TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO · MEDIO POROSO •En el transporte de solutos por un...
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TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO CURSO: MODELACIÓN MATEMÁTICA
COMPUTACIONAL DE SISTEMAS TERRESTRES I
POSGRADOS: CIENCIAS DE LA TIERRA Y
CIENCIA E INGENIERIA DE LA COMPUTACIÓN
AUTOR: GUILLERMO DE J. HERNÁNDEZ G. UNAM
TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO
• En el transporte de solutos por un fluido un supuesto
básico e implícito es que la velocidad sea conocido de
antemano; en particular, la velocidad del fluido es un
dato. Se asume también que el fluido se localiza en los
poros del medio poroso y que dicho medio está
saturado, es decir que el fluido llena completamente los
poros. Aun cuando el medio está saturado, el fluido no
llena el espacio físico debido a que parte de él es
ocupado por la matriz sólida.
TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO
• El modelo matemático básico para la clase de sistemas
estudiados aquí ya se introdujo previamente. Recapitulando, la
masa de soluto contenida en cuerpo e un sistema poroso,
constituido por la matriz sólida y el fluido, es dado por la
integral
porosidad la es ,
fluido del volumen de unidadpor soluto de masa
soluto, delión concentrac la es ,
,,
tx
txc
donde
dxtxctxtMtB
S
TRANSPORTE DE SOLUTOS EN UN MEDIO POROSO
dispersión-difusión de procesos los a enteprincipalm debido
soluto, del masa de flujo el es ,
soluto de mas de fuentes las representa ,
,,,
:es global balance deecuación la parte, otraPor
tx
txg
donde
dxtxntxdxtxgtdt
dM
S
S
tBS
tBS
S
SSgvct
εc
gobernante ldiferenciaecuación laen econsistent
básico, matemático modelo el obtiene se
continuos, modelos de axiomátican formulació la Aplicando
PROCESOS DE TRANSPORTE
PROCESOS DE TRANSPORTE
solución. la de volumen de
unidadpor soluto de masa decir, es soluto, del masa lacon asociada
intensiva propiedad la esy soluto delión concentrac la es Donde
:es poroso medioun en solutos de e transportdel local balance
de ldiferenciaecuación La obtenido. es básico matemático modelo el
continuos modelos los de axiomátican formulació la Aplicando
x,tc
gvct
cSS
PROCESOS DE TRANSPORTE
soluto. del masa de externa fuente la ,
y soluto, del masa de flujo ,
fluido, de partícula la de velocidadla ,
:de acerca icay tecnológ científican informació
de suministro el necesita e transportdeecuación La
.dispersión-difusión
y vosconservati-no procesos
advección,
:e transportde procesos tresdistinguirpueden Se
S
S
g
τ
v
PROCESOS DE TRANSPORTE Procesos de advección
UvvU 1;
por asrelacionadson que es, velocidaddos estas entre
distinción laen cuidadoponer necesario Es
U.Darcy, de velocidadlay
v,, partículas las de velocidadla
:definidasser pueden es velocidadclasesde Dos
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS
La generación de solutos puede ocurrir por
• reacciones químicas,
• decaimiento radiactivo y
• adsorción del soluto por la matriz sólida.
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Procesos irreversibles de primer orden
cgg
g
g
gg
SS
S
S
SS
,radiactivo odecaimient del paray
orden primer de químicas reacciones las para Entonces
fluido. del volumen de
unidadpor tiempode unidadpor masa de fuente la es
fluido, sólido sistema elpor
ocupado físico espacio del volumen de unidadpor
tiempo,de unidadpor soluto de masa la representa
:Donde
:es poroso medion en contenido es fluido que elen caso elen
masa de fuente laexpresar para econvenientnotación Una
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
• El fenómeno de adsorción es el fenómeno que ocurre debido a la presencia de la matriz sólida cuando el transporte de solutos toma lugar en un medio poroso.
• Un tratamiento preciso y riguroso de la adsorción, que tomo lugar en el sistema fluido-sólido, requiere aproximarlo como un sistema hecho de dos fases y dos componentes;
– Las fases son la matriz sólida y el fluido contenido en ella.
– Las componentes son el soluto disuelto en el fluido y el soluto contenido en la sustancia sólida que constituye la matriz sólida.
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
sólido). de masapor soluto de (masa
sólida fase laen soluto del masa defracción la ,
poroso); medio de n totalpor volume sólido de (masa
sólida fase la de aparente, densidad la ,1
sólido); den por volume sólido de (masa
sólida fase la de densidad la ,
sólida; fase la a fluida fase la de
vaque soluto de masa de fuente la ,
fluida; fase la a sólida fase la de
vaque soluto de masa de fuente la ,
:oconstruirl para usada seránotación siguiente la s,componente
dosy fases dos de adsorción, de modelo elaproximar Para
S
Sb
S
f
f
S
g
g
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
).( sólida, matriz laen adsorbida soluto de masa La (3)
);( sólida, matriz la constituye que sustancia la de masa La (2)
);( fluido, elen disuelta soluto de masa La (1)
:miembros trestiene
basado esadsorción de proceso del matemático modelo
el cual laen extensivas spropiedade de familia La
tM
tM
tM
Ss
M
S
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
dxtxgtt
M
tt
M
dxtxntxdxtxgtt
M
dxdxtM
dxdxtM
dxtxctxtM
tB
S
f
S
M
tBS
tB
f
SS
tBS
tBbSs
tBS
tBbM
tBS
s
,
0
,,,
son ientescorrespond global balance de ecuaciones Las
1
1
,,
ecuaciones siguientes laspor dadasson extensivas spropiedade Las
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
S
f
S
b
S
f
S
bb
S
bb
f
SS
f
S
S
f
gvt
gvt
vt
gvct
c
gg
por remplazar puede se última Esta
0
son ientescorrespond local balance de
ecuaciones treslas global, balance de ecuaciones las De
. 0 masa deón conservacipor Además,
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
dc
dK
t
c
dc
dgc
tgg
d
b
f
S
b
S
f
f
S
:como define seón distribuci de ecoeficient El
;
fluido elen ión concentrac la defunción es
sólida fase laen soluto del masa defracción la Si
reposo,en está sólida matriz la si cero es sólido del velocidadla Como
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
nretardació de ecoeficient el es y natura logaritmo el es Ln Donde
1
Ln
:forma siguiente
la deescribir suele seecuación esta esaplicacion diferentesEn
es balance deecuación primera la Y
soluto. delión concentrac la de nteindependie esón distribuci de ecoeficient el
lineal,función una es soluto de masa defracción la queen especial caso elEn
11
R
Kdc
dR
tcvc
t
cR
t
cKvc
t
c
dbb
S
Sdb
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
S
S
S
vct
c
RvcRt
c
vct
cR
en convierte seadsorción ocurre no si Además
como escritaser puede su vez a Que
esecuación la bleincompresi e homogéneo es poroso medio el Cuando
a.introducid ranomenclatu la bajo motivación la considerar útilmuy Es
11
PROCESOS NO-CONSERVATIVOS Adsorción
R a igualfactor un por retardadosson advección de procesos los
adsorción de procesosocurren cuando decir, es mente;respectiva
ay a igualesadvección de dadescon veloci e transportde
modelosson que ver hace anteriores dos las den comparació La
1 vvR-
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
.dispersión de tensor denominada matriz una es
soluto, de masa
de flujo el ndorepresenta vectorialcampo el es , Donde
,
:forma la de escrita usualmente es aplicación de clase esta para
libres); fluidosen (comoFick deley
la de mediopor modeladosn son tambiédifusión de procesos
los poroso medioun en solutos de e transportdel caso elEn
D
tx
cDtx
S
S
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
sólida. matriz la de
estructura la de adaleatoried la a atribuible fluido del flujo
del ad tortuosidla a debido es cual el mecánica, Dispersión2.
co;microscópi nivel a ocurre que
Brouniano movimiento al debido es cual el Molecular,Difusión 1.
:fenómenos de clases diferentes doscoexisten esteen que es poroso, medio
un en contenido fluidoun en ocurren que losy libre fluidoun en
ocurren quedifusión de procesos entre l,fundamenta diferencia Una
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
molecular.difusión la que tesignifican
más usualmente es mecánica dispersión de
efecto el movimientoen está fluido el cuando reposo;en
está fluido el cuando ocurre no mecánica dispersión La
mecánica; dispersión
de tensor el másmolecular difusión de tensor
del suma la como expresado es dispersión de tensor El
Mm
mMDDD
DD
D
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
ad. tortuosiddenominado esy
1, quemenor siempre ecoeficienty real númeroun es Donde
por definido
isotrópicoun tensor es prácticas, esaplicacionen
usado es comoy textode libros los de mayoría
laen dado es como molecular,difusión de tensor Elm
ijd
m
ijDD
D
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
v
vvDDvDD
Dv
v
D
ji
TLjiT
M
ji
forma siguiente la tienematriz la que ver puede Se
. de simetría de ejeun es de
dirección la , fluido, del velocidadla de magnitud la a
alesproporcionson matriz la de propios valoreslos Todos
.preferentedirección
una como velocidadla a fluido de partículas las teniendo
co,anisotrópi es mecánica dispersión de tensor El
M
M
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
U
UUDDUDD
D
DvDvD
D
ji
TLjiT
M
ji
a eequivalent es entoncesy
tensor elexpresar paraDarcy deley la Aplicando
mente.respectiva sal,y transver allongitudin
mecánica daddispersivi de ecoeficient llamadosson y
mente.respectiva ,y propios scon valore
, de reseigenvectoson )(ortogonal ella a ltransversa
dirección cualquier y fluido del velocidadla dedirección La
T
LTL
M
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
cvDcD
cvDcD
T
M
L
M
velocidadla de a ltransversadirección
la ión tieneconcentrac de gradiente el Cuando2.
velocidadla dedirección misma
la ión tieneconcentrac de gradiente el Cuando1.
:relevantesson nesobservacio siguientes lasción interpreta Como
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
n
cvDcDnn
n
cvDcDnn
T
M
mec
L
M
mec
fluido del velocidadla a
lar perpendicu es frontera la a normal unitario vector el Entonces
frontera. la a paralelo es fluido del velocidadLa2.
fluido del velocidad
la a paralelo es frontera la a normal unitario vector el Entonces
frontera. la alar perpendicu es fluido del velocidadLa1.
:casos dosán considerar Se
mecánica. dispersión a debido cuerpoun de frontera laen punto
un de travésa masa de flujo elevaluar relevante esTambién
PROCESOS DE DISPERSIÓN - DIFUSIÓN
poroso. medio del ad tortuosidlapor modificado es pero ,isotrópico
molecular difusión solo tienese libre, fluidoun de caso elen Como
Entonces
reposo.en está fluido el cuando caso el oconsiderad esTambién
ijdd
m
ijij DDD
LAS ECUACIONES PARA
TRANSPORTE DE SOLUTOS EN
MEDIOS POROSOS
LAS ECUACIONES PARA TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS
S
S
S
gcDcDvtD
Dc
tD
cD
gcDvtD
D
tD
cDc
gcDvct
c
1LnLn
:enar transformpuede se su vez a Esta
LnLn
:en arse transformpuedeecuación Esta
:difusivo soluto de flujo elincluir por obtiene se
poroso medioun en solutos de e transportel gobierna
que general, formaen básica, ldiferenciaecuación La
LAS ECUACIONES PARA TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS
SgcDcDtD
cD
vDt
D
vt
1Ln
aquí De
0Ln
ementeequivalent o
0
tienese bleincompresi es fluido el Cuando
LAS ECUACIONES PARA TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS
S
S
gcDcvt
c
gcDtD
cD
1
1
enteexplícitam más O,
despreciar sepuede Ln si realmente
:homogénea es sólida matriz la Si
LAS ECUACIONES PARA TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS
as.subterráne aguas
deión contaminac la de modelado elen enteextensivam
usadasson anteriores sgobernante ecuaciones las Todas
:a reduce seecuación la difusivo-no e transportPara
a reduce seecuación esta reposo,en está fluido el Cuando
1
1
S
S
gcvt
c
gcDt
c
LAS ECUACIONES PARA TRANSPORTE DE SOLUTOS EN MEDIOS POROSOS
S
S
S
gcv
gcD
gcDcv
1
1
1
son ientescorrespond
ioestacionar estado elgobiernan que ecuaciones Las
PROBLEMAS BIEN PLANTEADOS
• Los correspondientes problemas bien planteados son
esencialmente los mismos que aquellos que ocurren en el
transporte de solutos por un fluido libre que ya fueron
discutidos.