

PROBLEMA:Encuntrense los coeficientes de transmisin y reflexin de una barrera finita

de potencial rectangular especificada de la siguiente manera:

para una situacin en la que la energa de las partculas que estn incidiendo desde la

izquierda sobre la barrera de potencial es menor que la energa potencial de la barrera, o

seaE


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coordenada horizontal de acuerdo al planteamiento del problema es la siguiente:

La ecuacin de Schrdinger independiente del tiempo para las regiones |x| > a (regin 1 y

regin 3) en donde la energa potencial es igual a cero a est dada por:

Y en lo que cabe a la regin intermedia (la regin 2), en donde la energa de la partcula es

menor que la energa potencial V0de la barrera, la ecuacin de Schrdinger independiente del

tiempo para esta regin |x|


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mientras que las soluciones a la ecuacin de Schrdinger dentro de la barrera (regin 2) son del

tipo:

La solucin matemtica ms general a la ecuacin que corresponde a la regin 1 es:

La solucin matemtica ms general a la ecuacin de onda que corresponde a la regin 2 es:

Por ltimo, la solucin matemtica ms general a la ecuacin de onda que corresponde a la

regin 3 es:

De este modo, en su forma ms general, los flujos posibles de partculas para las regiones bajo

consideracin sern los siguientes:


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De acuerdo con lo que hemos visto anteriormente al introducir por vez primera a la ecuacin de

Schrdinger, la funcin de onda de una partcula viajera libre que se est desplazando hacia la

derechaest dada por una relacin como la siguiente:

mientras que la funcin de onda de una partcula viajera libre que se est desplazando hacia la

izquierda est dada por una relacin como la siguiente:

Puesto que todas las partculas estn incidiendo desde la izquierda sobre la barrera de potencial

y no hay fuentes de partculas en la regin x>+, como tampoco hay fronteras que produzcan

ondas de materia reflejadas movindose hacia la izquierda para x>+a, debemos darle a la

amplitud G un valor de cero, con lo cual la funcin de onda para la regin # 3 es simplemente:

Las condiciones de frontera(boundary conditions) en la interfaz que hay entre la regin 1 y la

regin 2 as como la interfaz que hay entre la regin 2 y la regin 3 nos dictan que la funcin de

onda debe ser continua al pasar de una regin a otra, del mismo modo que la primera derivada

de la funcin de onda tambin debe ser continua en el punto de encuentro en la interfaz de dos

regiones. Estos requerimientos, enunciados matemticamente, son los siguientes:


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Por lo tanto, somos llevados en forma directa al siguiente conjunto de ecuaciones:

Podemos combinar las ecuaciones (1) y (3) para eliminar el coeficiente D:

Despejando para B:


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En forma semejante, podemos volver a combinar las ecuaciones (1) y (3) para eliminar el

coeficiente C:

Despejando para nuevamente para B:

Por otro lado, podemos combinar las ecuaciones (2) y (4) para obtener una expresin para el

coeficiente C en funcin del coeficiente F:

Despejando para C:


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Del mismo modo, podemos combinar nuevamente las ecuaciones (2) y (4) para obtener una

expresin para el coeficiente D en funcin del coeficiente F:

Despejando para D:

Usando la ecuacin (7) en la ecuacin (5) tenemos entonces:

Del mismo modo, usando la ecuacin (8) en la ecuacin (6):


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Igualando las ecuaciones (9) y (10) tenemos lo siguiente:

Simplificando un poco:

Hgase:

Entonces:


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Regresando las variables temporalespy qa sus valores originales:


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A continuacin, podemos tomar la magnitud absoluta de ambos miembros de la igualdad

anterior, tomando en cuenta de que para cada lado respectivamente se aplican las relaciones:

Entonces:

Usando la relacin hiperblica:

cosh(x) - senh(x) = 1

se tiene entonces:


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Pero el coeficiente de transmisin T est definido como el cociente |F|/|A| del flujo total de

partculas transmitidas (que atraviesan la barrera de potencial movindose hacia la derecha) al

flujo total de partculas incidentes. Substituyendo las relaciones para k1y k2vemos que:

con lo que finalmente tenemos:

La penetracin de una barrera de potencial cuando la energa potencial V0 es mayor que la

energa E de la partcula es algo que no puede suceder en el mbito de la fsica clsica, en donde

la partcula incidente siempre rebota elsticamente sin atravesarla. Estamos aqu frente a un

fenmeno puramente cuntico.

En la siguiente figura tenemos una ilustracin de cmo las soluciones matemticas a las tres


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regiones de inters, una vez pegadas, proporcionan la solucin ondulatoria al problema de la

penetracin de una barrera por una onda de materia:

En el exterior de la barrera, tenemos funciones de onda de tipo senoidal, mientras que en el

interior de la barrera tenemos un decaimiento exponencial que generar una onda de menor

amplitud que la onda que incidi desde el lado izquierdo de la barrera.

Podemos obtener una mejor perspectiva de lo que est sucediendo al tomar aproximaciones si

preparamos unas grficas del coeficiente de transmisin T con E


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Por otro lado, para una barrera de potencial con una anchura fija tomando el valor a = 0.5 fermi,

conforme la altura V0de la barrera de potencial es reducida el coeficiente de transmisin T se

acerca a la unidad indicando una transmisin casi total.

Este tipo de problema de penetracin a travs de una barrera de potencial en donde

clsicamente no puede haber transmisin alguna de partculas slidas es de importancia

fundamental para la explicacin de fenmenos tales como el fenmeno del decaimiento


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radioactivo, la base fundamental de la fsica nuclear, del cual el caso ms conocido y el primero

en ser estudiado a fondo es el decaimiento de partculas alfa en el cual una partcula alfa

(compuesta por dos protones y dos neutrones) es expulsada espontneamente del ncleo

atmico:

La teora de la penetracin de una barrera de potencial por partculas actuando como ondas de

materia fue utilizada por George Gamow en 1928 para explicar la enorme variacin en la vida

media de decaimiento . En general, entre menor sea la energa de la fuente radioactiva de

partculas , tanto mayor ser la vida media de las partculas. Las energas de partculas

obtenidas de fuentes radioactivas naturales tienen un rango de variacin entre 4 MeV y 7 MeV,

mientras que las vidas medias tienen un rango de variacin entre 10-6 segundo y 1010aos.

Gamow supuso que el ncleo atmico puede ser considerado como un pozo de potencial como el

siguiente conteniendo una partcula , descrito en su exterior por un potencial Coulmbico

clsico:


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Para un radio interior menor que el radio R del ncleo, la partcula es atrada y retenida por la

fuerza nuclear, mientras que fuera del ncleo la fuerza nuclear es considerada insignificante y el

potencial est dado por la ley de Coulomb V(r) = KZze/r, en donde Ze es la carga elctrica

nuclear y ze es la carga elctrica de la partcula . Dentro del ncleo, se considera que la

partcula rebota (oscila) de un lado a otro siendo reflejada por la barrera de potencial en su

pared r = R. Tomando el radio del ncleo como R = 10 fermis = 10-14metro, para una partcula

puntual de carga ze a una distancia de 10 fermis del ncleo de carga Ze la energa de Coulomb

KZze/r es de aproximadamente 28 MeV para un nmero atmico Z = 100, claramente fuera del

rango de energas de entre 4 MeV y 7 MeV de las partculas que son expulsadas fuera del

ncleo. Clsicamente, la partcula jams podra escapar puesto que su energa total es menor

que la energa potencial de la barrera. Sin embargo, si la partcula es considerada como una

onda de materia, entonces hay una pequea probabilidad de que la partcula se podr fugar a

travs de la barrera de potencial sin ser reflejada en la pared de la barrera. An sin conocer

prcticamente nada acerca de lo que ocurre en el interior del ncleo atmico, podemos estimar

la velocidad de la partcula en el interior del ncleo recurriendo al principio de incertidumbre,

y tomando la relacin de Louis de Broglie para usar la aproximacin mv/R, obtenemos una

velocidad interior aproximada de v107metros/seg. Suponiendo que la partcula rebota en el

interior de la barrera con esta velocidad, entonces golpear la barrera con una frecuencia:

v/2R (107

metros/seg)/[2(10-14

metro)] 1022

veces/segundo

Si la barrera de potencial fuese rectangular como lo muestran las figuras de arriba, la

probabilidad de penetracin en cada intento sera proporcional a e -2kasiendo ala anchura de la

barrera que corresponde a la energa E de la partcula . La probabilidad por segundo de

escapar sera entonces:

La vida media ser entonces:


43/99

An suponiendo que en el exterior el potencial es Coulmbico, los clculos en realidad son ms

elaborados en virtud de que, fuera de la barrera de potencial, el exponente kadebe ser

reemplazado por:

Este tipo de evaluaciones, al carecer de una solucin exacta, requiere forzosamente de algn tipo

de aproximacin, como la aproximacin WKB. Sin entrar en mayores detalles, podemos ver

aqu cmo una pequea variacin en la energa E de la partcula conducir a una gran variacin

en la vida media de la partcula, porque la energa E al igual que la distancia exteriorrextque

estar prefijada por la interseccin de la energa de la partcula con la curva exterior del

potencial Coulmbico aparecen en el exponente de la vida media de la partcula. A modo de

ejemplo, para una energa igual a 4 MeV se tiene que rextes igual a unos 70 fermis mientras que

para una energa E igual a 6 MeV se tiene que rextes igual a unos 47 fermis. La vida media para E

= 4 MeV est en el orden de 1010 aos, o sea unos 1017 segundos. Para E = 4 MeV el factor

e2[ka]debe ser alrededor de 1039= e90de acuerdo a la frmula para la edad media dada arriba.

Esto nos permite hacer un estimativo tosco de la vida media de la partcula para E = 6 MeV

haciendo la cruda aproximacin de que el exponente [2ka]es proporcional a la anchura exterior

de la barrera dada por:

r = rext- R

Entonces:


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Con e551024obtenemos entonces para una vida media de E = 6 MeV:

10-22 1024segundos 22 segundos

Aunque esta es una aproximacin sumamente tosca, nos d una explicacin sobre la enorme

dependencia de la vida media de la partcula en funcin de la energa total de la misma. Un

cambio pequeo en la energa E o en el radio nuclear conduce a un cambio grande en un

exponencial que a su vez se traduce en grandes cambios en la vida media. Clculos mecnico-

cunticos ms detallados muestran una dependencia exponencial de la vida media en la

energa E que estn en acuerdo excelente con los resultados experimentales, comprobando que

el decaimiento es un caso de penetracin de una barrera de potencial.

Otra confirmacin experimental de la penetracin de una barrera de potencial es el caso del

efecto Ramsauer-Townsend, consecuencia del fenmeno que ocurre cuando el tamao 2a de la

barrera es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de onda de la partcula dentro de la

barrera. La onda reflejada en x = +a ha recorrido una longitud de onda completa justo cuando

regresa a x = -a. Puesto que hay una diferencia de fase de 180, las dos ondas dentro de la

barrera (la que viaja a la derecha y la que viaja a la izquierda) tienden a cancelarse (la

cancelacin en realidad no es completa porque las amplitudes de ambas ondas no son iguales).Esto significa que, para cierto tamao de la barrera, habr cierta energa de la partcula para la

cual la reflexin es prcticamente igual a cero, y por lo tanto la transmisin de la partcula a

travs de la barrera ser casi completa. Aunque los tomos no aparecen en realidad como

barreras de potencial rectangulares a los electrones que inciden en ellos, los tomos de los gases

nobles o inertes tienen fronteras bien definidas por su estructura electrnica de capa cerrada. La

siguiente grfica obtenida experimentalmente nos muestra las reas transversales de dispersin

en funcin de la energa (medida en electrn-volts) para electrones incidentes en los gases nen,

kriptn, xenn y radn, mostrando claramente en el lado izquierdo que a una energa que

corresponde a 1 eV el rea de seccin transversal se desploma correspondiendo a una

transmisin casi perfecta de partculas (electrones):


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La penetracin de una barrera no es una propiedad exclusiva de las ondas de materia. Tambin

se d en el caso de las ondas electromagnticas. Un experimento relativamente fcil de llevar a

cabo con dos prismas y un rayo lser es el siguiente:


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En el arreglo mostrado arriba, un haz luminoso que entra por la izquierda en el primer prisma

incide eventualmente sobre una superficie en la cual hay una interfaz de vidrio-aire. Si

removemos el segundo prisma situado en el lado derecho, observaremos que a un ngulo mayor

que el ngulo conocido clsicamente como el ngulo crticoel rayo luminoso es reflejado

totalmente en el interior del primer prisma, y sale reflejado hacia abajo. No se observar rayo

luminoso alguno en una pantalla que est situada a la derecha. En virtud de la naturaleza

ondulatoria de la luz, el campo elctrico no es idnticamente igual a cero al pasar al aire, pero

decrece exponencialmente a unas cuantas longitudes de onda de la superficie de salida del

prisma. Pero conforme vamos acercando el segundo prisma, formando lo que es en esencia una

barrera de potencial, adems del rayo reflejado hacia abajo habr un rayo de luz que se

transmitir directamente a travs de la barrera y que saldr del lado derecho del sistema

formado por los dos prismas sin tocarse, un rayo de luz cuya intensidad aumentar volvindose

notoria al estar separados los prismas por el grosor de una hoja delgada de papel, hasta que,

cuando las dos caras opuestas de los prismas se tocan, no habr reflexin alguna en el interior

del sistema al pasar la luz a travs de lo que viene siendo en esencia un cubo de vidrio,

eliminndose en efecto la superficie reflectora interna.

La explicacin mecnico-cuntica de la penetracin a travs de una barrera de potencial en

donde clsicamente no puede haber transmisin alguna de partculas slidas abre la puerta a la

posibilidad de que una partcula que est atrapada dentro de un pozo de potencial pueda tener

una cierta probabilidad de escapar del pozo no escalando hasta la altura mxima de la barrera

mediante algn suministro de energa para despus caer hacia una regin de menor potencial,

sino atravesando la barrera en forma espontnea, lo cual depender fundamentalmente de la

anchura de la barrera a ser atravesada, y esto es algo que sirve para explicar muchas reacciones

qumicas y nucleares que no sera posible explicar de otra manera:


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Transmisin y reflexin de partculas III

Un problema muy parecido al caso de un flujo de partculas que pasa por una barrera de

potencial atravesndolo cuando la energa E de las partculas es menorque la cresta mxima

V0de la barrera de potencial V(x) es aqul en el cual las partculas tienen una energa E que no

es menor sino mayorque la barrera de potencial. La resolucin de este tipo de problema no es

muy diferente al que ya vimos anteriormente, y se utilizan los mismos procedimientos y tcnicas

con cambios menores.

Clsicamente, si una partcula slida (como una bala o una pelota) con una energa E pasa

encima de un agujero o de un pozo profundo, no ocurre absolutamente nada mientras pasa por

encima del pozo, suponiendo que no haya corrientes de aire saliendo del pozo que puedan

alterar el recorrido de la partcula. Sin embargo, si la partcula es una onda de materia, la cosa

cambia, y lo que nosotros usualmente tomamos como espacio vaco desprovisto de efectos

resulta tener cierta estructura que depende de la forma del piso sobre el cual se llevan a cabo

desplazamientos.

Enfrentemos pues esta situacin contraria a nuestra intuicin que nos ofrece el comportamiento

ondulatorio de la materia.

PROBLEMA:Encuntrense los coeficientes de transmisin y reflexin de una barrera finita

de potencial especificada de la siguiente manera:

para una situacin en la que la energa de las partculas que estn incidiendo desde la

izquierda sobre la barrera de potencial es mayor que la energa potencial de la barrera, o

seaE>V0. Asimismo, investguese el comportamiento del coeficiente de transmisin T tanto

para la situacin en la cual varaE-V0como para la situacin en la cual vara la anchura de la

barrera.


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De acuerdo a las especificaciones del problema, tenemos las siguientes tresregiones que deben

ser tomadas en consideracin:

Fijaremos un sistema de coordenadas acorde al enunciado del problema:


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La ecuacin de Schdinger independiente del tiempo para las regiones |x| >a (regin 1 y regin

3) en donde la energa potencial es igual a cero a est dada por:

Y en lo que cabe a la regin intermedia (la regin 2), en donde la energa de la partcula es

menor que la energa potencial V0de la barrera, la ecuacin de Schdinger independiente del

tiempo para esta regin |x|


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La solucin matemtica ms general a la ecuacin de onda que corresponde a la regin 2 es:

Por ltimo, la solucin matemtica ms general a la ecuacin de onda que corresponde a la

regin 3 es:

Esto lo podemos resumir de la siguiente manera:

Obsrvese que en la seleccin de coeficientes para las funciones de 3(x) usamos F y G pero no

utilizamos E, en virtud de que puede ser confundido fcilmente con el smbolo que usamos para

denotar a la energa de la partcula

De este modo, en su forma ms general, los flujos posibles de partculas para las regiones bajo

consideracin sern los siguientes:


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De nueva cuenta, por razones similares a las que fueron expuestas para el caso en el que E>V0,

debemos asignarle al coeficiente G un valor de cero ya que no hay partculas incidiendo desde la

derecha sobre la barrera de potencial.

Enx.=.-a, la condicin de que el valor de la funcin de onda 1(x) sea exactamente igual al valor

de la funcin de onda 2(x) requiere que:

con esto se tiene entonces que:

Por otro lado, en el punto de encuentro x.=.-atambin se requiere que las pendientes de ambas

funciones de onda 1(x) y 2(x) sean iguales, esto es, d1/dxdebe ser igual ad2(x)/dx:


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Tomando derivadas tanto de 1(x) como de 2(x) e igualando en el punto de encuentro, se tiene:

Por otro lado, enx.=.a, la condicin de que el valor de la funcin de onda 2(x) sea exactamente

igual al valor de la funcin de onda 3(x) requiere que:

Con esto se tiene entonces que:

Antes de proseguir, se resalta el hecho de que aqu mismo podemos hacer una simplificacin

haciendo G.=.0, en virtud de que lo que intentaremos determinar es la probabilidad de un flujo

de partculas de izquierda a derecha a travs de la barrera de potencial, y el trmino con el

coeficiente G representa un flujo de partculas incidente sobre la barrera de potencial desde la

derecha (vase la figura de arriba), siendo que por hiptesis estaremos considerando que las

nicas partculas que se estarn moviendo en la regin 3 son las partculas que estn saliendo

hacia dicha regin desde la barrera de potencial. Por lo tanto, lo anterior lo tomamos

simplemente como:

Por otro lado, en el punto de encuentro x.=.atambin se requiere que las pendientes de ambas

funciones de onda 2(x) y 3(x) sean iguales, esto es, d2/dxdebe ser igual a d3(x)/dx:


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Tomando derivadas tanto de 2(x) como de 3(x) e igualando en el punto de encuentro, se tiene:

De este modo, las condiciones de frontera nos producen el siguiente conjunto de cuatro

ecuaciones:

Multiplicando (1) por k1y sumando miembro a miembro con (2):

se tiene una ecuacin con solo tres coeficientes (A, C y D) en lugar de cuatro habindose

eliminado el trmino con el coeficiente B:

Haciendo lo mismo con (1) y (2) pero recurriendo a una diferencia en lugar de una adicin:

se tiene otra ecuacin con solo tres coeficientes (B, C y D) en lugar de cuatro habindoseeliminado el trmino con el coeficiente A:


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Ahora trabajamos con las ecuaciones (3) y (4).

Multiplicando (3) por k2y sumando miembro a miembro con (4):

se tiene una ecuacin con solo dos coeficientes (C y F) en lugar de tres habindose eliminado eltrmino con el coeficiente D:

Haciendo lo mismo con (3) y (4) pero recurriendo a una diferencia en lugar de una adicin:

se tiene una ecuacin con solo dos coeficientes (D y F) en lugar de tres habindose eliminado el

trmino con el coeficiente C:

La resolucin en la entrada anterior del problema de una barrera de potencial rectangular para

el caso en el cual la energa E de la partcula es inferior a la altura V0de la barrera de potencialresult ser un poco tediosa en lo que al aspecto del lgebra requerida concierne, y el caso que

aqu nos ocupa no es muy diferente ya que el desarrollo es similar. Continuando con la

eliminacin metdica y usando como recurso final de simplificacin la frmula de Euler,

especficamente:


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el resto del desarrollo involucra obtener una expresin que solo contenga los coeficientes A y F,

que son los que nos interesan para evaluar la densidad de probabilidad de las partculas que

estn incidiendo desde la izquierda sobre la barrera de potencial (movindose de izquierda a

derecha, o sea el trmino con el coeficiente A) y emergiendo de la barrera de potencial

(movindose tambin de izquierda a derecha, o sea el trmino con el coeficiente F). Pasaremos

por encima de lo poco que queda pendiente de lgebra y simplemente se reproducirn aqu losresultados que se obtienen.

El coeficiente de transmisin T para este problema est dado por:

Reemplazando los valores de k1y k2para poner el coeficiente de transmisin en funcin de la

energa E y la energa potencial V0, es as como llegamos a la siguiente relacin final para el

coeficiente de transmisin a travs de una barrera de potencial rectangular para el caso en el

cual E>V0:

Por razones de mera conveniencia tipogrfica, con la finalidad de obtener una mayor claridad en

el texto impreso, en algunos libros se acostumbra dar el coeficiente de transmisin expresndolo

como un inverso:


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Anteriormente habamos visto que para el caso de un potencial escaln cuando la energa E de la

partcula es mucho mayor que el potencial V0(E..V0) el coeficiente de transmisin T es

prcticamente igual a la unidad y hay una transmisin casi total de las partculas. Habamos

visto tambin que cuando E.=.V0 el coeficiente de transmisin de partculas se puede tomar

como cero, misma situacin para el caso en el cual E


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mc = 3758 MeV. Esto nos permite utilizar el valor c.=.197.3 MeV-F (unidad de longitud en

fermis) directamente en las frmulas para T. Supondremos que la energa de la partcula es E =

5 MeV. Con esto, manteniendo V0 = 1 MeV podemos preparar la primera grfica en la cual

variamos la anchura de la barrera a travs del parmetro a:

El resultado obtenido es interesante, ya que el coeficiente de transmisin cae

peridicamentepor debajo de la unidad aunque de cualquier manera la transmisin de

partculas se mantiene elevada. Podemos interpretar esto de la siguiente manera: las partculas

viajeras que pasan por encima de la barrera de potencial poseen una cierta longitud de ondade

acuerdo a la relacin de De Broglie. Cuando la barrera de potencial posee una anchura que es un

mltiplo de esta longitud de onda, se manifiesta una especie de resonancia que tiende a

atraer a las partculas hacia la regin intermedia, la regin 2. Esto abre la posibilidad de que si

en vez de tener una barrera de potencial rectangular tuvisemos unpozode potencial

rectangular de profundidad finita, para ciertas energas habr partculas viajeras que podrn

quedar atrapadas dentro del pozo de potencial si la energa de las mismas concuerda con la

energa del estado ligadoo estados ligadosque puedan ser determinados tanto por la

profundidad del pozo de potencial como por su altura.

Ahora veremos lo que sucede con el coeficiente de transmisin T con la ayuda de la segunda

grfica en la cual manteniendo constante la anchura de la barrera variamos el potencial V0:


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Podemos ver que a medida que el potencial cae a cero el efecto de la barrera de potencial

rectangular sobre las partculas viajeras es prcticamente nulo al tomar el coeficiente de

transmisin un valor igual a la unidad.

En todos los ejemplos y problemas que hemos estado cubriendo en esta serie de entradas

tituladas Transmisin y reflexin de partculas, se ha supuesto que dentro de cada regin deinters el potencial se mantiene constante, siendo igual a un simple nmero para efectos de

anlisis y clculo:

V(x) = constante

Naturalmente, quisiramos extender esto un poco ms hacia adelante suponiendo que dentro de

alguna regin el potencial no se mantiene constante sino que vara de alguna manera. Despus

de todo, esto fue precisamente lo que motiv a Erwin Schrdinger a tomar la propuesta originalde Louis de Broglie que asign una longitud de onda a una partcula sub-microscpica de

masa mmovindose a una velocidad v en una zona de potencial constante hacia un caso ms

general en donde el potencial no permanece constante sino que vara de alguna manera.

Posiblemente el caso ms sencillo que podamos considerar es el de un potencial que vara

linealmente de acuerdo a la prescripcin:

V(x) = ax


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siendo auna cantidad constante. Podemos imaginarnos de este modo algo as como una

barrera de potencial triangularcomo la siguiente:

En la figura de arriba suponemos que incide de izquierda a derecha un flujo de partculas

monoenergticas, todas ellas con energa E. Suponemos de antemano que algunas de las

partculas lograrn penetrar la barrera y saldrn por el lado derecho, mientras que otras ser

reflejadas siendo enviadas de regreso hacia la izquierda. Suponemos por lo tanto que tambin

aqu podemos hablar de un coeficiente de transmisin T y un coeficiente de reflexin R.

Obsrvese que para las condiciones mostradas se vuelve necesario considerarseis regiones

distintas en lugar de tres. El montaje de las ecuaciones de onda en las regiones 1 y 6 esrelativamente sencillo, y procede tal y como lo vimos arriba. Sin embargo, las regiones 2 y 3 as

como las regiones 4 y 5 presentan un nuevo reto, porque en tales regiones el potencial no es

constante sino variable. El problema en estas situaciones es que no hay soluciones analticas

exactas cuando el potencial manifiesta algn tipo de variacin. Esto lo podemos ver con mayor

claridad tomando la ecuacin general de Schrdinger en una dimensin:


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Si en cierta regin tanto el potencial V(x) como la energa E son constantes, entonces la

diferencia entre ambas cantidades es tambin una constante C, su simple nmero, y la ecuacin

anterior toma la forma:

La solucin matemtica de esta ecuacin diferencial resulta ser extremadamente sencilla,

ofreciendo soluciones analticas exactas. Dependiendo de que la constante C sea positiva o

negativa, la solucin puede ser una solucin de tipo exponencial o puede ser de tipo senoidal (o

cosenoidal). Sin embargo, si el potencial V(x) no es constante, esto nos devuelve a la ecuacin

diferencial:

Y resulta que, excepto en casos muy contados y muy especiales, aqu ya no hay soluciones

sencillas, y nos vemos obligados a tener que recurrir a aproximaciones.

An suponiendo en la figura de arriba que el haz de partculas posee una energa E tal que en

ningn momento la energa de la partcula ser inferior al potencial V(x), de cualquier modo

esto subdivide la regin del espacio en tres regiones, con las regiones 2 y 3 fusionndose en una

sola y las regiones 4 y 5 fusionndose en otra sola regin. Se tiene entonces un problema con

cuatro regiones. Pero el problema sigue siendo algo complejo, porque las regiones intermedias

en las cuales el potencial no es constante dificultan el poder llevar a cabo un simple montaje de

ecuaciones simultneas como se llev a cabo arriba.

En lugar de considerar un problema de transmisin y reflexin de partculas como el que ocurre

con una barrera de potencial triangular, podramos tratar de considerar algo un poco ms

ameno, algo as como unpozo de potencial triangularen el cual se encuentra atrapada

una onda de materiaen dicho pozo e la manera siguiente:


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Como la grfica lo sugiere, este modelo puede estar inspirado en algo as como una pelota que se

encuentra rebotando bajo la accion de un campo gravitacional, con una de las lneas azules

fijando la trayectoria de la cada y con la otra lnea azul fijando la trayectoria de ascenso despus

del rebote. Con algo as, podemos sospechar que en un pozo de potencial triangular o algo que se

le aproxime de alguna manera la energa de una onda de materia no podr tomar cualquier

valor, sospechamos que la energa estar discretizada en virtud de que se requiere el poder

ajustar mltiplos de medias longitudes de ondas de materia dentro del pozo (an suponiendo

que algo de la funcin de onda alcance a penetrar a cada lado dentro del potencial).

Ms all del simple caso en el cual el potencial V(x) vara linearmente, podemos tratar de

investigar el caso en el cual el potencial tiene algn tipo de variacin cuadrtica:

V(x) = ax

El primer ejemplo obvio que se nos viene a la mente con un potencial parablico de esta ndole

es el de un oscilador armnico simple, posiblemente dos partculas sub-atmicas conectadas

de alguna manera con una fuerza que tiene el efecto de un resorte. Extendiendo esto an ms

como lo hicimos arriba, podemos intentar resolver algo como unpozo de potencial semi-infinito,

una de cuyas paredes es impenetrable (representada por un potencial infinitamente alto)

estando dada la otra pared por una variacin parablica del potencial, algo como el

siguientepotencial de medio oscilador armnico:


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Sin embargo, inclusive para algo tan sencillo como el pozo de potencial triangular que vara

linearmente, ya no se diga el potencial de medio oscilador armnico, resulta que tenemos que

recurrir a algo tan sofisticado como las funciones de Airy, y eventualmente tenemos que recurrir

a procedimientos grficos para poder obtener resultados numricos aplicables al

comportamiento de las funciones de onda en tales situaciones. No debe causar pues asombro el

hecho de que, desde sus inicios, la Mecnica Cuntica requiri del desarrollo de tcnicas de

aproximacin. Entre las tcnicas que veremos posteriormente para problemas tales como el

pozo de potencial triangular y el potencial de medio oscilador armnico, se encuentra

una tcnicaconocida como el mtodo de aproximacin WKB, adems de otras tcnicas como

las series de perturbaciny el mtodo de variacin. Afortunadamente, mediante el uso correcto

de tcnicas de aproximacin, podemos llegar muy lejos en la explicacin terica de muchos

fenmenos naturales. Sin tcnicas de aproximacin, no llegamos a ningn lado. Esto explica el

por qu un fsico prudente trata de cultivar amistades con matemticos aunque no les entienda

mucho de su lenguaje formal ni los matemticos entiendan muy bien qu es lo que pretende

hacer el fsico con las soluciones que le estn proporcionando.


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Transmisin y reflexin de partculas IV

Anteriormente, habamos estudiado el caso de partculas atrapadas dentro de un pozo de

potencial rectangular con paredes infinitamente altas, precisamente el caso de la partcula

encerrada en una caja, en donde dentro de la caja el potencial se toma como cero y fuera de la

caja el potencial es infinitamente grande. Un caso interesante digno de estudio es el de una

partcula libre viajera (que se comporta como una onda de materia) que pasa por un pozo de

potencial como se muestra a continuacin:

Caer dentro del pozo y quedar atrapada dentro del mismo? Pasar por el pozo sin cambio

alguno? Podramos sospechar de antemano que la respuesta a estas preguntas depender de la

profundidad del pozo de potencial y de la energa que lleve la partcula, y que posiblemente de

un enjambre de partculas que pasen por el pozo de potencial habr alguna probabilidad de que

algunas de ellas queden atrapadas dentro del pozo y otras de ellas pasarn por el mismo sin

quedar atrapadas.

El pozo de potencial rectangular de profundidad finitaresuelve un problema que

tenamos en el estudio del pozo de potencial de profundidad infinita (que es esencialmente el de

una partcula atrapada en una caja con paredes rgidas) y que hasta ahora habamos relegado. Si

vamos a suponer el caso hipottico de una partcula en una caja con paredes impenetrables,

cmo entonces lleg a dar adentro de la caja la partcula si le es tan imposible entrar en la caja

como salir de ella? El pozo de potencial rectangular de profundidad finita abre la posibilidad de

que una partcula viajera libre que pase por dicho pozo de potencial pueda quedar atrapada. O

puesto de otra manera, en trminos probabilsticos, con un pozo de potencial de profundidad

finita cierta cantidad X de partculas que pasen por dicho pozo dejarn una cantidad Y de

partculas que quedarn atrapadas en el mismo, siendo la probabilidad de quedar atrapadas

igual a Y/X.


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Si bien, para el caso de una partcula atrapada entre dos paredes rgidas (un potencial

infinitamente grande), la cantidad posible de estados cunticos era tericamente infinita:

en el caso de una partcula atrapada en un pozo de potencial de profundidad finita el nmero

posible de estados cunticos deber ser necesariamente finito:


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El caso de una partcula que pasa por la cercana de un pozo de potencial rectangular es similar

al de una partcula que pasa por una barrera de potencial rectangular de altura finita y de

anchura finita, excepto que en este caso el potencial es -V0en lugar de +V0. Para la solucin

mecnico-cuntica a este problema desde el aspecto ondulatorio, recurriremos nuevamente a la

ecuacin de onda de Schrdinger independiente del tiempo.

PROBLEMA:Supngase una partcula viajera libre que pasa por un pozo de potencial

rectangular especificado de la siguiente manera:

Descrbase lo que ocurre en un caso as resolviendo el sistema mediante la aplicacin de la

ecuacin de onda de Schrdinger, suponiendo que la energa de la partcula es positiva (la

partcula pasa por encima del pozo de potencial) siendo mayor que el potencial -V0, o sea

que E>-V0.

Nuevamente, para la resolucin del problema aplicando la ecuacin de onda de Schrdinger,

tenemos que subdividir el espacio bajo consideracin en las siguientes tresregiones que deben

ser tomadas en consideracin:


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De acuerdo con el planteamiento del problema, la colocacin correcta de las coordenadas de la

energa potencial V(x) en funcin de la coordenada horizontal para este pozo rectangular de

anchura 2aes la siguiente:

El problema anterior tiene que ver con una situacin en la que las partculas libres viajeras

pueden venir desde la izquierda pasando por encima del pozo de potencial con una energa

positiva E. Pero una variante interesante la tenemos en el caso en el que la energa de las

partculas es negativa, aunque mayor que -V0.

PROBLEMA:Supngase una partcula cuyo movimiento es de izquierda a derecha pasa por

un pozo de potencial rectangular especificado de la siguiente manera:


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Descrbase lo que ocurre en un caso as resolviendo el sistema mediante la aplicacin de la

ecuacin de onda de Schrdinger, suponiendo que la energa de la partcula es negativa(la

partcula se encuentra dentro del pozo de potencial) siendo de cualquier manera la energa

mayor que el potencial -V0, o sea que -E>-V0.

Subdividiendo el espacio bajo consideracin en tresregiones que deben ser tomadas en

consideracin tenemos entonces la siguiente situacin:

Usaremos la misma colocacin de las coordenadas que la que utilizamos en la resolucin del

problema anterior. Para la reginx


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una cantidad real y positiva (en virtud de que la energa es negativa, el signo dentro del radical

termina siendo positivo). La solucin matemtica general en la regin # 1 de la ecuacin

diferencial de onda viene siendo:

Para la reginx


69/99

Tenemos por ltimo a la regin # 3 en donde el potencial vuelve a ser igual a cero. La solucin

matemtica general de la ecuacin de onda para esta regin viene siendo:

Para la reginx>+a, el primer trmino se convierte en una exponencial decreciente, mientras

que el segundo trmino explota exponencialmente al tomar la exponencial un valor

exponencialmente creciente parax+. El primer trmino es por lo tanto una solucin

fsicamente admisible mientras que el segundo trmino no lo es ya que hace crecer a la funcin

de onda 3(x) sin lmite. Por lo tanto, tenemos que asignar al coeficiente G un valor de cero, con

lo cual la nica solucin fsicamente admisible en la primera regin viene siendo:

paraxmayor que a.

El siguiente paso consiste en la imposicin de las condiciones de frontera, las cuales son para

este problema de tres regiones:

Podemos simplificar la resolucin del problema dndonos cuenta de que el potencial V(x) es

unafuncin par, esto es:

V(x) = V(-x)


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lo cual debe ser obvio ya que V(+a) = V(-a). Esto nos permite deducir de antemano que las

soluciones deben ser ya sea pares o impares, lo cual nos permite imponer las condiciones de

frontera en nicamente uno de los lados del pozo de potencial, ya sea el lado aen el sentido

negativo o el lado a en el sentido positivo, obtenindose el otro lado en forma automtica ya

que:

(-x) = (x)

en donde el signo de ms/menos es tomado como positivo para el caso de funciones pares

mientras que es tomado como negativo en el caso de funciones impares. De este modo, la

funcin cosenoidal es una funcin par:

mientras que la funcin senoidal es impar:

Todas las funciones de onda imparestienen un nodoen el centro de simetra de las mismas (lo

cual implica que parax.=.0la funcin de onda toma un valor igual a cero en dichopunto) mientras que para las funciones de ondaparesocurre lo contrario. Este contraste lo

podemos apreciar mejor con las siguientes ilustraciones:

Se haba visto arriba que la solucin general para la ecuacin diferencial de onda que

corresponde a la regin intermedia puede ser enunciada como:


71/99

Las solucionespares se obtienen usando la funcin coseno, esto es, haciendo C.=.0, mientras

que las soluciones imparesse obtienen usando la funcin seno, esto es, haciendoD.=.0,

combinando esto con los resultados obtenidos para las otras dos regiones. En el caso de las

funciones pares, el requisito de continuidad de la funcin de onda enx.=.arequiere que:

Por otro lado, el requerimiento de continuidad de las derivadas d/dxen los puntos de

transicin de una regin a otra requiere que:

Por lo tanto:

Dividiendo las ecuaciones obtenidas con las dos condiciones de continuidad, se llega deinmediato a lo siguiente:

Esta es una ecuacin trascendental que nos sirve para obtener las energas permisibles (en

virtud de que tanto k1como k2son funciones de la energa E) , la cual no tiene solucin analtica

exacta. Podemos tratar de resolverla mediante mtodos numricos o mtodos grficos. Ms an,

esta ecuacin trascendental puede tener no nicamente una sino dos o ms soluciones, siendo

dichas soluciones los valores propios eigenque corresponden a los estados discretos de energa

de una partcula atrapada dentro del pozo de potencial. Para obtener los valores discretos de la

energa, resulta conveniente simplificar esto un poco adoptando una notacin ms compacta.

Hgase:


72/99

Metiendo aqu las expresiones para la energa E, se obtiene de modo directo lo siguiente:

con lo cual:

Por lo tanto:

Si hacemos:

entonces, trazando sobre una misma grfica ambas funciones, los puntos en los cuales se cruzen

tales funciones corresponderan a las soluciones de valores propios eigenque estamos buscando

para la ecuacin trascendental. Se recalca que esto es vlido para las funciones pares.

A continuacin tenemos un ejemplo de la solucin grfica de la ecuacin trascendental en donde

podemos apreciar tres puntos de interseccin (la curva en color rojo corresponde a la frmula en

color rojo mientras que las curvas en color azul corresponden a la frmula en color azul):


73/99

Especficamente, lo que queremos obtener de la grfica son los valores dezen los cuales

se cruzan las dos funcionesf(z) y g(z). Hay tres de ellos. El ms bajo ocurre un poco debajo

de /2. El que sigue ocurre entre y 3/2. Y el tercero ocurre entre 2y 5/2. Como ya se dijo,

esta grfica es vlida para las funciones de ondapares.En este caso, puede verse que de acuerdo

a los puntos de interseccin obtenidos en la grfica se obtienen tresenergas propias eigen, por

lo que el pozo de potencial admite solo tres estados discretos de paridadpar.

En lo que toca a las funciones de ondaimpares, el procedimiento de solucin es muy similar,

excepto que en lugar de obtenerse una funcin tangente se obtiene una funcin cotangente de

signo negativo:

Esto viene del hecho de que la primera condicin de continuidad es:

siendo el requerimiento de continuidad de las derivadas d/dxen los puntos de transicin de

una regin a otra:


74/99

Dividiendo las ecuaciones obtenidas con las dos condiciones de continuidad, se llega de

inmediato a la relacin cotangente dada arriba.

De nueva cuenta, podemos hacer:

Trazando sobre una misma grfica ambas funciones, los puntos en los cuales se cruzan tales

funciones (destacados como crculos de color rosa) correspondern a las soluciones de valores

propios eigenque estamos buscando para la ecuacin trascendental, recalcndose que esto es

vlido para las funciones de onda impares:


75/99

A continuacin se muestra una grfica (se recomienda ampliar la imagen) mostrando tanto las

solucionespares(curvas de color azul) como las soluciones impares(curvas de colorrojo) para

un pozo de potencial que admite seis estados discretos de energa, para lo cual se ha supuesto

una anchura del pozo 2a igual a 0.4 nanometros (a.=.0.2 nm) y una profundidad del pozo de

potencial fijada en 75 eV:

Como puede verse en la figura, para las condiciones especificadas hay seisestados eigen

posibles. Obsrvese tambin un detalle muy curioso: a las funciones de onda paresles

corresponden nmeros cunticos nimpares (n.=.1,3,5,...), mientras que a las funciones

impares de onda les corresponden nmeros cunticos npares (n.=.2,4,6,...). Esto se ver con

mayor claridad en la siguiente ilustracin que ser dada ms abajo.

De las soluciones grficas para las funciones de ondapares, es posible apreciar que siz0tiene un

valor suficientemente grande (representando un pozo algo amplio y algo profundo), entonces las

intersecciones ocurrirn por debajo de:


76/99

con lo cual se tiene entonces que:

Al ir disminuyendo el valor dez0 (con el puntoz0 recorrindose cada vez ms y ms hacia la

izquierda en las figuras de arriba), habr menos estados ligados, hasta que finalmente

cuandoz0toma un valor inferior a /2 (con lo cual desaparece el estadoimparms bajo) solo

quedar un estado discreto disponible dentro del pozo de potencial. Resulta sorprendente que,

no importa qu tan dbil sea el pozo de potencial, siempre habr por lo menos un estado

discreto.

La siguiente figura corresponde a la de un pozo de potencial rectangular que

admite cuatroestados ligados. Los estados n.=.1 y n.=.3 corresponden a las solucionesparesde

la ecuacin de onda en el interior de la regin 2 (la regin intermedia en donde la partcula se la

pasa la mayor parte del tiempo), mientras que los estados n.=.2 y n.=.4 corresponden a las

soluciones imparesde la ecuacin de onda (confirmando lo que se asent un poco ms arriba al

afirmarse que a las funciones de ondaparesles corresponden nmeros

cunticos n impares mientras que a las funcionesimparesde onda les corresponden nmeros

cunticos npares):


77/99

En la ilustracin resalta el hecho notable de que una partcula atrapada dentro de un pozo de

potencial rectangular de profundidad finita, por tratarse de una onda de materia, es capaz de

penetrar en las paredes del pozo, algo que no poda hacer en el caso de un pozo de potencial

rectangular con paredes infinitamentegrandes. Esto es algo que la mecnica clsica es ya

incapaz de predecir, y se trata de un comportamiento puramente mecnico-cuntico. Por otro

lado, una partcula atrapada dentro de un pozo de potencial rectangular en cualquiera de los

estados de energa admisibles dentro del pozo puede ser sacada del mismo suministrndole

suficiente energa para que pueda subir por encima del nivel de energa potencial V(x).=.0. Si la

partcula atrapada es un electrn, entonces la energa se la suministraramos enviando adentro

del pozo un fotn con la energa suficiente para liberar a la partcula del mismo.

Otro ejemplo instructivo de anlisis, el cual aunque tambin requiere de solucin numrica o de

solucin grfica al no tener solucin exacta la ecuacin de Schrdinger para las condiciones del

mismo resulta un poco ms sencillo de resolver que el caso del pozo de potencial rectangular, es

el caso del pozo de potencial semi-infinito, el cual consiste de un pozo de potencial una de

cuyas paredes es impenetrable (infinitamente alta) y otra de las cuales tiene una altura finita.

Podemos especificar un potencial de este tipo de la siguiente manera:


78/99

Puesto que la funcin de onda se desvanece por completo en la pared vertical izquierda al ser

impenetrable, hay una ligera simplificacin en los clculos. Las soluciones, obtenidas

resolviendo la ecuacin independiente del tiempo de Schrdinger para cada regin

requirindose continuidad tanto para las funciones de onda como para las primeras derivadas

en los puntos de encuentro entre regiones distintas, conducen a una ecuacin trascendental de

la forma:

en donde:

Quiz la forma ms expedita de resolver la ecuacin trascendental consiste en recurrir a

soluciones grficas, trazando en una misma grfica las funciones tangente y la funcin

cuadrtica que nos permite determinar las energas eigenen los puntos de cruce entre ambas

grficas. Para el caso en el cual V0.=.1.5, se encuentra que hay cuatroenergas discretas (las

curvas de la funcin tangente se muestran de color obscuro mientras que la grfica de la funcin

cuadrtica se muestra de color verde):


79/99

mientras que para el caso en el cual V0.=.0.5 se encuentra que hay dosenergas eigen discretas:


80/99

de lo cual se concluye, como era de esperarse, que para el pozo de potencial semi-infinito entre

mayor sea la profundidad del pozo tanto mayor ser la cantidad posible de estados discretos que

el pozo pueda contener.

Habiendo visto todo lo anterior, estamos en mejores condiciones para poder tratar en detalle el

caso de transmisinde partculas sobre un pozo de potencial cuando la energa E de la partcula

es superior al nivel de potencial V.=.0:

Parax menor que a negativo en la regin 1 en donde tenemos partculas libres, la funcin de

onda 1(x) en su forma ms general est dada por la relacin:

en donde, al igual que como se hizo arriba:


81/99

En la regin intermedia, la funcin de onda 2(x) est dada por:

en donde, al igual que como se hizo arriba:

Y por ltimo, parax>aen la tercera regin (se usa k1al igual que en la primera regin):

En la lnea de transicin de la primera regin a la segunda regin, la condicin de continuidad

requerida de la funcin de onda al pasar de una regin a otra especifica lo siguiente:

Por otro lado, en el mismo lugar, la condicin de continuidad de que la derivada de la funcin de

onda 1(x) sea igual a la derivada de la funcin de onda 2(x) (ambas deben tener la misma

pendiente) especifica lo siguiente:

En lo que toca a la frontera de transicin de la regin 2 a la regin 3 en donde se conectan las

funciones de onda 2(x) y 3(x), la condicin de continuidad de las mismas especifica losiguiente:


82/99

Y por ltimo, la condicin de continuidad de que la derivada de la funcin de onda 2(x) sea

igual a la derivada de la funcin de onda 3(x) especifica:

La solucin del conjunto de ecuaciones obtenidas no es asunto difcil, aunque es algo tedioso

requieriendo de cierta paciencia e ingenio. Una forma de llevarlo a cabo consiste en usar dos de

las ecuaciones obtenidas para eliminar C y D, y usar las otras dos ecuaciones para B y F. Para

ello, tomamos la ecuacin:

y la multiplicamos por sen(k2a). Asimismo, tomamos la ecuacin:

y la multiplicamos por cos(k2a)/k2, sumando ambas:


83/99

para obtener:

Del mismo modo, multiplicando:

por cos(k2a) y multiplicando:

y la multiplicamos por sen(k2a)/k2, y sumando ambas, se obtiene:

Poniendo ambas relaciones para C y D en la ecuacin:

y simplificando, se obtiene:

Asimismo, llevando a cabo un procedimiento similar sobre la relacin:

se obtiene:


84/99

Sumando las dos relaciones obtenidas eliminando el trmino con B, se tiene entonces:

de lo cual, despejando para F:

Del mismo modo, si en vez de sumar las relaciones las restamos, obtenemos lo siguiente para B:

El coeficiente de transmisin T para un flujo de partculas que van de izquierda a derecha,

expresado en funcin de las densidades de probabilidad, es:

Sin embargo, por conveniencia tipogrfica (y nicamente por esta razn), resultar ms

conveniente expresar lo anterior de la siguiente manera:

Usando lo obtenido anteriormente para F, vemos que:


85/99

Pero puesto que:

y usando la siguiente simplificacin intermedia:

se tiene:

Por otro lado, usando las relaciones explcitas para k1y k2en funcin de la energa y el potencial,

se tiene:


86/99

con lo cual:

para as llegar finalmente a la siguiente relacin:

Usando el resultado obtenido, podemos construir una grfica tpica del coeficiente de

transmisin de partculas a travs del pozo de potencial en funcin de la energa para cierta

combinacin de valores de las constantes fsicas involucradas es la siguiente:


87/99

A grosso modo, la interpretacin de la grfica obtenida es sencilla: en el momento en el que la

energa E toma valores superiores a V0, hay una transmisin casi total de partculas que se

aproxima al cien por ciento cuanto mayor sea la energa, pero para valores de la energa E

inferiores a V0, la transmisin de partculas desciende abruptamente, lo cual es lgico ya que las

partculas son atrapadas dentro del pozo. De la frmula obtenida para el coeficiente de

transmisin T, resulta evidente que cuando el trmino senoidal es exactamente igual a cero el

pozo de potencial se vuelve invisiblepara el haz de partculas incidentes. La condicin para que

esto ocurra es:

Las energas discretas Enpara las cuales hay una transmisin perfecta de partculas se pueden

apreciar en la grfica de arriba para T(E), son los puntos en los que la curva toca a la lnea

horizontal T.=.1. Cada una de estas energas discretas corresponde a cierta longitud de onda

para la onda de materia, lo cual significa que si la longitud de onda de De Broglie es la correcta,

la transmisin de partculas se vuelve perfecta. Esto en realidad no es ms que una

manifestacin del fenmeno de resonancia. Despejando para Ende esta ltima frmula, se

tiene:

Pero resulta que estas son precisamente las energas discretas para un pozo de potencial

infinito.


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No hay que olvidar que en los anlisis sobre-simplificados de los fenmenos de transmisin y

reflexin de partculas llevados a cabo hasta este punto se ha supuesto que la funcin de

onda (x) representa un haz de partculas de la misma energa que avanzan sincronizadas en

faseuna junto a la otra. En la prctica, no resulta nada fcil obtener un haz de partculas que

tengan todas ellas la misma energa, y lo ms usual en el mejor de los casos es tener un haz de

partculas para el cual la misma energa E en realidad es tan slo el mximo de la curva de

distribucin energtica de partculas en donde podemos encontrar una mayor cantidad de

partculas que tengan ms o menos la misma energa (hablando en trminos estadsticos). Y

de hecho, en base a esto, se vuelve necesario para poder obtener una mayor concordancia entre

los resultados tericos y los resultados experimentales caer en la cuenta de que un haz de

partculas en realidad est compuesto por partculas separadas e individuales que deben ser

consideradas cada una de ellas como unpaquete de onda. Esto lo veremos con mayor

detenimiento en entradas posteriores.

El caso contrario al caso de la doble barrera de potencial es el caso del pozo de potencial

doble. Esencialmente, son dos pozos de potencial separados por una barrera de potencial

intermedia. A continuacin se muestra una ilustracin de un potencial de este tipo en donde

ambos pozos que supondremos rectangulares tienen la misma anchura ay la barrera intermedia

de separacin entre ambos pozos tiene una anchura b(en un anlisis ms elaborado, cada pozo

de potencial puede tener una anchura diferente, y del mismo modo cada pozo de potencial

puede tener una profundidad diferente):


89/99

Intuitivamente, podemos suponer que dentro de cada pozo de potencial rectangular se podr

admitir una cantidadfinitade estados discretos de energa, con el estado de energa basal en

cada pozo ocupando el nivel ms bajo (cerca del fondo del pozo). La cantidad de estados

discretos de energa depender de la profundidad de los pozos, con un gran nmero de estados

discretos cuanto mayor sea la profundidad del pozo. Del mismo modo, intuitivamente, podemos

suponer que en el caso en el cual la anchura de la barrera que separa ambos pozos tiende a cero

hasta el punto de desvanecerse, o sea cuando b..0, se tendr el equivalente de un solo pozo de

potencial de anchura 2a. Y si la anchura de la barrera que separa ambos pozos es muy grande, o

sea cuando b.., se tendrn dos pozos de potencial

Sin entrar a fondo en los detalles matemticos que se nos revelan mediante la solucin de la

ecuacin de Schrdinger, y tomando el caso en el cual la anchura de la barrera es igual a cero, se

tiene un solo pozo de potencial rectangular. Suponiendo que la profundidad de dicho pozo sea

suficiente para admitir dosestados discretos, el estado basal (fundamental) E1y el primer estado

excitado E2, al estado basal le corresponder una funcin de onda 1(x) que dentro del pozo

debe ser el equivalente aproximado de una media longitud de onda (correspondiendo a una

solucinparde la ecuacin de onda, sin un nodo en el punto intermedio central del pozo en

donde la funcin de onda pudiera tomar el valor de cero), mientras que al primer estado

excitado le corresponder una funcin de onda 2(x) que dentro del pozo debe ser el equivalente

aproximado de una longitud de onda completa (correspondiendo a una solucin impar de la

ecuacin de onda, con un nodo en el punto intermedio central del pozo en donde la funcin de

onda toma el valor de cero). Puesto que el pozo de potencial de anchura 2ano tiene las paredes

verticales infinitamente altas, algo de la funcin de onda 1(x) as como de la funcin de onda


90/99

2(x) deber escaparse hacia los lados fuera del pozo. Esto es lo que corresponde a una

solucin que en el exterior del pozo tiene un decaimiento exponencial mientras que en el

interior del pozo tiene un comportamiento cosenoidal para 1(x) y senoidal para 2(x). En las

figuras que se muestran a continuacin, las regiones de color azul claro son las que

corresponden a la solucin de decaimiento exponencial:

Supngase que ahora se interpone una barrera de potencial de anchura muy pequea en el

centro del pozo de potencial, una barrera casi inexistente pudiendo tomarse como una lnea

vertical imaginaria. El pozo de anchura 2a queda efectivamente subdividido en dos mitades

iguales de anchura a cada una de ellas. Cada mitad tendr dos niveles energticos E 1y E2por

encima del potencial V0, iguales en magnitud a los niveles energticos del pozo de anchura 2a.

Las energas para los estados discretos de un pozo de potencial de anchura 2 apueden ser

aproximadas mediante la relacin que se obtuvo arriba:

La energa del estado basal ser:

mientras que la energa del primer estado excitado ser:


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siendo:

Para el caso en el cual la barrera de separacin entre ambos pozos no es muy grande, ni siquiera

grande, por ejemplo cuando b..a, la solucin general debe ser tal que al ir aproximando los dos

pozos de potencial rectangulares se van uniendo las funciones de onda de cada estado

fundamental propio de los pozos separados para formar la nueva funcin de onda que

corresponde al estado fund

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